series - 2

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Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-1
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
Cálculo de Funções por Séries de Potências
O objetivo do cálculo de funções por séries de potências é o de se obter expressões
simples para a avaliação de funções com grau de complexidade maior. Além disso, veremos
que o desenvolvimento de funções por séries de Taylor forma o núcleo básico de um curso de
Cálculo Numérico, de modo que o entendimento desse assunto é indispensável para o
entendimento dos diversos métodos numéricos a serem abordados nos próximos capítulos.
Definição
Uma Série de Potências em x - x0 é uma série da forma
a a x x a x x a x x a x xn
n
n
0 1 0 2 0
2
3 0
3
0
0
+ − + − + − + = −
=
∞∑( ) ( ) ( ) ( )�
O problema do cálculo de uma função por meio de séries de potência consiste em se encontrar
os coeficientes an de uma série infinita, tal que:
f x a x xn
n
n
( ) ( )= −
=
∞∑ 0
0
Séries de Taylor
Definição: Uma função y = f(x) é analítica num ponto x0, se f(x) for a soma de uma série de
potências para todo x tal que |x - x0| < r, r > 0:
f x a x xn
n
n
( ) ( )= −
=
∞∑ 0
0
(2.1)
Toda a função analítica em x0, também o é na vizinhança de x0. Lembrando: uma função f(x) é
analítica num ponto x0 se ela satisfizer as seguintes condições: (1) a função existe em x0 e vale
f(x0); (2) a função é contínua em x0 e (3) a função é diferenciável em x0 e suas derivadas f’(x),
f”(x), ..., f(n)(x) existem nesse ponto.
Cálculo dos coeficientes an:
Se f(x) é analítica em x0, então a função vale f(x0) nesse ponto e também as suas derivadas
existem e valem f
 
'(x0), f "(x0), ... , f (n)(x0). Deste modo, podemos calcular o valor da função e
de suas derivadas fazendo:
f x a x xn
n
n
( ) ( )= −
=
∞∑ 0
0
′ = −
−
=
∞∑f x na x xn n
n
( ) ( )0 1
1
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-2
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
′′ = − −
−
=
∞∑f x n n a x xn n
n
( ) ( ) ( )1 0 2
2
′′′ = − − −
−
=
∞∑f x n n n a x xn n
n
( ) ( )( _ ( )1 2 0 3
3
�
f x n n n m a x xn n
n m
n m
( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − − + − −
=
∞∑ 1 1 0�
Substituindo x = x0, obtemos: f(x0) = a0, f '(x0) = a1, f "(x0) = 2!a2, ′′′f (x0) = 3!a3, ... ,
f (m)(x0) = m!am, de onde vem que: 
a f x a f x a
f x
a
f x
a
f x
mm
m
0 0 1 0 2
0
3
0 0
2 3
= = ′ =
′′
=
′′′
=( ), ( ), ( )
!
,
( )
!
, ,
( )
!
( )
�
que, substituindo na equação (2.1), resulta em:
f x f x f x x x
f x
x x
f x
x x
f x
n
x x
n
n
n
( ) ( ) ( )( ) ( )
!
( ) ( )
!
( )
( )
!
( )
( )
= + ′ − +
′′
− +
′′′
− +
= −
=
∞∑
0 0 0
0
0
2 0
0
3
0
0
0
2 3
�
(2.2)
A expressão (2.2) fornece o método para o cálculo dos coeficientes de uma série de potências
denominada séries de Taylor.
Exemplo 1: Expansão da função f(x) = ex em séries de Taylor em torno de x0 = 0.
Cálculo da função e suas derivadas em x0 = 0:
f(x) = ex, f(0) = e0 = 1
f
 
