Vetores Apostila Perguntas e Respostas

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By Lucien Silvano Alhanati
Alfa Virtual School - Matemática
Vetores VET
Conceitos básicos VET01
Definições VET0101
O que é um vetor ? VET010101
	É o ente matemático que corresponde a todas as grandezas às quais estão associadas as noções de quantidade e orientação.
Exemplo:
Quando queremos caracterizar a velocidade de um vento temos que conhecer o seu valor e a sua orientação, isto é a direção e o sentido. Diríamos que uma cidade foi castigada por um vento de 120 km/h proveniente do Sul. A velocidade é portanto uma grandeza vetorial e pode ser representada matematicamente por um vetor.
Quais são os elementos de um vetor ? VET010102
	São o módulo, a direção e o sentido. O módulo exprime a quantidade. A direção indica a orientação do vetor no espaço. O sentido é a orientação do vetor em sua direção.
Exemplo:
Quando informamos que um vento sul possui uma velocidade de 120 km/h queremos indicar que o vetor velocidade tem:
módulo de 120 km/h
direção norte-sul
sentido do sul para o norte
Como podemos representar um vetor ? VET010103
	Um vetor pode ser representado de várias maneiras:
1) Por um segmento de reta orientado ou seja por uma seta. Na figura o comprimento da seta representa o módulo do vetor, a direção é a orientação da seta no espaço e o sentido é OA.
2) Por um par de pontos orientado, vetor (O;A).
	São ainda muito usadas as notações abaixo
	notação
	vetor
	módulo do vetor
	3
	
	
	4
	
	
	5
	a (negrito)
	a (itálico) ou a (normal)
	Observações importantes:
As notações (3) e (4) são mais usadas em textos manuscritos.
A notação (5) é muito usada em textos impressos e será usada nas Escolas Virtuais
Dois vetores paralelos possuem a mesma direção ?  VET010104
	Sim, uma vez que possuem a mesma orientação no espaço.
Os três vetores da figura possuem a mesma direção, OA e O'A' possuem o mesmo sentido que é contrário ao sentido de O"A".
Quando é que dois vetores são iguais ? VET010105
	Dois vetores são iguais quando possuem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido.
Se os módulos a e b dos vetores da figura forem iguais então os vetores a e b são iguais.
Se a = b então a = b
O que é um vetor negativo ? VET010106
	Um vetor O'A' é o negativo do vetor OA quando forem de sentidos contrários e de mesmo módulo e direção.
O que é um vetor unitário ? VET010107
	O vetor unitário u do vetor a é um vetor que possui a mesma direção e sentido de a e cujo módulo é 1.
O vetor unitário u representa de uma forma concisa a orientação (direção e sentido) do vetor a.
Como representar um vetor em função do seu unitário ? VET010108
	Seja um vetor a cujo unitário é u e cujo módulo é a, podemos escrever a = a u.
Exemplo:
Seja um vetor a de unitário u, cujo módulo é 3, podemos escrever a = 3 u
O que é um vetor recíproco ? VET010109
	O vetor paralelo a a cujo módulo é o recíproco (inverso) do módulo de a é denominado de vetor recíproco de a.
Seja a1 o vetor unitário da direção de a >>> a = a a1 onde a é o módulo do vetor a.
 
 
vetores
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Vetores VET
Composição e decomposição VET02
Adição VET0201
Como podemos somar graficamente dois vetores ? VET020101
	Considere dois vetores a e b. Para soma-los graficamente existem dois procedimentos:
	1) Construímos um paralelogramo cujos lados são os vetores a e b.
O vetor soma corresponderá à diagonal do paralelogramo
	
	2) Desenhamos o vetor a a partir de um ponto P qualquer, em seguida desenhamos o vetor b a partir da extremidade do vetor a. 
O vetor soma S será obtido unindo a origem de a à extremidade de b
	
Como podemos somar graficamente vários vetores ? VET020102
	Para somar graficamente vários vetores desenhamos o primeiro à partir de um ponto P qualquer e a seguir desenhamos cada vetor a partir da extremidade do anterior.
O vetor soma S será obtido unindo-se a origem do primeiro à extremidade do último.
	
O que é compor vetores ? VET020103
	É o mesmo que somar vetores.
Os vetores parcelas são chamados de componentes do vetor soma.
Como na figura o vetor c é igual à soma  a + b, dizemos que a e b são componentes de c.
	
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Vetores VET
Composição e decomposição VET02
Subtração VET0202
Como podemos subtrair graficamente dois vetores ? VET020201
	Considere os vetores a e b da figura. Vamos determinar o vetor diferença D = b - a.
Quando calculamos a diferença entre duas quantidades, procuramos uma terceira que somada à segunda nos dá a primeira.
Exemplo:
5 - 3 = 2 porque 2 somado à 3 nos dá 5.
	
