Exercícios 3 (aplicações integrais definidas em Economia)

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MAT01025 - Lista de Exercícios no. 3 
Aplicações da Integral Definida 
 
1. Determine o valor futuro de um fluxo de renda de $1.000 por ano, depositados em uma conta 
que paga 8% de juros anuais, compostos continuamente, durante um período de 10 anos. 
2. Determine os valores presente e futuro de um fluxo de renda de $3.000 por ano, durante um 
período de 15 anos, supondo uma taxa de juros anual de 6% compostos continuamente. 
3. Determine os valores presente e futuro de um fluxo de renda de $2.000 por ano, durante um 
período de 5 anos, sabendo que a taxa de juros anual contínua é de 8%. 
4. Uma pessoa deposita dinheiro em uma conta de plano de aposentadoria, que paga 7% de 
juros compostos continuamente, a uma taxa de depósitos de R$1.000 por ano durante 20 anos. 
Calcule: 
(a) O saldo na conta ao final dos 20 anos. 
(b) A quantia realmente depositada na conta. 
(c) Os juros ganhos durante os 20 anos. 
5. Desenhe um gráfico, com tempo em anos sobre o eixo horizontal, do que poderia ser um 
fluxo de renda para uma companhia que vende protetor solar no nordeste dos Estados Unidos. 
6. No dia 6 de março de 2007, a agência de notícias Associated Press divulgou que Ed Nabors 
tinha ganhado metade de um prêmio jackpot de $390 milhões, o maior prêmio de loteria da 
história dos EUA. Suponha que lhe fosse dado o direito de escolher entre receber os $195 
milhões parcelados continuamente durante 20 anos, ou receber imediatamente um único 
pagamento global de $120 milhões. 
(a) Qual opção é a melhor, se a taxa de juros anual for de 6% compostos continuamente? E se a 
taxa de juros anual for de 3%? 
(b) Se o Mr. Nabors escolheu a opção de pagamento global imediato, qual suposição ele estaria 
fazendo a respeito das taxas de juros? 
7. (a) Uma conta bancária rende 10% de juros anuais compostos continuamente. A qual taxa 
(constante, contínua) deve um pai depositar dinheiro nesta conta, para poupar $100.000 em 10 
anos, para as futuras despesas de faculdade do seu filho? 
(b) Se o pai decidir depositar de uma única vez uma soma global de modo a atingir seu objetivo 
de acumular $100.000 em 10 anos, quanto ele deve depositar agora? 
8. (a) Se você depositar dinheiro continuamente a uma taxa constante de $1.000 por ano, em 
uma conta bancária que rende 5% de juros anuais, quantos anos levará para que o saldo atinja o 
valor de $10.000? 
(b) Quantos anos levará, se a conta iniciasse com $2.000? 
9. Um associado em um negócio, que lhe deve $3.000, oferece de lhe pagar agora $2.800, ou 
então, de lhe pagar em três prestações anuais de $1.000 cada uma, sendo o primeiro pagamento 
efetuado de imediato. Se você usar apenas razões financeiras para tomar sua decisão, qual opção 
deveria você escolher? Justifique sua resposta, supondo uma taxa de juros de 6% ao ano, 
compostos continuamente. 
10. Big Tree McGee está negociando seu contrato de principiante com uma equipe de 
profissionais de basquete. Eles concordaram em firmar um acordo de três anos, que pagará a 
Big Tree um valor fixo no final de cada um dos três anos, além de um bônus de assinatura no 
início do seu primeiro ano. Eles ainda estão negociando valores e Big Tree deve decidir entre 
receber um grande bônus de assinatura e pagamentos anuais fixos, ou um bônus menor e 
pagamentos aumentando a cada ano. As duas opções estão resumidas na tabela abaixo. Todos os 
valores são pagamentos em milhões de dólares. 
 
 Bônus de 
assinatura 
Daqui a 
 1 ano 
Daqui a 
2 anos 
Daqui a 
3 anos 
Opção no. 1 6,0 2,0 2,0 2,0 
Opção no. 2 1,0 2,0 4,0 6,0 
 
 (a) Big Tree decide investir toda a renda em grupos de ações que ele espera subirem a uma taxa 
de 10% por ano, compostos continuamente. Ele gostaria de escolher a opção de contrato que lhe 
dá o maior valor futuro ao final dos três anos, quando lhe for efetuado último pagamento. Qual 
opção ele deveria escolher? 
(b) Calcule o valor presente de cada oferta de contrato. 
11. As vendas da Versão 6.0, de um pacote de software de computador, iniciam altas e 
decrescem exponencialmente. No instante t, em anos, as vendas são de s(t) = 50e
-t
 mil dólares 
por ano. Passados dois anos, a Versão 7.0 do software é lançada no mercado e substitui a 
Versão 6.0. Supondo que toda a renda das vendas do software seja imediatamente investida em 
títulos do governo, que pagam juros a uma taxa de 6% ao ano, compostos continuamente, 
calcule o valor total de vendas da Versão 6.0 durante o período de dois anos. 
12. O valor de um bom vinho aumenta com a idade. Então, se você for um negociante de 
vinhos, você tem o problema de decidir se vende o seu vinho agora, a um preço de $P a garrafa, 
ou se o vende mais tarde, por um valor mais alto. Suponha que você saiba que o montante que 
um bebedor de vinho estaria disposto a pagar por uma garrafa deste vinho, daqui a t anos, seja 
$P(1 + 20 ). Supondo que a taxa de juros predominante seja de 5% ao ano, e que estes juros 
sejam compostos continuamente, qual é a melhor época para vender o seu vinho? 
13. Uma companhia de petróleo descobriu uma reserva de petróleo de 100 milhões de barris. 
Sendo o tempo t > 0, em anos, o plano de extração da companhia é uma função linear 
decrescente do tempo, como segue: 
q(t) = a – bt, 
onde q(t) é a taxa de extração de petróleo em milhões de barris por ano, no instante t, b = 0,1 e a 
= 10. 
(a) Quanto tempo levará para esgotar a reserva toda? 
(b) O preço do petróleo é constante, $20 por barril, o custo de extração também é constante, $10 
por barril, e a taxa de juros do mercado é de 10% ao ano, compostos continuamente. Qual é o 
valor presente do lucro da companhia? 
 
