analiseI-lista1-2011-2

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1a Lista de Ana´lise I - 2o/2011
Cybele T.M. Vinagre & Haroldo R. Clark
10 de Agosto de 2011
Prelu´dio 1 Enunciados da forma
Se P(x) enta˜o Q(x) e
Para todo x, se P(x) enta˜o Q(x)
(1)
onde P (x) e Q(x) sa˜o propriedades referentes a x, sa˜o chamados enunciados condicionais ou
implicac¸o˜es.
Exemplo 1. Dois exemplos de enunciados condicionais:
1. Se x ∈ R e x + x = x enta˜o x = 0.
2. Para todos x, y, z ∈ R, se x · y = z enta˜o x = z · 1/y.
O primeiro enunciado e´ verdadeiro e o segundo e´ falso. Mais adiante voceˆ vai aprender a
justificar estas afirmac¸o˜es.
A maioria das afirmac¸o˜es em Matema´tica tem a forma de uma implicac¸a˜o . As afirmac¸o˜es
verdadeiras que precisam ser provadas (ou seja, que na˜o sa˜o axiomas), sa˜o chamadas Proposic¸o˜es,
Teoremas, Lemas ou Corola´rios .
Em uma implicac¸a˜o identificam-se duas partes: a hipo´tese e a tese. Em (1), a hipo´tese e´
P(x) e a tese e´ Q(x).
Exemplo 2. No enunciado 1 do Exemplo 1.1, a hipo´tese e´ px ∈ R e x + x = xq e a tese e´
px = 0q.
No enunciado 2, a hipo´tese e´ p x, y, z ∈ R e x · y = zq e a tese e´ px = z · 1/yq.
Atenc¸a˜o: Quando se enuncia uma afirmac¸a˜o, como em (1), na˜o se esta´ afirmando que a hipo´tese,
P(x), e´ verdadeira; apenas se afirma que, se P(x) for verdadeira enta˜o Q(x) sera´ verdadeira!
Todas as propriedades importantes envolvendo a adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o podem ser deduzi-
das por meio de racioc´ınios lo´gicos a partir dos axiomas (A), (M) e (D). No que se segue, sa˜o
apresentadas as primeiras te´cnicas para realizar estes racioc´ınios. O primeiro passo e´ aprender
como se raciocina para provar que um enunciado na forma condicional e´ verdadeiro. Mas antes
de mais nada, certifique-se de entender o significado dos enunciados:
Observac¸a˜o: Os exerc´ıcios abaixo teˆm como objetivo recordar resultados e te´cnicas ja´ estudados
anteriormente, principalmente em A´lgebra I.
1. (Recordac¸a˜o de te´cnicas de A´lgebra I) Estude inicialmente as provas realizadas em aula:
(a) Para cada x 6= 0, x ∈ R, existe um u´nico x−1 ∈ R tal que xx−1 = 1.
(b) Para todo x ∈ IR, se x 6= 0 enta˜o (x−1)−1 = x.
(c) Existe um u´nico 1 ∈ R, 1 6= 0, tal que para todo x ∈ R, x1 = x.
(d) Para todos x, y, z ∈ IR, se x 6= 0 e xz = xy enta˜o z = y.
1
2
Prelu´dio 2 Um tipo de racioc´ınio dedutivo que a`s vezes e´ utilizado para se provar que
uma implicac¸a˜o
se P(x) enta˜o Q(x) e´ verdade
e´ o chamado racioc´ınio indireto ou racioc´ınio por absurdo. Procede-se da seguinte forma:
supo˜e-se que P(x) e´ verdadeira e (por absurdo), que Q(x) e´ falsa.
Da´ı, procura-se chegar a uma afirmac¸a˜o que contrarie a hipo´tese, P(x), ou contrarie algum
fato ja´ provado. Como a contradic¸a˜o (ou absurdo) decorreu da suposic¸a˜o de que a tese,
Q(x), era falsa, conclui-se que Q(x) e´ verdadeira. Assim, o que se desejava provar e´ fato.
Este tipo de racioc´ınio e´ bastante utilizado em demonstrac¸o˜es.
Por exemplo, a demonstrac¸a˜o de que na˜o existe um nu´mero racional x satisfazendo (∗),
e´ um exemplo deste tipo de racioc´ınio: para prova´-la, supo˜e-se, por absurdo, que existe
um racional x satisfazendo (∗) e chega-se a uma contradic¸a˜o com relac¸a˜o aos inteiros p e
q escolhidos. Pode-se concluir enta˜o que na˜o existe tal nu´mero racional.
2. Mostre que:
(a) Para todo x ∈ IR, se x 6= 0 enta˜o x−1 6= 0 (sugesta˜o: raciocine por absurdo negando
a tese, ou seja, suponha que x−1 = 0).
(b) Se x, y ∈ IR, x 6= 0 e y 6= 0 enta˜o xy 6= 0. (sugesta˜o: raciocine por absurdo negando
a tese, ou seja, suponha que xy = 0).
(c) Se x, y ∈ IR e xy = 0 enta˜o x = 0 ou y = 0 (sugesta˜o: raciocine por absurdo negando
a tese). 1
(d) Se x, y ∈ IR e x2 = y2 enta˜o x = y ou x = −y. (sugesta˜o: reescreva a hipo´tese de
modo a poder utilizar o item anterior).
(e) Se x, y ∈ R, x 6= 0 e y 6= 0 enta˜o (xy)−1 = x−1y−1.
Notac¸a˜o: Se x, y ∈ IR e x 6= 0, a`s vezes escrevemos 1x em lugar de x−1 e yx em lugar de
y. 1x .
3. Prove que:
(a) Se x, y ∈ R, x 6= 0 e y 6= 0 enta˜o (xy)−1 = x−1y−1.
(b) Se x, y ∈ R, x 6= 0 e y 6= 0 enta˜o
(
x
y
)−1
=
y
x
.
(c) Se a, b, c, d ∈ R, b 6= 0 e d 6= 0 enta˜o ad + bc
bd
=
a
b
+
c
d
e
ac
bd
=
a
b
c
d
.
4. Utilize os axiomas de corpo para mostrar que no conjunto dos nu´meros reais valem as
seguintes propriedades:
(a) Dados a, b ∈ IR, enta˜o x = b + (−a) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o a + x = b e esta soluc¸a˜o e´
u´nica.
(b) Dados a, b ∈ IR, se a 6= 0 enta˜o x = b/a e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o a.x = b e esta soluc¸a˜o
e´ u´nica.
1Observac¸a˜o: Este enunciado e´ chamado a contrapositiva do enunciado anterior e na verdade, decorre dele
pois e´ equivalente a ele. Dois enunciados sa˜o equivalentes quando um e´ verdadeiro se, e somente se, o outro e´
tambe´m verdadeiro. Toda contrapositiva de uma implicac¸a˜o e´ equivalente a` pro´pria implicac¸a˜o. Em s´ımbolos,
pP(x)q⇒Q(x)q ⇔ p∼Q(x)q⇒∼P(x)q. (∼ leˆ-se ”na˜o”). A`s vezes, prova-se a contrapositiva ao inve´s do pro´prio
enunciado.