	Conseqüentemente se b - a = D então D + a = b
Na figura procuramos o vetor D que somado ao a nos dá o b.
	
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Vetores VET
Composição e decomposição VET02
Componentes de um vetor VET0203
O que é a componente de um vetor segundo uma direção ? VET020301
	Considere o vetor a e a reta R mostrados na figura.
A componente do vetor a na direção da reta R é o vetor ar , projeção do vetor a sobre R.
Como calcular a componente de um vetor a na direção de um eixo OX ? VET020302
	A componente ax na direção do eixo OX é um vetor cuja direção é a do vetor i unitário do eixo OX e cujo módulo é ax = a cos .
Logo ax = ax i >>> ax = a cos  i
O que são componentes ortogonais ou cartesianas de um vetor ? VET020303
	São as componentes do vetor na direção de eixos coordenados ortogonais
	Para dois eixos:
componentes ax e ay   sendo a = ax + ay  
Como ax = ax i
          ay = ay j
então a = ax i + ay j
Sendo i >>> vetor unitário do eixo OX
           j >>> vetor unitário do eixo OY
	Para três eixos:
componentes ax , ay e az sendo a = ax + ay + az 
Como ax = ax i
          ay = ay j
          az = az k
então a = ax i + ay j + az k
Sendo i >>> vetor unitário do eixo OX
           j >>> vetor unitário do eixo OY
           k >>> vetor unitário do eixo OZ
Como calcular as componentes ortogonais de um vetor ? VET020304
	Existem duas maneiras muito simples:
1) repetindo para cada eixo a operação vista em VET020302
2) utilizando as coordenadas das das extremidades do vetor
2-1) Vetor situado no plano XOY:
Sejam i e j os unitários dos eixos OX e OY respectivamente.
Sejam as coordenadas das extremidades A(ax ; ay) e B(bx ; by).
As componentes serão: vx = (bx - ax)i e vy = (by - ay)j
O vetor será
 v = (bx - ax)i + (by - ay)j
Exemplo:
Seja o vetor v da figura cujas extremidade são os pontos A(2 ; 1) e B(10 ; 8)
O vetor v será 
v = (10 - 2)i + (8 - 1)j >>> v = 8i + 7j
2-2) Vetor situado fora dos planos coordenados
Sejam i, j e k os unitários dos eixos OX, OY e OZ respectivamente.
Sejam as coordenadas das extremidades A(ax ; ay ; az ) e B(bx ; by ; bz ).
As componentes serão: vx = (bx - ax)i, vy = (by - ay)j e vz = (bz - az)k  
O vetor será
v = (bx - ax)i + (by - ay)j + (bz - az)k
Exemplo:
Seja o vetor v da figura cujas extremidade são os pontos A(3 ; 2 ; 1) e B(6 ; 9 ; 7)
O vetor v será 
v = (6 - 3)i + (9 - 2)j + (7 - 1)k >>>
v = 3i + 7j + 6k
Existe outra forma de representar um vetor alem das estabelecidas em VET010103 ? VET020305
	Sim. O vetor pode ser representado pela diferença entre dois pontos.
O vetor v da figura pode ser representado pela diferença entre os pontos A e B 
v >>> (B - A)
v = (10 - 2)i + (8 - 1)j
Como calcular o módulo de um vetor em função dos módulos de suas componentes ? VET020306
	Vetor com duas componentes.
O módulo a do vetor é avaliado pela hipotenusa do triângulo retângulo amarelo da figura. O Teorema de Pitágoras nos permite escrever que 
a2 = ax2 + ay2
Vetor com três componentes
O módulo a do vetor é avaliado pela hipotenusa do triângulo retângulo amarelo da figura. O Teorema de Pitágoras nos permite escrever que 
a2 = a'2 + az2 
O cateto
a' do triângulo amarelo é hipotenusa do triângulo verde. O Teorema de Pitágoras nos permite escrever que 
a'2 = ax2 + ay2 
Substituindo o valor de a' da segunda igualdade na primeira teremos
a2 = ax2 + ay2 + az2
O que se entende por cossenos diretores de um vetor ? VET020307
	São os cossenos dos ângulos que a direção do vetor faz com os eixos coordenados.
No sistema de dois eixos coordenados:
No sistema de três eixos coordenados
Qual é a relação entre os cossenos diretores de um vetor ? VET020308
	No sistema de dois eixos coordenados:
No sistema de três eixos coordenados
 
