Calcule \(\operatorname{sen} x\) e \(\cos x\), sabendo que \(3 \cdot \cos x+\operatorname{sen} x=-1\).

Para resolver a equação \(3 \cdot \cos x + \sin x = -1\), podemos expressar \(\sin x\) em termos de \(\cos x\): 1. Isolando \(\sin x\): \[ \sin x = -1 - 3 \cdot \cos x \] 2. Sabemos que \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Substituindo \(\sin x\): \[ (-1 - 3 \cdot \cos x)^2 + \cos^2 x = 1 \] 3. Expandindo a equação: \[ (1 + 6 \cdot \cos x + 9 \cdot \cos^2 x) + \cos^2 x = 1 \] \[ 10 \cdot \cos^2 x + 6 \cdot \cos x + 1 - 1 = 0 \] \[ 10 \cdot \cos^2 x + 6 \cdot \cos x = 0 \] 4. Fatorando: \[ 2 \cdot \cos x (5 \cdot \cos x + 3) = 0 \] 5. As soluções são: \[ \cos x = 0 \quad \text{ou} \quad 5 \cdot \cos x + 3 = 0 \] \[ \cos x = -\frac{3}{5} \] 6. Para \(\cos x = 0\), temos \(\sin x = -1\) (não é uma solução válida para a equação original). 7. Agora, substituindo \(\cos x = -\frac{3}{5}\) na equação de \(\sin x\): \[ \sin x = -1 - 3 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \] \[ \sin x = -1 + \frac{9}{5} = \frac{4}{5} \] Portanto, as soluções são: \[ \sin x = \frac{4}{5} \quad \text{e} \quad \cos x = -\frac{3}{5} \]