Livro Calculo 1 - swokowski 2º parte

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Capitulo 2
,.,
LIMITES DE FUN<;OES
a conceito de limite de uma fum.ao f e uma
das ideias fundamentais que dislinguem 0
c:ilculo da algebra e da trigonomelria. No
desenvolvimento do calculo no seculo XVlII,
o conceito de limite foi tralado intuitivamen-
te, tal como fazemos aqui na Se<;ao 2.1, on de
supomos que 0 valor de f(x) tende para urn
cerlo numero L quando 7tende para urn
numero a. au seja, quanta mais pr6ximo de-
L estiver 0 valor de f(x), mais pr6ximo de a
estara x. a problema desta defini<;ao esta na
palavrafE?:Tin~'7Um cientisla pode co~s~de-
rar 0 resultado oe uma,~n~ra ao proximo
de urn valor exato L quando esliver a 10-6 cm
de L. Urn corredor profissional pode eslar
pr6ximo da meta quando esliver a 50 melros
do final. Urn aSlronomo as vezes mede a
proximidade em ano-Iuz. Assim, para evilar
ambigtiidade, e preciso forrnular uma defini- .
<;ao de limite que nao contenha a palavra
proximo. Faremos isso na Se<;ao 2.2, enun-
ciando 0 que e tradicionalmenle chamado
fA.fJlnir;iio E-O de limite de lima fimr;iior A
defini<;ao e precisa e aplicaveI a qualquer
silua<;1ioque queiramos considerar. Mais ad ian-
te nesle capitulo discutiremos propnedades que
possibililam calcular muilos limites de modo
facil, sem apelar para a defini<;ao E-O.
lNa Ultima se<;ao utilizamos limites para defi-
Inirfimr;iio continlla, urn conceito largamente( empregado em todo 0 calcuio.
2.1 INTRODUC;Ao AO CONCEITO DE LIMITE
No calculo e suas aplica<soes interessam-nos em geral valores
f(x) de uma fun<sao f que estejam proximos de urn numero a,
mas que nao sejam necessariamente iguais a a. De falo, hii muilos
casos em que a nao esta no dominio de f, islo e, f(a) nao e
definida. A titulo de ilustra<sao, consideremos
Xl-u
f(x)= 3x-6
com a = 2. Note que 2 nao esta no dominio de f, pois, fazendo
x = 2 obtemos a expressao indeterminada 0/0. A tabela seguinte,
obtida com uma calculadora, reJaciona alguns valores (com oito
decimais) para x proximo de 2.
, i : : ... ~" . r. '.
x '0 ·:,,;f(x): ..• :'
2,1 1,47000000
2,01 1,34670000
2,001 1,33466700
2,0001 1,33346667
2,00001 1,33334667
2,000001 1,33333467
1,9
1,99
1,999
1,9999
1,99999
1,999999
'.'j(;j".~"
1,20333333
1,32003333
1,33200033
1,33320000
1,33332000
1,33333200
Parece que, quanta mais proximo de 2 esla x, mais proximo de
~ estii f(x);' entretanto, n~o podemos ter certeza disto, porque
calculamos apenas alguns valores da fun<sao para x proximo de
2. Para obtermos 'um argumenlo mais convincenle, fatoremos 0
numerador e 0 denominador de f(x):
x2(x - 2)
f(x) = 3(x _ 2)
Se x '" 2, podemos cancelar 0 falor comum x - 2; verificaremos
que f(x) e dada por k xl. Assim, 0 grafico de f(x) e a parabola
y = ~xl com 0 ponto (2,~) omilido, conforme se ve' na Figu~a .
2.1. E evidenle que, geomelricamente, quanta mais proximo d~
2 estiver x, mais proximo de ieslara f(x), conforme indicado na
tabela precedenle. .
Em geral, se uma fun<sao f e definida em todo urn inlervalo
aberlo con tendo urn numero real a, exceto possivelmente no
proprio a, pod emos perguntar:
1. A medida que x estii cad a vez mais proximo de a (mas
x '" a), 0 valor de f(x) tende para urn numero real L?
2. Podemos tornar 0 valor da fun<sao f(x) tao proximo de L
quanto queiramos, escolhendo x suficientemente proximo
de a (mas x '" a)?
e dizemos que 0 limite de f(x), quando x tende para a e L, ou
que f(x) se aproxima de L quando x se aproxima 'de a. Podemos
usar lambem a nota<;ao
f(x) -> L quando x -> a
Islo significa que 0 ponto (X, J(x» do grafico de f se aproxima
do ponto (a, L) quando x se aproxima de a. Usaremos as
expressoes proximo e se aproxima de maneira intuitiva. Na
proxima se<;aodaremos uma defini<siio formal de limite, que evita
esta terminologia. Utilizando esta nota<sao de limite, podemos
denotar 0 resultado de nossa iluslra<sao como segue:
lim Xl - 2.l..2 = i
x_23x-6 3
o quadro seguinte resume a discussao precedente e da ulna
iluslra<sao grafica.
Podemos tomar f(x)
laG proximo de L
quanlo quisermos,
escolhendo x sufi-
cientemente proximo
de a epr",a)
I y = &l!..Jx
"._~
I -1--+--
I x
. Se f(x) se aproxima de um certo niimero (que nao sabemos
qual seja) quando x se aproxima de a, escrevemos Iim,_.a f(x)
existe.
o gnifico de f exibido no quadro anlerior ilustra apenas uma
forma como f(x) pode aproximar-se de L quando x se aproxima
de a. ~ao exibimos u~ ponlo com a coordcnada x igual a a porque,
~o utlhzar 0 conceito de limite (2.1), sempre supomos x " a; isto
e,o valor f(a) da fun9io e completamenle irrelevante.Como veremos
f(a) pode ser diferente deL, pode ser igual a L, ou pode mesmo nao
existir, dependendo da natureza da fun~ao J.
. ~~ nosso estudo de f(x) = (r - 2r)/(3x - 6) foi posslvel
slmphflcar f(x) fatorando 0 numerador e 0 denominador. Em
muitos casos, tal simplifica~ao algebrica e impossive!. Em
parlic.ular, ao considerarmos derivadas de fun~oes trigonometri-
cas mais adiante, deveremos responder a seguinte pergunta:
I. senx .1m-- eXlste?
x-o X
Note que fazendo x = 0 obtemos a expressao indelerminada 0/0.
A tabela da pagina seguinte, oblida corn uma calculadora
rel~c.iona algumas aproxima«oes de f(x) = (sen x)/x para ;
proxImo a 0, onde x e ulIIlllllllero real ou a medida de urn angulo
em radianos. A Figura 2.2, ao lado da tabela, e urn grMico de.f.
.-
,. x· ., . f(x) = sen x
.... ".,' X :
±2,0 0,454648713
±I,O 0,841470985
±O,5 0,958851077
±O,4 0,973545856
±0,3 0,985067356
±O,2 0,993346654
±O,1 0,998334166
±O,OI 0,999983333
±O,OOI 0,999999833
±O,OOOI I 0,999999995
Referindo-nos a tabela ou ao grMico, chegamos 11 segllillte
conjectura: .
Jim sen x = 1
x-o x
Como dissemos, fizemos apenas uma conjeclura quanto 11
resposta. A tabela indica que (sen xl/x eSla cada vez mais
pr6ximo de 1 quanto mais proximo x esla de 0; todavia, nao
podemos estar absolutamente certos dislo. Poderia ser que os.
valores da fun~ao se afastassem de 1 se x estivesse mais proximo
de 0 do que os valores indicados no quadro. Embora uma
calculadora possa auxiliar-nos na suposi«ao da existencia do
limite, ela nao pode ser usada como demonstra«ao. Voltaremos
a este limite na Se«ao 3.4, quando provaremos que nossa
suposi«ao e correia.
E faeil achar lim, _ a f(x)se f(x) e uma expressao algebri-
ca simples. Por exemplo, se f(x) = 2x -3 e a = 4, e evidente que
quanto mais proximo de 4 estiver x, mais proximo de 2(4) - 3 = 5
estara f(x). Isto nos da 0 primeiro limite da ilustra~ao seguinte.
Os dois limites restantes podem ser oblidos da mesma maneira
intuitiva.
lim (r + 1) = (_3)2 + 1 = 9 + 1 = 10
.%--3
Na ilustra«ao precedente 0 limite quando x -+ a pode ser obtido
simplesmenle substituindo-se x por a. Trata-se de uma proprie-
dade que e valida para fun«oes espcciais chamadas jlmr;oes
contlnuas, a serem estudadas na Se«ao 2.5. A proxima iluslra~ao
moslra que esta tecnica nao e apliciivel a toda fun~ao algebrica
J. Na ilustra«ao, e importante notar que
r + x - 2 (x - 1)(x + 2)
---- = 1 = x + 2, desde que x " 1.
x-I x- .
(Se X" 1, enlao x-I" 0, e e permitido cancelar 0 falor comUI1l
x-I no numerador e denominador.) Segue-se que os grMicos
das eqlla~oes y = ().2 + X - 2)/(x - 1) e y = x + 2 sao os mesmos
exceto parax = 1. Espeeificamenle, 0 ponto (I, 3) csla no grflfico
de y = x + 2, mas nao esla no griifico de y = (r + x - 2)/(x -- '1),
conforme iluslrado.
ILUSTRA<;Ao
x' +x-2
g(x)=---
x-I
se x;t 1
sex= 1
Na ilustra~o precedente, 0 limite de cada fun«ao, quando
x se aproxima de 1 153, mas no primeiro caso f(l) = 3, no
segundo caso g(l) nao existe e no terceiro 11(1) = 2 •• 3.
Os dois exemplos seguintes ilustram como manipula«6es
algebricas podem ser usadas para determinar certos limites.
EXEMPLO 1
2lr-5x+2
Sef(x)= 5Xf-7x-6'
o numero 2 nao esta no dominio de f,.pois, se fizermos x = 2,
obteremos
a expriss~o indeterminada 0/0. Fatorando-se 0 nume-
rador e 0 denominador, obtemos
~- 2)(2x-1)
f(x) = (x - 2)(5x + 3)
Nao podemos cancelar 0 fator x - 2 neste momento; todavia, se
tomarmos 0 limite f(x) quando x ~ 2, tal cancelamento 15
permitido, porque, por (2.1) x •• 2 e, dai, x - 2 •• O. Assim,
I· f() I' 2x.2- 5x + 21m x = 1m 5.2 7' 6
x-2 x-2 X - x-
= lim (x - 2)(2x - 1)
x-2 (x - 2)(5x + 3)
= lim 2x - 1= 1..
x-2 5x + 3 13
EXEMPLO 2
Seja f(x) =;/_93
(a) Ache Lim f(x).
x-9
'(b) Esboce'o gra'fico de f e ilustre graficamente 0 limite da
. parte. (~). .
(a) Note qu'e 0 n6m'ero 9 nao esta no dominio de f. Para achllr
o limite, modificaremos a forma de f(x) racionalizando 0
.. denominador como se segue:' .. '.
• 'I/tl) •• V- ,
I'
(9.('~
-!..,.:-:
M: 16 jf(x)
I I I 111I I I-H-H-I-t-H--I->-
x-> I<-.x x
9
"':1:<" (X -9)(v'X + 3)
=1llI
x-9 x-9
Por (2.1),ao investigarmos 0 limite quando x -> 9, supornos que
x •• 9. Logo x - 9 •• 0, e entao podemos dividir numerador e
denominador por x - 9; isto e, podemos callce/ar 0 fator x - 9,
o que d~
: Jim f(x) = lim (v'X + 3) ~ Y9 + 3 ~ 6.
.~_.__.~__._•... :.x"""'!'9 .•, • __..x_9·
(b) Se racionalizarmos 0 denominador de f(x) como em (a),
veremos que 0 grafico de f e 0 mesmo que 0 gnifico da
equa<;ao y = v'X + 3, excelo para 0 pOllIO (9, 6), con forme
ilustrado na Figura 2.3. Conforme x aproxima-se de 9, 0
ponto (x, f(x» no gnifico de f aproxima-se do ponto (9,6).
Note que f(x) nunca atinge efetivamente 0 valor 6; todavia,
f(x) pode tomar-se tao proxinlo de 6 quanta desejarmos,
bastando tomar x suficientemente proximo de 9.
Os dois proximos exemplos envolvem fun<;oesjlue nao tcm
limite quando x se aproxima de O. As solu<;oes sao intuitivas por
natureza. Demonstra<;oes rigorosas exigem a defini<;ao formal
de limite, dada na proxima se<;ao.
M I· 1 - .ostre que 1m - nao eXlste.
x-OX
A Figura 2.4 esbo<;a 0 gnifico de f(x) ~ 11x. Observe que
podemos fazer If(x)1 tao grande quanto quisermos, bast an do
escolher x suficientemente proximo de 0 (mas ••0). Por exemplo,
se quisermos f(x) = -1.000.000, escolhcremos x = -0,000001.
