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A´lgebra Linear
Lista de exerc´ıcios 2
11 de junho de 2013
1. Para cada subconjunto W do espac¸o vetorial indicado abaixo, decida se W e´ um subespac¸o
vetorial:
(a) O conjunto W ⊂M2×2(R) formado pelas matrizes que teˆm determinante nulo.
(b) O conjunto W ⊂ P3 formado pelos pelos polinoˆmios cuja soma dos coeficientes e´ zero,
isto e´, W = {a0 + a1t+ a2t2 + a3t3 : a0 + a1 + a2 + a3 = 0}.
(c) O conjunto W ⊂ R2 que consiste na unia˜o dos eixos coordenados (i.e., W = {eixo ox} ∪
{eixo oy}).
(d) O conjunto W ⊂ R3 dado por W = {
 2x− y4x+ y + piz√
3x−√2y
 : x, y, z ∈ R}.
(e) O conjunto W ⊂ R3 formado pelos vetores
 xy
z
 tais que xy = 0.
(f) O conjunto W ⊂ R3 formado pelos vetores que teˆm pelo menos uma coordenada ≥ 0.
(g) O conjunto W ⊂ Mn×n(R) formado pelas matrizes que sa˜o sime´tricas (i.e., W = {A ∈
Mn×n(R) : AT = A}).
(h) O conjunto W ⊂ Mn×n(R) formado pelas matrizes anti-sime´tricas (i.e., W = {A ∈
Mn×n(R) : AT = −A}).
(i) O conjunto W ⊂ C0([a, b],R) formado pelas func¸o˜es que se anulam em a.
2. E´ muitas vezes u´til saber expressar um subespac¸oW de Rn como o conjunto soluc¸a˜o de algum
sistema linear homogeˆneo em n varia´veis (isto permite, por exemplo, decidir de maneira ra´pida
se um dado vetor v ∈ Rn esta´ ou na˜o em W).
Fac¸a isto para cada subespac¸oW ⊂ Rn abaixo, isto e´, encontre um sistema linear homogeˆneo
em n varia´veis cujo conjunto soluc¸a˜o seja igual a W:
(a) W1 ⊂ R4 dado por W1 = Ger[v1, v2, v3], onde v1 = (0, 1,−1, 0), v2 = (1, 2, 0,−1),
v3 = (2, 1, 1, 2).
(b) W2 ⊂ R5 dado porW2 = Ger[v1, v2, v3], onde v1 = (1, 3,−3,−1,−4), v2 = (1, 4,−1,−2,−2),
v3 = (2, 9, 0,−5,−2).
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(c) W3 ⊂ R5 dado porW3 = Ger[v1, v2, v3], onde v1 = (1, 6, 2,−2, 3), v2 = (2, 8,−1,−6,−5),
v3 = (1, 3,−1,−5,−6).
(d) W4 ⊂ R5 dado por W4 = Ger[v1, v2, v3], onde v1 = (1, 0,−1, 0, 1), v2 = (0, 1, 1, 0, 0),
v3 = (1, 1,−1, 2,−1).
3. Seja W o subespac¸o de P3 dado por W = Ger[p1(t), p2(t), p3(t)], onde p1(t) = t3 − t2 + 1,
p2(t) = −t3 + 2t2 + t− 1, e p3(t) = t2 − 2t+ 2. Quais condic¸o˜es os coeficientes a0, a1, a2, a3
devem satisfazer para que o polinoˆmio p(t) = a0 + a1t+ a2t
2 + a3t
3 pertenc¸a a W ?
4. Sejam W2 e W3 os subespac¸os de R5 dados nos ı´tens (b) e (c) do problema 2.
(a) Encontre um sistema linear homogeˆneo em 5 varia´veis cujo conjunto soluc¸a˜o seja igual
a intersec¸a˜o W2 ∩W3.
(b) Encontre uma base para W2 ∩W3.
5. Sejam W1 e W2 os subconjuntos de C0([−1, 1],R) formado pelas func¸o˜es cont´ınuas que sa˜o
pares, e pelas que sa˜o ı´mpares, respectivamente; isto e´,
W1 = {f ∈ C0([−1, 1],R) : f(−x) = f(x) para todo x}
