Probest_2013-2 Aula-1

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reinaldo@ele.puc-rio.br ing.jdhernandes@gmail.com 
street@ele.puc-rioi.br jjampinho@gmail.com 
roxanajc@ele.puc-rio.br 
 
 
1 
PROBEST 
Aula 1 
 
Reinaldo Castro Souza, PhD 
Alexandre Street 
Roxana C. Contreras 
 José Daniel Hernández Vásquez, Monitor 
 José Aguinaldo M.Pinho, Auxiliar 
 
2013.2 
reinaldo@ele.puc-rio.br 2 
Nota – Instalação das 
Ferramentas de Análise do Excel 
 Muitas das técnicas descritas aqui requerem a prévia 
instalação do suplemento (“add-in”) “Ferramentas de 
Análise” do Excel. O procedimento de instalação é 
descrito a seguir: 
 
 No menu Ferramentas, selecione “Suplementos” e na 
caixa de diálogo que será aberta marque a opção 
“Ferramentas de análise”. Se esta opção não estiver 
presente, clique “procurar” para encontrar o arquivo 
correspondente (em geral chamado Analys32.xll) ou 
rode novamente o “set-up” do MS-Office. 
reinaldo@ele.puc-rio.br 3 
Aula 1 
 Estatística Descritiva 
 Definições básicas – Introdução à 
Probabilidade 
 Probabilidade 
 Espaço amostral 
 Eventos 
 Propriedades das probabilidades 
 Probabilidade Condicional 
 Independência 
 Teorema de Bayes 
 
reinaldo@ele.puc-rio.br 4 
 
Estatística Descritiva 
reinaldo@ele.puc-rio.br 5 
Prá que serve estatística? 
 Porque nos permite entender e lidar com a idéia 
de variabilidade. 
 Um exemplo típico é: 
 Produção de parafusos. Uma fábrica produz 
parafusos, que devem ter diâmetros dentro de 
certas especificações. 
 Ao medirmos os diâmetros de 100 parafusos 
produzidos, selecionados ao acaso, existirão 
variações individuais. 
 Estas variações são importantes? Até que ponto 
as variações observadas são aceitáveis? 
reinaldo@ele.puc-rio.br 6 
Estatística 
 Em geral um número em Estatística não é apenas 
um número! A ele associamos uma medida de 
incerteza ou variabilidade. 
 
 População e Amostra 
 População = coleção de todos os elementos cujas 
características desejamos conhecer. Os elementos (ou 
"indivíduos") na população não são necessariamente 
pessoas! 
 
 Amostra = subconjunto da população cujas características 
serão medidas. A amostra será usada para descobrir 
características da população. 
 
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Exemplos 
1) População = eleitores na cidade do Rio de Janeiro 
Amostra = 650 eleitores escolhidos aleatoriamente (ao acaso) 
Característica de interesse: percentual de eleitores que 
planejam votar num candidato X nas próximas eleições. 
 
 
2) População = automóveis produzidos no Brasil entre 1997 e 
2002 
Amostra = 10000 carros escolhidos aleatoriamente dentre os 
sujeitos a “recall” das montadoras 
Característica de interesse: verificar se o proprietário do carro 
respondeu ao chamado de “recall” da fábrica 
 
reinaldo@ele.puc-rio.br 8 
Exemplos 
 3) População = todos os domicílios com TV na 
cidade do Rio de Janeiro 
 Amostra = 1000 domicílios com TV escolhidos ao 
acaso 
 Característica de interesse = percentual de 
audiência de cada emissora de TV num certo dia 
da semana no horário de 18 às 22 horas. 
 
 
 
Em resumo: A partir de uma amostra coletamos 
informações que nos permitem aprender alguma 
coisa interessante sobre a população. 
 
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Por que fazer isso? 
 É economicamente eficiente! Os custos 
são infinitamente mais baixos que os de 
amostrar a população inteira (“censo”). 
 
 Pode-se provar que, para populações 
muito grandes, uma amostra de cerca de 
600 ou 1000 "indivíduos" fornece 
resultados bastante confiáveis sobre as 
características da população. 
 
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E agora? 
 Você coletou uma amostra e, dentro desta 
amostra você coletou dados numéricos 
(por exemplo, o consumo médio mensal 
em kWh dos domicílios numa certa área 
da cidade). O que fazer com isso? 
 
 Existem 2 possibilidades: 
 Você pode simplesmente descrever estes dados 
numéricos através de gráficos e tabelas. Isto é chamado 
de estatística descritiva. A maioria das pesquisas de 
mercado faz só isso, que é sem dúvida, muito 
importante. 
 
 
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E agora? 
 Você pode tentar tirar conclusões sobre 
as características da população a partir 
dos dados observados na amostra. 
 
 Isso se chama estatística inferencial (ou 
simplesmente estatística!). Para que a 
gente consiga fazer isso, é necessário ter 
uma noção bastante abrangente de 
Probabilidades. 
reinaldo@ele.puc-rio.br 12 
E agora? 
 Na verdade, a estatística descritiva surgiu 
muito antes da estatística inferencial. 
 
 Esta última depende da especificação de 
modelos matemáticos baseados numa 
noção fundamental, que é a de 
"probabilidade". 
 
