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Questões sobre Integrais de Superfície e Teoremas de Stokes e da Divergência
1. Calcule a área da parte do plano z = 1000 + 3x+ 4y interior ao cilindro
(x� 51)2 + (y � 13)2 = 121:
Resp.: 121
p
26�:
2. Calcule a área da parte da esfera x2 + y2 + z2 = a2 que está acima do plano z = 1: Resp.:
2� (a2 � a) :
3. Calcule
RR
S
(x2 + y2) dS em que S é a parte do plano z = 2x+ 2y� 1 interior ao parabolóide
z = x2 + y2: Resp.: 15�
2
:
4. Calcule a área da parte do plano z = x+ y interior ao cilindro x2 + y2 = 4: Resp.: 4�
p
3:
5. Seja S a parte do cilindro x2 + y2 = 4 compreendida entre os planos z = 0 e z = 2; com
normal apontando para fora do cilindro. Encontre uma pararametrização para S e utilize-a para
calcular a integral
RR
S
�!
F � d�!S em que �!F = hx3 + cos(yz); y3; zi : Resp.: 48�:
6. Seja S é a parte do cone x2+ y2� z2 = 0 situada entre os planos z = 1 e z = 2: Encontre uma
parametrização para S e utilize-a para calcular a integral
RR
S
(x2 + y2 + z2) dS: Resp.: o valor
da integral é 15�
p
2:
7. Seja S a parte do cilindro x2 + y2 = 4 limitada pelos planos z = 0 e z = y + 2:
(a) Encontre uma parametrização para S:
(b) Encontre �!n em cada ponto de S; de modo que ele aponte para fora.
(c) Usando (a), determine a área da superfície S: Resp.: 8�:
8. Calcule
ZZ
S
rot
�!
F � d�!S ; em que
�!
F (x; y; z) =
D
�y; z ln �1 + x2 + y2� ; ex2+y2 sen2 (xy)E
e S é a superfície z = 5�x2�y2; com z � 1; orientada com normal apontando para cima. Resp.:
4�:
9. Utilize o Teorema da Divergência para calcular o ‡uxo do campo vetorial
�!
F (x; y; z) =
D
z2x� ey2z ln �1 + z2� ; x2y � cos �z2x� ; y2z � x2E
através da semi-esfera superior S : z =
p
1� x2 � y2; orientada com o normal apontando para
fora. Resp.: 3
20
�:
,
10. Utilize o Teorema de Stokes para calcular
I
C
�!
F � d�!r ; em que
�!
F (x; y; z) =
D
�y; z ln �4 + x2 + y2� ; ex2+y2 sen2 (xy)E
e C é a curva de interseção do parabolóide z = 9� x2� y2 com o cilindro x2 + y2 = 4; orientada
no sentido anti-horário, quando vista de cima. Resp.: 4�:
11. Utilize o Teorema de Stokes para calcular
RR
S
rot
�!
F � d�!S ; em que
�!
F (x; y; z) =
D
z ln
�
4 + x2 + y2
�
; x ; ex
2+y2 sen
�
x2 + y2
�E
e S é a parte do cilindro x2 + y2 = 1 acima do plano z = 0 e abaixo do plano z = 1 + y com o
vetor normal apontando para fora de S. Resp.: � ln 5:
12. Utilize o Teorema da Divergência para calcular o ‡uxo do campo vetorial
�!
F (x; y; z) =
1
(x2 + y2 + z2)
3
2
hx; y; zi
através da parte superior do elipsóide S : x2 + y2 +
z2
4
= 1; orientada com o normal apontando
para fora. Resp.: 2�:
13. Utilize o Teorema de Stokes para calcular
RR
S
rot
�!
F � d�!S ; em que
�!
F (x; y; z) =
D
z ln
�
4 + x2 + y2
�
; x ; ex
2+y2 sen2 (xy)
E
e S é a superfície z = 9 � x2 � y2 com z � 5 com o vetor normal apontando para cima. Resp.:
4�:
14. Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral
RR
S
(x4 + y4 + z4) dS em que
S é a esfera x2 + y2 + z2 = 4: Resp.: 768�
5
:
15. Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral
RR
S
(x2 + y2 + z3) dS em que
S é a esfera x2 + y2 + z2 = 4: Resp.: 128�
3
:
16. Utilize o Teorema da Divergência para calcular o ‡uxo do campo vetorial
�!
F (x; y; z) =
x; y; z2 + 1
�
através da semi-esfera superior S : z =
p
1� x2 � y2; orientada com o normal apontando para
fora. Resp.: 17
6
�:
17. Considere a curva C interseção do parabolóide z = 10� x2 � y2 com o cilindro x2 + y2 = 1;
orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule a integral de linhaI
C
yez�3dx+ xz2dy + exyzdz :
(a) Diretamente.
(b) Utilizando o Teorema de Stokes. Resp.: (81� e6)�:
18. Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral
RR
S
�!
F � d�!S em que
�!
F =
x3 + cos(yz); y3; z
�
e S é a parte do cilindro x2 + y2 = 4 compreendida entre os planos z = 0 e z = 2; com normal
apontando para fora do cilindro. Resp.: 48�:
19. Seja S a parte do cone x2 + y2 � z2 = 0 situada entre os planos z = 1 e z = 2: Encontre
uma expressão para o vetor normal unitário �!n apontando para fora do cone em cada ponto
(x; y; z) 2 S: Resp.: �!n =
p
2
2z
hx; y;�zi :
20. Utilize o Teorema da Divergência e o exercício anterior para calcular a integralZZ
S
�
x2 + y2 + z2
�
dS
em que S é a parte do cone x2+y2�z2 = 0 situada entre os planos z = 1 e z = 2: Resp.: 15�p2: