A construção do número

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ALINE VACCARI
DÉBORA VAILATI
EDINÉIA MOREIRA DE SOUZA
A CONSTRUÇÃO DO NÚMERO
Trabalho a ser apresentado e entregue ao professor Dionísio Burak na disciplina de Tópicos em Matemática, feito pelas alunas do 4º ano do curso de Matemática/manhã, no Campus Universitário de Guarapuava – UNICENTRO.
GUARAPUAVA
MAIO 2012
RESUMO
O presente trabalho apresenta um estudo de como o número é construído pela criança, para isso foi feito um estudo da teoria piagetiana que explica a construção do número pela criança e os diversos conhecimentos que são adquiridos por ela, e também algumas das estruturas mentais desenvolvidas pela criança, como ordem, inclusão hierárquica e conservação de quantidades, além de mostrar como se dá a construção do conjunto dos números naturais por Peano, nos chamado Axiomas de Peano. No que diz respeito ais números primos, o trabalho mostra algumas das tentativas de encontrar uma expressão geral que determine todos os números primos, já que Euclides provou que eles são infinitos. Dentre as formas para determinarmos esses números, apresentamos o conhecido Crivo de Eratóstenes, método utilizado para determinarmos quais os números primos inferior um determinado número. Além disso, explicitaremos o Teorema Fundamental da Aritmética, que nos garante a decomposição em fatores primos de um número de maneira única.
SUMÁRIO
	1. INTRODUÇÃO
	4
	2. A CRIANÇA E O CONCEITO DE NÚMERO
	6
	3. E OS ESTÁGIOS DE DESENVOLVIMENTO HUMANO 
	9
	4. OS NÍVEIS DE DESENVOLVIMENTO E RELAÇÕES RELAÇÃO DE CONSERVAÇÃO
	11
		4.1 IMPLICAÇÕES DA CONSERVAÇÃO DO PONTO DE VISTA DO ENSINO E DE APRENDIZAGEM
	12
	5. PROCESSOS DE CONSTRUÇÃO DA ARITMÉTICA: SINTÉTICO E AXIOMÁTICO 
	13
		5.1 OS AXIOMAS DE PEANO
	14
	6. O CRIVO DE ERATÓSTENES
	15
		6.1. ERATÓSTENES
	15
		6.2. O CRIVO DE ERATÓSTENES
	16
	7. OS NÚMEROS PRIMOS
	17
	8. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA
	18
	9. O MÁXIMO DIVISOR COMUM
	19
	10. CONSIDERAÇÕES FINAIS
	21
	11. REFERÊNCIAS.
	22
1. INTRODUÇÃO
Desde pequenos, as crianças já têm contato com a forma mais intuitiva de contagem de objetos, porém, essa forma de contagem, já existe desde os tempos mais primórdios que estavam ligados à atividade do pastoreio que, ao longo do tempo, essa forma de contagem foi aprimorada, por meio das diversas situações que apareceram na vida do ser humano, que requeriam procedimentos mais elaborados para atender as suas necessidades.
Porém, tais procedimentos de contagem precisavam de regras que os descrevessem. Peano foi o matemático que conseguiu esta façanha, desenvolvendo o conjunto numérico dos números naturais de forma clara e intuitiva.
Ao pensarmos nos números naturais, nos indagamos sobre a forma que este conhecimento se dá na criança, mais especificamente as que cursam as séries iniciais do ensino fundamental. Para isso, torna-se necessário conhecermos a teoria de Piaget sobre a construção do número na criança.
Desse modo faremos uma breve descrição de com as crianças adquirem o conceito de número e, para isso, se faz necessário descrevermos os três tipos de conhecimentos citados por Piaget: o conhecimento físico (conhecimento que se dá por meio de propriedades externas de determinado objeto), o conhecimento lógico-matemático (se dá por meio de relações feitas a partir da observação do objeto) e o conhecimento social (que é adquirido por meio das relações sociais). Além de descrevermos, os níveis de desenvolvimento na criança, em que passa por um período intuitivo, chamado de pré-operatório. A criança também passa pela fase em que ela deve estabelecer as relações de conservação, classificação, seriação, ordem, e inclusão hierárquica.
Do outro lado temos a construção do número naturais por meio de axiomas, que são os chamados axiomas de Peano, fazendo com que os números sejam estabelecidos de forma rigorosa para serem validados pela matemática formal.
Os números primos apesar de sua aparência simples despertaram e ainda despertam muita curiosidade nos matemáticos. Eratóstenes elaborou um método para determinarmos todos os números primo até um determinado limite, e tal método é considerado por nós a maneira mais eficiente de encontrá-los.