 
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Estatística descritiva 
 
 Gráficos ("A picture is worth one thousand words") 
 Histograma 
 Diagramas de Pareto 
 Gráficos de dispersão, gráficos da variável ao longo do 
tempo, gráficos de barras, etc... 
 Medidas Numéricas 
 Média amostral 
 Mediana amostral 
 Desvio padrão amostral 
 Variância amostral 
 Assimetria e Curtose amostrais 
 Percentis 
 Covariância, Correlação amostrais 
 
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Alguns gráficos da evolução de 
variáveis ao longo do tempo 
reinaldo@ele.puc-rio.br 15 
Consumo Total Energia Elétrica 
Jan/1979 a Ago/2006 
Consumo de Energia Elétrica - Total Brasil (GWh) - Fonte: Eletrobrás
7,000
12,000
17,000
22,000
27,000
32,000
jan
/79
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/81
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/93
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/01
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/06
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EXEMPLO: Preços de Petróleo 
Brent e WTI – dados diários – 
02/01/1991 a 03/11/2006 
Preços de Petróleo (US$/Barril) - Janeiro de 2000 a Novembro de 2006
16
20
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/1
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/7
/2
00
6
29
/9
/2
00
6
Petróleo WTI Petróleo Brent
monica@ele.puc-rio.br 17 
EXEMPLO: IPC-FIPE 
reinaldo@ele.puc-rio.br 18 
EXEMPLO: IPC-FIPE 
 No gráfico anterior exibimos o IPC-FIPE (o Índice de 
Preços ao Consumidor da FIPE, um dos mais 
importantes índices de inflação com suas 
estimativas quadrissemanais) no período entre 
01/1995 e 10/2006. 
 

As prévias quadrissemanais servem como 
indicadores da inflação do próximo mês medida 
pelo IPC-FIPE. 
 
 No próximo gráfico exibimos os valores (01/2002 a 
10/2006) do IPC-FIPE. 
reinaldo@ele.puc-rio.br 19 
IPC-FIPE - Janeiro de 2002 
a 10/2006 
Inflação FIPE (% a.m)- 01/2002 a 10/2006
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
jan
/02
ab
r/0
2
jul
/02
ou
t/0
2
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/03
ab
r/0
3
jul
/03
ou
t/0
3
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/04
ab
r/0
4
jul
/04
ou
t/0
4
jan
/05
ab
r/0
5
jul
/05
ou
t/0
5
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/06
ab
r/0
6
jul
/06
ou
t/0
6
INFLAÇÃO - IPC - FIPE (% a.m.)
reinaldo@ele.puc-rio.br 20 
IBOVESPA Diário – Julho de 1994 a 
a 06/08/2004 
reinaldo@ele.puc-rio.br 21 
IBOVESPA Diário – Julho de 1994 a 
a 06/08/2004 
 Parece que a bolsa subiu muito durante 
quase todo o Plano Real. 
 
 Será que isso é mesmo verdade? 
 
 Veja o próximo gráfico, em que 
comparamos o IBOVESPA em R$ e US$. 
reinaldo@ele.puc-rio.br 22 
IBOVESPA Diário – Julho de 1994 a 
a 06/08/2004 
IBOVESPA em Pontos em Reais e Dólares
2000.00
5000.00
8000.00
11000.00
14000.00
17000.00
20000.00
23000.00
26000.00
04
/0
7/
19
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/0
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4/
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14
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4/
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/0
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19
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/0
2/
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/0
6/
19
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/1
0/
19
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/0
6/
20
00
31
/1
0/
20
00
13
/0
3/
20
01
18
/0
7/
20
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/1
1/
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/0
4/
20
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2/
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02
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4/
20
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8/
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/1
2/
20
03
05
/0
5/
20
04
IBOVESPA em Dólares IBOVESPA em R$
reinaldo@ele.puc-rio.br 23 
Gráfico de Dispersão 
(uma variável versus outra) 
reinaldo@ele.puc-rio.br 24 
Exemplo - IBOVESPA e Dólar 
Ibovespa versus Dólar PTAX -10/12/2002 a 12/06/2003
y = -3830.7x + 24366
R
2
 = 0.8954
9,000
9,500
10,000
10,500
11,000
11,500
12,000
12,500
13,000
13,500
14,000
14,500
2.80 2.90 3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90
Neste período parece fazer sentido 
ajustar uma reta e poderíamos 
estipular um modelo que pudesse 
prever o IBOVESPA em função da 
taxa de câmbio
reinaldo@ele.puc-rio.br 25 
Exemplo - IBOVESPA e Dólar – 
incorporação de novos dados 
Ibovespa versus Dólar PTAX -10/12/2002 a 02/03/2004
y = -10612x + 48010
R
2
 = 0.4532
8,000
10,000
12,000
14,000
16,000
18,000
20,000
22,000
24,000
26,000
2.80 2.90 3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90
Claramente, um modelo linear não é mais 
apropriado quando levamos em consideração os 
novos dados (entre junho de 2003 e março de 
2004) - OU SEJA: O MODELO MUDOU!
reinaldo@ele.puc-rio.br 26 
Exemplo - IBOVESPA e Dólar – 
incorporação de novos dados 
 Por que o modelo anterior não funciona? 
 
