Fundamentos de Matemática Vol.2

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GELSON IEZZI
OSVALDO DOLCE
CARLOS MURAKAMI
FUNDAMENTOS DE - 2
MATEMATICA
ELEMENTAR
LOGARITMOS
54 exercícios resolvidos
250 exercícios propostos com resposta
234 testes de vestibular com resposta
3~ edição
ATUt\L
EDITORA
Capa
Roberto Franklin Rondino
Sylvio Ulhoa Cintra Filho
Rua Inhambu, 1235 - S. Paulo
Composição e desenhos
AM Produções Gráficas Ltda.
Rua Castro Alves, 135 - S. Paulo
Artes
Atual Editora Ltda.
Fotolitos
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Gráfica Editora Hamburg Ltda.
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São Paulo - SP - Brasil
ClP-Brasil. Catalogação-na-Fonte
Câmara Brasileira do Livro, SP
Fundamentas de matemétlce elementBr rpor) Gel-
F97? l!IOn Iezzl (e outros) 580 Paulo, 'AtUl!!l1
v.I-2, Ed•• 1977-
4-&
CO-Butoree: Carlos Hurakl!llll, Osvaldo Dolce
e 5smuel Hl!lZZBn; B Butor1B dos volumes indi-
vidueis varia entre os ,. autores.
ContBúdo: '1.1. Con1untos, funções.-v.2.
LOQarltmos.-v.4. SeQÜencll!lB, ml!l.~rize!l determi-
nantes, slBtem8s.-v.5. Combln!tor1l!l, prob!bl-
lid8de.-v.6. CamplexoB, pol1namioB, equaçoes.
1. Matemática (2Q grau) t. Dolee, Osvaldo,
1938- Il. Iezzl, Gelaon, 1939- III. Hazzan,
Samuel, 1946- 1\1. HurakBllll, Carlos, 1943-
77-1333 &00-510
fndice para catálogo sistemático:
1. HeltemáUCfI 510
Todos os direitos reservados a
ATUAL EDITORA LTOA
Rua José Antônio Coelho, 785
Telefones: 71-7795 e 549-1720
CEP 04011 - São Paulo - SP - Brasil
APRESENTACÃO
I
"Fundamentos de Matemática Elementar" é uma coleção em dez volumes
elaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática,
ao n(vel da escola de 'P. grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para
o curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para exames
vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e
também, como é óbvio, àqueles alunos de colegial mais interessados na "rainha
das ciências" .
No desenvolvimento dos inúmeros cap(tulos dos livros de "Fundamentos"
procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades.
Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposições
e teoremas estão sempre acompanhados das respectivas demonstrações.
Na estruturação das séries de exerc(cios, buscamos sempre uma ordenação
crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questões
que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisão. A
seqüência do texto sugere uma dosagem para teoria e exerc(cios. Os exercl'cios
resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicação
sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar
a resposta para cada problema proposto e assim, ter seu reforço positivo ou partir
à procura do erro cometido.
A última parte de cada volume é constitUl'da por testes de vestibulares até
1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matéria
estudada.
Queremos consignar aqui nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando
Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescind(vel para que pudéssemos homenagear
nesta coleção alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suas
vidas e suas obras.
Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre o anseio dos autores
e o valor de sua obra, gostar(amos de receber dos colegas professores uma apre-
ciação sobre este trabalho, notadamente os comentários crfticos, os quais agra-
decemos.
Os autores
CAPfTULO I POTÊNCIAS E RAfzES
ÍNDICE
I. Potência de expoente natural 1-8
11. Potência de expoente inteiro negativo 5-8
111. Raiz enézima aritmética 8-8
IV. Potência de expoente racional 15-8
V. Potência de expoente irracional 18-8
VI. Potência de expoente real 20-8
CAPITULO li - FUNÇÃO EXPONENCIAL
I. Definição 23-8
11. Propriedades 23-8
111. Imagem 28-8
IV. Gráfico 29-8
V. Equações exponenciais 34-8
VI. Inequações exponenciais 42-8
CAPITULO 111 - LOGARITMOS
I. Conceito de logaritmo 51-8
11 ..Antilogaritmo 52-8
111. Conseqüências da definição 54-8
IV. Sistemas de logaritmos 55-8
V. Propriedades dos logaritmos 56-8
VI. Muda nça de base 63-8
CAPITULO IV - FUNÇÃO LOGARliMICA
I. Definição 69-8
11. Propriedades 69-8
111. Imagem 72-8
IV. Gráfico 72-8
CAPITULO V - EQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS
I. Equações exponenciais 77-8
11. Equações logarítmicas 79-8
CAPITULO VI - INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS
I. Inequações exponenciais 95-8
11. Inequações logarítmicas 97-8
CAPITULO VII - LOGARITMOS DECIMAIS
I. Introdução 109-8
11. Característica e mantissa 11 0-8
111. Regras da característica 110-8
IV. Mantissa 112-8
V. Exemplos de aplicações da tábua de logaritmos 115-8
RESPOSTAS DOS EXERCICIOS 121-8
TESTES 139-8
RESPOSTAS DOS TESTES 171-8
Leonhard Euler
(1707 - 1783)
Cego enxerga longe CAPÍTULO I
Desta definição decorre que:
1. Definição
I. POTENCIA DE EXPOENTE NATURAL
.A
POTENCIAS
E RAÍZES
1 • a = a
a· a
(a • a) • a = a • a • a
an-1 • a, V- n, n;;;' 1.
2. Exemplos
19) 3° = 1
29) (_2)° = 1
39) 51 = 5
49) (1)1 1
7 7
59) {_3)1 -3
para P natur,* e p;;;' 2, temos que a
P é um produto de
e, de modo geral,
p fatores iguais a a.
I número natural. Potência de base a eSejam a um número rea e n um
expoente n é o número an tal que:
Leonhard Euler nasceu em Basiléia, Suíça, onde seu pai era ministro religioso e pos-
suia alguns conhecimentos matemáticos.
Euler foi aluno de Jean Bernoulli e amigo de seus filhos Nicolaus e Daniel, receben-
do ampla ínstrução em Teología, Medicina, Astronomia, Física, Línguas orientais e Matemática.
Com o auxílio de Bernoulli entrou para a Academia de S. Petersburgo, fundada por
Catarina I, ocupando um lugar na seção de Medicina e Fisiologia, e em 1730 passando á
seção de Filosofia por ocasião da morte de Nicolaus e afastamento de Daniel. Tornando-se
o principal matemático já aos vinte e seis anos, dedicou-se profundamente á pesquisa com-
pondo uma quantidade inigualável de artigos, inclusive para a revista da Academia.
Em 1735 perdeu a visilo do olho direito mas suas pesquisas continuaram intensas che-
gando a escrever até mesmo enquanto brincava com seus filhos.
Conquistou reputação internacional e recebeu menção honrosa na Academia das Ciências
de Paris bem como vários prêmios em concursos.
Convidado por Frederico, o Grande, Euler passou 25 anos na Academia de Berlim,
voltando á Rússia em 1766.
Euler ocupou-se de quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicada sendo o maior
responsável pela linguagem e notações que usamos hoje; foi o primeiro a empregar a letra e
como base do sistema de logaritmos naturais, a le}G' grega 7r para razão entre comprimento
e diâmetro da circunferência e a simbolo i paraV-I. Deve-se a ele também o uso de letras
minúsculas designando lados do triângulo e maiúsculas para seus ângulos opostos; simboli-
zou logaritmo de x por Ix, usou L para indicar adição e fi x) para função de x, além de outras
notações em Geometria, Álgebra, Trigonometria e Análise.
Euler reuniu Cálculo Diferencial e Método dos Fluxos num só ramo mais geral da Mate-
mática que é a Análise, o estudo dos processos infinitos, surgindo assim sua principal obra,
em 1748, a "Introdução à Anàlise Infinita", baseando-se fundamentalmente em funções, tanto
algébricas como transcendentes elementares Itrigonométricas, logarítmicas, trigonométricas-in-
versas e exponenciais!.
Foi o primeiro a tratar dos logaritmos como expoentes e com idéia correta sobre loga-
ritmo de números negativos.
Muito interessado no estudo de séries infinitas, obteve notáveis resultados que o leva-
ram a relacionar Análise com Teoria dos Números, e para a Geometria, Euler dedicou um Apên-
dice da "Introdução" onde dá a representação
da Geometria Analítica no espaço.
Euler escreveu em todos os níveis, em várias Iinguas, publicando mais de 500 livros e
artigos.
Os dezessete últimos anos de sua vida passou em total cegueira mas o fluxo de suas
pesquisas e publicações não diminuiu, escrevendo com giz em grandes quadros-negros ou di-
tando para seus filhos.
Manteve sua mente poderosa até os 76 anos quando morreu.
Euler foi descrito pelos matemáticos da época como sendo a própria "Análise encarnada".
1-8
6l?)
7l?)
8l?)
9l?)
10l?)
11l?)
12l?)
32 = 3· 3 = 9
(_2)3 = (-2)(-2)(-2) = -8
(1.)4 = 1. . 1. . 1. . -1. _ 16
3 3 3 3 3 - 81
(-O,l)s = (-0,1)(-0,1)(-0,1)(-0,1)(-0,1)
03 = O, O· O = O
0° = 1
Oi = O
-0,00001
39 caso
{
a20 > O 'V n E N
a < O ~ 'a20+ I < O 'V n E N
isto é, toda potência de base negativa e expoente par é um número real positivo
e toda potência de base negativa e expoente (mpar é um número real negativo.
EXERCICIOS
EXERCICIO
6.1 Calcular:
ai (_31 2
6.3 Se o E t,I, calcular o valor de
Solução
ai (_3)2 = (-3) • (-3) = 9
c) _23 = - (2)(2) (21 = -8
6.2 Calcular:
b) _32 = -(3) • (3) = -9
d) _(_2)3 = -(-2)(-2)(-2) = 8
4. Propriedades
Se a E IR, b E IR, m EN e n E N, então valem as seguintes proprie-
.'dades:
Demonstração de P I (por indução sobre n).
Consideremos m fixo.
~
m •
~ = am-o a =F O em;;;' n
aO '
(a. b)o = aO • bO
a) (_3)3 b) (_2)1 c) 34 d) 17
e) (3. )3 f) (_ !)4 g) (-.!. )3 h) (.3.)03 3 2 3
i) _22 j) _(_ ~)3 k) (_11 10 I) (-1) 132
m) 0 7 o) (-4)0 o) _5° p) _(_1I 1S
3. Na defi~ição da potência aO, a base a pode ser um número real positivo
nulo ou negativo. '
Vejamos o que ocorre em cada um desses casos:
Ps •
b=FO
19 caso
_{ao = O
a = O ~
0° = 1
'V n E N, n;;;' 1
1l?) A propriedade é verdadeira para n = O, pois
29 caso
a > O ~ aO > O 'V n E N
isto é, toda potência de base real positiva e expoente n E til é um número
real positivo.
2-8
29) Suponhamos que a propriedade seja verdadeira para n = p, isto é
am • aP = am+p, e mostremos que é verdadeira para n = p + 1, isto é,
am • ap+1 = am+p+l . De fato
3-8
Demonstração de P3 (por indução sobre n). B.5 Simplificar (04 • b3)3 . (a 2 • b)2
1'?) A propriedade é verdadeira para n ~ 0, pois
(a • b)o ~ 1 ~ 1 • 1 ~ aO • bO
Solução
(é, b3)3. la2. bl 2 ~ (a4 • 3 • b3'3) ·la2•2 . b2) ~ a12 . b9 • a4 • b2
" a12+4 . b9+2 " a16 . b".
2'?) Suponhamos que a propriedade seja verdadeira para n ~ p,
(a • b)P ~ aP . bP, mostremos que é verdadeira para n ~ p + 1,
(a' b)P+' ~ ap+1 • bp+ l . De fato
(a • b)P+ I ~ (a • b)P • (a • b)
~ ap+1 • bP+ I
(aP • bP ) • (a • b) (aP • a) • (bP • b)
isto é,
isto é,
B.6 Simplificar as expressões supondo a • b =1= O:
(a4 • b2 )3
b) (a' b2)2
(a2 • b3)4 • (a3 . b4)2
e) (a 3 • b 2 13
Demonstração de Pó
Consideremos m fixo.
(por indução sobre n). B.7
d" - (+ b)2 - a2 + b27Se a e b são números reais, então em que con lçoes a - .
1~') A propriedade é verdadeira para n ~ 0, pois
(am)o ~ 1 ~ aO ~ am ' °
2'?) Supondo que a propriedade seja verdadeira para n ~ p, isto é,
(am)P ~ am ' P, mostremos que é verdadeira para n ~ p + 1, isto é, (am)p+ 1 ~
amo (P+I). De fato
As demonstrações das propriedades (P2 ) e (P4 ) ficam como exercícios.
As propriedades (P I ) a (Pó) têm grande aplicação nos cálculos com po-
tências. A elas nos referiremos com o nome simplificado de propriedades (P) nos
itens seguintes.
Nas "ampliações" que faremos logo a seguir no conceito de potência.
procuraremos manter sempre válidas as propriedades (P), isto é, estas propriedades
serão estendidas sucessivamente para potências de expoente inteiro. raciónal e real.
EXERCICIOS
B.4 Classificar em verdadeira (VI ou falsa (F) cada uma das sentenças abaixo:
a) 53. 52 " 56 bl 36 -O- 32 o 33
c) 23 . 3 o 63 d) (2 + 3)4 = 24 +" 34
e) (53)2 "_ 56 f) 1_2)6 _ 26
g) ~; _ (_2)2 h) 52 - 42 _ 32
4-8
11. POTÊNCIA DE EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO
5. Definição
Dado um número real a, não nulo, e um número n natural, define-se a
potência a-n pela relação
~~
Isto é, a potênCia de base real, não nula, e expoent.e inteiro negativo é definida
como o inverso da correspondente potência de inteiro POSitiVO.
6. Exemplos
19) 2"-1 ~ 1 121 2
29) r 3 1 123- 8
(_2)-3 ~ 1 1 139) (_2)3 -8 8
5-8
Estas potências tem as propriedades (P)
8. Com as definições de potência de expoente natural e potência de expoente
inteiro negativo, podemos estabelecer a seguinte definição:
49) (_1.)-2 , , 9
=--=3 (-1. )2 4 4
3 9
59) (--!.)-. , ,
2 (_-.l). -,-=
-32
2 32
EXERCICIOS
B.8 Calcular:
a) 3-1 b) 1_2)-1 c) _3-1 _1_3)-1d)
e) 2-2 f) (-3)-2 g) _5-2 (2.) -2h)
(~rl 1_ ~)-3
3
i) j) k) _(~)-2 _(_~)-33 2 I)
(0,1)-2
5 3
m) n) (0,25) -3 o) (-0.5)-3 (0,75) -2p)
q) _1_ r) 1 s) 1 12-3 (0,2)-2 (_3)-3 t) (0,01) -2
B.9 Calcular o valor das expressões:
a) 2-1 - (_2)2 -+: (-2) -I
22 + 2 2
Se a E IR e n E;Z então
{
'n-I
a •
an =
1
a-n
am . an = am+n
a
m
m-n
- = a
an
(a • b) n = an • bn
(~)n = ~
b bn
(am)n = am ' n
se n = O
a se n > O
se n<O e a*O
onde a E R', b E R', m E Zen E Z.
EXERCfclOS
B.10 Classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma da~ sentenças abaixo:
'9) Com a definição de potência de expoente' .dade (P4) Inteiro negativo a proprie-
b) 2-4 = -16
d) 3 -4 • 3' 1=
3
f) 52 = 58
5-6
h) 11'1 + rr-1 = 1
j) 32 • r 2 = 1
a3(-2) • b(-2) '1-2)
a-4·3. b3 ' 3
a) 153 ) -2 = ç6
c) (11' + 2)-2 = 11'-2 + 2-2
7-2
e) _ - 7-3
7 -. -
g) 2-1 _ 3-1 = 6-1
j) (T 3 )-2 = 26
Solução
la3 • b-2) -2
(a- 4 • b3)3
(a * O)
Se a = O e n E N', o-n 'e um símbolo sem significado.
Observações
29)
7.
passa a ter significado para m < n.
6-8 7-8
n E z.. e a E RI<-, simplificar as expressões:
-if8 ~ -2, -V4 ~ -2, ±V9 ~ ±3
39) Devemos estar atentos no cálculo da raiz quadrada de um quadrado
perfeito:
Exemplos
1t?) ..JT-5)2 ~ I-51 5 e não..JT-5)2 -5
mas
R ~ lal
são sentenças verdadeiras onde o radical "não é causador" do sinal que o antecede.
b) (aS. b3)2
(a 4 • b) 3
d) (a3 • b -4 13
a -2 • b2
fi (a-I + b-I) • (a + b)-I
b) a2n +3 • a n - l
a2(n -1)
dJ 8 n +4 - a 3 • a n
a4 • a n
a • b *- O, simplificar as expressões:
el la3 • b-21-2 . la· b-213
la 1 • b2) 3
(a -2 - b -2 I • Ia -I _ b -1)-1
111. RAIZ ENÉZIMA ARITMÉTICA 2t?) R ~ Ixl e não R ~ x
9. Definição
Dados um número real a;;' O e um número natural n, demonstra-se que
existe sempre um número real positivo ou nulo b tal que bn ~ a.
Ao número b chamaremos raiz enézima aritmética de a e indicaremos
pelo simbolo ,ifã onde a é chamado radicando e n é o indice.
EXERCICIOS
8.14 Classificar em verdadeira (VI ou falsa (FI cada uma das sentenças abaixo:
ai if27 =3b) V4 = ±2 cI ~ = 1
r:: e) .13 1~ = ~ fi ifO = Od) ··v 9 = -3 V "8 2
Exemplos
1t?) {./32 ~ 2 porque 2s ~ 32
2t?) if"8~ 2 porque 2 3 ~ 8
3<?) ..J9~ 3 porque 3 2 ~ 9
4t?) VO~ O porque 07 ~ O
5t?) t"1~ 1 porque 16 ~ 1
8.15 Classificar em verdadeira (V), ou falsa (F) cada uma das sentenças abaixo:
ai V0 = x2 , V x E IR -l
bl v';;!o = x S , V x E IR ~
c) -v;6 = x 3 • V x E If:l±) .}
di ~ Ix - 11 2 = x-I, V x E IR e x;;' 1 ..J
e)~ = 3 - x, V x E R e x';; 3 TI
10. Observações
2t?) Observemos na definição dada que:
V36 ~ 6 e não v'36 ~ ±6
Determinar a raiz quadrada aritmética de (x - 1)2.
b) . (2x - 3)2 cl x2 - 6x + 9 d) 4x2 + 4x + 1
x> 1
x = 1
x < 1
a) (x + 2)2
Determinar a raiz quadrada aritmética de
Solução
~ (x _ 1)2 = Ix-I I = {~- 1 ::
1 - x se
8.17
8.16
Da definição decorre ({f;)n ~ a.1<?)
8-8
9-8
Demonstrações
RI' yr;;m = n~
Façamos yr;;m = x, então:
x
np
= (yr;;m )np = [( yr;;m)n]p = [am]P == x = ne; amP .
R2 • ~ • .lfb =~
Façamos x = ~ • .lfb, então:
x
n
= (~ • lfb)n
= (~)n . (lfb)n = ab= x =~
R4 • (~)m = .cr;rn
Considerando n fixo em;;" 0, provaremos por indução sobre m. EXERCíCIOS
Notemos que se b E IR e n E 1\J·.··temos:
para b;;" 0, b· if;; =~
para b < 0, b· ~ = -!Y a • Ib In
isto é, O coeficiente do radical (a menos do sinal) pode ser colocado no radicando
com expoente igual ao índice do radical.
11. Propriedades
Se a E R+. b E R+, m E z.. n E IW' e p E IW', temos:
RI' ~ = n'~
R2 • ~ = if; • .lfb
R3 • Ir= ~ (b "* O)
R4 • (~)m =.cr;rn
Rs • ~ = p'~
Rs ·
12.
f/v;- = Pif;
Façamos x = f/if;, então:
xP = ({/if;)P = if; == (xP)n = (~)n== xpn = a== x = P~
A verificação da propriedade (R 3 ) fica como exercfcio.
Observação
Exemplos
1?) 2.if3 =~ = if24
2?) -5v'2 =-~ = -V5D
3?) -2\12 = -\12.24 =-~
B.18 Simplificar os radicais:1?) A propriedade é verdadeira para m = ° pois
(~)o= 1 ={Y"1=~ a) {/64 bl V576 c) .,Ji2 dllf27
aI ~ ~ lf26 ~ 22 ~ 4
bl v's76 = ...[26:32 = # . H ~ 23 • 3 ~ 24
c) .,Ji2 = y22:3 = n . ..[3 = 2..[3
d) W ~~=w.~ = 22.~ ~4~
29) Supondo a propriedade verdadeira para m = P. isto é (~)P = .çr;;p,
provemos que é verdadeira para m = p + 1, isto é
(~)P+l = {YaP+I .
De fato:
(~)P+I = (if;;)p • if;; = if;,> . if;; =~ = {Yap+1
Se m < 0, façamos -m = q > 0, então
10-B
Solução
B.19 Simplificar os radicais:
b) vG24
g) .Ji2ã
c) .vm
h) lf72
dI Vi96
i) \1512
e) \1625
B.22 Reduzir ao mesmo índice .,[3, Vi e ~.
Solução
O mínimo múltiplo comum entre 2. 3 e 4 é 12. então reduzindo ao índice 12, temos:
v3~~ ifi~~\f5~W
B.23 Reduzir ao mesmo índice
B.20 Simplificar as expresspes:
a) via + Vii + vn -v50
b) 5V1D8 + 2V243 - V27 + 2v'12
c) vSO - v'24 + .J125 - V54
di ";2000 + V2õõ + fi + Vi
el if12s -~ + ij54 - if16
fi ~375 -~ + .vB1 - if192
gl aij;;i;4 + bM + ~ a4b4 - 3ab<r.b
8.25 Efetuar as operações indicadas com as ral'zes:
a) Vi . Y18 bl Vi . Y15 . vSO
dI Vi . Y6 el VS' Y12
gl VS: V3 hl vS4 : VS
jl Vi· Vi kl lf3. lf2 . V5
ml Vi :Vi n) Y2 • lf2
~
Solução
a) v'12 . V3 - 2V27 . -/3 + 3Y75 • v'3 ~ v36 - 2vB1 + 3· vG25 ~
~ 6 - 2·9 + 3 '15 = 33
b) (3 + v'21 . (5 - 3v'21 = 15 - 9Y2 + 5Y2 - 6 = 9 - 4Y2
c) (5 - 2V312 = 25 - 20-/3 + 12 = 37 - 20v'3
B.26 Efetuar as operações:
a) (y'12 - 2V27 + 3Y751 . v'3
b) (3 + Vi) . (5 - 3v'2)
cl (5 - 2v'3)2dI VBx2b) ..;45x 3 y 2
B.21 Simplificar
al~
8.24 Efetuar as operações indicadas com as rafzes:
a) -/3. v12 bl -v24 : ij3
aI v'2. $, lf3
c) W . .,[3, W
d) .,[3 . :çr:;- el -Y4": \12
b) .,[3. -Y4, \12. t's
d) W, .J23. W. t'2s
fI 3fr. s!T"
'12' '12
B.27 Efetuar as operações:
a) 2v'3 (3V5 - 2vSO - V451 b) (VSO - v45 + 3~) : 2V5
cl (6 + Y2) • (5 - v'2, di (3 + V5) . (7 - V51
el (Y2 + 31 . (Y2 - 4) fi (2-/3 + 3Y21 . (5v'3 - 2Y2)
gl (2V5 - 4V7) • (V5 + 2V71 hl (3 + vS-1 2
il (4 _ V512 j) (2 + 3V712
k) (1 _ Y214
Solução B.28 Efetuar
aI (4via - 2Y181 : lf2 bl (3v'12 + 2Y481 : V3
cI (3Y18 + 2via + 3V32 - v50) .lf2
d) (VS + {.fi2 +~I : Y2
B.29 Efetuar
ai -/'-0=2---1 . )0 + 1
bl )7 + V24 . )7 -.J24
c) -/5 + 2Y6 . -/5 -2Y6
di Vi . -/2 +.J2. )2 + -/2 + Vi· )2 - -/2 +.J2
12-8 13-8
B.30 Simplificar:
aI Ja + v'b. Ja -v'b.~
bl (2~ + xV; + vvÍxl:~
c) (a • J+ + 2 y'";;b + b • ~) •~
d)Jp+~.Jp-~
e) Vx+.Jx2 _V 3 .1x-~
Racionalizar os denominadores das frações:
B.31 Simplificar as raizes:
a) ~.J6i
d)
• b)
Simplificar a expressão 2a~ sabendo que x = ..!.- ( ~ _ /1l)
. x + 1 + x2 2 Y b Y a
(O < b < a),
Mostre que 19 ({!2 - 1) = 1 - if2+ .v4.B.37
B.36
B.35 Simplificar a express~o:
x+~ x-~
x-~-x+~
B.34 Simplificar:
aI j 2 +..[3 + j 2 - ..[3
2-.,[3 2+.,[3
4s + vS7 - v'125
cl V12+ .J1õã - .J1ãõ
d) 1
1 +...[2-Y3
c) JaVa..[;
cl 5
3 -Vi
blJ~
1
b) -t'2a)_1Y3
B.32
IV. POTI:NCIA DE EXPOENTE RACIONAL
B.39 Calcular o valor de: x = J2 + J2 + J2 +~
Solução
aI _1_ = _1_ • Y3 _ V3
.J3 Y3 ..[3- 3
_1_ __1_ (f22 ~
b) ~ = ~ • Vii = -2-
_
-=-5-= 5 3 + v0cl 3-.,f7= 3-.,f7· 3+.,f7=
5(3 + Vi)
2
B.38 Mostre que 3 + 4 _ 1J7 -2.J1Q J8 + 4Y3 - J11 -2vf3õ
Se a = O e J:. > O, adotamos a seguinte definição especial
q
R: e J:. E O (p E ~ e q E 1\1*) define-se potência de base
q
pela relação
aP/q =~.
Dados a E
a ~ expoente .!!..
q
13. Definição
Exemplos
19) 31/2 ~ v'3
39) T 2I3 = </T2 =~
d) 1 1 (1 + ...[2) + Y3
1 + 'h -Y3 (1 + ...[2) - Y3 . (1 + ...[2) + ..[3 =
= 1 + ...[2 + Y3 . ...[2 _ (1 + ...[2 + Y3) • V2
2...[2 ...[2 - 4
Racionalizar o denominador de cada fração:
a)~ b)~ c)....L d)~V2 .J5 ..[6 3.j5"
e) _4_ 1 2 3
2Y3 f) {14 g) ~ h) (/2
il 1 ') 1 2 6
2 +.J3 J ../3-V2 k) 3 + ~...[2- I) 5 - 3../.2
m) 1 nl 4 1• 5
3...[2 - Y3 2..[5 - 3...[2 o) 2+Y3+~ p) 2-..;5+.../2
q) 3 ~-1
"-ÇIJ
-13-...[2+1 3 - 1
B.33
14-8 15-8
P ~ ~
(a . b)Q = {Y (a . b)P =~ = {l? . {YbP = aq bO
(a~)~ = ,y(at )r = yI( ij)r = j{Yapr = °yr;;p.r = r&'s
p r
aq "
Deixamos a demonstração das propriedades P2 e P4 como exercício.
14. Observações
19) O simbolo Op/o com ~ < O não tem significado, pois, ~ E (Q
q q
e q E "l* == p < O == oP não tem significado.
29) Toda potência de base positiva e expoente racional é um número
real positivo
a > 0== aP/o = U > O
EXERCICIOS
8.40 Expressar na forma de potência de expoente racional os seguintes radicais:
aI v5 b) ij4 c) V27 dI~ e)~
(ij22I' 1 1 (~)'fi g)- hl \19 i)vS
Demonstrações
r
aS qo~ aPs+ rq
8.41 Calcular, substituindo as potências de expoente racional pelos correspondentes radicais:
EXERCICIOS
8.42 Simplificar fazendo uso das propriedades IPI
S,,!ução
ai 163/4 ~ (24 )'114 ~ 23 ~ 8
bl 27-413 ~ (33 1-413 ~ 3-4 ~ 1
. 81
c) 181 21"4 = 1134 121"4 = 3' ~ 9
bl 27-4/ 3ai 163/4
e) (2.. 1-115
32
dI 1~)1/2
4
il 10,011-0•5
c) 10,25) -112
hl 10,81)-112
bl 64-112
91 I 2.. 13/4
16
Propriedades
aI 8"3
15.
8.43 Simplificar fazendo uso das propriedades IPI
ai 9 3/ ' b) 8413 . cl (2..1- 112 di 64 -2/3A
el 81-0·25 fi 2565/4 g) 1024"10 hl 1165/4 )215
il (322) -0.4 jl 1343 -21 1/3 kl (243-2) -2/5 I) (2162 )1/3
8.44 Simplificar
.!'. ..é l' +~
p!. aO aS aO s
p
aO: .!'. r
P,. aO s
r
aS
E. p p
P3 · (a b)O li bO:
P .!'..
P4 • (~)'i aOb E.
bO
As propriedades (P) se verificam para as potências de expoente racional.
Se a E R:, b E R:, ~ E (Q e ~ E (Q então valem as seguintes proprie-
dades: q 5
16-8 17-8
8.45 Simplificar supondo a > O e b > O:
(n+3/n-Ir-;::- n+I[""""""";")nLI
a) \ Y Va2 • V a-I
b) a5/6 • bl/2 • ~ a-1I2 • b-I • yra--"'"I-.-b"72-:::-/3
c) (a2/3 + 2 113 ) • (a{/; - {t'2a2 + .if4)
b • 112 + bll2d) ----=-..!! • [a ll2 • (a 1l2 _ bll2) -I _ ( a )-1]
a + b bll2
17. Definição
Seja a E IR, a > O e a um número irracional, consideremos os conjuntos
AI = {r E o. I r < a} e A2 = {s E o. I s > a}.
Notemos que
a) todo número de A 1 é menor que qualquer número de A2 •
b) existem dois racionais r e s tais que r < a < s e a diferença s - r
é menor que qualquer número positivo e arbitrário.
Em correspondência aos conjuntos AI e A2 consideremos os conjuntos
16. Dados um número real a > O e um número irracional a, podemos
construir, com base nas potências de expoente racional, um único número real
positivo aa que é a potência de base a e expoente irracional a.
Seja por exemplo a potência 312 . Sabendo quais são os valores racionais
aproximados por falta ou por excesso de V2, obtemos em correspondência os
valores aproximados por falta ou por excesso de 3J'i (potências de base 3 e
expoente racional, já definidas):
V. POTt:NCIA DE EXPOENTE IRRACIONAL
B1 ={ar lrEAI} e B2 ={aS lsEA2 }
Se a > 1, demonstra-se(') que:
a) todo número de B, é menor que qualquer número de B2 •
b) existem dois números ar e aS tais que a diferença aS - ar é menor que
qualquer número positivo e arbitrário.
Nestas condições, dizemos que ar e aS são aproximações por falta e por
excesso, respectivamente, de aa e que B1 e B2 são classes que definem aa.
Se O < a < 1, tudo acontece de forma análoga.
Exemplos de potências com expoente irracional
212, 4J3, 511", (~ )1+12, m- 12 , (V2)J3
19. Observações
18. Se a = O e.a é irracional e positivo, daremos a seguinte definição especial
Oa = O
42(.'/4 _ 1)
8.46 Se a > O mostre Que
1 1
-a71/"4-+--'a71/"'8-+-1 + al/4 _ a1l8 +
19) Se a = então la = 1, 'ti a irracional
1 2
1,4 1,5
1,41 1,42
1,414 1,415
1,4142 1,4143
--- ....... V2 .....----
8 1 8 2
31 32
31,4 31,S
31,41 31,42
31,414 31,415
31,4142 31,4143
29) Se a < O e a é irracional e positivo então o símbolo aa não tem
significado. Exemplos: (_2)12, (_5)J3 e (_V2)J3 não tem significado.
39) Se a é irracional e negativo (a < O) então Oa não tem significado.
49) Para as potências de expoente irracional são válidas as propriedades (P).
(.) A demonstração está nas páginas 24, 25 e 26.
18-8 19..e
EXERCICIO
8.47 Simplificar
a) 3. 2J3 . 2-J3
d) (3 J2 -1)J2+1
g) (5 J2 +Ji : 25 J2 -Ji)Ji
b) 12'if3) lf:i
a) 21 +Ji . 4-Ji2
h) (415 : aJ2õ )-IIJ'S
VI. POTÊNCIA DE EXPOENTE REAL
20. Considerando que já foram definidos anteriormente as potências de base
a la E IR:) e expoente b (b racional ou irracional) então já está definida
a potência ab c~m a E IR: e b E IR.
21. Observações
OS MAIORAIS EM ALGEBRA
Solicitado a relacionar os vinte maiores algebristas de todos os tempos. o
grande matemático francês André Veil. um dos componentes do grupo Bourbaki.
alinhou os seguintes nomes:
1!lI
positivo.
2~)
isto é.
Toda potência de base real e positiva e expoente real é um número
a> 0== ab > O
Para as potências de expoente real são válidas as propriedades (Pl.
ab • aC '= ab+c (a E IR:. bE IR e cE IR)
a
b b-c (a E IR:, bE IR cE IR)- '= a e
a
C
(a • b)C '= aC . bC (a E IR:, b E IR: e c E IR)
c(~)C '= ~ (a E IR:. b E IR: e c E IR)
b bC
(ab)C '= ab ' c la E IR:, b E IR e c E IR)
Fermat
Euler
Lagrange
Legendre
Gauss
Dirichlet
Kummer
Hermite
Eisenstein
Kronecker
Riemann
Dedekind
H.Weber
Hensel
Hilbert
Takagi
Hecke
Artin
Hasse
Chevalley
(1601 - 1665)
(1707 - 1783)
(1736 - 1813)
(1752 - 1833)
(1777 - 1855)
(1805 - 1859)
(1810 - 1893)
(1822 - 1901)
(1823 - 1852)
(1823 - 1891)
(1823 - 1891)
(1831 - 1921)
(1842 - 1913)
(1861 - 1941)
(1862 - 1943)
(1875 - 1960)
(1887 - 1947)
(1898 - 1962)
(1898 - )
(1909 - )
20-8
Esta lista é. no entanto, considerada incompleta uma vez que, por uma ques·
tão de elegância, Veil não se incluiu na relação. faltando com a verdade.
