Est. descritiva (1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO
LATINO�AMERICANA
ESTATÍSTICA
Disciplina de Estatística
Foz do Iguaçu�PR Brasil
Julho�2013
Sumário
1 Noções Introdutórias sobre Estatística 1
1.1 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Organização dos Dados 6
2.1 Distribuição de frequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Gráfico de distribuições de frequências em Classes . . . . . . . . . . . . 10
3 Medidas Resumo 12
3.1 Medidas de Posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.1 Média Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.2 Média Aritmética Ponderada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.3 Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.4 Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.5 Quartis, Decis e Percentis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Boxplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Medidas de Dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.1 Amplitude Total (AT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.2 Variância e Desvio Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.3 Coeficiente de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Apresentação dos Dados 24
4.1 Tabela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1.1 Tabela Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.2 Tabela de dupla entrada ou de contigência . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.1 Elementos e Normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
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SUMÁRIO 3
4.2.2 Principais tipos de Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2.3 Gráficos em Colunas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2.4 Gráfico em Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.5 Gráficos em Linhas ou Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.6 Gráficos em Setores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.7 Gráfico Comparativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.8 Cartograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 Probabilidade 32
5.1 Teoria de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.1 Operações com Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 Definição clássica de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3 Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.4 Eventos Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.5 Eventos mutuamente exclusivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.5.1 Partição do espaço amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.5.2 Probabilidade Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6 Variável Aleatória 39
6.1 Variáveis Aleatórias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.1.1 Função Discreta de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.2 Esperança de uma v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.2.1 Propriedades da Esperança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.3 Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.3.1 Propriedades da Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.4 Principais distribuições discretas de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.4.1 Distribuição de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.4.2 Distribuição Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.5 Distribuição Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.5.1 Normal Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
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Capítulo 1
Noções Introdutórias sobre Estatística
Introdução
Apesar do termo �estatística� ser relativamente novo, a sua origem é muito antiga.
Tem-se como evidência que suas primeiras técnicas surgiram Antes de Cristo, o que pode ser
observado em alguns versículos da Bíblia.
O recenseamento é uma técnica de contagem, esta por sua vez, é uma técnica muito
utilizada estatisticamente até os dias atuais, pode-se exemplificar como uso dessa técnica o
censo populacional realizado pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística). O
termo Estatística, deriva do termo �Estadística� que vem das �coisas do estado�. Atualmente o
termo se desvinculou do temo Estado e adquiriu vida própria. Estatística constitui atualmente
o �status� de ciência com aplicabilidade em praticamente todas as áreas do saber.
O que faz a Ciência Estatística?
• Coleta;
• Organiza;
• Representa;
• Análise e interpretação de dados.
Com o objetivo de extrair informações sobre uma população.
A grosso modo pode-se dividir a Estatística em três áreas:
• Estatística Descritiva
• Probabilidade
• Inferência Estatística
ESTATÍSTICA DESCRITIVA: Estatística Descritiva é em geral utilizada na etapa
inicial da análise quando tomamos contato com os dados pela primeira vez, com o objetivo de
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1. NOÇÕES INTRODUTÓRIAS SOBRE ESTATÍSTICA 2
tirar conclusões de modo informal e direto. Ou seja, pode ser definida como um conjunto de
técnicas destinadas a descrever e resumir os dados a fim de que possamos tirar conclusões a
respeito das características de interesse, ou ainda, ela organiza e representa os dados. Ao se
deparar com os dados que se pretende analisar, observamos algumas características sobre essas
medidas: quais são os tipos de variáveis estamos tratando e quais as técnicas de descrição
gráfica e tabular que se deve utilizar.
Variáveis: medidas obtidas da amostra. Por exemplo, desejamos registrar a idade das
pessoas ao morrer, a estatura ou peso dos indivíduos, o rendimento das famílias em uma grande
cidade, o número de empregados dispensados, por mês, em uma grande empresa, a distribuição
dos alunos por sexo, etc.
Uma variável pode ser:
Qualitativa: Quando seus valores forem expressos por atributos (não numéricas).
Dividem-se em:
• Nominal ( sexo, estado civil, etc. )
• Ordinal (estágios: primeiro, segundo, terceiro, etc.)