vetores
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Vetores VET
Produtos VET03
Produto vetorial VET0302
O que é o produto vetorial de dois vetores ? VET030201
	Considere dois vetores a e b. O produto vetorial destes vetores é um vetor c 
com as seguintes características:
- módulo >>> produto dos módulos dos vetores fatores pelo seno do ângulo formado por eles
a.b.sen
-direção >>> perpendicular ao plano que contem os vetores fatores
- sentido >>> dos pés à cabeça de um observador, que em pé sobre o plano que contem os vetores fatores veria o primeiro vetor girar para o segundo, com o menor ângulo, no sentido anti-horário
Como é representado o produto vetorial ? VET030202
	O produto vetorial c dos vetores a e b é representado por >>> c = a x b
O produto vetorial possui a propriedade comutativa ? VET030203
	Não. 
A definição nos permite concluir que tocada a ordem dos fatores ocorrerá uma inversão no sentido do vetor produto >>> 
  a x b = - (b x a)
Qual é a interpretação gráfica do módulo do produto vetorial de dois vetores ? VET030204
	O módulo do produto vetorial pode ser avaliado pela área do paralelogramo cujos lados são representados pelo vetores fatores
|a x b| >>> área do paralelogramo amarelo da figura
O que podemos afirmar sobre dois vetores a e b cujo produto vetorial é nulo ? VET030205
	Sabemos que |a x b| = a.b.sense |a x b| = 0 >>> a.b.sen= 0 >>> sen= 0 >>> 
= 0o  ou = 180o
os vetores possuem a mesma direção
 
Qual é o resultado do produto vetorial de dois dos vetores unitários i j e k dos eixos ortogonais ? VET030206
	Considere o sistema referencial da figura.
A definição do produto vetorial nos permite escrever que
i x i = j x j = k x k = 0
i x j = k     k x i = j      j x k = i
note que as igualdades correspondem a uma permutação circular a partir da primeira 
j x i = - k     i x k = - j    k x j = -i
note que as igualdades correspondem a uma inversão da ordem dos fatores em relação às igualdades anteriores
Como calcular o produto vetorial de dois vetores em função de suas componentes ? VET030207
	Considere os vetores  a = axi + ayj + azk     e     b = bxi + byj  bzk
Vamos efetuar o produto vetorial >>> a x b = (axi + ayj + azk) x (bxi + byj + bzk) >>>
a x b = axi x bxi + axi x byj + axi x bzk + ayj x bxi + ayj x byj + ayj x bzk + azk x bxi + azk x byj + azk x bzk  >>>
a x b = ax.byk - ax.bzj - ay.bxk + ay.bzi + az.bxj - az.byi 
Este resultado pode ser resumido pelo determinante
Qual é a condição de paralelismo entre dois vetores ? VET030208
	Dois vetores paralelos têm a mesma direção, logo o seu produto vetorial é nulo como vimos em VET030205
 
Vetores
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Vetores VET
Produtos VET03
Produtos de três vetores VET0303
Quais são as possíveis combinações de produtos de 3 vetores a, b e c ? VET030301
	As possíveis combinações de produtos de 3 vetores a, b e c são:
1)  a (b . c)
O produto entre parêntesis é um escalar que multiplicado pelo vetor a dá como resultado um vetor na mesma direção de a
2)  a . (b x c)
O produto entre parêntesis é um vetor que multiplicado escalarmente pelo vetor a dá como resultado um escalar
3)  a x (b x c)
O produto entre parêntesis é um vetor que multiplicado vetorialmente pelo vetor a dá como resultado um vetor 
4)  a (b x c)
O produto entre parêntesis é um vetor que será multiplicado pelo vetor a de forma não definida, o  resultado é portanto indefinido.
5)  a . (b . c)
O produto entre parêntesis é um escalar que não pode ser multiplicado escalarmente pelo vetor a, o produto não pode ser realizado
6)  a x (b . c)
O produto entre parêntesis é um escalar que não pode ser multiplicado vetorialmente pelo vetor a, o produto não pode ser realizado
Como calcular o produto triplo a .(b x c) em função das componentes cartesianas dos vetores fatores ? VET030302
	Consideremos os vetores 
a = a1i + a2j + a3k >>>>> b = b1i + b2j + b3k >>>>> c = c1i + c2j + c3k
Sabemos que o produto vetorial entre parêntesis dá como resultado
Quando efetuamos a .(b x c) obtemos
Qual é a interpretação geométrica do produto triplo a .(b x c) ? VET030303
	O produto é um escalar representado pelo volume do paralelepípedo cujas arestas sãos os 3 vetores, como passamos a mostrar.
Qual é a condição para que três vetores a, b e c sejam coplanares ? VET030304
	Se os 3 vetores forem coplanares o volume do paralelepípedo é nulo, ou seja o produto 
a . (b x c) = 0
 
