Aula 05 - Funções Trigonométricas

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Aulas 02– Funções Trigonométricas 
Estudo das funções seno, 
cosseno, tangente, cotangente, 
secante e cossecante. 
Ciclo trigonométrico 
É um ciclo no sentido anti-horário (positivo)
AOrigem: 
1medida do raio 

1ºQ2ºQ
3ºQ 4ºQ
A
B
B
A
(1,0)A
(0,1)B
( 1,0)A 
(0, 1)B 
Ângulos (sentido positivo) 
A
B
B
A
2


 
3
2


2
Ângulos (sentido negativo) 
A
B
B
A
3
2

 
 
2

 
2 
Funções trigonométricas 
A
B
B
A

OB - eixo dos senos
O
OA - eixo dos cossenos
AC - eixo das tangentes
BC - eixo das cotangentes
sen( ) OD 
cos( ) OE 
tg( ) OF 
cotg( ) BG 
E
D
C G
FP
Função seno 
A
B
B
A

O
P
sen( )
sen(0) 0
sen 1
2


sen 0 
3
sen 1
2

 
sen2 0 
A
B
B
A
O


Propriedades do sen() 
1) (função limitada) 
 
2) crescente. 
 
 
3) decrescente. 
 
 
4) crescente. 
 
 
5) A Função é periódica 
 
 
6) 
1 sen 1  
0 sen
2
   
3
sen
2 2
    
3
sen
2
     
( )D f  R
Gráfico de sen() 
2

2


0
 3
2
3
2


2 2
1
1
Função cosseno 
A
B
B
A

O
P
cos( )
cos(0) 1
cos 0
2


cos 1  
3
cos 0
2


cos2 1 
A
B
B
A
O




Propriedades do cos() 
1) (função limitada) 
 
2) decrescente. 
 
 
3) crescente. 
 
 
4) A Função é periódica 
 
 
5) 
1 cos 1  
0 cos    
2 cos     
( )D f  R
Gráfico de cos() 
2

2


0
 3
2
3
2


2 2
1
1
Função Tangente 
A
B
B
A

O
P
tg( )
tg(0) 0
tg
2

 
tg 0 
3
tg
2

 
tg2 0 
A
B
B
A
O




Propriedades da tg() 
1) (função ilimitada) 
 
2) Monótona crescente em todo seu 
domínio. 
 
3) A Função é periódica. 
 
 
4) 
Im( )f  R
( ) / ;
2
D f x x k k
       
 
ZR
Gráfico da tg() 
2

2


0
 3
2
3
2


2 2
1
1
Função Cotangente 
A
B
B
A

O
P
cotg( )
cotg(0)  
cotg 0
2


cotg  
3
cotg 0
2


cotg2  
A
B
B
A
O




Propriedades da cotg() 
1) (função ilimitada) 
 
2) Monótona decrescente em todo seu 
domínio. 
 
3) A Função é periódica. 
 
 
4) 
Im( )f  R
 ( ) / ;D f x x k k   ZR
Gráfico de cotg() 
2

2


0
 3
2
3
2


2 2
1
1
Funções Secante e Cossecante 
cossec( )
A
B
B
A
O




A
B
B
A

O
P
sec( )
A
B
B
A
O

 
sec( )
cossec( )
Funções Secante e Cossecante 
cossec( )
A
B
B
A

O
P
sec( )
sec0 1
sec
2

 
sec 1  
3
sec
2

 
sec2 1 
cossec0  
cossec 1
2


cossec  
3
cossec 1
2

 
cossec2  
Prop. da Secante e Cossecante 
1) e 
 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
3) Ambas são periódicas. 
 
 sec / ;
2
D x x k k
       
 
R Z
   cossec / ;D x x k k   R Z
 Im(sec) Im(cossec) 1,1   R-
Gráfico da sec() 
2

2


0
 3
2
3
2


2 2
1
1
Gráfico da cossec() 
2

2


0
 3
2
3
2


2 2
1
1
Relações fundamentais (1) 
O E
P

sen
cos
1
2 21) sen cos 1  
A
B

O E
D
C G
FP
S
R


Relações fundamentais (2) 
O A
F

tg
1
O E
P

sen
cos
1
2 21) sen cos 1  
sen cos
tg 1
 

 sen2) tg
cos



 
A
B

O E
D
C G
FP
S
R


Relações fundamentais (3) 
G B
O

cotg
1
O E
P

sen
cos
1
sen cos
1 cotg
 

 cos3) cotg
sen


 
A
B

O E
D
C G
FP
S
R


Relações fundamentais (4) 
1 cos
sec 1



1
4) sec
cos


 
A
B

O E
D
C G
FP
S
R


P
R

sec
1
E
P

sen
cos
1
O
O
Relações fundamentais (5) 
sen 1
1 cossec



1
5) cossec
sen


 
A
B

O E
D
C G
FP
S
R


P
O

cossec
1
E
P

sen
cos
1
S
O
Relações fundamentais (6 e 7) 
2 2sen cos 1  
2 2
2 2
sen cos 1
cos cos
 
 

 
2 2tg 1 sec    2 26) sec tg 1   
2 2sen cos 1  
2 2
2 2
sen cos 1
sen sen
 
 

 
2 21 cotg cossec    2 27) cossec cotg 1   
Outras relações 
8) sen( ) sen cos sen cosa b a b b a    
9) sen( ) sen cos sen cosa b a b b a    
10) cos( ) cos cos sen sena b a b b a    
11) cos( ) cos cos sen sena b a b b a    
2 213) cos(2 ) cos sena a a 
Trigonometria em triângulos 
A

B
P
E
C
A
C

b
E
P

sen
cos
1
B
O
a
c
sen 1
b a

 sen
b
a
   cat. oposto
hipotenusa
cos 1
c a

 cos
c
a
   cat. adjacente
hipotenusasen
tg
cos
b
a
c
a



 
tg
b
c
   cat. oposto
cat. adjacente
sen e cos de 30º e 60º 
h
60º
30º
A
C B
2
aH
a a
2
2 2
2
a
a h
 
  
 
2 2
2 2 3
4 4
a a
h a   
3
2
a
h 
12sen30º
2
a
a
 
3
32cos30º
2
a
a
 
3
32sen60º
2
a
a
 
12cos60º
2
a
a
 
sen e cos de 45º 
45º
45º
C
A B
b
a
b
2 2 2a b b 
2
22
a a
b  
2
22sen45º
2
a
a
 
2
22cos45º
2
a
a
 
Tabela 
Grau Rad sen cos tg cotg sec cossec 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6
 1
2
3
2
3
3
3
2 3
3
230
45
60
90
180
270
360
4
 2
2
2
2
1 1 2 2
3
 3
2
1
2
3
3
3
2
2 3
3
2

1 0
0 0 0 01 1
 0  1
 0 1 0  1 
3
2

1 0  0  1
2  0 01 1
Exemplo 
Determine o valor de x: 
a) b) 
C
sen30º
50
x

30º
x
50
45º
x
50
25x 
tan45º
50
x

50x 