'(x) = ex f
 
'(0) = 1
f
 
"(x) = ex f
 
"(0) = 1
� �
f
 
(n)(x) = ex, f
 
(n)(0) = 1
Substituindo na equação geral da série de Taylor, resulta:
e x
x x x
n
x
n
n
= + + + + =
=
∞∑1 2 3
2 3
0
! ! !
�
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-3
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-20
0
20
40
60
80
Função exponencial
 
 
 e
x
 2 termos
 3 termos
 4 termos
 5 termos
y 
=
 
f(x
)
x
Fig. 2.1 - Gráfico comparativo entre a função ex exata e a série de Taylor aproximada com
diferentes números de termos da série.
Exemplo 2: Expansão em séries de Taylor para a função sen x em torno de x0 = 0.
Cálculo da função e suas derivadas em x0 = 0:
f(x) = sen x f(0) = sen 0 = 0
f
 
'(x) = cos x f
 
'(0) = cos 0 =1
f "(x) = − sen x f"(0) = 0
f
 
'''(x) = − cos x f
 
'''(0) = − 1
f(4) (x) = sen x f(4) (0) = 0
� �
As derivadas da função sen x são cíclicas, de modo que f(4) (x) = f(x), f(5) (x) = f’(x), e assim
por diante. Substituindo na expressão geral para a série de Taylor, resulta:
sen
! ! !
( ) ( )!x x
x x x x
n
n
n
n
= − + − + = −
+
+
=
∞∑3 5 7 2 1
0
3 5 7 1 2 1
�
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-4
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Função seno
 
 
 sen x
 2 termos
 3 termos
 4 termos
 5 termos
y 
=
 
f(x
)
x
Fig. 2.2 - Gráfico comparativo entre a função sen x exata e a série de Taylor aproximada com
diferentes números de termos da série.
Exemplo 3: Expansão da função cos x em séries de Taylor em torno de x0 = 0.
Cálculo da função e suas derivadas em x0 = 0:
f(x) = cos x f(0) = cos 0 = 1
f
 
'(x) = − sen x f
 
'(0) = − sen 0 = 0
f "(x) = − cos x f"(0) = − 1
f
 
'''(x) = sen x f
 
'''(0) = 0
f(4) (x) = cos x f(4) (0) = 1
� �
Observar que, como no caso da função sen x, as derivadas da função cos x são repetitivas a
partir da 4a derivada. Substituindo na expressão geral para a série de Taylor, resulta:
cos
! ! !
( ) ( )!x
x x x x
n
n
n
n
= − + − + = −
=
∞
∑1 2 4 6 1 2
2 4 6 2
0
�
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-5
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-2
-1
0
1
2
Função cosseno
 
 
 cos x 
 2 termos
 3 termos
 4 termos
 5 termos
y 
=
 
f(x
)
x
Fig. 2.3 - Gráfico comparativo entre a função cos x exata e a série de Taylor aproximada com
diferentes números de termos da série.
Exemplo 4: Seja f(x) = ln x.
Expandir em séries de Taylor em torno de x0 = 0.
Cálculo de f(0) e suas derivadas:
f(x) = ln x, ′ = ′′ = − ′′′ =f x
x
f x
x
f x
x
( ) , ( ) , ( ) , ,1 1 22 3 �
f x
n
x
n n
n
( ) ( ) ( ) ( )!= − −−1 11 (n = 1, 2, 3, ...),
de modo que f(1) = 0, f
 
'(1) = 1, f
 
"(0) = -1, f
 
'''(1) = 2, ..., f
 
(n)(1) = (-1)n-1(n-1)!.
Substituindo em (2.2), vem que:
ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x
n
n
n
n
= − −
−
+
−
−
−
+ = −
−
−
=
∞∑1 12 13 14 1 1
2 3 4
1
1
�
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-6
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Função logaritmo
 
 
 ln x
 2 termos
 3 termos
 4 termos
 5 termos
y 
=
 
f(x
)
x
Fig. 2.4 - Gráfico comparativo entre a função ln x exata e a série de Taylor aproximada com
diferentes números de termos da série.
Teorema da convergência para séries de potências: Seja a x xn n
n
( )−
=
∞∑ 0
0
 uma série de
potências dada. Uma das seguintes condições é válida:
(i)
 