vetores
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Vetores VET
Operações especiais VET04
	LEGENDA: 
representação do vetor x -- x (em negrito) 
 representação do módulo do vetor x -- x (normal)
Momento de um vetor VET0401
O que é momento de um vetor em relação a um ponto ?  VET040101
	Momento do vetor v em relação ao ponto P, mostrados na figura, é o produto vetorial do vetor r pelo vetor v.
MPv = r x v
Como se calcula o momento de um vetor em relação a um ponto ? VET040102
	Considere o vetor v e o ponto P.
O momento do vetor v em relação ao ponto P é calculado por
Exemplo:
Considere o ponto P e o vetor definido pelos pontos A e B, mostrados na figura.
Seja o vetor v = (B - A) >>> v = (4 - 2).i + (6 - 4).j + (2 - 1).k >>>v = 2i + 2j +k
Seja o vetor r = (A - P) >>> r = (2 - 2).i + (4 - 3).j + (1 - 1).k >>> r = j
O momento do vetor v em relação ao ponto P é calculado por
Qual é o significado físico do momento de um vetor em relação a um ponto ?. VET040103
	O momento de um vetor v em relação a um ponto P mede o efeito de rotação do vetor em relação ao ponto.
O plano definido pelo ponto P e pelo vetor v é o plano de rotação.
Consequentemente a direção do momento é ortogonal ao plano de rotação.
Quais são as propriedades do momento de um vetor v em relação a um ponto P ?  VET040104
	O módulo do momento é igual ao produto do módulo de v pela distância d de P ao vetor v.
O momento é nulo quando P pertencer à linha de ação de v.
Seja MPv o momento do vetor v em relação a um ponto P >>> MPv = r x v
MPv = r x v será nulo quando r for de mesma direção de v, isto é 
quando o ponto P pertencer à linha de ação de v.
O momento não se altera quando v se desloca na direção de sua linha de ação.
A figura nos mostra que o deslocamento de v ao longo de sua linha de ação não altera a distância d, consequentemente não altera o valor do momento.
O momento não se altera quando P se desloca paralelamente à v.
A figura nos mostra que o deslocamento de P paralelamente à v não altera a distância d, consequentemente não altera o valor do momento.
O que é  momento de um vetor em relação a um eixo ? VET040105
	Momento de um vetor v em relação a um eixo E é a projeção sobre este eixo do momento do vetor v em relação a um ponto P qualquer do eixo.
Como se calcula o momento de um vetor v em relação a um eixo E ? VET040106
	Consideremos um eixo E caracterizado pelo vetor unitário u e P um ponto deste eixo.
u = uxi + uyj + uzk
O momento do vetor v em relação ao ponto P é calculado como
MPv = r x v >>> MPv = Mxi + Myj + Mzk
O módulo do momento do vetor v em relação ao eixo E é
MEv = MPv . u >>> MEv = Mxux + Myuy + Mzuz  
O momento do vetor v em relação ao eixo é
MEv = MEv
. u >>> MEv = MEv.uxi + MEv.uyj + MEv.uzk
Qual é o significado físico do momento de um vetor v em relação a um eixo E ?.VET040107
	O momento de um vetor v em relação a um eixo E mede o efeito de rotação do vetor em relação ao eixo.
O plano de rotação contem o vetor v e é ortogonal ao eixo E.
Quais são as propriedades do momento de um vetor v em relação a um eixo E ? VET040108
	O momento de um vetor v em relação a um eixo E é nulo quando v e E forem paralelos.
O momento de um vetor v em relação a um eixo E é máximo quando v e E forem ortogonais
Os momentos de um vetor v aplicado num ponto P em relação aos eixos coordenados são:
 
vetores
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Vetores VET
Operações especiais VET04
	LEGENDA: 
representação do vetor x -- x (em negrito) 
 representação do módulo do vetor x -- x (normal)
Fluxo de um vetor VET0402
Como caracterizar vetorialmente uma superfície ? VET040201
	Uma superfície pode ser caracterizada por um vetor S na direção da normal à superfície cujo módulo é a área da superfície.
S = S.u
onde 
S é a área da superfície e 
u é o unitário da normal à superfície
	
O que é fluxo de um vetor numa superfície ? VET040202
	Fluxo de um vetor v numa superfície S é o produto da projeção do vetor sobre a normal à superfície pela área da superfície.
= S.v.cos  
	