CAPÍTULO II
-FUNÇAO
EXPONENCIAL
I. DEFINiÇÃO
22. Dado um número real a, tal que O< a i= 1, chamamos função exponencial
de base a a função f de IR em FI que associa a cada x real o número aX •
Em símbolos: f: R -----> IR
x ------+ aX
Exemplos de funções exponenciais em R
1
a) f(x) = 2x b) g(x) = ("2)X
d) p(x) = lOx e) r(x) = (.J2)X
11. PROPRIEDADES
c) h(x) = 3x
H) Na função exponencial f(x) = aX , temos
x = 0= fIO) = aO = 1
isto é, o par ordenado (O, 1) pertence a função para todo a E IR: - {1}.
Isto significa que o gráfico cartesiano de toda função exponencial corta o eixo y
no ponto de ordenada 1.
2'!) A função exponencial f(x) = aX é crescente (decrescente) se, e
somente se, a > 1 (O < a < 1), Portanto, dados os reais Xl e X2, temos:
I) quando a > 1:
11) quando O < a < 1:
XI < X2 == f(XI) > f(x2)
23-8
A demonstração desta propriedade exige a seqüência de lemas e teoremas
apresentadas nos itens 23 a 30.
3~) A função exponencial f( x) ~ aX , com O < a =/= 1, é injetora
pois, dados XI e X2 tais que XI =/= X2 (por exemplo XI < X2) vem:
Se a> 1, temos: f(xI! < f(X2)
Se O < a < 1, temos: f(xI! > f(X2)
e, portanto, nos dois casos, f(xl) =/= f(X2).
24. Lema 2
Sendo a E IR, a > 1 e r E 0., temos:
ar > 1 se, e somente se, r > O
Demonstração
li! Parte
Provemos a proposição r > 0= ar > 1
1
-
Pelo lema 1, se , -:: (aq)q > 1 e q > O então a
q
> 1. Ainda pelo
1 ~ 1
-
-
mesmo lema, se aq > 1 e p>O então (a
q )p > 1, ou seja,
23. Lema 1
Sendo a E R, a> 1 e n EZ, temos:
a
n > se, e somente se, n > O
Demonstração
Façamos r ~ ~ com
q
p, q E ~*, então:
P
ar ~ aq
P 1
ar = aq = (aq)p.
Supondo agora, q < O, isto é, -q > O, pelo lema 1 temos
2? Parte
Provemos agora a proposição: ar > 1==> r > O
Façamos r = E.. com p E:l. e q E z.*, então
q
p > O
q
1 P
(aq)p ~ aq = ar > 1
1 1
e (aq)p ~ (a q r P > 1= -p > O==> p < O
q < O e p < 0== r
1 1
aq > e (aq)p > 1==> P > O
"--"
q > O e p > 0== r = ~ > Oq
1
a q >
Logo
Logo
1
Supondo, q > O e considerando que na 1~ parte provamos que aq > 1,
temos pelo lema 1:
I? Parte
Provemos, por indução sobre n, a proposição: n > 0= an > 1
1'?) é verdadeira para n ~ 1, pois ai ~ a > 1
2'?) suponhamos que a proposição seja verdadeira para n ~ p, isto é,
lP > 1 e provemos que é verdadeira para n ~ p + 1.
De fato, de a > 1, multiplicando ambos os membros desta desigualdade
lor aP e mantendo a desigualdade pois aP é positivo, temos:
a > 1= a • aP > aP "" aP + I > aP > 1
2? Parte
Provemos, por redução a absurdo, a proposição:
a
n > 1==> n > O
Supondo n";: O temos, -n;;' O.
Notemos que n ~ O= aO = 1 e pela primeira parte -n > O==> a-n > 1
portanto
Multiplicando ambos os membros dessa desigualdade por an e mantendo
o sentido da desigualdade pois an é positivo, temos
a-n ;;, 1==> an • a-n ;;, an ==> 1 ;;, an
o que é um absurdo, pois contraria a hipótese an > 1. Logo, n > O.
24-8 25-8
Z5. lema 3
Demonstraçaã
Sejam os dois conjuntos que definem o número irracional CI,
Sendo a E IR, a > 1, r e s racionais, temos:
aS > ar se, e somente se, s > r.
Sendo a E IR, a > 1 e CI E li - lO, temos
a
Cl
> 1 se, e somente se, CI > O
a
Cl > O, vem:
redução a absurdo, agora a proposição:
i Jl >1=CI>0
CI < O, isto é, -a > O.
parte deste teorema, temos:
a> 1, -a E IR - CIl} = a-Cl > 1
-a> O
ambos os membros da desigualdade obtida por
a-Cl • aCl > aCl
Mu Itipl icando
2i! Parte
Provemos, por
Suponhamos,
Pela primeira
isto é,
o que contraria a hipótese, logo
CI>O
S-r>O-=>
(lema 2)
==
Demonstração
aS > ar -=> aS • a-r> ar • a-r -=> as-r> 1
-=> s> r
lema 426.
AI = f r E lO I r < O'} e A2 = {s E lO j s > O'}
27. Teorema 1
e em correspondência os conjuntos de potências de expoentes racionais quedefinem aO',
E IR a > 1 e b E R, temos:Sendo a ,
ab > 1 se, e somente se, b > O.
Demonstração
(ab > 1 -=> b> O)
lf1 Parte
Provemos a proposição b E IR
lIema 21 lab > 1
<===> { b E lO ~ema 4~u
bEIR-lO =
b > O)
Pela definição do número O' irracional e positivo, existem r E AI e sE A
2tal que O < r < CI < s.
Pelo lema 2, como a> 1, r> O e s > O, temos: ar > 1 e aS> 1.
Pelo lema 3, como a > 1 e r < s, temos: 1 < ar < aS e, agora, pela
definição de potência de expoente irracional, vem
28. Teorema 2
Sendo a E IR, a> 1, Xl E IR e X2 E IR, temos:
aXl > aX2 se, e somente se, Xl > x2
isto é,
1 < ar < aO' < aS
Ileorema 1)
: :
26-8
27-8
IV. GRAFICO
29. Teorema 3
Sendo a E IR, O < a < 1 e b E IR, temos:
a
b > 1 se, e somente se b < O. 32. Com relação ao gráfico cartesiano da fu nção f (x) = ax' podemos dizer
su bstituindo
x
xy=a
(0<a<1I
x
a curva representativa está toda acima do eixo dos x, pois y = aX > O
x E IR.
corta o eixo y no ponto de ordenada 1.
é o de uma função crescente e se O< a < 1 é o de Uma
v
1ÇI)
para todo
2?)
3?) se a > 1
função decrescente.
4?) toma um dos aspectos da figura abaixo.
Se O < a < 1 então ~ > L
a
Demonstração
Seja c = ~ > 1, pelo teorema 1, vem:
a
c-
b > 1 <==> -b> O
1
c = -, temos:
a
Sendo a E IR, O < a < 1, XI E IR e, x2 E IR, temos:
a
XI > aX2
se, e SOmente se, Xl < x
2
•
30. Teorema 4
y
.- i---r--+--
f---~
6 I
5 I
4 1/1(;<)- 2x
3 J
2 1/
V
I--,./1 ~
-4 -3 -2 -, 1 2 3 4 x
X Y = 2x
1
-3 8
1
-2 -4
1
-1 2
O 1
1 2
2 4
3 8
1?)
33. Exemplos
Construir o gráfico da função exponencial de base 2, f(x)> 1 ~ aX1 - X2 > 1 lteo=rema 3)~ XI - x 2 < O <==>
Demonstração
111. IMAGEM
31. Vimos anteriormente, no estudo de potências de expoente real que se
a E IR:, então aX > O para todo X real.
Afirmamos, então, que a imagem da função exponencial é
28-8
29-8
1 )X2?) Construir o gráfico da função exponencial de base 2"' f(x) ~ (2" .
EXERCICIOS
7 Y
e
x
6y ~
5
4 I
._--r··
3
-- -
1---2 /r--r --_.- --- /1r-- - .. -_."V
-4,-3 -2 -1 O 1 2 3 x
r--r'l .f--r-- f-- -
L.......L.-.
e) y =: 10- x
x eX
-3 005
-2,5 008
-2 0,14
-1,5 0,22
-1 0,36
-0,5 0.60
O 1
0,5 1,65
1 2.72
1,5 4,~ª------
2 7,39
2.5 12,18
3 20,80
. f nções exponenciais:Construir os g-áficos cartesianos das seguintes u
b) y " ( 2..
3
)x c) Y " 4 xai y " 3x
1 x
f)y"lel
B.48
y
8
7
\ 6
\ 5,
4
flxl" (·~·f 1\ 3f-~;' .. _
\ /2t-- _
r\. 1 ---r-I-- --- -
-
,~
-l3
-2 -1 1 2 3 4 xt-- -
,
x y ~ (~)X
2
-3 8
-2 4
-1 2
O 1
1 1-
2
2 1-
4
3 1
8
3?) Construir o gráfico da função exponencial de base e, f(x) ~ eX,
Um número irracional importantíssimo para a análise matemática é indicado
pela letra e e definido pela relação:
6.49 2x-l- IR definida por f(x) ~ 2Construir o gráfico cartesiano da funçao em
Solução:
maneira: atribuímos valores a 2x - 1,Vamos construir uma tabela da seguinte
calculamos 2 2X - 1 e finalmente x.
e ~ Iim
x .... O
'/=
A demonstração de que o citado limite existe será feita futuramente
quando fizermos o estudo de limites. A tabela abaixo sugere um valor para
e (com quatro casas decimais): e == 2,7183
x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001
1
(1 + xIx 11+1)1=2 11+0,1)10=2,594 11 +0,01)100" 2,705 2,717 2,7182 2,7183
30-8
y
t--= 22X - 1 f-"x 2x - 1 y
8
.- ..-- .. - 1--- -
1 7
-3 ---- t- r-1 8
6
1 r-
flx) = 22X -!1 52" -2 "4 f-' - --- -
41 1--- --.O -1 2 3 1-f-1 O 21---2
_1 :/ I2 - 1-1 l--'3 2 4
2 3 4 ,5 x-2 -12
_ ..
r--i--2 3 8
._-~_.~--
31-8
8.50 Construir os gráficos das funções em IR definidas por:
X+l
b) f(x) ~ 3Z-
cl f(x) = 2 1X1
8.53 Construir os gráficos das funções em
a) t(x) = 2x - 3
1 x 1b) t(x) ~ (:3) +
IR definidas por:
c) f(x) = 2 _ 3 x
d) f(x) = 3 _ ( .1 )x
2
8.52 Construir o gráfico da função em IR definida por f(x) = 2 x + 1_
8.51 Construir os gráficos das funções em IR definidas por:
a) f(x) ~ 2 x + 2- x bl f(xl = 2x _ 2-x
Solução:
Notemos que o gráfico deve apresentar
para cada x uma ordenada y que
é o valor de 2
x
mais uma unidade.
Assim, se cada 2x sofre um acréscimo
de 1, tudo se passa OOmo Se a exponen~
cial y = 2
x
sofresse uma translação
de Urna unidade "para cima",
x-I e calculando 2X --1, 3. 2X-1
x x - 1 2X- 1 y=3'2
x
-
1
1 3
-2 -3 8 8
1 3
-1 -2 4 "4
1 3
O -1
"2 "2
1 O 1 3
2 1 2 6
3 2 4 12
4 3 8 24
v
13
12
11
10
.
9
8
L
-c---
6
!i 74
3 I
-I
./
-- .-I---r..-i/ 1
1 2 3 4 5 6 7 8 X
x-I
Construir o gráfico da função em IR definida por t(x) = 3 • 2 .8.54
Solução
Vamos construir uma tabela dando valores a
e x. Temos:
x 2 x y = 2 x + 1
-3 1 9
8 8
-2 1 5
"4 "4
-1 1 3
"2 2
O 1 2
1 2 3
2 4 5
3 8 9
-T--'-- -
y
8 I
f-- t--- 7 Y~2x+l.1--
lJí6
!'i I
4 l'
. '-.
3 Vi
21/ /- =2)(
-
V, ,,
--
-
-r_-
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x
x 2 x y = 2 x + 1
1
-3
8
--2 1
"4
-1 1
"2
O 1
1 2
2 4
3 8
(~)2X + 1
2
(-.!..) Ixl
2
di f(x)
el f(x)
x 2x y = 2 x + 1
-3
-2
-1
O
1
2
3
32-8
33-8
EXERCíCIOS8.55 Construir os !Táficos das funções em IR definidas por:
1 x
a) f(x) ~ 2" • 3
b) f(x) ~ 0,1 • 2 2X - 3
8.56 Resolver as seguintes equações exponenciais:
x 1
a) 2x ~ 64 b) 8 ~ 32
c) (y3)X ~ {!81
S ~ {' ~}
. 3
1
bl 8x ~ 32
S~{- ~}
Solução
x
_ 2 x ~ 26 =- x ~ 6ai 2 ~ 64 ~
S ~ {6}d) f(x)
V. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
c) f(x)
di (~Ix" 1255
4 3 r::f) 1\(3)x ~ y 9
x 1
h) 4 = 8
SI. x 1il (y41 ~--
Vã
Ii 8x = 0,25
n) (~)x = 2,25
3
g) 9 x = 27
I) (_1_ IX = 25
125
k) 100x " 0,001
ml 125x = 0,04
Resolver as seguintes equações exponenciais:
bl 3 x " 243a) 2 x " 128
x 1
cl 2 = 16
el 1~lx = 8
8.57
Equações exponenciais são equações com incógnita no eXpoente.
Exemplos
2x = 64, (.,(3)X =~, 4x - 2x = 2.
Existem dois métodos fundamentais para resolução das equações ex-ponenciais.
Faremos a apresentação agora do primeiro método, sendo que o segundo
será apresentado quando do estudo de logarítmos.
34. Definição
16
nl Sx2 - x = 4x+ 1
2f) 52X +3x-2 := 1
hl 7 3X + 4 = 492X -
3
il (y'2)3 X- 1 = 1Z!i6)2X-I
g) 81 1- 3X = 27
5 3X
- 1 = (_1_)2X+3il 25
k) 82X + 1 =~
m) 27 x2 + 1 = 9 5X
cl 11 2X +s = 1
2
e) 3x +2x = 243
Resolver aS seguintes equações exponenciais:
b) 74X + 3 = 49
x 2 -x-16di 2
a) 2 3X - 1 ~ 32
8.58
(O < 8=1oHI
35. Método da redução a uma base comum
Este método, como o próprio nome já nos diz, será aplicado quando,
ambos os membros da equação, com as transformações convenientes baseadas
nas propriedades de potências, forem redutíveis a potências de mesma base
a (O < a =lo 1). Pelo fato de a função exponencial f(x) = aX ser injetora,podemos concluir que potências iguais e de mesma base têm os expoentes iguais,isto é:
35-834-8
8.59 Resolver as equações exponenciais abaixo:
a) (2
X
)X-1 = 4 b) 32x-1. 9JX+4 = 27
x
+
1
c) y'5X=2. V"252X - S _ 2,j'5JX-:I = O
8.63 . ões exponenciais:Resolver as se90 .ntes equaç + 1
. bl 4xa) 4x - 2x = 56
- 9 • 2 x + 2 o
bj 3
2X
-
1
• 9
3X
+
4
" 27
X
+
1 = 32X - 1 • (3 2)3X+4 = (3 J)X+1 =
= 3
2X
-
1
• 3
6X
+
8
= 3 3x + J = 38x + 7 3JX + 3 =
Solução
a) (2
X
)X-l = 4 = 2
x2
-
x
22 = x2 _ x 2 = x = 2 ou x = -1,
S={2,-I}
0=- 9 • 2x + 2
1
2 ou y = 4
(2 X )2 _ 2 x _ 56 = O- 2 x - 56 = O =
r = y, temos:
temos:
pondo 2 x = y, temos:
5 = {3}
De y = 8,
y2 _ Y _ 56 =
Observemos que y = -7.
2x = 8 = 2x
4/-9y+2=0=Y
xbl 4 x + 1 - 9' 2x + 2 = 0=4·4
= 4, (2x )2 - 9 • 2x O
Solução 2 x
aI 4 x - 2x = 56 = (2 )
d ma incógnita auxiliar, isto é, pondoempregan o u
O = y = 8 ou y = - 7
não convém, pois y = 2x > O
3x -2 _
~
3X-252X _
x
4x - 10
+-
3x -2
52)(=X-2
~
4<==> 8x + 7 = 3x + 3 <==> x = - 5'
X-2 + 4x-IO
=5-2- x
= x
2
+ 3x - 18 = O _ x = 3 ou x = -6
S = {3, -6}
x 2x ~ 2X-S
c) ~. V25 2X - S = Y53X-2 <==> 5 2 • (52) x
B.60
-2
81
---
(x +...!...)
3 x
=x
1
""""4
3x - 2
ou
30
2x - 1 2X
'x+l 28X+12 _ 26X+S
- 16" =
seguintes equações exponenciais: x
b) 9 x + 3 = 90
xdi 4x + 4 = 5 • 2
f) 52X + 5x + 6 = O
x -I 1 Oh) 102X -I - 11 • I? + =
2x 4 2X - 2" _ 8 = Oj) 5· 2 -
as seguintes equações exponenciais
3
mas y = 2x• então:
2 X = 2 = x = 1
S={l,-2}
x __1_5 +
ai 3 - 3x - 1
b) 2 x + 1 +
./
Resolver a equação exponencial
.(x2 + ...!. I
3 x2
c "fX 2525" x _ 124 • 5 = 1 •Resolver a equação
Resolver
Resolver as
a) 4 x - 2 x - 2 = O
c) 4 x - 20' 2x + 64 = O
X+ 1 4e) 9 X + 3 =
gl 22 x + 2x + 1 = 80
il 4 x + 1 + 4 3- X = 257
B.65
B.64
8.67
B.66<==>
<==> 2 X - 1 • 15" 120 <==>
X-I = 3 <==> x = 4, S = {4}.
Resolver as seguintes equações exponenciais:
a) (2
x
)x+4 = 32 b) (9X+1)x-1 = 3 x2 + x + 4
c) 2
3X
-
1
• 4
2X
+
J
= 8
3
-
x
d) (3 2X - 7)3: 9X+1 = (3 JX - 1)4
3 X+ 2 • 9 x 81 2Xe) 2
JX
+
2
: 8 2x - 7 = 4 X - 1 f) = _
243SX+ 1 273 -4x
gl X+~ = 2 x - s h) 83X " ~: 4
x
- 1
i) x-1~_ 3X-.yr8x-3=0 j)~.X+~ =~
Resolver a equação exponencial: 2 X - 1 + 2 x + 2X+1 _ 2X+2 + 2x+J = 120
Solução
Resolvemos colocando 2x - 1 em evidência
2
X
-
1
+ 2 x + 2 x + J _ 2X+ 2 + 2X+ 3 = 120
= 2
x
-1 (1 + 2 + 22 - 23 + 24) = 120
= 2 X -1 = 8 ==o- 2 X - 1 = 2 3 ==o-
Resolver as seguintes equações exponenciais:
a) 3x - 1 - 3 x + 3 X + 1 + 3 X + 2 = 306
b) 5x - 2 _ 5x + 5 x + 1 = 505
c) 2
3x
+ 2
3X
+ 1 + 23X + 2 + 2 3X +J " 240
d) 5
4X
-
1
- 54X _ 54X + 1 + 54X+2 = 480
e) 3· 2x - 5· 2 X + 1 + 5. 2 x + 3 _ 2x+s = 2
f) 2· 4x + 2 - 5 • 4 x + 1 _ 3 • 22 x + 1 _ 4 x = 20
B.61
8.62
36-8
37-8
06 = 1 (falso)
~ Resolver a equação
(2X2 -3X-2) 1(x2 - x + 1) = •Resolver em IR a equação
2x (2 + x) xX + x3 = O.Resolver em IR + a equação x
- x
a equaçao- 4x + eX ~ 2' gX.Resolver8.77
8.76
8.75
Resolver as equações em IR+:8.74
a) x = xx
b) x+l = xx
c) x4 - 2X = x
dI
2X2 - 5x+ 3 _ x
x
e) x2 - 2X-7 = xx
8.73 Resolver as equações em A+:
a) x2 -3x
b) x2X + 5 1
c) xx2-2~1
d) xx2 -7x +12 ~ 1
el xx2 -3X-4 = 1
x
2
Resolver as equações em IR+:
a) xX 2 -5X+6 == 1
Solução
a) Devemos examinar inicialmente se O ou são soluções da equação.Substituindo x = O na equação proposta, temoS:
B.71 Resolver a equação
SX _ 3 • 4 x _ 3 • 2x +1 + 8 O
B.72
8.68 Resolver a equação exponencial
3x + 3-x
3x _ 3-x
~solver a equação exponencialL/ 1 14X
_ aX-2 = 3X+2 _ 22X- 1
logo, O não é solução.
Substituindo x = 1 na equação, temos:
12 ~ 1 (verdadeirol
Solução
Dividindo por gX, temos:
x 4x +4x + eX = 2 • 9 <==> gx
y, temos:Fazendo
_ ( ~ )2X + (~ )x _ 2 = O.
.33
(~)x
3
,lSB0 é sglucão da equação.
Supondo agora O < x * 1, temos:
xx
2
-5x+ 6 ~ 1 ==> i _5x + e = o = x = 2 ou x = 3
Os valores x = 2 ou x = 3 são soluções pois satisfazem a condição O < x * 1.
(~)x = 1 <== x ~ O3
S ~ {O}
Resolver as equações:
x gX) 4x + 2' 14 = 3·4
:) 22X+2 _ eX _ 2 • 32X +2 = O
S={1.2,3}.
b) Examinemos inicialmente se O ou 1 são soluções da equação proposta:
04 = O (verdadeiro) =' x ~ O é solução
1 -I = 1 (verdadeiro) = x = 1 é SOlução.
Supondo, O < x * 1, temos:
2X 2-7X+4 2 • 2 1x ~x=2x -7x+4=1=2x -7x+3=0=x~3 ou x=2"'
Os valores x = 3 ou x = ~ são soluções pois satisfazem a condição O< x * 1.
B.78
i+y-2=0 <==>
2 x
-mas Y ~ (3" I , entao
{
y = 1
ou
Y =-2 (não convém)
39-8
38-8
8.79
Resolver os Seguintes si.temas de equações:
Resolver o sistema de equações
[xv2-lSV+S6 = 1
Lv - x= 5
12 m
.111,·,111111111111111111111111111
2 I IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIH m1111111111111111111111111111111111111111111111111111111 H
O
11 ',IImmIIJJJJJJJJJJJ.'1IIii':':::"""'IIIII"1
J'"'"""I1I""' "11I1I1I1"""IIII"I.""""I1"""I1"""'""'R"""""""""""""'~'~""""""""""""""'"" m
-------- eUllllllllllllllllllllllllllllll1 m
@
J EIRim;;;'12}51 = lm
.- é positivab) somente uma rBIL
®
(Dn@n@
b)
d)
24
16v
= 4 v
a)
c)
B.80
1=<O ==?m <-"2
m;;;' 12}.ou12
Proposta, admitaequação exponencialpara que am,
VI >0>Y2 ~a' 1(01 = 2m + 1
==> 52 = {m E IR Im <-+}
VI > O e V2 = O = 5 = m
0=m>2 e= 2m +
=
dos valores deO conjunto real é:
s uma raizpelo mano
U 52 U 53 = {m E R I rn < -5 = 51
b) [=:
Resolver Os sislemas de equações para X E IR+ e y E IR+
a)
ReSOlver o sistema de equações para X > O e y > O e sendo m. n > O
Para que valores reais de m a equação 4x _ (m _ 2) • 2x + 2m + 1 O
admite pelo menos Uma raiz real?
B.81
8.82
B.83
O
O
raiz real.admita pelo menos umaequações abaixo,rea I, para que asm
a equaçãom real, para que
menos uma raiz real.
Determine
2x 12 + 31 • 3x + (m + 3) = Oai 3 - m
X+ 1 + 17 _ 2ml22X + 1 _ (2m _ 31 • 2b)
1} 3x + (m -1) = Ocl m' gx - (2m +
Determine
admita pelo
6.84
B.85
y2 - (m - 2) v + (2m + 1) = O
V, temos:
Solução
Pondo 2 x
Lembrando que a equação exponencial admitirá pelo menos uma raiz real se eXistir
y = 2
x
> O, a equação acima deverá ter pelo menos Uma raiz real e Positiva.
Sendo f(y) = y2 - (m - 2) v + (2m + 1), temos:
a) as duas ra(zes são positivas
O<a*l,comm,
. elo menos uma raiz2x + 2-x = m admite p
m, a equação
admite raiz real?
Para Que valores reais de
reais de m a equaçãoPara que valores
real?
8.87
6.86
m-2>0 >~ =m 2
= .::l ;;;;, O, ~ > O e a' 1(0) > O2
.::l;;;;, O<==.::l = m
2
- 12m;;;;' O = m .ç O ou m;;;;' 12
S S2 >0 =2
Mostre Que
40-8
a • fIO) > O
= a. fIO) 2m + 1 > O
=m>_ 1
2
8.88 a equação
a2X _ (m +
admite pelo menos uma
11 a X + Im - 11 = O, com
. real qualquer que sejaraiz ,
O<a*l,
m real.
41-8
VI. INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
36. Definição
8.90 Classificar em V ou F as seguintes sentenças:-
\ 32 ,7 > 1 b) (~)-I,5 > 1 c) (0,3)°,2 > 1ai 5
12 )-0,32 < 1 e) ]f..fi > 1 t) e-.[3> 1d) 5
el (.J31-0 ,5 < 27-0 ,1
gl 8-1,2 > 0,252 ,2
Inequações exponenciais são as inequações com incógnita no expoente.
Exemplos
2 x > 32, 1V5)X > lf25, 4x - 2> 2 x.
Assim como em equações exponenciais, existem dois métodos fundamentaispara resolução das inequações exponenciais.
Do mesmo modo, usado no estudo de equações exponenciais, faremosa apresentação agora do primeiro método e o segundo será visto no estudo delogaritmos.
8.91
8.92
Classificar em V ou F aS seguintes sentenças: 1.520,4 > 4°,3 bl 8 1,2 > 4
a) ( 1 ) S,4 < (2- )1,6c) 93,4 < 32,3 dl..j2 8
31. 2 If) IVB)-I,2 > I'V 4) ,
h) I~ )2,S < (2,25)-1.2
3
, . ções exponenciais:Resolver as seguantes Inequa
3 x >- ~a) 2x > 128 bl I '5) "'" 2737. Método da redução a uma base comum
Este método será aplicado quando ambos os membros da inéquação puderemser representados como potências de mesma base a lO < a "" 1).
Lembremos que a função exponencial f(x) ~ aX é crescente, se a > 1,ou deaescente, se O < a < 1, portanto:
Se •. b •e c sio. n6mere:JS reais entiopara .a >1·' tem-sfl ab > aC .............. b>pera O<:;a < 1 tem-slt' .b > aC
_
_
Solução
ai 2x > 128~ 2 x > 2 7
x> 7Como a base é maior que um, vem
S = {x E IR \ x > 7}.
3 x ~ I 3 1-33 x>- 125 ~ (-5) "" 5bl 15'1 7 27
O e 1, temos x';;;-3Como a base está compreendida entre
s= {xEIR \ x';;;-3},
, 3
34r;; '3 < 24cl (;J2)x <v 8 ~ 2
cO mo a base é maior que 1, temos:EXERCfclOS
s = {x E IR I x < i}·
{ - ·~-7"
'./ /' - ",' It~~ 43-8
1j) (0,01)'';;; -==
v'1õOo
d) (.1.- IX ;;, 1255
• ponenciais'Resolver as seguintes inequaçoes ex
.
1 x> 1bl (3') 81
3,-; 1
oi (V 3)x ,;;; 9'
a) 2x < 32
8.93
(v) ou falsa CF) as seguintes sentenças:
b) (0.5)1,4> (0,5)1,3
d) (~)3.1 < (~ )2,54 4
t) 10,11)-3,4 < 10,11)4.2
h) (2- 14 ,3 < 1..!-) -1,5]f ]f
3 2
i) (~)4> (-13)3
8.89 Classificar em verdadeira
a) 21,3 > 21,2
c) (~)-2,3 > (~)-I,73 3
e) (-/2)13 < (-/2)-12
42-8
3. _.._
x - 1
X+T
x + 1
~ X"""=1
-1 3
II
+ O -_3x
2 + 8x + 3
- O +-
,
+ + +x + 1 - O +
- O + +x - 1 - -
I
II I
I
_3x2 + 8x + 3 I I
+ -
I + O
- I- I
1 I2(x+l)(x-ll I
.AJ..
x+l x-l !
.~ x=I. X+T < 7 2 -===00c) X-~: X+.(..!7X=T <V 343~7 .7
~-~~! x+l x-l <2 <===>
<===> 7 X- 1 x+1 <,2 <== x-:-T - X+1 2
3 - 3x2 + 8x + 3 < O
2 < O~ 2 (x + 1) (x - 1)
- 1 ';;x';;l~ 5x2 - 6x + 1 "" O<====> 5
S = {x E IR I ~ .;; x .;; 1}
Resolver as seguintes inequações exponenciais:
a) 32X+3 > 243 b) 2 5X - 1 ;;;. 8
c) 1O.1)3-4X < 0,0001 d) 75X - 6 < 1
e) (0,42)1-2X ;;;. 1 f) 3x2_5X+6 > 9
g) 2
x2
-
X
';;64 h) 1O,3)X2-2X-8;;;'1
i) 4
x2
+
1
';;32 1- x j) 27x2-3 >9
k) (0,01)2X2+ 1 ;;;. 1O,001)3X I) 83X2_5X> .l
16
;;;. (0).7)2X+ 1
aI 8 < 2x < 32
b) 0,0001 < (O,l)x < 0,01
c) 1 < 3x < 81
d) -! .;; 4 x .;; 3227 8
e) .!..- «~)x< 3
f) 0,1 < 100x < 1 00027 9 2
g) 4 <81x1 <32 h) 25 < 1252x - 1 <125I) (0,3) X- 5 .;; (O,09)2X+ 3.;; (0,3) x+ 6 j) 1 .;; 7x2
- 4x+ 3 .;; 343
k) 3x2-3 <3x2_5X+6 <9
8.94
8.95 Resolver as seguintes inequações exponenciais:
8.96 Resolver as seguintes inequações exponenciais:
b) (~)3X+I'41+2X-x2;;;'(~)X_I
2x 8
c) x-~: X+~ <v'343
Soluçio
a) (3
X
)2X-7> 1 <====> 32X2_7X > 3-3 <====> 2x2 _ 7x > -3 <====>27
1
"'"==> 2x
2
- 7x + 3 > O <== x < 2" ou x > 3
s = {x E R I x < ~ ou x > 3}
8.97
I 1 < x < 1 ou x > 3}.S = {x E IR x < -1 ou - 3
Resolver as inequaçães exponenciais:
a) (2x+1)2X-3 < 128
x-2 x+1 :;;, (9X+1)x-3b) (27 ) P'
4 1 8 x-32 3x - 2 ( )2X+';; ( _)
cl ("3) '"9 27
"I x 3x + 1d) 253 - 4X : 125'- > 5
b) (.l )3X+1 • 4 1+ 2X - x2 ;;;. (-!..Ix-I <== r( ~ )J3X+I • [(~ )-2JI+2X- x2 ;;;.
2
x
8 l' 2 2
;;. r( ~)3]X-1== (~)3x2+x. (~)-2-4X+2X2 ;;;. (~)3X-3 <==[' 2 2 2 2
O,043X+2 • 251- 4x > 1
e) 0,0083 - X • 1254 - 3x
fi x-vrx~:x+V32>4
x+.3= X+2~1g) x+(.!0:1. V 0,01 < V 0,001
h) x-ff: x+ir .;; Jx+f 2;
44-8
46-8
B.98 Resolver a inequação
2x _ 2x +1 _ 2 X+2 _ 2X+3 + 2x+4 < 2
4
Resolver as seguintes inequações exponenciais:
a) 2x - 1 + 2x + 2 x + 1 _ 2X+ 2 + 2 x+3 > 240
bl 3x +s - 3 X+ 4 + 3 x+3 _ 3 X+ 2 < 540
c) 4x+ I - 2 2X + 1 + 4x _ 2 2X - I _ 4x - I ;;;'144
d) 32X + I 9 x 32X - 1 x - I _
- . - - 9 '" 42
e) 3· 22X + S - 9· 2 2X +3 _ 5, 4x + I + 7 '22X + 1 _ 3. 4 x <60
f) 3(x
2
) + 5· 3(x2+ 1 ) + 2. 3(x2+21 _ 4. 3(X2+3) + 3(x2+ 41 < 63
B.99
Solução
2X-2X+I_2X+2_2X+3+2X+4< 3
4
=2
x
'3 <.:!. =2x <2-24
5 = {x E IR I x < -2}
=X<-2
Lembrando que 2x > O, 'ri x E IR, temos:
2x >2 <==>x>1
5 = {x E IR I x> I}
1 -!.
x+- x 2 x 2 >0 <====c) 4 2 + 5 • 2x + 2 > O<==>4 • 4 + 5 • 2 +
<==== 2' (2 x )2 + 5' 2x + 2 > O.
Fazendo 2x = y, temos:
2y 2 + 5y + 2 > O <==== Y < - 2 ou y > - -}: mas y = 2x, log:>:
x< x> 12 -2 ou 2 - 2"
Lembrando que 2x > O, 'ri x E IR, temos
2 X > _ 1 <==== 'ri x E IR.
2
5 = IR.
B.100 Resolver as seguintes inequações:
a) 32X + 2 _ 3 x +3 > 3 x _ 3
b) 2x _ 1 > 21 - x
x+ -.!.
c) 4 2 + 5 • 2x + 2 > O
Solução
a) 3
2X
+
2
- 3
X
+
3
> 3x _ 3 <==> 32X • 32 _ 3 x • 33 _ 3 x + 3> O ===
<=.". 9 (3 X)2 - 28. 3x + 3 > O.
Fazendo 3 x = Y. temos:
9y2 - 28y + 3 > O <==> Y < ~ ou y > 3; mas y = 3X• logo:
x < 1
3 9" ou 3
X
> 3 <==> 3
x
< 3-2 ou 3 x > 3 == x < -2 ou x> 1
5={xEIR/x<_2 ou x>I}.