a série converge somente quando x = x0;
(ii)
 
a série é absolutamente convergente para todos os valores de x;
(iii)
 
existe um número R > 0, tal que a série seja absolutamente convergente para todos os
valores de x, para os quais |x-x0| < R, e seja divergente para todos os valores de x, para os
quais |x-x0| > R. A grandeza R é denominada raio de convergência da série de potências
dada.
Exemplo 5: Determinar o raio de convergência da série de Taylor para a função ex.
Para determinarmos o raio de convergência da função ex, vamos aplicar o teste da razão:
lim lim ( )!
!
lim
n
n
n n
n
n
n
a
a
x
n
x
n
x
n→∞
+
→∞
+
→∞
=
+
=
+
=
1
1
1
1
0, para qualquer valor de x
Como o critério da razão estabelece que a série é convergente quando o limite acima é menor
do que 1, conclui-se que o raio de convergência da série de Taylor da
função exponencial são
todos os valores de x, tal que x ∈ℜ, ou seja, |x| < ∞.
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-7
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
Exemplo 6: Determinar o raio de convergência da série de Taylor para a função ln x,
expandida em torno de x0 = 1.
A série de Taylor da função ln x é expressa como:
ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x
n
n
n
n
= − −
−
+
−
−
−
+ = −
−
−
=
∞∑1 12 13 14 1 1
2 3 4
1
1
�
Aplicando o teste da razão ao termo geral da série:
lim lim
( )
( ) lim ( ) limn
n
n n
n
n
n n
a
a
x
n
x
n
x
n
n
x
n
n
x
→∞
+
→∞
+
→∞ →∞
=
−
+
−
= −
+
= −
+
= −
1
11
1
1
1
1
1
1
1
Como o critério da razão estabelece que a série é convergente quando o limite é menor do
que 1, resulta:
x x x− < ⇔ − < − < ⇒ < <1 1 1 1 1 0 2
Como o critério da razão não diz nada sobre a convergência ou divergência em x = 2 (para o
qual o limite é igual a 1), vamos analisá-lo em separado. Fazendo x = 2 na série de Taylor,
tem-se que:
� �
n
n
n
n
2 1
1
2
1
3
1
4
1 1
1
= − + − + =
−
−
=
∞∑ ( )
Mas, esta série infinita é a série harmônica alternada, que é convergente. Assim, o raio de
convergência para ln x é 0 < x ≤ 2.
Observação: A convergência de uma série de potências nos assegura que podemos utilizá-la
para o cálculo dos valores corretos de uma função.
Exemplo 7: O cálculo de ln 1,5 e de ln 2, usando a série de Taylor fornece os valores:
n ln (1,5) n ln (2,0)
2 0,37500 10 0,64564
4 0,40104 50 0,68325
5 0,40729 100 0,68817
10 0,40543 500 0,69215
11 0,40548 1.000 0,69265
12 0,40546 10.000 0,69310
13 0,40547 50.000 0,69314
15 0,40547 100.000 0,69314
20 0,40547 200.000 0,69315
Exato: 0,40547 Exato: 0,69315
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-8
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
Como a série é convergente para x = 1,5 observa-se que a função fornece o resultado
correto com cinco casas decimais empregando 13 termos da série. Os outros valores, para n <
13, embora não sejam exatos, mostram tendência de convergência para o valor exato. No caso
de ln 2, como x = 2 é o valor de x no limite superior de convergência da série de Taylor da
função ln x, observamos dos dados da tabela que a convergência é lenta. Para obter o resultado
com precisão de cinco casas decimais, necessitamos da ordem de 200.000 termos da série!
Geralmente, quanto maior o valor do argumento de uma função, i.e., quanto maior o valor de
x para o cálculo de f(x), necessitamos de um número cada vez maior de termos da série para
que possamos obter o resultado com uma certa precisão.
Vamos ver agora quando utilizamos um valor de x fora do intervalo de convergência de
uma dada série. Na tabela seguinte estão mostrados os valores calculados de ln 3 usando
diferentes números de termos da série de potências:
n ln (3,0)
5 5,06667
7 12,6857
10 -6,48254
15 1424,42
20 -34359,7
25 882703
∞ ∞
Exato: 1,09861
Neste caso, como a série infinita para ln 3 é divergente, o cálculo pela série de Taylor
fornece valores errados e, em nenhum momento, vai convergir para o valor correto 1,09861
com qualquer número de termos da série.
Exemplo 8: Para calcular ln 3 ou qualquer outro valor de x que esteja fora do intervalo de
convergência, utilizamos a propriedade das funções logarítmicas: ln (a.b) = ln a + ln b. Para
x = 3, fazemos ln 3 = ln (2x1,5) = ln 2 + ln 1,5 = 0,69315 + 0,40547 = 1,09862. A diferença de
0,00001 vem do erro de arredondamento de ln 2 e de ln 1,5.