Como calcular o fluxo de um vetor numa superfície ? VET040203
	Fluxo de um vetor v numa superfície S é igual ao produto escalar do vetor v pelo vetor superfície S
= v . S  >>> = S.v.cos  
	
Em que condições o fluxo de um vetor numa superfície é nulo ? VET040204
	Quando o vetor está contido na superfície.
= 0 >>>= S.v.cos >>>cos = 0 >>> = 90o
	
Em que condições o fluxo de um vetor numa superfície é máximo ? VET040205
	Quando o vetor é normal à superfície
= S.v.cos >>> máximo
cos >>> máximo
cos = 1 >>> = 0o 
máximo= S.v
	
 
vetores
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Vetores VET
Operações especiais VET04
	LEGENDA: 
representação do vetor x -- x (em negrito) 
 representação do módulo do vetor x -- x (normal)
Circulação de um vetor VET0403
O que é a circulação de um vetor? VET040301
	Circulação C(v) de um vetor v ao longo de uma linha AB é a soma (integral) dos produtos escalares de v por dr desde A até B.
Onde dr é um vetor elementar que tem as características:
Módulo - o valor do arco elementar ds da linha.
Direção - da tangente à linha.
Sentido - de A para B
A circulação de um vetor é também denominada de integral de linha
	
O que é a circulação de um vetor num caminho fechado? VET040302
	Circulação C(v) de um vetor v ao longo de uma linha fechada é a soma (integral) dos produtos escalares de v por dr desde um ponto A qualquer até retornar ao mesmo ponto A, completando um ciclo.
	
Aplicações na Física da circulação de um vetor. VET040303
	A circulação de um vetor é uma operação vetorial que tem inúmeras aplicações na Física.
Exemplos mais marcantes:
	Cálculo do trabalho mecânico realizado por uma força F que se desloca ao longo de uma linha AB
	
	Cálculo da variação do potencial elétrico entre dois pontos A e B de uma linha  em função do vetor E campo elétrico
	
	Cálculo do módulo do vetor campo magnético B produzido por correntes elétricas.
 Lei de Amperè
	
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Vetores VET
Operações especiais VET04
	LEGENDA: 
representação do vetor x -- x (em negrito) 
 representação do módulo do vetor x -- x (normal)
Operadores vetoriais VET0404
  O que é um campo ? VET040401
	Em vários processos físicos existem grandezas que variam de acordo com a posição e o tempo e que podem ser representadas por uma função f(x, y, z, t) que é denominada campo.
Exemplo a pressão atmosférica que depende da posição geográfica da altitude de do tempo (hora, dia).
O que é um campo estacionário ? VET040402
	Um campo é estacionário quando ele não depende do tempo >>> f(x, y, z)
O que é um campo variável ? VET040403
	Um campo é variável quando ele depende do tempo >>> f(x, y, z, t)
 O que é um campo escalar ? VET040404
	Um campo é escalar quando a grandeza característica do campo é escalar.
Exemplo a temperatura do ar.
O que é um campo vetorial ? VET040405
	Um campo é vetorial quando a grandeza característica do campo é vetorial.
Exemplo o campo magnético terrestre.
O que é o operador nabla ? VET040406
	É um operador vetorial cuja representação e definição são mostradas abaixo.
O operador não tem significado físico ou geométrico. O significado só ocorre quando ele é aplicado a uma função.
 O que é o gradiente de um campo escalar ? VET040407
	O gradiente de um campo escalar é um vetor que representa em direção, sentido e módulo a máxima taxa de variação  de um campo escalar.
Como é calculado o gradiente de um campo escalar ? VET040408
	O gradiente de um campo escalar é obtido aplicando-se o operador nabla a esta função
Exemplo:
Considere um gás perfeito e um campo escalar de suas temperaturas representado num diagrama pressão x volume mostrado na figura.
Exemplo numérico:
O que é a derivada direcional de um campo escalar ? VET040409
	Derivada direcional de um campo escalar numa determinada direção representa a taxa de variação da grandeza característica do campo nesta direção.
Como é calculada a derivada direcional de um campo escalar ? VET040410
	A derivada direcional de uma função numa determinada direção é a projeção nesta direção do vetor gradiente da função.
Exemplo numérico:
Consideremos o exemplo visto em VET040408
É importante observar que o valor da derivada direcional é sempre inferior ao módulo do gradiente que representa a máxima taxa de variação da grandeza.
 O que é o divergente de um campo vetorial ?  VET040411
	Divergente de um campo vetorial é um escalar que representa o fluxo do vetor (veja em VET0402) característico do campo por unidade de volume.
Como é calculado o divergente de um campo vetorial ? VET040412
	O divergente de um campo vetorial é obtido aplicando-se o operador nabla a esta função, ou seja multiplicando-se escalarmente o operador nabla pela função vetorial.
Vamos mostrar que o divergente é o fluxo do vetor por unidade de volume.
Consideremos um paralelepípedo elementar de lados dx, dy, e dz situado no campo vetorial.
O que é o rotacional de um campo vetorial ? VET040413
	Rotacional de um campo vetorial é um vetor que representa uma rotação ou seja um momento angular.
Como é calculado o rotacional de um campo vetorial ? VET040414
	O rotacional de um campo vetorial é obtido aplicando-se o operador nabla a esta função, ou seja multiplicando-se vetorialmente o operador nabla pela função vetorial. (veja em VET0302)
Qual é o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss) ? VET040415
	Consideremos uma superfície fechada S, limitando um volume V, contida num campo vetorial F.
Exemplo de aplicação do Teorema da Divergência na geometria. VET040416
	Consideremos o campo vetorial constituído pelos vetores posição r.
Qual é a relação entre campos escalares e campos vetoriais ? VET040417
	O gradiente de um campo escalar é um campo vetorial derivado de um campo escalar.
f (x, y, z) >>> campo escalar
grad f >>> campo vetorial derivado
Exemplo: 
O vetor intensidade de campo elétrico é proporcional ao gradiente do potencial elétrico (campo escalar), sendo portanto uma campo vetorial derivado de um campo escalar.
Considere o campo elétrico produzido por uma carga elétrica puntiforme. 
O vetor intensidade de campo elétrico é proporcional ao potencial elétrico conforme mostramos à seguir.
O que se entende por linha de força de um campo vetorial ? VET040418
	São linhas orientadas tais que o vetor característico
do campo é sempre tangente à linha e orientado no sentido da linha.
As linhas de força podem ser abertas ou fechadas.
Quando as linhas são abertas o seu início e o término dependem do tipo de campo.
Alguns exemplos:
	tipo de campo
	início
	término
	elétrico
	carga positiva
	carga negativa
	calor
	fonte quente
	fonte fria
	velocidade de escoamento
	fonte
	sumidouro
As linhas de força fechadas evidentemente não possuem início ou término.
Alguns exemplos:
	tipo de campo
	magnético
	velocidades no movimento de rotação
 