B.101 Resolver as seguintes inequações:
a) 4x _ 6. 2x + 8 < O bl 9 x _ 4' 3x + I + 18 > O
c) 52X + 1 _ 26· 5x + 5';; O d) 22X _ 2x + I _ 8 .;; O
e) 32X _ 3x + I > 3x _ 3 f) 2x (2 x + 1) < 2
g) 25x + 6 • 5x + 5> O h) 3x (3 x + 61 < 3 (2 • 3x - I - 3)
i) 2x +3 + 2-x <6 j) 3 (3x - 1) ;;;. 1 _ 3-X
3
e2X _ eX + 1 _ eX + e < Ok) 4 X + 2" _ 2 X + 2 ~ 2 X + 1 - 1 II
X+S x < x+2 2 X+ 2 + 2x8.102 Resolver a inequação 2 + 3 3 + •
X2x2 - 9x+4 < 1 em IR+B.103 Resolver a inequação
Solução
Devemos considerar três casos:
x = O ==> 04 < 1 (verdadeiral = x = O é solução
x = 1 ==> 1-3 < 1 (falsa) = x = 1 não é solução.
A solução neste caso é 51 = {O}
b) 2
x
- 1 > 2
1
-
x
== 2 x _ 1 > -L == 2 x (2 x
2x - 1) >2 ==
== (2 X)2 _ 2x _ 2 > O
Fazendo 2x = Y. temos:
2
y - Y - 2 > 0== y < -1 ou y > 2.
Mas, 2x = Y. logo:
Devemos verificar se O ou
Fazendo x = O e x = 1,
1 são soluções particulares da inequação.
temos:
47-8
2? caso
A base da potência é maior que um.
inequações:
Se x>1 (0, temos:
B.104 Resolver em IR + as
a) x5X
-
2
>1
X
2x2+X-I. < 1c)
e) x3x1_7X+2";;;;1
B.105 Resolver em IR a inequação
b) x4X - 3 <1
d) x2x2_5X-3 > 1
t) x4x2_lIx+6;;'1
3X2 -4X-4 > 1Ixl
== 2x2
- 9x + 4 < O ==
A solução deste caso é dado por Q) n ®
12" <x <4 @ 8.106 Resolver em IR+ as inequações:
a) x2X + 4 <x
4x2 -17x+5 < xc) x
e) xx2 - 5X+.7 ~ x
b) x4X - I ;;. x
d) x5x2_lIX+3 > x
1
.
-(0 11 1[ 111111111111111111 rmlllllllllllll..lll'U""iI lIiI""'"1I111t1 l!illI! III! 1111111 11111'" X B.107 Resolver em IR + as inequações:
(x2) > 2x b) x2a) x x@
(Dn@ 1 4-------~llIlli'i ..ii'.. ·.. I'i..,iililiillllllllllllllllllllllIllilllll"'O)------.....~x
~ = {x E IR I 1 < x < 4}
;jJ caso
A base da potência é positiva mas menor que um.
Se @ . temos:
x<~ ou x>42
A solução deste caso é dado por @ n @
O
.. xI
4
--01111111111111111111111110
1-
2
111 .. 11 ; 11 mil' .111 ,I+()------.;-.----------{Olll 11111 111111 i 111 11" x1O "2
n@ ----Oi+tH+++++O--------------....-x
S3 = {x E IR I O < x < ~ }
A solução da inequação proposta é:
S = SI U S2 U S3 = {x E IR I O ,,;;;; x < ~ ou 1 < x < 4}
49-848-8
Autodidata cria a Análise
cálculo diferencial dando às fórmulas de derivação: dxy - xdy + ydx, d~_
y
dx n = n xn- 1dx, juntamente com aplicações geométricas.
A fim de que possamlils
agora o estudo de logaritmos.
CAPÍTULO UI
I. CONCEITO DE LOGARITMO
- 2x 3 sabemos que x assume umSe queremos resolver a equaçao =, . .
. 21 < 2x - 3 < 22 mas com os conheCimentos adqUl"
entre 1 e 2, poiS - , . 'I
até aqui não sabemos qual é esse valor e nem o processo para determ ma- o.
resolver este e outros problemas, vamos iniciar
LOGARITMOS
valor
ridos
Lembremos que no estudo de equações e inequações exp~nenciais,.fei.to
38. , tratamos dos casos em que podíamos redUZir as potenclas
anteriormente, so
à mesma base.
Gottfried Weilhelm Leibniz nasceu em Leipizig; aos quinze anos entrou na Universidade,
aos dezessete já era bacharel e aos vinte doutorou-se em Nuremberg. Adquiriu grande conhe-
cimento geral em Teologia, Direito, Filosofia e Matemática sendo considerado um dos
últimos sábios. Viajou muito representando o governo como diplomata e, numa de suas visitas
a Londres, em 1643, tornou-se membro do Royal Society.
Leibniz, por ser autodidata, freqüentemente redescobria teorias e as desenvolvias
é d .. I" é" f"t Ti 1 1 1 1 +como o caso e sua prlmelra raa izaçao em S rles In 'n! .as: 4' == ., - 3" + 5' - "7
expansão da teoria de Gregori.
Ao estudar um problema proposto por Huygens, acabou por fazer uma descoberta,
o triângulo harmônico, análogo aO triângulo de Pascal que fascinava Leibniz. Passou então a
estudar as obras de Pascal sobre cilóides e séries infinitas, generalizando um método impor-
tante para soma e diferença de funções, tanto racionais como irracionais, algébricas ou
transcendentes (palavra que ele criou).
Percebendo a grande importância das notações como auxiliar de pensamento, é res-
ponsável por muitas delas como dx e dy para diferenciais em x e y, fydx para integral e foi
o primeiro a empregar as expressões "cálculo diferencial", "cálculo integral" e "função".
Usou o ponto para multiplicação e escreveu proporção na forma a : b = c ~ d o que nos
sugeriu: para indicar divisão. Ainda criou a notação ........ para "é semelhante a" e ~ para "é
congruente ali. Leibniz e Nevvton é que persistiram no uso do sinal =, criado por Recorde,
até hoje usado.
Em 1684, sob o tl'tulo de "Um novo método para máximos e m(nimos, e também para
tangentes, que não é obstru(do por quantidades irracionais", expõe, pela primeira vez, seu
ydx - xdy
2 ey
Gottfried W. Leibnlz
(1646 - 1716)
Sua obra mais famosa é UActa Erudito-
rum" (Anotações dos eruditos) onde observou
uma di ferenciação e integração são operações
inversas enunciando o teorema fundamental do
cálculo e mostrando que as funções transcenden-
tes são fundamentais em Análise.
Sua teoria de diferenciação, pelas notações
que usou, foi mais aceita do que a Teoria dos
Fluxos· de Newton, embora os dois tivessem
desenvolvido a Análise na mesma época.
Em 1963, numa carta a L'Hospital, chegou
a dar antecipação da teoria dos determinantes.
Como filósofo pretendia reduzir as discus-
sões lógicas a formas sistemáticas. Otimista ao ex-
tremo, sempre acreditou numa futura universali-
zação da linguagem, o que foi muito produtivo
para a Matemática.
39. Definição
Sendo a e b números reais e positivos, com a =1=
1, chama-se logar~tm.o
de b na base a, o ex poente que se deve dar à base a de modo que a potencla
obtida seja igual a b.
IR O < =1= 1 e b > O, entãoEm símbolos: se a, b E, a
Em logab = x, dizemos:
a é a base do logaritmo, !:!. é o logaritmando, x é o logaritmo
-
51-8
40. Exemplos EXERCICIOS
B.108 Calcular pela definição os se!1Jintes logaritmos:
1~)
2~)
pois 23 = 8
-2 pois 3-2 = 1
9
1
a) 1092 "8 bl 10984
c) 1090,2532 == (0,25)x ~ 32 =<> (*)x ~ 32 == 2-2X ~ 2 s ==
5
=<> -2x ~ 5 == x = - 2"
1 x 1 == 2x ~ 2-3 ==> x = -3a) 1092 8" = x == 2 = li
2
x = 3""
d) 109 1 8
"2
h) 109132
"4
1i I ogO,OI 0,001
c) 109100~
t) 109.,fi? .ç;g
3
j) 109'\13-3-3::;3
=- 3x = 2 ==
9) 10~V27
~
1
cl 10981 3ai 109416 b) 1093 9
1
fi 1092781 9) 10912S 25e) 1097 7
1 il 1090,25 8 k) 10925°,008i) 1099 27
b) 1098 4 ~ x
Soluções
8.110 Calcular pela definição os se9uintes logaritmos:
a) 1092 V2 b) 109lf'f 49
d) 109-/8 Y32 o) 10 9$ ~
1
h) 109V4 .j8
8.109 Caicular pela definição os se9uintes 109arltmos:
3?) logs5 = 1 pois 51 5
4~) 10971 = O pois 7° = 1
3 3 35~) log4 8 = 2 pois 4
2
= (22 )2 = 23 = 8
6!l)
11. ANTllOGARfTMO
41. Definição
Sejam a e b números rea is positivos com a*,1, se o logaritmo deb na base a é x, então b é o anti logaritmo de x na base a.
Em símbolos, se a, b E IR, O < a*,1 e b > O então
Com as restrições impostas (a, b E R, O< a*,1 e b> O), dados a
e b existe um único x = logab.
A operação, pela qual se determina o logaritmo de b (b E IR e b> O)
numa dada base a (a E iR e O< a *' 1), chamamos logaritmação e o resultado~.dessa operação é o logaritmo.
'"
B.112 Calcular o valor de S em
S = 1094 (109391 + 1092 (10981 3) + logO,811091632)
8.111 Calcular a soma S nos se9cin(es caSOS:
4
a) S = 109100°,001 + 1091,S 9" - 1091,2S0,64
b) S = 1098 V2 + 109.,(2 8 - 109../2 .j8
c) S ~ 109 0 - 109',."...." V8 + 1093r.-=t'o.1~ V V '110,5 'V 100
d) antil091 -4
2
1
bl antil0916 2
B.113 Calcular:
ai antil093 4
Exemplos
1~) antilog32 = 9 pois log39 = 2
2<;') antilog l 3 =
1 pois 10g1 1 3
2" 8 2" 8
3Çl) antilolh(-2) = 1 pois 10lh 1 -24 4
53-852-8
111. CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINiÇÃO
42. Decorrem da definição de logaritmos as seguintes propriedades para
O < a *- 1, b> O.
Soluções
a) 810925 = 123110925 = (210925)3 ~ 53 = 125
b) 31+10934 = 3 1 • 310934 = 3·4 = 12
10) "O logaritmo da unidade em qualquer base é igual a zero".
Ioga 1 = O
20 ) "O logaritmo da base em qualquer base é igual a um".
8.115 Calcular o valor de:
ai 310932
di 810945
8.116 Calcular:
a) antil092 11092 31
bl 4 1092 3
e) 2 1+ 1092 5
c) 5 10925 2
fi 32-10936
3'?) "A poténcia de base a e expoente Ioga b é igual a b".
A justificação desta propriedade está no fato de que o logaritmo de
b na base a é o expoente que se deve dar à base a para a potência obti-
da ficar igual a b.
40 ) "Dois logarítmos em uma mesma base são iguais se, e somente se,
os logaritmandos são igua is".
Demonstração
IV. SISTEMAS DE LOGARITMOS
43. Chamamos de sistema de logaritmos de base a ao conjunto de todos 05
logaritmos dos númer05 reais positivos em uma base a (O < a*-1). Por exemplo,
o conjunto formado por todos os logar itmos de base 2 dos números reais e
positivos é o sistema de logaritmos na base 2.
Entre a infinidade de valores que pode assumir a base e, portanto, entre
a infinidade de sistemas de logaritmos, existem dois si~temas de logaritmos
particularmente importantes, que são:
a) sistema de logaritmos decimais é o sistema de base 1O também chamado
sistema de logaritmos vulgares ou de Briggs (Henry Briggs, matemático inglês
(1561 - 1630), quem primeiro destacou a vantagem dos logaritmos de base 10,
tendo publicado a primeira tábua (tabela) dos logaritmos de 1 a 1 000 em 1 617).
Indicaremos o logaritmo decimal pela notação loglOx ou simplesmente
logx.
(definição~ al09aC
de logerltmo)
EXERCfclOS
8.114 Calcular o valor de:
a) 810925
54-B
(terceira
b <==O>
cemseqüência) c = b
b) sistema de logaritmos neperianos é o sistema de base e (e = 2,71828...
número irracional), também chamado de sistema de logar itmos naturais. O nome
neptriano vem de John Neper, matemático escocês (1550-1617), autor do
primeiro trabalho publicado sobre a teoria dos logaritmos. O nome natural se
deve ao fato de que no estudo dos fenômenos naturais geralmente aparece uma
lei exponencial de base e.
Indicaremos o logaritmo neperiano pelas notações foge X ou Qn x. Em
algumas publicações também encontramos as notações Lg x ou Lx.
55-B
V. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
Vejamos agora as propriedades que tornam vantajoso o emprego de
logaritmos nos cálculos.
44. 1~) Logaritmo do produto
"Em qualquer base a (O < a '* 1), o logaritmo do produto de dois
fatores reais positivos é igual a soma dos logaritmos dos fatores".
Em símbolos:
iil Suponhamos que a propriedade seja válida para p;;' 2 fatores, isto é:
Hipótese {Ioga (b l • b2 ..... bp ) = Ioga b l + log. b2 + ... + log. bp
e mostremos que a propriedade é válida para (p + 1) fatores, isto é:
Tese {Ioga (b l • b2 •...• bp • bp+ d = Ioga b l + Ioga b2 + ... +
+ Ioga bp + log. bp+ I
Temos
19 Membro da Tese = Ioga (b l • b2 • .... bp • bp+d =
Ioga [(bl • b2 • .... bp) • bp+ l ] = Ioga (b l • b2 • ... bp ) + Ioga bp +I =
= Ioga b l + Ioga b2 + ... + Ioga bp + Ioga bp+, = 2'? Membro da Tese.
r-Se 0<8*1, b>O e c>O,L IolJalb. c) ='0lIa b + l0lla c então 2'!) Devemos observar que se b > O e c > O então b • c > O e vale a iden-tidade
Ioga (b • c) = Ioga b + Ioga c com O< a '* 1
Demonstração
Fazendo Ioga b = x, Ioga c = y e Ioga (b • c) = z provemos que z = x + y.
De fato:
mas, se soubermos apenas que b • c > O então, temos:
log. (b • c) = Ioga Ibl + Ioga lei com O< a '* 1.
Exemplos
45.
Ioga b = x
Ioga c = y
Ioga (b • c)
Observações
=a
X
= b }
=aY =c
= aZ = b • c
= aZ = aX • aY = aZ = aX + Y = z = X + Y
1?)
2?)
3?)
4?)
5?)
logs (3 • 4) = logs 3 + log5 4
log4 (2 • 3 • 5) = log4 2 + log4 3 + log4 5
log63 • (-4) • (-5) = log63 + log61-41 + log6 I-51
Se x > O então log2 [x • (x + 1)] = log2 x + log2 (x + 1)
log3 [x • (x - 2)] = log3 x + log3 (x - 2) se, e somente se, x > O e
x - 2 > O, isto é, x > 2.
1'!) Esta propriedade pode ser estendida para o caso do logarítmo do produ-
to de n (n ;;. 2) fatores reais e positivos, isto é:
Se O < a '* 1 e b l , b2, b3, "', bn E IR: então
Ioga (b, • b2 • b3 ..... bn) = logab, + Ioga b2 + Ioga b3 + ... + Ioga bn.
Demonstração
Faremos a demonstração por indução sobre n.
i) para n = 2 é verdadeira, isto é
56-8
46. 2~) Logaritmo do quociente
•
"Em qualquer base a (O < a '* 1), o logaritmo do quociente de dois núme-
ros reais positivos é igual a diferença entre o logaritmo do dividendo e o logarItmo
do divisor".
Em símbolos
Se 0< 8 * 1, b> O •
b
1091 ( c ) ,. '0lIa b - '0lIa c
57-8
Demonstração
. 48. Cologarltmo
bFazendo Ioga b = X, Ioga C = Y e Ioga (-) z mostremos que z = X - y.
C Chama-se cologarftmo de um número b (b E IR e b > O), numa base a
(a E IR e O < a * 1), ao oposto do logaritmo de b na base a.
Em sfmbolos
:} zb = a
C
De fato
Ioga b = X
1090 C = Y
bIoga (-)
C
47. Observações
1~) Fazendo b = 1, escrevemos
1
Considerando que Ioga b = -Ioga b' temos: se O< a * 1 e b > O então
2~) Se b > O e C > O então ~ > O e vale a identidade
C
1
Ioga - = Ioga 1 - 109a C =
C
1
Ioga - ~ -Ioga C
C 1001098 b = 1098 b
Exemplos
bIoga (-) = Ioga b - Ioga C com O < a * 1
c 11«;I) colog2 5 = -log2 5 = log2 5
b _
mas se soubermos apenas que - > O entao temos:
c
b
Ioga (-) Ioga Ibl - Ioga ICI com O < a *' 1.
c
2«;1)
3«;1)
4«;1)
1 1
colog2 "3 = -log2 "3 = log2 3
2log(3) = log2 -log3 = log2 + colog3
Se x > 1 então log3 x - log3 (x - 1) = log3
x + colog3 (x - 1)
Exemplos
1«;I)
2«;1)
3«;1)
4«;1)
5«;1)
2lo~s (3) = logs 2 - logs 3
log (~) = log (2 • 3) - log 5 = log 2 + 10g 3 - 1095
5
log (_2_) = log 2 - log (3 • 5) = log 2 - [Iog 3 + log 5] =
3 • 5 = log 2 _ log 3 - log 5
Se x > O então 1092 (_x_) = log2 X - log2 (x + 1)
x + 1
x + 1log3 ---, = 1093 (x + 1) - log3 (x - 1) se, e somente se,
x -
x + 1 > O e x - 1 > O, isto é, x > 1.
49. 3!!) Logaritmo da potência
"Em qualquer base a (O < a * 1), o logaritmo de uma potência de base
real positiva e eXDoente real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da
base da potência."
Em sfmbolos
58-8 59-8
Demonstração
Fazendo Ioga b = X e Ioga ba = y, provemos que y = a . x.
De fato:
Ioga b = X
Ioga ba = y = y = a . X
51. As propriedades
l~l Ioga (b • cl = Ioga b + Ioga C
b2~) 109a (-) = Ioga b - Ioga C
C
.!.
= log A = 109 (aa • bn) -
50. Observações
1~l Como colorário desta propriedade, decorre:
"Em qualquer base a (O < a '* 1l, o logaritmo da raiz enézima· de um nú-
mero real positivo é igual ao produto do inverso do índice da raiz pelo logaritmo
do radicando",
Em símbolos:
Se O <a '* 1. b > O e n E N*. ent~
" 1. 1loe.V'b '" '09ab" = -;\ I~a b
2~) Se b > O então ba > O para todo a real e vale a identidade
Ioga ba = a • Ioga b
mas se soubermos apenas que ba > O então temos:
Exemplos
1?) log32S = 5 • log3 2
.!. 1
2?) 10gs lf2 = logs 23 = 3
3?) log2 3~ = log2 3-4 = -4 • log2 3
4?) 109 (x - 1)4 = 4 • 109 (x - 1) se, e somente se x - 1 > O. isto é x > 1
5?) Se x '* O então 109 x2 = 2· log IXI
60-8
válidas com as devidas restrições para a, b, e c, nos permitem obter o logarítmo
de um produto. de um quociente ou de uma potência, conhecendo somente os
logar ítmos dos termos do produto. dos termos do quociente ou da base de po-
tência.
Notemos a impoSsibilidade de obter o logaritmo de uma soma ou de uma di-
ferença, por meio de regras análogas as dadas, Assim para encontrarmos
Ioga (b + c) e Ioga (b - c)
devemos, respectivamente. calcular inicialmente (b + c) e (b - c).
onde a, b, c E IR:, a, (j E IR e n E N*, pode ser calculada aplicando logaritmos.
aa.~ aa. ~
A = J == 109 A = log c(j
- 109 cf3 = log A = a . 109 a + 2- log b - f3 log c.
n
Dispondo de uma tabela que dê 109 a, 109 b e 109 c (veja nas páginas 113
e 114) calculamos 109 A e, então, pela mesma tabela obtemos P.
61-8
EXERCíCIOS
B.117 Desenvolver aplicando as propriedades dos logaritmos (a, b e c são reais positivosl:
2eb a3b 2 a3
a) 1092 (-c-) bl 1093 (7) cl log (bh/~)
Solução
a) log2 I 2ab ) : 1092 12ab) - 1092 c : 10922 + 1092 a + log2 b - 1092 c :
C
= 1 + log2 a + log2 b - 1092 c
a3 b2b) 1093 (-4-) : 1093 (a 3b 2) - log3 c4 : log3 a 3 + log3 b2 - 1093 c4 :
C
= 3 1093 a + 2 log3 b - 4 1093 c
cl log (b2a~) : lug a3 - log (b2~) ~ log a3 - lIog b2 + log J) ~
1
: 3 log a - 2 109 b - "2log c
B.121 Oual éa expressâ'o cujo desenvolvimento logarflmico é dado abaixo (a, b, c são reais
positivos)?
a) 1092 a + 1092 b - 1092 c b) 2 log a - log b - 3 log c
c) 2 - log3 a + 3 1093 b - 2 1093 c 1 1d) 2" log a - 2 log b - 310g c
e) 1 1 3 fl 1 1310g a - 210g c - 2 10gb 2 + 3 1092 a + 6" log2 b - 1092 C
g) 1"4 lIog a - 3 log b - 2 log c)
B.122 Oual é a expressão cujo desenvolvimento logadtmico é dado abaixo (a> b > c> O)?
a) 1 + 1092 la + b) - 1092 (a - bl
b) 2 log (a + b) - 3 log a - log (a - b)
1
c) "2log (a - b) + log a - log (a + bl
1 1
d) 210g la2 + b2) - ["3log la + bl -Iog (a - b)]
3 log (a - b) - 2 log la + b) + 4 log b
e) 5
B.118 Desenvolver aplicando as propriedades dos logaritmos (a, b e c sâ'o reais positivos):
B.123 Se log 2 ~ a e log 3 : b, colocar em função de a e b os seguintes logaritmos decimais:
VI. MUDANÇA DE BASE
gl log5lSugestã05: 1~1 h) log15
cl log 12
fl log 20
b) log 4
e) log 0,5
a) log 6
d) 10gV2
ai
5a b) ab
2
10gS (bC"") 1093 (-c-)
(a
2 Vb; ( a • b3 )c) 1092 ~ d) 1093 C' W
~ fl IOg/b2 \7;e) log ~
g) log2
4ay';b
h)b~
2a
a) log2 -2--2
a - b
c) I ( ja(a + b)2)Og\ • {! 'Jb
B.119 Desenvolver aplicando as propriedades dos logaritmos (a > b > c > O):
( a2~ \b) 1093 V' (a + b){)
) (5!a(a-b)2)d log \ Va2 + b2
53. Há ocasloes em que logaritmos em bases diferentes necessitam serem trans-
formados para uma única base conveniente.
Por exemplo:
lC?) na aplicação das propriedades operatórias os logaritmos devem estar
todos numa mesma base.
B.120 Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarftmico é:
1 + 1092 a - 1092 b - 2 log2 c la, b, c sâ'o reais positivos)?
Solução
1 + 1092 a - log2 b - 2 1092 c : 1092 2 + IOg2 a - 11092 b + 2 1092 cl
: 1092 12a) - 1092 (b • c2) : 1092 (b :ac2 )
- é 2aA expressa0 be2 .
2C?) mais adiante (*) falaremos da tábua de logaritmos, uma tabela de valores
que possibilita determinar o valor do logaritmo decimal de qualquer número real
positivo. Se quisermos determinar o valor de um logaritmo não decimal, devemos
antes transformá-lo em logaritmo decimal para depois procurar o valor na tabela.
(o) Ver capItulo VII.
62-8 63-B
Vejamos o processo que permite transformar o 109aritmo de um número
positivo em uma certa base para outro em base conveniente.
54. Propriedade
Se a, b e c são números reais positivos e a e c diferentes de um, então
tem-se:
. 56. Observação
A propriedade da mudança de base pode também ser assim apresentada:
Se a, b e c são números reais positivos e a e c diferentes de um, então
tem-se:
IOlle b = lo!lc b • 10lle c
Demonstração
A demonstração é bastante simples, basta que transformemos o 109c b para
a base a:
Demonstração
Consideremos 109a b
pois a =F 1.
x, 109c b y e 109c a z e notemos que z =F O
109a b109c b • 109a c = -1-- • 109a c = 109a b
09a c
57. Conseqüências
Provemos que x y
- -
z
1~) Se a e b são reais positivos e diferentes de um, então tem-se:
De fato:
109a b = x
109c b = y
109c a = z
== a
X
= b}
== c: = b
== c = a
==>
=x
==> zx=y
y
-
z
==>
1
log. b = lo9b a
Demonstração
Transformando 109a b para a base b, temos: 109b b 1109a b = --- =
109b a 109b a
55. Exemplos
1~) 1093 5 transformado para a base 2 fica
I 5 1092 5093 = ---1092 3
2~) 1092 7 tr.ansformado para a base 10 fica
I 7 10910 7092 = ---
10910 2
2':1) Se a e b são reais positivos com a diferente de um e 13 é um real não
nulo, então tem-se:
Demonstração
Devemos considerar dois casos:
3~) 109100 3 transformado para a base 10 fica
64-8
109100 3 = 10910 3
10910 100
10910 3 1
2 = 2109103
1~ caso:
Se b = 1, temos:
109a 1 = O } => 109 1
109
a
13 1 = O al3
65-8
B.l:l3 Se a, b e c são reais positivos, diferentes de um e a b' c, prove que:
_1_ = 1 + __1_
109a c 109b c
:f.J caso:
Se b =I 1, temos:
1
109
a
(3 b = R
109b aI'
Exemplos
1
(3
1
(3 • 1090 b ~J,~se a, b e c são reais positivos, diferentes de um e a • b * 1, prove que: ,
109a c • 109b c (1 + 109a b)2
(l09ab cl2 109a b
1<?) 1098 3 110923 3 = 31092 3
2<?) 1091. 6 1095-1 6 = -1095 65
3<?) 1091 5 1093-2 5 1
"9
- "21093 5
B.135 Se a, b, c e d são reais positivos, diferentes de um e abc =11, prove que:
I d 109a
d • 109b d • 109c d
109a d • 109b d + 109b d • 109c d + 109c d • 09a = 109abc d
B.136 Se a e b são reais positivos, prove que: alO9 b = bl09 a
B.137 Se a, b, c e d são reais positivos, a e c diferentes de " prove que:
109a b(l09c d) = 109c d(l09a bl
B.124 Sabendo que 10930 3 = a e 10930 5 . b, cal '.r 10910 2.
Solução
EXERCíCIOS B.l38 Se x 109c (abl, V 109b (ac) e z = 109a (bel, prove que:
_,_ +_'_ +_1_ =1
x + 1 V + 1 z + 1
Séfo reais positivos, diferentes de um e dois a dois distintos, prove a
1090 d = Ioga d - 10gb d ==> b2 = ac.
logc d 109b d - 109c d
equivalência:
B.140 Se a e b são rarzes da equação x2 - px + q = O (p >O
e O < q =11 I, demonstre que:
109q aa + I09q bb + 109q ab + 109q ba = p
/B.139 Se a, b, c e d
\~--
- a - b
1 - a
10930 30 - 10930 3 - 10930 5
10930 30 - 10930 3
temos
3010930 (-I3
30 3035 e 10 = 3
10930(~)3 • 5
Notando que 2
B.l25 Sabendo que 10920 2 = a e 10920 3 = b, calcular 1096 5.
r'
B.l26 Se 1090b a
{'a
= 4, calcule 1°9ob VI; .
B/"1 Se a, b e c sa'o as medidas dos lados de um triângulo retân9ulo de hipotenusa
de me-
dida a e sabendo que a - b =11 e a + b =11, demonstre que:
109o+b c + loga_b c = 2 1000+b c • loga_b c.
B.127 Se IOgl2 27 = a, calcule 1096 16.
B,142 Se a, b e c sa'o reais positivos, prove a igualdade:
/
(~llogc. (~lloga
b c
(~)Iog b = 1
a
B.l29 Calcular A = 10935 • 109427 • 10925 Vi.
B.130 Simplificar a 1090 b • 10Sb c • 109c d
B.128 Demonstrar que a relação entre os logaritmos de do',s números positivos e diferentes
de Um independe da base considerada.
(1 - ~)
n • 1092 2
x
z = '0
'
- log V
+ ... + n [ nlogx2 - • logx 2
n
1
n - 1
sâ'o reais positivos, diferentes de um e ab • ba
atb + c - aI b(a + c - bl c(a + b - c)
log a 109 b log c
1 1
- log z e V = '0
'
- 109 x , prove que:
n(n - 1)
prove que:
Sugestão:
. 1~'Sex = 10
B.l44 Se a, b e c
B.l45 Se O< x =11, demonstre que:
-:-_::-,1-c-_-:- + 1
109x 2 • logx 4 logx 4 • logx 8
prove que:
log (Ioga)
B.131 Simplificara-~
B,132 Se a, b e c são reais positivos Com a =I 1 e ac =I "
109a b = 109ac b (1 + 109a c)
66-8 67-8
Joseph L. Lagrange
(1736 - 1813)
Escrito um poema científico
Joseph Louis Lagrange nasceu em Turin, Itália.
Bem jovem tornou-se professor na Escola Real de Artilharia em Turin, fazen·do sua primeira publicação em 1759 na "Micelânea", revista da Academia.
Lagrange substituiu Euler na Academia de Berlim, por convite de Frederico,
o Grande, aI' passando vinte anos. Em Berlim publicou importantes obras sobre
Mecânica, problema dos três corpos, primeiras idéias de funções e importantes
trabalhos sobre teoria das equações. Após a morte de Frederico, foi para a França,
convidado por Louis XVI, onde tomou parte no Comitê de Pesos e Medidas.
Foi o primeiro professor da Escola Politécnica onde ensinava Análise, escre-
vendo notas de curso em vários n(veis mais tarde publicadas no clássico "Teoriadas Funções Analfticas", marcante em seu rigor e tentando tornar o Cálculo mais
lógico do que prático. Nesta obra impulsionou a teoria das funções de variável real
que a partir daI' ocuparia a atenção dos matemáticos, utilizando·se nela da notaçãopara derivadas de várias ordens.
Na Escola Normal, Lagrange preparou e ministrou aulas, hoje equivalentes
às do curso colegial ou pré-universitário, em Álgebra avançada.
Lagrange muito contribuiu para o estudo do Cálculo das Variações, um
ramo novo da Matemática no século XVIII, resolvendo com esta teoria vários
problemas de isometria, chegando a ser considerado superior mesmo por Euler.
Em Teoria dos Números fez importantes demonstrações, provando, por exem·
pio, que todo inteiro positivo é a soma de no máximo quatro quadrados perfeitos.
Em 1788,. Lagrange publicou sua
"Mecânica Anal{tica" considerada um poema
cient(fico pela perfeição e grandeza de sua
estrutura, associando·se mais à Matemática
Pura do que à Aplicada. Sua idéia funda-
mentai influiria muito nas refOrmas educa-
cionais da Revolução Francesa e, como
dizia o próprio Lagrange: "parece-me que
as soluções que vou apresentar serão de
interesse para os geômetras tanto pelos
métodos quanto pelos resultados. Essas
soluções serão puramente anal (ticas e
podem ser entendidas mesmo sem figuras",
e realmente não há um único diagrama
em seu trabalho.
Lagrange era lima pessoa muito
melancólica, com poucas participações em
pol (tica e movimentos revolucionários, sen-
do que para ele a Matemática era uma
arte sublime, sua própria razão para existir.
CAPÍTULO IV
FUNÇÃO
LOGARÍTMICA
I. DEFINiÇÃO
. I a (O < a ../- 1) chamamos funcão logaritmica de base58. Dado um numero rea
-r-
.
a a função f de IR: em IR que associa a cada x o número Ioga x.
Em símbolos:
f : IR: --> IR
x --> Ioga x
Exemplos de funçõeslogart'tmicas em IR:
a) f (x) ~ log2 x b) 9 (x) ~ logt. x
2
c) h(x) ~ log x d) p(x) ~ Qn x
11. PROPRIEDADES
1'?) Se O < a "* 1 então as funções f de IR: em IR definida por f(x)
Ioga x e 9 de IR em IR: definida por g(x) ~ aX são inversas uma da outra.
Demonstração-
Para provarmos esta propriedade basta provarmos que fog ~ IIR';: e gof ~ IIR'
De fato
(fug)(x) ~ f(g(x)) ~ Ioga g(x) ~ Ioga aX ~ X e
(gr ,f) (x) ~ g(f(x)) ~ af(x) ~ aloiJa x ~ x
69-8
Demonstração
Provemos inicialmente a implicação
a > 1 ~ (VX2 E IR:, VX 1 E IR:, x2 > XI ~ Ioga X2 > Ioga xd
De fato:
Quaisquer que sejam XI e x2 positivos e x2 > xI tem-se pela terceira
conseqüência da definição de logaritmos
a 1090 X2 > a1090 XI
3<;') V3 < 7
4<;') 0,3 < 2,4
Exemplos
2~) Quando a base é positiva e menor que um, a relação de desigualdade
existente entre os logaritmos de dois números positivos é de sentido contrário
à que existe entre esses números,
== logl 8 < 10g1 2
2" 2"
== logl 12 < logl 5
- -
3 3
== 10go,I V3 > 10go,I 7
== logo,2 0,3 > logo,22,4
1?) 8> 2
2C?) 12> 5
Ioga X é crescente (decrescente) se, e2C?) A função logan'tmica f(x)
somente se, a > 1 (Q < a < 1L
e agora pelo teorema 2 (página 27) conclu ímos que:
Ioga X2 > Ioga XI
Provemos agora a implicação
(VXI E IR:, VX2 E IR:, Ioga X2 > Ioga XI ==> X2 > xI! = a > 1.
Considerando
3~) Se a base é maior que um, então os números positivos menores que
um têm logaritmos negativos e os números maiores que um têm ogaritmos posi-
tivos.
