CAP 14 - SISITEMAS DE PARTICULAS

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MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS: 
DINÂMICA
Nona Edição
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
Lecture Notes:
J. Walt Oler
Texas Tech University
CAPÍTULO
© 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 
14
Sistemas de Partículas
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 Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica
Nona 
Edição
2 - *
Conteúdo
 14 - * 
Introdução
Aplicação das Leis de Newton: Forças Efetivas
Quantidade de Movimento Linear e Angular
Movimento do Centro de Massa do Sistema de Partículas
Quantidade de Movimento Angular em relação ao Centro de Massa
Conservação de Quantidade de Movimento 
Exemplo 14.2
Energia Cinética
Princípio de Trabalho e Energia: Conservação de Energia
Princípio de Impulso e Quantidade de Movimento
Exemplo 14.4
Exemplo 14.5
Sistemas Variáveis de Partículas
Fluxo Permanente de Partículas
Fluxo Permanente de Partículas: Aplicações
Fluxos Ganhando ou Perdendo Massa
Exemplo 14.6
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 Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica
Nona 
Edição
2 - *
Introdução
 14 - * 
No capítulo atual, estudaremos o quantidade de movimento de sistemas de partículas.
A força efetiva de uma partícula é definida como o produto da sua massa pela aceleração. Será mostrado que o sistema de forças externas agindo em um sistema de partículas é equipolente ao sistema de forças eficaz do sistema.
O centro de massa de um sistema de partículas será definido e seu quantidade de movimento descrito.
A aplicação do Princípio Trabalho-Energia e do Princípio de Impulso-quantidade de movimento para um sistema de partículas será descrita. Os resultados obtidos também são aplicáveis à um sistema de partículas rigidamente ligadas, ou seja, um corpo rígido.
Métodos de análise serão apresentados para sistemas variáveis ​​de partículas, ou seja, sistemas em que as partículas incluídas neles mudam.
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Aplicação das Leis de Newton: Forças Efetivas
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O sistema de forças externas e internas sobre uma partícula é equivalente à força efetiva da partícula.
Segunda lei de Newton para cada partícula Pi em um sistema de n partículas,
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Aplicação das Leis de Newton: Forças Efetivas
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quantidade de movimento Linear e Angular
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quantidade de movimento de Centro de Massa do Sistema de Partículas
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O centro de massa se ​​move como se toda a massa e todas as forças externas estivessem concentradas naquele ponto.
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quantidade de movimento Angular sobre o Centro de Massa
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O quantidade de movimento resultante sobre G das forças externas é igual à taxa de variação do quantidade de movimento angular sobre G do sistema de partículas.
A estrutura móvel não é, em geral, uma estrutura newtoniana.
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Impulso Angular sobre o Centro de Massa
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Quantidade de movimento angular sobre G da partícula pode ser calculado em relação a ambas as estruturas de referência: de Newton ou móvel,
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Conservação de Impulso
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Exemplo 14.2
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Um projétil de 90 N está se movendo com uma velocidade de 30 m/s, quando se divide em dois fragmentos de 22,5 N e 67,5 N. Imediatamente após a divisão, os fragmentos viajam nas direções θA = 45º e θB = 30º.
Determine a velocidade de cada fragmento.
SOLUÇÃO:
Como não há forças externas, o quantidade de movimento linear do sistema é conservado.
Escreva as equações das componentes separadas para a conservação do quantidade de movimento linear.
Resolva as equações simultaneamente para as velocidades dos fragmentos.
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Exemplo 14.2
 14 - * 
SOLUÇÃO:
Como não há forças externas, o quantidade de movimento linear do sistema é conservado.
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Energia Cinética
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Energia cinética é igual a energia cinética do centro de massa, mais a energia cinética em relação ao sistema móvel.
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Princípio Trabalho-Energia: Conservação de Energia
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O Princípio Trabalho-Energia pode ser aplicado a todo o sistema, adicionando as energias cinéticas de todas as partículas e considerando o trabalho realizado por todas as forças externas e internas.
Embora sejam iguais e opostas, o trabalho dessas forças não será, em geral, cancelado.