Exemplo 9: Poderíamos ter adotado o mesmo procedimento do Exemplo 8 para o cálculo de
ln 2, pois assim, com o argumento x menor, o número de termos da série de potência seria bem
menor do que os 200.000 termos necessários para precisão de cinco casas decimais. Assim,
poderíamos fazer: ln 2 = ln ( )2 2 = 2 ln 2 . Para o cálculo de ln 2 com precisão de cinco
casas decimais, seriam necessários apenas 10 termos: ln 2 = 0,34657. ∴ ln 2 = 2(0,34657) =
0,69315.
Séries de Potências com Resto
Seja a série de potências:
f x f x f x x x
f x
x x
f x
n
x x
n
n
n
( ) ( ) ( )( ) ( )
!
( ) ( )
!
( )
( )
= + ′ − +
′′
− + = −
=
∞∑0 0 0 0 0 2 0 0
0
2 �
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-9
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
se desejamos calcular a série com um número finito de termos, podemos reescrever (2.2) na
forma:
f x f x f x x x
f x
x x
f x
n
x x R x
n
n
n( ) ( ) ( )( )
( )
!
( ) ( )
!
( ) ( )
( )
= + ′ − +
′′
− + + − +0 0 0
0
0
2 0
02
� (2.3)
onde Rn(x) representa o resto da série de potências truncada no n-ésimo termo. O resto Rn(x)
pode ser definido de acordo com a fórmula de Leibniz como:
{ }R x max f x x
n
x xn
n
n
( ) ( ) ( )
!
,
( )≤
−
≤ ≤ξ ξ0 0 (2.4)
Rn(x) representa o erro de truncamento (absoluto) da série de Taylor. Observar que a
expressão para a fórmula de Leibniz depende do máximo valor da derivada n-ésima da função
f(x) e do termo geral da série de potência.
Exemplo 10: Determinar quantos termos são necessários para se calcular e1 através de séries
de Taylor, com erro menor do que 10-6.
O erro absoluto para a série de Taylor da função ex pode ser calculada através da
fórmula de Leibniz:
{ } { }R x M x
n
max f max en
n
n( )
!
, ( ) ,( )≤ = = ≤ ≤ onde M ξ ξξ 0 1
O valor máximo de eξ ocorre quando ξ = 1, ou seja, { }max f en( ) ( )ξ = . Entretanto, o valor do
número de Euler, e1, é o que desejamos calcular, de modo que estimamos o valor de
{ }max f n( ) ( )ξ como sendo igual a 3 (> e). Assim, podemos calcular n da fórmula de Leibniz
como: R x
n n
nn
n
( )
! !
! .= ≤ = < ⇒ >−1 3
1 3
10 3106 6 . Esta desigualdade não tem solução
analítica, de modo que vamos calcular o valor de n substituindo-se numericamente valores de n
até encontrar um que satisfaça a condição de Leibniz. Se fizermos n = 9, teremos que
9! = 362.880 < 3.106. Se n = 10, vem que 10! = 9!x10 = 3.628.800 > 3.106. Portanto, para se
calcular e1 com erro inferior a 10-6 são necessários n = 10 termos na série de potências.
Exemplo 11: Determinar o número de termos necessários para se avaliar o sen 5 por séries de
potências com precisão de cinco casas decimais.
Solução: Precisão de cinco casas decimais é equivalente a calcular sen 5 com erro absoluto de
1 em 10-5, ou seja, Rn(x) ≤ 10-5:
R x M
x
n
M
nn
n n
( ) ( )! ( )!= ≤ + = + ≤
+ +
−5
2 1
5
2 1
10
2 1 2 1
5
, 
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-10
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
onde { }M max f n= =( ) ( )ξ 1, pois embora não saibamos qual será a n-ésima derivada de sen x,
sabemos que no máximo ela será igual a 1. Assim,
1
5
2 1
10
2 1
5
10
2 1
5
2 1
5
n
nn
n+
−
++
≤ ⇒
+
≥( )!
( )!
Novamente, calcularemos o valor de n por substituição numérica. A solução vem para
(2n + 1) = 21, ou n = 10. Observar que a variável contadora n se inicia em 0. Assim, serão
necessários, no máximo, 11 (= n + 1) termos da série de Taylor para o cálculo de sen 5 com
precisão de cinco casas decimais.
Exemplo 12: Vamos verificar se o valor de n calculado no Exemplo 2 fornece o resultado com
cinco casas decimais de precisão. Utilizando o programa de cálculo FORTRAN seno.for ou a
versão em linguagem C, seno.c1, obtemos para n = 11, sen 5 = -0,9589238336 e erro absoluto
= 9,3.10-6. Observar que o resultado obtido por séries de potências está correto até a quinta
casa decimal em comparação ao resultado exato (-0,9589242762) com dez casas decimais.
Derivação de Séries de Potências
Seja y = f(x) uma função expandida em uma série de potências. O operador linear
derivada (ou diferenciação) pode ser aplicado com facilidade a
uma série de potências devido à
associatividade da operação de derivação, i.e., a derivada de um somatório é igual ao
somatório das derivadas:
( )dydx ddx a x ddx a x na xn n
n n
n
n
n
n
n
=