 No período entre junho de 2003 e março 
de 2004 o dólar permaneceu praticamente 
estável, enquanto o índice Bovespa subiu 
consideravelmente, como podemos 
verificar no próximo gráfico. 
reinaldo@ele.puc-rio.br 27 
Exemplo - IBOVESPA e Dólar – 
incorporação de novos dados 
IBOVESPA - 10/12/2002 a 02/03/2004
9,000
11,000
13,000
15,000
17,000
19,000
21,000
23,000
25,000
10
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3
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5/0
3
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3
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3
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3
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7/0
3
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3
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8/0
3
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3
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9/0
3
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3
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3
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3
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3
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/0
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/0
2/0
4
18
/0
2/0
4
Junho de 2003
reinaldo@ele.puc-rio.br 28 
Exemplo - temperaturas 
 Dados:Temperatura máxima mensal (média das 
máximas diárias) na estação de Santa Cruz (Rio 
de Janeiro) entre Jan/1982 e Dez/1991. 
 
 O que fazer com todos estes 120 números? 
 
 A coisa mais sensata é fazer um gráfico da 
temperatura versus o índice de tempo (mês e 
ano). Este gráfico vai revelar o óbvio, isto é, que 
as temperaturas no verão são mais altas que no 
inverno! 
reinaldo@ele.puc-rio.br 29 
Exemplo - temperaturas 
 Além disso, a gente vai perceber que 
existe um comportamento sazonal nos 
dados, ou seja, dentro de cada ano a 
evolução da temperatura se repete mais 
ou menos da mesma maneira. 
 O gráfico também nos dá uma idéia do 
quanto a temperatura está variando em 
todo o período. Por exemplo, pode-se 
verificar que a temperatura máxima nestes 
10 anos está sempre acima de 22 graus. 
reinaldo@ele.puc-rio.br 30 
Exemplo - temperaturas 
Temperaturas Máximas - 1982 a 1991
23
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ja
n/
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/8
2
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t/8
2
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/8
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n/
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t/8
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n/
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t/8
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n/
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/8
6
se
t/8
6
ja
n/
87
m
ai
/8
7
se
t/8
7
ja
n/
88
m
ai
/8
8
se
t/8
8
ja
n/
89
m
ai
/8
9
se
t/8
9
ja
n/
90
m
ai
/9
0
se
t/9
0
ja
n/
91
m
ai
/9
1
se
t/9
1
reinaldo@ele.puc-rio.br 31 
Exemplo - temperaturas 
 O gráfico é muito útil, mas certamente não 
“conta” toda a informação .... 
 
 Por exemplo, qual será a temperatura média de 
todos os meses? Dentre os 120 meses, em 
quantos a temperatura média esteve entre 28 e 33 
graus? Qual o percentual de temperaturas entre 
22 e 25 graus? Tomando-se os 120 pontos, quais 
os valores de temperatura tais que 90% dos 
meses têm temperaturas entre estes dois 
valores? 
 
reinaldo@ele.puc-rio.br 32 
Exemplo - temperaturas 
 Podemos pensar nestas, e numa infinidade de 
outras questões. O fato é que um simples gráfico 
da temperatura versus o tempo não fornece as 
respostas de maneira prática. 
 
 O primeiro passo é fazer a distribuição de 
freqüência dos seus dados. Isto é simplesmente 
uma medida mais compacta de representação 
dos dados. Você divide as temperaturas em 
intervalos (chamados intervalos de classe) e 
conta quantas observações caem em cada 
intervalo. 
reinaldo@ele.puc-rio.br 33 
Exemplo - temperaturas 
 A escolha do número de intervalos é arbitrária. 
 
 O importante é garantir que o número de classes 
não seja nem muito grande nem muito pequeno. 
 
 Se o número de classes for muito pequeno, fica 
difícil verificar as diferenças entre as classes. Ao 
contrário, se o número de classes for muito 
grande, existirão muito poucas observações em 
cada classe. 
 
 O primeiro passo é ordenar os dados pois facilita 
a colocação dos dados em cada classe. 
 
reinaldo@ele.puc-rio.br 34 
Exemplo - temperaturas 
 Escolha do número de classes num 
diagrama de frequência 
 
 Seja n o número de intervalos num diagrama de frequência. 
Recomenda-se escolher n entre 5 e 20. Quanto maior o 
número de observações, maior o número de intervalos. 
 
 Geralmente usa-se n igual à raiz quadrada do número total 
de observações, que neste caso seria aproximadamente 11.
Para facilitar a visualização em geral usamos intervalos 
com o mesmo comprimento. Muitas vezes o primeiro 
intervalo é descrito como "abaixo de um certo valor" e o 
último como "acima de um certo valor". 
 
reinaldo@ele.puc-rio.br 35 
Exemplo - temperaturas 
 Neste exemplo usamos n = 7, por uma questão 
puramente prática, pois este número nos permite 
encontrar intervalos de classe de comprimento 
1.9 em todas as classes, exceto a primeira, e 
todas as classes terminam com uma temperatura 
que é um número inteiro e par. 
 
 A primeira classe vai de 24 a 26 graus, a segunda 
vai de 26.1 a 28 graus e assim sucessivamente. O 
diagrama de freqüências encontrado está a 
seguir. 
 
reinaldo@ele.puc-rio.br 36 
Exemplo - temperaturas 
Classe Frequência Frequência Relativa Frequência 
Relativa 
Acumulada
24-26 graus 7 7/120 = 5.83 % 5.83%
26.1- 28 graus 31 31/120 = 25.83 % 31.66%
28.1-30 graus 26 26/120 = 21.67 % 53.33%
30.1-32 graus 26 26/120 = 21.67 % 75.00%
32.1-34 graus 25 25/120 = 20.83 % 95.83%
34.1-36 graus 3 3/120 = 2.50 % 98.33%
36.1-38 graus 2 2/120 = 1.67 % 100%
Totais 120 100%
reinaldo@ele.puc-rio.br 37 
Exemplo – temperaturas 
 O diagrama de frequências já nos permite 
responder a diversas outras questões. Por 
exemplo, a grande maioria (69.17%) das 
temperaturas máximas está entre 26.1 e 32 graus. 
Também percebemos que temperaturas máximas 
acima de 34.1 graus são incomuns (apenas 5 
dentre as 120). 
 