Para f(x) = 109, escolheremos x = 10-9• Como f(x) nao tendc
para urn numero especifico L quando x se aproxima de 0, 0 limite
nao existe.
M I· 1 - .ostre que 1m sen - nao eXlste.
x-o X
SOLu<;:Ao
Detcrminemo~ primciro algumas caracteristicas do grHico de
y = sen (llx). Para deterrninar os interceptos-x, nolcmos que,
para todo inteiro n,
.~ 1 1
sen - = 0 se e somente se - = lUI, OU X = -
x./ x nil
Yeja alguns interceptos-x: .
1 1 1 1
±~, ± 2Jt' ,± 3n'''''± lOOn'
Fazendo x tender para 0, a distancia entre interceptos-x sucessi-
vos diminui e, de fato, tende para O. Analogamente,
1 1
sen:; = 1 se e somente se x = (n/2) + 2nll
1 1
sen:; = -1 se e so mente se x = (3n/2) + 2nll '
onde n e um inteiro arbitrario. Assim, quando x tende para 0, os
valores da fun<;ao sen(l/x) oscilam entre -1 e 1, e as "ondas"
'corresponden'tes tornam-se cada vez mais "c~mpr~midas", como
se vc na Figura 2.5. Logo limx_osen (llx) nao eXlste, porque os
valores funcionais nao tendem para um numero determinado L
quando x,se aproxima de O.
!(xl:sen
l I~'\~l;~~I-I-H-1\JI rh H-H-+-;
~"~ ~ 1
/,/----------.- ''',\
Limites laterais (2.2)
As vezes utilizamos \imites laterais dos tipos ilustrados no
quadro a seguir:
SIGNIFICAGAo
., INTUITIV A_
Podemos tomar f(x) tao
proxima de L quanta qui-
sermos, bastando escolher x
suficientemente proximo de
a, e x < a.
y y = f(x)
f(x)i~:: :.L.-
x~a x
(limite
minimo)
Podemos tomar f(x) tao
proxima de L quanta qui-
sermos, bastando escolher x
suficientemenle proximo de
a, ex> a.
y
~
Li :f(x)(limite
maximo)
Para urn limite 11 esquerda, a fun"ao f deve ser definida
em (ao menos) urn intervalo da forma (c, a), para algum numero
real c. Para urn limite 11 direita, f deve ser definida em (a, c),
para algum c. A nota"ao x - a- significa que x tende para a
pela esquerda, ex -'-+ a+ significa que x tende para a pela direita.
: (a) lim f(x)
z-2'
(b) lim f(x)
x-2~
(a) Se x > 2, entao x - 2 > 0 e, dai, f(x) = YX- 2 e urn numero
real; ista e, f(x) e defmida. Assim,
(b) 0 limite 11esquerda nao existe porque f(x) = YX- 2 nao e
urn numero real se x < 2.
(c) 0 limite nao 'existe porque f(x) = YX- 2 nao e definida
em urn intervalo aberto contendo 2.
o teorema que segue estabelece a rela"ao entre limites
laterais e limites.
'" .i~-}(~)~::L se e 'somente- s'e liIn f(x) = L = iim j(x)_
_,x-a' x-a- . %_01+."
o teorema precedente (que pode ser demonstrado usando-
se as defini<;6es da Se"ao 2.2) nos diz que 0 limite de f(x),
quando x se aproxima de a, existe se e somente se ambos os
limites laterais direito e esquerdo existem e sao iguais.
Se f(x) = W, esboce 0 grafico de f e ache, se possivel,
x
(3) lim f(x)
x ....•0-
(b) lim f(x)
x-o+
A fun"ao f nao e definida em x = O. Se x > 0, entao Ixl = x e
f(x) = xIx = 1. Logo, para x > 0 0 grafico coincide com a reta
horizontal y = 1. Se x < 0, entao Ixl = - x e f(x) = -xIx = -1.
Isto nos dli a Figura 2.7. Referindo-nos ao grafico, vemos que
(a) !im f(x) =-1
x-o·
(b) lim f(x) = 1
x-o'
(c) Como as limites laterais 11 direita e 11 esquerda sao difer 'n-
tes, decorre do Teorema (2.3) que Ilm,_J (x) nao exist·.
No proximo exemplo consideramos uma fun<;ao' definlil \
por partes.
Esbace 0 grafico da fun"ao f definida por
\
3 -x se x < 1
f(x) = 4 se x· 1
. x?- + 1 sc x > 1
Ache 11mf(x), tim f(x), e lim J(x) .
.•.....• 1" x-. l' x-- I
tj~.."".<~r. ~~
·:.rt':A ;.~.r ..;'! ....••:·:·
SOLu<;Ao
A Figura 2.8 exibe 0 g~~ri~o. Os Jimites laterais sao
Jim fix) = Hm (3 -x) = 2
.1'-1- . x-f
lim fix) = Hm (,r + 1) = 2
x-I" x-I"
Como os limites laterais direito e esquerdo sao iguais, decorre
do Teorema (2.3) que
Note que 0 valor da fun<;ao f(l) = 4 e irrelevante para a
determina<;ao do limite.
Urn gas (tal como vapor d'agua ou oxigenio) e mantido a'
temperatura conslante no pistao da Figura 2.9. A medida que 0
gas e comprimido, 0 volume V decresce ate que atinja uma certa
pressao critica. Alem d~ssa pressao, a gas assume forma Iiquida.
Use 0 grMico da Figura 2.9 para achar e interpretar.
(3) lim V
P-IO!f
(b) Jim V
P-1OO'
SOLu<;Ao
(3) Vemos pela Figura 2.9 que, quando a pressao P em (torrs)
e baixa, a substancia e urn gas e 0 volume V (Iitros) e
grande. (A defini<;ao de torr, unidade de pressao, pade ser
encontrada em textos de fisica.) Se P se aproxima de 100
por valores inferiores a 100, V decresce e se aproxima de
0,8; isto e,
lim V= 0,3.
P-IOlJ'
o limite 0,3 representa 6 volume no qual a subSlancia cOlflc<;a
a se transformar de liquido em gas.
(c) limp_loo nao existe, po is os timites laterais 11 direita e a
esquerda em (a) e (b) sao diferentes. (Em P = 100, as
formas gasosa e Iiquida coexistem em equilibrio, e a
substancia nao pode ser classificada seja como gas ou como
Iiquido.)
9 Jim .!~
•__ 12t+1
2 lim (x2 + 2).-3 J~ j'
4 lim(-x) - 3
x--3
6 lim 100 '" :lcO.-7
'7 '110lim x+2 ""-1-.-s x-4
Exercs. 11·24: Use uma simpJifica<;iioalgebrica
para achar 0 Jimite, se existe.
11 Jim (x + 3~--=-il 12 lim (x + 1)(x2 + 3)
x--3 (x+3)(x+ 1) .--1 x+ 1
13 lim x2 -4
x-2 x-2
( ?-r15 im ----.!'-I 2? + 51' - 7
. J? - 16
171~.Yk_2
19Iim(x+1If-r
h-O 11
21 Jim il
3
+ 8
h- -2 il + 2
z-4231im ---
'_-2l-2z-8
14 Jim 2~-&2+x-3
.-3 x-3
16 Jim ? + 21' - 3
,--3 ? + 71'+ 12
18 Jim {X -5
._25x-25
241im z- 5
,-sl-lOz+25
tvf:, .
Jim V=0,8.
.~~ P-lOO'
.-----~ 0 limite 0,8 representa 0 volume no qual a substancia come'"a
J DO !' (101'1') ~
a se transformar de gas em Ifquido.
(b) Se P > 100, a substancia e um Iiquido. Se P se aproxima
de 100 por valores superiores a 100, 0 volume V aumenta
muito lenlamente (pois os liquidos sao quase incompress!_
veis), e
x+5
26 J{x) = Ix + 51 ;
27 J{x) = >Ix+ 6 + x; a = - 6
Exercs. 31-40: Use 0 grafico para determinar cada
limite, quando existe:
(a) limJ{x) - (b) Jim J{x)
x-2- x-2'
(d) lim f(x) (e) lim fix)
x-o- x-o'
Exercs. 41-46: Esboee 0 grafieo de f e ache eada
Jimite se existe:
(c) Jim f(x)
x-I·
(b) lim f(x)
x-I·
41 f (x) ~ {i!- 1 se x < 1
4-x se x:.l
{
~ se xsl42 f(x) ~
3-x se x>1
43 f(x) ~ {3X -1 se x s 1
3-x se x>1
44. f (x) ~ {' x-II se X" 1
1 se x~1
4.5.J(X) J~+ 1 :~
.'. lx+ 1 se.... Ii! se x<1
46 f(x) = ; se x ~ 1
~.:. x-2 se x>1
41 Urn pais taxa em 15% a renda de urn individuo
ate $20.000 e em 20% a renda aeima daquele
limite.
x<1
x~1
x>1
:.' (a) Determine uma fun~iio T definida por partes
para 0 imposto total sobre uma renda de x
d6lares.
lim
r- 20,OCXf
T(x) e lim T(x}.
x-20.000·
48 Uma eompanhia telefOniea debita 25 centavos
.: pelo primeiro minuto de liga~iio interUrbana, e
15 centavos para eada minuto adidonal. .
(a) Determine uma fun~iioC definida por partes
para 0 euslo tolal de uma liga~iio de x
minutos.
(b) Se II e urn inteiro maior do que I, determine:
Jim C(x) e lim C(x)
49 A pr6xima figura e urn grafieo das for~as-g
experimenladas por urn astronauta durante a de-
colagem de uma nave espadal com dois lan~a-
dores de foguete. (Uma for~a de 2g's e duas vezes
a for~a da gravidade, 3g'~ de tres vezes a for~a
da gravidade etc.) Se F(t) denota a for~a-g aDs t
minutos de voo, determine e interprete
(b) Jim F(I) e lim F(t}
'-3,5- '-3.5'
50 Urn paciente em urn hospital reeehe uma do~o
inicial de 200 miligramas de om remedio. A 'lIdll
4 horas reeebe uma dose adieional de JOOmg. A
quantidade [(t) do remedio presentc nil eo,rellt
sanguine a ap6s t horas e cxibida 1111 fiB"llt.
Determine e interprete Jim [(I) clint 1(1). (Yr'.!11
'-8~ ,-..8'
400
300 - ~
200' N .;i .•100 -
I - I I I I I I
4 tl I' ,(, ~11 I(hll',,~)
Ilo:~cl·cS. 51-56: 0 limite indicado pode ser verificado
1"11 IIIClOdosdcsenvolvidos posteriormente no te~to.
('(llllirll 0 rcs\lllado substituindo x por ntimeros reais
IIdCljlllldos.Pur que isto naD prova a existencia do
I IIdle?
. (41X1 + 9IXI)I~XI
5511m --2-- - 6
x-o
[g 57 (a) Se f(x) = cos (1/x) - sen (1/x),
investigue limx_ 0 f(x) fazendo primeiro
x = 3,1830989x 10-/1para n = 2, 3, 4 C em
seguida fazendox = 3 x 10·/1para II = 2, 3, 4.
(b) Qual e 0 limite em (a)?
[g 58 (a) Se f(x) = x1/100 - 0,933, investigue
lim f(x) fazendo x = 10·/1para II = 1, 2, 3.
n-O+
,,1 lilll 2' - 2._ 1 39
l • I x-I J
(b) Qual parece ser 0 limite ern (0), equal e 0
limite efetivo?
~.2 DEFINIQAo DE LIMITE
A Definil;iio (2.4) desta sec;ao da 0 significado preciso de limite
de uma func;ao.Porque a definic;ao e apenas abstrata, comecemos
com uma i1ustrac;aofisica que pode tornar facil a compreensao.
Os cientistas frequentemente estudam a maneira como quanti-
dades variam, e se elas se aproximam de valores especificos sob
certas condi~6es. 0 aparelho ilustrado na Figura 2.10(i) e usado
para estudar 0 fluxo de IIquidos ou gases. Consiste em urn tubo
Venturi (urn tuba cilindrico com uma constricc;ao estreita) e dois
medidores que medem a pressao de urn IIquido ou gas nas partes
nao-constrictas do tubo. (Outros tipos de medidores podem medir
a velocidade do fluxo de IIquido ou gas ao percorrer 0 tubo.)