Analisando a demonstração do Teorema Fundamental da Aritmética, que existe muita relação entre a sua forma de prova com a maneira de calcular o máximo divisor comum de dois números.
2. A CRIANÇA E O CONCEITO DE NÚMERO
Na maioria das vezes as pessoas pensam que quando as crianças são capazes de recitar os números verbalmente, que é elas já formaram o conceito de número, porém esta ideia é muito errada pois, para que a criança seja capaz de construir o número ele deverá ter a noção de conservação do número que segundo Kamii (1987) “conservar o número significa que a quantidade continua a mesma quando o arranjo espacial dos objetos foi modificado”. Uma experiência que podemos realizar com as crianças para saber se as crianças conservam os números é a seguinte: dispor de oito fichas vermelhas e oito fichas azuis, colocar em filas as fichas e pedir à crianças que a contem, e logo em seguida mudar a disposição das filas, e fazer perguntas como – Existem tantas vermelhas quanto as azuis, ou a mais aqui (azul) ou mais aqui ( vermelha)? Como é que você sabe? Ou seja, o número sempre será o mesmo não importa a forma como está representado. 
A noção de conservação é de extrema importância, pois quando a criança se depara com as operações matemáticas ela precisa desta noção para que possa realizá-las, isto é explicitado quando ela deve fazer as trocas de dezena por unidades, ou vice-versa, ou então representar os números no sistema monetário, por exemplo, se ela não desenvolveu ainda a noção de conservação ela terá muita dificuldade ao realizar as representações. O trabalho do educador nesse momento segundo Kamii (1987) é de “favorecer o desenvolvimento desta estrutura, em vez de tentar ensinar as crianças darem respostas corretas e superficiais na tarefa de conservação”, trabalho que deve ser desenvolvido na criança na Educação Infantil, por meio de diversas situações apresentadas a elas, pois é por volta dos cinco ou seis anos que as crianças completam a tarefa de conservar, assim esta noção será precisa para que possa entender as operações matemáticas nos anos seguintes da vida escolar.
Deste modo se as crianças conseguirem construir os pequenos números com as mais diversas situações apresentadas a elas, poderão prosseguir na construção de números mais altos com os mesmos processos cognitivos utilizados na construção dos números menores isto é explicitado em Kamii (1987) “ Se as crianças constroem os pequenos números elementares ao colocarem todos os tipos de coisas em todos os tipos de relações, elas devem persistir ativamente na mesma espécie de pensamento para completar a estruturação do resto da série”
Enfim a construção do número não se dá por meio da linguagem verbal e da trocas de experiência somente, segundo os estudos de Piaget se dá por meios das diversas relações que as crianças fazem dos mais variados objetos, de acordo com Kamii (1987)
A noção de número só pode emergir a a partir da atividade de colocar todos os tipos de coisas em todos os tipos de relações, daí decorre que o primeiro principio de ensino é o de atribuir importância ao fato de encorajar as crianças a estarem alertas e colocarem todas as espécies de objetos, eventos e ações em todos os tipos de relações.
Desta maneira a criança aprenderá a levantar hipóteses, deduções acerca de um tema apresentado a ela em uma estrutura lógica nas amplas tarefas mais difíceis que a da conservação. Tornando-a capaz raciocinar matematicamente e não apenas dar respostas corretas em atividades de conservação.
Embora a criança seja o principal agente envolvido no processo de construção do número, não significa
que o professor cruzará os braços e esperará que isso aconteça naturalmente sem nenhuma intervenção dele, o papel do professor é o preparar atividades que estimulem as crianças a fazer relações em torno de atividades que propiciem a construção do número.
O professor deve priorizar o ato de encorajar a criança a pensar ativa e autonomamente em todos os tipos de situações. Uma criança que pensa ativamente, à sua maneira, incluindo quantidades, inevitavelmente constrói o número. A tarefa do professor é a de encorajar o pensamento espontâneo da criança, o que é muito difícil porque a maioria de nós foi treinada para obter das crianças a produção de respostas “certas”. (KAMII, 1987)
É nas diversas relações feitas pelos alunos que o professor deve conferir o nível de desenvolvimento lógico matemático. Segundo, Jean Piaget há três tipos de conhecimento: físico, lógico-matemático e social, em que o conhecimento físico está num extremo e o conhecimento lógico-matemático no outro.