 Veja que outras conclusões você consegue obter 
a partir deste diagrama. 
 
reinaldo@ele.puc-rio.br 38 
Exemplo - temperaturas 
 A partir de um diagrama de frequências podemos 
facilmente construir um histograma. 
 
 Histograma: 
Gráfico de barras, onde o eixo vertical contém as 
frequências (ou freqüências relativas) e o eixo 
horizontal contém os intervalos de classes. Muitas 
vezes faz-se a área de cada barra igual à freqüência 
relativa de cada classe, de tal forma que a área total 
sob o histograma é 1 (100%). 
reinaldo@ele.puc-rio.br 39 
Histograma – produção no Excel 
 
 É automática, mas você precisa ter instalado 
antes o suplemento (“add-in”) de ferramentas de 
análise de dados. 
 
 Aliás, este suplemento será muito útil para nós, 
portanto instale-o. 
reinaldo@ele.puc-rio.br 40 
Histograma – produção no Excel 
 
reinaldo@ele.puc-rio.br 41 
Histograma – produção no Excel 
 
Células contendo os dados 
Células contendo os limites dos intervalos (não precisam ser 
especificados) – mas geralmente quando não os especificamos o 
Excel gera uns limites meio “feios” 
reinaldo@ele.puc-rio.br 42 
Histograma – implementação 
no Excel em Português 
reinaldo@ele.puc-rio.br 43 
Histograma – produção no Excel 
 
Histograma
0
5
10
15
20
25
30
35
24 26 28 30 32 34 36 38 acima de 38
Intervalo
Fr
eq
üê
nc
ia
Note que este histograma usa intervalos diferentes 
dos especificados na tabela de freqüência mostrada 
anteriormente 
reinaldo@ele.puc-rio.br 44 
Histograma – Retorno diário do 
preço do petróleo WTI – 01/1991 a 
08/2006 
Histograma - Log Retornos Petróleo WTI - 1991 a 2006 
0
100
200
300
400
500
600
700
800
-1
3.1
%
-1
2.2
%
-1
1.3
%
-1
0.4
%
-9
.5%
-8
.6%
-7
.7%
-6
.8%
-6
.0%
-5
.1%
-4
.2%
-3
.3%
-2
.4%
-1
.5%
-0
.6% 0.
3%
1.
2%
2.
0%
2.
9%
3.
8%
4.
7%
5.
6%
6.
5%
7.
4%
8.
3%
9.
2%
10
.0
%
10
.9
%
11
.8
%
12
.7
%
13
.6
%
14
.5
%
M
or
e
Bin
Fr
eq
ue
nc
y
A grande maioria dos 
retornos diários 
(variações diárias) 
nesta faixa, mas 
também variações 
extremas 
reinaldo@ele.puc-rio.br 45 
Exemplo: Produção da energia 
eólica mensal 
(Icaraizinho - NE). 
 
 
 
 
 
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
Jan
-81
Ma
r-82
Ma
y-8
3
Jul-
84
Sep
-85
Nov
-86
Jan
-88
Ma
r-89
Ma
y-9
0
Jul-
91
Sep
-92
Nov
-93
Jan
-95
Ma
r-96
Ma
y-9
7
Jul-
98
Sep
-99
Nov
-00
Jan
-02
Ma
r-03
Ma
y-0
4
Jul-
05
Sep
-06
Nov
-07
Jan
-09
Ma
r-10
Ma
y-1
1
Jul-
12
Pro
duç
ão 
(% 
pot
ênc
ia m
áxi
ma
)
reinaldo@ele.puc-rio.br 46 
Hitograma 
 Produção da energia eólica mensal (Icaraizinho - NE). 
 
 
 
 0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9%
10%
Fre
q. 
Re
lat
iva
 Ac
um
ula
da
Fre
qü
ên
cia
 Re
lat
iva
 (%
 nú
m.
 ob
s)
Bloco (Produção de energia mensal em % Potência máxima)
Histograma e Frequência Acumulada
(Relativa)
reinaldo@ele.puc-rio.br 47 
Diagrama de Pareto 
 Como fazer um diagrama de Pareto? 
1) Faça um gráfico de barras colocando a freqüência de cada 
tipo de evento no eixo vertical, e arranjando os eventos em 
ordem decrescente de ocorrência. Assim, a primeira barra 
corresponde ao evento que ocorre com mais freqüência, a 
segunda barra diz respeito ao segundo evento mais 
freqüente, e assim por diante. 
 
2) Crie um eixo vertical no lado direito do seu gráfico 
contendo as freqüências relativas acumuladas. Faça uma 
linha juntando as frequências relativas acumuladas e a 
superponha ao gráfico de barras. 
 
reinaldo@ele.puc-rio.br 48 
Exemplo – Consumo Residencial 
 Os dados a seguir representam a distribuição de 
domicílios residenciais por classe de consumo de 
energia elétrica na área de concessão de uma certa 
distribuidora de energia. Os dados referem-se a uma 
pesquisa realizada em 2012 com uma amostra de 2100 
domicílios. 
 