Quantitativas: Os valores da variável são numéricos. Divindo-se em:
• Contínuas: Quando podem assumir valores num intervalo. (peso, altura, etc. )
• Discretas: Quando assumem valores pontuais, geralmente de números inteiros. (número
de filhos de um casal, etc. )
Obs.: Em geral, as medições dão origem às variáveis contínuas e as contagens ou
enumerações às variáveis discretas.
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1. NOÇÕES INTRODUTÓRIAS SOBRE ESTATÍSTICA 3
Resumo das Variáveis:
Nominal
Qualitativa
66
((
Ordinal
Variável
##
;;
Discreta
Quantitativa
66
((
Contínua
TÉCNICAS DE DESCRIÇÃO GRÁFICA E TABULAR
• Tabular: Os dados são organizados em linhas e colunas, com respectivas frequências, de
acordo com o tipo de fenômeno em estudo. As normas para construção são elaboradas
pelo Conselho Nacional de Estatística e divulgadas pelo IBGE.
• Gráfica: Permite visualização imediata dos resultados. Os tipos de gráficos dependem do
fenômeno em estudo. Ex: barras, em setores, de linhas, etc.
CARACTERÍSTICAS NUMÉRICAS PARA UM CONJUNTO DE DADOS:
• Medidas de Posição: são medidas centrais, que representam o centro da distribuição
podem-se considerar exemplos dessas medidas a média, a moda, a mediana e os quartis.
• Medidas de Dispersão: são medidas de dispersão em relação à média: a amplitude, desvio
padrão e a variância.
PROBABILIDADE:Pode ser pensada como a teoria matemática utilizada para se
estudar a incerteza oriunda de fenômenos de caráter aleatório.
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:É o estudo de técnicas que possibilitam a extrapo-
lação, a um grande conjunto de dados, das informações e conclusões obtidas a partir de um
subconjunto de valores. (afirmações sobre o todo com base na amostra).
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1. NOÇÕES INTRODUTÓRIAS SOBRE ESTATÍSTICA 4
1.1 Conceitos Básicos
População: É o conjunto de todos os elementos sobre as quais há o interesse de
investigar uma ou mais característica. A população pode ser formada por pessoas, domicílios,
peças de produção, cobaias, ou qualquer outro elemento a ser investigado.
Representaremos por "N"o número de elementos de uma população finita.
Amostra: É um subconjunto dos elementos que constituem a população, obtido atra-
vés de técnicas de amostragem a qual estudaremos mais adiante.
Representamos por "n"o número de elementos da amostra.
Censo: É o processo utilizado para levantar as características observáveis, abordando
todos os elementos de uma população.
Exemplos:
• Tirar conclusões sobre a altura, peso, idade de 50 estudantes de Desenvolvimento Rural
da UNILA, observando apenas 12 estudantes. População = 50 Amostra = 12.
• Investigar a porcentagem de lajotas defeituosas fabricadas em uma indústria, durante 6
dias, examinando 20 peças por dia. População = todos as lajotas fabricadas durante 6
dias Amostra = o subconjunto de 6x20=120 peças, selecionadas para estudo
Obs: I) Amostragem é mais vantajosa:
- População infinita
- Tempo limitado
- Teste destrutivo
- Custo muito alto
Obs: II) Censo é mais vanta-
joso:
- População pequena
- Tamanho da amostra grande
em relação a população
- Exigência de precisão completa
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1. NOÇÕES INTRODUTÓRIAS SOBRE ESTATÍSTICA 5
Parâmetros: é a medida numérica (média, variância, proporção, etc) que descreve
uma característica de interesse da população, geralmente os parâmetros populacionais são des-
conhecidos pois na maioria das vezes não obtemos todos os dados da população.
Estatística: alguma medida descritiva das variáveisX1, X2, . . . , Xn associadas à amos-
tra.