Qual é o significado do sinal do fluxo de um vetor numa superfície fechada ? VET040419
	Numa superfície fechada os unitários da normal são orientados para fora da superfície.
Conseqüentemente os fluxos serão positivos quando as linhas de força saem da superfície e negativos quando entram.
Qual é o significado do sinal da divergência ?  VET040420
	O Teorema da Divergência nos mostra que o seu sinal é igual ao sinal do fluxo na superfície fechada.
Divergência positiva >>> existem linhas de força com início no interior da superfície.
Alguns exemplos:
	tipo de campo
	existem no interior da superfície
	elétrico
	cargas positivas
	calor
	fontes quentes
	velocidade de escoamento
	 fontes
Divergência negativa >>> existem linhas de força com término no interior da superfície.
Alguns exemplos:
	tipo de campo
	existem no interior da superfície
	elétrico
	cargas negativas
	calor
	fontes frias
	velocidade de escoamento
	 sumidouros
 
 O que é um tubo de força ? VET040421
	Considere um contorno fechado num campo vetorial.
Denominamos de tubo de força ao conjunto de linhas de força que passam pelos pontos do contorno.
Qual é a equação de continuidade ?  VET040422
	Considere um campo vetorial F e a superfície fechada formada por um tubo de força e pelas superfícies S1 e S2 .
O divergente de F é nulo nesta superfície, uma vez que, não existem linhas de força com início ou fim no seu interior.
Denominamos de: 
	equação de continuidade 
div F = 0
Pelo Teorema da Divergência se o divergente de F é nulo a soma dos fluxos na superfície é nula.
O fluxo na superfície fechada é igual à soma do fluxo nas superfícies lateral, S1 e S2.
O que é um campo vetorial solenoidal ? VET040423
	É o campo vetorial onde todas as linhas de força são fechadas.
No campo solenoidal o divergente é nulo.
	div F =0
 
