Aula_002_Diagramas de Venn e operações

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Conjunto universo
Diagramas de Venn 
Operações e propriedades
Identidades básicas
Aula 2 : Diagramas de Venn e operações 
Conteúdo:
2.1Conjuntos
2.2Conjuntos: Diagramas de Venn e operações 
Introdução
N
D = { x ∈ | x ≥ 5 } 
N
A = { x ∈ | x2 = 36 } 
Outra notação:
Exemplos:
N
D = { x | x ∈ e x ≥ 5 } 
N
A = { x | x ∈ e x2 = 36 } 
= { 5, 6, 7, ... } 
= { 6 } 
2.3Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Conjunto universo:
Definição
O conjunto universo, U, é aquele que contém 
todos os conjuntos que estão sendo considerados 
em um dado contexto.
Notação:
A = { x ∈ U | P(x) }
 está tal que x verifica P(x) 
 constituído 
o conjunto A pelos elementos x 
pertencentes ao 
conjunto U (universo)
2.4Conjuntos
Referência Histórica: matemático inglês 
John Venn (Século XIX). 
Característica: representação visual de 
conjuntos, suas operações e relações.
Diagramas de Venn:
2.5Conjuntos: Diagramas de Venn
Representação visual 
O conjunto universo U é representado por 
um retângulo e os subconjuntos próprios 
por regiões circulares dentro do retângulo.
A ⊂ UA
U
2.6Conjuntos: Diagramas de Venn
Exemplo:
B ⊂ A ⊂ U 
U
A B
U = N
(x ≥ 10 e x ≤ 100)A = { x ∈ | 10 ≤ x ≤ 100 } 
N
B = { x ∈ | 15 ≤ x ≤ 50 } 
N
2.7Conjuntos
União
Interseção
Diferença
Complemento
Vamos definir as operações:
Operações e propriedades:
2.8Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
BA
Sejam A e B subconjuntos de U.
A união de A e B que denotamos por A ∪ B é 
o conjunto formado por todos os elementos 
que pertencem a A ou que pertencem a B.
A ∪ B = { x ∈ U | x ∈ A ou x ∈ B }
A B
Definição de união:
VoltarUnião
U
2.9Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
2
3
4
A 1
8
9
B
7
5
6
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A ∪ B = { x ∈ U | x ∈ A ou x ∈ B }
B = { 5, 6, 7, 8, 9 }
A ∪ B =
Exemplo 1:
 { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
Voltar
5
6
2
3
4
A 1
8
9
B
7
5
6
5
6
União
U
Propriedade:
A ⊆ A ∪ B e B ⊆ A ∪ B 
2.10Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
x
yz
w
v
X Y
X = { x, y, z }
Y = { w, v }
X ∪ Y = 
União
 { x, y, z, w, v }
Exemplo 2:
Voltar
x
yz
w
v
X Y
U
2.11Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Z = { x ∈ U | altura de x ≥ 1,75 }
W = { x ∈ U | altura de x ≥ 1,90 }
Z ∪ W = 
U
União
ZZ WZ W
Exemplo 3:
U = conjunto das pessoas
(W ⊆ Z)
Voltar
2.12Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Propriedade:
Observação:
 A ∪ A = A
 A ∪ ∅ = A
Seja A ⊆ U , temos:
A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B 
se e somente se 
(equivalente)
A ⊆ B ⇑ A ∪ B = B
e
A ⊆ B 
⇑
A ∪ B = B
então
2.13Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Definição de interseção:
Sejam A e B subconjuntos de U.
A ∩ B = { x ∈ U | x ∈ A e x ∈ B }
Voltar
BA
U
 ∩
A interseção de A e B que denotamos por A ∩ B 
é o conjunto formado por todos os elementos 
que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.
2.14Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
2
3
4
A 1
8
9
B
7
5
6
A ∩ B = { x ∈ U | x ∈ A e x ∈ B }
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
B = { 5, 6, 7, 8, 9 }
A ∩ B = { 5, 6 }
Exemplo 1:
Voltar ∩
U
8
9
B
7
2
3
4
A 1
5
6
Propriedade:
A ∩ B ⊆ A e A ∩ B ⊆ B 
2.15Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
X = { x, y, z }
Y = { w, v }
Exemplo 2: 
X ∩ Y = 
U
 ∩
 ∅x
yz
w
v
X Y
Voltar
Quando X ∩ Y = ∅ os conjuntos X e Y são ditos 
disjuntos.
2.16Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Exemplo 3: 
Z = { x ∈ U | altura de x ≥ 1,75 }
W = { x ∈ U | altura de x ≥ 1,90 }
U = conjunto das pessoas
(W ⊆ Z)
Z W Z ∩ W = 
U
W
 ∩
Z W
Voltar
2.17Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Propriedade:
A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A 
Seja A ⊆ U, temos:
Observação:
A ∩ A = A
A ∩ ∅ = ∅
2.18Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
BA
A − B = 
U
{ x ∈ U | x ∈ A e x ∉ B }
A B
Definição de diferença:
Sejam A e B subconjuntos de U.
VoltarDiferença
A diferença entre A e B que denotamos por A − B 
é o conjunto formado por todos os elementos que 
estão em A mas não estão em B.
2.19Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
2
3
4
A 1
5
6
5
6
8
9
B
76
5
A − B = { x ∈ U | x ∈ A e x ∉ B }
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } B = { 5, 6, 7, 8, 9 }
U
Exemplo 1: 
B − A = 
U
{ 7, 8, 9 }
B − A = { x ∈ U | x ∈ B e x ∉ A }
 A - B Voltar
Voltar B - A
2
3
4
A 1
8
9
B
7
5
6
5
66
5
2
3
4
A 1
8
9
7
B
5
6
5
66
5
A − B = { 1, 2, 3, 4 }
2.20Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Propriedade:
A − B ⊆ A e B − A ⊆ B 
X = { x, y, z } Y = { w, v }
X − Y = X
X
x
z y
Y
w
v
x
yz
Exemplo 2: 
U
Voltar
Y − X = 
X
x
yz
Y
w
v
U
w
v
Y
Diferença
2.21Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Z
W
Z − W = 
U
{ x ∈ U | 1,75 m ≤ altura de x < 1,90 m } 
Exemplo 3: 
Faça W − Z
Resposta W − Z = ∅
Z = { x ∈ U | altura de x ≥ 1,75 }
W = { x ∈ U | altura de x ≥ 1,90 }
U = conjunto das pessoas
Voltar Z - W W
Z
2.22Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Propriedade:
A ⊆ B ⇔ A − B = ∅
Observação:
A − A = ∅
A − ∅ = A
 Seja A ⊆ U, temos:
2.23Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Sejam o conjunto universo U e o conjunto A ⊆ U.
O complemento de A que denotamos por A
_
 é o
conjunto formado por todos os elementos de U
que não estão em A.
Isto é, A
_
 = U − A 
Definição de complemento:
 A
_
 A
_
 = { x ∈ U | x ∉ A }
Voltar
U
A
U
A
Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Exemplos: 
A = { x ∈ | x ≤ 50 } 
N
(conjunto dos números naturais)1. U = N
NA
_
 = − A = { x ∈ | x > 50 } 
N
2.24
A = { x ∈ | x > 2 } = { 3, 4, 5, ... } 
Z
U = Z2.
A
_
 = { x ∈ | x ≤ 2 } = { 2, 1, 0, -1, -2, ... } 
Z
3. U = N
A = { x ∈ | x > 2 } = { 3, 4, 5, ... } 
N
A
_
 = { x ∈ | x ≤ 2 } = { 1, 2 } 
N
2.25Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Observações:
A − B = A ∩ B
_
 