De fato, se a > 1:
O< x < 1 "* Ioga X< Ioga 1 = Ioga X< O
X > 1 = 1090 X > Ioga 1 = Ioga X > O
temos:
Y2 > YI ==> a V2 > aVI.
Pelo fato da função exponencial ser crescente para base maior que um
concluímos que a > 1.
A. dem.o.nstração de que a função logarítmica é decrescente se, e somente se,
a base e positiva e menor que um ficará como exercício.
59. Observações
1~) Quando a base é maior que um, a relação de desigualdade existente entre
os logaritmos de dois números positivos tem mesmo sentido que a relacão entre
esses números. .
Exemplos
1?) log2 0,25 < O
2C?) log 0,02 < O
3?) log2 32 > O
4C?) log3 v'5 > O
4~) Se a base é positiva e menor que um, então os números positivos me-
nores que um têm logaritmos positivos e os números maiores que um têm logarit-
mos negativos.
De fato, se O < a < 1:
O < X< 1 = Ioga x > Ioga 1 = Ioga X > O
X > 1 = Ioga X< Ioga 1 = Ioga X< O
Exemplos
lC?) 4> 2
2C?) 15> 4
3C?) v'5 > 7
4?1 0,42 < 6,3
5C?) 4> 0,3
=== log2 4 > log2 2
=== log3 15 > log34
= log v'5 < log 7
=== log7 0,42 < log7 6,3
=== Qn4 >QnO,3
Exemplos
1C?) logo,s 0,25 > O
2C?) 10go,I 0,03 > O
3C?) logo,s 4 < O
4C?) logo,2 V3 < O
70-8 71-8
111. IMAGEM 60. Exemplos
Ioga x (O < a * 1),
1~) Construir o gráfico cartesiano da função f(x) = log2 X (x > O). Cons-
truímos a tabela dando valores inicialmente a y e depois calculamos x.Se O < a * 1 então a função f de IR: em IR definida por f(x) = Ioga X
admite a função inversa g de IR em IR: definida por g(x) = a X • Logo f é bijetora
e, portanto, a imagem de f é
Im = IR.
IV. GRÃFICO
Com relação ao gráfico cartesiano da função f(x)
podemos dizer:
1~) está todo a direita do eixo y (x> O);
2~) corta o eixo x no ponto de abscissa 1 (Ioga 1 = O para todo O < a * 1);
3~) se a > 1 é de uma função crescente e se O < a < 1 é de uma função
decrescente;
X Y = log2 X
-3
-2
-1
O
1
2
3
x y = log2 X
1
-3~8
1
-2-
4
1
-1-
2
1 O
O 1
1 2
2 3
y
4
-
I(x)= 1092 x3
-
"~+-- f- J--2
.--l-
- y1 I........f---- V
-1 I 1 2 ,3 4 5 6 '7 8 x'
- ---R-2 ir"-3
--+-4-I , .-
-4
.- r-1--
i i
li
4~) é simétrico em
relação a reta y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares)
do gráfico da função g(x) = aX ;
5~) toma um dos aspectos da figura abaixo~
Uma alternativa para construirmos o gráfico de f(x) = log2 x (x > O) seria
construirmos inicialmente o gráfico da função inversa g(x) = f- j (x) = 2x e lem-
brar que se (b, a) E f-I = g, então (a, b) E f.
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
y
g(x)=a x
x /
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
y
/
//y= x
/
/
/
/
/
/
/
x
x y = 2x
1
-3 -8
-2 1-4
1
-1 -2
O 1
1 2
2 4
3 8
x y = log2 X
1
8 -3
1
-
-2
4
1
-12
1 O
2 1
4 2
8 3
c-"-
v
_.
II f-llx)~2 1/
t·
168 i-"-
7
,I-. 1/
-t-o 1/
.6 ... I
f-
-+- .,,; IJ V -+--f-4 1/ +-f-
3 1/[7I~ f(X)=I092 X -
-- c- - ___ 2 P t-rj:-,1/1)1':;;
- v 1/1/
-3 -2 -, 1/ /' 2 3 4 15 6 7 8 ,
I/' ~, '" t-- f-
-_ .•f-
-
':'"2 - - -I1/
_.
/ -3 I
/ - I
- -
72-8 73-8
2?) Construir o gráfico cartesiano da função f(x) 10g1. x (x> O)
2
B.150 Construir os gráficos das funções:
ai flxl ~ 2 + 1092 x b) flx) 1 + 1091-x
2
Solução
B.151 Determine o domínio da função f(xl 1093 Ix2 - 41.
B.153 Determine o domínio da função flxl = 109(x+l) 12x2 - 5x + 21.
Assim
1093 (x2 _ 4) E IR = x2 - 4 > O = x < - 2 ou x > 2
D = {x E IR I x < -2 ou x > 2}
bl f(x) 1093 (4x - 31 2
di flx) 109 Ix 2 + x - 121
109211 - 2x)
x + 1109S~
a) f(x)
c) f(xl
Solução
Para que o logaritmo seja real devemos ter logaritmando positivo e base positiva e
diferente de um.
B.152 Determine o domínio das funções:
f
10g1 X ~X Y = it y2" 1- "I --f- -- - I'>- -l- i -- --- .-
-- -I- ~- I--
1-- -t-- 1--- B -- - -- - Le- I--a -3 7 1/ y~Xl-I--
4 -2 c-o'-- I~\ 6 1/
2 -1
f-I(x)= i -.j- )x 5 '/
-I--
4
---7
1/. _
1 O 3
1 \
--,/
-- I--I-- I--
2
- 1 I [\) /- -2 I- 1-1-'
1 2 -3 - -'1/ -1'" 2 3 4 5 6 7 -I-~- +- !-4 1/ -21'l"--j--..
1 I- } V+_+_ --'!.!---1- t-,....
a 3 ffi'1 f-I '1_ 1--- 2~-+-
-
_. __ . .. __ 1---
f-I
X Y = (.! )x2
-3 a
-2 4
-1 2
O 1
1 1-
2
2 1-
4
3 1a
EXERC(CIOS {
2X2 - 5x + 2 > O 111
109(x+l) (2x 2 - 5x + 21 E IR = O < x + 1 *' 1 111)
e
B.146 Assinale em cada proposição V (verdadeira) ou F (falsa):
cl f(x) 109 x
B.148 Construir os gráficos das funções:
8.147 Construir os gráficos das funções:
a) f(x) 1093 x
1111" x
11 I 11111111111111" X
2
I 1I11 1111 11111111
1
2
-1 O
111111 '11 1111 I 1111����������������11110>--------<0 1�� 1..1����1111�11111
1
-1 ° 2 2
____~>------Olllllllllllllllll11 11 111111111111111., X
_---~IIIIIIIIIIIIII
111
(11 )
Fazendo a intersecção destes conjuntos:
li) n 111)
Resolvendo separadamente as inequações (11 e (11), temos:
1
11) 2x2 - 5x + 2 > °= x < 2 ou x > 2
11I10<x+1*'1 =-1<x*,0
D = {x E IR I -1 < x < +ou x > 2 e x *' O}
1I0921xll
) 1093 5 < 1093 7
) 1090.1 0.13 > 1090.1 0,32
1090,2 2,3 < 1090,2 3,5
2 3
1090,S 3" > 1090.5 4
) 1091J2_11(1 + V2)< 1091J2_11 6iI
ti
hl
cl f(x)
b)
di
b) flxl 1091 x
3
d) flxl 109 I x
10
b) f(x)
1092 3 > 1092 0,2
10916 > 1091 3
- -
2 2
10940,10 > 1094 0 ,9
1 1
109 - < 109-2 3
) 109s V2 > 1095 V3il
9)
a)
cl
el
a) f(xl = 1092 Ix I
8.154 Determine o dom{nio das funções:
8.149 Construir os gráficos das funções:
ai f(x) ~ 1092 Ix - 11
cI flx) ~ 1092 x2
bl f(xl ~ 1093 (2x - 1)
d) flx) = 1092.,r;:
a) f(x)
b) flx)
cl f(x)
10913-x) Ix + 2)
109x Ix 2 + x - 2)
109(2X-3) (3 + 2x - x 2)
74-8 75-8
Liberada publicação de segredo militar
CAPÍTULO V
EQUAÇÕES
Gaspard Monge, francês, filho de um pobre negociante, por influência de um tenente-
coronel assistiu às aulas na Escola Militar de Meziere onde seria professor mais tarde.
De grande capacidade, foi um dos matemáticos da Revolução Francesa, contribuindo
com muitos artigos para as "Memárias da Academia de Ciências",
Tornou-se um dos mais notáveis cientistas franceses tendo talvez maior reputação como
físico e químico do que matemático. Participou junto a Lavoisier de experiências que revolu-
cionariam a Química em 1789.
Monge foi membro do Instituto Nacional Que ocupou o lugar da Academia na época da
Revolução.
Como matemático, sua principal obra foi uGeometria Descritiva", mantida secretamente
guardada por seus superiores até 1794 pois achavam de interesse da defesa nacional. Neste
trabalho se utilizou muito de diagramas mas pareceu finalmente ter concordado com Lagrange
em evitá-los na Geometria Analítica elementar.
Monge, tanto quanto Carnot e Condorcet, participou ativamente de campanhas revolu-
cionárias, chegando a ser Ministro da Marinha e responsável pela assinatura do relatório oficial
do julgamento e execução do rei. Depois de um ano se afastou desse cargo, mantendo-se sempre
ativo em operações pol{ticas e militares e publicou importante trabalho com o titulo
"Descrição da Arte de Fabricar os Canhões".
Foi o principal defensor cas instituições de ensino. Membro de uma comissão de obras
públicas, em 1794, estimulou a lundaçào da Escola Politécnica especializada no preparo de
engenheiros, da qual foi professor e administrador.
Gaspard Monge
(1746 - 1818)
Ensinava o que chamamos de Geometria
Descritiva e também aplicação da Análise a Geome-
tria, tendo impressionado tanto Lagrange com
seus resultados que se diz este ter exclamado:
"Com sua aplicação da Análise à Geometria o
diabo do homem se tornará imortal".
Deve-se a Monge o ressurgimento da Geome-
tria no espaço, com um tratamento totalmente
algébrico. Em 1975 publicou "Folhas de Análise"
dando forma à Geometria Anal rtica em três di-
mensões que se inclue em textos de cursos uni-
versitários atuais e chegou até nós, graças à preocu-
pação dos alunos em publicá-Ia.
No fim da Revolução recebeu muitas
honrarias, pois sempre apoiou Napoleão. Com
a restauração da monarquia francesa boi banido,
perdeu até mesmo no posto na Escola Politécnica
e no Instituto Nacional, morrendo logo depois.
EXPONENCIAIS
E LOGARÍTMICAS
I. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
61. Como havíamos dito quando do primeiro estudo de equações exponenciais,
voltamos novamente a esse assunto.
Abordaremos agora, as equações exponenCiaiS que não podem ser reduzi-
das a uma igualdade de potências de mesma base, através de simples aplicação
das propriedades das potências.
A resolução de uma equação deste tipo baseia-se na definição de logarítmo,
isto é, se O < a '* 1 e b > O tem-se:
EXERCfclOS
8.155 Resolver as equações
ai 2x ~ 3 bl 52X - 3 ~ 3
Soluções
ai 2x = 3 = x = 1092 3
S - {log 2 3J
52Xbl 52X - 3 = 3 =""5-3 = 3 = 25x = 375 = x = log25 375
S = {lo925375}
77-8
Solução
23X - 2 = 32X +1 => 2
3x
_ 32x • 3 => (23)X 22. 3 8x 12 ==>
22 - 13 2 )X = ==> 9" =
=> (~)X = 12 =x = 1098 12
9 "9
s = {Iog~ 12}
9
B.156 Resolver as equações:
aI 5x = 4 b) x 13 =-2
c) 7JX = 2 dI 31x21 = 5
el 54x - 3 = 0.5 f) 32X+1 = 2
g) 72- 3x = 5
B.157 Resolver a equação 23X - 2 = 32X+1•
B.158 Resolver as equações:
a) 2x = 3X+2
B.159 Resolver as equações:
a) 3x = 2x + 2x + J
bl 5x + 5x+1 = 3x + 3x+1 + 3x+2
c) 2X + 1 _ 2x = 3X + 2 _ 3 x
B.160 Resolver a equação 23X +2 • 32X - 1 = 8.
11. EQUAÇÕES LOGARITMICAS
Podemos classificar as equações logarl'tmicas em três tipos;
62, 1? Tipo: Ioga t(x) = 1090 g(x)
É a equação que apresenta ou é redutível a uma igualdade entre dois loga-
ritmos de mesma base a (O < a * 1).
A resolução de uma equação deste tipo baseia-se na quarta conseqüência da
definição.
Não nos devemos esquecer das condições de existência do logaritmo, isto é,
a base do logaritmo deverá ser positiva e diferente de um e o logaritmando
deverá ser positivo. Assim sendo, os valores encontrados na resolução da equação
só serão considerados soluções da equação logarítmica proposta se for um valor
que satisfaz as condições
de existência do logaritmo.
Esquematicamente, temos:
SeO<a"*1 então
lou. f(x) .. lou. g(x) =- f(x) = lI(x) > O
B.161 Resolver as equações:
a) 4 x - 5 • 2x + 6 = O
c) 9x - 3X+ 1 - 4 = O
e) 4x + 1 - 2X +4 + 15 = O
d) 32X + 1 - 3x + 1 + 2 = O
18
f) 3x + I + 3" = 29
63. Exemplos
1C?) Resolver a equação log2 (3x - 5)
B.162 Resolver a equação 4x + 6 x = 9x.
B.163 Resolver a equação 4x = 2 • 14x + 3 • 49x .
B.164 Resolver a equação a4X + a2X = 1, supondo O < a * 1.
Solução
log2 (3x - 5)
Resolvendo
log2 7 = 3x - 5 = 7 > O
3x - 5 = 7 => x = 4
B.165 Resolver o sistema de equações:
{ 64
2X + 642V = 40
64x +v = 12
78-8
x = 4 é solução da equação proposta e não há necessidade de verificarmos pois
7 > O é satisfeita para todo x real.
S = {4}.
79-8
2?) Resolver a equação log3 (2x - 3) log3 (4x - 5).
Solução
log3 (2x - 3) = log3 (4x - 5) => 2x - 3 = 4x - 5 > O.
Resolvendo
2x - 3 = 4x - 5 ==* x = 1
x = 1 não é solução da equação proposta pois fazendo x = 1 em 4x - 5 encontra-
mos 4 • 1 - 5 = -1 < O, logo a equação proposta não tem solução. Chegaría-
mos a mesma conclusão se ao invés de fazer x = 1 em 4x - 5, o fizéssemos em
2x - 3, já que 2x - 3 = 4x - 5.
S = (3.
3?) Resolver a equação log5 (x2 - 3x - 10) = log5 (2 - 2x).
65. Exemplos
1?) Resolver a equação log2 (3x + 1) = 4.
Solução
log2 (3x + 1) = 4 => 3x + 1 = 24 ==* 3x = 15 => x = 5
S = {5}.
2?) Resolver a equação log3 (x2 + 3x - 1) = 2.
Solução
log3 (x2 + 3x - 1) = 2 => x2 + 3x - 1 = 32" => x2 + 3x - 10 = O
==* x = 2 ou x = -5.
S = {2, -5}.
=>
Solução
log5 (x2 - 3x - 10) = log5 (2 - 2x) ==* x2 - 3x - 10 = 2 - 2x > O.
Resolvendo
x2 _ 3x - 10 = 2 - 2x = x2 - X - 12 = O ==> X = 4 ou x = -3.
x = 4 não é solução, pois, fazendo x = 4 em 2 - 2 encontramos
2 - 2 • 4 = -6 < O.
x = -3 é solução, pois, fazendo x = -3 em 2 - 2x encontramos
2 - 2 • (-3) = 8 > O.
S = {-3}
64. 2? Tipo: log. f(x) = Q.
3?) Resolver a equação log2 [1 + log3 (1 - 2x)] = 2.
Solução
log2 [1 + log3 (1 - 2x)] = 2 ==> 1 + log3 (1 - 2x) = 22 ==*
==* log3 (1 - 2x) = 3 ==* 1 - 2x = 33 ==* X = -13.
S = {-13}
66. 3? Tipo: incógnita auxiliar
São as equações que resolvemos fazendo inicialmente uma mudança de
incógnita.
É a equação logarítmica que apresenta ou é redutível a uma igualdade entre
um logaritmo e um número real.
A resolução de uma equação deste tipo é simples, basta aplicarmos a defini-
ção de logaritmo.
Esquematicamente, temos:
67. Exemplos
1?) Resolver a equação log~ x - log2 X 2.
Solução
A equação proposta é equivalente à equação
(1092 X)2 - log2 X - 2 = O
2 = O => y = 2 ou ySe O < a =1= 1 e a E IR então
109a f(x) = a => f(xJ =aa
Não precisamos nos preocupar com a condição de existência do logaritmo,
sendo O < a * 1, temos aQ > O para todo Q real e consequentemente
f(x) = aQ > O.
80-8
Fazendo 1092 x = y temos: y2 - Y -
Mas, y = 1092 x, então:
log2 x = 2 ==* x = 22 = 4' log2 X
1S = {4 -}
, 2 .
-1 = x ri 1
2
1.
81-8
2 + 1093 x2C?) Resolver a equação +
1093 x 2.
8.169 Resolver a equação: 1093 [1092 (3x 2 - 5x + 21] 10932.
Solução
Fazendo 1093 x = y, temos:
2 + Y
+
y
== 2y 2 +
y
,-.-;:y-
3y + 2
Mas y
1S = {-}
9
2 ==> (2 + y) (1 + y) + y2
2y 2 + 2y ==> y = -2.
1093 x, então: 1093 x = -2 ==> X
2y(1 + y) ==>
1
9
8.170 Resolver as equações:
ai xl09x (x+31 = 7
bl x l09x (x-s)2 = 9
cl x l09x (x+31 2 = 16
d) ({Ix)109X (x 2+21 = 2 • 1093 V2-i
8.171 Resolver o sistema de equações:
r2xY - x-v = 1
l!O92 Y = ..,;;
8.167 Resolver as equações:
EXERCICIOS
8.166 Resolver as equações:
aI 1094 (3x + 21 = 1094 (2x + 51
bl 1093 (5x - 6) = 1093' (3x - 5)
c) 1092 (5x 2 - 14x + 1) = 1092 (4x2 - 4x - 201
d) 1091 (3x 2 - 4x - 171 = 1091 (2x2 - 5x + 31
"3 "3
e) 1094 (4x2 + 13x + 2) = 1094 (2x + 5)
f) 1091 (5x 2 - 3x - 11) = 1091 (3x 2 - 2x - 8)
2" 2"
ai 109s(4x - 31 = 1
cl 109J2(3x2 + 7x + 3) = O
e) 1091 12x2 - 9x + 41 = -2
"3 2 1
91 1094(X - 4x + 31 ="2
b) 1091 (3 + 5xl = O
2" 2di 1094 (2x + 5x + 41 = 2
f) 1093(X-1)2=2
8.172 Resolver as equações:
a) 109~ x - 2 • 1094 x - 3 O
bl 6 • 109~ x - 7 • 1092 x + 2 O
c) 109 x (109 x - II = 6
dI 1092 x (2 • 1092 x - 31 = 2
e) 2 • 109~ x + 2 = 5 • 1094 x
f) 1093 x = 4 109 x
8. 173 Resolver as equações:
a) 1 2+ = 15 - 109 x 1 + 109 x
b) 3 + 1092 x + 2 - 1092 x 5
1092 x 3 - 1092 x 2
c) 1093 x + 1093 x + 2 51 + 1093 x 1093 x + 3 4
d) 1 - 109 x 1 + 109 x
2 + 109 x 2 - 109 x 2
el 1 - 1092 x 2 - 1092 x 4 - 1092 x 5 1092 x
2
- 1092 x 3 - 1092 x 5 1092 x 6 1092 x
8.174 Resolver a equação I09x (2x + 3) = 2.
Resolvendo (11), temos:
x2 = 2x + 3 == x2 - 2x - 3 = O = x = 3 ou
Somente x = 3 é solução. pois deve satisfazer (I).
S = {3}.
8.168 Resolver as equações:
aI 1093 (1092 x) = 1
b) 1091.[1093 (1094 x)] = O
2
c) 1091 {J093 [1092 (3x - I)]} = O
4"
d) 109dl + 1093 (1 + 1094 xl] = O
e) 109,[2 {2 • 1093 [1 + 1094 (x + 3)]} = 2
f) 1093 [1 + 2 1092 (3 - 1094 x2)] = 1
91 1092 {2 + 3 • 1093 [1 + 4 • 1094 (5x + 1)]} = 3
82-8
Solução
109x (2x + 31 = 2 =
(111
x = -1.
83-8
B.175 Resolver as equaçães:
a) 109x (3x2 - 13x + 15) 2
bl 109x (4 - 3x) = 2
c) 109(x_21 (2x2 - 11 x + 161 2
di 109JX (2x 2 + 5x + 6) = 4
el 109(x_l) (x3 - x 2 + x - 3) = 3
f) 109(x+2) (x3 + 7x2 + 8x + 111 = 3
9) 109(2_xl (2x3 - x2 - 18x + 81 = 3
B.179 Reso Iver as equações:
2
a) 109x (5x - 6) - 3· 109x (5x - 61 + 2 = O
b) 109~ (x + 11 = 2 + 109x (x + 1)
cl 2· 10973X_21 (4 - x) - 5 • 109(3x_2) (4 - x) + 2 O
B.180 Resolver as equações:
a) 1092(x+1)+1092(x-11=3
2 2bl 1093 (2x - 1) - 1093 (x - 1) = 2
Resolvendo a equação proposta para x > 1, temos:
1092 (x + 1) + 1092(x - 1) = 3 = 1092 [(x + li (x - 1)J = 3 =
= (x + 1) (x - 1I = 2 3 = x2 - 9 = O = x = 3 ou x = -3.
Solução
a) Antes de aplicarmos qualquer propriedade operatória, devemos estabelecer as
condições de existência para os logaritmos.
Assim sendo, devemos ter
B.176 Resolver a equação 109(x + 1) (x2 + x + 61 3.
B.177 Resolver a equação 109(x+31 (5x2 - 7x - 9) = 109(x+3) (x2 - 2x - 31.
Solução
109(x+3) (5x2 - 7x - 91 = 109(x+3) (x2 - 2x - 31 =
{
0<X+3*1
5x2 - 7x ~ 9 = x2 - 2x - 3> O
{
X + 1 > O = x > -1
x_1>Oe==>X>1 }= x> 1 (I)
Resolvendo
(- ~)2 _ 2. (_ ~) _ 3 = 3 > O e O <-~ + 3 * 1
4 4 4 4
5x
2
- 7x - 9 = x 2 - 2x - 3 ==> 4x2 - 5x _ 6 = O ==> x = 2 ou 3x = -4;
x = 2 não é solução, pois, fazendo x = 2 em x2 - 2x - 3, encontramos
22 - 2 • 2 - 3 = -3 < O.
2 ==>
(I)
1
Resolvendo a equação proposta para x * 2 e x * 1, temos:
(2x _ 1) 2
- 1)2 = 2 ==> 1093 (x - 1)2
==>1··~1 =3 =~x - 1
21093 (2x - 1) - 1093 (x
2
==> 13.."-..-.!L _ 32
(x - 1)2 -
b) Estabelecendo a condição de existência dos logaritmos, temos
(2x - 1
e
)2 > O }
= x*2.. e x*1
(x _ 1)2 > O 2
Somente x = 3 é solução, pois satisfaz a condição (I).
S = {3}
en-
3
em x2 - 2x - 3 e em x + 34
3
x = - " é solução, pois, fazendo x
contr amos I respectivamen te
Os dois valores encontrados são soluções, pois, satisfazem a condição (I).
B. 178 Resolver as equações:
ai 109x (4x - 31 = 109x (2x + 11
b) 109x (5x + 2) = 109x (3x + 4)
cl 109(x+l) (3x + 14) = 109(x+ll (2 - x)
di 109(x+51 (3x2 - 5x - 8) = 109(x+5) (2x2 - 3x)
e) 109(2X_4) (5x2 - 15x + 7) = 109(2X_4) (x2 - 3x + 2)
f) 109(x+2) (3x 2 - 8x - 21 = 109(x+2) (2x2 - 5x + 2)
{~ = 3 ==> 2x - 1 - 3(x - 1) ==> x = 2x - 1~ ou2x - 1 = -3 ==> 2x _ 1 = -3(x - 11 ==> x =
x - 1
4
5
84-8 85-B
8.181 Resolver as equações: 8.188 Resolver as equações:
a) 1092 (x - 3) + 1092 (x + 3) ~ 4 a) 1092 (x + 41 + 1092 (x - 3) = 109218
b) 1092 (x + 11 + 1092 Ix - 2) = 2 b) 1095 (1 - x) + 1095 (2 - xl 1095 (8 - 2x)
c) 109X + log(x - 211 = 2 cl 109! (x + 1) + 1091 Ix - 51 1091 (2x - 31
di 1092 (5x - 21 - 109 x - 1092 (x - 11 = 2 2 "2 2"
di 109
(2x + 11 + 109 (4x - 31 = 109 (2x2 - x - 2)
e) 1093 (5x + 41 - 1093 x - 1093 (x - 21 =
f) 109, (3x + 2)2 _ 109 1 (2x _ 3)2 -4 e)
1092 (4 - 3x) - 1092 (2x - 11 = 1092 (3 - x) - 1092 (x + 11
"2 "2 f) 1091 (x 2 + 13x) + col091 (x + 31 = 1091 (3x - 1)
91 10936 (x + 2)2 + 2 l "3 "3 "310936 (x - 3) 2 9) 109 (2x2 + 4x - 41 + colog (x + 11 = 1094
8.182 Resolver a equação h) 109~ + ~ log (2x + 7) = 1 + 109 ~
8.183 Resolver a equação 1092 (9 x -I + 7) - 1092 (3 x - I + 11 2. 8.189 Resolver a equação 2· log (109 x) = 109 (7 - 2 • 109 xl - 109 5 .
8.194 Resolver a equação x2 + X' 1095 - 1092 = O.
8.190 Resolver a equação x + 109 (1 + 2 x I = X' 1095 + log 6.
b) 109-[ x 2 + 109 x-I
o bl 109x 5 Y5- 1,25
8.191 Resolver as equações:
a) ~=109~
12
c) 109 x3 = 5 + ~~-
8 1098 x
f 8.192 Resolver a equação 1093 (3 x
8.193 Resolver as equações:
a) 1092x3 - 20' 109~+
8
1098 ( -;;2 )
c) 3109~X8.187 Resolver a equação 1092 Ix - 2) + 1092 13x - 2) = 10927.
Solução
8.185 Resolver a equação ~ 1093 (x - 161 - 1093 (..j; - 4) = 1.
8.186 Resolver a equação 1093(4x + 15' 2 x + 27) = 2· 109312x+2 - 31.
8.184 Resolver as equações:
1093 (2x)
a) = 21093 (4x - 15)
1092 (35 - x3)
b) = 3
1092 (5 - x)
log(~ + 1)
c) 3 3
109~0
Vamos estabelecer inicialmente, a condição de existência dos logaritmos. isto é:
Somente x = 3 é solução, pois satisfaz a condição (I)
S = {3}
Resolvendo a equação, temos:
1092 (x - 2) + 1092 (3x - 2) = 10927 == 1092 1(x - 21 (3x - 21] = 10927 ==
= (x - 2) (3x - 2) = 7 == x = 3 ou x = _ J..-
3
x - 2> O
3x - 2 > O
==X>22}==
==x>-3
(I)
8.195 Resolver o sistema de equações
{
X+Y=7
1092 x + 1092 Y = 109212
Solução
Aplicando a propriedade dos 109arltmos na segunda equação temos:
1092 x + 1092Y = 109212 == 1092 (xY) = 109212 = xy = 12.
O sistema proposto fica então reduzido às equações
{
X+ Y =7
xy = 12
cujas soluções são x 3 e Y 4 ou x = 4 e Y 3.
S = {(3, 41. (4, 3)}
86-8 87-8
8.196 Resolver os seguintes sistemas de equações: B.201 Resolver a equação: 4' xl092 x x3
a) Solução
Aplicando logaritmo de base 2 a ambos os membros, temos
Mas y = 1092 x, então
Fazendo 1092 x = Y, temos:
y2 _ 3v + 2 ~ O = V ~ 1 ou V 2.
4' xl092 x ~ x3 = 1092 (4. xl092 xI ~ 1092 x3 = 10924 + (l092xl • (1092x)
- 3 • 1092 x = (1092 x)2 - 3 • 1092 x + 2 ~ O
b)
c)
d)
el
{
4 X - V 8
~92 x - 1092 V 2
{
x2 + V2 ~ 425
109 x + 109 V ~ 2
{
2X2 + V ~ 75
2 • 109 x - 109 V 2· 109 2 + 109 3
{
2 JX + JY ~ 512
109Y;:; ~ 1 + 1092 1092 x ~ 1
1092 x ~ 2
=x ~ 2
:==>x=4
8.197 Resolver o sistema de equações:f 2109+Ix + y) ~ 510195 Ix - vi
LI092 x + 1092 V ~ :2
8.198 Resolver o sistema de equações:
{
1093 x + 1093 V ~ 3
1093 x + colog 3 y
Solução
Lembrando que col093 V ~ -1093 V e fazendo a substituição 1093 x ~ a e 1093 V ~ b
no sistema proposto, temos:
{ a+b~3 ba-b=l ===>a=2 e
mas a =.log 3 x e b = 1093 y, então
1093 x ~ 2 = x " 9
1093V ~ 1 = V 3
S ~ {19. 31}
s ~ {2, 4}
B.202 Resolver as equações:
ai 9' xl093 x ~ x3
b) x l09 x ~ 100 • x
c) 16109x 2 ~ 8x
di 9109JX3 ~ 27x
e) 32 ' 109x 3 ~ xl09x 3x
_ 109 (x2 -6X+9) 32'109xJX-lB.203 Resolver a equaçao 2 x
B.204 Resolver as equações:
a) 109 (x109 x) ~ 1
b) x l09 x-I ~ 100
c) Vxl09 JX ~ 10
B.205 Resolver as equações:
8.199 Resolver os seguintes sistemas de equações:
8.200 Resolver o sistema de equações:
a) {
3 • 109 x - 2 • 109 V ~ O
4 • 109 x + 3 • 109 V ~ 17 bl {
2 • 1092 x + 3 • 1092 V ~ 27
5 • 1092 x - 2 • 1092 V ~ 1
3· log2 X - ~ • log x 3
a) x 3 ~ 100 V10
3 3 1 4+ 8b) xl093x - 1093 x ~ 3-3 ' 092 Ji
cl xI092x-3.109X+l ~ 1000
X4X - 6 + 1
B 207 Resolver a equação 3 + 109x (---2 I ~ 2x.
88-8
{
1092 (XV) • 1092 (~)
109~ x + 109~ V ~ 5
- -3
B.206 Resolver a equação
x-2109
x
(2 • x-li ~ 2 x - 4.
89-8
8.209 Resolver a equação 1092 (x - 21 1092 (x2 - x + 61 + 109\ (2x + 1 I.
"2
a) VI092 é + 4' 1094 fl = 2
8.214 Resolver a equação:
8.212 Resolver as equações:
ai 109; x - 5 • 1099 x + 1 ~ O
bl 109; x - 1098 x8 = 1
cl 109;X = 2 + 1099 x2
8.213 Resolver as equações:
7
(I)
1095 x + 3 1093Y
x
y ~ 512
x>2
x-2>0 =x>2 }
x2 -x+6>0 =Vx
1
EIR =
2x + 1 > O = x > - "2
Solução
Estabelecendo inicialmente a condição de existência dos logaritmos, temos:
8.208 Resolver os sistemas de equações:
Aplicando as propriedades e transformando os logaritmos à base 2, temos:
2
O
= 1
= -2
{
1093(1092X) + 109!-(109.!-yl
3 2
Xy2 = 4
1
{
109! (y - xl + 1092 y
x2 + y2 = 25
{
1099 (x2 + 11 - 1093 (y - 2) = O
1092(x2 - 2y 2 + 10y - 71 = 2
{
1099 (x2 + 2) + 10981 (y2 + 9)
2' 1094(x + y) - 1092 (x - y)
d)
e)
b)
ai
8.215 Resolver os sistemas de equações:
==
=
x2 - x + 6
2x + 1
1092 (x - 21 = 10921x2 - x + 61 + 1092-1 (2x + 1I
~ 1092 (x - 21 = 10921x2 - x + 61 - 1092 (2x + 11
x 2 - x + 6~ 1092 (x - 2) = 1092 2x + 1 ==<> x - 2 =
= x2 _ 2x _ 8 = O = {x = 4
x = -2 Inão
convém)
8.211 Resolver a equação 109~ x - 9 • 1098 x 4.
8.210 Resolver as equações:
ai 1093 (x + 21 - 1091 (x - 61 1093 (2x - 5)
"3
bl 1092 (x + 21 + 1091 (5 - xl + col091 (x - 11 = 1092 (8 - xl
"2 "2
cl 1093 (x2 - 2x + 21 + 1091 (2x + 1I = 1093 Ix - 41
"3
2
2.
temos:
1 =x 2
y, vem:Fazendo
y+ ~ =2 =y=1
y
mas y 1092 x, então 1092 x
Lembrando que I09x 2 =
Solução
8.216 Resolver a equação 1092 x + 109x 2
então
==
mas y-1ou y
16
1
2
1092 x 4 == x
1092 x -1.=::::;. x
Solução
109~ x - 9 • 1098 x = 4 == 109~ x
== 109~ x - 3 • 1092 x - 4 = O.
Fazendo 1092 x :::; y temos:
y2 _ 3y - 4 = O = y = 4
s = {2}
90-B 91-B
8.217 Resolver as equações:
a) 1092 x - 109x 2
c) 1092 x - 8 • 109x2 2 3
b) 1093x ~ 1 + 109x 9
d) 109JX 2 + 4 • 1094 x2 + 9 O
8.224 Resolver a equação
109 I 10' 1091~ (x2 - 3x + 2)
J1+X
-2 + 109 I 10'10910 (x - 3).
