Vetores no Plano e Espaço 1 Periodo

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ 
 
VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO 
 
Espaço vetorial IRn 
Denominamos espaço vetorial IRn ao conjunto de todas as n-uplas de números reais. 
IRn = {(x1, x2, ..., xn) xi  IR, 1 i  n}, (x1, x2, ..., xn) é chamado vetor e x1, x2, ..., xn são as 
coordenadas ou componentes do vetor. 
Exemplos: 
a) (0,1) é vetor do _______. 
b) (−1, 2, 3 ) é vetor do ________. 
c) (0, 3, 5
1 , −100) é vetor do _________. 
 
Igualdade de vetores 
Dois vetores u e v são iguais (escrevemos u = v) se eles têm o mesmo número de componentes, 
isto é, pertencem ao mesmo espaço vetorial, e se as componentes correspondentes são iguais. 
Exemplos; 
a) (1, 2, 3)  (1, 3, 2) 
b) Suponha (x – y, x + y, z – 1) = (4, 2, 3). Então, por definição de igualdade de vetores, temos: 
 
 
 
 
 
 
Operações com vetores 
Sejam u e v vetores no IRn, u = (u1, u2, ... , un) e v = (v1, v2, ..., vn). 
 
• Adição: A soma de u e v é o vetor u + v obtido pela adição das componentes correspondentes, 
veja: u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn). 
Exemplo: 
Sejam u = (1, −3, 2, 4) e v = (3, 5, −1, −4), u + v = _______________________________. 
 
• Multiplicação de um vetor por escalar: O produto de um número real k pelo vetor u é o vetor ku 
obtido multiplicando cada componente de u por k, veja: ku = (ku1, ku2, ... , kun). 
Exemplos: 
a) Seja u = (1, −3, 2, 4) e k = 5, ku = _______________________. 
b) Seja u = (−3, 0) e v = (7, 5
3 ), 2u − 15v = _____________________. 
Notas: 
 A soma de vetores com número diferente de componentes não é definida. 
 O vetor 0 = (0, 0, ..., 0) no IRn, representado por 0 é chamado vetor zero. 
 Observe que u + v e ku são também vetores do IRn. 
 − u = −1u e u − v = u + (− v). 
Exercícios 
1) Dados u = (1, 2, 3), v = (1, 0, 1) e w = (−1, 2, −2), calcule: 
a) u + v b) 2v − w c) 3(2w − u) −2(3v + w) 
 2 
2) Dados u = (1, 2, 4), v = (2, 1, 0) e w = (1, 0, 0), calcule os números a, b e c tais que au + bv + 
+ cw = (4, 6, 8). 
 
Representação geométrica 
Os vetores do plano (IR²) e do espaço (IR³) são representados geometricamente por segmentos 
orientados. Todos os segmentos orientados que têm o mesmo comprimento, a mesma direção e o 
mesmo sentido são representantes de um mesmo vetor e são chamados vetores equivalentes. 
Exemplos: 
 
 
 
 
No paralelogramo da figura acima, temos: 
v = AB (O ponto A é a origem do vetor v e o ponto B é sua extremidade) 
• Vetores no IR² 
IR² = {(x, y)  x, y  IR} é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano x0y. 
Exemplo: 
Represente no plano cartesiano: 
a) O vetor v = AB sendo A = (1, 2) e B = (3, 3). 
b) O vetor − v. 
 
 
 
 
 
Notas: 
 Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção, ou seja, se u e v pertencem a 
uma mesma reta ou a retas paralelas. 
 Qualquer ponto do espaço é representante do vetor nulo (ou vetor zero). 
 
• Vetores no IR³ 
IR³ = {(x, y,z)  x  IR, y  IR, z  IR} é o conjunto dos ternos ordenados de números reais. 
Há uma correspondência entre o IR³ e os pontos do espaço. 
Fixando uma unidade de comprimento, vamos considerar três eixos concorrentes num ponto O 
(O = (0, 0, 0) é a origem do sistema cartesiano), dois a dois perpendiculares, orientados conforme 
indica a figura. 
Oxyz: sistema cartesiano ortogonal 
 z (eixo das cotas) 
 
 
 
 
 
 0 y (eixo das ordenadas) 
 
 
 (eixo das abscissas) x 
 3 
Dado um ponto P do espaço, sejam P1, P2 e P3 as suas projeções sobre os eixos x, y e z, nesta 
ordem. Chamamos xP, yP e zP as medidas algébricas dos segmentos orientados OP1, OP2 e OP3, 
respectivamente. Ao ponto P associamos o terno ordenado (xP, yP e zP). 
 
