Resumo I Unidade - Sistemas

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Resumo de Álgera Linear I unidade 
 
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I. Sistemas Lineares: 
A ideia nessa unidade é aprender a resolver sistemas de equações lineares de um jeito 
diferente daquele aprendido no ensino médio. Esse novo método, chamado de Escalonamento, 
geralmente é mais rápido além de possibilitar estudar as possíveis soluções. 
Nesse método, fazemos uso de duas matrizes que montamos a partir do sistema dado, a 
chamada matriz dos coeficientes e a matriz ampliada. 
 
 
 
 
 
 Essa é a forma usual de se representar um sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Essa é a forma matricial de se representar um sistema, onde 
a primeira matriz corresponde aos coeficientes das equações (daí o nome Matriz dos 
Coeficientes), a segunda é a matriz das incógnitas e a última é a matriz dos resultados. A 
Matriz Ampliada é a Matriz dos Coeficientes adicionada da coluna dos resultados no fim. 
 
 
 
 
 
 Matriz dos Coeficientes; 
 
 
 
 
 
 Matriz Ampliada. 
Ex.: Dado o sistema abaixo, monte a Matriz dos Coeficientes e a Matriz Ampliada: 
 
 
 
 
 
Mas: 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
A Matriz dos Coeficientes fica: 
 
 
 
 
 
Enquanto a Matriz Ampliada fica: 
 
 
 
 
 
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I.a. Escalonamento: 
 O método do escalonamento consiste em fazer operações elementares entre as linhas 
(que correspondem a uma equação cada) de modo a tentar reduzir a matriz à Forma Escada. 
As três operações elementares são: 
a) Multiplicar uma linha por um escalar; 
b) Somar (subtrair) uma linha pela outra; 
c) Substituir (trocar de lugar) duas linhas. 
 
Para a matriz ser considerada na forma escada ela deve obedecer 4 condições: 
 
1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula deve ser 1; 
2) A coluna que contém o primeiro elemento não nulo de uma linha, tem os demais iguais a 
zero; 
3) Toda linha nula ocorre abaixo das linhas não nulas; 
4) Todo elemento não nulo está em uma coluna maior em relação ao elemento não nulo da 
anterior. 
Ex.: 
 
 
 
 
 , 
 
 
 
 , 
 
 
 
 Estão reduzidas à forma escada. 
 
 
 
 
 , 
 
 
 
 , 
 
 
 
 , 
 
 
 
 Não estão reduzidas à forma 
escada pois desrespeitam as condições 2, 3, 1 e 4 respectivamente. 
 
Ex.: Reduzir a Matriz Ampliada do exemplo anterior à forma escada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Dizemos que uma matriz é linha equivalente a outra quando é obtida a partir da segunda 
através de um número finito de operações elementares. 
 
Ex.: A matriz 
 
 
 
 é linha equivalente da matriz 
 
 
 
 . 
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I.b. Matriz: 
POSTO: O posto de uma matriz é, por definição, o número de linhas não nulas que a matriz 
linha equivalente reduzida à forma escada possui. 
Nominando, temos: 
 Posto da Matriz dos Coeficientes; 
 Posto da Matriz Ampliada; 
 Número de Colunas da matriz; 
 Número de incógnitas do sistema (número de colunas da Matriz dos Coeficientes). 
NULIDADE: A nulidade (N) de uma matriz X é a diferença entre o número de colunas e o posto 
dessa matriz. 
 . 
I.c. Tipos de soluções de um sistema: 
 O sistema pode ser classificado de 3 formas: 
I. Sistema Incompatível: Quando . Nesse caso não há solução para o sistema; 
II. Sistema Compatível Determinado: Quando . Nesse caso, o sistema possui 
uma única solução, onde podemos determinar através do escalonamento; 
III. Sistema Compatível Indeterminado: Quando . Nesse caso, o sistema possui 
infinitas soluções, onde podemos dar o conjunto solução parametrizando alguma(s) das 
incógnitas. Obs.: Nesse caso falamos de Grau de liberdade do Sistema que é a diferença do 
número de incógnitas pelo posto das matrizes (corresponde ao número de incógnitas que 
temos que parametrizar): . 
 
Ex.: Dê o conjunto solução (quando possível) dos sistemas abaixo: (Feito com passo-a-passo) 
I. 
 
 
 
II. 
a) Primeira coisa a fazer é montar a Matriz Ampliada: 
 
 
 
 
 
b) Segunda coisa é achar a matriz linha equivalente reduzida à forma escada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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c) Analisar os postos das matrizes e o número de incógnitas do sistema: 
 ; 
 ; 
 . 
  Sistema Incompatível. 
 
II. 
 
 
 
 
a) Primeira coisa a fazer é montar a Matriz Ampliada: 
 
 
 
 
 
b) Segunda coisa é achar a matriz linha equivalente reduzida à forma escada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Analisar os postos das matrizes e o número de incógnitas do sistema: 
 ; 
 ; 
 . 
  Sistema Compatível Determinado. Solução 
 
 
 
 . 
III. 
 
 
 
 
a) Primeira coisa a fazer é montar a Matriz Ampliada: 
 
 
 
 
 
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b) Segunda coisa é achar a matriz linha equivalente reduzida à forma escada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Analisar os postos das matrizes e o número de incógnitas do sistema: 
 ; 
 ; 
 . 
  Sistema Compatível Indeterminado. 
d) Parametrizar a(s) incógnita(s) em comum nas linhas: 
A incógnita z aparece nas duas linhas, então fazemos: 
 ; 
 ; 
 . 
 
 
 
 
 
O Grau de Liberdade é (número de parâmetros).