JT+X
8.218 Resolver as equações:
,.--'--------~
a) 109j5 x • .J109x 5"1/5 + 109E 5 V5 = - Y6
b) .J1 + 109xfi . 1093 x + 1 = O
8.219 Resolver a equação 1 + 2 • 109x 2 • 1094 (10 - x)
2
1094 x
8.225 Resolver a equação
109; x2 - 1092 (2x) - 2
x +
8.226 Resolver as equações, sabendo que O < a * 1:
1
a) 109a (ax) • 109x (a x) = 109a2 a
8.220 Resolver os sistemas de equações:
a)
{
109V X +
xv = 8
b) ) 3 • (2' 109v2 x
Lxv = 81
-
109.1- yl
x
10
b) 2 • 109x a + 109ax a + 3 • 109a 2x a O
c) 109x (a xl • 109a x = 1 + 109x va
di
109a2J;Za
+ 109ax a • 1091 2x = O
I092X a a
8.221 Resolver a equação
8.222 Resolver a equação
1096 (x + 31
109x 2 • 109x 2
16
2 • 1090,25 (4 - xl
+ 1092 (3 + x)
109x 2.
64
1. 8.227 Resolver a equação sabendo que a e b
= 109v.;-x • 109a x
são reais positivos e diferentes de um:
Solução 8.228 Resolver a equação 1092 x + 1093 x + 1094 x = 1.
109x 2 • 109x 2
16
= == 8.229 Resolver a equação sabendo que O < a * 1:
x x
16 = 1092 64
Fazendo 1092 x = y vem:
v(V - 4) = V - 6 == V2 - 5y + 6 O == V 2 ou V 3
8.230 Resolver a equação:
109 la - x)
1 + 109 (x + bl
sabendo que a > b > O e
2 - 109(a _ bl 4
109(a _ b)(x + bl
a - b * 1.
mas, Y = 1092 x, então
1092 x = 2 = x = 4
1092 x = 3 = x = 8
S = {4, 8}
8.223 Resolver as equações:
a) 109x 3 • 109x 3 + 109x 3 = O
"3 8T
- vi
- 109x 2)
8.232 Resolver o sistema:
8.231 Resolver os sistemas de equações:
1
--- + =2
1092X 8 1094X 8
14 • 10~16X x3 + 40· 1094X y; = O
c) 1 +
109x 8
d) 109x x2 -
2
92-8 93-8
reais positivos e diferentes de 1, resolver o sistema:
B.233 Resolver o sistema:
{
1092X + 1094Y + 1094' ~ 2
1093Y + 1099' + 1099 x ~ 2
1094' + 10916 x + 10916Y ~ 2
B.234 Sendo a e b
[a"bY~ab2 • 109a x ~ 109l... Y • 109Jã b
b
B.235 Resolver o sistema de equações:
{
10912 x • (1092 x + 1092 Y) ~
1092 x
1092 x , 1093 (x + y) ~ 3 '1093x
8.236 Resolver os sistemas de equações para x > O e
a) {~:::::~2 b) C::: ::y3
8.237 Resolver os sistemas de equações:
ai {xl~Y + y I09 x c 200
V x l09 Y • y I09 x ~ v
{
X109 Y + Y109 x ~ 200
b) V~;x • 109 Yl i ~ 1 024
{
xl09 Y + yI09 x ~ 20
el
loq y;; ~ 1
y > O:
CAPÍTULO VI
-INEQUAÇOES
EXPONENCIAIS
E LOGARÍTMICAS
I. INEQUAÇOES EXPONENCIAIS
Como havíamos prometido do primeiro estudo de inequações exponenciais,
voltamos novamente a esse assunto.
Enfocaremos agora as inequações exponenciais que não podem ser reduzidas
a uma desigualdade de potências de mesma base, através de simples aplicações
das propriedades de potências.
68. A resolução de uma inequação deste tipo baseia-se no crescimento ou de-
crescimento da função logarítmica, isto é, se a
X > O, b > O e O < c * 1 tem-
se:
{ loge aX > loge b se c> 1
(I) aX >b =
loge aX < loge b se O<c<l
{ Joge aX < loge b se c > 1
(11) aX < b =
loge aX > loge b se O<c<l
94-8 95-8
EXERCICOS 8.241 Resolver as inequações:
8.238 Resolver as inequações:
aI 2x > 3X-[
cl (2-)2X+3 > 24X- 3
5
bl 23X-[ .;;; 12- )2X-33
dI 2X- 2 > 32X- 1
bl 4 x _ 2 X+2 + 3 < O
X+ 1
di 4 2 _2x - 3 .;;; O
fi 2. 9 x + 3x+2 + 4 > O
bl 3x + 3X+ 1 .;;; 2x _ 2X-[
di 3x + 3x+[ + 3X+2 < 2X- 2 _ 2x
4 x _ 6 • 10x + 8 • 25x .;;; O.
I
4x+[ _ 8. 6x + 9X+2 >0.
cl 25x _ 5x - 6 ;:. O
el 25x + 5x+[ + 4 .;;; O
B.247 Resolver a inequação
8.246 Resolver a inequação
8.245 Resolver a inequação 9 x - 6 x - 4
x > O.
8.243 Resolver as inequações:
aI 23X+ 1 • 52X - 3 > 6
8.244 Resolver as inequações:
ai 9 x - 5 • 3x + 6 > O
8.242 Resolver as inequações:
a) 5x > 3x + 3x+[
cl 2x + 2X+1 + 2X+2 > 3X+ 1 _ 3x
A escolha da base 3 para o logaritmo visou obter uma simplificação na resolução.
Obteríamos o mesmo resultado se tomássemos os logaritmos em qualquer outra
base.
3X > 2 00> 1091 3x < 10g1 2 00> x .1091 3 <1091 2
5 5 "5"5
1091 2
-l.. ==> x > 109321091 3
5"
3x3x [ ~ 1 2 1 x ~ 2 x ~ 2 ~ 2bl 2 - "" - 00> - .;;; - 00> 8 "" - 00> 1095 8 "" 1095 - 00> x "" 1095 -5 2 5 5 5 5
s = {x E IR I x > 1093 2}
Solução
ai Tomando os logaritmos de ambos os membros da desigualdade na base 3 e mano
tendo a desigualdade pois a base do logaritmo é maior que um, temos:
Por exemplo, tomando os logaritmos na base t e invertendo a desigualdade, temos:
3x > 2 = log3 3x > log3 2 = x • log3 3 > 1093 2 = x > log3 2
s = {x E IR 2x < 10955'}
8.239 Resolver as inequações:
8.240 Resolver a inequação 32X- 1 > 23X+1.
ai 4x > 7
el 32- 3X < 2-
4
bl (2-)x.;;; 5
3
fi 3JX > 4
cl 2 3X+2 > 9
2
9) 2(x I .;;; 5
d) 54X- 1 < 3 11. INEQUAÇOES LOGARI....MICAS
Assim como classificamos as equações logarítmicas em três tipos básicos,
vamos também classificar as inequações logarítmicas em três tipos
É a inequação que é redutível a uma desigualdade entre dois logaritmos
de mesma base a (O < a*' 1).
Como a função logaritmo é crescente se a > 1 e decrescente se O< a < 1,
devemos considerar dois casos
Solução
69. 1~ Tipo: Ioga tlxl > Ioga glxl
96-B 97-B
19 caso
Quando a base é maior que 1, a relação de desigualdade existente entre
os logaritmandos é de mesmo sentido que o dos logaritmos. Não nos devemos
esquecer que, para existirem os logaritmos em IR, os logaritmandos deverão
ser positivos.
Esquematicamente, temos:
Se a > 1, então
Ioga f(x) > Ioga glxl ~ f(x) > g(x) > O
70. Exemplos
1?) Resolver a inequação log2 (2x - 1) < log2 6 .
Solução
Observe que a base é maior que um, logo a desigualdade entre os logaritman-
dos tem mesmo sentido que a dos logaritmos.
1 < x < llog2 (2x - 1) < log2 6 = O < 2x - 1 < 6 = 2 2
1 7 }
S = lX E R 2 < x < 2
2?) Resolver a inequação 10g1 (x2 - 4x) > log, 5.3 3
2'! caso
Quando a base é positiva e menor que 1, a relação de desigualdade ex istente
entre os logaritmandos é de sentido contrário a dos logaritmos. Também, não
nos podemos esquecer que os logaritmandos deverão ser positivos para que os
logaritmos sejam reais.
Esquematicamente, temos:
Se O < a < 1, então
l0lla flx) > Ioga glx) <=====> O < f(xL< glld
Agrupando os dois casos num só esquema temos:
Solução
Observe que agora a base é menor que um, logo a desigualdade entre os
logaritmandos tem sentido contrário à dos logaritmos.
10g1 (x2 - 4x) > 10gl.- 5 = O < x2 - 4x < 5 =
3" J
S = {x E IR I -1 < x < O ou 4 < x < "5}
3?l Resolver a inequação logs (x2 - 2x - 6) ;;. logs 2.
;;. O = x .;; -2 ou x;;. 4
s = {x E IR I x .;; - 2 ou x;;. 4}
Ioga tlx) > Ioga g(x) <=====> {
f(X) > g(x) > O :u
O < f(x) < g(x) se
a > 1
0<a<1
Solução
I 2 = x2 - 2x - 6 ;;. 2logs (x2 - 2x - 6) ;;. og5 ==
98-8 99-8
e
109a f(x) < k = 109a f(x) < 109a ak
Pelo estudo já feito no tipo anterior, temos, esquematicamente:
É a inequação logarítmica que é redutível a uma desigualdade entre
um logaritmo e um número real.
Para resolvermos uma inequação deste tipo, basta notarmos que o número
real k pode ser assim expresso
k ~ k • Ioga a ~ 109a ak
Portanto, são equivalentes as inequações:
Ioga f(x) > k = 109a f(x) > Ioga ak
log. f(x) ~ k
3 < X < 2}
2
2 ( 1 )-2
1091.. (2x 2 - 7x + 5) ~ -2 = 2x - 7x + 5;;;' 3
3 2
= 2x2 _ 7x + 5 ;;;, 9 '> 2x - 7x - 4 ;;;, O =
1
===> X ~ - ou x;;;, 4
2
S ~ {x E IR I x ~ - 1 ou x;;;, 4}
2
Solução
3?) Resolver a inequação 109[ (2x2 - 7x + 5) ~. - 2.
3"
S ~ {x E IR I - 1 < X < O ou
2
3
O 2
(I) u.. x()WIIII 111 11 11 O
1
2 2
,
'O .x(11 ) O
1 3
2 O 2 2
~ 0--<0
.x
(I) n (11 )
se a> 1
se 0<a<1
se a> 1
se 0<a<1
{
f(x) > ak
<==> O < f(x) < ak
~ { O < f(xl < ak
f(x) > akIoga f(x) < k
109a f(xl > k
71. 2? Tipo:
72. Exemplos 73. 3? Tipo: "incógnita auxiliar"
1?) Resolver a inequação 1093 (3x + 2) < 2.
Solução
1093 (3x + 2) < 2 = O < 3x + 2 < 32 = _ 2 < x < 7
3 3
São as inequações que resolvemos fazendo inicialmente uma mudança de
incó9nita.
2 7S~{xERI--<x<-}
3 3
74. Exemplo
Resolver a inequação log; x - 3 • 1093 x + 2 > o.
2?) Resolver a inequação 1091 (2x2 - 3x) > -1.
2"
= 2x2 - 3x - 2 < O===>- 1 < x < 2 (11)
2
entãomas y ~ 1093 X
S ~ {x E IR I O < x < 3 ou x > 9}
Solução
Fazendo 1093 x ~ y, temos:
y2 _ 3y + 2 > O = y < 1 ou y > 2,
=
(I)
e
= O < 2x2 - 3x < ( 1.- )-1
2
= x < O ou x > ~
2
Solução
1091 (2x2 - 3x) > -1
2
={ 2x 2 - 3x > O
2x2 - 3x < 2
101-8
100-8
EXERCfclOS
8.248 Resolver as inequações:
a) 1093 (5x - 21 < 10934
cl 1091- (3x - 1) ? 1091 (2x + 3)
2 2"
el 1091 (x2 - 11 > 1091 (3x + 91
T 2
91 109 (x2 - x - 21 < 109 (x _ 41
bl 1090,3 (4x - 31 < 1090,35
di 1092 (2x2 - 5xl < 1092 3
f) 1091 (x2 + 11 < 1091 (2x - 51
iO TO
B.255 Resolver as inequações:
a) 1092 x - 6 • 109x 2 + 1 > O b) 1092 x - 109x 8 - 2 ? O
4 xS 2
c) (1092 xl - (1091 - I - 20 '1092 x + 148 <O
2" 4
B.256 Resolver a inequação 1 -.J 1 - 8 (1091 x)2 < 3 • 1091 x.
4 4
1092 x 4
B.257 Resolver a inequação: 109x 8 + 109x 8 <T 4 1092 x2 - 4
B.259 Resolver a inequação 1092 (x - 3) + 1092 (x - 2) < 1
B.249 Resolver as inequações:
B.250 Resolver as inequações:
34) > 2 - 10925 B.258 Resolver a inequação: >1 para O < a < 1.
b) 11093 (x - 311 ? 2 cl 1109 xl <1
el 11093(X2 -1)/ <1
Solução
.. x
4
• .. x
4
• .. x
3
-------------~O --t-
3
11) O 111
1
(11) •
(I) n (11)
s = {x E IR I 3 < x < 4}
Antes de aplicarmos as propriedades operatórias dos logaritmos devemos estabelecer
a condição para a existência dos logaritmos, isto é
x-3>0 =X>3}
e e = x> 3 (I)
x-2">O =x>2
Resolvendo a inequação, temos:
1092 IX - 3) + 1092 (x - 21 < 1 = 1092 (x - 3) (x - 21 < 1 =
= (x - 3) (x - 2) < 2 = x2 - 5x + 4 < O =' 1 < x < 4 1111
A solução da inequação proposta são os valores de x Que satisfazem
simultaneamente
(I) e (11), portanto
B.260 Resolver as inequações:
a) 1093 (3x + 4) - 1093 (2x - 11 > 1
bl 1092 (x) + 1092 (x + 1) < 1092 12x + 6)
c) 1092 (3x + 2) - 1092 (1 - 2xl > 2
d) log (2x - 11 - 109 (x + 2) < 1093
e) 1093 (x 2 + x - 61 - 1093 (x + 1) > 10934
fi 1091 (x - 1) + 1091 (3x - 2) ?-2
2" 2"
b) 1091 (4x - 3) ? 2
3
di 1091 (2x 2 - 6x + 31 < 1
T
fi 1095 (2x2 - x - 1- 1 ? 1
"8 8
h) 1090,3 Ix2 - 4x + 1) ? O
bl 2 < 1092 (3 - 2x) < 3
d) O < 1093 (x2 - 4x t 3) < 1
b) 109~ x - 3 • 1091- x - 4 > O
2" 2
di 1 < 1092 x < 3cl 109; x < 4
el log4 X - 5'1092 X + 4 <O
e) 1091 (x 2 + 4x - 5) > -4
T
91 109 (x2 + 3x + 3) > O
ai 1092 (2 - x) < 1091 (x + 1)
2"
c) 1092 (x 2 + x - 21 < 2
B.251 Resolver as inequações:
a) 1090 (3x + 51 > 3
8.252 Resolver as inequações:
ai 2 < 1092 (3x + 1) < 4
1
c) 2 < 1091 (2x) < 1
2"
B.253 Resolver as inequações:
ai 11092 xl > 1
di 12 + 1092 x I ? 3
8.254 Resolver as inequações:
a) 3· 109~ x + 5 • 1093 x - 2 < O
102-8 103-8
8.261 Resolver as inequações:
ai 1092~ + 1092~ > 10943
b) 1094 18x) - 1092~1 - 1092~ < 1092 3
B.269 Resolver a inequação j 109a
B.270 Resolver as inequações:
B.262 Resolver a inequação: 1094 12x2 + x + 11 - 1092 12x - 1 I .;; 1.
8.272 Determine os valores de a para que a equação
raízes reais.
admita
x
a) 11.. )1091 (4x 2 - 9x + 51 >2 bl 31091 (x 2 + 6xl .;; 12 "3 2 81
I 1..)1093[109l Ix- -!- )] 2 < (0.64)2 + 109J2 xcl 2 x < 1 d) 11.25) 1- 1092 x2
B.271 Resolver a inequação=
1
==> O < 1093 x < 2
Solução
1092[1091- (1093 x)] > O = 1091 (1093 xl > 1
2 2
=l<x<Y"3
S ~ {x E IR I 1 < x <V3}
B.263 Resolver a inequação 1092 [1091 11093 x)] > o.
"2
B.264 Resolver as inequações: Solução
a) 109, 11092 x) <O bl 1091 (1091 x) ~ O
"3 "2 "3
c) 1092 (109L x) ~1 d) 1092 [1093 11095 xl] > O
2
e) 1091 [1093 (109, x)] < O fi 1092[109, (1093 x)] > 1
"2 "2 2:
A equação admitirá raízes reais se o discriminante da equação não for negativo
(Ã ~ O).
à = 16 - 4 • 1092 a ~ O = 1092 a';; 1 = O < a < V2
4 4
Resposta: O < a <::.[2
B.265 Resolver a inequação 109a [1091 (109a x)] ~ O para a> 1
a
B.266 Resolver a inequação: 1091 [109a (109a x)].;; O para O<a<1.
a
8.273 Determinar os valores de
a) x2 - 2x - 1092 a = O
c) x2 - x • 1093 a + 4 = O
a para os quais as raízes da equação são reais:
bl 3x2 - 6x + 109 a = O
c) x2 - X • 1092 a + 1092 a = O
B.274 Determinar a para que a equação 3x2 - 5x + 109 (2a 2 - 9a + 10) = O admita rai-
zes de sinais contrários.8.267 Resolver as inequações:
a) 1092 {1 + 1093[10921x2 - 3x + 21]} ~ O
b) 1091 [1094 Ix2 - 5)] > O
3
B.275 Resolver as inequações:
ai 14 - x2) • 109211 - x) .;; O bl (5x 2 + x - 61 • 1091 13x - 4) ~ O
"2
Como a base x pode ser maior ou menor que um, devemos examinar dois casos:
B.277 Resolver a inequação 109x (2x
2
- 5x + 2) > 1.
li)
ou x> 2
ou X>2}
= O <x < t
5x + 2 > O = x < ~
Solução
Antes de resolvermos a inequação, devemos levantar a condição para a existência
do logaritmo.
t
109 x <B.276 Resolver a inequação x • 109 xl.
b) f(xl~~
"2
c) 1092 (1091 1 1<0
3 x - 1
di 1091 (1 098 x
2
- 2x ).;;ü
"2 x - 3
j x2 + 2x - 7el flx) ~ 1093 -- _
x - 1
c) f(x} ~ VI092 (1091 x)
"2
8.268 Determine o domínio das funções:
a) f(x)~~
104-8 105-8
1092 (2x2 - 5x + 2) > 1 = 2x2 - 5x + 2 > x = 2x2 - 6x + 2 > 0=
1':') Se x>l (lI), temos: B.278 Resolver as inequações:
a) 109x2 (x + 2) < 1 b) 1092X + 3 x
2
< 1
A solução neste caso é dado por
1
"2 2
11) O)--------O)M<---------o.~ x
==
x<3-V5
2
3 + Y5
ou x> ---
2
(111) c) 109x2 (x2 - 5x + 4) < 1
1
e) 109(3x2 + I) 2 < :1
9) 109(x + 6) (x2 - x - 2) » 1
d) 109
x
~.~ <-1
6 - 5x
~~ >1f) logx x _ 1
(~)2>0
h) 109 (2X
2
+ 5) 2x - 3
(l1)--------r"O""---~O~---------'\!!!!l<---.- x
3-..)5 3+..)5
2 2
(111)----0>---------------<0>+-----.- x
3+V5
2(I) n (11) n (l1I)-------------------Oj+;---.......... x
J R I x> 3 + ~-}SI = LX E 2
B.279 Para que valores de a e b se tem a desigualdade:
B.280 Resolver a inequação 1092 Ix - 1) • logl 13x - 4) > O.
"2
2':') Se O<x<l (IV) temos:
B.281 Resolver a inequação
,
109a x + 1 > a2 x para a > 1.
1092 (2x2 - 5x + 2) > 1 = 2x2 - 5x + 2 < x = 2x2 - 6x + 2 < O
3-V5< < 3+Y5
2 x 2
A solução neste caso é dado por
(V)
B.282 Resolver a inequação 1091 x + 1093 x > 1.
i
B.283 Resolver a inequação 1092 (2 x - 1) • log, 12x + I - 2) > -2.
"2
.l..
2 2
11) O-- O •
x
O 1
Ilv) ------o O • x
3-..)5 3+%
2 2
(V) O O .- x
3-\15
2 2
(I) n (IV) n (V) 0-0 • x
~- V5 < x < ~ }
2 2
106-8
A solução da inequação proposta é:
S = SI U S2 = {x E IR I ~ - 2V5 < x < ~ ou x> 1-+ Y5 }2
107-8
y
CAPÍTULO VII
LOGARÍTMOS
DECIMAIS
I. INTRODUÇÃO
Após o estudo da teoria dos logaritmos, veremos agora algumas aplicações
aos cá Icu los numéricos.
Os logaritmos, quando da sua invenção, foram saudados alegremente por
Kepler (Johann Kepler (1571-1630) astrônomo alemão) pois aumentavam enorme-
mente a capacidade de computação dos astrônomos.
Notemos que, com as propriedades operatórias dos logaritmos, podemos
transformar uma multiplicação em uma soma, uma divisão em uma subtração e
uma potenciação em uma multiplicação, isto é, com o emprego da teoria de
logaritmos podemos transformar uma operação em outra mais simples de ser
realizada.
Dentre os diversos sistemas de loga-
ritmos estudaremos com particular inte-
resse o sistema de logaritmos de base 10.
Lembremos as principais proprie-
dades da função logarítmica de base 10:
l)logl=O
2) log 10 = 1
3) x > 1 = log x > O
O < x < 1 = log x < O
x
109-B
11. CARACTERISTICA E MANTlSSA 76. Regra I (x > 1)
Justificação
isto é, a caracteristica de log x é n.
A característica do logaritmo decimal de um número x > 1 é igual ao
número de algarismos de sua parte inteira, menos 1.
Seja x > 1 e x tem (n + 1) algarismos na sua parte inteira, então temos:
10n .s;; x < lOn + 1 ~ log 10n .s;; log x < log lOn + 1 == n .s;; log x < n + 1
c = O
c = 1
c = 2
c = 3
característicalogaritmo
log 2,3
log 31,421
log 204
log 6542,3
Exemplos
Exemplos
1C?) x = 0,04 == 10-2 < 0,04 < 10-1
2C?) x = 0,351 == 10-1 < 0,351 < 10°
3C?) x = 3,72 == 10° < 3,72 < 101
4C?) X = 45,7 == 101 < 45,7 < 102
5C?) x = 573 == 102 < 573 < 10
3
75. Qualquer que seja o número real POSitivO x que consideremos, estará
necessariamente compreendido entre duas potências de 10 com expoentes inteiros
consecutivos.
Assim, dado x > O, existe c E Z tal que:
10C .s;; x < lOC+1 == log 10c .s;; log x < log lOC+1 == C .s;; log x < c + 1. 77. Regra 11 (O < x < 1)
Podemos afirmar que
log x = c + m onde c E Z e O.s;; m < 1
A característica do logaritmo decimal de um número O < x < 1 é o
oposto da quantidade de zeros que precedem o primeiro algarismo significativo.
isto é, o logaritmo decimal de x é a soma de um número inteiro c com um
número decimal m não negativo e menor que 1.
o número inteiro c é por definição a característica do logaritmo de x
e o número decimal m (O .s;; m < 1) é por definição a mantissa do logaritmo
decimal de x.
Justificação
Seja O < x < 1 e x tem n algarismos zeros precedendo o primeiro
algarismo não nulo, temos então:
lO-n .s;; x < lO-n +1 == log lO-n .s;; log x < log 1O-n +1 == -n .s;; log x < -n + 1
isto é, a característica do log x é -no
Exemplos
111. REGRAS DA CARACTERISTICA
A característica do logaritmo decimal de um número x real positivo será
calculada por uma das duas regras seguintes.
logaritmo
log 0,2
log 0,035
log 0,00405
log 0,00053
característica
c = -1
c = -2
c = -3
c = -4
110-8
111-8
A mantissa é obtida nas tábuas (tabelas) de logaritmos.
IV. MANTISSA
78. Propriedade da mantissa
(Iog(x. 10P) -
log x) E Z.
Mantissas
.
. ..
N o 1 2 3 4 5 6 7 8 <
10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374
11 0414 0453 0492 0531. 0569 0607 0645 0682 0719 0755
12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106
13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430
14 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732
15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014
16 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279
17 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529
18 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 2765
19 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2923 2945 2967 2989
20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201
21 3222 3243 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404
22 3424 3444 3464 3483 3502 3522 3541 3560 3579 3598
23 3617 3636 3655 3674 3692 3711 3729 3747 3766 3784
24 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945 3962
25 3979 3997 4014 4031 4048 4065 4082 4099 4116 4133
26 4150 4166 4183 4200 4216 4232 4249 4265 4281 4298
27 4314 4330 4346 4362 4378 4393 4409 4425 4440 4456
28 4472 4487 4502 4518 4533 4548 4564 4579 4594 4609
29 4624 4639 4654 4669 4683 4698 4713 4728 4742 4757
30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900
31 _4914 4928 4942 4955 4969 4983 4997 5011 5024 5038
32 5051 5065 5079 5092 5105 5119 5132 5145 5159 5172
33 5185 5198 5211 5224 5237 5250 5263 5276 5289 5302
34 5315 5328 5340 5353 5366 5378 5391 5403 5416 5428
35 5441 5453 5465 5478 5490 5502 5514 5527 5539 5551
36 5563 5575 5587 5599 5611 5623 5635 5647 5658 5670
37 5682 5694 5705 5717 5729 5740 5752 5763 5775 5786
38 5798 5809 5821 5832 5843 5855 5866 5877 5888 5899
39 5911 5922 5933 5944 5955 5966 5977 5988 5999 6010
40 6021 6031 6042 6053 6064 6075 6085 6096 6107 6117
41 6128 6138 6149 6160 6170 6180 6191 6201 6212 6222
42 6232 6243 6253 6263 6274 6284 6294 6304 6314 6325
43 6335 6345 6355 6365 6375 6385 6395 6405 6415 6425
44 6435 6444 6454 6464 6474 6484 6493 6503 6513 6522
45 6532 6542 6551 6561 6571 6580 6590 6599 6609 6618
46 6628 6637 6646 6656 6665 6675 6684 6693 6702 6712
47 6721 6730 6739 6749 6758 6767 6776 6785 6794 6803
48 6812 6821 6830 6839 6848 6857 6866 6875 6884 6893
49 6902 6911 6920 6928 6937 6946 6955 6964 6972 6981
50 6990 6998 7007 7016 7024 7033 7042 7050 7059 7067
51 7076 7084 7093 7101 7110 7118 7126 7135 7143 7152
52 7160 7168 7177 7185 7193 7202 7210 7218 7226 7235
53 7243 7251 7259 7267 7275 7284 7292 7300 7308 7316
54 7324 7332 7340 7348 7356 7464 7372 7380 7388 7396
N o 1 2 3 4 5 6 7 8 9
log 10P = P EZ.10
P
, xlog(10P • x) - log x = log( --)
x
De fato:
Uma conseqüência importante é:
"Os logaritmos de dois números cujas representações decimais diferem
pela posição da vírgula têm mantissas iguais."
A mantissa do logaritmo decimal de x não se altera se multiplicarmos x
por uma potência de 10 com expoente inteiro.
Assim os logaritmos decimais dos números 2, 200, 2 000, 0,2; 0,002
tem todos a mesma mantissa 0,3010; mas as características são respectivamente
0,2,3, -1, -3.
Demonstração
Para demonstrarmos essa propriedade mostremos que se p E Z então a
diferença
Nas páginas 113 e 114 temos uma tabela de mantissas dos logaritmos dos
números inteiros de 100 a 999.
Ao procurarmos a mantissa do logaritmo decimal de x, devemos lembrar
a seguinte propriedade
Em geral. ª rg,antissa é um número irracional e por esse motivo as tábuas
de loQ;ritmos são tabelas que fornecem os valore§ aproximados dos logaritmos
....dQS números inteiros, geralmente de 1 a 10000.
112-8 113-8
log 23,4 ~ 1,3692.
V. EXEMPLOS DE APLlCAÇOES DA TÁBUA DE LOGARITMOS
A variação da função logarítmica não é linear, mas podemos aceitar como
uma boa aproximação de log 314,3 a ordenada V do ponto O sobre a reta AB.
315 x
y = 109 x
B
M
V ~ log x
~.
x
~ M
M '" y~
Xl ~ 314 VI ~ log 314 ~ 2,4969 '"~
X3 ~ 314,3 V3 ~ log 314,3 ~ (?)
Xl ~ 315 Vl ~ log 315 ~ 2,4983
314 314,3
2«;11 Calcular log 0,042
A característica é -2 e a mantissa é 0,6232 que é a mesma de 420.
Temos, então:
Para determinarmos o valor de V,consideremos os triângulos AEB e AFO.
Como os triângulos AFD e AEB são semelhantes, temos:
3«;11 Calcular log 314,2
Para calcularmos o log 314,2; consi-
deremos parte da representação cartesiana
da função f(x) ~ log x.
log 0,042 ~ -2 + 0,6232 ~ -1,3768.
Entretanto, é usual escrevermos -2 + 0,6232 sob a forma 2,6232; onde
figura explici~mente a mantissa do logaritmo e a característica -2 é substituída
pela notação 2.
Dizemos que 2,6232 é a forma mista ou preparada do log 0,042 e que
-1,3768 é a forma negativa de log 0,042.
1«;lI Calcular log 23,4
A característica é 1 e a mantissa é 0,3692 que é a mesma do número
234. Temos, então:
Mantissas
o I, 9
55 7404 7412 7419 7427 7435 7443 7451 7459 7466 7474
66 7482 7490 7497 7505 7513 7520 7528 7536 7543 7551
.57 .. 7559 7566 7574 7582 7589 7597 7604 7612 7619 7627
68 7634 7642 7649 7657 7664 7672 7679 7686 7694 7701
59 7709 7716 7723 7731 7738 7745 7752 7760 7767 7774
60 7782 7789 7796 7803 7810 7818 7825 7832 7839 7846
6'1 7853 7860 7868 7875 7882 7889 7896 7903 7910 7917
$2 7924 7931 7938 7945 7952 7959 7966 7973 7980 7987
6a 7993 8000 8007 8014 8021 8028 8035 8041 8048 8055
64 8062 8069 8075 8082 8089 8096 8102 8109 8116 8122
66· 8129 8136 8142 8149 8156 8162 8169 8176 8182 8189
$El. 8195 8202 8209 8215 8222 8228 8235 8241 8248 8254
67 8261 8267 8274 8280 8287 8293 8299 8306 8312 8319
68 8325 8331 8338 8344 8351 8357 8363 8370 8376 8382
59 8388 8395 8401 8407 8414 8420 8426 8432 8439 8445
7f!) 8451 8457 8463 8470 8476 8482 8488 8494 8500 8506
71 8513 8519 8525 8531 8537 8543 8549 8555 8561 8567
72 8573 8579 8585 8591 8597 8603 8609 8615 8621 8627
73 8633 8639 8645 8651 8657 8663 8669 8675 8681 8686
74 8692 8698 8704 8710 8716 8722 8727 8733 8739 8745
75 8751 8756 8762 8768 8774 8779 8785 8791 8797 8802
76 8808 8814 8820 8825 8831 8837 8842 8848 8854 8859
77 8865 8871 8876 8882 8887 8893 8899 8904 8910 8915
78 8921 8927 8932 8938 8943 8949 8954 8960 8965 8971
79 8976 8982 8987 8993 8998 9004 9009 9015 9020 9025
80 9031 9036 9042 9047 9053 9058 9063 9069 9074 9079
81 9085 9090 9096 9101 9106 9112 9117 9122 9128 9133
82 9138 9143 9149 9154 9150 9165 9170 9175 9180 9186
83 9191 9196 9201 9206 9212 9217 9222 9227 9232 9238
84 9243 9248 9253 9258 9263 9269 9274 9279 9284 9289
85 9294 9299 9304 9309 9315 9320 9325 9330 9335 9340
86 9345 9350 9355 9360 9365 9370 9375 9380 9385 9390
87 9395 9400 9405 9410 9415 9420 9425 9430 9435 9440
88 9445 9450 9455 9460 9465 9469 9474 9479 9484 9489
89 9494 9499 9504 9509 9513 9518 9523 9528 9533 9538
90 9542 9547 9552 9557 9562 9566 9571 9576 9581 9586
91 9590 9595 9600 9605 9609 9614 9619 9624 9628 9633
92 9638 9643 9647 9652 9657 9661 9666 9671 9675 9680
93 9685 9689 9694 9699 9703 9708 9713 9717 9722 9727
94 9731 9736 9741 9745 9750 9754 9759 9763 9768 9773
95 9777 9782 9786 9791 9795 9800 9805 9809 9814 9818
96 9823 9827 9832 9836 9841 9845 9850 9854 9859 9863
97 9868 9872 9877 9881 9886 9890 9894 9899 9903 9908
98 9912 9917 9921 9926 9930 9934 9939 9943 9948 9952
99 9956 9961 9965 9969 9974 9978 9983 9987 9991 9996
N O 1 2 3 4 5 li 7 ·8 ,9
114-8
115-8
x = 62,4.
log 314,3 = 2,4969 + 0,0004 = 2,4973.
o processo pelo qual calculamos o log 314,3 é chamado interpolação linear.
6~) Calcular antilog 3,2495
x = antilog 3,2495 ~ log x = 3,2495.
A mantissa 0,2495 não aparece na tábua, porém, está compreendida entre
mantissas 0,2480 e 0,2504.
Considerando novamente a função f(x) log x, temos:
y= log x BC
X V = log x o00 A ___ I-- O
'"
'"N ~-~~ oI:- -- I!)M' F N
Xl 1 770 VI = log 1 770 = 3,2480
"
I!) M'
o O"> I!)
X3 = ? log X3 = 3,2495 .... '"
O">
"V3 = .... N
'"M' N o
M' 00
x, = 1 780 v, = log 1 780 = 3,2504 '" " ....2 '" ~x
'" '"2 2
1770 x3 x 1780 x
Lembrando, a. variação da função logarítmica não é linear, mas podemos
aceitar como uma boa aproximação
de antilog 3,2495 a abscissa x do ponto D
sobre a reta AB.