O conhecimento físico é o conhecimento dos entes da realidade externa que são percebidos por meio da observação. Como por exemplo, as cores, formas dos objetos, o conhecimento de que se deixarmos um objeto solto no ar cairá, também é um exemplo conhecimento físico.
O conhecimento lógico-matemático são as relações que podem ser feitas por meio da observação, ou seja, por meio do conhecimento físico, são as semelhanças, diferenças, o peso, etc. "A diferença é uma relação criada mentalmente pelo indivíduo que relaciona os dois objetos”. (KAMII, 1987).
Quando a criança consegue coordenar relações de igualdade, diferença e mais, ela é capaz de entender que há mais pessoas no mundo do que em Guarapuava, por exemplo, e também entender as operações, se ela coordena a relação entre os números envolvidos. Assim o conhecimento físico é fonte externa do conhecimento e o conhecimento lógico matemático é fonte interna do conhecimento.
Piaget criou dois tipos de abstração: uma esta relacionada com a abstração das propriedades envolvidas nos objetos, em que a criança focaliza sua atenção em uma certa propriedade do objeto, que chamou de abstração empírica e a outra relacionada com a abstração do número em que a criança faz várias relações em sua mente sem focalizar em uma apenas, que chamou de abstração reflexiva. 
Sendo assim os dois tipos de abstração não podem existir sem o outro. “Por exemplo, a criança não poderia construir a relação de diferença sem que pudesse observar propriedades de diferença entre os objetos” (KAMII, 1987). Porém, depois dos estágios sensório motor e pré operacional a abstração física poderá ocorrer sem a abstração empírica, pois ela já adquiriu uma certa experiência e poderá proceder sem abstração empírica, um exemplo disto é o fato de que se a criança já entendeu que a multiplicação é soma de parcelas iguais por abstração empírica, ela não precisará de recorrer toda vez as somas, basta ela saber quanto que é o resultado por abstração reflexiva, outro exemplo é o de se a criança já aprendeu os números até 10, os outros números maiores como por exemplo o 999 e 1000, são aprendidos por abstração reflexiva pois fica impossível de aprender por abstração empírica.
Na construção do número a criança elabora duas relações por abstração reflexiva: a síntese de ordem e a inclusão hierárquica, em que a ordenação de objetos para contagem é indispensável, porém não é a única operação mental da criança, pois se fosse deste modo a criança ao contar objetos consideraria apenas um de cada vez sem, em vez de um grupo de muitos ao mesmo tempo.
Outra relação que a criança faz por abstração reflexiva é a reversibilidade que consiste em realizar ações opostas simultaneamente, abstração importante no momento em que confere, por exemplo, o resultado de uma operação, em que se deve fazer a operação inversa para saber se procedeu da maneira certa.
O conhecimento Social são conhecimentos adquiridos por meio da convivência com pessoas, assim um mesmo objeto tem diversas denominações, porém seu significado é universal.
As palavras um, dois, três quatro são exemplos de conhecimento social. Cada idioma tem um conjunto de palavras diferente que serve para o ato de contar. Contudo, a ideia subjacente de número pertence ao conhecimento lógico-matemático, o qual é universal. (KAMII, 1987).
Assim no mundo social podem-se ensinar as crianças a dar respostas certas, mas não ensinar as relações que estão envolvidas nos processos.
3. E OS ESTÁGIOS DE DESENVOLVIMENTO HUMANO 
Piaget desenvolveu estudos científicos em diversos campos como a psicologia do desenvolvimento, epistemologia genética e a teoria cognitiva. Esta teoria epistemológica (epistemo = conhecimento; e logia = estudo) é caracterizada como interacionista.
O indivíduo tende a um equilíbrio, que está relacionado a um comportamento adaptativo em relação à natureza, que por sua vez sugere um sujeito de características biológicas inegáveis, as quais são  fonte de construção da inteligência. O desenvolvimento e caracterizado por um processo de sucessivas equilibrações. O desenvolvimento psíquico começa quando nascemos e segue até a maturidade, sendo comparável ao crescimento orgânico: com este, orienta-se, essencialmente, para o equilíbrio (PIAGET, 1974).
Segundo Piaget, o desenvolvimento passa por quatro diferentes estágios: 
O sensório-motor (0 a 2 anos aproximadamente), a criança procura observar os objetos que a rodeia e passa a ter controle motor,  adquirindo conhecimentos empíricos que são controlados por informações sensoriais imediatas. A principal característica desse período é a ausência da função semiótica. A inteligência é trabalhada por meio de percepções e ações, como o deslocamento do próprio corpo. A linguagem começa por repetição de sílabas e vai até às palavras que não são frases, mas indicadores de ações já que não representa mentalmente os objetos. A criança nessa fase reage a isolamento e indiferença quanto a sua conduta social, pois acredita que o mundo é apenas ela mesma.