Exemplo: Represente no sistema cartesiano os pontos a seguir: 
P (2, 4, 3) 
A (2, 4, 0) 
B (2, 0, 3) 
C (0, 4, 3) 
P1 (2, 0, 0) 
P2 (0, 4, 0) 
P3 (0, 0, 3) 
 
 
• Adição com vetores 
 Vetores de mesma direção e sentido; 
 
 Vetores de mesma direção e sentidos opostos; 
 
Nota: O vetor soma S ( ou vetor Resultante R ) apresenta o mesmo sentido do vetor de maior 
módulo. 
 
 Vetores que formam um ângulo qualquer; 
 
 Soma de vários vetores; 
 
• Multiplicação de um vetor por escalar 
 
Exercícios 
1) Represente geometricamente as operações indicadas abaixo. 
a) u + v, sendo u = (5,4) e v = (3,6) b) -2u, sendo u = (1, 3) 
c) (1, 4, 5) + (2, 3, 10) c) u, 2u e 2
1 u, sendo u = (2, 4). 
Vetores paralelos 
Os vetores u e v são paralelos  u = kv, k  IR e v  0. 
Em IR²: 
 
Analogamente em IR³, temos: 
Exercícios 
1) Verifique se u e v são paralelos. 
a) u (4, 2) e v (12, 6) d) u (8, 14) e v (12, 21) 
b) u (−6, −12) e v (1, 2) e) u (−3, 4) e v (4, −3) 
 4 
c) u (6, 9) e v (12, 15) f) u (2, 0) e v (−6, 0) 
2) Determine m de modo que os vetores u (7, m + 1) e v = (28, 16) sejam paralelos. 
3) Determine a e b de modo que os vetores u (4, 2, −8) e v (10, a, b) sejam paralelos. 
4) Verifique se os pontos A = (2, −3, 4) , B = (1, 6, 2) e C = (3, −12, 6) são colineares. 
5) Calcule a e b de modo que os pontos A = (2, 3, 5) , B = (3, 2, 8) e C = (a, b, −1) sejam colineares. 
 
Produto escalar de dois vetores no IR2 e no IR3 
Dados dois vetores do IR², u = (x1, y1) e v = (x2, y2), denominamos produto escalar de u por v ao 
número real u.v dado por _________________. Lê-se u escalar v. 
u.u = ________________________ 
Exemplo: 
Dados u (1, 2) e v (4, − 5), calcule: 
a) u.v: ______________________ e b) v.u: ____________________ 
Em IR³ 
Sejam A = (x1, y1, z1)  IR³ e B = (x2, y2, z2)  IR³. 
u.v = ___________________________ e u.u = ______________________________ 
Exemplo: 
Dados u (1, 2, 3) e v (0, 4, − 5), calcule: 
a) u.v = _____________________ b) u.u =_______________________ 
Exercícios 
1) Dados u (4,9), v (2,−1), e w (5,10), calcule u.(v + w). 
2) Sendo u, v e w  IR², prove que u.(v + w) = u.v + u.w. 
3) Dados u (6, −2), v (−3, 4) e w (1, 5), calcule: 
a) (u – v).w b) (u + v)(u – v) 
4) Dados u (−3, 0), v (1, −2), w (−3, −3) e z (0, 0), calcule (u + v)(2w − z) 
5) Dados u (4, 7, 3), v (2, 2, 1) e w (0, − 5, 2), calcule: 
a) (u + v)w b) u(v − 2w) 
Módulo de um vetor 
Em IR² 
Seja u = (x, y)  IR², podemos mostrar que seu módulo (comprimento) é dado por _____________ 
 y 
 
 
 
 x
5 
Exemplos: 
1) Dados u (1,−1), v (−3, 4), e w (−2,0), calcule: 
a) u b) u + v c) u+ v d) v − w e) w − v 
Em IR3 
Seja v = (x, y, z)  IR³, podemos mostrar que seu módulo (comprimento) é dado por ___________ 
 z 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Sendo u (4, 0, 3) e v (0, 1, −1), calcule 3u − v. 
 
Vetor unitário: ___________________________________________________________________ 
Versor de v (v’):__________________________________________________________________ 
 
Exercícios: 
1) Calcule o versor de v = (−1, 2, −2) 
2) Sendo u = 





2
1,
2
1 , verifique se u é unitário. 
Condição de ortogonalidade 
 
 u 
 
 v 
Nota: ________________________________________________________________________ 
Exercícios 
1) Obtenha o valor de a para que se tenha u ortogonal a v, sendo u (1, 4) e v (a + 1, − a) 
2) Encontre os valores de a para os quais o vetor u  a,21 é unitário. 
3) Seja u (a, −2), calcule os valores de a para que se tenha u= 3 
Nota: O vetor nulo (tanto em IR² quanto em IR³) é considerado paralelo e também ortogonal a 
qualquer outro vetor, pois sendo z = (0, 0) e u = (a, b), (a ≠ 0 e b ≠ 0), verifica-se: 

ba
00 
 
z.u = 0.a + 0.b = 0 