= =
=
∞
=
∞
−
=
∞∑ ∑ ∑
0 0
1
1
Observe que o primeiro índice do último somatório vale n = 1 devido à derivação da potência
x
n
 que reduziu em um termo a série.
Exemplo 13: Seja f(x) = sen x, calcular a derivada da série de Taylor desta função.
( )sen ! ! ! ( ) )!x x
x x x x
n
n
n
n
= − + − + = −
+
+
=
∞∑3 5 7 2 1
0
3 5 7 1 2 1
�
Derivando-se os dois lados da equação,
 
1
 Disponíveis em http://www.demar.faenquil.br/programas
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-11
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
( )
d
dx
x
d
dx
x
x x x d
dx
x
n
x x x x x x
n
n
n
(sen )
! ! !
( ) )!
! ! ! ! ! !
= − + − +



 = − +






= − + − + = − + − +
+
=
∞∑3 5 7 2 1
0
2 4 6 2 4 6
3 5 7
1
2 1
1
3
3
5
5
7
7
1
2 4 6
�
� �
Mas, sabemos que
( )cos ! ! ! ( ) )!x
x x x x
n
n
n
n
= − + − + = −
=
∞∑1 2 4 6 1 2
2 4 6 2
0
�
de modo que 
d
dx
x x(sen ) cos= , verificado pela identidade entre as séries de potências acima.
Exemplo 14: Seja f(x) = ln x, calcular a derivada da série de Taylor desta função expandida
em torno de x0 = 1.
ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x
n
n
n
n
= − −
−
+
−
−
−
+ = −
−
−
=
∞∑1 12 13 14 1 1
2 3 4
1
1
�
Derivando esta série, resulta:
d
dx
x
x
d
dx
x
x x x
x x x x xn n
n
n n
n
(ln ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
≡ = − −
−
+
−
−
−
+