Suponhamos que 0 Iiquido enlre no tuba pela esquerda,
com uma certa velocidade. (A noc;ao de velocidade sera definida
no Capitulo 3.) 0 medidor de pressao interna acusa uma medida
x da pressao na parte nao-constricta do tubo. Ao passar 0 IIquido
pela constri~ao, sua velocidade aumenta, e a pressao decresce
ate urn valor y, conforrne indicado pelo rnedidor de pressao
constricta. Fixemos nossa atenc;ao nos dois medidores, conforme
ilustrado na Figura 2.l0(ii). Utilizaremos esses rnedidores para
dar urn significado preciso a afirmac;ao y se aproxima de L
quando x se aproximo de a, ou simbolicamente,
(i)
Prcssao Inle0l3
x
a-b
[jfa
~~a+b
L + •£--0
Ao utilizarmos este eq\liparnento de laborat6rio, nao espe-
rarlamos que a pressao permanecesse exatamente em L por urn
longo periodo de tempo. Em lugar disso, nosso objetivo poderia
ser forc;ar y a permanecer muito proximo de L restringindo x a
valores pruximos de a. Emparlicular, se € (epsilon) denota urn
numero real posilivo pequeno, suponhamos que ele seja sufi-
cienle para que
conforme indicado no medidor de pressao constricta na Figura
2.10(ii). Urna afirmac;ao equivalente, utilizandu valores abso-
lutos, e
,
Se essas desigualdades san validas, dizemos que y tern toleran-
Cia-E e~ L. Por exemplo, a afirmac;ao y tem tolerilncia-O,Ol em
L significa IY - LI < 0,01; isto e, y esla a menos de 0,01 unidade
de L. Esta tolerlincia pode ser suficientemente precisa para fins
experimenlais.
Analogamente, consideremos urn pequeno numero positivo
o (delta) e definamos toleril/lcia-O em a no medidor de pressao
interna na Figura 2.10(ii). Em nosso estudo posterior de fun~6es,
e importante que x '" a. Antecipanda esta restric;ao, dizemos que
x tern tolerancia-o em a se
Dado E > 0 arbitrario, existe urn 0 > 0 tal que, se x telll
tolerancia·b em a, entao y tern tolerlincia-E em L? Se a res posta
e afirmativa, escrevemos lirn y = L.
E importante nolar que, se lim,_" y = L, entao /lao illlporia
quao peque/lo seja E, podelllos sempre achor 1/111 b > 0 lal que,
se x e restrito ao intervalo (0 - b, II -I- b) no rnediclor de prcssflO
interna (e x '" a), enlao y eslara no intervalo (L - E, L + e) no
medidor de pressao conslricla.
Esta c uma interprela~flo mais precisa do conceito de limile
do que a usacla na Se~;\o 2.1, onde empregamos palavras tais
como IIIlIis proximo e se aproximo. Reforrnulando a ultima
queslao e sua resposta CI11 termos de desigualdades, obtemos a
seguinte arinnac;ao
Definlt;ao de {{mite
de uma fungao (2.4)
:-t_.
i
L L .••
Definigao alternativa
de {{mite (2.5)
que significa, para todo I'. > 0, existe urn &> 0 tal que
se 0 < Ix - al < &,entao IY - LI < I'.
Se f(x) tem um limite quando x ten de para a, entao tal
limite e ll/lico. A dernonstra<;iio e dada no principio do Apendice 11.
Ao utilizar as Defini~oes (2.4) ou (2.5), para rnostrar que
Iirn,_a f(x) = L, e da maxima importallcia ter presente a ordem
em que cOllsideramos os lllimeros I'. e &.Devernos sernpre seguir
os dois passos abaixo:Eslarnos agora a urn passo da formula"ao da defini"ao de limite
de urna fun~ao f. Basta fazermos y = f(x) na discussao
precedente. Isto nos da a defini<;iio seguinte, que contern tarnbern
as condi~oes irnpostas 11 fun"ao f.
Passo 2 Mostrar que existe urn & > 0 tal que se x tern
tolerancia-& em a, entao f(x) tern tolerancia-f. em L.
o nurnero & no limite nao e unico, pois, achado urn &
especifico, .entao qualquer nurnero positive &1mellor do que &
tarnbern satisfara as exigencias.
Antes de considerarmos exernplos, reforrnulernos a discus-
sao precedente em term os do griifico da fun~ao f. Em particular,
para I'. > 0 e & > 0, ternos a seguinle inlerprela"ao griifica das
tolerancias, em que P(x, f(x») denota urn ponto no griifico de f.
·~~~~~§.~~T~i~ra~cia. ';. IDterpreta~iio Grafica
f(x) tern tolerancia-f. em L P(x, f(x» esta entre as retas
horizontais = L ~ I'.
X tern tolerancia-& em a x esta no intervalo (a - &,a "'"
&)no eixo-x, ex", a
A desigualdade 0 < I x - al < & e por vezes chamada
toledincia-& e a desigualdade If(x) - LI < f., tolerlincia-€.
Se quisermos dar 11 DefiDi~ao(2.4) uma forma que nao .
contenha 0 sfmbolo de valor absoluto, basta no tar que
(i) 0 < Ix - al < &equivale a a - &< x < a + & ex •• a
(ii) If(x) - LI < I'. equivale a L - I'. < f(x) < L + I'.
A Figura 2.11 representa graficamente as desigualdades (i)
e (ii) em urna reta real. Podernos reformular como segue a
Defini"ao (2.4).
Os dois passos para mostrar que Iirnx_. f(x) = L
podem s 'r
agora interpretados graficamente como segue:
Passo 1 Para I'. > 0 arbitnirio, considere as retas hori:Gon·
tais y = L ~ E (exibidas na Figura 2.12).
Passo 2 Mostre que existe urn & > 0 tal que se x cst nO
intervalo aberto (a - &,a + &) ex", a, entao P(x, f(x» CSI~ 'Ill,
as retas horizontais y = L ~ I'. (isto e, dentro da rcgiao rctllll/llllril
hachurada da Figura 2.13).
;'
Use a Defini<;ao (2.4) para provar que lim (3x - 5) ~ 7.
x~4
SOLUc;:Ao
Fazendo, na Defini<;ao (2.4), f(x) = 3 x - 5, a = 4 e L = 7,
devemos mostrar que para E > 0 arbitnirio, podemos achar urn
b > 0 tal que
(*) se 0 < Ix - 41 < b, enlao 1(3x - 5) - 71 < E
Na resolu<;ao de problemas de desigualdade des Ie lipo, podemos
em geral obter uma escolha adequada de b examinando a
afirma<;ao de toleriincia-E. Is to conduz as seguintes desigualda-
des equivalentes:
I (3x - 5) - 71 < E
I3x - 121 < E
13(x - 4) I < E
31x- 41 < E
Ix-41 <~E
(afirma<;ao de toleriincia-E)
(simplifica<;ao)
(fator comum 3)
(propriedades do valor absolulo)
(multiplica<;ao por~)
A desigualdade final acima nos da a chave necessaria. Especi-
ficamente, escolhemos b tal que b ,,; ~ E e obtemos as seguintes
desigualdades equivalentes:
la\a-o a+o
u<lx':'41 <b
0<lx-41 <1.E
3
0<3lx-41 <E
° < 13x - 121 < E
0< I (3x - 5) - 71 < E
(afirma<;ao de toleriincia-b)
(escolha de b ,,;~ E)
(multiplica<;ao por 3)
(propriedades do valor absoluto)
([orma cquivalente)
o proximo exemplo ilustra como 0 proccsso gcometrico
exibido nas Figuras 2.12 e 2.13 pocle scr aplicaclo a uma
delerminada fun<;ao.
Consideremos 0 casu a > 0. Aplicaremos a clefini<;ao alternativa
(2.5) com f(x) = x'- e L = a2• Assim, daclo E > 0 arbitrario,
clevemos achar b > 0 tal que
(*) se x est a em (a - b, a + b) ex •• a, entao x'- esta em (a2 - E,
02 + E).
A chave para a escolha adequada de b est a no exame das
interpreta<;6es graficas das afirma<;6es de toleriincia. Assim, tal
como no passo 1 da pagina 67, consideremos as retas horizontais
y ~ 02 ± E. Conforme a Figura 2.14, est as retas interceptam,o
grafico de y = x'- em pontos com coordenadas-x ~ e
va" + Eo Notemos que se x esta no intervalo aberto (~,
va" + E), entao 0 ponto (X, ,y2) do grafico de f esta entre as retas
horizontais. Se escolhermos urn numero positivo b menor do que
va" + E - a e a -~, com a2 - E > 0, conforme i1ustrado na
Figura 2.15, cntao quandoxtem toleriincia-b em a, 0 ponto (x, x'-)
est a entre as retas horizontais y = a2 ± E (istoe, x'- tern tolcriincia-E
em a2). Isto prova (*). Conquanto tenhamos considerado apenas
o caso a > 0, argumento semelhante e aplicaclo se a ,,;O.
Os dois pr6ximos exemplos, ja discuticlos na Se<;ao 2.1,
indicam como 0 processo geometrico ilustrado na Figura 2.13
pode ser usadl'l para mostrar que certos limites nao cxistcm,
EXEMPLO 3
M I· 1 - .ostre que un - nao eXlste.
x-OX
lim.!.=L
x-oX
para algum numero 1. Consideremos urn par arbitrario de retas
horizontais y = L ± E conforme iluslrado na FIgura 2.16. Cf\'TlO
estamos supondo que 0 limite existe, deve ser possivel achal Llm
intervalo aberto (0 - &, 0 + &) ou equivalentemente (-0, &), tal
que, se -0 > x > & ex •• 0, entao 0 ponto (x, l/x) do grafico esta
entre as retas horizontais. Mas como I~ Ipode tornar-se tao
grande quanto queiramos, bastando tomar x pr6ximo de 0, alguns
pontos do grafico estarao acima ou abaixo das linhas. Logo,
nossa suposi,<ao e falsa; iSIOe, limx_o (l/x) •• L para qualquer
numero L. Assim, 0 limite nao existe.
J(x)= y
x
y - L + f
;::::W!. .,.,.
L 1Y = - f
-0 0 x
-1
,
'.':;: ....•
."
Se f(x) = kl, mostre que lim f(x) nao existe.
x x-o
o gn\fico de f esla esbo,<ado na Figura 2.17. Se considerarmos
qualquer par de retas horizontais y = L ± E, com 0 < E < 1, entao
sempre haven! pontos do grafico que nao eslao entre essas retas.
Na Figura 2.17 ilustramos 0 caso L > 0; todavia nossa prova e
valida para qualquer 1. Como nao podemos achar urn 0 > 0 tal
que 0 passo 2 da pagina 67 seja verdadeiro, 0 limite nao existe.
o teorema seguinte afifl11a que se lima fwu;ao f tem limile
posilivo qualldo x lellde para a, ell/ao f(x) e positiva em algllm
intell'alo aberlo colllelldo a, com possive! exces;ao do proprio a.
;i Se Jiin:' ,. f(x) = L e L > 0, entao existe urn intervalo
.' , ab~rto (;;a_ &, a + 0) contendo a tal que f(x) > 0 para todo
.f!xem(a- 0, a +,&), exceto possivelmente se x = a.
Se L > 0 e fizermos E = 1 L, entao as retas horizontais y = L ±
2
estao acima do eixo-x, conforme ilustrado na Figura 2.18. Peln
Defini,<ao (2.5), existe urn 0 > 0 tal que, se a - & < x < a + & c
x •• a entao L - E < f(x) < L + E. Como f(x) > L - EeL - E > 0,
segu~-se que f(x) > 0 para esses valores de x.
Pode-se tambem provar que se f lelll 11/1/ /ill/;I' 111'111/1iltJ
quando x tellde para a, enlao exislc 11/11 illlerva 100/)1:1'111 COllI/lilt/II
a'lal que.f(x) < 0para lodox 110illlcrvlllo. cOIII/Josslvl'! '·.\I'r~ II
do proprio x = a.
Podem-se fonnular defini<;6es formais para limites laterais.
Para 0 limite a direita x --+ a+ substilu[mos a condi<;ao
0< Ix - al < 0 na Defini<;~o (2.4) por a < x < a + O. Em termos
na Defini<;ao (2.5) alternativa, restringimos x a metade direila
(a, a + 1\) do intervale (a .:.-1\, a + 1\). Da mesma forma, para 0
limite a esquerda x --+ a- substitufmos 0 < 1x - al < 1\ em (2.4)
por a - 1\ < x < a. 1510 equivale a restringir x a metade esquerda
(a -1\, a) do intervalo (a - 1\, a + 1\) em (2.5).
I':•• ·•.•'N. 1-2: Expresse a cODdi~aode limite na forma
(II) till I»lilli<;ao (2.4) e (b) da Defini~ao Altemativa
( 'I).
11:.'·''C'N. :\·6: Expresse a condi~ao de limite lateral
fll,' 1<1'mn semethante (a) 11da Defini<;ao (2.4) e
(II h <IIIJ)efini<;ao Alternaliva (2.5).