O pré-operatório (2 a 7 anos aproximadamente), a criança procura desenvolver a habilidade verbal. Aqui, ela já consegue nomear objetos e raciocinar intuitivamente, embora ainda não consiga coordenar operações fundamentais. De dois a quatro anos a criança vive o período simbólico, ou seja, a função semiótica permite o surgimento da imitação, linguagem, dramatização, desenho, etc., criando imagens mentais na ausência do objeto ou da ação. É conhecido também como o período da fantasia e do jogo simbólico. A linguagem está no nível de monólogo. Todas as crianças falam ao mesmo tempo sem ter uma linearidade com o que o outro está dizendo. Piaget denomina algumas expressões verbais delas como nominalismo (nomear objetos que ainda não saibam o nome), egocentrismo e super determinação (teimosia). Dos quatro a oito anos as crianças vivem o período intuitivo que é marcado pelo desejo de explicação dos fenômenos, onde “os por quês” são frequentes. Aqui elas já distinguem a fantasia do real. 
O estágio operatório concreto (7 a 11 anos aproximadamente), as crianças começam a lidar com conceitos abstratos e é caracterizado por uma constante habilidade de solucionar problemas concretos e por uma lógica interna. O sujeito já é capaz de organizar o mundo da forma lógica ou operatória. Nesse momento as crianças formam grupos, círculos de amizades, compreendendo regras e estabelecem compromissos. Mas, discutir pontos de vista e chegar a um senso comum só será possível na fase seguinte. 
O operatório formal (aproximadamente a partir dos 12 anos), a criança inicia sua quinta transição para o modo de pensar do adulto, sendo capaz de refletir sobre ideias abstratas e raciocinar sistematicamente. A partir de estruturas lógico-matemático e hipotético-dedutivo é possível a dialética, permitindo uma conclusão diante de uma discussão e estabelecer relações cooperativas e reciprocidade em grupos sociais. De acordo com a teoria de Jean Piaget, o desenvolvimento intelectual possui dois componentes que são o
cognitivo e o afetivo. Ambos se dão paralelamente e é de fundamental importância o cuidado com o aspecto afetivo no processo de ensino-aprendizagem, pois ela é a dimensão que representa  a dificuldade na tomada de consciência do eu e do outro.
4. OS NÍVEIS DE DESENVOLVIMENTO E RELAÇÕES RELAÇÃO DE CONSERVAÇÃO
No período pré-operatório, a criança está numa fase pré-numérica, isto é, intuitiva, percebendo os fatos através dos sentidos ou manipulações práticas. Com o aparecimento da função simbólica ela passa a ter uma representação mental dos objetos e das coisas do ambiente, o que lhe possibilita fazer classificações. Assim, ela começa a classificar quando separa ou agrupa objetos por suas semelhanças ou diferenças, estabelecendo assim, relações das coisas do ambiente em que vive (PIAGET, 1975).
Segundo KAMII (1986), a classificação e a seriação são operações lógicas que têm estreita relação com a conservação numérica e favorecem a formação do conceito de número. No período das operações concretas a criança tem condições de construir o conceito de número, pois é nesta fase que ela se apropria de vários esquemas de conservação.
Para KAMII (1986), o número é uma síntese de dois tipos de relações que a criança elabora entre os objetos: ordem e inclusão hierárquica. Em que, ordem é a relação que a criança elabora ao contar um determinado número de elementos, sem falhar ou repetir algum deles. Inclusão hierárquica é que permite que à criança relacione a quantificação dos objetos como um grupo, isto é, quando pedimos à criança que mostre um número em um arranjo ordenado ela vai mostrar o arranjo não apenas o número que representa na ordem.
O número com o passar do tempo permite na criança mobilidade do pensamento de forma a torná-lo reversível, em que, a reversibilidade é à habilidade de realizar, mentalmente, as ações opostas simultaneamente. Assim, a criança compreende que uma ação inversa anula a transformação observada (KAMII; DECLARK, 1988).
Para KAMII e LIVINGSTON (1995), na aquisição do conceito de número, destacam-se quatro noções básicas: classificação, seriação, correspondência biunívoca e conservação da quantidade.
Classificar é agrupar segundo um critério. Seriar significa colocar em série, em ordem, ordenar. Correspondência biunívoca é a correspondência também chamada um a um. Conservação da quantidade: a criança conserva a quantidade no momento em que ela reconhece que o número de elementos de um conjunto não varia.