= − − + − − − + = − − = − −− −
=
∞
=
∞∑ ∑
1
1
1
2
1
3
1
4
1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 4
2 3 1 1
1 0
�
�
Observe a troca do índice do somatório de n = n - 1 para n = n na última expressão acima, de
modo que o primeiro índice desse somatório começa em n = 0.
Integração de Séries de Potências
A integração de uma função em série de potências pode ser feita termo a termo:
f x dx a x dx a x dx
a x
n
a x
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
( )∫ ∑∫ ∫∑ ∑ ∑= 



= =
+
=
=
∞
=
∞ +
=
∞
=
∞
0 0
1
0 1
1
Observe que, de forma análoga à diferenciação, o primeiro índice do último somatório vale
n = 1 devido à adição de mais um termo à série de potência xn.
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-12
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
Exemplo 15: Calcular cos .x dx∫ por Séries de Potências.
A série de potências de cos x é expressa como:
cos
! ! !
( ) ( )!x
x x x x
n
n
n
n
= − + − + = −
=
∞∑1 2 4 6 1 2
2 4 6 2
0
�
Integrando, obtém-se:
cos .
! ! ! ! ! !
( ) ( )!x dx
x x x
dx x
x x x x
n
n
n
n
∫ ∫ ∑= − + − +  = − + − + = − ++
=
∞
1
2 4 6 3 5 7 1 2 1
2 4 6 3 5 7 2 1
0
�
�
que é exatamente a série de potências da função sen x.
Exemplo 16: A integral 
sen x
x
dx⋅∫ é bastante utilizada no Eletromagnetismo. Entretanto, o
integrando sen x/x não possui primitiva, de modo que a sua solução é obtida através da
expansão em séries de potências. Vamos mostrar neste exemplo como é relativamente simples
obter a expressão em séries de potências dessa integral.
Consideremos, inicialmente, a série de Taylor da função sen x:
sen
! ! !
( ) ( )!x x
x x x x
n
n
n
n
= − + − + = −
+
+
=
∞∑3 5 7 2 1
0
3 5 7 1 2 1
�
Dividimos termo a termo ambos os lados da equação por x:
sen
! ! !
( ) ( )!
x
x
x x x x
n
n
n
n
= − + − + = −
+
=
∞∑1 3 5 7 1 2 1
2 4 6 2
0
�
Agora, integramos a equação e obtemos:
sen
! ! ! ! !5 !
( )
( )!( )
x
x
dx
x x x
dx x
x x x x
n n
n n
n
⋅ = − + − +



