Gabarito 1ºEE_S1_S2_S6

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE
PERNAMBUCO
A´LGEBRA LINEAR
PRIMEIRA PROVA
(2,5 pts) 1 a Questa˜o: Seja o seguinte sistema linear homogeˆneo: 2x + 4y − 5z + 3t = 03x + 6y − 7z + 4t = 0
5x + 10y − 11z + 6t = 0
(a) Exiba uma base e determine a dimensa˜o do subespac¸o gerado pelo conjunto-
soluc¸a˜o do sistema acima.
Resoluc¸a˜o:
Fazendo-se um escalonamento para a matriz ampliada do sistema , temos: x + 2y −
5
2z +
3
2 t = 0
0 + 0 + z − t = 0
0 + 0 + 0 + 0 = 0
Portanto:
x = −2α1 + α2
y = α1
z = α2
t = α2
Na forma matricial, temos:
x
y
z
t
 = α1

−2
1
0
0
+ α2

1
0
1
1

β =


−2
1
0
0
 ;

1
0
1
1

 e´ gerador do conjunto-soluc¸a˜o e tambe´m e´ L.I. Logo,
β e´ uma base do conjunto-soluc¸a˜o.
1
Portanto, a dimensa˜o deste subespac¸o e´ 2.
(b) Calcule o posto e a nulidade da matriz dos coeficientes.
Resoluc¸a˜o:
Observando o sistema acima e escalonando, temos:
Posto= no de linhas na˜o nulas da matriz escalonada= 2
Nulidade=(no de colunas da matriz dos coef.) - posto = 2
(2,5 pts) 2 a Questa˜o: Seja V um espac¸o vetorial. Prove que:
(a) Se (v1, . . . , vn) gera V, enta˜o (v1 − v2, v2 − v3, . . . , vn−1 − vn, vn) tambe´m
gera V.
Resoluc¸a˜o:
Seja ~v um vetor arbitra´rio do espac¸o vetorial V. Como (~v1, . . . , ~vn) gera V,
temos :
~v = α1 ~v1 + α2 ~v2 + · · ·+ αn ~vn (∗)
Consegue-se escrever ~v como:
~v = β1(~v1 − ~v2) + β2(~v2 − ~v3) + · · ·+ βn−1( ~vn−1 − ~vn) + βn ~vn
De fato,reescrevendo a equac¸a˜o acima , temos:
~v = β1 ~v1 + (β2 − β1)~v2 + (β3 − β2)~v3 + · · ·+ (βn − βn−1) ~vn (∗∗)
Comparando a equac¸a˜o (*) com a equac¸a˜o (**) , temos:
β1 = α1
β2 = α1 + α2
β3 = α1 + α2 + α3
...
βn = α1 + α2 + · · ·αn
Logo, conseguimos escrever ~v como combinac¸a˜o linear dos vetores (v1− v2, v2−
v3, . . . , vn−1 − vn, vn). Como ~v foi escolhido arbitrariamente, temos que este
novo conjunto de vetores tambe´m gera V.
(b) Se (v1, . . . , vn) e´ L.I em V, enta˜o (v1−v2, v2−v3, . . . , vn−1−vn, vn) tambe´m
e´ L.I em V.
Resoluc¸a˜o:
Fac¸amos:
α1(~v1 − ~v2) + α2(~v2 − ~v3) + · · ·+ αn−1( ~vn−1 − ~vn) + αn ~vn = ~0
Reorganizando os termos acima, temos:
α1 ~v1 + (α2 − α1)~v2 + (α3 − α2)~v3 + · · ·+ (αn − αn−1) ~vn = ~0
2
Mas, por hipo´tese, o conjunto (v1, . . . , vn) e´ L.I em V, portanto:
α1 = 0
α2 − α1 = 0⇒ α2 = 0
α3 − α2 = 0⇒ α3 = 0
...
αn − αn−1 = 0⇒ αn = 0
Portanto, o conjunto (v1 − v2, v2 − v3, . . . , vn−1 − vn, vn) e´ L.I em V.
(2,5 pts) 3 a Questa˜o: Sejam U e W subespac¸os vetoriais de R5 , tais que:
U =
{
(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 : x1 = 3x2, x3 = 7x4
}
W = [ (1, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 1) ]
(a) Encontre uma base para U+W
Resoluc¸a˜o:
~v ∈ U⇒ ~v = (3x2, x2, 7x4, x4, x5) = x2(3, 1, 0, 0, 0)+x4(0, 0, 7, 1, 0)+x5(0, 0, 0, 0, 1)
Como ~v e´ um vetor arbitra´rio de U, temos que U = [(3, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 7, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1)].
E como os vetores sa˜o L.I, temos βU = {(3, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 7, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1)}
uma base de U.
W = [ (1, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 1) ]. Como os vetores sa˜o L.I, temos βW = { (1, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 1) }.
U +W = {~u+ ~w : ~u ∈ U , ~w ∈W}. Portanto, como consequeˆncia da definic¸a˜o
do subespac¸o soma, temos:
U+W = [(3, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 7, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1), (1, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 1)]
Vamos escalonar estes vetores, e extrair uma base:
3 1 0 0 0
0 0 7 1 0
0 0 0 0 1
1 1 0 0 0
0 0 0 1 1
→