Para determinarmos o valor de x, consideremos os triângulos AED e AFB.
Como os triângulos AED e AFB são semelhantes, temos:
B
::!:
M
'"2 as
I
I!)
M
'"2
E0,3
AL....-----!,L-------::!J
F
Portanto,
log 314,3 = log 314 + d
4~) Calcular antilog 1,7952
Fazendo x = antilog 1,7952 temos:
log x = 1,7952.
Com a mantissa 0,7952 encontramos na tábua o número 624, mas como
a característicll do log x é I, então temos:
DF = _A_F ~ .,---=-=-=d-,-----=-:-=- = O,3 ~
BE AE log315-log314 1
~ d = 0,3· (log 315 - log 314) ~
~ d = 0,3 . (2,4983 - 2,4969) ~
~ d == 0,0004
ou seja,
B
~}IOg 1780-log 1770
A log x - log 1770
'---vc----J E F
d
\
5~) Calcular antilog -1,3716
Fazendo x = antilog -1,3716; temos:
log x = -1,3716.
Devemos transformar o logaritmo na forma negativa para a forma mista
ou preparada, pois na tábua a mantissa é sempre positiva.
Essa transformação é obtida adicionando·se 1 à sua parte decimal e sub·
traindo-se 1 da parte inteira, o que evidentemente não altera o número negativo.
Assim, temos:
-1,3716 = -1 - 0,3716 = -1 - 1 + 1 - 0,3716 = -2 + 0,6284 = 2,6284
e
log x = -1,3716 = 2,6284.
AE
AF
d
~
10
DE
BF
log x - log 1 770
109 1 780 - log 1 770
~d 10. 0,0015 ~ d == 6,3.
0,0024
Com a mantissa 0,6284 encontramos o número 425, mas como a caracterís-
tica do 109 x é -2, temos:
x = 0,0425.
Portanto,
x 1 770 + d 1 770 + 6,3 ~ x 1 776,3.
116-8 117-8
EXERCICIOS B.294 Calcular com aproximação de milésimos o valor de ~
B.295 Calcular com aproximação de milésimos o valor de:
x = 1.149.
B.284 Calcular:
a) log3210
di log 0.74
B.285 Calcular:
ai anti log 3,8768
di antilog 1,5145
bl log 25,4
e) log 0.00357
b) antilog 1.8035
el anti log 3,6693
cl log 5,72
c) antilog 0,9175
f) anti log 2,1271
Solução
Seja
x = {/2 ~ log x log V2 ~ log x
~ log x = 0.0602
Por interpolação linear obtemos:
1- IOg 2 ~ log x = --.!..- x 0.3010 =>
5 5
B.296 O volume de uma esfera é dado por V = .!n R3 onde R é o raio da esfera. Calcular
o raio da esfera de volume 20 cm3. 3
B.286 Calcular:
ai antilog -2,0899
cl antilog -0,4473
b) antilog -3,2147
d) antilog -1,6517
ai lfl b) \fiO
8.289 Achar o maior valor de n para o qual aI, 32. 83 ..... an são números reais verifi-
cando a igualdade
B.287 Calcular:
a) log 3 275
d) log 0,8358
B.288 Calcular:
a) anti log 1,3552
ci antilog 1,7383
bl log 23.72 c) log 0,04576
e) log e
bl antilog 0,4357
di antilog -1,6336
B.297 Calcular o valor de A = ~ 13,4)3. 11,7312 com aproximação de centésimos.
.8.298 O valor de um capital Co empregado a uma taxa i de juros. capitalizados periodica-
mente e ao fim do pedodo é dado, após t períodos por Clt) = Co • (1 + il t Deter-
minar qual é o tempo necessário para que um capital empregado a taxa de 2% ao
mês de juros, que são capitalizados mensalmente, dobre de valor.
Solução
Sendo C(tl = 2· Co e i = 0.02 temos: 2Co Co l1 + 0,021 t ~ 2 = (1,02I t
Tomando logaritmos decimais, temos:
log 12345 = ai
log ai = a2
loga2 = a3
log 11,02) t = log 2 ~ t • log (1.02) = log 2 ~ t
=> t = 35 meses.
Resposta: 35 meses.
log 2
log 1,02
~ t 0,3010 =>
0,0086
log 3n-l :-= an
B.290 Calcular 1092 3
Solução
log 3
1092 3 = 109 2
0,4771
0.3010
1.585
_8.299 Determinar qual é o tempo necessário para que um capital empregado a taxa de 3%
ao mês, com juros capitalizados mensalmente, triplique de valor.
8.300 Determinar qual é o tempo necessário para que um capital empregado a taxa de
10,5% ao trimestre, com juros capitalizados ao fim de cada trimestre, dobre de
valor.
B.293 Resolver as equações laproximações em centésimosl:
a) 22X _ 8 • 2x + 15 ~ O b) 32X - 5 • 3x + 4 ~ O
B.292 Resolver as equações (aproximações em centésimosl:
ai 5x = 100 b) 3x = 20 c) 2x ~ 30 d) 7x 0.3
di e2x - 5 • eX + 6 = O
B.301 Oual é o montante de Cr$ 10000,00 empregado a taxa de 3% ao mês, capitalizados
mensalmente, ao fim de 18 meses?
B.302 Oual é o montante de Cr$ 5000.00 empregado a uma taxa de 4% ao trimestre, capitali-
zados trimestralmente, ao fim de 12 anos?
t
B.303 Uma certa cultura de bactérias cresce segundo a lei Nltl = 2000 • 1036 . onde N(tl
é número de bactérias após t horas. Quantas bactérias haverá após 3 horas?
B.304 A desintegração de certo material radioativo é dado por: O(t) ~ 00 • 10-kt Se
0(201 ~ 400 gramas e 00 ~ 500 gramas. então calcular k.
50
e) 10964d) 10956cl 10953
cl 102X _ 7 • 10x + 10 = O
B.291 Calcular:
ai 10932
118-8 119-8
RESPOSTAS
CAPITULO I
8.2 8a)-27; bl-2; el81; d)l; e) 27;
k) 1; I) -1; m) O; n) 1; o) -1; pl 1
8.3 2.
f) 1 g) -81 ; h) 1; i) -4; j) 28781 ;
8.4 a) F; bl F; c) F; d) F; e) V; f) V; g) V; h) V.
8.6 a) a l3 • b12; b) aIO • b2; c) a l8 • b12; d) aIO • b lO; e) aS • bl4
8.7 a = O ou b = O.
3 -8h) 9; j) 2; j) 27;
1
ri 25; 5) -27;
1 1 1
e) 4'; f) '9; g) - 25 ;
16
n) 64; o) -8; p) '9; q) 8;
a) -!; b) - .!.. el - .!. d) -!..3 2' 3' 3'
k) -25. il 27. m) 100'4' 8 ' ,
t) 0,0001.
-1' 40 .
a) 17; b) 41' c) 2.
a) V; b) F; c) F; dI F ; e) F; f) V; g) V; h) F; j) V; j) V.
a) a 13 • b- 12; b) a-2b9 ; c) a-12 • b I8 ;d) a15 • b- 18 ;e) a-6 b4 ; f) a-I. b-I;
a + b
g) 81)'
8.8
8.9
8.10
8.12
8.13 aI aS; b) an + 4; c) a 2n+4; di ~.
a
c) {X -3 se x > 3
O sex=3
3-xsex<3
8.14
8.15
8.17
a) V; bl F; c) V; di V;
a) V;" b) F; c) V; di V;
a) { x + 2 se x > -2
O se x = -2
-x - 2 se x < -2
-./'
3b) {2X -3se x > ~
O se x = 2"
3-2xsex<~
2
e) V; f) V.
e) V.
d) {:x + 1
-2x - 1
V
sex>--!.
2
1
se x = -"2
sex<--!.
2
121-8
CAP(rULO 118.19 a) 12; b) 18; cl 9; d) 14; e) 5; f) 3V2; 9) 8vi h) 2~; j) 4V'z.
8.20 a) 7V2; b) ~i·Ji c) 7...;5 - 5Y6; d) 22...;5 + 11 V2; e) O; ti 2\.13;
9) O.
8.21 ai 9x..j"";,; bI3xlyh/"5x; c) 2x2 y2V3v; d) 2IxlV2.
8.23 a)~, V5i0,~; b)~,~,~,~; c)~,~, 0/59;
dl~O,~,~,~
8.25 a) 6; b) 30; c) 6V2; d) 2V3; eI6..,(2; f) 2{!"3; 9) Vi: h) 2; i) lf5;
. .
j) W; kl ~34 • 2 3 • 56; I) Jf m) -lf2; n) \V27; o) d322.4 53
8.27 a) -8Y15; bl 7; c) 28 - V2; d) 16 + 4 Vii; e) -10 - V2; f) 18 + 11 Y6;
91 -46; h) 11 + 6..[2; i) 21 - 8...;5; j) 67 + 12..,(7; k) 17 - 12V2.
8.28 a) 2{f2; b) 14vri c) 20 W; di 3 + lfi8.
8,29 a) 1; b) 5; cl 1; d) 2.
8.30 a) a2 - b; bl 2 + ..,f; +..,f;; cl (a + b1 2 ; d) 1; e) y.
8.31 ai 2; bl.if4; c) yr;;J:
8.33 ai 3...;2 bl 4Y5. cl ..,(6. d) 2Y5. e) 2V3. fi if2. 91 2 {li.2 5' 2' 3' 3' 2'3'
3\18 .~.~.~ ~ 30+18...;2.
h) ~2-; il 2 - V 3; j) V 3 + V 2; kl 6 - 4V 2; I1 7
ml 3 V2 + Y3. nl 4 rs + 6 '-2. o) 4 + 3 Y3 + ...;5 - 2 -./15 .
15 ' V ~ V~; 22 '
p):JCl-~V5+_~~_V2 + 20..;;0; ql 6 - 3VY + 3 -J6~ ri 1 + Vi
.~ 9+V158.34 a) 4; bl V 2; cl 6 ; dI 2.
8.35 4x~.
8.36 a + b.
8.39 x ~ 2
I ~ 3 1 I .±. I 2 3
8.40 aI 52; b123 ; cl 34 ; dI 24 ; e) 5 12 ; tl 23 ; 912-2 ; h) 3 3; i12- 2
1 3 1 1 10.
8.41 a12; b) 8; c) 2; di '2; e12; tl '9; 9) 8; h) 9; ,) 10.
8.43 ai 33; bl 24 ; cl 2; di 2-4 ; el 3- 1; fI 2 10; g) 2; hl 22 ; il 2-4 ; jl 7-2 ;
k) 34 ; 1162 .
19 11 14 61 2 1
8.44 a) 215 ; b) 330 ; c) 5 15 ; di 3- 120 ; el 33 + 3-2 f) 70; 9) 6.
1 1
'6 2 a+b I I
8.45 a) a; b) a • b ; cl a2 + 2; dI -1; el ~; f) va + V b
8.47 a) 3; aI 2~; c) 4-J6; di 3; e) 2 1 - 3 J'3; tl 1; 91 59 - J6; h124 ; i) 2 15 .
122-B
8.48
ai
cl
e)
y
y=3x
I
1/
-
V
x
y
-
I
y=4 II
..
I
II
~
x
y
y= 1O-x
\
l"-
x
bl
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fi
y
I--I--
y= ("1 lx
I--I--
~
I'.:.
1 x
Y
y=10 x
l/
x
y
\
I--I-- 1 1\y= I~) \
,
1\
\
I\..L
x
123-B
8.50
aI y
\
\
\
1\
\
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....... r-
x
b) y
I
11
/
Ij
/
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x
8.53
a) y
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b) y
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1\ I
\ 11
J
\ 1/
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x
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\
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x
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V
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I1
x
I
I
1I
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e} 'v
l-V .......r- ....
x
8.55
a) y ,
I
I1
l--V
x
b) y
f-f- . J
---
x
124-8
a)
,
y
1\ I, 11
1\ I
1\.
x
b ) y I1
I1
1/
J
1/
x
c) y
I
11
l./
x
d) y /
11
I
1/
V
.. 1- I--I--V
~V
p
x
125-8
B.67
/
B.57 ai S ~ {7}; bl S ~ {5}; cl S o {-4}; di S ~ {-3}; el S = {g}; t) S ~ {~}.
3 r 3}. { -2}. { -15 } r 3}.gl S = {2}; hl S = 1.- T; li S = 3; JI S = 4; kl S = 1.- T '
I) S = t- i}; ml S ~ {- i}; nl S = {-2}.
B.58 ai S = {2}; bl S" {- ~}; cl S = {- %l di S = {5, -4};
el S ~ {Y6- 1.-Y6 -1}; f) S = {-2, t}; g) S = {112 }; h) S = {lO};
Ii S = {-%-}; jl S = {tl k) S = {- ~~}; 1i S = {2, -+}; ml S = {3, tl
n) S = {2, - ~ }
B.60 a) S = {-5, 1}; bl S = {3, -2}; cl S = {~}; di S = {- 1:}; e) S = {5};
fi S = {~}; gl S = {6, -2}; h) S = {1~}; iI S = {~}; j) S = {-6, 2};
B.62 a) S = {3}; bl S = {3}; cl S = {t}; d) S = {+}; e) S = {1}; t) S ~ {1}
B.64 ai S = {1}; bl S = {2}; cl S = {2,4}; di S = {0,2}; el S = {O}; fi S =;z5;
gl S = {3}; hl S = {O,l}; Ii S = {3, -1}; jl S = {t, t};
B.65 S = {g}
8.66 a I S = {t}; bl S = {2}; cl S = {+}.
S = {1. ~; Y5, -3; Y5}.
B.68 S = {l}
2
. 3}
B.69 S = '2"
B.70 S = {1}
B.71 S = {O, 2}
B.73 ai S = {l, i}; b) S = {1}; c) S = {1, Y2}; d) S = {1, 3, 4}; e) S = {1, 4}.
3 1 }B.74 a) S = {1 l b) S = {a, 1}; cl S = {O, 1, 2"}; d) S = {O, 1, 2, '2 ;
e) S = {1, 4}.
1B.75 S = {O, 1, 2, - T}
B.76 S={l,2}
B.78 S = {O}; b) S ~ {-2}
B.79 a) S = {13, 4)}; bl S = {12, 31, (-3, sI); cl S = {15, 3)};
d) S = {14. Y2I, (4, -V2)}
126-8
B.80 S = {l1, 6), (2, 71, (3, S)}
{ 9 27}B.81 ai S ~ {(1, 11, (3-1/ 3, 32/31}; bl S = (O, O), (1, 11, 14, 8"
8 S = {Il 1) (I~)n~m, (~In~m)}B.2 "m m
-2 + V7 . I ~ 5 ) > aB.84 a) m < .-3 ou m? --2-; o m"," 2; c m .
B.85 m';;}
B.86 m? 2
B.87 m < -1 ou m > 1
B.89 a) V; b) F; c) V; d) F; el F; t) F; g) V; hl V; iI V; jI F
B.90 ai V; bl V; cl F; di V; el V; t) F.
B.91 ai F; bl V; cl F; di V; el F; t) F; gl V; hl V.
B.93 ai S = {x E IR I x < 5}; bl S = {x E IR I x < 4}
clS= {xEIR i x<-3}; d) s~ {xEA I x';;-3};
el S = {x E IR I x .;; -6}; t) S ~ {x E R I x > - t };
gl S = {x E IR I x ? t}; h) S = {x E IR i x ? - t};
il S = {x E IR I x < - 1
S
5}; j) S ~ {x E A i x ? ~};
k) S = {x E IR I x < - %}; I) S = {x E IR I x < ~~};
B.94 a) S= {xEIR Ix>l}; b) S= {xEIR ix?~}.
1 6{ E" I <} d) S = i x E IR i x < -5 };cl S = x IR x -4; .
e) S = {x E IR I x? +}; fi S = {x E A i x < 1 ou x> 4};
gl S = {x E IR I -2 .;; x .;; 3}; hl S ~ {x E IR I -2 .;; x .;; 4};
il S = {x E IR I -3 .;; x .;; +}; j) S = {x E IR I x < - fT{ ou x > JV};
k) S = {x E IR I ±.;; x';; 2}; 1I S = {x E IR I y < +ou x > t};
m) S = {x E IR "I x < - f ou x >4}. nl S = {x E Fl I t .;; x .;; 1}.
B.95 a) S = {x E IR I 3 < x < 5}; bl S = {x E IR I 2 < x < 4};
3 5}cl S = {x E IR I -3 < x < 4}; d) S = {x E IR I - T < x < 2 ;
1 3} r I 1 < 3}eIS={xEIRI-T<x<T; t)S=\xER -l<x 2;
5 2 2 5}g) S = {x E IR I -:3 < x < -3 ou 3 < x < 3 ;
hL S = {x E IR I ~ < x < 1}; il S = 0;
127-8
128-8
bl S = {x E R I O < x,,;; t ou x;;. 1};
cl S= {xEIR 10<x<foUl<X<4};
d) S = {x E IR I i- < x < 1 ou x > 2};
e) S = {x E IR I O,,;; x,,;; 1 ou 2";; x";; 3}.
B.107 a) S = {x E IR I O < x < 1 ou x > 2};
b) S = {x E IR I x >6}
el S = {x E IR I O < x,,;; 1 ou x;;' 3};
8.108 S = -.§.
2
jl s ~ {x E IR 10";;x";;1 ou 3";;x ";;4};
kl s = {x E IR I 1 < x < ~}.
B.97 ai S = {x E IR I -2 < x < t}; bl s = {x E R I x,,;; -1 ou x;;. O};
cl s = {x E IR I x ;;. - ~}; d) s = {x E IR I x < - i};
e) S = {x E iR I x < :}; fi S = {x E IR I x < -1 ou f < x < 1};
91 S= {xER 1-3<x<-20u-l<x<1};
h) S = {x E IR I -2 < x ,,;; -1 ou O < x < 1 ou x < -3}.
B.99 a) S = {x E IR I x > 5}; bl S = {x E R I x < 1};
c) S= {xEiR I x;;'3}; d) S= {xEIR I x,,;;t};
el S = {x E iR I x < 1 }; f) S = {x E iR I -Vi< x < Vil
B.l01 ai S = {x E IR I 1 < x < 2}; b) S = {x E IR I x < 1 ou x> 2};
cl S = {x E IR I -1 ,,;; x,,;; 1}; di S = {x E IR I x,,;; 2};
e) S = {x E IR I x <O ou x> 1}; f) S = {x E IR I x <O}; g) S = IR;
hIS=;z!; j)S={xERI-2<x<-1};
j) S= [xEiR I x";;-l oux;;'O}; k) S= {xER I x";;-20ux;;'-1};
I) S = {x E IR lo < x < 1l
B.l02 S = {x E IR I x >3}.
B.l04 ai S = {x E IR I O < x < f ou x> 1};
'r I 3} {I 1 }b) S = 'LX E IR "4 < x < 1 ; c) S = x E IR '2 < x < 1 ;
d) S = {x E IR I O < x < 1 ou x > 3};
el S = {x E R lo";;x";; t ou 1 ";;x ";;2};
f) S= {xEiR 1f";;X";;l oux;;.2}.
B.l05 S = {x E IR I x < -1 ou - f < x < 1 ou x > 2 e x '* ol
129-8
d) 16.
d) 5V5; el 10; t) ~, gl 216; hl 8; .
el .!...
9 <.
elVi;B.115 ai 2; bl 9;
B.113 a) 81; b) 4;
17
B.126 fi'
B 127 4(3 - ai
. a + 3
B.116 a) 3; b) 5.
B.118 a) 1 + log5'" - 1095 b - log5 c; bl 1093 a + 2 • 1093 b - log3 c;
1 1 1
c) 2 • 1092 a + 2 log2 b - 31092 c; di 3 log3 a + 3 • log3 b - log3 c;
1 3 1 2 1
el "2 log a + 2" log b - log c; f) 3 log a - '3 log b - "6 log c;
5 5 11 2
g) 2 + 12log2a - 121092b; hl 3· Ioga - 910gb - 910ge.
B.119 a) 1 + 1092 a - 1092 (a + b) - 1092 (a - bl;.
1 1 3
b) 2 • 1093a + 21093 b + 210g3e - 51093 (a + b);
121
c) log c + 3 log a + 3 log (a + bl - 6' log b;
1 2 1
di '5 log a + '5 log (a - b) - 210g (a2 + b21.
ab. ' a2 . 9b3 . Y; '</-; 4</aYb f a
B.121ai -, bl0:::3b ' cl-::::z, d) b23~; el ,=; t) ; gl 4 --3--2'
C c ac V c y b3c c b . c
2(a + b). b) ~~. ) a v;;-=t; I (a - b) Ya2 + b2B.122 a) e' d 3 .a:I:l ' a3(a - b) , a + b ' ~
(a - bl 3 • b4
e) 5 (a + b)2
B.123 a) a + b; b) 2a; cl 2a + b; d) ~, e) -a; t) 1 + a; gl 1 - a; hl 1 - a + b.
B.125 1 - 2a
a + b .
1 4 2 h·) _~. 3. 3B.l09 ai 2; b) -2; c) 4; di -3; e) -1; t) 3; g13; 2' il -2; JI -2;
3 3
k) -2; 1i 2'
1 1 5 3~. 9 8
B.l10al 2; b) 6; c) 6' di 3; e) 4; f) 9' gl -3; hl- 4 ; il 3'
3 19
B.l11 a) S = -"2; b) S = 6; c) S = 2.
5
B.112 S =-2
CAPITULO 111
b) S = {x E R I O < x ,,;; t ou x ;;. 1};B.106a) S= {xEIR 10<x<1};
B.129 t
B.130 d.
B.131 log a
CAPITULO IV
B.l49 ai ,-v
,
bl v
-i-,
I,
i
,
,
,
l-
I
,
B.146 ai V; b) V; cl F; di V; el F; fi F; g) F; hl V; ;) F; j} F.
B.147 a) v
l-
I/ ,
bl
cl v
,
1/
.
di
c)
B.l48 a)
c)
·1
I v
N-- -1/
,
d)
b)
•
f- -it+-t-,-+-t-t-H-H
- fi
B.150 ai
B.152a) D = {x E IR I x<.1.}
2
cI D = {x E R I -1 < x < 1}
B.154 a) D = {x E IR I -2 < x < 3 e
bl D = {x E IR I x > 1}
cI D = {x E IR I ~ < x < 3 e
2
b) D = IR - (~-}
4
di D = {x E I'l I x < -4 ou x> 3}
x=l=2}
131-8
CAPITULO V
B.158 ai 5 ~ {1092 9} bl 5 = {10949 S67} cl 5 = {log4S 40S }
"3 ff
B.159 ai 5 = {log3 3} bl 5 = {Iogs ~ } cl 5 = {10928}
"2 "3 6
"3
B.156ai 5 = {log s 4} bl 5 = {1093~} cI 5 = {(log 7 21 2 }
di 5 = h/1093S, -Y~;;;5} el 5 ~ {log62S 62,S}
O S = {log9~ } g) 5 = {log343 49 }3 S
di 5 = sz5
hl 5 = {lO}
cI 5 = {2. ~}
16
cl 5 = {l, 2}
8
cI 5 = {S12, 116}
cl 5 = {100, _1_}
100
c15={1000}
c15={4a}
bl 5 = {(8, 12a)}
cI 5 = {3 + lt}
gl 5 = {2}
bl 5 = {S, {!5}
bl 5 = {lO}
b) 5 = {(2, ti} cI 5 = {120. SI, (S, 201}
el 5 = {(2S, 161, (16, 2S)}
b) 5 = {100. 2..}
10
bl 5 = {9, i}
bl 5 = {2, 3}
bl 5 = {-2}
f) 5 ~ {3}
B.176 5 ~ {1}
B.178aI5~{2}; b)5~0; cI5~0; dI5~{-2,4}; eI5~0; 05~{4}
B.179 ai 5 ~ {2, 3, %} bl 5 ~ rJs
2
+ 1, V5; 1} cI 5 ~ {2, 1;}
B.181a)5~{S} bI5~{3} c15~{2S} d)5={2}
el 5 ~ {4} fi 5 ~ { 1;, ~~} gl 5 ~ {-3. O. 1. 4}
B.182 5 ~ {lO, lOS}
B.1835 = {1. 2}
B.184a)5={~}
B.18S 5 {2S}
B.1865 = {log2 3}
B.188 ai 5 ~ {S}
e) 5 = {1}
B.1895 = {lO}
B.190 5 = {1}
B.191 ai 5 = {1, 104}
B.192 5 = {log3 10. 1093 ~~ }
B.193 ai 5 = {lO, {.f,Q}
B.1945 = {-1, log 2}
B.196 ai 5 = {14, 21, 12, 4)}
dI5~{6,3}
B.1975 = {1..j2, li}
B.199 a) 5 = {ll00, 10001}
1 1 1 1 I}B.200
5 = {12, 41,1 2 , 4),12, 4")' (2' 4
B.202 ai 5 = {3, 9} b) 5 = {100, 1~}
dI5={3';1} eI5={3,t}
B.2035 = {2, 4}
B.204 ai 5 = {lO, 1~}
B.205 ai 5 = {lO}
B.206 5 = {2}
B.207 5 ~ {%}
di 5 = 0
di 5 = {s}
cI 5 ~ {1 000, 1 }
100
O 5 = {1, 100, _1_}
100
cI 5 = {3, 3-7/3 }
cl 5 = {4}
gl 5 = {O, - %}
e) 5 = {2, 16}
b) 5 = {Y2. .lf4}
bl 5 = {O, 1092S}
el 5 = {log2 f, 1092 t}
05={1,3}
bl 5 = {4, S12}
el 5 = {16}
bl 5 = \3
bl 5 = {a, 2}
B.l60 5 ~ {IOg n 6}
B.161 a) 5 = {1, 1092 3 }
di 5 =)25
B.1625 = {1092 (-1 + V51}
3" 2
B.1635 = {10923}
"7
B.1645 = {llOga -1 + Y5}
2 2
B.l65 5 = {(I09646, 2.. 1,12.., 10964 6)}6 6
B.166 ai 5 = {3}; bI5=0; c15={3,7}; dI5={4,-S}; e)5={~}; fI5=0.
B.167aI5={2} bI5={-..?.} c)5={-2,-2..} dI5={-4,-ª-}
S 3 2
el 5={S,-~} O 5={4.-2} gl 5={2+Y3, 2-Y3}
B.l68 ai 5 = {a} bl 5 ={64} cI 5 ~ {3} di 5 = {1}
eI5={13} fi5={2,-2} gI5={3}
B.l69 5 = {2, _2..}
3
B.170 ai 5 = {4}
B.171 5 = {(1, 2)}
B.172 a) 5 = {64, ~}
di 5 = {4. J2}
B.173 ai 5 = {100, 1000}
di 5 = {104 , lO-I}
B.175 a) 5 = {S, %}
el 5 = {1 + Y5}
2
132-8
133-8
ou ..5.. < x ,;; 3}
2
ou 1 < x < 5}
gl 5 = y1
bl S = {x E IR I x > 2}
CAPI'rULO VI
8.239 a) S= {xE IR I X>10947} bl 5= {xEIR I X;;;'10915}
3
cl 5= {xEIR I X>1098~} di S= {XEIR I x <10%25 15}
4
el 5= {xEIR I x;;;'1092736} fi 5= {xEIR I X>109~4}
91 5 = {x E IR 1-v'1a;5 ';;x ,;;~}
8.241 ai 5= {xEIR Ix>1092.!..} bl 5= {xEIR I X';;1097254}
3 3
cl 5 = {x E IR I x < 109400 1~5 } d) 5 = {x E IR I x < 109~ ~ }
8,242 ai 5 = {x E IR I x > 1095 4} bl S = {x E IR I x ,;; 1093.!.. }
"3 "2 S
c) 5 = {x E IR I x < 109,}} di 5 = 0'
3
e) S = A
8.243 ai 5 = [x E IR I " > 109200 375} bl 5 = {x E IR I x < 109 9 45}
16 32
8.244 ai 5 = {x E IR I x < 1093 2 ou x > 1 }
bl S = {x E IR I O < x < 1092 3} cl 5 = {x E IR I x;;;. 1095 3}
di S = {x E IR I x <:;;; 1092 %} el 5 = 0 fi S = R
1 +.JSB,245 5 = {x E IR I x > 109~ -2- }
2
8.246 5 = {x E IR I 1092 4 ,;; x ,;; 1092 2}
5 5
B.247 5 = {x E IR I x ,;; -1 ou x;;;. 10gl ~ }
3
8,248 a) 5 = {x E R I 2 < x < ~}
5 5
cI 5 = {x E IR I 2. < x ,;; 4}
3
di 5 = {x E IR I - .!.. ,;; x < O
2
el 5 = {x E IR I -2 < x < -1
fi 5 = {x E IR I x > ~}
2
d) 5 = {a2}
3 2
cI 5 = {25, 25 }
cl 5 = {1125, 4), 1625, 31}
cl5={6}
cl 5 = {9, +}
c) 5 = {2}
bl S = {1v3, 41, (-v'3. 41}
bl 5 = {14, 161}
bl S - {(3, 27), (27,3)}
bl 5 = {(4, SI, IS, 41}
bI5={3}
bl 5 = {s, 2-1/3 }
b) 5 = {s}
8.208 ai S ~ {IS. 2)}
8.210 ai S = {7}
8.212 a) S = {9, v':3}
8.213 ai S = {2}
8.214 S = {5}
{ -7 1}8.215 ai S = 13,41, ( v'i' v'i)
cl S = {15, OI} di S = {164, -!tI} e) S = {(24a - 6b , 26a - 12b)}
8.217 ai S = {2,~} bl S - {9,~} cl S = {16,~} di S" {l., ~}
2 3 2 4 'I 2
8.218 ai S = {.1.} bl S = {.1. }
5 9
8.2195 = {2, S}
8.220 ai 5 = {14, 21, 12, 41}
8.221 S = {3}
8,223 ai 5 = {9, -i-} bl 5 = {i' 1, 3}
8.2245 = {5}
3
8,225 5 = {1, 2, 2 - 4" }
1 4 I
8.226 ai S = {a-2 , ;2} bl 5 = {a-J, ;2}
8.227 5 = {1, if2b2}
8.2285 = {21091089}
8.229 5 = {1, 2}
{ a - b ~ a - b .~}8.230 5 = - + 'I ab, -- - 'I ab
2 2
8,231 ai 5 = {IS, 21, 1-12, -.v12)}
8.232 5 = {I 1, ~ I }
2 2
8.233 5 = {12 27 32 I}
3' S' 3
b) 5 = {ll0, 1001, I 1~0' 1~)}
8,234 S = {Il, 11, Ilogab, 109ba)}
8.2355 = {16, 21, 12, 61}
8.236 ai 5 = {Il, li, 14, 2)} bl S = {Il, 11, 12, 41}
8.237 ai 5 = {ll0, 1001}
a I
cl S _ { la 0:.1 , aH I onde
a = 1092 3 }
cl S = {(lO, 101}
B.249 ai S = {x E IR I x < -2 ou x > 3}
1 3 }b) S = {x E IR I -1 < x < - - ou - < x < 22 2
1--./5 1+-./5 }8,250 ai 5 = {x E R 1-1 < x < 2 ou --2- < x < 2
b) 5 = {x E IR lo < x < 1 ou x;;;' 2}
134-8 135-8
-12
8.256 S = {x E R I 2 17 < x < 1}
8.257 S = {x E IR lO < x < 2 ou x > 4}
8.258 S - {x E IR lo < x < a ou 1 < x < 2-}
a
bl S = {x E IR I 2.. o( x < 1}
3
di S = {x E IR I x > 125}
f) S = {x E IR I 1 < x < \!3}
bl S = {x E R I x > 4 + V97 }
9
..j6< x < 3}
di S = {x E IR I 3 < x .;;; 4 ou x;;;' 6}
8.268 a I S = {x E IR I x ;;;. 1} biS = {x E IR I O < x o( 1}
cI S - {x E IR lo < x .;;; ~} di S = {x E IR I x > 1}
el S = {x E IR I -3 .;;; x < 1 ou x;;;' 2}
{ 1 - V5 1 + -J5}f) S = x E IR I ---o( x < O ou x;;;' ~--
2 2
8.269 O < a < 1 => S = {x E IR I~ < x .;;; 2}
a - 2
1 < a < 2 => S = {x E IR 12';;; x < ~}
a - 2I
a = 2 => S = {x E IR I x ;;;. 2}
a > 2 => S = {x E IR I x < a - 3 }
a - 2
8.270 ai S -- {x E IR I x < : ou x > 2}
bl S = {x E IR 1 -8 .;;; x < -6 ou O < x .;;; 2}
cI S - {x E IR 1-1 < x < 15 ou Js < x < 1}
d) S = {x E IR lo < x < -!. ou x > 32}
2
8.271 S = {x E R I 1 < x < 1 - F ou 1 < x < 1 + F}
8.261 ai S = {x E IR I x > -7 +1(97 }
8.262 S = {x E R I x ;;;. 1}
8.264 a) S = {x E IR I x > 2}
c) S = {x E IR lo .;;; x .;;; -!.}
4
e) S o {x E IR I O < x < i}
8.265 S = {x E IR I 1 < x < alia}
8.266 S = {x E IR I a < x <Çaa}
8.267 a) S = {x E IR I x < O ou x > 3}
bl S = {x E IR 1-3 < x < -V6 ou
cI S = {x E IR I 2 < x < 4}
8.273 a) a ;;;. t b) O < a < 1 000
cI O<a";;~ ou a;;;'81 di 0<a<1 ou a>16
81
8.274 %< a < 2 ou %< a < 3
8.275 a) S = {x E R I x .;;; -2 ou O.;;; x < 1}
bl S = {x E IR I ~ < x .;;; %}
b) S = {x E IR lo < x < 3}
di S = {x E IR I x > 1.}
2
f) S - {x E IR I 1 < x <: 2}
bl S = {x E IR 10 < x < 1 ou x > 2}
16
di S = {x E IR I ~ .;;; x .;;; 2}
32f3 < x < 2}
8.251 a) S = {x E IR I x > 1} bl S o {x E IR I ~ < x';;; l-}
4 9
cI S o {x E IR I -3 .;;; x < -2 ou 1 < x .;;; 2}
di S ~ {x E IR 1 x < 2.. ou x > ~}
2 2
e) S = {x E IR I -7 < x < -5 ou 1 < x < 3}
f) S = {x E FI I - -!. .;;; x < - -!. ou ~ < x .;;; 1}
2 4 4
g) S = {x E IR I x < -2 ou x > -1 }
hl S = {x E IR lo .;;; x < 2 - Y3 ou 2 + Y3 < x .;;; 4}
8.252 ai S = {x E IR I 1 < x < 5} bl S o {x E IR I - ~ .;;; x < _ -!.}
2 2
cl S - {x E R 12- < x < . ~}
. 4 v8
di S = {x E IR lo < x < 2 - .j2 ou 2 + v2 < x < 4}
8.253 ai S = {x E R I O < x < -!. ou x > 2}
2
b) S = {x E FI lo < x .;;; 28 ou x;;;' 12}
9
cI S = {x E IR I -2.- < x < lO}
10
el S - {x E R I -2 < x < ~~ ou
\/3
8.254 ai S = {x E R I -!. .;;; x .;;; <r3}
9
cI S = {x E IR I 2.. < x < 4}
4
d) S = {x E IR I _1 r: < x < 2- ou 10 < x < 10E}
lOv 3 10
el S o {x E R I 10-2 < x < 10-1 ou 10 < x < 102}
f) S = {x E IR lo < x < 1 ou x > 2}
8.255 a) S {x E IR I k< x < 1 ou x > 4}
b) S = {x E IR I -!. .;;; x < 1 ou x;;;' 8}
2
cI S = {x E IR I ~ < x < -!. ou 8 < x < 16}
16 8
8.260 ai S = {x E IR I~ < x < l-}
2 3
cI S = {x E IR I 3.. < x < ~}
11 2
el S = {x E IR I x > 5}
136-8 137-8
POTÊNCIAS E RAfZES
TESTES
TB.1 (FEI-651 O valor da expressão V = 5, 108 • 4 • 10-3 é:
a) 206 b) 2· 106 cl 2· 109 di 20.10-4
a) nenhuma das respostas anteriores.
di !.. e) nada disso.