 = − + − + =
−
+ +∫ ∫ ∑ +
=
∞
1
3 5 7 3 3 5 7 7
1
2 1 2 1
2 4 6 3 5 7 2 1
0
� �
Exemplo 17: Calcular 
sen x
x
dx⋅∫
0
1
 com cinco casas decimais de precisão.
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-13
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
sen
! !5 ! ! !5 !
x
x
dx x
x x x
⋅ = − + − + = − + − +∫
0
1 3 5 7
3 3 5 7 7 1
1
3 3
1
5
1
7 70
1
� �
≅ − + − =1 0 055556 0 001667 0 000028 0 946083, , , ,
Algumas Séries de MacLaurin (x0 = 0)
Fórmula geral da série de MacLaurin, que é um caso particular da série de Taylor quando
x0 = 0:
f x f f x
f
x
f
x
f
n
x
n
n
n
( ) ( ) ( ) ( )
!
( )
!
( )
!
( )
= + ′ +
′′
+
′′′
+ =
=
∞∑0 0 02 03 02 3
0
�
1. Série geométrica
( )1 1 11 2 3 4 5± = + + + <−x x x x x x x� � � �
2. Função seno
sen x = x
x x x x
n
xn
n
n
− + − + = −
+
< ∞
+
=
∞∑3 5 7 2 1
0
3 5 7 1 2 1! ! ! ( ) ( )!
�
3. Função cosseno
cos x = 1
2 4 6
1
2
2 4 6 2
0
− + − + = − < ∞
=
∞∑x x x xn xn
n
n
! ! !
( ) ( )!
�
4. Função tangente
tg x = 
( )
x x x x x
B x
n
x
n n
n
n
n
+ + + + + =
−
<
−
=
∞∑13 215 17315 622835 2 2 12 23 5 7 9
2 2 2 1
0
�
( )!
pi
onde: B B
B
n k k
n
n
k
n
0 1
0
1
1 1 2 0 2= = −
−
= ≥
=
−∑, / ( )! ! e para Bn : no de Bernoulli
5. Função exponencial
ex = 1
2 3 4
2 3 4
0
+ + + + + = < ∞
=
∞∑x x x x xn x
n
n
! ! ! !
�
6. Função cosseno hiperbólico
cosh x = 1
2 4 6 2
2 4 6 2
0
+ + + + = < ∞
=
∞∑x x x xn x
n
n
! ! ! ( )!
�
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-14
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
7. Função seno hiperbólico
senh x = x
x x x x
n
x
n
n
+ + + + =
+
< ∞
+
=
∞∑3 5 7 2 1
0
3 5 7 2 1! ! ! ( )!�
8. Série binomial
( )a x a n a x n a x n a x xn n n n n+ = + 

 +



 +



 + < ∞− − −1 2 31 2 2 3 3 �
9. Função logaritmo
1
2
1
1 3 5 7 2 1 1
3 5 7 2 1
0
ln
+
−



 = + + + + = + <
+
=
∞∑xx x x x x xn x
n
n
�
10. Função arco seno
arc sen x = x
x x x
x+ ⋅ +
⋅
⋅
⋅ +
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ + <
1
2 3
1 3
2 4 5
1 3 5
2 4 6 7
1
3 5 7
�
11. Função arco cosseno
arc cos x = 
pi
2
 - arcsen x = 
pi
2
1
2 3
1 3
2 4 5
1 3 5
2 4 6 7
1
3 5 7
− + ⋅ +
⋅
⋅
⋅ +
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ +



 <x
x x x
x
�
12. Função arco tangente
arc tg x = x
x x x x
n
xn
n
n
− + − + = −
+
<
+
=
∞∑3 5 7 2 1
0
3 5 7 1 2 1 1
� ( )
13. Função composta esen x
esen x = 1
2 8 15
2 4 5
+ + − − + < ∞x
x x x
x
�
14. Função composta ex.cos x
ex.cos x = 
( )
1
3 6
2 43 4 2
0
+ − − + = < ∞
=
∞∑x x x nn x x
n
n
n
�
/ cos /
!
pi
15. Função erro
∞<
⋅+pi
=



+
⋅
+
⋅
+
⋅
−
pi
=
pi
= ∑∫ ∞
=
+
−
x
n1n2
x2
37
x
25
x
13
x
x
2due2xerf
0n
1n2753x
0
u 2
!)(!!!)(
�
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-15
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
16. Função sen x / x
Si x
u
u
du
x x x x x
n n
x
x
n
n
( ) sen
! ! ! ! ( ) ( )!= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = + ⋅ + < ∞∫ ∑ +
=
∞
1 1 3 3 5 5 7 7 2 1 2 1
3 5
0
7 2 1
0
�
Séries de Taylor
Fórmula geral:
( ) ( ) �+−′′′+−′′+−′+= 300200000 xx3
xf
xx
2
xf
xxxfxfxf
!
)(
!
)())(()()(
( )∑∞
=
−=
0n
n
0
0
n
xx
n
xf
!
)()(
1. Função logaritmo
ln x =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x
n
xn
n
n
− −
−
+
−
−
−
+ = −
−
< ≤−
=
∞∑1 12 13 14 1 1 0 2
2 3 4
1
1
�
2. Função logaritmo
ln x = 0x
1x
1x
1n2
12
1x
1x
5
1
1x
1x
3
1
1x
1x2
1n2
0n
53
>