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Vetores VET
Os vetores na Geometria VET05
	LEGENDA:
representação do vetor x -- x (em negrito) 
 representação do módulo do vetor x -- x (normal)
  Equações vetoriais de figuras geométricas VET0501
 Qual é a equação de um plano perpendicular a um vetor a passando pela extremidade de um vetor b ? VET050101
	Seja a um vetor perpendicular ao plano  e b um vetor cuja extremidade está situada sobre o plano.
Seja r o vetor posição dos pontos do plano .
O vetor diferença r - b pertence ao plano , logo é perpendicular ao vetor a. 
A condição de perpendicularismo será   a.(r - b) = 0 que representa o plano .
	Equação vetorial do plano 
 a.(r - b) = 0
Qual é a equação de um plano que passa pela extremidade de três vetores b, c e d. VET050102
	Seja b, c e d vetores com extremidades no plano 
Seja r o vetor posição dos pontos do plano .
Determinamos os vetores diferença c - b e d - b pertencentes ao plano .
Qual é a equação da reta que passa pela extremidade do vetor b e é paralela ao vetor a ? VET050103
	Considere a reta R que passa pela extremidade do vetor b e é paralela ao vetor a. 
Seja r o vetor posição dos pontos da reta R.
Qual é a equação da esfera de raio R e de centro sobre a extremidade do vetor b ? VET050104
	Considere a esfera de raio R da figura.
Qual é a equação da circunferência de raio R, de centro sobre a extremidade do vetor b situada sobre um plano normal ao vetor a e que contem a extremidade do vetor c ? VET050105
	A circunferência é o resultado da interseção da esfera com o plano. Conseqüentemente a equação da circunferência é obtida pela associação das equações da esfera e do plano.
 
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Vetores VET
Os vetores na Geometria VET05
 Diferenciação de vetores VET0502
 Como pode variar um vetor ? VET050201
	Um vetor pode variar em módulo e em direção.
Como obter a derivada de um vetor que é função de uma variável escalar ? VET050202
	Considere um vetor r função de uma variável escalar t >>> r = f ( t )
Como obter a diferencial de um vetor que é função de uma variável escalar ? VET050203
	Considere um vetor r função de uma variável escalar t >>> r = f ( t )
A diferencial do vetor r é:
 Como obter a diferencial parcial de um vetor que é função de mais de uma variável escalar ? VET050204
	Considere um vetor r função de 2 variáveis escalares s e t >>> r = f ( s; t )
A diferencial parcial do vetor r em relação à s corresponde à variação do vetor quando s varia e t permanece constante sendo o seu valor:
 Como obter a diferencial de um vetor que é função de duas ou mais variáveis escalares ? VET050205
	Considere um vetor r função de 2 variáveis escalares s e t >>> r = f ( s; t )
A diferencial do vetor r é igual à soma das diferenciais parciais em relação a cada uma das variáveis e o seu valor é:
Qual é a derivada do produto escalar de dois vetores ? VET050206
	Considere o produto escalar dos vetores a e b >>> a . b
Aplicação:
Diferencial de um vetor de módulo constante.
Seja a um vetor de módulo constante. >>> a . a = a2  
Diferenciando  d( a . a ) = 2 a . d a
                       d( a . a ) = d( a2 ) = 0
Logo               2 a . d a = 0 >>> d a é perpendicular a a
Qual é a derivada do produto vetorial de dois vetores ?VET050207
	Considere o produto vetorial dos vetores a e b >>> a x b
 
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Vetores VET
Os vetores na Geometria VET05
 Aplicações da diferenciação de vetores à geometria VET0503
 O que é a tangente a uma curva num ponto ? VET050301
	Considere o vetor posição r de um ponto genérico da curva.
Seja ds uma variação de posição sobre a curva que corresponderá a uma variação dr do vetor posição.
O vetor dr de módulo ds define o vetor unitário da tangente.
A tangente é a reta cujo vetor unitário esta mostrado na figura.
Qual é a equação da tangente a uma curva num ponto ? VET050302
	Considere uma curva cujo vetor posição é r.
A tangente é uma reta que para pelo ponto definido pelo vetor a e cujo vetor unitário é t.
O que o plano normal a uma curva num ponto ? VET050303
	É um plano normal à tangente no ponto de contato.
Qual é a equação do plano normal a uma curva num ponto ? VET050304
	Considere uma curva que no ponto determinado pelo vetor a tem uma tangente de unitário t.
Seja  o plano normal no ponto considerado.
O que é plano osculador de uma curva ? VET050305
	É o plano que contem duas tangentes consecutivas representadas por t e t + dt, ou que contem uma tangente de unitário t e a sua variação dt.
Quando a curva é plana o plano osculador é o plano que contem a curva.
Qual é a equação do plano osculador ? VET050306
	Considere o plano osculador contendo a tangente de unitário t e a sua variação dt no ponto determinado pelo vetor a. O vetor posição do ponto genérico do plano é r.
O que é a normal a uma curva num ponto ? VET050307
	É toda reta perpendicular à tangente e portanto pertencente ao plano normal.
A normal contida no plano osculador é denominada de normal principal. 
A normal perpendicular ao plano osculador é denominada de binormal.
Observação:
A normal principal é muitas vezes denominada simplesmente de normal.
Qual é a equação da normal a uma curava
num ponto ? VET050308
	Considere os planos normal e osculador de uma curva no ponto definido pelo vetor a e a normal (normal principal) á curva no ponto.
O que é a curvatura de uma curva num ponto ? VET050309
	O vetor curvatura é um vetor contido no plano osculador cujo módulo representa a taxa variação angular da tangente.
Como calcular a curvatura de uma curva num ponto ? VET050310
	Considere o arco elementar A1A2 de uma curva. Seja ds o seu comprimento.
Os unitários das tangentes nos pontos extremos do arco são os vetores t1 e t2
O que é o raio de curvatura de uma curva num ponto ? VET050311
	O ponto de encontro das normais principais à dois pontos da consecutivos da curva formam o centro de curvatura. 
O vetor R de origem sobre o centro de curvatura, de direção da normal e extremidade sobre a curva é o vetor raio de curvatura.
Como calcular o raio de curvatura de uma curva num ponto ? VET050312
	Considere o arco elementar A1A2 de uma curva. Seja ds o seu comprimento.
Os unitários das tangentes nos pontos extremos do arco são os vetores t1 e t2
 