":.""','.7-12: Para limx~af(x) = LeE dados, use
II 1\1~lkll <IeI para achar 0 maior b, tal que se
II I, al< b, entao !fIx) - LI < E.
'7 "," 4"'~_::2~ 6'
•• 111. /_f - 3 '
9x2-4
H J "' --- ~ -4'
,.'/,,3.r+2 '
I',~'·II'N. t.l-24: Use a Defini~ao (2.4) para pravar que
" I IIt1II' ·.,isle.
Exercs. 25-30: Use " mctodo grafico ilustrado no
ExempJo 2 para,verificar 0 limite para'a > O.
I . ~
25 lim xl ~ a2 ! 26 Jim (x2~·1) ;= a2 + 1
x-a
\"
27Iimx3=a\
31 Jim k.=1I
.• ~3 x-3
Exercs. 31-38: Use 0 mctodo i1uslrado nos Exem-
plos 3 e 4 para mostrar que 0 limite nao existe.
331im 3x + 3
x--lr<+11
35 Jim ..;
x-o r
32 lim x+ 2
x- -2 Ix + 21
34lim ~
x- 5 ~<- 51
361im _7_
x~4 x-4
39 Dc urn excillplo de \IIIIa (un<;"oI dcfinida elll ",
tal que lilllx -'" Ilx) existe e li01,-. n Ilx) ••f( a).
40 Se I c a fU\I<;iiomaior inteiro (veja Exemplo 4 ua
Se<;iio 1.2) e (I cO 11111 inteiro arlJitrario, Illostre que
limx_" IIx) niio ex isle.
{
o se x e racional
I(x) ~ 1 se x e irracional
Mostre que Jim, ->n f( x) nfio existe para nenhum
IIllmcro real II.
42 Par que nfio podcmos invcstigar lilllx 0 Vi com
:luxilio da Defilli<;fio (2.4)1
2.3 TECNICAS PARA A DETERMINA<;Ao DE L1MITES
Seria excessivame~te laborioso verificar cada limite por meio
das Defini<;6es (2.4) ou (2.5). 0 objetivo desla se<;iio e introdllzir
teoremas que perrnilam simplificar problemas que envolvam
liroites. Antes de enllnciar 0 primeiro teorema, consideremos os
limites de duas fun<;6es muilo simples:
(i) A fun<;iio conslanle f dada por f(x) = c
(ii) A fun<;iio linear g dada pOl g(x) = x
o gnlfico de f e a reta horizontal y = e esbo<;ado na Figura
2.19 para 0 caso c > O. Como
I/(x) - el = Ie - cl = 0 para lodo x
g(x) '" x
.y
(X) c
x
e como 0 e menor que qualquer E > 0, decorre da Defini"ao (2.4)
que f(x) tern 0 limite c quando x tende para a. Assim,
Constuma-se indicar estelimite dizendo que 0 limite de
IUlla collstante e a pr6pria constante.
o gnHico da fun"ao linear g dada em (ii) esta esbo"ado na
Figura 2.20. Quando x ten de para a, g(x) tende para a;
isto e,
lim g(x) = lim x = a
;(-Q' X;'Q
Pode-se deterrninar 0 limite precedente tambem por meio
da Defini"ao (2.4). Indicamos estes fatos para referencia no
pr6ximo teorema.
(i)!;limc=t - -- -
'<l~~~~~*f~' '';'
Como veremos, os \imites do Teorema (2.7) podem servir
de base para a determlmi"ao de -limites de express6es assaz
complicadas.
Muitas fun,,6es podem ser expressas como somas, diferen-
"as, produtos e quocientes de outras fun,,6es. Suponhamos as
fun,,6es f e g, e L e M numeros reais. Se
o pr6ximo teorema mostra que esta expectativa e verdadeira e
da resultados analogos para .produtos e quocientes.
-, _,..-,- ;\/"'>1 -
. Se lim f(x) e Jim g(x) existem ambos, entao
~:r~<:~~.~uli:;;.~.,} ~.:.:/.~'
(;)l:im "rf(~) +g(x)} = \im f(~) ~ lim g(x)
Podemos enunciar como segue as propriedades do Teorema (2.8):
(i) 0 limite de uma soma e a soma dos limites.
(ii) 0 limite de urn produto e 0 produto dos limites.
(iii) 0 limite de urn quocienle e 0 quociente dos limiles, desdc
que 0 limite do denominador seja diferente de zero.
(iv) 0 \imite de uma constante vezes uma fun"ao c igua'l 1\
constante vezes 0 limite da fun"ao.
(v) 0 limite de uma diferen"a e a diferenca dos limitcs.
No Apendice II encontram-se provas de (i) e (iii), bascadlls
na Ddini"ao (2.4). A parte (iv) do teorema decorre dirclalllclIl .
da parte (ii) e do Teorema (2.7)(i):
;~ [cf(x)] = (~~Qc] b~/(x)l~c [~~~/(x)]
Para prmiar (v), podemos escrevcr
f(x) - g(x) = f(x) + (-1) g(x)
e usar, (i) e'(iv) com c = -1.
Usaremos os teoremas prcccdcnlcs pilm 'slllh'II"'(\I II
I seguinte.
Em vista de (i) e (iv) do Teorema (2.8):
Jim (mx + b) = Jim (mx) + Jim b
=m (limx)+b
x-a
=ma+b
Pade-se provar este resultado tambem diretamente pela
Defini~iio (2.4).
ILUSTRAC;Ao
E foleil achar 0 limite do proximo exemplo aplicando-se os
Teoremas (2.8) e (2.9). Para melhor avaliarmos 0 poder desses
teoremas, poderiamos tenlar verificar 0 limite usando apenas a
Defini~iio (2.4).
Determine Jim 3x + 4
x_25x + 7
Pelo Teorema (2.9), sabemos que os Jimiles do numerador e
denominador existem. A1em disso, 0 limite do denominador e
diferente de zero. Logo, pelos Teoremas (2.8)(iii) e (2.9),
Jim (3x+ 4)
lim 3x + 4 =x~:--~2~__3(2) + 4 10
x_25x+ 7 hm (5x+ 7) = 5(2) + 7 =17
.T-2
o Teorema (2.8) pode ser eSlendido a limites de somas,
diferen~as, produtos e quocientes que envolvam um niimero
arbitrario de fun~6es. No proximo exemplo utilizamos (ii) para
o produlo de Ires fun~6es (iguais).
Prove que lim);3 = aJ.
x-a
Jim xl "':lim (x. x. x)
x-a
= (Jimx). (Iimx). (Jimx)
x-a x-a x-a
=a.a.a=aJ
o metodo usado no ExempJo 2 pode ser estendido ax· para
qualquer inteiro POSilivo n.Basta escrevermosx" como 0 produto
x.x .... x. de n fatores e tomar 0 limite de cada falor. Islo nos dol
(i) do pr6ximo teorema. A parte (ii) pode ser provada de
maneira anolloga apelando para 0 Teorema (2.8)(ii). Outro me-
todo de prova consiste em utiJizar a indu~iio matemollica (ver
Apendice I).
; ;r~i{~._.a.f:qI1f)]"'7{xli~a fiX)] n,
0" .
.:.",,:' :.d~sde·q~'e Ijrnfix) exista
x-a
Determine Jim (3x + 4)5.
x-2
SOLUc;:Ao
Aplicando os Teoremas (2.1O)(ii) e (2.9), temos
. 5
lim (3x + 4f .- [:~ (3x + 4) ]
x-2
= [3(2) + 4]5
= 105 = 100.000
Determine Jim (5x3 + 3r - 6).
.1'--2
lim (5)..3+ 3r - 6) = lim (5x3) + Jim (3r) - Jim (6)
x--2 x--2 x--2 .1'--2
= 5 Jim (x3) + 3 lim (r) - 6
x--2 x--2
= 5(_2)3 + 3(-2)2 - 6
= 5(-8)+ 3(4).- 6 = -34
o limite no ExempJo 4 eo mlmero obtido pela substitui<;ao _
de x por -2 em 5x3 + 3r - 6. 0 pr6ximo teorema afuma que 0
fato e verdadeiro para todo polin6mio. ' . .
'j ,-.i ,~: .. <.: :\\~i<':"~;·"i'.:q;<~,~·':~~l~'·,~",:-.', ".',
iSeI~'um#un<;aijpolinomial ~ a e urn numero real, entao
·:·····.~y,;(.1E·i\y)\:~!~;J~,/(x)=f(a): ". .
, ;. .. ...:.,~.. .'): .;'.:~:--~.,
Como f e uni~ fun~ao polinomial,
f(x) = b/ + b" _1x: -I + ... +bo
Jim f(x) = lim (b/) + Jim (b,,_,x"-') + ... + lim bo
x-a x-a x-a x-a
= b" lim (x") + b,,_, Jim (x"-') + ... + lim bo
x-a x-a x-a
\ .Jim q(x) = q(a)
Como q e uma fun<;ao racional, q(x) = f(x)/h(x), em que f e "
sac polin6mios. Se a esta no dominie de q, enlao h(a) ;< O. Os
teoremas (2.8)(iii) e (2.11) nos dao
. :~af(x) .fM
hmq(x)=-J'/()=/()=q(a)
••.....• (1 1m 1 x 1 a
r 5r-2x+1
x~ 4x3-7
Aplicando 0 Corolario (2.12), vem
. 5)...2 - 2x + 1 5(3)2 - 2(3) + 1
:~ 4x3 - 7 = 4(3)3 - 7
45 - 6 + 1 40
108 -7 = 101
o pr6ximo leorema afirma que, para raizes inlciras J ONII
vas de x, podemos determinar urn limite por substitui<; o. Nil
Apendice II encontra-se uma prova, usando a Dcfini<;f1o ( /I).
:,'1; ~¥,~~:~.2·~!J.~9jir~;t6~o·~~~itiVO, ou sc II sac 1/ ' 11111
;a),n!~H'?P,<!~l,t,l~?,}~p'~r '. ~ntao
~~i3!~'Q11tf::;i:;;;');:\;:;)';);<"ii~Vi = va
,',:- x-a.. , •.. ~
Se III e /I sac inteiros positivos c {/ 0, '111 ", I'I'III~
Teoremas (2.1O)(ii) e (2.13),
Jim( V'X r= (limii..)m = (va )'"
x-a x-a
Esta fonnula de limite pode ser estendida a expoentes
negativos escrevendo-se x·r = 1/:( e utilizando 0 Teorema (2.9)(iii),
D . I'. x'" + 35etennme x~ 4 - (16/x)'
Pode:nos proceder como segue (de. as razoes):
lim (xl', + 35)
x-8, xl', +35hm
x-84 - (16/x) !im [4 - (16/x))
x-8
!im x'" + lim 35
8'~+3Y8
4 - (16/8)
= 4 + 6V2 = 2 + 3V2
4-2
.Se uma funCSaof tern. urn linJite'q~~ndJitende para a,
entao ~ ".'., .:. .:'>: ~,::,~_ .. ' .". " .
',"\,.-)~.";.' n~·<;;~:<~~nf':..
.. _ ,~.~ =V'x!i:.?~,t~x),.;' .
.:,~'._~: ';"T; .. ,.·~~_·~;:-:--·;~~-:'--~::/-t· ·;,·:;/:··~:.·.;·>:.:-',·,·..i~.t.~~{,':·Y-r·~:-"';'··'.~:·:··
'desde que Ii 'sejauiI), inteiro posiiivo)mpar' ou n~!,cja urn
'mteiropositivopa?c'jiID7(x»0: ".' .'." ~._
x-a
o teorema precedente sera demonstrado na SeCSao2.5. Par
enquanto, usa-Io-emos sempre que aplicavel, para adquirir ex-
periencia na detenninacsao de limites que envolvam raizes de
expressoes algebricas.
Determine Jim ~3X! - 4x + 9
x-5
.. "., ,,,,.' ,,, ... :, ..,. '," ~i . " .. , .
PeiosTeorcmas(2,14) e ,(2.11), obtemos
lim {I30? - 4x + 9= ~lim 3>.-2 - 4x + 9
x-s x-s
= ~~7~5--~2~O-+-9~= ~ = 4
o proximo teorema diz respeito a tres funcsoes f, h e g tais
que h(x) esteja entre f(x) e g(x), ou seja, "imprensada" entre
f(x) e g(x), Se f e g tern urn limite comum L quando x tende
para a, entao, confonne afirma 0 teorema, h deve ter 0 mesmo
limite. ",
Teorema do Sandufche (2.15) '~sJ~a'hb.hiiiJ~~%~)ih(xY:s'g(~fpa;alod~ x eni uIll
..:'iIit6iValo"i1berto'conlendo a,e}{ceto possivelrnente para 0
i~~(~]\:!;j;&;;;;2,L>~i;0~").'rtl'O~~ah(x) =L. .....