+
−
+
=






+


+
−
+


+
−
+


+
−
+
∞
=
∑�
3. Função hiperbólica
1
1 1 1 1 1 1 0 22 3
0
x
x x x x xn n
n
= − − + − − − + = − − < <
=
∞∑( ) ( ) ( ) ( ) ( )�
Exercícios propostos
1. Expandir as seguintes funções em séries de potência:
(a) ex.cos x (b) tg x (c) arc tg x (d) (a + x)3 (e) (1 + x)-2
2. Qual o significado de expansão em séries de potências em torno de um valor x0? A escolha
de um valor x0 arbitrário influencia na precisão de cálculo de uma função por séries de
potências? Justifique e dê exemplos numéricos para a sua argumentação.
3. Considere a série geométrica x
x
n
n=
∞∑ =
−
0
1
1
:
(a) Determinar o número de termos necessários para calcular a soma com um erro inferior a
10-2, quando x = 0,5; x = 0,9 e x = 0,99.
Cálculo de Funções por Séries de Potências 2-16
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
(b) Verificar que, para x > 1 ou x < -1, a série diverge. Comprove, calculando a soma para x
= 2 empregando 10, 20 e 30 termos e observando que os resultados são diferentes.
(c) Mostrar que, à medida que x se aproxima de 1, o número de termos necessários para
calcular a soma com um erro inferior a um ε fixo tende ao infinito.
 
4. Mostrar, usando séries de potências, que:
(a) ( )
!
− =
=
∞∑ 1 1 1
0
n
n
n e
(b) 1
2
2
0
n
n=
∞∑ = (c) ( ) ln− =−
=
∞
∑ 1 21
1
n
n
n
(d) 1
2
1
1 3 5 7 2 1
3 5 7 2 1
0
ln
+
−



 = + + + + = +
+
=
∞∑xx x x x x xn
n
n
�
(e) a x a x a x a x a
n
x
n
n
= + + + + =
=
∞
∑1 1 2 3
2 3
0
ln
!
( ln )
!
( ln ) ( ln )
�
(f) d
dx
n x
x
�
=
1
(g) sen ( ) cos( )ax dx ax C= − +∫ , onde C é uma constante
(h) e xxln = (h) cos2x + sen2x = 1 (i) sen 2x = 2 sen x.cos x
(j) sen( ) sen cos sen
!
cos
!
sen
!
sen( / )x a a x a x a x a x a x a nn
n
+ = + − − + + = +
=
∞∑2 3 4
0
2 3 4
2� pi
5. Calcule e1 utilizando a série de potências com cinco termos. Calcule o erro a partir do valor
exato obtido diretamente da calculadora. Agora, faça e1 = (e0,2)5, calcule o valor de e1
primeiramente calculando o valor de e0,2 por série de potências com cinco termos e
posteriormente, elevando o resultado à quinta potência para obter o valor de e1. Determine
o erro e compare com o resultado anterior. Repita o mesmo procedimento para calcular
e1 = (e0,25)4. Qual a razão para as diferenças observadas nos três cálculos? Justifique.
Obs.: Utilize o número de algarismos significativos necessários para mostrar a diferença
entre os três resultados.
6. Desenvolver a função f(x) = e x− 2 2/ em uma série de Taylor, a partir da série de ex e
calcular e dxx−∫ 2 2
0
1
/
 com precisão de cinco casas decimais.
7. Faça o gráfico da função f x
x
x
( ) ln=
− 1
 e calcule 
ln
,
x
x
dx
−
∫ 1
0 1
1
, utilizando séries de potências
com precisão de cinco casas decimais.