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   Alfaconnection
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Vetores VET
Sistemas de Vetores VET06
	LEGENDA:
representação do vetor x -- x (em negrito) 
 representação do módulo do vetor x -- x (normal)
Elementos de um sistema de vetores  VET0601
 O que é a resultante de um sistema de vetores ? VET060101
	Considere um sistema de vetores V. 
Resultante é o vetor soma dos vetores componentes do sistema.
	R =  V
O que é o momento de um vetor em relação a um ponto ? VET060102
	O momento de um vetor V em relação a um ponto  MOV  é igual ao produto vetorial do vetor posição r da origem do vetor pelo vetor V.
Qual é o significado físico do momento de um vetor ? VET060103
	O momento de um vetor representa o efeito de rotação produzido pelo vetor.
Quais são as características do vetor momento ? VET060104
	São as características para o vetor produto vetorial vistas em VET030201. 
Qual é o invariante do vetor momento ? VET060105
	O momento de um vetor não varia quando ele se desloca sobre a sua linha de ação.
Qual é a variação do momento de um vetor quando é alterada a posição do centro de momento ? VET060106
	A variação do vetor momento está mostrada abaixo.
O que é o vetor momento resultante ? VET060107
	Momento resultante é o vetor soma dos momentos 
	M =  MOV
Observação importante:
O vetor momento resultante não é necessariamente igual ao momento da resultante
Qual é o significado físico do vetor momento resultante ? VET060108
	O vetor momento resultante representa o efeito de rotação do sistema de vetores.
Como varia o momento resultante quando é alterada a posição do centro de momento ? VET060109
	Considere um sistema de vetores com os momentos calculados em relação aos centros O e O'.
O que se entende por invariantes de um sistema de vetores ? VET060110
	São grandezas relativas a um sistema de vetores que não dependem da posição do sistema referencial e dos centros de momentos.
Quais são os invariantes de um sistema de vetores ? VET060111
	Um sistema de vetores possui dois invariantes:
1 - invariante vetorial >>> a resultante
2 - invariante escalar >>> o produto escalar do momento resultante pela resultante >>> M . R 
Considere o sistema vetorial representado na figura por sua resultante e seu momento resultante
Qual é o momento resultante mínimo de um sistema de vetores ? VET060112
	Consideremos um sistema de vetores representado na figura.
A figura nos mostra que a projeção do momento resultante na direção da resultante é constante.
A alteração da posição do centro O dos momentos só afeta a projeção na direção normal à da resultante.
O menor valor do momento resultante ocorrerá quando a projeção na direção normal à da resultante for nula, ou seja quando o momento resultante for paralelo à resultante.
	O momento resultante mínimo é igual à 
componente do momento resultante na direção da resultante
 
O que é o eixo central de um sistema de vetores ? VET060113
	Eixo central de um sistema de vetores é a reta paralela à resultante formada por pontos em relação aos quais o momento resultante é mínimo.
Como varia a componente normal à resultante do momento resultante ?  VET060114
	Considere um sistema de vetores de resultante R e momento resultante M em relação ao ponto O.
O momento resultante em relação ao ponto O' é M'.
Qual é a equação do eixo central ? VET060115
	Considere um sistema de vetores de resultante R e momento resultante M em relação ao ponto O.
O momento resultante em relação ao ponto O' é M'.
 
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