APRESENTACAO_SISTEMAS_AULA_4

Prévia do material em texto

Resolução de Sistemas Lineares 
 
 
 
 
 Introdução 
 
 
 
 
 
 Sistema Linear: 





4yx
10yx
 





3y
7x
 
 
 
 
 
 
 
 Representação matricial: 



















 4
10
y
x
11
11
 
 
 
 
 Solução: 













3
7
y
x
 
 
 
 Método Direto 
 
 Método de Eliminação de Gauss 
 
 
 Consiste em transformar o sistema linear original em um sistema equivalente com matriz de coeficientes 
triangular superior. Exemplo: 
 








7zyx2
5z2yx
6zyx
 

































7
5
6
112
211
111
z
y
x
 
 
 
 
 
1
11
31
33
1
11
21
22
L
a
a - L L
L
a
a - L L
7
5
6
112
211
111 











  
2
22
32
33 La
a
 - L L
5
1
6
110
120
111 













  














2/9
1
6
2/300
120
111
 
 
 
Reescrevendo na forma original: 



































2/9
1
6
z
y
x
2/300
120
111
 
 
 
 Resolvendo o sistema anterior, através da retro-substituição, vem: 
 
 
2
9z
2
3 

 13y2  632x  
3z  2y  1x  
 
 Métodos Iterativos 
 
Consiste em repetir um procedimento padrão até obter a convergência desejada. Seja o sistema de 
equações lineares: 
 








3333231
2232221
1131211
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
 Matricialmente, vem: 
































3
2
1
333231
232221
131211
b
b
b
z
y
x
aaa
aaa
aaa
     bxA  
 diagonal principal 
 
 Explicitando-se a incógnita relacionada com a diagonal principal da matriz  A , tem-se: 
 
)y,x(zz)y.ax.ab(
a
1z
)z,x(yy)z.ax.ab(
a
1y
)z,y(xx)z.ay.ab(
a
1x
32313
33
23212
22
13121
11



 
 
 A idéia principal dos métodos iterativos para solução de equações lineares consiste em adotar valores 
para as incógnitas (x, y, z), neste caso, e aplicá-los ao lado direito do sistema (2º membro), obtendo assim 
novos valores no lado esquerdo. 
 Repetir o processo até que a solução seja atendida: 
 























































)3()3()2()2()1(
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
 
 
 Método de Gauss-Jacobi 
 
 
 Decorrente do exposto anteriormente, pode-se estabelecer um processo iterativo: 
 
 
)y,x(zz)yaxab(
a
1z
)z,x(yy)zaxab(
a
1y
)z,y(xx)zayab(
a
1x
)n()n()1n()n(32)n(313
33
)1n(
)n()n()1n()n(23)n(212
22
)1n(
)n()n()1n()n(13)n(121
11
)1n(






 
 
 
 O algoritmo apresentado anteriormente define o método de Jacobi. 
 
 
Exemplo: Resolver o sistema de equações abaixo através do Método da Jacobi considerando 
0 e 2 casas decimais: 
 
 
 





7,4y4x
5,7yx6
 considerando: 













1
1
y
x )1(
, 
 
 
 
Representação matricial: Algoritmo: 
 



















7,4
5,7
y
x
41
16
 
)x7.4(
4
1y
)y5,7(
6
1x
)n()1n(
)n()1n(




 
 
1ª Iteração (n=1) 
 
)2(x 1/6 (7,5 – 1) = 1,08 )1()2( xx  
)2(y 1/4 (4,7 – 1) = 0,93 )1()2( yy  
 
 
2ª Iteração (n=2) 
 
)3(x 1/6 (7,5 – 0,93) = 1,10 )2()3( xx  
)3(y 1/4 (4,7 – 1,08) = 0,91 )2()3( yy  
 
 
3ª Iteração (n=3) 
 
)4(x 1/6 (7,5 – 0,91) = 1,10 )3()4( xx  
)4(y 1/4 (4,7 – 1,10) = 0,90 )3()4( yy  
 
 
4ª Iteração (n=4) 
 
)5(x 1/6 (7,5 – 0,90) = 1,10 )4()5( xx  
)5(y 1/4 (4,7 – 1,10) = 0,90 )4()5( yy  
 
 
 
 
Solução do sistema: 













90,0
10,1
y
x
 
 
 
 
 
 
 
 Método do Gauss-Seidel 
 
 É uma otimização do método de Jacobi. Utiliza os valores mais atuais no processo. O algoritmo o Método 
de Gauss-Seidel tem a forma: 
 
 
 
 )1n(32)1n(313
33
)1n(
)n(
23
)1n(
212
22
)1n(
)n(
13
)n(
121
11
)1n(
yaxab
a
1z
zaxab
a
1y
ayab
a
1x






 
 
 O algoritmo apresentado anteriormente define o método de Gauss-Seidel. 
 