1 1 0 0 0
0 −2 0 0 0
0 0 7 1 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1

Portanto βU+W = {(1, 1, 0, 0, 0), (0,−2, 0, 0, 0), (0, 0, 7, 1, 0), (0, 0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 0, 1)}
e´ uma base do subespac¸o U+W.
(b) A soma e´ direta? Justifique !
Resoluc¸a˜o:
dim (U+W) = dim (U) + dim (W)− dim (U ∩W)
dim (U ∩W) = dim (U) + dim (W)− dim (U+W)
⇒ dim (U ∩W) = 0
Portanto a soma e´ direta!
3
(c) U+W = R5? Justifique!
Resoluc¸a˜o:
Sim, pois dim(U+W)=5.
(2,5 pts) 4 a Questa˜o: Considere a base de P3 dada por β =
{
1, 1− t, (1− t)2, 1− t3}
(a) Calcule as coordenadas [p(t)]β do polinoˆmio p(t) = 1 + 2t + 3t
2 − 5t3 em
relac¸a˜o a` base β.
Resoluc¸a˜o:
α0(1) + α1(1− t) + α2(1− t)2 + α3(1− t3) = 1 + 2t+ 3t2 − 5t3
Resolvendo o sistema, obte´m-se:
α0 = 1 , α1 = −8 , α2 = 3 , α3 = 5
Portanto, [p(t)]β =

1
−8
3
5

(b) Com respeito a` base α =
{
1, t, t2, t3
}
,calcule a matriz mudanc¸a de base
[I]
α
β .
Resoluc¸a˜o:
Primeiro encontremos a matriz [I]
β
α.Para finalizar, faremos [I]
α
β =
(
[I]
β
α
)−1
1 = 1(1) + 0(t) + 0(t2) + 0(t3)
1− t = 1(1) − 1(t) + 0(t2) + 0(t3)
(1− t)2 = 1(1) − 2(t) + 1(t2) + 0(t3)
1− t3 = 1(1) + 0(t) + 0(t2) − 1(t3)
Portanto, [I]
β
α =

1 1 1 1
0 −1 −2 0
0 0 1 0
0 0 0 −1

Vamos agora calcular
(
[I]
β
α
)−1
:
1 1 1 1 | 1 0 0 0
0 −1 −2 0 | 0 1 0 0
0 0 1 0 | 0 0 1 0
0 0 0 −1 | 0 0 0 1
⇒

1 0 0 0 | 1 1 1 1
0 1 0 0 | 0 −1 −2 0
0 0 1 0 | 0 0 1 0
0 0 0 1 | 0 0 0 −1

Enta˜o, [I]
α
β =

1 1 1 1
0 −1 −2 0
0 0 1 0
0 0 0 −1

Boa Prova!