·,·x-a .. x-a ....... ., '. ,,- ..'.... :.,~:..
y = g(x)0,.G",
'L Y = 1(x)
l-l------~-x
Se f(x) s hex) s g(x) para todo x em urn intervalo aberto
contendo x, entao 0 grafico de h estara entre os graficos de f e
g naquele intervalo, confonne ilustrado na Figura 2.21. Se f e
g tern 0 mesmo limite L quando x tende para a, entao, pelo
grMico, h tern 0 mesmo limite L. No Apendice II e dada uma
demonstracsao deste teorema, baseada na definicsao de limite.
Use 0 1,'eorema (2.15) para provar que
lim ),2 sen ~ = 0
x-o X
1
. -1 s sen ;? s 1
para todo x'" 0, Multiplicando por.r (que c pOSilivll SC .~ ••• 0),
obtemos
IY
i
1~,C;
-+--+----~
x
I
Esta desigualdade implica que 0 gn'ifico de y • :x? sen(l/:x?)
esta entre os graficos das parabolas y = -:x? ey =:x? (veja a Figura
2.22). Como
lim (-:x?) = 0 e Iim r = 0,
x-o x-a
Iim :x? sen 1,= 0
x-o x-
Podem-se demonstrar, para limites laterais, teoremas ana-
logos aos estudados nesta se<;ao. Por exemplo,
lim.!J(x) + g(i)] = lim f(x) + (im g(x)
x-a x-a z-a+
com as restri<;6es usuais sobre a existeDcia de limites e ralzes
de ordem II. Val em resultados analogos para Iimites laterais
esquerdos.
Determine lim (1 + .,Ix - 2)
x-2+
A Figura 2.23 e urn esbo<;o de f(x) = 1 + .,Ix - 2 ..Por
meio de
lirnites laterais, obtemos
lim (1 + .,Ix - 2) = Jim 1 + lim "(x - 2)
,1'-2+ . x"-i+ .x-2+
Note que nao M limite lateral a esquerda, ou limite quando
x tende para 2-, po is .,Ix - 2 nao e urn Dumero real se x < 2.
;..-L---..:
~>
_1__
Seja c a velocidade da luz (aproximadamente 3,0 x loB mis, ou
300.000 km/s). Pel a teoria de Einstein (teoria da relatividade), II
fOrmlll? de contra<;ao de Lorentz
especifica a rela<;ao entre (1) 0 comprimento L de urn objeto quc
se move a uma velocidade v com respeito a urn observador c
(2) seu comprimento Lo em repouso (ver Figura 2.24). A f6rmula
implica que 0 com prim en to do objeto medido pelo observador
e menor quando 0 objeto est a em movimento do que quando
est a em repouso. Determine e interprete limy_c' L, e cxpliquc
por que e necessario urn limite lateral esquerdo.
Assim, se a velocidade de urn objelo plld '55' "!l'IIX ""11
da velocidade da luz, seu comprimenlO, II'cciido pill 11111 nil "
vador em repouso, tenderia para zero. Est· f 'S\lllacill pll' VI II
utilizado para justificar a teoria de que II v '101'1111111' tlii lill II
ultima (ou absoluta) velocidade no lJllivl:ISlI; 1111 111'111, Iii IIhlllll
objeto pode adquirir Ilma vclocidade qllo Sil 11\11111nil I!PI II I
velocidade da luz,' c.
Faz.se necessario considefnf II 111111 1111 1111 ,"qll' lilt,
porque, sc v> c, entao 1- (v /c~) n" .11\1 1111111111 II \II
, Ilfl ,~/" '''''' (I,'tN/it·t"" I\",I/("eo Cap. 2--'----'------------~--------
I IIII~. 1 "11: t INC OS' teo~cnias .~~- " , 4_~_ 6x + '3'
1111 IIntllll" plllflil ICI'minar0 limite 20 lun 16.~ 8x' 7
IllhOHlu ~lh' " x ---1/1 +.-
21 lim 2~+5x - 3
x-1/2 W - 7x + 2
IIn\ I',
• {I
11111 V
\\
11111 ,
\ • J
1111 ,
1'\
I "' (" ~)~
II 1111,( It 1,1)
• • J
1111, I 5
• , J 'II 1.1
II
II 1
IIln \
llfl I II
'I IInl ( 11, )"
1
28 Jim x + 3
x- -3 (l/x) + (1/3)
29 lim (L__1_)
x-I x-I x-I
221im x-2
x-2 r-8
, 23 J.x'..,;-2
',1m ---2-
, x-2 (x-2)
~ ,
241im' ~
x - -2 x' + 5x + 6
251im r +8 ,
x--2 x4-16
261irn x-I6
x-16VX-4
27 lim (l/x) - (112)
x-2
1111111(\' 1)\
J
II 1 11\ ( II 1)1'"
, .\
11111(-1\ 1)\1)
t '/11
1111111(11' II" 7)
J
6
30 Jim (vx + J)
x -- 1 vx
31 I· 2vx+rn1m-4--
x-16 Vi + 5
32 I' 16?J
• 1m 413
x--84-x
33 lim ?? - 5x - 4
x---4
\12 + 5x- 3.r'
.\2 _ 1
36 Jim {jx-a
x + It
III III 11111 ,
, 1'\ 'I
37Iillli-v')6+1~
I. -. 0 h
38 lim (1)'( ~ -1)
h-O h vI +'n
'''~, •.,. ..•...;-.. ..'....~_., .,'
39 lim x' +x- 2
x-I xl-I
40 I'· x2-7x+ 10
;r~~ x6_64
42 Jim V3fCl'+4 ~3k + 2 '
k-2
43Jirn(~+3)
x-5'
4- I' -I(x - 3?:> un---
, x-3x-J
46Jim x+IO
x--IO'''';(-<+ 1W
47 Jim 1 + v'2t=lO.:
x-5' X + 3
48 lim ~x'-16
.,_,' x+ 4
Exercs. 49-52: Determine cada li-
mite, se existir:
(a) limJ(x) (b) limJ(x)
x-a
49 f(x)=v'5-x; a=5
50 fix) =~; a = 2
51 f(x) = ~; a = 1
52 f(x) = .?J; a = -8
Exercs. 53-56: Seja /I Urn inteiro
arbitr;hio. Esboce 0 gnifico de J e
determine Jim J(x) e Jim f(x).
J:--oon- X-I1"
54 J(x) " n se n ,,;x < /I + 1 .
55 J(x) = {X sex=no sex"/I
56 J(x) = {O sex = /I
1 sex" /I
Exercs. 57-60: Denoiemos por [[ ]] a fun~ao maior
inteiro, e seja n urn inteiro arbitrario. Determine
57 J(x) = [[x]]
58 J(x) = x - [[x]]
59 J(x) = -[[-x]]
60 J(x) = [[x]]- x'
Exercs. 61-64: Use 0 Teorema (2.15) para verificar 0
limite.
61 lim (x' + 1) = 1 (Sugestao: Use lim (lxl + 1) = 1.)
x-a -..- x-o
62 lim Ixl = 0
x-o -Ix' + 4x' + 7
(Sugestao: Use f(x) = 0 e g(x) = Ixl.)
63 Jim x sen(l/x) = 0x-o
(Sugestao: Use J(;) = -Ixl e g(x) = ~tl.)
64 lim x4 sell(11 ~) - 0 (Sugestao: veja Exemplo 8.)
x-o
65 Se 0 " J(x) ,,; c para algum real c, prove que
Jimx"'o x2 J(x) = O.
66 Se Jimx-a fix) = L " 0 e limx -a g(x) = 0, prove
que Jimx- a [J(x)lg(x)] nao existe. (Sugestao:
Suponha que ex isle urn n6mero' M lal que
Jimx _ a [J(x)lg(x)] =M e considere
limx_a fix) = Jimx_a [g(x)·f(x)lg(x)].)
67 ExpJique por que
Jim (x sen 1) " (Jim .~) (Iim sen 1).
x-o x \1'-0 '(-0 X
68 ExpJique por que lim (1+ x) " lim !-+ lim x.
x-a x x-ox x~o
69 A lei de Charles para gases afirma que se a pressao
pennanece constante, enta~a reJa~o entre 0 volume
V que um gas ocupa e sua temperatura T (em "C)
e dada por V = Vo(l + 2\;-1). A lemperatura
T = -273 "C e 0 zero absollltO.
(b) Por que e necessario urn Jimite 11 direita?
70 De acordo com a teoria da relatividade, 0 compri-
mento de urn objeto depende de' sua veJocidade v
(veja 0 Exemplo 10). Einstein tambem provou que
a massa m de urn objelo esta relacionada com v
pela formula.
mo
m = VI _ (v2/c")'
(b) Por que e necessario urn limite 11 esquerda?
71 Uma lenle coovexa tern dislancia focal J cm. Se
urn objeto esla coJocado a p cm da lenle, entao a
distancia q cm da imagem 11 lente esta relacionada
com p e J pela eqlla~ao da lente
1 1 1-+-=-
P q f
Conforme a figura "baixo, p deve ser maior do
que f para que os raios sejam convergentes.
(a) Investigue lin} q.
p~f'
(b) Que acontece com a inmgem quando p ..• J+?
, . '
i-f-+-r...!
!...-p--~:'~--q--,..:
72 A figura exibe urn vidro de aumento simples,
consist indo em uma Jente convexa. 0 objelo a ser
arnpJiado esta posicion ado de modo que sua
distiincia p em rela"iio a lente seja menor do que
a distiincia focalf. A ampJia"iio linear Mea raziio
do tamanho da imagem para 0 tamanho do objeto.
Por meio de triiingulos· semelhantes, obtemos
M = q/p, onde q e a distiincia entre a imagem e a
Jente.
(b) Investigue JimM e expJique 0 que esta
p-f
acontecendo ao tamanho da imagem quando
p-r.
..,'L .•..
..~:::.::::::::::::::.
Imagem Objet;;"
(a) Determine JimM e expJique por que se loma
p-O'
necessario urn limite a direita.
L-jP-::
'~----q----~
Ao investigannos limx_._ fix) ou limx-':.' f(x), pode ocorrer
que, ao tender x para a, 0 valor f(x) da fum;iio ou aumente sem
limite, ou decresc;a sem limite. Como ilustrac;ao consideremos
. 1
f(x)=-
x-2
A Figura 2.25esboc;a 0 grafico de f. Pode-se mostrar, como
no Exemplo 3 das Sec;6es 2.1 e 2.2, que
I. 1 - .1m--2 nao eXIste
x_2X-
Veja alguns valores funcionais de x pr6ximos de 2, com
x> 2:
2,1 2,01 2,001 2,00001
J(x) 10 100 1.000 10.000
2,00001 2,000001
100.000 1.000'.000
Quando x se aproxima de 2 pel a direita, f(x) aumenta sem
limite, no sentidode que 'podemos tomar f(x) arbitrariamente
grande, escolhendo x suficielllemente p~6xim~ de 2 e' x > 2.
Denolamos este fato escrevendo
11·
Jim x _ 2 = 00, ou x _ 2·-" 00 quando x -.. 2+
x-2'
o simbolo 00 (infinito) nao representa urn numero real. E
apenas uma notac;ao para denotar 0 comportamento de. ·certas
func;6es. Assim, embora digamos que quando x se aproxima de
2 pela direira, 1/(x-2) se aproxima de 00 (ou tende para 00), ou
que 0 limite de 1/(x-2) e igual a 00, nao eslamos dizendo que
1/(x-2) esteja cad a vez mais pr6ximo de urn numero real, ou
que Jim
x
_z+ [1/(x - 2)] existe.
o simbolo _00 (menos infinito) e usado de modo analogo
para indicar que f(x) decresce sem limite (tomando valores
negativos muito grandes) quando x se aproxima de urn numero
real. Assim, para f(x) = 1/(x-2) (veja a Figura 2.25) escrevemos
1 1 _
Jim -- = -00 ou -- -+ 00 quando x -.. 2
x-2' x-2 'x-2
A FigllTa 2.26contem graficos (parciais) tipicos de funC;6cs
arbilrarias que tendem para 00 ou _00 de varias maneiras.
Consideramos a positivo, mas podemos ler tambem a :s O.
[(x) ~ - quandox ~ a-
J
Consideraremos tambem Jimites bi-Iaterais illlstrallos lit
Figura 2.27. A rela x = a nas Figuras 2.26 c 2.27 C'hflll\lIt111
assintota vertical do grafico de f.
(i) lirnf(x) =00, ouf(x)~ooquandox-H (ii) limJ(x)=-oo, ouJ(x)-)
x-t1J .1 ....• Q
\~
a:
I
I (\) ( -2)'
y
Note que, para que f(x) tenda para ·00 quando x tende para
a; ambos os limites a direita e a .esquerda devem
ser -00. Para
que f(x) tenda para ....00, ambos os Iimites latera is devem ser
-00. Se 0 limite de f(x), de urn lado de a, e 00 e do outro lado
de a e....oo(Figura 2.25), dizemos que 0 lim J(x) niio exisle.