Consumidores Residenciais 
Faixas de consumo número de domicílios frequência relativa 
< 80 kWh 170 (170/2100)x100 = 8,1% 
80 - 150 kWh 467 (467/2100)x100 = 22,24% 
151 - 220 kWh 445 21,19% 
221 - 400 kWh 582 27,71% 
>400 kWh 436 20,76% 
Total 2100 
reinaldo@ele.puc-rio.br 49 
Exemplo – Consumo Residencial 
 O diagrama de Pareto para estes dados é: 
0
100
200
300
400
500
600
221 - 400
kWh
80 - 150
kWh
151 - 220
kWh
>400 kWh < 80 kWh
N
ú
m
e
ro
 d
e
 d
o
m
ic
íl
io
s
 
Faixa de consumo 
Diagrama de Pareto 
reinaldo@ele.puc-rio.br 50 
Medidas Numéricas 
 A partir de agora suponha que os dados 
observados na amostra são x1, x2, ..., xn . 
 n é o tamanho da amostra. 
 A partir dos x's vamos encontrar números que 
resumem as características da amostra. Vamos 
estar interessados em dois tipos principais de 
medidas numéricas: as que caracterizam a 
localização do centro da amostra e as que 
caracterizam a dispersão dos dados. 
reinaldo@ele.puc-rio.br 51 
Medidas Numéricas 
 Medidas de Localização ou de tendência 
central 
 dizem onde está o "meio" dos seus dados 
 exemplo: média e mediana amostrais 
 
 Medidas de Dispersão 
 dizem o quanto os seus dados estão “espalhados” 
 exemplo: desvio padrão e variância amostrais, amplitude 
amostral 
 
reinaldo@ele.puc-rio.br 52 
Medidas de Tendência Central 
 Média Amostral 
 
 
 No Excel: função Média (....) 
 Considere agora a amostra x1, x2, ..., xn e suponha que você 
a ordene, de tal forma que x(1) seja o menor elemento da 
amostra, x(2) seja o segundo menor elemento, ...., x(n) seja o 
maior elemento da amostra. Os valores x(1), x(2), ..., x(n) são 
chamados de estatísticas de ordem da amostra. Outras 
medidas de
tendência central e de dispersão serão 
definidas a partir das estatísticas de ordem. 
 
 



n
i
iX
n
X
1
1
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
Jan
-81
Ma
r-82
Ma
y-8
3
Jul-
84
Sep
-85
Nov
-86
Jan
-88
Ma
r-89
Ma
y-9
0
Jul-
91
Sep
-92
Nov
-93
Jan
-95
Ma
r-96
Ma
y-9
7
Jul-
98
Sep
-99
Nov
-00
Jan
-02
Ma
r-03
Ma
y-0
4
Jul-
05
Sep
-06
Nov
-07
Jan
-09
Ma
r-10
Ma
y-1
1
Jul-
12
Pro
duç
ão 
(% 
pot
ênc
ia m
áxi
ma
)
reinaldo@ele.puc-rio.br 53 
Medidas de Tendência Central 
 Média Amostral: Produção da energia eólica mensal 
(Icaraizinho - NE). 
 
 
 
 
37.5% 
reinaldo@ele.puc-rio.br 54 
Medidas de Tendência Central 
 Média Amostral Condicional: Produção da energia eólica 
mensal (Icaraizinho - NE). 
 
 
 
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
Pr
od
uç
ão
 M
éd
ia 
(%
 Po
t)
Anos do Histórico
Aug Média Aug Feb Média Feb
56% 
22% 
reinaldo@ele.puc-rio.br 55 
Medidas de Tendência Central 
 Mediana 
 É definida a partir das estatísticas de ordem. 
 
 
 
 
 
 
 Por exemplo, se existem 10 observações na amostra, a 
mediana equivale à média entre x(5) e x(6) . Se a amostra 
contém 11 elementos, a mediana é x(5) . A mediana amostral 
é menos influenciada que a média por observações 
aberrantes (“outliers”). 
 
 No Excel é a função med(...) 
 
1
2 2
1
 
2
 se n, o tamanho da amostra, é par
2
 ou 
se n, o tamanho da amostra, é ímpar
n n
n
X X
m
X
   
   
   
 
 
 




 




reinaldo@ele.puc-rio.br 56 
Medidas de Tendência Central 
 Por exemplo, se os seus dados são 1,2,3,4,5, a 
média amostral é: (1+2+3+4+5)/5 = 3 e a mediana 
amostral tem o mesmo valor. 
 Se agora os dados são: 
 1,2,3,4,45, a média amostral é: 
 (1+2+3+4+45)/5 = 11, mas a mediana amostral 
continua sendo 3. 
 Logo, a média amostral foi profundamente 
influenciada por um único valor, e o mesmo não 
aconteceu com a mediana amostral. 
 
 
 
reinaldo@ele.puc-rio.br 57 
Medidas de Dispersão 
 As medidas de tendência central não são as 
únicas medidas necessárias para caracterizar 
uma amostra (ou população). 
 
 Precisamos também saber o quanto as 
observações na amostra estão " espalhadas". 
 
 Por exemplo, no gráfico a seguir as populações 
têm a mesma média, mas certamente a segunda 
distribuição tem maior dispersão. 
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
Pr
od
uç
ão
 M
éd
ia 
(%
 Po
t)
Anos do Histórico
Aug
Feb
reinaldo@ele.puc-rio.br 58 
Medidas de Dispersão: 
Produção da energia eólica mensal 
(Icaraizinho - NE). 
 