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Princípio de Impulso e quantidade de movimento
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Os quantidade de movimentos das partículas no tempo t1 e o impulso das forças de T1 para T2 formam um sistema de vetores equipolente ao sistema dos quantidade de movimentos das partículas no tempo t2.
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Exemplo 14.4
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A bola B, de massa mB, está suspensa a partir de um cabo, de comprimento L, anexado ao carrinho A, de massa mA, que pode rolar livremente sobre um trecho horizontal sem atrito. Enquanto o carro está em repouso, a bola adquire uma velocidade inicial 
Determine (a) a velocidade de B, uma vez que alcança altitude máxima, e (b) a distância vertical máxima h através da qual B vai subir.
SOLUÇÃO:
Com nenhuma força externa horizontal, é decorrente do Princípio de Impulso e quantidade de movimento que a componente horizontal do quantidade de movimento é conservada. Esta relação pode ser resolvida para a velocidade de B em sua elevação máxima.
O Princípio de Conservação de Energia pode ser aplicado para relacionar a energia cinética inicial com o máximo de energia potencial. A distância vertical máxima é determinada a partir dessa relação.
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Exemplo 14.4
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Exemplo 14.4
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Exemplo 14.5
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A bola A tem velocidade inicial v0 = 3 m/s paralela ao eixo da mesa. Ela colide com a bola B e com a C, em seguida, ambas em repouso. As bolas A e C colidem com os lados da mesa diretamente em A’ e C’ e a bola B colide obliquamente em B’. 
Assumindo colisões perfeitamente elásticas, determine as velocidades vA, vB e vC com que as bolas
batem nos lados da mesa.
SOLUÇÃO:
Há quatro incógnitas: vA, vB,x, vB,y, e vC.
Escreva as equações de conservação em termos das velocidades desconhecidas e resolva simultaneamente.
A solução requer quatro equações: Princípios de Conservação de quantidade de movimento linear (duas equações), quantidade de movimento angular e energia.
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Exemplo 14.5
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SOLUÇÃO:
Há quatro incógnitas: vA, vB,x, vB,y, e vC.
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Sistemas Variáveis de Partículas
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Os Princípios de Cinética estabelecidos até agora foram derivados para sistemas constantes de partículas, ou seja, sistemas que nem ganham nem perdem partículas.
Um grande número de aplicações de engenharia requer a consideração de sistemas variáveis ​​de partículas, como, turbina hidráulica, motor de foguete, etc.
Para as análises, considere os sistemas auxiliares que consistem de partículas instantaneamente dentro do sistema mais as partículas que entram ou saem do sistema durante um curto intervalo de tempo. Os sistemas auxiliares, assim definidos, são sistemas constantes de partículas.
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Fluxo Permenente de Partículas
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O sistema consiste de um fluxo constante de partículas contra uma palheta ou através de um duto.
O sistema auxiliar é um sistema constante de partículas em relação a Dt.
Define-se um sistema auxiliar que inclui partículas que fluem para dentro e para fora sobre Dt. 
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Fluxo Permanente de Partículas: Aplicações
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Fluido fluindo através de um tubo.
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Fluxos Ganhando ou Perdendo Massa
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Define-se o sistema auxiliar para incluir partículas de massa m dentro do sistema no tempo t, mais as partículas de massa Dm que entram no sistema ao longo do intervalo de tempo Dt. 
O sistema auxiliar é um sistema constante de partículas.
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Exemplo 14.6
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Grãos caem sobre uma calha à razão de 11,09 kg/s. Atingem a calha com uma velocidade de 6 m/s, e saem com uma velocidade de 4,5 m/s. O peso combinado da calha e dos grãos que ela carrega é 2700 N com o centro de gravidade em G.
Determine as reações em C e B.
SOLUÇÃO:
Defina um sistema que consiste na massa de grãos na rampa mais a massa que é adicionada e removida durante o intervalo de tempo Dt.
Aplique os Princípios da Conservação do quantidade de movimento Linear e Angular em três equações para as três reações desconhecidas.
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Exemplo 14.6
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SOLUÇÃO:
Defina um sistema que consiste na massa de grãos na rampa mais a massa que é adicionada e removida durante o intervalo de tempo Dt.
Aplique os Princípios da Conservação do quantidade de movimento Linear e Angular em três equações para as três reações desconhecidas.