lista1_2005_1

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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Matema´tica - A´rea II
1a lista de exerc´ıcios A´lgebra Linear
Revisa˜o de Geometria Anal´ıtica (Vetores, Retas e Planos)
1o semestre de 2005 18/04/2005
E´ importante saber escrever suas respostas de forma clara e concisa.
1. Considere a reta l : y = ax+ b no plano R2 (onde a, b ∈ R.)
(a) Determine um vetor normal a l.
(b) Determine um vetor diretor para l.
(c) Determine um vetor diretor unita´rio.
(d) Descreva l por meio de equac¸o˜es parame´tricas, isto e´, descrevendo as coordenadas (x, y, z)
dos pontos de l em termos de um paraˆmetro t.
(e) Determine a reta normal r a l passando pela origem. Caso voceˆ esteja pensando em fazer
isso usando a fo´rmula para o coeficiente angular da reta normal, prove-a com o que voceˆ
aprendeu em geometria anal´ıtica! (Sugesta˜o: considere o produto interno dos vetores
diretores de l e r).
(f) Desenhe as retas l, r e os vetores obtidos em (a), (b), (c) no caso a=-2, b=1.
2. Repita o exerc´ıcio anterior para l : x = 5.
3. Descreva os seguintes subconjuntos do R3, com o aux´ılio de figuras, por equac¸o˜es em x, y, z:
(a) o plano xy;
(b) o eixo Oz;
(c) a reta paralela a Oz passando por (0, 1, 0);
(d) a reta paralela a Ox passando por (5,−3, 2).
4. Considere a reta l em R3 que passa por (1,−1, 0) e tem vetor diretor (1, 0,−1).
(a) Escreva equac¸o˜es parame´tricas para l.
(b) Escreva l como intersec¸a˜o de dois planos. (Sugesta˜o: elimine o paraˆmetro t das equac¸o˜es
parame´tricas achadas em (a).)
(c) Ache a intersec¸a˜o de l com a reta r dada pelas equac¸o˜es parame´tricas x = −t, y = 1−t, z =
2 + t (t ∈ R.)
(d) Idem para r : x = −1, y = 2− t, z = t− 1 (t ∈ R.)
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5. Considere a seguinte afirmac¸a˜o: os subconjuntos A e B do R3 definidos por A = {(1 −
t,−t, 2 + 3t) ∈ R3 : t ∈ R} e B = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x + y + z = 4 e 4x − y + z = 6} sa˜o
iguais. Interprete esta afirmac¸a˜o geometricamente. Como voceˆ poderia prova´-la? Pense em
va´rias maneiras diferentes de proceder, e prove-a da maneira que voceˆ achar mais eficiente.
6. Considere o plano pi : x + y + z = 0. Determine dois vetores v,w em pi que na˜o sejam
colineares (dizemos enta˜o que v e w sa˜o vetores diretores para pi.) Dado um vetor qualquer em
pi com origem em (0, 0, 0), como voceˆ poderia expressa´-lo em termos destes vetores diretores?
Pense geometricamente e escreva analiticamente! Obtenha equac¸o˜es parame´tricas para pi, isto
e´, descreva os pontos (x, y, z) de pi em termos de dois paraˆmetros s, t. E´ poss´ıvel descrever pi em
termos de apenas um paraˆmetro? Por queˆ?
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