Tem maior 
dispersão: 
é mais 
“espalhada” 
em torno da 
média 
reinaldo@ele.puc-rio.br 59 
Medidas de Dispersão 
 Variância Amostral 
 É a medida mais comum de dispersão . A 
variância amostral, denotada por s2 é definida 
como: 
 
 Onde é a média amostral. 
 Note que, por definição, a variância amostral é 
sempre não negativa!!! 
 A unidade de medida da variância é o quadrado 
da unidade de medida das observações, o que 
dificulta a sua interpretação. 
 




n
i
i XX
n
s
1
22
1
1
X
reinaldo@ele.puc-rio.br 60 
Medidas de Dispersão 
 Desvio Padrão Amostral 
 O desvio padrão amostral, denotado por s, é 
definido como a raiz quadrada positiva da 
variância amostral. Pelos comentários anteriores, 
notamos que s é expresso nas mesmas unidades 
de medida que as observações na amostra. 
 
 s s
n
X Xi
i
n
 



2
2
1
1
1
reinaldo@ele.puc-rio.br 61 
Medidas de Dispersão: Produção da 
energia eólica mensal (Icaraizinho - 
NE). 
 
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Pro
du
ção
 M
éd
ia (
% P
ot)
Anos do Histórico
Aug Méd+Desv Aug Média Aug Méd-Desv Aug
Feb Méd+Desv Feb Média Feb Méd-Desv Feb
4.9% 
8.3% 
reinaldo@ele.puc-rio.br 62 
Medidas de Dispersão 
 Coeficiente de variação amostral 
 
 
 É uma medida adimensional, e serve principalmente 
para comparar duas amostras que foram coletadas 
em unidades de medida diferentes, por exemplo, 
uma em cm e outra em polegadas. 
 Amplitude Amostral 
 
 
 
X
s
CV 
mínmáxXXA n  )1()(
reinaldo@ele.puc-rio.br 63 
Como obter estatísticas 
descritivas no Excel? 
 Opção 1 
 Use as funções apropriadas, por exemplo, 
média(..), med(...), máximo(...), mínimo(...), 
desvpad(...), ... 
 Opção 2 
 Use a ferramenta “estatística descritiva” 
dentro das opções de “análise de dados”, 
como indicado na tela a seguir. Várias outras 
estatísticas, como a curtose (que mede o 
“peso” das “caudas”(extremos) e a assimetria, 
são também fornecidas). 
reinaldo@ele.puc-rio.br 64 
Como obter estatísticas 
descritivas no Excel? 
reinaldo@ele.puc-rio.br 65 
Como obter estatísticas 
descritivas no Excel? 
Células contendo os 
dados 
Indicador de nome 
da variável na 1a. 
posição da coluna 
ou linha 
Produzir estatísticas 
descritivas 
reinaldo@ele.puc-rio.br 66 
Percentis 
 O percentil x% é o ponto tal que, a 
probabilidade de estar abaixo dele é x%. 
 
 O percentil 50% é a MEDIANA de um 
conjunto de dados, e qualquer percentil 
entre 0 e 100% pode ser encontrado 
através da função PERCENTIL do Excel. 
reinaldo@ele.puc-rio.br 67 
Percentis: no MS Excel 
 Ordenar o conjunto de dados: {x(i)}i=1,...,n 
 
 O percentil de P%, por exemplo, 40% de um 
conjunto de dados ordenado {15, 20, 35, 40, 50} é 
calculado da seguinte forma: 
 x = (n+1)P/100 = 2.4 
 k = inteiro[x] = 2 
 f = fracionário[x] = 0.4 
 Percentil(P%) = x(k)+f(x(k+1)-x(k)) = 20 + 0.4x15 = 26 
 
 
reinaldo@ele.puc-rio.br 68 
Quartis 
 Primeiro Quartil: Q1 – é o percentil 25%, 
ou seja, 25% das observações estão 
abaixo de Q1 
 
 Segundo Quartil: Q2 - é a mediana 
 
 Terceiro Quartil: Q3 – é o percentil 75% 
reinaldo@ele.puc-rio.br 69 
Estatísticas Descritivas – Retorno 
do Petróleo WTI – 01/1991 a 08/2006 
reinaldo@ele.puc-rio.br 70 
Percentis – Retorno do Petróleo 
WTI – 01/1991 a 08/2006 
5% -3.53%
10% -2.53%
25% -1.17%
50% 0.07%
75% 1.28%
90% 2.51%
95% 3.45%
Percentis
5% dos retornos 
abaixo de -3.53% 
90% dos retornos 
abaixo de +2.51% 
reinaldo@ele.puc-rio.br 71 
Percentil: 
Produção da energia eólica mensal 
(Icaraizinho - NE). 
 