E possivel estudar muitas fun<;6es algebricas que tendem
para 00 ou -00 raciocinando intuitivamente, como nos exemplos
seguintes. No final desta sec;ao daremos uma definic;ao formal
que pode ser utilizada para demonstrac;6es rigorosas.
Determine !~2(x ~ 2)2' se existir.
Se x esta proximo de 2 mas x " 2, entao (x - 2? e positivo e
proximo de zero. Logo, l/~ - 2)2 e grande e positivo. Como
podemos fazer l/(x - 2)2 arbitrariamente grande eseolhendo x
sufieientemente proximo de 2, vemos que 0 limite e igual a 00.
Assim, 0 limite nao existe.
. A Figura 2.28 esboc;a 0 griifico de y = !I(x - 2f Areta
x = 2 e assintota vertical do griifico.
(a) Se x est a proximo de 4 e x < 4, entao x - 4 esta proximo
de 0 e e negativo, e
lim __ 1__ = _00
x_.4.(X - 4)3
. I
f(x)= J
(x-4)
y
l~. . . x
R
C
V
(b) Se x est a proximo de 4 ex> 4, entao x - 4 e urn numero
positivo pequeno e; dai, 1/(x - 4? e urn numero positivo
grande. Assim,
1
lim (x _ 4)3 = 00
x-4+
lim ( ~4)3 nao existe
x-4 X
o gnlfico de y = !I(x - 4)3 est a esboc;ado na Figura 2.29. Areta
x = 4 e uma assintota vertical.
Certas formulas que· representam quantidades fisicas po-
dem conduzir a limites que envolvam infinito. Obviamente, uma
quantidade fisiea nao pode tender para infinito, mas uma analise
de uma situa<;ao hipotetica em que tal fato pudesse ocorrer, pode
sugerir usos para outras quantidades relacionadas. Considere,
por exemplo, a lei de Ohm na teoria da eletricidade, que afimla
que! = VIR, onde Rea resistencia (em ohms) de urn condutor,
Ve a diferen<;a de pOlencial (em volts) atraves do condutor e I
e a correnle (em amperes) que passa pelo condutor (veja a Figura
2.30). A resistencia de certas ligas tende para zero quando a
temperatura se aproxima do zero absoluto (aproximadamente
-273 'C), e a liga se toma urn supercondutor de eletricidade. Se
a voltagem Ve fixa, entao, para esse supercondutor,
. . V .
hm! =hm -=00
R-O' R_O-R
isto e, a corrente aumenta sem limite. Os supercondulores
permitem que grandes correntes sejam usadas em usinas gera-
doras au motores. Eles tern tambem aplicac;6es no transporte
terrestre a alta velocidade, no qual 0 forte campo magnetico
produzido por magnetos supercondutores permitem que os trens
levitem, nao havendo essencialmente fric<;ao enlre as rodas e os
trilhos. Possivelmente a utiliza<;ao mais importante para os
supercondutores esta nos circuitos para computadorcs, porquc
esses circuilos produzem pouquissimo calor.
Consideremos a seguir fun<;6es cujos valores Icnd '111 p:1I11
urn numero L quando Ixl sc toma muito grande. $cja
If(x)!" 2 +-
. x
I
f(x) = 2+
x
o grafico de f consta na Figura 2.31. Na tabela seguinte
relacionamos alguns valores de f(x) para x grande.
x 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000
01(-1
. f(x). 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001
Podemos tornar f(x) tao pr6ximo de 2 quanto quisermos,
escolhendo x suficientemente grande. Denota-se este fato por
Mais uma vez lembramos que 00 nao e urn numero real e,
assim, nenhuma variavel x jamais pode ser substitufda por 00. A
terminologiax se aproxima de 00, ou x tende para 00, nao significa
que x fique cada vez mais proximo de algum numero real.
Intuitivamente, imaginamos x crescendo sem limite, ou tomando
valores arbitrariamente gran des.
Se x decresce sem limile - isto e, se x tom a valores
negativos muilo grandes - entao, conforme indicado na pon,ao
do terceiro quadrante do grafico da Figura 2.31, 2 + (l/x)
novamenle se aproxima de 2, 'e escrevemos
Hm (2 +.!) = 2
X--«I x.
Antes de considerarmos exemplos adicionais, fo.nnulemos
defini<;6es para tais limites que envolvem infinilo, usando
lolerancia-e. para f(x) em L. Quando consideramos lim f(x) L
x-a
na Se<;ao 2.2, impusemos If(x) - LI < e. sempre que x eslivesse
pr6ximo de a ex", a. Na situa<;ao presenle, queremos
If(x) - LI < E quando x e suficientemente grande, islo e, maior
do que qualquer numero positivo M qado. Islo resulta na
defini<;ao seguinte, em que supomos f definida em urn intervalo
infinito (c, (0) para urn numero real c.
y= L + E
L
y= L-E
Se lim
x
_. j(x) = L dizenios que 0 limite de f(x), quando
x tende para 00, e L, ou que f(x) tende para L quando x tende
para 00. Costumamos escrever
E possivel dar uma int'erprela<;ao gr3fica de Jim f(x) = L.
x-~
Consideremos duas retas horizontais y = L ± e. (Figura 2.32).
De acordo com a Defini<;ao (2.16), se x 6 maior do que algum
numero positivo M, 0 ponto P(x, f(x» no gr3fico esla entre essas
duas retas horizontais. Intuitivamente sabemos que 0 grafico de
f fica cada vez mais pr6ximo da reta y = L, li medida que x cresce.
Areta y = L e chamada assfntota horizontal do grafico de f.
Conforme iJustrado na Figura 2.32, um grtifico pode interceptor
uma ass!nlOta horizontal. Areta y = 2 na Figura 2.31 e uma
assfntota horizontal para 0 grafico de f(x) = 2 + (l/x).
Na Figura 2.32 0 gr3fico de f lende para a assfnlota y = L
por baixo - isto e, com f(x) < L. Urn gr3fico pode lambem
tender para y = L por cima - ou seja, com f(x) > L - ou ainda
de outras maneiras, com f(x) lornando-se alternadamente maior
do que L e menor do que L, quando x -- 00.
A proxima defini<;ao aborda 0 caso em que x e grande
negativamente. Admitiremos f definida em urn intervalo infinito
(-eo, c) para algum real c.
Se lim f(x) = L, dizemos que. 0 limite de f(x), quando x
lende para --oo;'€:L, ou que f(x) tende para L quando x tende
para -co.'
A Figura 2.33 iJuslra a Definit;ao (2.17). Se considerarmos
retas horizontais y = L ± e, entao todo ponto P(x, f(x» do grafico
estara entre essas retas se x for menor que certo numero negativo
N. Areta y = L e uma assintata horizontal para 0 grafico de f.
Podem-se estabelecer teoremas analogos aas da Set;ao 2.3,
para limites que envolvam 0 infinito. Em particular, 0 Teorema
(2.8) relativo a Iimites de somas, produtos e quocientes e
verdadeiro para x ....•co ou x ....•-co. Analogamente, 0 Teorema
(2.14) sobre 0 limite de VJ(X'j vale se x ....•co ou x --> -co. Pode-se
mostrar tambem que
No Apendice II encontra-se uma prova do pr6ximo teore-
ma, usando a Defini~ao (2.16).
~;b~r~~::n~~e~~:.~;~:~a;;~~s,~:i~;~,f~~~,~~~~~.?O~~~~.'0'
':;." ;':\:';"~.' '. ,.,". ":.r-'-f"~::.:~~::'"'.:;'::".. :'_:.
.. :0 ; •.••.. ,:. ·c·'. .;.' c"'.
. 'c,' Hm t = 0 e limt= 0,
X_OIl X .%--(1') X
desde que ~ seja se~p~e d~fillido.
o Teorema (2.18) e litil para 0 estudo de limites de fun~oes
racionais. Especificamente,para achar lim,_~ f(x) ou limx_.~
f(x) para lima fl/l/(;oO racional f, primeiro dividimos nllmerador
e denominador de f(x) por ),", em que n e a mais alIa potcncia
de x qlle aparece no denom'illOdor, e em seguida aplicamos os
teoremas sobre limites. Esta tecnica e iluslrada nos Ires pr6ximos
exemplos.
EXEMPLO 3
. I' 2r-5DctermIne 1m 3? 2
z--= .l-+X+
A mais alia polencia de x no denominador e 2. Logo, pela regra
CIllII! iilda 110 parflgrafo prccedcnte, dividimos numerador e
d '1I011lilllldorpar .\' . aplicamos os teorcmas sobrc·limitcs. Assim,
lim (2-?)
x-~
=--------
Jim 2-lim ~
z--oo X_-4:J
= Iim3+1im .!.+lim ~
x-.....::m x_-ooX X--3)
U-5
Determine Jim 3x' + x + 2x-=
Como a mais alta pOlencia de x no denominador e 4, primciro
dividimas numerador e denominador por x', obten~o
2i3-5
Determine lim 3,il + x + 2
Como a mais alta potencia de x no denominador e 2, primeiro
dividimos numerador e denominador por x2, obtendo
Como cada termo da forma c/xX tende para 0 quando x -> 00,
vemos que
Jim (2x - 2) = 00 ez-~ ,il
EXEMPLO 6
~ ...
:Se f(x) = 4x + 3 ,determme
f(x) = "'9,,2 + 2 _ 3x = 1-
4x+3 4x 4
Isto sugere que !~f(x) =~. Para uma demonslra<;ao rigorosa,
pod em os escrev. r
v',il (9 + ~)
I· "'9r + 2 I· _lITI--- = 1m 4x+3
z-~ 4x + 3 z-~
#1/9 + 1,
r=Iim .
z-~ 4x+3
Se x e positivo, entao # =x, e dividindo por x 0
numerador e 0 denominador da ultima fra<;ao, obtemos
I. "'9,,2 + 2Im---
z-~ 4x+3
(b) Se x egrande e negativo, entao # = -x. Seguinclo os
mesmo passos cia parte (a), obtemos
. V97+2hm---
z __ ~4x+3
~
I
· ,il
= 1m ----
z--~ 4x+3
(-4";9 + '4.
=Iim x
z--~ 4x+3
-v'9+~
I· x= 1m . 3
z--~ 4x+-
x
Podemos tambem consiclerar 0 caso em 'Ill tanto. ('011111
f(x) tendem para 00 0..1 -00. Por exemplo, a igilalcllld·
.. Jim f(x)Q O?
x __ oo
significa que f(x) aumenta sern limite qllalldn •. d l'f' II'
limite, como seria 0 caso para J(x) = ,il.
~k~-
/~~--~--;
/I 1\ (I + b .
Os lipos dc limite envolvendo 00 ocorrcm nas aplica<;iics.
A tilulo de i1uslra<;lio, pode-se enunciar a lei da gravila<;lio
universal de Newton como: Toda parlieu/a no universo alrai
loda oulra part£eu/a eOIlluma [on;a proporciona/ ao produlo de
suas massas e inversamenle proporciona/ ao quadrado da
distancia enlre as parlieu/as. Em simbolos
em que F e a for<;a que alua em cad a particula, Ill) e 1Il2 slio as
massas das parllculas, rea dislancia entre elas e G e uma
conslante gravitacionaL Supondo IIll e /Il2 conslantes, obtemos
I 1Il)1Il2
lim F = Jim G -. 2- = 0
r-OO x-oo r
Islo nos diz que a medida que a dislancia entre as particulas
aumenla sem limite, a for<;a de atra<;ao lende para O. Teorica-
men Ie, sempre ha alguma atra<;lio; enlrclanto, se r e muito
grande, a atra<;lio ja nlio po de ser medida com 0 equipamento dc
laborat6rio convencional.
Concluiremos esla se<;lio dando uma defini<;lio formal de
lim [(x) = 00. A principal diferen<;a em rela<;lio ao nosso tra-
balbo na Se<;lio2.2 e que, em lugar de mostrar que If(x) - LI < E
sempre que x esta pr6ximo de a, considcramos qualquer numero
grande posilivo M e mostramos que f(x) >M semprc que x esta
pr6ximo de a.
signlfica que; para cadaM > 0, ex isle urn fl > 0 lal que
se 0 < Ix-a 1< fl, entaoJ(x) >M
Para uma interprela<;ao griifica da Defini<;lio (2.19), consi-
deremos uma rela horizontal arbitnlria y = M, conformeFigura
2.34. Se Jim j(x) = 00, entao sempre que x esta em urn intervalo
conveniente (a - fl, a + fl) ex.,. a, os pontos do grafico de f
estao acima da reta horizontal.