14. Em 1980, a Alemanha Ocidental fez um empréstimo de 20 bilhões de marcos alemães para a 
União Soviética, para que construíssem um oleoduto para gás natural, conectando a Sibéria à 
Rússia Ocidental, e continuando até a Alemanha Ocidental (Urengoi–Uschgorod–Berlin). 
Suponha que a negociação tenha sido a seguinte: Em 1985, quando o oleoduto estivesse 
completo, a União Soviética forneceria gás natural para a Alemanha Ocidental, a uma taxa 
constante, para todos os tempos futuros. Supondo um preço constante de 0,10 marcos alemães 
por metro cúbico de gás natural, e supondo que a Alemanha Ocidental espere 10% de juros 
anuais no seu investimento (compostos continuamente), a que taxa deve a União Soviética 
fornecer o gás, em bilhões de metros cúbicos por ano? Lembre que o fornecimento de gás só 
poderia iniciar após o oleoduto estar completo. Então, a Alemanha Ocidental só começou a 
receber retorno do seu investimento, depois que se passaram cinco anos. (Observação: Uma 
negociação mais complicada deste tipo foi realmente firmada entre os dois países.) 
15. Em maio de 1991, a revista Car and Driver descreveu um Jaguar que foi vendido por 
$980.000. Naquele preço, apenas 50 carros foram vendidos. Estimava-se que poderiam ter sido 
vendidos 350 carros, se o preço tivesse sido de $560.000. Supondo que a curva de demanda 
fosse uma linha reta, e que $560.000 e 350 fossem, respectivamente, o preço e a quantidade de 
equilíbrio, determine o excedente de consumidor no preço de equilíbrio. 
16. Usando somas de Riemann, explique o significado econômico de 
 
 
 para os 
produtores. 
17. Usando somas de Riemann, dê uma interpretação do excedente de produtor, 
 
 
 
 , análogo à interpretação do excedente de consumidor. 
18. Desenhe um gráfico com as curvas oferta p = S(q) e procura (ou demanda) p = D(q), em um 
sistema de eixos tendo o preço unitário p no eixo vertical e o número de unidades q no eixo 
horizontal, e nesse gráfico marque as regiões que representam as seguintes quantidades e 
explique seu significado
econômico: 
(a) p*q*; (b) 
 
 
; (c) 
 
 
; (d) 
 
 
 ; 
(e) 
 
 
; (f) 
 
 
 
19. A indústria de lacticínios é um exemplo de fixação de preços por cartel: o governo 
estabeleceu preços artificialmente altos para o leite. Em um gráfico de oferta e procura, 
identifique por p
+
, um preço acima do preço de equilíbrio. Usando o gráfico, descreva o efeito 
de forçar o preço até o valor de p
+
, sobre: 
(a) O excedente de consumidor. 
(b) O excedente de produtor. 
(c) Os ganhos totais do negócio (Excedente de consumidor + Excedente de produtor). 
20. Controles de aluguéis de apartamentos é um exemplo de controle de preço sobre uma 
mercadoria. O preço é mantido artificialmente baixo (abaixo do preço de equilíbrio). Esboce um 
gráfico de curvas de oferta e procura, e nele identifique por p
–
, um preço abaixo do preço de 
equilíbrio. Qual é o efeito de forçar o preço para baixo, até p
–
, sobre: 
(a) O excedente de produtor? 
(b) O excedente de consumidor? 
(c) Os ganhos totais do negócio (Excedente de consumidor + Excedente de produtor)? 
MAT01025 – Respostas da Lista de Exercícios no. 3 
 
Aplicações da Integral Definida 
 
1. 15.319,26 dólares 
2. Valor presente = 29.671,52 dólares; Valor futuro = 72.980,16 dólares 
3. Valor presente = 8.242 dólares; Valor futuro = 12.296 dólares 
4. (a) 43.645,71 reais; (b) 20.000 reais; (c) 23.645,71 reais 
6. (a) Se a taxa for de 6% ao ano, compostos continuamente, é melhor receber um único 
pagamento global agora, de 120 milhões de dólares; 
se a taxa for de 3% ao ano, compostos continuamente, é melhor receber os 195 milhões de 
dólares parcelados continuamente durante 20 anos. 
(b) Taxa maior que 5,3% ao ano, compostos continuamente. 
7. (a) Taxa de depósitos = 5.819,77 dólares/ano, depositados continuamente durante 10 anos. 
(b) 36.787,94 dólares. 
8. (a) 8,11 anos. (b) 6,20 anos. 
9. É melhor receber em prestações. 
10. (a) Opção 1. (b) Opção 1. 
11. Valor futuro = 46.800 dólares; valor presente = 41.509 dólares. 
12. Daqui a 9,84 anos. 
13. (a) 10,6 anos. (b) 624,9 milhões de dólares. 
14. 165 bilhões de m
3
/ano. 
15. 85.750.000 dólares. 
19. (a) Diminui. (b) Nada se pode dizer. (c) Diminui. 
20. (a) Diminui. (b) Nada se pode dizer. (c) Diminui.