Nas crianças a construção do pensamento lógico matemática se realiza a partir da vivencia no cotidiano, na manipulação de materiais, jogos, brincadeiras entre outros e não na forma mecânica de repetição. 
Segundo KAMII (1986) as crianças pequenas não conservam os números é o mesmo é algo construído individualmente nos vários anos de fases de desenvolvimentos da criança. Por causa desta construção individual do número temos a sequência do desenvolvimento sintetizada por três níveis: nível I a criança não consegue fazer um conjunto que tenha o mesmo número que outro; no nível II ela já consegue fazer um conjunto com o mesmo número, no entanto não consegue conservar a igualdade numérica de dois conjuntos; no nível III ela já consegue conservar os números. Já construiu uma estrutura numérica que se tornou forte o suficiente para torná-la apta a ver objetos numericamente, em vez de espacialmente.
Enquanto ocorre a construção do número cabe aos educadores contribuir para o desenvolvimento dessa construção, através de atividades manipuláveis que incentivando o pensamento lógico matemático, ao invés de atividades para se ter apenas respostas certas e superficiais.
4.1 IMPLICAÇÕES DA CONSERVAÇÃO DO PONTO DE VISTA DO ENSINO E DE APRENDIZAGEM
Piaget, biólogo por formação e epistemólogo (estuda a origem do conhecimento) por interesse, com o intuito de responder a estas perguntas, elabora uma teoria epistemológica sobre as relações entre o sujeito e o objeto no processo de conhecer. Com base em sua formação científica em Biologia, ele utilizou o caminho da pesquisa psicológica dos comportamentos cognitivos do indivíduo em sua evolução, para apoiar com dados empíricos de extrema riqueza sua proposição sobre como surge o conhecimento no ser humano (PIAGET, 1966).
A proposição construtiva a respeito da origem do conhecimento diz que o sujeito é quem constrói o conhecimento quando está em interação necessária e constante com o objeto. Neste processo, de natureza essencialmente transformacional para estes dois polos da relação, o sujeito se faz enquanto sujeito, ao mesmo tempo em que constrói o objeto, e a criança é um sujeito em construção, ativo de seu desenvolvimento cognitivo, na dinâmica interativa com o objeto. 
Piaget por meio de suas observações, demonstra que o conceito do número não é conhecido inatamente, por intuição ou empiricamente, mas sim é construído a partir da interação do sujeito com o objeto, da observação do objeto pelo sujeito (KAMII, 1986). Como para a compreensão do conceito número é necessária a tarefa de conservação pela criança, e assim, pode-se dizer que um bom entendimento da conservação também advém da observação do objeto pelo sujeito.
Tanto as crianças como adolescentes são sujeitos em construção. Cada aluno é um sujeito ativo de seu desenvolvimento cognitivo, na dinâmica interativa com o objeto. O sujeito tem sua forma própria de elaborar o conhecimento a cada fase da psicogênese. Portanto, durante o período escolar o aluno tem suas próprias maneiras de entender o mundo.
5. PROCESSOS DE CONTRUÇÃO DA ARITMÉTICA: SINTÉTICO E AXIOMÁTICO 
Ao falar da construção do conhecimento, encontramos entre as várias correntes filosóficas duas principais: o sintético e o axiomático. No decorrer deste tópico estaremos fazendo um estudo destas duas correntes filosóficas voltadas para a construção da aritmética.
Segundo REALE (2002), o método mais antigo que melhor se conhece é o método sintético, que parte das partes para o todo, do desconhecido para o conhecido.
A construção da aritmética pelo processo sintético, é o método que ensina cada numeral por si só, não faz uma apanhado geral, estuda cada numeral isolados uns dos outros, e depois, junta-os a fim de observarem que números serão formados.
Hoje em dia este método está em desuso devido a críticas de muitos autores, que condenam o método, devido a fatos como: que a criança não tem a percepção das partes antes de conhecer o todo; porque é fastidioso para a criança estar a trabalhar a partir do desconhecido, para que muito mais tarde, e só na cabeça do adulto, a criança venha a identificar o conhecido; porque não tem lógica do trabalho em parte. Porém apesar das criticas de muitos anos atrás, esse método perdurou até poucos anos atrás nas escolas de todo o mundo, evidenciando assim que este método não desapareceu assim há tanto tempo.
O método Axiomático é aquele que obedece a um rigor e formalismo, ele estabelece que é preciso usar conceitos primitivos, intuitivos, para assim demonstrar ou construir conceitos mais complexos. Estuda-se o todo através das partes.