Para definir lim f(x) = -00 basta alterar a Defini<;ao (2.19),
substituindo M > 0 por N < 0 e f(x) > M por f(x) < N. Neste
caso, consideramos uma rela horizontal arbitraria y = N (com N
negativo), e 0 gr3fico de f estara abaixo desta reta sempre que
x estiver em urn intervalo conveniente (a - fl, a + fl) ex.,. a.
Exercs.l·10: Para af(x) dada, expresse cada urn dos
seguintes limites como "', _00 ou NE (nao existe):
1 f(x)=~; a=4x-4
2 5f(x) = 4~x; a=4
3 8 5f(x) = (2<+ 5)3 ; a~-- 2
4
-4 3
f(x) = 7x+3 ; a=--7
5 f(x) = (x ~~8)2; a =-S
6
3X2 9
f(x) ~ (2x _ 9)2 ; a=-2
7 2~f(x)=--; a --1
X2-x-2
1
9 f(x) = x(X-3)2;
-1
10 f(x) = (x+ If;
14 lim (3x + 4) (x - 1)
x--~ (2<+ 7) (x+ 2)
151im 2~ - 3
x __ ~4.~+5x
16 lim 2~ - x + 3
.~+ 1
171im -x3+2x
x-.e 2~-3
181im X2 + 2
x __ <xx-1
19 Jim 2-X2
x __ oox+3
221im 4x-3
;(->_7:>,/2- + 1
Exercs. 25·26: Investigue 0 limite, fazendo
x ~ 10" para /I = 1, 2, 3 e 4.
[925 Jim l tan (~ _ l)
x-1Xl X 2 x
26 Jim ..;x sen l
x-oo' x
Exercs. 27·36: Ache as assintotas verticais e hori·
zontais do gnifico de f.
27f(x)=_I-
~-4
2~
29 f(x) = :;.T.;:l
1
31 f(x) = x3 +~ _ 6x
33 f(x)=~+3x+~
X" + 2r - 3
35f(x)=~
~-16
5x
28 f(x) = 4-X2
30 f(x) = }-~
.r-+ 1
32 f(x) = .~ -x
16 -X2
34 f(x)=~-5x
X" - 25
Exercs. 37·40: Vma fun<;aof satisfaz as condic;6es
indicadas. Esboce urn grafico de f, supondo que ele
nao corte uma assintota horizontal.
Jim f(x) = - 00;
x-3-
Jim f(x) = 00
x_Jt
lim f(x) = 00; Jim f(x) ~ - 00
x-2- x_2t
lim f(x) = 00; lim f(x) = 00:
x-)- :c-3'
lim I(x) - - 00 lim I(x). 00;
x- - I ),'-.- I'
40 lim f(x)=3; lim f(x)=3;
x--iX:
Jim f(x) = 00; Jim f(x) - - 00;
x-I x-f·
lim f{x) = _00; lim f{x) = 00
x--2- x- -2+ ../
(b) EstabeJe~a uma f6rmula para a concentra~ao
c (/) de sal (em kJlt) ap6s / minutos.
(c) Que ocorre a c (/) por urn longo perfodo de
. tempo?
Urn problema importante na pesca e predizer
a popula~ao procriadora adulta do pr6ximo
ano (recrutas) para urn nurnero S presente-
mente em desova. Para certas especies (como
o arenque do Mar do Norte) e a rela~iio entre
ReS e dada por R = as! (S + b), com a e b
constantes positivas. Que acontece quando 0
numero de procriadores aumenta?
41 Vma concentra~ao de agua saJgada na base de
50 g de sal por litro de agua corre para urn tanque
que contem inicialmente 50 Iitros de agua pura.
(a) Se 0 fluxo de agua salgada para 0 tanque e
de 5 It por rninuto, determine 0 volume
V (/) de agua e a quantidadc A (I) de sal no
tanque ap6s / rninutos.
2.5 FUNGOES CONTINUAS
Na Jinguagem .9uotiQia~a dizemos que 0 tempo e continuo, uma
vez que ele decoITe de maneira ininterrupta. 0 tempo nao salta,
digamos, de Ih para Ihlminda tarde, deixando urn lapse de urn
minuto. Deixando-se cair mn objeto de urn balao, encaramos seu
movimento subseqiiente como continuo. Se a altitude inicial e
de 500 metros, 0 objeto passa por todas as altitudes entre 500 m
e 0 ill antes de atingir 0 solo.
Em mateimitica usamos a expressao fum;iio continua ern-
urn 'sentido semelhante. Intuitivamente, consideramos contipua
uma fun~ao cujo gniflco nao tern interrup~6es. A titulo de
i1ustra~ao, nenhum dos gnificos da Figura 2.35 represent a uma
fun~ao continua no ponto c.
I
(I) (ii) (ill) / (Iv)
y y y y
y = J(x)
y = J(x) ""- '\Zl.----..-------./
c , x xx x c c
Figura 2.35
-(
Note que, em (i), f(c) nao e definida. Em (ii), f (e) e
definida, mas lirnz_c r(x) •• fee). Em (iil) Iimz_c f(x) nao existe.
Em (iv) f(c) nao e definida 'e, alem disso, lirnx_cf(x) - 00. 0
grafico de uma fun~ao f nlio sera de nenhum dos tipos acima
se f satisfizer as tres coIidi~6es relacionadas na' proxima
. definj~ao.
Qefin/fBa (2.20) ~
- .-
~:t·~,!~ri:;,;;:';·'~}i':,'"~,,.~::··-,,:, . !)' ; : .•:
.:.,:Ui:jlafuIi~ao f e contmua em urn numero e se satlsfaz as
·W!seID!i~tes.eOndi~6es: .
:":1'~i~;~}~~)'~ ~efinida .
... " '. ':~:'~, ,
Ao utilizar est a defini~ao para mostrar que uma fun~ao f
e continua em e, basta verificar a terceira condi~ao, porque se
Jim f(x) = fee), entao fee) deve ser definida e tambem :~J(x)
x-c
deve existir; ou seja, as duas primeiras condi~6cs estao satisfeitas
automaticamente.
Intuitivamente sabemos que a condi~ao (iii) implica que, 11
medida que x se torn a proximo de e, 0 valor f(x) da fun~ao se
torna proximo de fee). Mais precisamente, podemos faze~ f(x)
tao pr6ximo de f(e) quanto quisermos, escolhendo x suficlente-
mente proximo de e.
Se uma (ou mais) das tres condi~6es da Defini~ao (2.20)
nao for(em) satisfeita(s), dizemos que f e descontinua em c, ou
que {tern uma descontinuidade em e. Cert~s t~pos de desc?n-
tinuidades tern nomes especiais. As descontlnUidades em (I) e
(ii) da Figura 2.35 sao deseonrinuidades relQo.ri.~~ porque
podemos remove-his definindo adequadame.nte 0 valor f(c) ..A
descontinuidade em (iii) e do tip~o, asslm chamada devldo
11 aparencia do gnifico. Se f(x) tende para 00 ou -.00 qu~ndo x
teride para e de urn ou de outro lado, como em (IV), dlZellloS
que f tern uma ~t.~~~~ em e.
Na i1ustra~ao seguinte reconsideraremos algumas fun~6cs
especlficas ja abordadas nas Sec~6es 2.1 e 2.2.
Nenhuma, pais para lodo
Hm J(x) = c + 2 = f(c)
z-c
/llfl I ,Iii 1/'1/' ,"" (,"'/)1I/'_Hr_il_' A__"a_Ii_/i_ca__ C~ap_._2 _
I
• 1,\,)_-
x
sex,", !
sex=!
c = ! pois gel) e indefinido
(descontinuidade removivel)
c = 0 po is h(O) nao existe
e tambem Hm hex) DaD existex-o
(desconlinuidade infinita)
c = 0 pois p(O)
e indefmido
e lambem Hm p(x) nao existex-o
(descontinuidade tipo saito)
o proximo leorema afirma que as fum;6es polinomiais e
as fum;6es racionais (quocientes de polinomios) sac cont(nuas
em todos os pontos de seus dominios.
(i) Utri~·.fun<;ao polinomial j e eonlinuapara lodo
··rF!5roreal.c:;; "'-'.' ,,;,c~~,,'t"(':;';
.(ii) Umlfuiii;ao raclonal q~'fice coniiIi'iJa e~iodc:i'
""nuoi~r? eiccetonos numeros e tais que' g(e).= O.
__- ;::-::::.:=[)EMON_STRAl;AO ~
(i) Se-f e uma fun<;ao polinomial e c urn numero rea!, enlao,
pelo Teorema (2.11), limx_j(x) = fee). Logo f e contrnua
em todo ponto real.
(ii) Se gee) '" 0, enlao c est a no dominio de q = fIg e, pelo
Teorema (2.12), limx_c q(x) = q(c); isto e, q e continua em c.
EXEMPLO 1
Se f(x) ~ Ix Imostre que f e continua em to do numero real e.
o grafico de j esla esbo<;ado na Figura 2.36. Se x> 0, entao
f(x) = x. Se x < 0, enlao f(x) = -x. Como x e -x sao polinomios,
decorre do Teorema (2.21) (i) que f e continua para tod(j rea!
diferente de zero. Resta mostrar que f e eonlinua em 0. Os limites
laterais de f(x) em ° sao
lim Ix I= lim x = ° e
'x-o· x-o·
lim Ix I= Jim (- x) = °
x-.o~ x_ov
OI1lUus lilllites Jaterais direito e esquerdo sao iguais,
decarre. do Teorerna (2.3), que
lilll Ix 1- 0 -I ° 1- J(O).
x _ •. II
x1_ I . . .
Sc J'(x) - - delcrnune as deseonunUidades de f.
_' +x~ - 2(
C0ll10 J C lllmi fun<;ao raciona!, segue-se do Teorema (2.21) que
as (micas dcsconlinuidades ocorrem nos zeros do denominador
.\-, + x2 - 2x. Falorando, oblemos
Igualando a zero cad a fator, vemos que as descontinuidades
de f sao 0, -2 e 1.
Se uma fun~ao f e continua em todo ponto de urn intervalo
aberto (a, b), dizemos que f e continua no intervalo (a, b). Da
mesma forma, uma fun~ao e continua em urn intervalo infinito
do tipo (a,oo) ou (-co, b) se e continua em todo ponto do
intervalo. A proxima defini~ao inclui 0 caso de urn intervalo
fechado.
Se a fun~ao f tern urn limite 11direita, ou urn limite 11
esquerda do tipo indicado na Defini~ao (2.22), dizemos que f e
continua a direita em a ou que f e continua a esquerda em
b, respectivamente.
Se f{x) = ";9 - r, esboce 0 grafico de f e prove que f e continua
no intervalo fechado [-3,3].
o griifico de r +T = 9 e urn cfrculo com centro na origem e
raio 3. Resolvendo em rela~ao a y, temos y = ±~ e dai 0
griifico de y =";9 - reo semicfrculo superior (veja a Figura
2.37).
Se -3 < c < 3, entao, com auxflio do Teorema (2.14),
obtemos
Logo, f e continua em c pela Defini~ao (2.20). Resta apenas
verificar os extremos do intervalo [-3, 3] utilizando limites
latera is como segue:
Jim f{x) = lim ~ = ~ = 0 = f{-3)
x--3· x--3'
Jim j(x)=lim ~ =v9-9 =0=j(3)
x-3- z-)-
Assim, f e continua 11direita em -3 e continua 11esquerda em
3. Pela Defini~ao (2.22), f e continua em [-3,3].
Estritamente falando, a fun~o f do Exemplo 3 e descontinua
em tod~ ponto c exterior ao intervalo [-3,3], porque f{c) nao
e urn numero real se x < -3 ou x > 3. Todavia, nao e costume
usar a expressao descontinua em c se c esta em urn intervalo
aberto no qual f nao 6 definida.
Podemos tambem definir outros tipos de intervalo. Por
exemplo, f 6 continua em [a, b) ou [a 00) se e continua em todo
numero maior do que a no intervalo e, a16m diso, e continua 11
direita em a. Para intervalos da forma {a, b]ou (-oo, b], exigimos
continuidade para todo numero inferior a b no intervalo e
tambem continuidade 11esquerda em b. '
Utilizando fatos en unci ados no Teorema (2.8), pode-se
provar 0 seguinte:
, Se j egsaoc,ontinuas em c,entao san tamMm continuas
em ~:.:.!: .. :··DJ:;,~~.H.JJ,D,8
:~C~!Jr~~~t:~,~r~{
k (ii) ii dif~ren~f';: g~~;;;
c~~l";.;~ii!~·1{j~T,'C:bt{>j;t/iJ'
}y(iii):9 produ(o. fg~J.' fIl)
,.", ~:, .,'" "':,,' ,e..•,:',.:: ..., "
.,' .","'"
;i:(ry),'(fq~9dente'flg;~desde que g(c) •• 0
'lim {f + g) (x) = lim [f(x) + g(x)]
x-c
= f(c) + g(c)
~ (f+g) (c)
Ista iJrova que f + g 6 continua em c:' A~ pa';tes (ii).(i'~)
,demonstradas de maneira aniiloga.