População Amostra
Parâmetros Estatísticas
Média µ =
∑
xi
N
x¯ =
∑
Xi
n
Variância σ2 =
∑
(xi−µ)2
N
S2 =
∑
(Xi−x¯)2
n−1
Proporção p = n
o
elementos com atributo
N
pˆ = n
o
elementos com atributo
n
Exercício: Classifique as seguintes variáveis em qualitativas (nominal/ordinal) ou
quantitativa (discreta/contínua).
a) Classe social
b) Número de clientes
c) Salário
d) Cidade
e) Departamento que trabalha
f) Número de filho
g) Diâmetro de uma peça
h)Nível de escolaridade
i) Número de processos analisados
j) Opinião sobre a reforma agrária
k) Peso de um produto (kg)
l) Qualidade do atendimento de um estabelecimento
m) Número de telefonemas
n) Estado Civil
o) Idade (anos)
p) Distância de sua casa na faculdade
q) Número de idas ao cinema por semana
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Capítulo 2
Organização dos Dados
A questão inicial é: dado um conjunto de dados, como �tratar� os valores, numéricos
ou não, a fim de se extrair informações a respeito de uma ou mais características de interesse?
Basicamente, faremos uso de tabelas de frequências e gráficos, notando que tais procedimentos
devem levar em conta a natureza dos dados. Suponha, por exemplo, que um questionário
foi aplicado aos alunos do curso de desenvolvimento rural da UNILA, fornecendo as seguintes
informações: Idade: Idade em anos;
Altura: Altura em metros;
Peso: Peso em quilogramas;
Estado Civil: Solteiro, casado, divorciado e viúvo.
Estado civil Idade Peso Altura Estado civil Idade Peso Altura
solteiro 20 74 1,68 casado 46 70 1,70
solteiro 18 46 1,60 solteiro 19 70 1,78
solteiro 19 62 1,60 solteiro 28 58 1,65
solteiro 19 64 1,70 solteiro 21 68 1,60
solteiro 25 98 1,90 solteiro 23 62 1,70
solteiro 24 68 1,72 solteiro 19 66 1,74
solteiro 20 60 1,70 solteiro 20 74 1,80
solteiro 35 71 1,68 solteiro 22 90 1,86
solteiro 19 67 1,62 casado 58 98 1,80
solteiro 20 79 1,87 solteiro 24 74 1,73
solteiro 19 80 1,75 solteiro 20 70 1,70
solteiro 20 65 1,74 casado 26 95 1,60
solteiro 20 74 1,60 solteiro 20 46 1,54
solteiro 20 65 1,70 solteiro 21 69 1,57
solteiro 19 53 1,63 solteiro 19 57 1,57
solteiro 19 60 1,67 solteiro 19 59 1,61
solteiro 23 45 1,60 solteiro 17 58 1,49
divorciado 26 70 1,70 solteiro 20 62 1,70
solteiro 20 75 1,70 solteiro 20 60 1,65
solteiro 21 75 1,70 solteiro 22 49 1,60
solteiro 19 73 1,76
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2. ORGANIZAÇÃO DOS DADOS 7
O conjunto de informações disponíveis, após a tabulação do questionário ou pesquisa
de campo, é denominado tabela de dados brutos e contém os dados da maneira que foram
coletados inicialmente. Em nosso caso temos quatro variáveis envolvidas sendo uma qualitativa
(estado civil) e as restantes quantitativas (idade, peso, altura).
2.1 Distribuição de frequências
As tabelas de dados brutos apesar de conter muita informação pode não ser prática
para respondermos às questões de interesse. Para a análise ficar mais prática vamos construir
uma nova tabela com as informações resumidas, para algumas das variáveis. Esta tabela será
denominada de tabela de frequência e, como o nome indica conterá os valores da variável e
suas respectivas contagens, as quais são denominadas frequências absolutas ou simplesmente
frequência (Fi). Exemplo: Verificando os dados sobre a variável Estado Civil da tabela de
dados brutos temos
Estado Civil Fi
Solteiro 37
Casado 3
Divorciado 1
Viúvo 0
Para efeito de comparação com outros grupos de conjunto de dados, será conveniente
acrescentarmos uma coluna na tabela de frequências contendo o cálculo da frequência relativa,
definida por fi = Fi/n.