B − A = B ∩ A
_
 
U
_
 = ∅ (U
_
 = U − U )
∅
_
 = U (∅
_
 = U − ∅ )
A ∪ A
_
 = U
A ∩ A
_
 = ∅
2.26Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Identidades básicas: 
Associatividade
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C3.
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C4.
Comutatividade
A ∪ B = B ∪ A1.
A ∩ B = B ∩ A2.
2.27Conjuntos: Diagramas de Venn / Identidades básicas
Distributividade A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)5.
∩ =
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
U
A B
C
A ∪ C
U
A B
C
A ∪ B
U
A B
C
∪ =
A B ∩ C A ∪ (B ∩ C)
U
A B
C
U
A B
C
U
A B
C
2.28Conjuntos: Diagramas de Venn / Identidades básicas
Distributividade A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)6.
∩ =
A
U
A B
C
A ∩ (B ∪ C)
U
A B
C
B ∪ C
U
A B
C
∪ =
A ∩ B
U
A B
C
A ∩ C
U
A B
C
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
U
A B
C
2.29
Leis de Morgan 7. (A ∪ B) = A
_
 ∩ B
_
 
 _____
=>
U A ∪ B
BA
U A ∪ B
______
BA
 (A ∪ B) = U - (A ∪ B)
 ______
∩ =
U A
_
BA
A
_
 = U - A B
_
 = U
- B
U B
_
A B
 A
_
 ∩ B
_
 
U A
_
 ∩ B
_
BA
Conjuntos: Diagramas de Venn / Identidades básicas
8. (A ∩ B) = A
_
 ∪ B
______
Leis de Morgan
=>
U A ∩ B
BA
U
BA
A ∩ B
______
(A ∩ B) = U - (A ∩ B) 
______
2.30Conjuntos: Diagramas de Venn / Identidades básicas
∪ =
U
BA
A
_
 ∪ B
_
 A
_
 ∪ B
_
 
U B
_
A B
 B
_
 = U - B
U
BA
 A 
_
= U - A
2.31Conjuntos: Diagramas de Venn / Identidades básicas
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
ou seja,
e
(1) A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 
(2) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C) 
Prova formal da identidade 5:
2.32Conjuntos: Diagramas de Venn / Identidades básicas
(x ∈ A ou x ∈ B) e (x ∈ A ou x ∈ C) 
x ∈ (A ∪ B) e x ∈ (A ∪ C) 
x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 
x ∈ A ou x ∈ (B ∩ C) x ∈ A ∪ (B ∩ C) 
x ∈ A ou (x ∈ B e x ∈ C) 
=>
=
>
=
>
=
>
=
>
 1 2 Voltar
Prova de (1) : 
Dado x ∈ A ∪ (B ∩ C), mostraremos que 
 x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) :
 