5.1 OS AXIOMAS DE PEANO
Giuseppe Peano, é um autor italiano, nasceu em Spinetta em 1858 e morreu em Turim em 1932, e tem seu nome lembrado até hoje em conexão com os axiomas, que foram apresentados a primeira vez na obra "Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita" em 1889, por ele introduzidos, dos quais dependem tantas construções rigorosas da álgebra e da análise. O que motivou seu trabalho foi o desejo de expressar toda a matemática em termos de um cálculo lógico (BOYER, 1974). 
O mérito de Peano deve-se à descoberta de que seus axiomas são suficientes para caracterizar satisfatoriamente o conjunto dos números naturais do que na própria descoberta dos axiomas, os quais podem até ser considerados intuitivamente óbvios e conhecidos por todos aqueles que um dia aprenderam a contar EVES (1997). Os axiomas de Peano são uma pequena coleção de fatos básicos e intuitivos sobre os números naturais.
Segundo LIMA (1981), o conjunto
dos números naturais N é um conjunto que possui uma função s: N → N, chamada função sucessor, que possui as seguintes propriedades:
1. Existe uma função s: N → N, que associa a cada n um elemento s(n) N, chamado o sucessor de n;
2. A função s: N → N é injetiva;
3. Existe um único elemento 1 no conjunto N tal que 1 ≠ s(n) para todo n N;
4. (Princípio da Indução): Se X C N é um subconjunto tal que 1 X e, para todo n X tem-se também s(n) X, então X = N.
5. Zero é um número.
Essencialmente, esses axiomas formalizam a ideia de que todos os números naturais podem ser obtidos a partir do número um pela soma sucessiva da unidade (e que todo número natural pode ser escrito na forma n = 1 + 1 + … + 1). 
Apesar de sua simplicidade, os Axiomas de Peano fundamentam uma teoria satisfatória dos números naturais porque podemos definir ou deduzir a partir deles todos os conceitos e demais propriedades que conhecemos acerca desses números, dentre os quais se destacam as operações de adição e multiplicação, a relação de ordem, etc.
O papel fundamental do axioma da indução na teoria dos números naturais e, mais geralmente, em toda a matemática, resulta do fato de que ele pode ser visto como um método de demonstração, chamado método de indução matemática ou princípio da indução finita.
Seja P(n) uma sentença aberta sobre N. Suponha que:
1) P(1) seja verdadeira; e
2) Qualquer que seja n N, sempre que P(n) é verdadeira, segue que P(n+1) é verdadeira.
Então, P(n) é verdadeira para todo n N.
Como professores devemos ter em mente que a criança busca na escola refúgio e sustentáculo para o entendimento dos processos naturais do seu inconsciente e quando ensina números naturais nas escolas, deve existir a preocupação de fazer o aluno compreender, mesmo que de forma inconsciente, as propriedades dos axiomas de Peano, jogos e atividades de instigação podem ajudar ao aluno alcançar a compreensão pretendida.
6. O CRIVO DE ERATÓSTENOS
6.1. ERATÓSTENES
	Eratóstenes de Cirene (~276 AEC a ~194 AEC) foi um contemporâneo de Arquimedes e Apolônio, e teve significativa habilidade em praticamente todas as áreas do conhecimento de seu tempo, tendo grande destaque como matemático, geógrafo, historiador, astrônomo, poeta, filósofo e atleta.
	Foi convidado por Ptolomeu III para trabalhar na famosa Biblioteca de Alexandria. Foi um incrível erudita, era alçado à condição de segundo Platão, devido ao seu amplo e brilhante saber. Embora fosse extremamente talentoso, nunca ficou em primeiro lugar no seu tempo, estava sempre em segundo lugar.
	Eratóstenes deu significativas contribuições para a Cronologia, Literatura, Geografia, Astronomia, a medida do tamanho da Terra, e não menos importante, expressivas contribuições na Matemática, em que se destacaram trabalhos como a duplicação do cubo, e o Crivo de Eratóstenes, que foi o primeiro algoritmo para fornecer os números primos.
6.2. O CRIVO DE ERATÓSTENES
Além de todos os trabalhos que desenvolveu mais variadas áreas, na Matemática, um de seus mais brilhantes estudos foi relativo aos números primos. Ele desenvolveu um método que permite obter uma tabela de números primos até um limite desejado. Esta tabela ficou conhecida como Crivo de Eratóstenes.