W2 = {f ∈ C0([−1, 1],R) : f(−x) = −f(x) para todo x}.
(a) Mostre que W1 e W2 sa˜o subespac¸os vetoriais de C0([−1, 1],R).
(b) Mostre que C0([−1, 1],R) = W1 ⊕W2.
6. Seja W o subespac¸o de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,−2, 5,−3), v2 = (2, 3, 1,−4), v3 =
(3, 8,−3,−5). Podemos afirmar que {v1, v2, v3} formam uma base paraW ? Se na˜o, encontre
uma base para W.
7. Considere, num espac¸o vetorial V, certos vetores v1, v2, ..., vk.
(a) Se v1, v2, ..., vk forem L.I., enta˜o tambe´m sera˜o L.I. os vetores v1, v2 − v1, ..., vk − v1.
(b) Mostre que v1, v2, ..., vk e v1, v2 − v1, ..., vk − v1 geram o mesmo subespac¸o de V, isto e´,
que
Ger[v1, ..., vk] = Ger[v1, v2 − v1, ..., vk − v1].
8. Considere o espac¸o vetorial C0(R,R) das func¸o˜es cont´ınuas de R em R. Mostre que as
seguintes func¸o˜es de C0(R,R) sa˜o L.I.:
(a) e2t, e3t.
(b) sin t, sin 2t.
(c) sin t, cos t.
(d) eα1t, eα2t, ..., eαkt, onde α1, α2..., αk sa˜o constatntes duas a duas distintas.
9. Exiba uma base para cada um dos seguintes subespac¸os de R4:
W1 = {(x1, x2, x3, x4) : x1 = x2 = x3 = x4}
W2 = {(x1, x2, x3, x4) : x1 = x2 e x3 = x4}
W2 = {(x1, x2, x3, x4) : x1 + x2 + x3 + x4 = 0}.
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10. Verdadeiro ou falso:
(a) O sistema linear abaixo possui duas soluc¸o˜es x,y ∈ R5 que sa˜o linearmente independen-
tes. 
epi x1 +
√
pix2 + ln 10x3 − e3 x5 = 0
pi4 x1 + pi
5x3 + 5x4 −
√
2x5 = 0
−3x1 + epi x2 − x3 + 16x4 + 18x5 = 0
(1)
(b) Em R512, existem dois subespac¸os W1 e W2, de dimenso˜es 211 e 301, respectivamente,
cuja intersec¸a˜o so´ conte´m o vetor nulo.
(c) Em R630, existem dois subespac¸os W1 e W2, de dimenso˜es 521 e 115, respectivamente,
cuja intersec¸a˜o so´ conte´m o vetor nulo.
11. Seja W o subespac¸o de Mn×n(R) formado pelas matrizes que teˆm trac¸o nulo (lembre que o
trac¸o de uma matriz quadrada e´ a soma dos elementos da diagonal principal). Encontre uma
base para W nos casos:
(a) n = 2
(b) n = 3
(c) n qualquer.
12. Em R4, sejam W1 o subespac¸o gerado pelos vetores

1
−1
1
0
,

0
1
−1
1
, e W2 o subespac¸o
gerado pelos vetores

1
1
0
0
,

0
1
1
0
,

0
0
1
1
. Encontre uma base para W1 ∩W2 e outra para
W1 +W2.
13. No espac¸o vetorial P3, sejamW1 o subespac¸o gerado por t+1 e t3− t2+2, eW2 o subespac¸o
gerado por t3 + 3 e −t2 + t. Encontre uma base para W1 ∩W2 e outra para W1 +W2.
14. Considere a base de P3 dada por B = {1 + t+ t2 + t3,−t+ t2, 1− t, 1}.
(a) Calcule as coordenadas [p(t)]B do polinoˆmio p(t) = 2+3t+4t2−7t3 com respeito a` base
B.
(b) Com respeito a` base U = {1, t, t2, t3}, calcule a matriz de mudanc¸a de base [I]UB .
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