8
encontramos:
2n +4 _ 2 • 2n
2 • 2n +3
cl 1 _ 2nbl _2n +1
TB.2 (PUC-69) Depois de simplificar
B.276 S ~ {x E FI I O < x < Izr;o}
B.278 a) S = {x E IR I -2 < x < 1 ou x > 2 e x '* -1 e x '* O}
bl S = {x E IR 1- 1 < x < 3 e x '* -1 e x '* O}2
cl S = {x E IR 1-1 < x < ~ ou x > 4 e x '* O}5
di S ~ {x E IR I -.!.. < x < 1} el S {x E IR I x < -1 ou x > 1}
2
f) S = {x E IR I 1 < x < 3} g) S = {x E IR 1-5 < x";; -2 ou x;;' 4}
hl S c {x E IR I - ~ < x < -2 ou _1 < x < -º- e x,* :l}
2 232
Ii S = {x E R I 1 < x < ~ ou 2 < x < ~ ou x > 3}
2 2
B.279 la > 1 e b > 1I ou (O < a < 1 e O < b < 1)
B.280 S = {x E IR I ~ < x < 2}
3
B.281 S = {x E IR I O < x < a-12 ou x > a12}
B.282 S - {x E IR I O < x < 310g~ 2 }
B.283 S -c {x E IR I 1092 ~ < x < 1092 3}
4
CAPITULO VII
B.301 Cr$ 17000,00
•
B.302 Cr$ 32 730,00
B.2972,60
B.299 38 meses
8.300 7 trimestres
di 1,8692 el 3,5527
el 0,00467 f) 0,0134
di 0,0223
di 1,9221 el 0,4343
di 0,02325
di 1
e) nenhuma das anteriores.
é igual a:
cl O
senh x = eX - e-x
2
c) -1
di e3 - 3e
(2n + 2 n - 1 1I3n _ 3n - 1 1
b) 1
e) 2n • 3 + 2 • 3n
cl e4bl 4e
cosh x = eX + e"-x
2
Então: (cosh x)2 - (senh x)2 vale:
a) cosh 2x b) senh 2x
e) nenhuma das anteriores.
a) e3
TB.6 (PUC-68) Remover os expoentes negativos e. simplificar
x-I + y-I
(XV) I
ai x - V bl x c) V + x d) V
e) nenhuma das respostas anteriores.
a-2 + b-2TB.7 (EESCUSP-69) A expressão I é equivalente a:
a + b- I
TB.4 (EPUSP-68) Se 2x + 2"x = e, então 8x + 8-x é igual a
TB.3 IFCESP-74) Para todo n,
a) 6n
d) 2n • 3n - 1 + 3n • 2n -/
TB.5 (CESCEM-701 Chamam-se cosseno hiperbólico de x e seno hiperbólico de x, e
representam-se respectivamente por rosh x e senh x aos números:
el O,77'J.7
e) 3,91
d) S = {O,69; 1,10}
40,520
3,5065 bl 1,4048 cl 0,7574
7530 b) 63,6 cI 8,27 d) 0,327
0,00813 b) 0,00061 cl 0,357
3,5152 bl 1,3751 cl 2,6605
22,65 bl 2,727 cl 0,5474
B.284 a)
B.285 a)
B.286 a)
B.287 a)
B.288 ai
B.289 3
B.291 ai 0,6309 b) 2,3219 cl 0,6825 di 1,1133
B.292 a) 2,86 bl 2,73 cI 4,91 d) -0,62
B.293 a) S = {1,58; 2,32} bl S = {O; 1,26} cl S = {0,30; O,60}
B.295 ai 1,201 b) 1,778 c) 10,554 di
B.296 1,68 cm
B.303 2 422 bactérias
B.304 k - 0,004845
a) b2 + a2
b + a
) b + ac--
ab
dI ~ + ~
a b
el a + b
138-8 139-8
14
TB.l0 lMACK-74) O número 14lt4 I tem como último algarismo lalgarismo das unidades):
TB.8 IMACK-77) Se flxl = _x 2 + 2x - 3, então o menor valor de lj Iflxl ~:
TB.9 lCESCEM-74) Comparando-se os números
ai o I? excede o 20 em 8. lO-I
c) o 10 excede o 20 em 8.10-49
e) o 10 excede o 2? em 5.
10-49 e 2· lO-50, pode-se afirmar que
bl o I? excede o 2? em 2.10-1
d) o 10 é igual a 5 vezes o 20
c) somente 111 é corretabl somente 11 é rorreta
e) somente I é falsa.
então:
ai somente I é rorreta
dI somente 111 é falsa
TB.17 ICESCEM-761 Considere as proposições:
I. V3>Vi
11. V2 1 + .J2
V8 - 2 2
111. \15.v6 = 1{/30
e) não sei.d) 81c) 27b) 9ai 3
TB.12 lMACK-771 Dos valores abaixo, o que está mais próximo de j~, é:
ai 2 b) 3 c) 4 di 6 el 8
TB.ll lPUC-68) Simplificando~ obtemos:12
alA b) ~ cl jf d) ~3 2
TB.19 lEAESP-GV-77) A expressão [~ - y';rI,
é equivalente à:ai 0,0015 bl 0,015 c) 0,15 di 1,5 e) não sei.
TB.18 (FUVEST-771 V2+.J3
V3
2 + 2Y6 +.J3
a) ~'---=---'--;:-'---'----'--'''-
3
d) 3 + Y6
3
5 + 2Y6b 1 -'------:-'----=----
3
Y6 + 3
el
6
cl 2 + Y6
6
onde a e b são números positivos
TB.13 (CESCEA-75) Simplificando-se a expressão
TB.20 lMACK-691 Subtraindo-se 5 de 12 obtém-se
8 - 3V7 V7 + 3
ai 81 - 4V7 bl 22 + 21 J7 cl -22 - 21 J7 di 41 V7 - 81
a) nenhuma das respostas acima é correta.
obtém-se:
a) 3V2 bl 5 - 2.J2 c) 5 - V2 e) 5 + V2
a) ..!.-
b
bl b c)b+y';~ di Vb el~ + y';
TB.21 (PUC-691 Os números \15, ~ e .J2 são colocados:
ai em ordem decrescente
b) em ordem crescente
c) em ordem não decrescente
d) o último número vale a semi-soma dos dois primeiros
el nada disso.
TB.22 IPUC-701 A expressão .J3 - 2\/2 é equivalente à:
TB.14 Qual das afirmações é falsa para x E IR?
aIV(x-112 =x-l se x;;'1 blVlx-1I 2
cl V (x - 11 2 = ±Ix - 11 qualquer que seja x
d) V(x - 11 2 = Ix - 11 qualquer que seja x.
TB.15 (MACK-741 Dadas as afirmaçães
II 1020 é maior que 9010
11) 0,1 10 é menor que 0,320 3
111) os dois últimos algarismos de 514 I são 2 e 5
IVI 2..;5 é maior que 3v2
temos:
l-xsex~l
a) ·h + V2 + .J2 - V2
di Vi-I
b) V3 - V2
e) V3 + V2
TB.16 lFEI-66) A soma <r; + \f; é igual a
a) ::.r;; b) '{(;;7 c) \I2a
e) nenhuma das anteriores.
a) só uma certa
d) quatro certas
b) só duas certas
el todas erradas.
cl só três certas
12 r-:;---;;
di V a3 + a4
-v4 - 1TB.23 lFEI-671 A expressão é igual a:
-Y2 - 1
aI 1 +Vi bl 1 - Vi c) 1 +.v4
el nenhuma das anteriores.
d) 1 - .v4
140-8 141-8
TB.24 (EAESP-GV-771 A expressão b onde a e b são números positivos
é equivalente a: ~ -~
FUNÇAo EXPONENCIAL
TB.31 ICESCEA-75) Considere a função f:IR ~IR tal que flx) o e-x2 Então, f(O) + f(-1) - 1(1)
vale:
1
a) -Ç!b
cl W + ~ a2 + ab + ~ a2 + b2
e)~+~+~ a)1+e-e- 1 b) O cl 1 + 2e-1 d) 1 e) 1 + e,
TB.25 (MACK-76) Se n é número natural maior que 1, a expressão
20
n 4n+2 + 22n + 2
é igual a:
TB.32 (CESCEA-75) Se f(x) 08 • 2x, então:
a) flx + 31 o 1(0) • flx) bl flx - 1) ~ flx) • fl-1) cl f (-1Tv21 < O
1di I(x - 3) o flxl • flOI el flx - 4) o 2" 1(-41 • flx)
TB.26IFFCLUSP-66) 10,0081) -3/2 10,0051 ' /
3
5-2/3
b) 1,0125' 10-14
a)~
n
b) __1_
4~
cl 1
2n
d)~
é igual a:
cl ij2. 10-1/ 3
e) ..!...
4
di 0,00123123 ...
TB.33 ICESCEA-76) Dada a função f(x) o 1 - e2x, assinale a afir.mação correta:
a) 1(01 • fl~1 o 1 b) f(.!...) • fl1l o e c) fl'll • flOI = O2 2
d) fI1l-f(-1)=e2 -e-2 e) fl~I·I(-~lo1-e2
2 2
TB.34 (PUC-751 Dado o gráfico da função exponencial I(x) o aX , tem-se:
x
cl Y
O
bl Ya) y
ai o conjunto imagem de f é I = IR
bl o conjunto imagem de f é I = IR;
c) o dom(nio de f é D =IR*
d) o dom(nio de f é D =IR;
el este é o gráfico de flx) ~ 3x.
TB.35 ICDNSART-741 O gráfico que mais bem representa a função f:IR ~ IR, tal que fíxl =
= e-x2 é:
e) 215d) 105c) 75bl 33
e) nenhuma das respostas anteriores
a) 30
3 1
TB.28IMACK-761 O valor de 5xo + 3x4 + 4x- f , quando x o 16, é:
TB.27 ICESCEA-741 Assinale a afirmação verdadeira:
a) Va2 + b 2 = a + b quaisquer que sejam a e b reais
b) 4-5 /2 + I..!.)O _ ij::1 = §..
5 32
c) 8-1/3 - 1_11° +.çr::-;- o ...!...
2
d) la + b)2 = a2 + b2 quaisquer que sejam a e b reais
e) não sei
TB.29 ICESCEA-75) Assinalar a afirmação falsa:
1 3 1
1..!.)-3 _ (_8)3 + 42 ~ 18 b) _ (_51 2 - 162 = 21 x xa)
2
cI 15 + 3)2 _ (21-3 = 485 d) 1.. : ....!... + 1. . J!. 19 d)3 8 3 5 4 2 3 Y e) Y
TB.3D IGV-74) O valor da expressão
2 + ..!.
el __3_ 28
5 _.!... 57
4
xx
e) 1
1 1
10,0643 )(0,06254) é:
cl 0,01 di 0,02b) 0,2ai 0,1
142-8 143-8
TB.3S lITA-73) A lei de decomposição do radium no tempo t ;;. O, é dada por M(tl = Ce- kt ,
/ onde Mlt) é a quantidade de radium no tempo t; C, K são constantes positivas le é a
base do logaritmo neperianol. Se a metade da quantidade primitiva M(Q), desaparece
em 1 600 anos, qual a quantidade perdida em 100 anos?
a) (1 - 100-1) da quantidade inicial bl 11 - 2_16) da quantidade inicial
c) 11 - 2-16 ) da quantidade inicial d) (1 - 2 16 ) da quantidade inicial
a) nenhuma das respostas anteriores
TB.36 (CESCEM-71 I A função real f fi tal que: 2f(x) c a2 x + b; ((O) c O;
TB.37 IFEI-68) Sendo a > O, para a função flxl aX tem-se:
1) [f(x)]n = flx n)
2) ((xI) • f(X2) = ((Xl + X2)
3) f(nx) = [f(xl]n
então:
TB.47 (PUC-761 Os valores de x que satisfazem a equação 100 • 10x = (/1 000 5 são:
a) não seI.
e) nada disso
el 2 e 4
el 1,5 < x < 2,5
1
di 64
dI -1 e 6
d) 1 e 4
el 64
e) 1 e 2
= 0,25, então, (x + 1)6 vale:
256, então:
bl 0,5 < x < 1,5
e) x> 3,5
b) 2 e 3
aI -3 e -2 b) -1 e -6 el 1 e 6
e) nenhuma das respostas anteriores
a) 1 e 3
TB.42 (PUC-691 A solução da equação 4 x2+4x = 4 12 é:
aI 3 b) 5 c) O d) 2 e -6
TB.43 (CESCEA-721 Se IO,0625)X+2
ai ~ ) 1
2 b 38
TB.44 IPUC-73) Se 3x2 - 3X = ~, então os valores de x são:
TB.45 ICESGRANRI0-731 Os valores de x que satisfazem á equação (43-X)2-X =
são dados por:
TB.46 (MACK-74) Se 4 12xI
a) ~,5 < x < 0,5
dI 2,5 < x < 3,5
((1) ~ 1.
bl para x > 2, flxl é decrescente
d) para x < 2b , f(x) < x
b) somente 1 e 2 são verdadeiras
d) somente 2 e 3 são verdadeiras
a) todas são falsas
c) somente 1 e 3 são verdadeiras
e) todas são verdadeiras
concluímos que:
a) para x < O, f(x) é decrescente
e) para x > 2a , f(x) > x
e) flx) é a função identidade
TB.48 (CESCEM-72) Os zeros da função exL2XS+1 são:
a I todos complexos
c) inexistentes
e) impossíveis de se calcular
bl todos imaginários puros
d) em número de sete
T8.39 ICESGRANRIO-76) Uma substáneia
radioativa está em processo de desintegração, de
modo Que no instante t, a quantidade não desintegrada é
Alt) - AIO) • e-3t
onde A(O) indica a quantidade de substância no instante t = O. O tempo necessário
para que a metade da quantidade inicial se desintegre é:
a) 2 e -3 b) 3 e -4 e) -5 e 3 di 5 e -2 el 5 e -3
1
a) 3
d) determinável
1
e) "3 loge (2).
somente se for conhecido o valor de A(O) TB.49 ICONSART-73) O valor de x na equação
é dado por:
1-2x 1-7x.
2 5
a = a
TB.50 (GV-74) A equação 3x - 4 = a, com a real, só terá solução real para:
TB.40 lITA-731 O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece a função Xlt) =
= Ce kt , onde X(t) é o número de bactérias no tempo t ;;. O; C, k são constantes po-
sitivas, (8 é a base do logaritmo neperianol. Verificando-se que o número inicial de
bactérias X(O), duplica em 4 horas, quantas se pode esperar no fim de 6 horas?
a) 3 b) ~ cI 5
474
e) nenhuma das respostas anteriores
d) 2
3
al 3 vezes o número inicial
c) 2 V2vezes o número inicial
e) nenhuma das respostas anteriores
b) 2,5 vezes o número inicial
d) 2 {!2 vezes o número inicial a) a>-4 bl a < 4 el a > -3 d) a < 3 3e) a>"4
= 2x . Observe que 2 HX) > 1002 )
a
TB.51 (GV-76) A equação 5x _ 3 a, onde a é um número real não nulo, terá solução
el a <-.../3d) a >.../3el a < Ob) a = Oai a> O
somente se:
e) maior que 3dI 3
TB.41 (MACK-76) O número de soluções de 2x = x2 é:
(Sugestão: Faça os gráficos de f(x) = x2 e glx)
a) O b) 1 cI 2
144-8 145-8
TB.52 IGV-70) o conjunto solução da equação xx 3 -8 ~ 1 é:
a) (/J bl {1 } cl {O} di {2} e) {1. 2}
TB.53 ICESCEA-731 No sistema { 5
3X
-
2V ~ 3125
o produto
11 6x - 7V = 14641 xv vale: b) é menor que -1
d) é um número primo
a) 6 b) 5 cl -6 d) -5
TB.52 lITA-74) Sobre a raiz da equação
15 + 3x- 3
3 x - 1
podemos afirmar:
a) não é real
cl está no intervalo [O. 6]
e) nenhuma das respostas anteriores
23
3x - 2
TB.54 ICESCEM-771 Se então o valor de x - y é:
ai -2 b) -1 cl O di 1 e) 2
TB.53 IFEI-681 A igualdade 7x + 7x - 1 = 8x
a) apenas para valores irracionais de x
cl para x = O e x = 1
e) nenhuma das anteriores
se verifica
bl apenas para x = 1
d) para x ~ 1 e x = -1
TB.55 ICESCEM-74) A solução da equação: 3 x+2 - 3X+ 1 + 3x + 3x - 1 + 3 x - 3 = 16119 é:
TB.54 IGV-731 O produto das soluções da equação 4 x2 +2 - 3 2x2 + 3 = 160 é:
ai x ~ 3 bl x = 4 cl x = 5 d) x = 6 el x = 7 a) -2
b) -1 c) -4) d) -3 e) 4
TB.55 ICONSART-73) O valor real de x na equação 3 x +2 + 9 x+ 1 810 é dado por:
ai um número menor do que 3 b) um número maior do Que 7
c) um número não inferior a 5 d) um número ímpar
e) nenhuma das respostas anteriores
e) nenhuma das respostas anteriores é válida
TB.55 lITA-701 A equação 3ex2 - 2e-x2 = -1 apresenta solução:
bl x> 1 d) -1 ,,;;; x ,,;;; 3.-3
2 • gx está no intervalo
cl 3";;;x";;;4
cl -1 < x < 1
da equação 4 x - 6 x
bl 2";;; x,,;;; 3
e) 20";;; x ,,;;; 30
a) x = O
TB.55 (MACK-73) A solução real
a)-1";;;x";;;1
d) -4";;; x ,,;;; -3
5(X+I), admite como soluções os números a25
x + 125
TB.57 ICESCEA-73) A equação 6
e b. Então:
1
TB.59 lITA-721 Todas as raízes reais da equação x-I 4x- 2 + 3 = O são:
TB.50 (GV-75) Se 2 x+ I - 23 - x = 6 • então x2 + 20 vale:
c) Xl ;o; 3 e X2 3 d) não tem raízes reais
e) nenhuma das respostas anteriores
cl somente para 2 < k < e
real:
= O admite solução, se e somente se:
3 +V13
2
b) m < - 2.. ou m;;;'
3
1 V13d) -- ";;;m";;;--
3 2
TB.58 IGV-73) A equação 25x - 2m5x + 3m + 1
a) m < - 2.. em;;;' 3
3
cl m<_2..
3
::;;,3+V13
el m p 2
TB.57 (MACK-77) A equação eX + e-x = k admite solução
(e é a base do sistema de logaritmos neperianos)
a) para todo k real b) para todo k ;;;. e
di somente se k for inteiro el não sei
TB.59 ICESCEA-701 O conjunto de todos os n para os quais a equação
(n _ 1 )a2X + 211 - n)aX - 3n = O, a > O
4
3 é:
2X - 1
3
el 3di 9
di não sei.
1
bl XI ~ 3
cl a • b = 2
cl O
~
42
x que satisfaz a equação -
2
bl a + b = O
bl 6
a) ~ = 1
b
ai 2
ai XI = 1
TB.58 IGV-72) O triplo do valor de
TB.51 (CESCEA-74) O produto das raízes da equação 4 x - ~4(2X-ll - ~ = O é'5 5'
ai 0.75 b) 0.15 cl 2.25 di 0.25' el não sei.
possa ter solução é:
ai 20 bl 29 cl 24 di 36 el 21
ai {n E IR
cI {n E IR
el {n E IR
lo < n < t}
In;;;' O}
'_2..<n<1}
2
b) {n E IR
d) {n E IR
146-8 147-8
TB.71 (MACK-761 Se a e b são constantes tais que. para todo x '1= O.
a + __b__ = 2ex + 3
eX - 1 eX + 2 (eX - 1) (eX + 2)'
1 1
A solução da equação 4 x - 3 x- Z = 3x+'2 _ 22X - 1 é:TB.70 (PUC-76)
a) ~
4
bl 23
c) 2.-
3
di ~
3
e) 3
2
TB.78 (CESCEA-73) Assinale a afirmação verdadeira:
a) Se O <a < 1. então. aJX <ax para todo x tal que O <x < 1
b) Se O < a < 1. então. a Ix I ;;;. aX. para todo x real
c) Se a > 1, então. aJX ;;;. a Ix I, para todo x real
d) não sei
TB.79 (MACK-75) O conjunto solução da inequação 2.2X+ 2 - 0.75 • 2x+ 2 < 1 é:
então a + b é igual a:
el nenhuma das anteriores
a) -2 b) -~
3
c) ~
3
d) 4
3
e) 2
ai {x E IR I x > O}
d) {x E IR I x < O}
bl0 c) {x E IR I - ~ < x < 1}
4
ou 2';;; x < 3
bl {x E IR I -1 < x < l}
d) {x E IR I x '1= 1 e x '1= -l}
b) x;;;. 1 Se a > 1
d) O < x < 1 ou x < O se a > 1
b) .;;; x < 3
d) O < x .;;; 1
a) O < x < 1 se a > 1
cl x>1 se a<1
e) x .;;; 1 se a > 1
a I {x E IR I x ;;;. 1 ou x .;;; -1 }
cl {x E IR I x '1= O}
e) {x E IR I x < -1 ou x > 1}
ai Qualquer x positivo
cl O < x .;;; 1 ou 2';;; x .;;; 3
e) nenhuma das alternativas anteriore~
TB.83 lITA-761 Considere a seguinte função real de variável real
TB.80 (Gr_-77) Se~a a . um número positivo e diferente de 1. A solução da inequaçê"o
aX 1 < aX -1 e o conjunto dos números reais x tais Que:
x-3, r 1
TB.81 (ITA-73) A desigualdade V x • vx.;;;- é válida para
x
TB.82 (CESCEA-76) O conjunto de todos os números reais x para os quais~ < O.
1 - x2
e não
b) 0.21 7 < 0.21 8
e) 0.21 -2 < 1.
única afirmação correta:
para todo número real x. Nestas condições, temos:
a) A(O) = 1. A(x) = A(-x). para todo número real x e não existe um número real
x '1= O. satisfazendo a relação A(x) = //
b) A(O) = 1 e A(x) = O. para algum QJÍlfÍero real x
c) A(1) < O e A(xl = A(-x). para todo número real x
d) não existe um número real x, não nulo, satisfazendo a relação A(x)
existe um número real x, satisfazendo A(x) == A(-x)
TB.73 (MACK-76) Assinale a
a) 0.21 2 > 0.21 3
d) 0.21°.21 > 0.21°.20
e) nenhuma das respostas anteriores
. _ 1 X2 +Sx+l 1
TB.75 (GV-73) A solução da mequaçao ("2) ;, "2 é:
a) x';;;o b) -5';;;x';;;0 c) x;'o
d) x ~ -5 ou x > O el nenhuma das alternativas
TB.74 (CESCEM-741 O valor de n para o qual (0.5I n < (0.5)n-1 é:
a) negativo b) O c) d) 3 el 4
TB.72 lITA-76) Seja A uma função real de variável real x. tal que:
e2X - 2ex • A(x) + 1 = O
TB.76 (CESCEA-731 O conjunto de todos os valores reais de x para oS quais
({.!'1.1)X2+X+I < 1 é:
eX - e-x
M(x) =
e-x + eX
Então:
a) IR = conjunto de todos os números reais
b) {x E IR I x;'-1} c) 0 d) não sei
TB.77 (MACK-77) O menor natural n tal Que 1 < 10-6 • é:número 2n - 1
(Dado: log 2 == 0.301)
ai 12 b) 18 cl 20 di 21 e) não sei
ai para todo x > 1. ocorre: M(x) > 1
b) para todo número real x ocorrem. simultaneamente. M(-x) = -M(xl e O.;;; M(x) < 1
cl existem: um a (número real positivo) e um b (número real negativo), tais que:
M(a) < M(b)
d) M(x) = O. somente quando x = O e M(x) > O apenas quando x < o.
e) nenhuma das alternativas anteriores
148-8 149-8
FUNÇÃO LOGARfTMICA
TB,84 (MACK-74) Se 1093 ;7 = x, então o valor de x é:
a) -9 b) -3 c) 1
3
d) ..!..
3
e) 3
TB.95 (CESGRANRIO-76) O pH de uma solução é definido por
1pH ~ logro (-,::j+)
onde H+ é a concentração de hidrogênio em íons-grama por litro
de solução. O pH
de uma solução tal que H+ = 1,0 X 10-8 é
TB,96 (CESGRANRIO-77) As indicações RI e R2, na escala Richter, de dois terremotos
estão relacionadas pela fórmula
TB,85 (PUC-77) O
a) 2
3
valor do logO,04 125 é igual a:
b) - ~ c) - ~
3 2
d)~
3
e) 4
3
a) 7 b) 10-8 c) 1,0 d) 8 e) O
onde MIe M 2 medem a energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que
se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um correspondente a R I = 8
e outro correspondente a R2 6. A razão M 1 é:M;-
TB,86 (PUC-76) Se 109212512 = x, então x vale:
a) 6 b) ~ c) 9 d) 3
2
TB.87 (PUC-75) O oonjunto verdade da equação log3 3 (25 = x, éTV g-
a) V =~ b) V ~ {3.} o) V ~{_3.} d) V ={_~}
3 3 2
e) 2-
3
e) V = {~ }
2
a) 2 b) 109210 c) 4
3
TB.88 (CESGRANRIO-74) Dado que a12 = b, oom a e b números reais maiores que 1,
então:
TB,97 (FEI-66) Se ab = 1,
a) 2 b) ..!..
2
então 10gb y'; é
c) _..!.. d) ...L
2 a 2
e) nenhuma das anteriores
TB.89 (CESCEM-73) A base do sistema de
a) é V2 b) é 2..J2
2
logaritmos no qual o logaritmo de .J2 vale -1
o) é 2,fi d) é 2
TB.98 (CESCEA-75) Para que valores de b a equação
x 2 - 3x + log (b2 - 4b) = O
e) não existe, pois o logaritmo não pode ser negativo admite uma raiz nula?
TB,90 (PUC-77) O número, cujo logaritmo na base 8 é 4 e na base 3 é 8, é:
a) 3 b) 81 o) 27 d) 6561 e) 243
a) b cF O e b cF 4
o) b=2-V5 e b~2+V5
bl b cF 2 + V20 e b cF 2 - vSO
d) b < O ou b > 4
TB,99 (GV-74) Na equação y 2109 3(x+4) y será igual a 8 quando x for igual a:
TB,100 (CESCEM-671 A expressão e-Iogex pode também ser escrita:
e) para todo b real
e) -e
e) 23
d) log (- ~)
e e
d) 5
c) x-e
c) -1
b) ..!..-
x
b) -3a) 13
TB,9l (MACK-75) O logaritmo de 144 no sistema de base 2V3 é igual a:
a) Y3 b) 2 Y3 c) 2 d) 3 e) 4,
TB,92 (GV-72) Seja x o número cujo logaritmo na base .ç;g vale 0,75, Então x 2 - 1 vale:
aI 2 b) v2 - cl V3 - 1 d) 0,75
e) nenhuma das alternativas.
TB,93 (PUC-72) Se Hx) 1loge-' então l(e3) é igual à:
x
a) 1 b) -1 o) 3 d) -3 e) 4
TB,101 (MACK-76) A expressão 5310g5x para x> O, é equivalente a:
a) 3x d) x 5 e) x 3
quadrado perfeito associa seu logaritmo
TB,102 (MACK-77) O valor de A tal que 41092A + 2A - 2 = O, é:
TB.94 (CESCEM-73) Seja f a função que a cada
na base 2, Então, se f(x 2 ) = 2, temos:
a)x~±10922 b)X=±~ c)x=±2 d) x ~ ± 4 e) x - +..!..
- 2 a) V3 - 1 b) V3 + 1 0)v2-1 di .J2 + 2 e) não sei
150-8 151-8
x
x
x
t(x)
dI
dI
x
x
x
ye)
y
-1
-1
e) nenhum dos anteriores
cl
x
x
10glO Ix I.
x
•O x
TB.l06 (MACK-741 O gráfico cartesiano da função f definida por:
{O se Ixl > 1f{xl =
x ~ se Ixl ;;, 1 e a> 1
pode ser:
a) flxl bl f{x)
2
11
y
y
y
bl
x
x
x
bl y
d) y
O
yaI
y
e) y
aI y = 2x
c) Y 1092 x
y
a) 11 b) I c) 111 dI IV
e) nenhum dos gráficos acima é representativo da função logax
TB.l04 (CESGRANRIO-73) Nos gráficos abaixo. representam-se. no eixo horizontal. os valores
de x e, no eixo vertical, seus logaritmos em urna base a < 1. O que melhor representa
a função logax é:
TB.l03 (MACK-75) o gráfico ao lado repre-
senta a função:
TB.l05 (CESGRANRIO-741 O gráfico que mais bem representa a função f{x)
definida para todo x =I=- O, é:
152-8
153-8
TB.108 (CESCEM-74) Qual das funções seguintes pode ser representada pelo gráfico abaixo?
el z *O
1 - T X é o conjunto
2 log x e y = log 2x,
d) {x <-2} U {x >5}
cl 'ri x (qualquer que seja xl
d) z > 2
log (x 2 - 6x + 9) é dado pelo conjunto:
b) {x E IR e -3 < x < 3}
d) IR"
cl x> 5
bl x loge y para y pertencente a IR
d I x loge y para y < O
d) 4 aI nenhuma das anteriores
para x pertencente a IR, sua função inversa é
cl z < -1
b) x < O
ai nenhuma das anteriores
cl 3
b) z > 1
bl 2
a) x> O
d) -1 < x < 3
é dado por:
ai x < -2 b) -2 < x < 5
el nenhuma das respostas anteriores
ai z < 1
a) 1
TB.115 (PUC-761 O domínio da função definida por
a) {x E IR e (x < -31 ou (x > 31}
cl {x E IR e -3';;; x ,;;; 3}.
e) IR - {3}
TB.116 (PUC-72) O domínio da função f(x) = 10910(x2 - 4x + 131 é:
TB.110 (CESCEM-741 Com relação aos gráficos das funções y
podemos afirmar que:
a) eles não se interceptam b) se interceptam num único ponto
c) se interceptam em apenas dois pontos d) coincidem
e) são simétricos em relação ao eixo das abscissas
TB.114 (CESGRANRIO-73) O campo de definição da função y = log(10 + 3x - x2)
TB.l11 (MACK-751 O número de pontos comuns aos gráficos das funções definidas por
y = eX e y = -Iog Ix I. x * O, é:
TB.112 (CESGRANRIO-731 Sendo y = eX
expressa por:
ai x 10ge Y para y > O
cl x loge y para y;;:' O
el nenhuma das respostas anteriores
TB.113 (CESCEM-741 O domínio da função inversa da função y
dos números reais z tais que:
x
x
cl (11, DI; (I, BI
y
2
"3
y
(B)
(DI
log 1 (3x - 2) e os gráficos
2
x
x
bl (I, C); (11, B)
e) (I, D); (11, C)
2
7
4
7
4
y
y
(A)
(C)
y
x
ai 1 a> 1, *0 Ilogax I.y 109a ;' x bl y a> 1, x>O
cl y Ia X I. O<a<l di y I09a X, O < a < 1, x> O
el y = IaXI. a>1
As únicas associações corretas estão na alternativa:
a) (I. A); (11. B)
d) (I, C); (11, D)
TB.l07 (GV-74) Considere as funções:
(11 Y = 1094(4x - 7); (lI) y
TB.l09 (CESGRANRIO-76) Sejam G: 1-1,1) --> (-1,1) e F: (-1, 1) --> IR definidas por: TB.117 (GV-771 O conjunto de todos os números reais x para os quais y
é um número real, é o conjunto dos números reais x tais Que:
F(x) ~ log (~I
1 - x
A função composta
e
ai x < O
d) -1 < x < 2
b) O';;; x < 2
e) O < x < 2
cl x> 2
2x _ 1
logl--)
2 - x
TB.118 (PUC-691 Se y logx_2(x 2 - 4xl para que y exista devemos ter x:
é igual a:
ai F2 - F b) F
F OG: (-1,1) --> IR
x ~ F(G(x))
c) -F e) 2F
a) igual a 4
di igual a 2
bl menor que 4
e) nada disso
cl maior que 4
154-8 155-8
TB.120 (CESCEA-71) O conjunto de todos os números reais x para os quais a expressão
log l-x 2 + 6x + 161 + log (x 2 - 6x + 8)
está definida é:
a) {x E IR I 2 < x < 4 ou x < -2 ou x > 8}
bl {x E IR l-I < x < 1 ou 5 < x < 7} .
cl {x E IR 1-2 < x < 2 Ou 4 < x < 8}
di {x E IR I x < 1 ou x > 4} el não sei
2. Se '0 < a '* 1. então. b o logax <=> xb ~ a
3.~.~~1~.
e) nenhu ma das respostas aei ma é correta
b~
-a-3 -
bl somente 1 é verdadeira
d) somente 3 é verdadeira
3
log x ~ log b + 2 log c - 2- log a. então
3
b) x o 2bc cl x
a
aI todas são falsas
c) somente 2 é verdadeira
el todas são verdadeiras
então:
TB.126 IMACK-69) Se
a) x ~ b~
~
d) x-~
lf;
c) x ~ -2 ou x > 5
e) não sei
TB.119 ICESCEA-741 o dom{nio de definição da função
f(x) ~ log Ix 2 - 11 + V _x 2 + 3x + 10 é:
a) x < -3 ou x > 8 b) -1 < x < 1
d) -2 ~ x < -1 ou 1 < x ~ 5
a) m >_2- e m ,*0 bl m >0 c) m ,*-.!..4 4
d) m <_2- el 1m =:0 __4 4
TB.121 (GV-73) Para que a expressão f(x)
para todo x real, é suficiente que:
109 [m2 x2 + 12m + 1) x + 1] esteja definida TB.127 (FEI-68) Para quaisquer números reais positivos x e y tem-se:
a) loga(x + yl o logax + 10ga Y
2a 1cl log 1-) ~ 2 + 1092a + --
b log~
el nenhuma das anteriores
TB.122 ICESCEM-771 Considere as afirmações
I.logl~O
11. log 0.01 ~ -2
111. log la + bl ~ log a + log b
e associe a cada uma delas a letra V se for verdadeira e F caso seja falsa. Na ordem
apresentada, temos
Então, logx é igual a
b) log b + log c + log 2 - log d
di log2 + 10gb - logc + logd
TB.124 (PUC-691 Se m o ~ então log m é:
d2
aI log b • log c - 2 log d
cl log b + log c + 2 oolog d
e) nada disso
e) não sei
el log 45
tJ) nenhuma das anteriores
d) log 24
é:
d) l2 m
24
o valor da expressão
dI -81cl 81
1001092 32 - x e logy 256 o 4, então, x + y é:
cl 9 di 3 e) não seib) 1
b)~m
24
b) ~
2
aI
3
ai -1
a) ~m
24
TB.131 ICESCEA-74) Sendo
TB.132 (FEI-66) A soma dos logaritmos de dois números na base 9 é 2-. O produto desses
2
números é
então, ~.TB.130 IPUC-771 Se logax o n e 10ga Y ~ 6n, Ioga x2y e igual a:
ai 8n b) 4n cl 2n di 6n e) -.':!..
