Terceira Lista de Exercícios - Derivadas (resolução)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN–DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Ca´lculo 1 - 3 a Lista de Exerc´ıcios - Soluc¸o˜es
Prof. Ce´sar Castilho
Enviar correc¸o˜es para castilho@dmat.ufpe.br
1 - Calcule dy
dx
:
a) y = sin(3 x)x, y′ = 3 cos(3 x)x + sin(3 x) .
b) y = tan(4 x) y′ = sec2(4 x) 4 .
c) y = cos(3 x2) y′ = sin(3 x2) 6 x .
d) y = tan(cos(
√
2x)) y′ = − sec2(cos(
√
2 x)) sin(
√
2 x)
√
2 .
e) y =
x2 + 1
sin(x2 + 1)
y′ =
2x sin(x2 + 1)− (x2 + 1) cos(x2 + 1) 2 x
sin2(x2 + 1)
.
f) y = cot(x3 + 2) y′ = − csc(x3 + 2) 3 x2 .
g) y = x−2 +
5
sin2(x)
y′ = −2 x−3 − 10 sin−3(x) .
h) y = sin(cos(x2)) y′ = − cos(cos(x2)) sin(x2) 2 x .
i) y = cos(pi) y′ = 0 .
j) y = sin(x2 + 3 x+ cos(x)) y′ = cos(x2 + 3 x+ cos(x)) (2x+ 3− cos(x)) .
k) y =
x2 + 1
x
+
1
sin(x)3
y′ = 1− 1
x2
− 3 sin−4(x) cos(x) .
l) y = (
tan(x)
x sin(x2)
+
1 + x3
sin(x)
)
y′ =
sec2(x)x sin(x2)− tan(x) (sin(x2) + x cos(x2) 2)
x2 sin2(x2)
+
3x2 sin(x)− (1 + x3) cos(x)
sin2(x)
.
2- Calcule d
2y
dx2
:
1) y = sin(2 x)
y′ = cos(2 x) 2 ,
y′′ = −4 sin(2 x) .
2) y = tan(x)
y′ = sec2(x) ,
y′′ = 2 sec(x) sec(x) tan(x) = 2 sec2(x) tan(x) .
3) y = sin(cos(x))
y′ = − cos(cos(x)) sin(x) ,
y′′ = − sin(cos(x)) sin2(x)− cos(cos(x)) cos(x) .
4) y = csc(x)
y′ = − csc(x) cot(x) ,
y′′ = csc(x) cot2(x) + csc3(x) .
5) y = tan(x2)− 1
x2
y′ = 2 x sec2(x2) + 2 x−3 ,
y′′ = 2 sec2(x2) + 8 x2 sec2(x2) tan(x2)− 6 x−4 .
6) y = sin(x2)
y′ = 2 x cos(x2) ,
y′′ = 2 x cos(x2)− 4x2 sin(x2) .
7) y = sec(x)
y′ = sec(x) tan(x) ,
y′′ = sec2(x) tan(x)− sec3(x) .
8) y = sin2(x)
y′ = 2 sin(x) cos(x) = sin(2 x),
y′′ = 2 cos(2 x) .
9) y = sin(3 x2 + cos(x))
y′ = cos(3 x2 + cos(x)) (6 x− sin(x)) ,
y′′ = − sin(3 x2 + cos(x)) (6 x− sin(x))2 + cos(3 x2 + cos(x)) (6− cos(x)) .
3- Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o y(x) no ponto dado:
a) y = sin(x) x =
pi
4
y =
√
2
2
+
√
2
2
(x− pi
4
) .
b) y = sin(x2) x =
√
pi
2
y =
√
2
2
+
√
2pi
2
(x−
√
pi
2
) .
c) y =
x− 1
1 + x2
x = 2
y =
1
5
+
1
25
(x− 2), .
d) y =
sin(x)
1 + x2
x = pi
y = − 1
(1 + pi)2
(x− pi) .
e) y =
x2 − 1
x
x = 3.
y =
8
3
+
10
9
(x− 3) .