Se f e g sao coDtinuas em urn intervalo, entao f + g,
f- g e fg sao continuas no intervalo. Se, alem disso, gee) •• 0
para todo e no intervalo, fIg e tambem continua no intervalo.
Esses resultados podem ser estendidos a mais de duas
fum;6es, is to e, somas, diferen<;as, produtos ou quoeientes,
envolvendo urn numero arbitriirio de fun<;6es continuas SaD
tambem continuos (desde que nao ocorram zeros no denomi-
nador).
~
Se k(x) = 3x4 + 5.r + l' prove que k e continua no intervalo
[-3, 3].
Sejam f(x) = '1/9 - r- e g(x) = 3x4 + 5.r + 1. Pelo Exemplo 3, f
e continua em [-3,3], e pelo Teorema (2.21) g e continua para
todo numero real. Alem disso, g(e) •• 0 para todo e em [-3,3].
Logo, pelo Teorema (2.23) (iv), 0 quociente k = fIg e continuo
em .[-3,3)
No Apendice 11 encontra-se uma demonstra<;ao do proximo
resultado sobre 0 limite de uma fun<;ao composta fog.
A demonstra<;ao de outros teoremas constitui a principal
utiliza<;ao do Teorema (2.24). A titulo de ilustra<;ao, utilizemos
o Teorema (2.24) para provar 0 Teorema (2.14) da Se<;ao 2.3,
em que supomos que lim g(x) e as ralzes enesimas indicadas
,Jimygw = V'lim. p(x)
.J:-c _ ..
Teorema do valor
intermediario (2.26)
; Seja f(x) = Yx. Aplicando 0 Teorema (2.24), que afirma que
!~cf(g(x)) = f (~~ g(X))
!im Vgrxr = "tim g(x)
x-c
A ~a.rt~ (i) do pr~ximo t~orema decorre do Teorema (2.24)
e da deflDl<;ao de fun<;ao contmua. A parte (ii) e um reenunciado
de (i) utilizando a fun<;ao composta fog.
Se k(x) = 13.r - 7x - 121, mostre que k e continua para todo
numero real.
f(x) = Ix I e g(x) = 3x2 - 7x - 12,
entao k(x) = f(g(x)) = (f 0 g) (x). Como f e g SaDcontinuas (veja
Exemplo 1 e (i) do Teorema (2.21)), segue-se de (ii) do Tcorcl11a
(2.25) que a fun<;ao composta k = fog e continua em e.
A demonstra<;ao da propriedade seguinle das fun<;6cs
continuas pode ser encontrada em textos de calculo mais
avan<;ados.
Se f e continua em:·urn intervalo fcchado [a, b] c SC 1\1 6
umnumero entre f(a) e f(b), entao cxistc ao mCllos 11111
niJmero e em [a, b) tal que fee) = IV•
y
ftb) o",o±l'. w
w 1--
f(a) --, !f(C) i
I' ,I: :
o teorema do valor interrnediario afirrna que, quando x
varia de a a b, a flllll;iia eantinua f tama todos os va/ores entre
f(a) e f(b). Se considerarmos 0 grafico da fun<;ao continua f .
como ininterrupto, dos ponlos a (a, f(a») a (b, f(b», conforme
i1ustrado na Figura 2.38, entao, para qualquer numero w entre
f(a) e f(b), a reta horizontal com intercepto-y igual a w
interceptara 0 grafico em pelo menos urn ponto P. A coordena-
da-x e de P e urn numero tal que fee) = w.
Uma conseqiiencia do teorema do valor intermediario e que
se f(a) e f(b) tern sinais opostos, entao existe urn numero e enlre
a e b la/ que fee) = 0; islo e, f lem um zero em e. Assim, se 0
ponto (a, f(a» do gnifico de uma fun<;ao continua esla abaixo
do eixo-x e 0 ponto (b, f(b» esta acima do eixo-x, ou vice-versa,
entao 0 grafico corta 0 eixo-x em um ponto (e,O), para
a < e < b.
f(l) = 1 + 2 - 6 + 2 - 3 =-4
f(2) = 32 + 32 - 48 + 4 - 3 = 17
Como f(l) e f(2) tern sinals opostos, segue-se do teorema do
valor inlerrnediario que fee) = 0 para ao menos urn numero real
e entre 1e 2.
o Exemplo 6 ilustra urn esquema para a localiza<;ao de
zeros reais de urn polin6mio. Utilizando urn metoda de apraxi-
mar;6es sueessivas podemos aproximar cada zero com qualquer
grau de precisao, bastando enquadra,lo em intervalos cada vez
menores.
Outra conseqiiencia util do teorema do valor inlerrnediario
e a seguinte. 0 intervalo ali referido pode ser fechado, aberto,
semi-aberlo ou infinito.
~: ':~: ;<l..:::;j.,~~!r:/~::!~.~:;..~:.;'.~..';\i -,"':l,~-:'. '.(; :.' !'~If~:~,~:.r.,:: ~.-'~ ; ~~-;~.,~';, ,,;.:~~::'~';... : -.'~';',:' '''~;''
':'.',Se uma,:fun<;ao,c f;·e., contmua e nao, tern. zeros em' urn
'i!iiervai6;''Ciit~o':o\J!{f(x)';;'6
~u'j(~j-;;6pira:"'tQ'do"x" nb"'
... intervalo,.;,',;·, ' , ····<··',:"\ih<:'
A conclusao do teorema afirrna que, sob a hip6lese dada, f(x)
tem 0 mesmo sinal em todo 0 intervalo, Se est a conclusao fosse
fa/sa, entao haveria numeros, Xl e X2 no intervalo tais que
f(x
l
) > 0 e f(x
2
) < O. Pel as observa<;6es precedentes, isto, por sua
vez, implicaria fee) = 0 para algum e enlrexl e X2' conlrariamente
11 hip6tese. Assim, a conclusao deve ser ver.dadeira.
No Capitulo 4 aplicaremos 0 Teorema (2.27) 11derivada de
uma fun<;ao f para deterrninar a maneira como f(x) varia em
diversos intervalos.
Exercs. 1-10: E dado 0 gn\fico de uma fun~ao f·
Classifique as descontinuidades de f como removi-
veis, tipo saIto, ou infinitas.
J'
I-f-~~
x
Exercs. 11-18: Classifique as descontinuidades de
f como removlveis, tipo saito, ou infinitas.
11 J. (x) = {Xl - 1 se
. . 4 -x se
x< 1
x;,l
12 f(X)={x3 se x:s:1
3-x se x>l
13 f(X)=W+31 se X" -2
se x =-2
14 f(x) = {~X- 11 se x"l
sc x=l
15 f(x) = {~2+1 ~~
x + 1 se
x<l
x=l
x>l
16 f (x) = {~Xl ~~
x - 2 se
x<l
x=l
x>l
[Q] 18 f(x) = scn (.,2 -,1)
(x-1)-
19 f(x)=v2x-5 +3x;
20 f(x) = ~Xl+2;
121 f(x)=3..?+7-_~;
v -x
~22 f(x)=--;
2<+ 1
Exercs. 23-30: Explique por que f nao e contInua
em u.
23 f(x)=_3_;
x+2
24 f(x)=_l_;
x-l
.r-9 se x ••325 f(x)- ;-3
se x=3
r-9 se X" -326 f(x) = ;+3 se x =-3
27 f(x) =.{1 se X" 3o se X= 3
{
k::ll se x •• 3
28 f(x) = x-3
1 se x = 3
{
sen x se
[Q]29 f(x) = x
o se
{
I - cos x se x •• 0
[Q]30 f(x) = --x- a = 0
1 se x=O
Exercs. 31-34: Determine todos os mumeros para os
quais [e descontinua.
3
31 f(x) Xl+x-6
33 f (x) = .2..::l...
Xl +x-2
5
32 [(x) = x2 _ 4x _ 12
x-4
34 f(x) - -Xl---x---1-2
Exercs. 35-38: Mostre que f e contInua no intervalo
dado.
1
[4,8); 38 f(x) =~1; (1, 3)
36 f(x) = v16 -x; (-00,16)
Exercs. 39-54: Ache todos os valores para os quais
f e continua.
39 f(x) = ~x-5
2x"-x-3
. x
42 f(x) =-rr==
'Ix-4
. x-I
43 f(x)=_~. vXl-l
44 f (x) = ~,.!--.,
vI _x2
45 [(x)=~
x+9
46 [(x) = /
x- + 1
5
47 f(x) = ;,? -Xl
4x-7
48 f(x): (x + 3)(Xl+ 2x- 8)
VT9V257
49 f{x) = x-4
50 f{x) = v9-x
vx-6
1
52 f{x) = cot:?
Exercs. 55-58: Verifique 0 teorema do valor inter-
rnediario (2.26) para f no intervalo indicado (a, b)
rnostrando que se f{a):s: IV:S: f(b), cntao f{c) = IV
para algurn c em (a, b].
55 f{x)-x3+1; [-1,2]
56 f{x) - -x3' [0,2]
57 f(x) = Xl - x; [1,3]
58 f{x)=2x-Xl' [-2,-1]
\~e f{x) - x3 - 5x2 + 7x - 9, use 0 teorema do va-
lor intermediario (2.26) para provar que cxistc
urn nurncro real a lal que f(a) = 100.
60 Prove que a equa~ao x5 - 3X' - 2Xl- x + 1 ~ 0
tern uma solu~iio entre 0 e 1.
[Q] 61 Em modelos de queda livre, costuma-se supor que
a acelera~'iio gravitacional g e a conslantc
9,8 m/seg2• Na verda de, g varia com a aliilllcic.
Se El e a latitude (em graus), cntao:
Use 0 leorema do valor intermediario para mos-
trar que g ~ 9,8 em algum ponto entre as Jati-
tudes 35" e 40·.
1£]62 A temperatura T (em .C) na qual a agua ferve
e dada aproximadamente pela formula
:3 lim (2): - v'4r + x)
x--2
7 Jim x4 -16
x-2 r-x-2
9. 1hm .1
x-o· vx
. &3-1
11hm -2 1
x--l/2 :(-
(/n\. 3-x~_~,13-xl
15 lim (a + 1t)4 - a4
h-O It
17 Jim V x+3
x--3 ~+27
6 -7x
(3 + 2>:)'
4 Jim (x-v'16-xl)
x-4-
8 Jim 1
x-3' x-3
10lim :(1/x) - (1/5)
x-5
14 Jim ..fX - Vi
.%-2 x-2
16 Jim (2 + Itt3 - T3
k-O It
18 Jim (v'5 - 2>:- xl)
x-5/2-
19 Jim (2): - 5)(3x + I) 20 lim 2>: + 11
(x+7)(4x-9) x-oo v'X+T
21 lim 6-7x
(3 + 2>:)4
231im ~
x_2I3,4-9r
22 Jim x-IOO
v'xl + 100
24 Jim _ 5X~3
.%-3/5
onde It e a altitude (em metros, adma do nive!
do mar). Use 0 teorema do valor intennediario
para mostrar que a agua ferve a 9S·C a uma al-
titude entre 4.000 e 4.500 metros.
Exercs. 27-32: Esboce 0 grafico da func;aof definida
por partes e, para 0 valor a indicado, determine cada
limite, se existir.
{
3X
27 f(x) = xl se xs 2se x> 2
se x s 2
se x> 2
29 f(x) = {2 \x se x< -3
. v'x + 2 se x;,-3
30 f(X)={~
se xs-3
4+x se x>-3
31 f(X)=f
se x<1
se x=1 a=1
4-xl se x>1
r+
x se x ••O
32 f(x)~ ~ a~O
se x=O
33 Use a Definic;ao (2.4) p~ra provar que
Iim
x
_
6 (5x-21)=9
34 Seja f definida como segue
{
I se x e radonal
f(x) = -I se x e irracional
Moslre que Jim f (x) nao-existe para nenhum numero
Exercs. 35-38: Ache todos os numeros para os quais
f e des~_ontinua.
35 f(x)J~-161
.r - 16
36 f(x)=_I-
x2 -16
37 f (x) = xl - x - 2
xl - 2t
Exercs. 39-42: Ache todos os numeros para os quais
f e continua.
39 f(x) = 2>:4 - ~ + 1
40 f(x) = v'(2 +x)(3 -x)
v'9 - xl
41f(x)=x4_16
..fX
42 f(x) = xl -1
43 f(x)=v'5X+9; a=8
44 f(x) = V-4; a ~ 27