Estado Civil Fi fi
Solteiro 37 0,90
Casado 03 0,07
Divorciado 01 0,02
Viúvo 00 0,00
Ainda a respeito das distribuições de frequências, vamos considerar agora a variável
estatura. Partindo desses dados é difícil averiguar em torno de que valor tendem a se concen-
trar as estaturas, qual a menor ou qual a maior estatura, ou ainda, quantos alunos se acham
abaixo ou acima de uma dada estatura. Assim, conhecidos os valores de uma variável é difícil
formarmos uma ideia exata do comportamento do grupo como um todo, a partir dos dados de-
sordenados. A maneira mais simples de organizar os dados é através de um parâmetro crescente
ou decrescente. Podemos dispor esses dados através de uma tabela de frequências.
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2. ORGANIZAÇÃO DOS DADOS 8
Alturas Frequência Alturas Frequência
1,49 1 1,72 1
1,54 1 1,73 1
1,57 2 1,74 2
1,60 7 1,75 1
1,61 1 1,76 1
1,62 1 1,78 1
1,63 1 1,80 2
1,65 2 1,86 1
1,67 1 1,87 1
1,68 2 1,90 1
1,70 10
Mas, o processo dado acima ainda é inconveniente, já que exige muito espaço, mesmo
quando o número de valores da variável n é de tamanho razoável, e não nos esclarece muita
coisa. Desta forma, o melhor seria formar agrupamentos. Assim, se um dos intervalos for, por
exemplo, 1,61 ` 1,67, em vez de dizermos que a estatura de 1 aluno é 1,61 m, de 1 aluno é 1,62
m, de 1 aluno 1,63 m e de 2 alunos 1,65 m, diremos que 05 alunos têm estatura entre 1,57 m
e 1,67. Deste modo, estaremos agrupando os valores da variável em intervalos, sendo que em
estatística, preferimos chamá-los de intervalos de classes.
Tabela 2.1: Estatura dos alunos do curso de D.R.S.A.�UNILA, Foz do Iguaçu, 2013.
Altura em m (Fi) Fac fi xi
`
`
1,61 ` 1,67 05 16 0,12 1,64
`
`
`
`
TOTAL 41 � �
Fonte: alunos DRSA
O que se pretende com a construção desta tabela é realçar o que há de essencial nos
dados e, também, tornar o uso de técnicas analíticas para a sua total descrição, até porque a
Estatística tem por finalidade específica analisar o conjunto de valores, desinteressando-se por
casos isolados.
As distribuições de frequências são séries onde todos os elementos, época, local e es-
pécie, são fixos e os dados referentes ao fenômeno que se está representando são reunidos de
acordo com sua magnitude, ou seja, são agrupados de acordo com a intensidade ou variação
quantitativa do fenômeno. Consiste na organização dos dados de acordo com as ocorrências
dos diferentes resultados observados.
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2. ORGANIZAÇÃO DOS DADOS 9
Elementos de uma Distribuição de Frequências
• Amplitude Total (AT): É a diferença entre o maior e o menor valor dos dados obser-
vados. AT = Vmax − Vmin.
• Classes (k): A sintetização dos dados em tabelas nos leva a separá-los em subconjuntos
segundo k classes de valores. Existem diversas maneiras para se encontrar o número de
classes (k), uma delas é a raiz quadrada do número de elementos (k =
√
n ou k =
√
N),
quando n ou N < 30, caso contrário utilizaremos a fórmula de Sturges: k = 1 + 3, 22 ·
log(n) (n ou N ≥ 30).
Na realidade, a prática do pesquisador é que vai determinar se o número de classes é
razoável (5 ≤ k ≤ 12), levando em conta a amplitude total (AT) e o número de elementos
(n ou N). Também é conveniente fazer algumas observações após sua construção.
Evitar em uma distribuição de frequências:
� Classes com frequência absoluta zero;
� Muitas classes com um número concentrado e semelhante de elementos.
• Amplitude das Classes (h): É o intervalo de valores estabelecido para cada classe.
h = AT
k
Obs:
{
h tem que ter o mesmo número de casas decimais que os escores.
h deve ser arredondado somente para um valor maior.
• Limites de Classes (li ou Ls): São os valores extremos de cada intervalo de classe
representados por: li = limite inferior e Ls = limite superior.