 
Exemplo: Resolver o sistema abaixo utilizando 2 casas decimais nos cálculos e 0 : 
 



















7,4
5,7
y
x
41
16
 considerando: 













1
1
y
x )1(
 
 
Algoritmo: 
 
 )1n()1n(
)n()1n(
x7,4
4
1y
y5,7
6
1x




 
 
1ª Iteração (n=1) 
 
)2(x 1/6 (7,5 -1) = 1,08 )1()2( xx  
)2(y 1/4 (4,7 -1,08) = 0,91 )1()2( yy  
 
2ª Iteração (n=2) 
 
)3(x 1/6 (7,5 – 0,91) = 1,10 )2()3( xx  
)3(y 1/4 (4,7 – 1,10) = 0,90 )2()3( yy  
 
 
3ª Iteração (n=3) 
 
)4(x 1/6 (7,5 – 0,90) = 1,10 )3()4( xx  
)4(y = 1/4 (4,7 – 1,10) = 0,90 )3()4( yy  
 
 
Solução do sistema: 













90,0
10,1
y
x
 
 
 Exercícios: 
 
1) Resolver o sistema abaixo através do método de Eliminação de Gauss, empregando duas casas decimais. 
 








4r4qp
2rq4p
6rqp4
 
 
2) Resolver o sistema abaixo pelo Método de Jacobi, empregando 4 casas decimais, adotando 





















1
1
1
z
y
x )1(
 e 
02,0 : 
 








6z10y3x2
8zy5x
7zy2x10
 Lembrando que: )n()1n(x xx 
 
 
3) Resolver o sistema a seguir considerando 





















1
1
1
z
y
x )1(
 pelo Método de Gauss-Seidel, adotando 210x2  
e 4 casas decimais. 
 








6z10y3x2
8zy5x
7zy2x10
 
 
 
 
Respostas: 
Solução nº1: 





































47,4
5,3
6
47,425,10
75,025,40
114
5,5
5,3
6
25,425,10
75,025,40
114
4
2
6
411
141
114 1L.29.0LL1L.25.0LL
1L.25.0LL
3333
22
































47,4
5,3
6
r
q
p
47,400
75,025,40
114
 
 
 Resolvendo o sistema anterior, através da retrosubstituição, vem: 
 
47,4r47,4  5,3r75,0q25,4  6rqp4  
1r  1q  1p  
 
Solução nº2: 
Algoritmo: 
)y3x26(
10
1z
)zx8(
5
1y
)zy27(
10
1x
)n()n()1n(
)n()n()1n(
)n()n()1n(






 
1ª Iteração (n=1) 
 
)2(x 1/10 [7 - 2(-1) - (1)] = 0,8 2,0x  
)2(y 1/5 [-8 - (1) - (1)] = -2 0,1y  
)2(z 1/10 [6 - 2(1) - 3(-1)] = 0,7 3,0z  
 
2ª Iteração (n=2) 
 
)3(x 1/10 [7 - 2(-2) - (0,7)] = 1,03 23,0x  
)3(y 1/5 [-8 - (0,8) - (0,7)] = -1,9 1,0y  
)3(z 1/10 [6 - 2(0,8) -3(-2)] = 1,04 34,0z  
 
3ª Iteração (n=3) 
 
)4(x 1/10 [7 - 2(-1,9) - (1,04)] = 0,976 054,0x  
)4(y 1/5 [-8 - (1,03) - (1,04)] = -2,014 114,0y  
)4(z 1/10 [6 - 2(1,03) -3(-1,9)] = 0,964 076,0z  
 
4ª Iteração (n=4) 
 
)5(x 1/10 [7 - 2(-2,014) - (0,964)] = 1,0064 0304,0x  
)5(y 1/5 [-8 - (0,976) - (0,964)] = -1,988 026,0y  
)5(z 1/10 [6 - 2(0.976) -3(-2.014)] = 1,009 045,0z  
 
 
5ª Iteração (n=5) 
 
)6(x 1/10 [7 - 2(-1,988) - (1,009)] = 0,9967  0097,0x 
)6(y 1/5 [-8 - (1,0064) - (1,009)] = -2,0031  0151,0y 
)6(z 1/10 [6 - 2(1,0064) -3(-1,988)] = 0,9951  0139,0z 
 
 
Solução do sistema: 





















9951,0
0031,2
9967,0
z
y
x
 
 
 
Solução nº3: 
 
Algoritmo: 
)y3x26(
10
1z
)zx8(
5
1y
)zy27(
10
1x
)1(n)1(n)1(n
(n))1(n)1(n
(n)(n))1(n






 
 
 
1ª Iteração (n=1) 
 
)2(x 1/10 [7 - 2(-1) - (1)] = 0,8 2,0x  
)2(y 1/5 [-8 - (0.8) - (1)] = -1,96 96,0y  
)2(z 1/10 [6 - 2(0.8) - 3(-1.96)] = 1,028 028,0z  
 
2ª Iteração (n=2) 
 
)3(x 1/10 [7 - 2(-1,96) - (1,028)] = 0,9892 1892,0x  
)3(y 1/5 [-8 - (0,9892) - (1,028)] = -2,0034 0434,0y  
)3(z = 1/10 [6 - 2(0,9892) -3(-2,0034)] = 1,0032 0248,0z  
 
 
3ª Iteração (n=3) 
 
)4(x 1/10 [7 - 2(-2,0034) - (1,0032)] = 1,0004  0112,0x 
)4(y 1/5 [-8 - (1,0004) - (1,0032)] = -2,0007  0027,0y 
)4(z 1/10 [6 - 2(1,0003) -3(-2,0007)] = 1,0001  0031,0z 
 
 
Solução do sistema: 





















0001,1
0007,2
0004,1
z
y
x