Percentil = 50% 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 
Jan 24.9 24.5 23.6 22.3 20.9 20.1 19.1 17.7 16.4 13.8 
Feb 18.8 18.5 18.2 17.2 16.7 16.0 15.5 14.4 12.1 11.0 
Mar 15.7 14.5 13.7 13.3 12.4 10.5 10.2 9.9 9.5 9.0 
Apr 17.5 16.0 14.3 12.0 11.6 10.6 9.8 9.3 9.2 8.0 
May 24.1 21.8 18.9 17.7 16.5 15.6 14.6 12.5 11.4 10.9 
Jun 30.6 29.4 27.6 27.2 26.9 26.2 25.3 23.5 23.2 21.2 
Jul 37.7 37.2 36.8 36.6 36.4 35.9 33.7 30.7 27.7 26.5 
Aug 54.6 54.4 53.7 53.4 52.6 51.9 50.6 50.3 49.7 47.7 
Sep 62.1 61.9 61.0 60.4 60.1 58.3 56.3 54.3 51.2 49.7 
Oct 58.3 57.9 56.3 56.0 55.3 54.3 51.3 50.6 48.7 46.2 
Nov 52.3 51.9 51.5 50.4 49.7 48.4 47.5 45.4 44.6 41.0 
Dec 39.9 39.5 38.7 37.4
35.2 31.9 31.5 28.0 27.0 21.4 
Média 36.4 35.6 34.5 33.7 32.8 31.6 30.4 28.9 27.6 25.5 
50% 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 
Todos os 
meses 35.8 32.1 29.1 27.2 24.9 22.4 18.8 17.1 14.4 11.2 
reinaldo@ele.puc-rio.br 72 
Percentil: 
Produção da energia eólica mensal 
(Icaraizinho - NE). 
 
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
50%
55%
60%
65%
70%
75%
80%
85%
90%
95%
100%
 - 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0
Fre
qu
ên
cia
 Re
lat
iva
 A
cu
mu
lad
a
Produção de energia (% potência máxima)
Feb Aug
reinaldo@ele.puc-rio.br 73 
Análise dos Retornos do 
IBOVESPA 
 Considere agora os retornos diários do 
IBOVESPA no período entre 04 de julho de 1994 e 
06/08/2004. 
 
 Defina o retorno diário entre os dias t e t + 1 
como: 
 
 
 Onde log denota o logaritmo natural (base e) e Pt 
e Pt+1 são, respectivamente, os preços nos dias t e 
t + 1. 
 O retorno definido acima é chamado de retorno 
geométrico. 
 






 
t
t
t
P
P
R 11 log
reinaldo@ele.puc-rio.br 74 
Histograma dos Retornos 
IBOVESPA 
Histograma dos retornos diários do IBOVESPA
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
-7.00%
-6.50%
-6.00%
-5.50%
-5.00%
-4.50%
-4.00%
-3.50%
-3.00%
-2.50%
-2.00%
-1.50%
-1.00%
-0.50%
0.00%
0.50%
1.00%
1.50%
2.00%
2.50%
3.00%
3.50%
4.00%
4.50%
5.00%
5.50%
6.00%
6.50%
7.00%
M
ais
Bloco
Fr
eq
üê
nc
ia
reinaldo@ele.puc-rio.br 75 
Percentis dos Retornos 
Percentil Retorno Correspondente
1.0% -6.75%
5.0% -3.90%
10.0% -2.74%
25.0% -1.24%
50.0% 0.13%
75.0% 1.48%
90.0% 2.69%
95.0% 3.66%
99.0% 6.63%
reinaldo@ele.puc-rio.br 76 
Análise dos Retornos do 
IBOVESPA 
 Uso da função “freqüência” 
 Produz a freqüência (número de ocorrências 
num determinado intervalo). 
 Por exemplo, dentre 2501 retornos diários do 
IBOVESPA, a referência: 
 FREQÜÊNCIA(E$3:E$2503;G7) significa: 
 Olhe para todos os dados em E$3 a E$2503 (são 
os retornos diários) e conte QUANTOS estão 
ABAIXO do valor em G7. 
 O gráfico destas frequências é mostrado na 
próxima página. 
 
reinaldo@ele.puc-rio.br 77 
Análise dos Retornos do 
IBOVESPA 
Frequüências Acumuladas - Retornos Diários
-
500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
-1
5.0
0%
-7
.00
%
-6
.50
%
-6
.00
%
-5
.50
%
-5
.00
%
-4
.50
%
-4
.00
%
-3
.50
%
-3
.00
%
-2
.50
%
-2
.00
%
-1
.50
%
-1
.00
%
-0
.50
%
0.
00
%
0.
50
%
1.
00
%
1.
50
%
2.
00
%
2.
50
%
3.
00
%
3.
50
%
4.
00
%
4.
50
%
5.
00
%
5.
50
%
6.
00
%
6.
50
%
7.
00
%
20
%
30
%
reinaldo@ele.puc-rio.br 78 
Análise dos Retornos do 
IBOVESPA 
 Se dividirmos cada uma destas freqüências 
por 2501 obtemos as freqüências relativas 
acumuladas – veremos mais tarde que isso 
é uma aproximação para a função de 
distribuição acumulada. 
 