	Embora um pouco modificada, o crivo ainda é uma ferramenta importante nas pesquisas de Teoria dos Números, além de aparecer na Introdução à Aritmética de Nicomedes.
O método consiste nos seguintes passos: escreve-se a sucessão de números naturais até um determinado número desejado. Inicialmente, suprime-se o número 1. O próximo passo é eliminar todos os números que são múltiplos de dois e maiores que dois. Em seguida, faz o mesmo com os números que são múltiplos e maiores que três, e assim sucessivamente para cada número da sequencia que não foi eliminado. Os números que, não são eliminados, são os números primos.
Exemplo:
Tabela 1: Fonte: <http://www.mat.ibilce.unesp.br/ciencia/docs/Mini-Curso-Eratostenes,-Um-Genio-do-Tamanho-da-Terra.pdf.>
7. OS NÚMEROS PRIMOS
Diz-se que um número inteiro p>1 é primo quando p|a ou p|b, para quaisquer inteiros a e b tais que p|ab. Logo, quando um primo divide um produto, necessariamente divide algum dos fatores.
Essa é uma definição formal do que são os números primos, mas uma maneira mais simples de dizer o que é um número primo é dizer que um número inteiro p>1 é primo se seus únicos divisores forem o número um e ele próprio. Como exemplo, podemos citar o número 11, que é primo, pois seus únicos divisores são o 1 e o próprio 11. Já o número 9 não é primo, pois seus divisores são o 1, 3 e 9.
Estes números compreendem uma área muito fascinante da Matemática, intrigando os matemáticos desde a época dos antigos filósofos gregos, há mais de dois mil anos. Nos últimos 50 anos, com o advento dos computados, novos algoritmos foram empreendidos para se encontrar os números primos.
Eles vêm sendo estudados desde aproximadamente 500 AEC. Entre os gregos, os pitagóricos foram os primeiros a se interessarem pelas propriedades dos números. Apesar de conhecerem os números primos, não eram eles o foco de estudo dos pitagóricos.
Euclides, ao publicar Os Elementos, afirmou que os números primos são infinitos. Eratóstenes de Cirene, como já citado anteriormente, desenvolveu um algoritmo que permite que os números primos sejam encontrados. Pierre de Fermat (1601 – 1665), provou que se p é um número primo, então para todo número inteiro a é válido que é divisível por p. Este resultado, que já era conhecido a cerca de dois mil anos para o caso específico de a=2, afirmando também que a recíproca era verdadeira. Porém, Fermat afirmou que a recíproca é falsa e generalizou para qualquer inteiro a.
Fermat enviou uma carta para Mersenne (1588 – 1648) afirmando ter descoberto uma fórmula para encontrar números primos: para todo é primo. Fermat não conseguiu provar esse resultado, mas a fórmula funcionava apenas para n = 0, 1, 2, 3 e 4. Após 100 anos, Euler provou que para n=5, a resultado não era válido.
Números da forma são chamados de números de Mersenne, que são diretamente ligados aos números perfeitos. Mersenne sabia que se n fosse primo, Mn nem sempre é primo, e afirmou, porém sem provar, em 1644 que Mn é primo para n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257. Em 1952 começa a era da computação, assim, Robinson pôde mostrar que M521, M607, M1279, M2203 e M2281 são primos, por meio de computadores.
Após 100 anos, Leonard Euler (1707 – 1783) demonstrou uma afirmação mais geral para a fórmula desenvolvida por Fermat, ficando conhecida como a função φ de Euler.
Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855) foi o primeiro matemático a fazer alguns avanços no que diz respeito a encontrar uma função que nos forneça a quantidade de números primos menores ou iguais a um valor x. Gauss forneceu uma fórmula que prevaleceu sobre algumas que foram estabelecidas por Legendre. A fórmula de Gauss estima que , em que π(x) é uma aproximação da quantidade de números primos e mostrava ser equivalente ao Teorema do Número Primo: Este teorema foi enunciado por Riemann (1826 – 1866), porém, sem ser completamente provado.
Estas são algumas das tentativas mais significativas para se encontrar uma fórmula para encontrar números primos. Esta questão é bastante discutida ainda hoje, pois esses números, que antes eram estudas apenas por questões teóricas, hoje têm grande importância na criptografia, que utiliza os números primos na elaboração de senha e códigos de segurança na internet, cartões, entre outros.
8. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA
Quando Euclides escreveu sua obra Os Elementos, no livro IX, dois dos mais importantes resultados sobre os números primos foram demonstrados: existem infinitos números primos e todo número inteiro pode ser fatorado de maneira única em números primos. Este segundo resultado, tornou-se conhecido como Teorema Fundamental da Aritmética. A primeira demonstração para esse teorema que se tem conhecimento foi fornecida por Euclides, mas ele prova somente a existência, não
provando a unicidade da decomposição em fatores primos. Apresentaremos neste momento, uma demonstração para esse teorema que é encontrada nos livros de álgebra moderna.
Teorema Fundamental da Aritmética: Todo inteiro a ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos. Esta decomposiçaõ é única exceto pela ordem dos fatores primos.
Demonstração: Usaremos o Segundo princípio da indução sobre a≥2. Vamos denotar por P(a) a afirmação: “a se escreve de modo único como produto de primos exceto pela ordem dos fatores”. É claro que P(2) é verdadeira. Suponhamos que P(k) seja verdadeira, para todo 2≤k<a. Como a>2, sabemos que existe um número primo p1 tal que p1|a, ou seja, existe tal que a=p1q. 
Se q=1 ou 1 é primo, então P(K) é verdadeira, caso contrário, 2≤q<a. Pela hipótese de indução, existem p2......pr primos maiores que zero tais que q = p2.....pr.
Assim, a=p1.q = p1p2....pr provando que a pode ser escrito como r produto de primos. Resta provar a unicidade.
Suponhamos que a=p1p2...pr e a=q1q2...qs. (1) com pi, qj primos maiores que 0 e 1≤i≤r, 1≤j≤s. como p1|qi, para algum i, 1≤i≤r, sem perda de generalidade, podemos supor que i=1. Daí, p1|q1 e como q1 é primo, devemos ter p1=q1.
De (1), temos p1p2...pr=p1q2...qs.
Como p1≠0, simplificando, obtemos p2...pr=q2...qs. Repetindo este processo, chegaremos que r=s e após um rearranjo dos índices qj, encontramos p1=q1,.p2=q2....pr=qs. Como queríamos demosntrar.
9. O MÁXIMO DIVISOR COMUM
Após estudarmos decomposição de números naturais em fatores primos, podemos obter o Máximo Divisor Comum (M.D.C.) entre dois números ou mais. Porém para obter o M.D.C. de números muitos grandes, isso pode ser complicado porque a decomposição não e imediata. O método que será apresentado aqui para a extração do M.D.C. e baseado no 7º livro dos elementos de Euclides. 
Um exemplo numérico desse algoritmo:
Determinar o máximo divisor comum de 17154 e 357, mdc(17154,357)
	Dividendo
	Divisor
	Resto
	Quociente
	17154
	357
	18
	48
	357
	18
	15
	19
	18
	15
	3
	1
	15
	3
	0
	5
O máximo divisor comum é o último resto diferente de zero, que é igualmente o último dividendo, ou seja, mdc(17154,357)=3.
Generalizando: Obtendo o M.D.C. entre dois números naturais X e Y, sendo X>Y.
1º: Divida X por Y e obtenha o resto R1. Se R1 for 0, o M.D.C. entre X e Y e Y.
2º: Se R1 não for zero, divida Y por R1 e obtenha o resto R2. Se R2 for 0, o M.D.C. entre X e Y e R1.
3º: Se R2 não for 0, divida R1 por R2 e obtenha o resto R3. Se R3 for 0, o M.D.C. entre X e Y e R2.
4º: 
5º: Se RN não for 0, divida RN-1 por RN e obtenha o resto RN+1. Se RN+1 for zero o M.D.C. entre X e Y e RN.
Este processo às vezes pode ate se tornar demorado, porém sempre chegaremos a um resultado 0. Este método ficou conhecido como Algoritmo de Euclides. 
10. CONSIDERAÇÕES FINAIS
	Concluímos com a elaboração deste trabalho o quão é importante o processo de desenvolvimento do conceito de número na criança e como o educador deve elaborar as atividades que atendam às necessidades cognitivas dos alunos durante as suas fases de crescimento.
	Observamos também como o assunto dos números primos causa intrigas na mente dos matemáticos, durante a busca por uma maneira geral de encontrá-los, o que nos mostra que um assunto, aparentemente comum, tem muito mais do que simples problemas de aritmética.
	Outro ponto a destacar, é que a construção do número na criança, se dá de forma totalmente diferente da questão axiomática que vemos nos livros de análise e álgebra, pois para se formar o número na criança, depende de várias relações feitas pela criança em diversas situações que se dão em seu cotidiano. Já na análise, o número se dá a partir do um e, assim, todos os outros números, axiomas, propriedades e teoremas se completam.
11. REFERÊNCIAS
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