Faça você a prova de 2. 
Prova de (2): 
2.33Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Conceitos
- Conjunto universo
Notação
U
Resumo: 
- Operações com conjuntos:
União
Interseção
Diferença
Complemento
- Conjuntos disjuntos
A ∪ B
A ∩ B
A
_
(A ∩ B = ∅)
Diagramas de Venn
U
A
U
A B
U
A B
U
A B
U
A B
U
A
U
A B
A − B
B − A
2.34Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Resumo: 
Propriedades
- A ⊆ A ∪ B , B ⊆ A ∪ B 
- A ∩ B ⊆ A , A ∩ B ⊆ B
- A − B ⊆ A , B − A ⊆ B
- A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B 
- A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A
- A ⊆ B ⇔ A − B = ∅
- A ∩ B = ∅ ⇔ A − B = A
- A ∩ B = ∅ ⇔ B − A = B
2.35Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Resumo: 
Identidades Básicas:
(A ∩ B) = A
_
 ∪ B
______
- Leis de Morgan: (A ∪ B) = A
_
 ∩ B
_
 
_____
- Distributividade: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
 
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
- Associatividade: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C 
 (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C
- Comutatividade: A ∪ B = B ∪ A
 A ∩ B = B ∩ A
2.36Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Observações:
- A ∪ A = A - A ∩ A = A
- A ∪ A
_
 = U 
- A ∩ ∅ = ∅ 
- A ∩ A
_
 = ∅ 
- U
 _
 = ∅ - ∅
_
 = U 
- A − ∅ = A - A − B = A ∩ B
_
 , B - A = B ∩ A
_
- A ∪ ∅ = A 
Resumo: 
2.37Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
Determine os seguintes conjuntos:
1. Sejam U = { 0, 1, 2, 3, 4 } , A = { 0, 4 } , B = { 0, 1, 2, 3 } , 
 C = { 1, 4 }, D = { 0, 1 }. 
Exercícios 
a. A ∪ B
b. B ∩ C
c. A ∩ B
_
d. A ∪ (B ∩ C)
e. (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) j. A ∪ (B ∩ C ∩ D)
g. A ∪ B
_
h. A − B
i. B − A
_
f. (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
_____ _____
2.38Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
2. Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. 
 Represente por meio de diagramas de Venn as seguintes situações.
(i) A ⊂ B ⊂ C
(ii) A ∩ B = ∅ , A ∩ C = ∅ , B ∩ C = ∅
(iii) A ⊆ B ∪ C 
(iv) A ⊆ B
_
 
(v) A ⊆ B − C 
2.39Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
3. Verifique, usando os diagramas de Venn as seguintes
 igualdades:
(i) (A − B) ∪ B = A ∪ B 
(iii) (A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B)
(ii) (A − B) ∩ B = ∅ 
(iv) A − B = A ∩ B
_
(vi) A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C)
(v) ( A
_
 ) = A 
_
2.40Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
verifique que C ∩ D = E.
6. Dados os conjuntos C = { x ∈ | x é múltiplo de 2 } ,
N
D = { x ∈ | x é múltiplo de 3 } ,
N
E = { x ∈ | x é múltiplo de 6 } , 
N
4. Mostre que 
A ⊆ B e A ⊆ C => A ⊆ B ∪ C 
5. Mostre que 
B
_
 ⊆ A
_
 ⇔A ⊆ B
2.41Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
8. Dado C = { 2, −1, 5 }, considere o conjunto universo
 sendo o conjunto de partes de C, U = P(C). Calcule:
(i) A
_
(ii) A ∩ B
para A = { {2, −1} , {2} } , B = { {5} , {2, −1, 5} , {−1, 2} }.
B = { x ∈ | 1 ≤ 3x − 2 ≤ 30 } . Calcule: N
7. Considere A = { x ∈ | 5 ≤ x2 ≤ 300 } ,N
(i) A ∪ B (ii) A ∩ B
(iii) A − B (iv) B − A
(v) A
_
 ∩ B
_
(vi) A
_
 ∪ B
_
2.42Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
9. Use a propriedade distributiva da interseção em
 relação a união de conjuntos para provar que 
 (A ∩ D) ∪ D
_
 = A ∪ D
_
 . Verifique a igualdade usando o 
 diagrama de Venn.
10. Prove que A − (B − C) = (A − B) ∪ (A ∩ C).
 Dica: a igualdade A − B = A ∩ B
_
 (vista no exercício 
 2 (iv) ), uma propriedade distributiva de conjuntos e 
 uma das leis de Morgan.
2.43Conjuntos: Diagramas de Venn e operações
(i) A = B
(ii) A
_
 ≠ B
_
11. Dados os seguintes conjuntos:
A = { x ∈ | 0 ≤ x ≤ 7 } , B = { x ∈ | 0 ≤ x ≤ 7 }
Verifique que:
Z N