 Veja o próximo gráfico. 
reinaldo@ele.puc-rio.br 79 
Análise dos Retornos do 
IBOVESPA 
Frequüências Relativas Acumuladas - Retornos Diários
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
50%
55%
60%
65%
70%
75%
80%
85%
90%
95%
100%
-1
5.0
0%
-7
.00
%
-6
.50
%
-6
.00
%
-5
.50
%
-5
.00
%
-4
.50
%
-4
.00
%
-3
.50
%
-3
.00
%
-2
.50
%
-2
.00
%
-1
.50
%
-1
.00
%
-0
.50
%
0.
00
%
0.
50
%
1.
00
%
1.
50
%
2.
00
%
2.
50
%
3.
00
%
3.
50
%
4.
00
%
4.
50
%
5.
00
%
5.
50
%
6.
00
%
6.
50
%
7.
00
%
20
%
30
%
reinaldo@ele.puc-rio.br 80 
Assimetria 
 O coeficiente de assimetria amostral é 
definido como: 
 
 
 
 
 
2/3
1
2
1
3
2/3
1
2
1
3
3
1
1






































n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
XX
XXn
XX
n
XX
n
Se o coeficiente é zero, seus dados são simétricos em torno da 
média. 
Se o coeficiente é positivo (assimetria positiva), existem 
valores “grandes” maiores que a média => existe uma cauda 
comprida para a direita. 
reinaldo@ele.puc-rio.br 81 
Assimetria 
 
 
 
 
 
 Na curva A acima a 
assimetria é positiva, 
a curva B é simétrica 
e a curva C tem 
assimetria negativa. 
 
 
 
 
 
 
 Em geral, se a 
assimetria é positiva, a 
média é MAIOR que a 
mediana. 
 
 O oposto ocorre se a 
assimetria é negativa (em 
geral média MENOR que a 
mediana). 
reinaldo@ele.puc-rio.br 82 
Assimetria 
Dados com assimetria 
positiva 
Dados simétricos 
reinaldo@ele.puc-rio.br 83 
Curtose 
 É uma medida do “achatamento” de uma 
distribuição de probabilidade. 
 
 Como a distribuição Normal tem curtose 
igual a 3, usualmente define-se: “excesso 
de curtose”, ou seja, o quanto uma 
distribuição de probabilidade tem mais 
curtose que a Normal e “falta de curtose”, 
quanto uma distribuição de probabilidade 
tem menos curtose que a Normal. 
reinaldo@ele.puc-rio.br 84 
Curtose 
 Distribuições de retornos de ativos 
financeiros geralmente tem a “cara” de 
uma Normal, mas com excesso de 
curtose! 
  Ao lado, a curva B 
(mesocurtica) é a Normal 
padrão, a curva C (platicurtica) 
tem excesso de curtose e 
curva A (leptocurtica) tem falta 
de curtose. 
reinaldo@ele.puc-rio.br 85 
Curtose 
 A fórmula do excesso de curtose é: 
 
 
 
 
 
 Note que, se os seus dados são Normais, esta 
medida é próxima de zero. 
o Se k4 for igual a zero a curva é mesocurtica. 
o Se k4 for maior que zero a curva é platicurtica. 
o Se k4 for menor que zero a curva é leptocurtica. 
 
 
 
 
 
4
1
4 2
2
1
3
n
i
i
n
i
i
n X X
X X
 


 
 
 
 


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86 
Exercício1 (para casa) 
 Tomou-se uma amostra de 60 estudantes que fizeram uma 
prova, e, a estatística descritiva, diagrama de frequência e 
gráfico das notas da prova estão a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
Média 5,4 
Erro padrão 0,3 
Mediana 5,6 
Moda 3,8 
Desvio padrão 2,6 
Variância da amostra 7,0 
Curtose -1,2 
Assimetria -0,1 
Intervalo 8,4 
Mínimo 1,2 
Máximo 9,6 
Soma 325,7 
Contagem 60,0 
Bloco Freqüência 
Frequência relativa 
acumulada 
≤ 1,2 1 1,67% 
(1,2 - 2,4] 11 20,00% 
(2,4 - 3,6] 4 26,67% 
(3,6 - 4,8] 9 41,67% 
(4,8 - 6,0] 10 58,33% 
(6,0 - 7,2] 8 71,67% 
(7,2 - 8,4] 5 80,00% 
> 8,4 12 100,00% 
reinaldo@ele.puc-rio.br 
87 
Exercício1 (para casa) 
 Histograma 
 
 
 
 
 
 
 
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88 
Exercício1 (para casa) 
 Pergunta-se: 
a) 80 % dos alunos, tiraram notas menores ou igual a 
8,4. 
 V ( ) ou F ( ). 
b) 60 % das notas dos alunos estão entre 1,2 e 8,4. 
 V ( ) ou F ( ). 
c) Os valores da média e mediana permitem dizer que a 
distribuição é simétrica. 
 V ( ) ou F ( ). 
d) Podemos dizer que 20% dos alunos tiraram notas 
menores ou igual a 2,4. 
 V ( ) ou F ( ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
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89 
Exercício1 (para casa) 
e)
A assimetria negativa indica que existem mais notas 
altas e menos notas baixas. 
 V ( ) ou F ( ). 
 f) Podemos dizer que a nota 5,4 é a que mais vezes 
acontece. 
 V ( ) ou F ( ). 
g) O coeficiente de Variação conforme a estatística 
descritiva é igual a 1,296. 
 V ( ) ou F ( ). 
h) Construa o diagrama de Pareto desta amostra, 
montando em blocos onforme o diagrama de 
frequência dado (esboce o gráfico). 
 
 
 
 
 
 
 
 
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90 
Exercício1 (para casa) 
i)- Na tabela abaixo, temos o diagrama de frequência de uma 
amostra de 50 elementos onde: os intervalos [Li-1-L1) são 
iguais; : é o ponto médio de cada classe (intervalo); fi: 
frequência absoluta simples; Fi: frequência cumulada. 
 - Preencher os espaços vazios do diagrama de frequência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Li-1-L1) fi Fi xifi 
[160 – 180) 850 
190 
27 2730 
9 
 -260) 1500 
50 
ix
ix