3 3 3 2 3
TB.l29 (CESCEA-71l Sabendo-se que log a ~ m,
j a3yalog 3Jã 4Jã
cl 32 m
24
TB.l28 (CONSART-751 O valor de 310g 3 + log 5 é
aI log 30 bl log 135 cl log 14
e) V, F, F
c) 2- log a - log b - log c
2
d) V, V, Vcl F,V,V
b) 2.. log a - log b + log c
2
e) ~
log b • 109 c
b) V. V, FaI V, F, V
TB.123 IGV-721 Seja x ~ V;.
bc
1
a) "2 log a - log b • log c
d)~ - log b • log c
TB.125 (CESCEA-691 Considere as proposições
1. 10gVX Vx2 + a2 o .!..Iogx + 2-loglx2 + a 2 ), x >0.
3 6
TB.l33 IEPUSP-67) Se 1092 la - b) o m e (a + b) ~ 8, então, 10921a2 - b2) é igual a
aI 3m b) 3 + m cl m2 - 9 d) m2
e) nenhuma das respostas anteriores
156-8 157-8
TB.l34 (EPUSP-66) Se 10g1Om = b - 1091On. então m é igual a:
a) b b) b - n c) 1Qb. n d) b _ lOn
n
e) nenhuma das respostas anteriores
TB.143ICESCEM-75) A solução da equação aX = b, com a > 1 e b > 1, é
a) log a - log b bl x ::-: IGg~ c) X = log ax b log b
d) x log b e) x = log b - log a
log a
TB.l35 IGV-70) Se 109102 = 0,301; então o valor da expressão 1091020 + 1091040 + 10910800 é
a) O b) 120,806 c) 4,806 d) 5,806
e) nenhuma das respostas anteriores
TB.l44 (CESGRANRIO-73) A razão entre os logaritmos de 16 e 4 numa base qualquer é:
a) 0,25 b) 0,5 c) 4 d) 2
e) um número que depende da base escolhida
TB.l45 IPUC-761 Se 1092 m = k, então 1098 m será:
TB.136 (CESCEM-72) Sabendo que log 2
a) 6,0206 bl 7.60206
e) faltam dados para o cálculo
= 0,3010300; quanto vale log 220 = log 1048576?
c) 13,0206 d) 20,30103
a) 2k b) ~
3
cl 3k dl~2 el k + 6
TB.l38 IMACK-76) Se log 8 = 0,9031 e 1099 = 0,9542; o único logaritmo que não pode
ser encontrado sem o uSO das tabelas, é:
125TB.l40 ICESCEA-75) Sabendo que log 2 = 0,3010, determinar o valor da expressão log ij2'
TB.137 (CESCEM-76) Dados log 2 = 0,30103 e log 3 = 0,47712; o log 7,2 é
a) 0,00634 b) 0,85733 c) 0,86176 d) 1,85733 el 1,86176
TB.139 tMACK-76) Sabe-se que logm2 = a e 109m3 = b. O valor de
log ~ - log 60
m 2,7 m
el 6
di A> 3
di 3
na base 16 é 3.. Então, o logaritmo deste
3
cl 3
8
3
4
b)a) - ~
3
7
TB.l48 (MACK-741 Seja A = 109315 -10973-1094-' Então:
8" 8
aI A < O b) O < A < 1 c) 1 < A < 2
e) nenhuma das afirmações anteriores é verdadeira
TB.l49 (CESCEA-70) A expressão (1 + 109am) logman é equivalente a:
a) logan bl logna c) logam dI logman e) loga mn
TB.147 ICESCEM-761 O logaritmo de um número
número na base ..!.. é
4
TB.l46 (MACK-751 O valor de
1093 2 - 10943 - 10954 - 10965 - 10976 - 10987 - 10998· 109109 é:
a) log10 2 b) 109310 c) 1 d) 2 el 3
e) log 0,4
e) 2,5786
c) 3a-4b+m
di log 600
di 2,4369
c) log 15
c) 3,9632
b) 6a - 3b - 6
e) 6a - 2b
bl 3,9164
b) log ~
4
a) log 17
é igual a:
a) 5a - 4b
dI 4a + b
ai 2,0368
TB.141 (PUC-74) Sendo 109102 ""
relação 2n > 104 é:
0,3; então o menor número natural n que verifica a TB.150 ICESCEA-691 Sendo loga r -
a) 9 b) 10 cl 11 dI 12 e) 14 a) bn = a bl a
n
= b
n 10gb r, a relação entre a e b é:
cl a = b di b = ~
a
el a -b
TB.142 ICESCEA-73) Sejam as afirmações:
1. Se log a = m e log b = n, então, log la + b) = m + n
2. Sejam a e b númeroS reais positivos e diferentes de 1.
Então: logab - 10gb a =
3. log..."... = log a - 109 b + log c
bc
TB.151 IMACK-751 Se X = 10927169 e Y = 109313, então:
dI X = Y
3
cl~
2b
c) X = 3Ybl X = ~ Y
2
a) b
11 + 2al
e) nenhuma das respostas acima é válida
e) nenhuma das anteriores
ai X = 3.. Y
3
TB.152 (ITA-70) Dados 109102 = a e log\03 = b. então 109920 é igual á:
d) ..E..
2a
cl somente 2 é verdadeirabl somente 1 é verdadeira
e) todas são falsas
a) todas são verdadeiras
d) somente 3 é verdadeira
então
158-8 159-8
TB.153 (GV-75) Se logax = m e 109b x2 :::: n, então. Ioga v;;b vale:
a)~ b) m + n cl~ d)~ el l.. + ..2..2n 2n 2n 2 m
TB.161 (CONSART-731 A solução da equação: log8x + log8 (3x - 2) = 1 é dada por:
TB.154 (MACK-75) Sabendo-se que
Sugestão: 28 = ~
7
log14 7 = a e log[45 = b. o valor de 1093528 é:
a) 4 b) .!.. cl -2
3 2
e) nenhuma das respostas anteriores
TB.162 (PUC-77) O conjunto verdade da equação
a) {-2. 6} bl {-2} cl {2, -6}
d) 2
2 log x = 109 4 + log (x + 3) é:
dI ~ e) {6}
) 2 + a b)~ c)~ d)~a -_ e) a + ba + b a + b a + 3b a + b
TB.155 (GV-76) Se log58 = 1,2920; então a sol ução de 8x = ',6 é. aproximadamente:
a) 0,774 b) 0,5 cl 0,226 d) 0,4 e) 0,635
maior que 1 é:
log\ (x2 - 21 + 2, admite duas soluções reais
"2
a) +~ b) +.§.. c) ± 4
- 3 - 3 5
TB.l64 (GV-761 A equação 1092 (x2 + 21
cuja soma vale:
ai 4V2 bl_
1
_ cl OV2
el 4
e) nenhuma das anteriores
1
di - V2
são:.!-I = log 24
3 9
di +~
- 5
TB.163 (PUC-72) As raízes da equação
,
log(x + -) + log(x -
3
+ __1_. onde N é um número inteiro-
10920N
a) J....
N
TB.156 (MACK-74) A soma __,_ + __1_ +
1092N 1093N
TB.l65 (MACK-75) A solução da equação log [2(3Xlj + log [2(3X 'l)j = log [2(4
X
lj está no
intervalo:
é verdadeira se, e somente se:
TB.l66 (CESCEA-74) A afirmação log (x + 21 + 2 = log (4x2 - 400) (base 101
el x> 4.di 2 < x < 4cl O < x < 2bl -2 < x < Oa) x <-2
(Sugestão:bl_..:..1_
log20! N
c I .,.....-------:1:=-cc-
109N (2011
d) 10(_'_
10920N
el impossível de eScrever em forma condensada
a) x = 10
d) x = -10 ou x = 10
b) x = 30
e) não sei
cl x -5 ou x 30
TB.157 (PUC-731 Se x - log 2 = log 8 então:
x + log 2 log 4 .
a) x = 5 log 2
d) x = 5 oolog 2
b) x = 5 log 3
e) x = 5 log 4
cl x = 5 oolog 3
TB.167 (PUC-701 As soluções da equação log (x 2
ai 4 + -J5 b) 4 +..j5 e -J5 - ,
e) nenhuma das anteriores
_ 3x + 1) - log 12x - 3) = 10g..j5 são:
cl -J5 - 1 d) 4 - -J5 e -J5 - 4
TB.158 lITA-68) Sejam a e b dois números reais, a > O e b > O, a i= 1. b i= 1. Oue
relação devem satisfazer a e b para que a equação x2 - x (Iogba) + 210gab = O
tenha duas raízes reais e iguais?
TB.159 (CONSART-74) Uma solução da equação 10g\0 (~~): = 8 é:
TB.l68 (PUC-72) Aumentando um número x de 16 unidades, seu logaritmo na base 3
aumenta de 2 unidades. Então, x é:
e) 2
d) 5
d) 1.025
e) 4
cl 4
c) 3
b) 10
b) ,a) 2
TB.l69 (GV-75) Num sistema de logaritmos, o logaritmo de 101,44 supera de 5 o logaritmo
de 3,17. Oual é a base?
a) 3
e)
el b = 2a
d) 8
d) a = 2b
c) 10
cl a2 = bb) a = b
b) 100ai 1 000
TB.160 (CESCEA-72) O valor de x para que ~Og[ x) • log\ ~2 = ~ é:
- - 3 32 8
{
X + Y = 27,5
log x - log y =
a)-.!.
2
b) .!..
3
cl ~
5
d) ..!.
8
aI não sei
TB.170 (GV-73) Se a e b são soluções do sistema:
então ab vale:
a) 16,9 bl 22,5 cl 62,5
e) nenhuma das alternativas anteriores
d) 19,6
160-8 161-8
-3b) x = 109a2 c) x = 109a2 e x
e) nenhuma das opções anteriores é verdadeira
TB.178 (ITA-691 Considere a equação a2X + aX - 6 = O, com a> 1. Uma das afirmações
abaixo, relativamente à equação proposta, está correta. Assinale-a.
a) a X = 2 e a X = -3
d) x = 2 e x = loga3é um par (x, yl tal que x - y vale:
TB.171 (EAESP-GV-77) A solução do sistema:
TB.172 (CESCEA-70) Seja x = a e y = b a solução do sistema
{
109 x - log Y = 1
x 2 _ 91 y 2 = 81
TB.179 ICESCEA-76) O conjunto de todos os números reais x tais que
x - x 109a x = O, a > O e a *' 1, é:
a) -16 b) 16 c) 4 d) -4 e) 2
ai {O} b) {a} cl {O, a} d) 0 e) {O, ~}
a
Então, o valor de ~ + b é:
2 TB.180 (lTA-76) Em relação à equação xl094 JX = xl094 x - 2, x > O, temos:
TB.174 (MACK-74) A solução real da equação {13 - 2{13 _ 2 é:
bl X [109 10 (~WI • ( 1 +v5) é uma raiz2 109 10 2
c) x ,- [ 109 10 (~l]-I '
109 10(1 +Y3 1 é uma raiz2 2
d) x == [10910 (..:!I ri • 109 10 ( 1 +v6 1 é uma raiz2 2
e) nenhuma das alternativas anteriores
el Y;
dI x> 1
bl tem uma única solução igual a
1 +V2
2
e) tem três soluções
cl i
a
bl
di tem duas soluções
a) a
c) tem uma única solução igual a
a) não tem solução
TB.183 (CESCEM-68) Se 1092X = 109rx x 2 + 109 x 2, então x vale:
ai Y'2 bl Vi c) 2 dI 4
e) nenhum dos valores anteriores.
TB.185 (MACK-74) A equação 109x Ix + li = 109x +1 x, onde x é um número real:
-1 +.../5
2
TB.186 IMACK - 691 Se 109x 25 > logx 16 então
a) x > O bl x < O cl x > -1
e) nenhuma das respostas acima é correta
TB.184 (CESCEM-68) A solução da equação 109a (l09a2 xl = 109a2 (Ioga xl é:
ai x = a bl x = a2 cI x = a3 di x = a4 el x = y;
a) admite apenas uma raiz, a qual é um número inteiro positivo
b) não admite uma raiz inteira satisfazendo a relação O < x < 35 " /('
; :::,Mo::'~':"i:':' :'~::::::::'''i' """o',i. " ,,,o "O, (\~:)~
3 + 3 4097 /
XI x2 = 64 .,lde d&pMf01 (c0~Jh1
e) nenhuma das respostas anteriores /f ?-{/ Ii f
L'{//;0, ,/ 'é'/{é-</.. '
TB.181 (MACK-751 O conjunto solução da equação 1094 (x - ) - 10916 (x - 3) = 1, x > 3, é:
a) {lI, 12} b) {16} c) {19} d) {21, 24}
ai nenhuma das anteriores
TB.182 (MACK-751 Se 109a2X + 109x2a = 1, a > O, a *' 1, x *' 1, então o valor de x é:
e) -18
e) __1_
2 log 2
e) [5, 6]
c) x
d) 18
d) 2
d) [4, 5]
= 5 está no intervalo:
4 X + SX = gx podemos afirmar que:
c) 15
2 .3x = ..!ê é:
4x
b) x 1092 152
el x 109125
bl 63
2
b) log 7
a) 18 Ou -18
121092 -5
di x 109122
'"5
a) x
ai log 2
TB.173 (GV-721 A solução da equação
c) log 3
109 4
TB.175 (MACK-68) Se 4x l092 x _- x 3 1- I - -ao ao as 50 uçoes serao:
a) dois nÚmeros inteiros coincidentes
b) dois números inteiros positivos
c) dois números inteiros negativos
d) dois números fracionários positivos
e) dois números fracionários negativos
TB.l77 (ITA-75) A respeito da equação exponencial
1 + Y3 .a) x = 9 10910 ( ) e uma raiz
2
TB.176 (MACK-74) A solução real da equação x(xSI
a) [1, 2] b) [2, 3] c) [3,4]
162-8 163-8
são:
aI não sei
b) O < x < ~
2
(~I>l}éiguala:
x + 1
b) {xEIR\x<-l ou x>1}
di {xEIRI-1<x<1}
ou x > ~
2
b) x > O e 2 < y < 3
<x<O e 2<y<3
e) x < O e 2 < y < 3
d) x <O
1 < x < O ou ~ < x < 2
2 2
a) -1 < x < O e y > 3
c) x > O e y > 3 ou -1
d) x > -1 e y > 2
cl_ 1 <X<2
2
a)
TB.199 (GV-74) Para que log2 (x - 3) + log2 (x - 21 < 1, devemos ter:
a) 2 < x < 4 b) x < 2 ou x > 4 e) x < 3 ou x > 4
d) 3 < x < 4 e) 2 < x < 3
TB.200 (GV-70) A solução da inequação log1 (x + 1I + 10g1 (1 - x) < 2 é o conjunto:
2 2"
a) {x E IR 1-1 < x < -..[3 V ..[3 < x < 1}
2 2
b) {x E IR 1- ..[3 < x < ..[3 } c) 0
2 2
di {x E IR I x < -1 V x > 1} el nenhuma das respostas anteriores
ai {x E IR I x < -1 ou x> 6} b) {x E IR I x < -3 ou x> 8}
e) {x E IR 1-3 < x < -1 ou 6 < x < 8}
d) {x E IR I -4 < x < 2 ou 7 < x < 9}
el {x E IR 12 < x < 7}
TB.198 (CESCEA-70) O conjunto de todos 05 x para 05 quais
logl (_x2 + 5x + 24) > log. 18 é
2" 2"
TB.1971ITA-69) O conjunto dos pares de números reais x e y, que satisfazem à desigual·
dade 10gx+1 (y - 2) >0 está entre as opções abaixo:
TB.196 (GV-73) O conjunto {x E IR I 1091
2"
a) {xEIRix<l ou x>3}
e) IR - {-1, 1}
e) {x E IRll <x <3}
2 3 <TB.195 (MACK-77) 05 valores de x para os quais log5 (x -"2 x) O,
TB.194 (CESCEA-72) A solução da inequação Qn (x2 - 3x - 91 > O (Qn = loge) é:
a) -2 < x < 5 bl x < -2 ou x > 5 e) -2";; x ,,;; 5
d) x ,,;; -2 ou x;;. 5 e) não sei
el não sei
_1
1
1 10glOIxl, o campo
x
(e)
=
d) vazio
b) são em número finito
d) são colineares
b) 1091 x > logl y
2" 2"
bl 1 < a2 < b2 < c2 < 10
d) 0< abc < 1
se x > 1, Ioga x > O
se x < 1. Ioga x < O
se e só se xl > Xl
se e só se xI < x2
b) x <- 5 e) 2 ~x~- 5-8 3 8
el - 2 <x<- 5
3 8
são números reais positivos; x > y implica
{
y - Q~(x-ll";;O
y = x - 6x + 8
a) são todos pontos do primeiro quadrante
c) siio pontos de um arco de parábola
el siio pontos de uma curva logarítmica
mos ter:
a) x ~- 2 x <- 5ou
3 8
d) x> - 5
8
~ <..!l.~ ..!.. <..!.. ~ (..!..)3«..!..)2
200 48 8 4 2 2
(e) 1 3 1 2 (d)
= 10910 ( - I < loglo (-) =?2 2
(d) 1 1 (e)
= 310g10 1-) < 2 10glO (-) = 3 < 22 2
TB.192 (MACK ·73) Em qual das passagens abaixo foi cometido um êrro?
TB.l89 (CESCEA-741 Se 05 logaritmos decimais dos números reais a, b e c forem definidos
e se a + b + c = 1, então:
a) log a + log b + 109 c >0
o) log a • log b • log c > O
TB.l88 (ITA-721 Assinale a sentença correta
a) a> 1 Ioga x/< O
b) O < a < 1 Ioga x)-0
c) a> 1 Ioga xl < 109a x2
d) O < a < 1 Ioga xl > Ioga x2
e} nenhuma das respostas anteriores
/
TB.187 (MACK-691 x e y
ai (..!..)x < ( 2. )Y
2 2
c) qualquer que seja a. aX > ay
di qualquer que seja a, Ioga x > Ioga Y
e) (_2)x > (-2) Y
TB.190 (EPUSP·68) Dadas as funções f (x) =~ e g(x)
de definição da função composta f(g(x)1 é
a) x > O b) x ;;. 1 c) x =1= O
e) nenhuma das anteriores
TB.191 (MACK-741 05 pontos P = (x, yl cujas coordenadas satisfazem o sistema
TB.193 (GV-751 Para que a desigualdade 109. (3x + 21 > 3, x real, seja verdadeira, deve·
2"
164-8 165-8
TB.201 (CESCEA-73) A solução da inequação log x - colog (x + 1) > log 12 é:
a) x> 3 b) x > O c) x> -1 d) x> 3 ou x <-4
TB.202 (CESCEA-71I O conjunto de todos os x para os quais
x 1091 (x - 1) < O é:
"2
TB.209 IITA-73) Os valores de x que verificam a desigualdade
1 + 1 > 1 são:
loge x logx e-I
a) x> 1 bl x> e cl O < x < e di 1 < x < e
e) nenhuma das respostas anteriores
TB.203 (GV-71) A solução da inequação x3. Rr,(x2 -9) >0 é o oonjunto dos
reais x tais que:
TB.210 IMACK-731 O conjunto solução da inequação log.dlog.!. x] ~ O é:
3 3
TB.211 IITA-771 No conjunto dos números reais, a desigualdade 10g, lIog4 Ix 2 - 51) >O é
3
ai {x E IR Ix > 2}
c) {x E IR I x > I}
er não sei
a) x < - V1ü ou x > V1ü
cl x > YiO ou - V1ü < x < -3
91 - V1ü < x < ViO
bl {x E IR 11 < x < 2}
d) {x E IR I ~ < x < 2}
bl x> 3
d) 3 <x <V1ü
números
a) {x E IR I x ~ t}
cl {x E IR I O< x .;; ~}
el 0
b) {xEIRlx>o}
di {x E IR I ~ .;; x < 1}
TB.204(GV-71) O conjunto dosx para osquaisx 10910 (x2 + 1»log10 (x2 + 1) é:
a) x *' O bl -1 < x < 1 e x *' O
cl x < -1 ou x > O d) x > 1
e) -1 < x < 1 e x *' O, ou x > 1
TB.205 (GV-72) O dominio da função f dada por f(x)
TB.213 ICESCEA-73) Se O < a < 1, a solução da inequação Ioga (l091 x) .;; O é:
ã
TB.212 (CESCEA-671 Sendo a > 1, a solução da inequação Ioga (Ioga x) < O é:
ai x > O b) x > a cI 1 < x < a d) O < x < 1 e) O < x < a
d) não sp.i
bl.J5< Ix[ <VS cl VS< Ixl <3
e) nenhuma das respostas anteriores
b) 1 < x .;; 2. cl x ~ 1
a
a) x ~ 2.
a
verdadeira para:
ai .J5 < Ixl <3
di Ixl >3
~ v'log1 (x - 1) é:
"2
c) {x E IR I x > I}
< x .;; 2}
{x E iR Ix> 2}
e) {x E IR 11
b)
~}
2
a) {x E IR I x .;; 2}
di {x E iR I 1 < x .;;
e) nenhuma das respostas anteriores
TB.207 (CESCEA -75) A desigualdade - (log xl2 + 2 log x + 3 > O, é verdadeira para:
a) x> O e x < 1 bl 0,1 < x < 1000 c) O < x < 100
di 0,001 < x < 10 e) O < x < 0,1
Determinando-se as solUções desta desigualdade obtemos:
3
a) O<x<2. e x>102 bl 0<x<e- 2 e x>e2
e
clO<x<eex<10 d)2.<x<lex>e
e
TB.206 (CESCEM -68) Qual é o campo de definição da função
y~ j~-1
ai x ~ 1 b) x> 1 c) x> O di x> 10
e) todo o campo de nÚmeros reais
e) m>..2-
10
d) m<....!...
10
1
b) 0< m < 10 cl m *' 1ai m >0
7 - 2x - x 2
Y ~ 10glO [loglO ( 3 _ 4x 2 )I
é dado por:
a) intervalo aberto A. de extremos -V2 e V2
b) intervalo aberto A, de extremos -V3e V3
V3
c) intervalo aberto A. de extremos O e -2-
V3d) intervalo aberto A, de extremos - -2- e
e) nenhuma das respostas anteriores
TB.214 IITA-741 O conjunto
ae todos os valores de x para os quais existe um y reai de modo
que
TB.215 (CESCEM-67) A condição para que a equação x2 - 2x -loglO m ~ O não tenha raízes
reais é :
2 (loge x)2 - loge x > 6.TB.20B IITA-71) Seja a desigualdade
166-8 167-8
TB.216 lGV-751 Para que valores de K a equação x2 - V2x + 10glO K = O tem duas ral2es
distintas?
TB.217 (ITA-71) Determinado-se a condição sobre t para que a equação
4x - (Joge t + 3) 2X - loge t = O
admita duas raizes reais e distintas, obtemos:
a) e-3 .;; t .;; 1 b) t;;;' O c) e-I < t < 1
di 3 < t < e2 el nenhuma das respostas anteriores
TB.227 (MACK-741 Se 10glO i 1,221; então 10glO 36 é igual a:
TB.226 (CESCEM-73) Se 109 cos x = 1,870900 então, o valor de log sec x é:
ai 0,129100 b11,12910 c) 1';' 1,870900 d) 1,12910 el -0,129100
1,8460993, então, colog 0,701648 vale:
cl 0,1399007 di 1,1539007 e) não sei
cl~ = +log a, para todo a > O
di log a ='2,350 ==> 0,01 < a < 0,1
e) não sei
TB.225 lCESCEA-72) Se log 0,701648
a) 0,1539007 bl 1,1360993
cl O<K<.J2bl 0< K < +
el 0< K <v'1õ
a) 0< K < 12
5
d) 0< K < 4
TB.219 (MACK-76) Se x > O, e "Iog" indica o logaritmo decimal, então:
TB.221 lCESCEM-741 As características, no sistema decimal, de log 7, log 0,032, log 105 e
log 0,00010 são, ,respectivamente,
TB,218 lMACK-77) A equação ,,2 - 4x + 3 + log (k - 1I = O tem raízes reais e de sinais con-
trários, se e somente se:
TB.220 lCESCEM-731 O valor da expressão 7,34~~~ X 3 é
ai -44,05290 b) -39,94710 cl -19,97355 d) -9,98678
é igual a:
di 1,56754
é:
d) 1,034
!10
x = 10glO{/ 15
log 0,4321 + log 0,3625 + log 0,3219
3
ai 1,76577 b) 1,29739 cl 1,57754
el nenhuma das respostas anteriores
a) 1,558 b) 1,442 cl 2,442
e) nenhuma das respostas anteriores
expressão:
TB,228 (CESCEA-74) Se log 0,4321 = 1,63558, log 0,3625 = -0,44069 e log 0,3219 = -0,49227,
então:
TB.229 (CESCEA-75) Sabendo que 10glO 2 = 0,301030 elogIO 3 = 0,477121; o valor de x na
el -11,01323
c) k > 1 + 10-3bl 0< k < 10-3
e) não sei
b) log (1 + xl < -1x cl log 11 + x) > x
+ x
e) nenhuma das alternativas anteriores é correta
a) 1 < k < 1 + 10-3
d) O < k < 1 + 10-3
x
a) 109 (1 + x) = 1 + x
d) log 11 + xl < x
ai 1, -1, 6, -3
d) O, -2, 5, -4
b) 1, -1, 5, -3
el 7, O, 5, O.
c) O, -1, 5, -4 ai -0,058796 b) 1,941404 cl 1,941303 di -0,058976 el 1,941504
TB.222 lCESGRANRIO-73) A característica do logaritmo de BOO no sistema de base 3 é dada
por:
TB.230 IITA-74) Sendo ai. a2, ... , an números reais, o maior valor de n tal que as igualda·
des ao lado são verdadeiras é:
TB.223 lGV-731 Se N é um número positivo, expresso na forma 10n • K, onde n é um núme-
ro inteiro e 1 .;; K < 10, então:
a) 2 bl 4
e) nenhuma das respostas anteriores
cl 3 d) 7 ai n = 3
b) n = 4
cl n = 5
d) n = 6
e) nenhuma das
10glO 123478 = ai
10glO ai = a2
loglOan _1 =an
respostas anteriores
TB.224 lCESCEA-71 I Assinale, entre as afirmações abaixo, a verdadeira:
a) log na = n 109 a, para todo a > O e todo natural n
b) log a = 2,350 ==> 0,1 < a < 1
ai a mantissa de 10glO N é K
c) a característica de 10910 N é n
el a característica de 10910 N = n • K
bl a característica de 10glO N é K
d) a mantissa de 10glO N é n TB.231 lMACK-751 Sabendo que 10glO 2 ~ 0,301 e que x = 2
30
, podemos afirmar:
ai x é um número menor que um bilhão porém maior que cem milhões
b) x é um ~úmero que, em notação decimal, tem mais Que 31 algarismos
cl x é um número entre 9030 e 9331
d) a característica do logaritm~ de x é 30
e) x é maior Que um bilhão porém menor Que um trilhão
168-8 169-8
TB.232 IMACK-75) o número de algarismos da potência 5050 é:
a) 2500 b) 85 c) 100 (Dado: log 2 = 0,301)
d) 250 e) 50
TB.233 IGV-74) Numa tabela lê-se que 10glO 615,4 = 2,789157 e que 1091O 6,153 = 0,789087.
Pode-se determinar que 10glO 6153,4 vale aproximadamente:
a) 3,789115 b) 2,789098 cl 3,789012 d) 3,789098 e) 2,789012
TB.234 IGV-73) Sejam_Iog 1,220 = 0,0863598 e log 1,221 = 0,0867157. Então, o valor de x
tal que log x = 2,0865260 é:
a) 122,04 b) 12,204 cl 0,012204 d) 0,001204
e) nenhuma alternativa anterior
RESPOSTAS
170-8
TB.1 b
TB.2 d
TB.3a
TB.4d
TB.5 d
TB.6c
TB.7 b
TB.8 b
TB.9d
TB.10 d
T8.11 d
T8.12 c
TB.13 c
TB.14 c
TB.15 c
TB.16 e
TB.17 b
TB.18 d
TB.19 e
TB.20 c
T8.21 a
T8.22 d
TB.23 a
T8.24 b
TB.25 e
TB.26 a
TB.27 b
TB.28 a
TB.29 b
TB.30 b
TB.31 d
T8.32 a
TB.33 c
T8.34 b
TB.35 e
T8.36 e
TB.37 d
T8.38 d
T8.39 e
T8.40 c
TB.41 d
T8.42 d
TB.43 d
T8.44c
T8.45 e
TB.46 b
T8.47 c
T8.48 c
TB.49 e
T8.50a
T8.51 a
TB.52 e
TB.53 a
TB.54 a
TB.55 e
T8.56 a
TB.57 c
TB.58 b
TB.59 e
TB.60 c·
TB.61 a
T8.62 c
T8.63 b
TB.64a
T8.65 e
TB.66a
T8.67 b
T8.68 e
T8.69 b
TB.70 e
TB.71 e
TB.72 a
TB.73 a
T8.74 e
TB.75 b
T8.76 c
TB.77 c
TB.78 a
TB.79 d
TB.80e
TB.81 e
T8.82 e
TB.83 e
T8.84 b
TB.85 c
T8.86 a
TB.87 c
TB.88 a
TB.89 b
T8.90 d
TB.91 e
TB.92 a
TB.93 d
TB.94 c
TB.95 d
TB.96 d
TB.97 c
T8.98 c
TB.99 e
TB.100 b
TB.101 e
T8.102 a
TB.103 e
TB.104 c
T8.105 b
T8.106d
TB.107 d
T8.108 b
TB.109 e
TB.110b
TB.111 b
TB.112 a
T8.113 a
T8.114 b
TB.115 e
TB.116 c
TB.117 e
TB.118 c
TB.119 d
T8.120 c
TB.121 d
TB.122 b
TB.123 c
TB.124 c
T8.125 b
TB.126d
TB.127 d
TB.128 b
T8.129 b
TB.130 a
TB.131 c
TB.132 a
T8.133 b
TB.134 e
TB.135 d
TB.136 a
T8.137 b
TB.138 a
T8.139 a
T8.140 a
171-8
TB.141 e TB.165 c TB.189 d TB.212 c
TB.142 c TB.166 b TB.190 d TB.213 a
TB.143 c TB.167 a TB.191 c TB.214 e
TB.l44 d TB.168 a TB.192 e TB.215 b
TB.l45 b TB.169 e TB.193 e TB.216 e
TB.l46 a TB.170 c TB.194 b TB.217 c
TB.147 a TB.17l b TB.195 a TB.218 a
TB.l48 c TB.172 d TB.196 e TB.219 d
TB.149 a TB.173 c TB.197 c TB.220 b
TB.150 b TB.174 c TB.198 c TB.221 d
TB.151 a TB.175 c TB.199 d TB.222e
TB.152 c TB.176 a TB.200 b TB.223 c
TB.153 a TB.177 b TB.201 a TB.224 d
TB.154 d TB.178 b TB.202 a TB.22S a
TB.l55 c TB.179 b TB.203 c TB.226 a
TB.156 b TB.180 d TB.204d TB.227 a
TB.157 d TB.181 c TB.20S e TB.228 d
TB.158 a TB.182 a TB.206 d TB.229 c
TB.159 a TB.183 e TB.207 b TB.230 a
TB.160 a TB.184 d TB.208 b TB.231 e
TB.16l d TB.185 b TB.209 d TB.232 b
TB.162 e TB.186 d TB.210 d TB.233 a
TB.163 b TB.187 a TB.211 c TB.234 c
TB.164 c TB.188 e
172-8