• Frequências Absolutas de Classes (Fi): É o número de dados cujos valores pertencem
a cada classe.
• Ponto Médio das Classes (xi): É o valor que representa os elementos de uma classe.
xi =
li+Ls
2
Obs: No caso de variáveis discretas cujo os dados não estejam reunidos em classes,
xi representa cada valor discreto que a variável assume, sem necessidade de valor para
representa-lo.
• Frequências Absolutas Acumuladas (Fac): Consiste em acumular o número de dados
de uma dada classe acrescido de todos os dados das classes anteriores.
• Frequências Relativas (fiou fi%): É a proporção de dados em cada classe, dada pela
expressão:
fi =
Fi
n
ou fi% =
Fi
n
.100
• Frequências Absolutas Acumuladas Percentuais (Fac%): Traduzem a percentagem
de dados acumulados até a classe i.
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2. ORGANIZAÇÃO DOS DADOS 10
Exercício: Os dados a seguir representam 20 observações relativas ao índice pluvio-
métrico em determinados municípios de um Estado.
Mílimetro de Chuva.
144 152 159 160
160 151 157 146
154 145 141 150
142 146 142 141
141 150 143 158
Construa a tabela de distribuição de frequência para este caso.
2.1.1 Gráfico de distribuições de frequências em Classes
Os principais gráficos para representação de distribuição de frequências são:
1. Histograma.
2. Polígono de frequências absolutas.
Histograma
O histograma é um gráfico de barras contíguas, com as bases proporcionais aos interva-
los das classes e a área de cada retângulo proporcional á respectiva frequência, seja a absoluta
ou a relativa. Quanto mais dados tiver na classe mais alto será o retângulo. A área total do
histograma será igual a 1.
Considere os seguintes dados fictícios, referentes aos hectáres produtivos no município
de Água Escura no ano 2000.
Tabela 2.2: Hectáres produtivos no município de Água Escura, 2000.
Hectáres Fi
05 ` 09 4
09 ` 13 6
13 ` 17 7
17 ` 21 5
21 ` 25 10
25 ` 29 8
29 ` 33 10
TOTAL 50
Fonte: dados fictícios
O gráfico para essa tabela de frequência é dado na Figura 2.1.
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2. ORGANIZAÇÃO DOS DADOS 11
Figura 2.1: Polígono de frequência para os hectáres produtivos no município de Água Escura,
2000.
Polígono de Frequência
O polígono de frequência é contruído unindo-se os pontos médios dos retângulos obtidos
no histograma. O que podemos observar na figura abaixo.
Figura 2.2: Polígono de frequência para os hectares produtivos.
Exercício 1: Construa o histograma e o polígono de frequência para a variável esta-
tura.
Exercício 2: Construa a tabela, o histograma e o polígono de frequência para a
variáveis idade e peso.
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Capítulo 3
Medidas Resumo
São medidas que buscam sumarizar as informações disponíveis sobre o comportamento
de uma variável. Nosso interesse é caracterizar o conjunto de dados por meio de medidas que
resumam a informação, por exemplo, representando a tendência central dos dados ou a maneira
pela qual estes dados estão dispersos.
3.1 Medidas de Posição
As medidas de posição podem se apresentar de várias formas, dependendo do que se
pretende conhecer a respeito dos dados. Dentre elas as mais importantes são as medidas de
tendência central, que são assim denominadas devido a tendência dos dados observados se
agruparem em torno de valores centrais.
As medidas de tendência central mais utilizadas são: a média aritmética, a moda e a
mediana.
3.1.1 Média Aritmética
Média é o quociente da divisão da soma dos valores da variável pela quantidade deles;
Seja (x1, . . . , xn) um conjunto de dados, a média desse conjunto é dada por:
x =
n∑
i=1
xi
n
sendo, x: a média, xi : os valores da variável e n: quantidade de valores.
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3. MEDIDAS RESUMO 13
3.1.2 Média Aritmética Ponderada
Dados agrupados sem intervalos de classe
Exemplo: Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos tomando
para a variável o número de filhos do sexo masculino:
Número de meninos Fi
0 2
1 6
2 10
3 12
4 4
Σ= 34
Qual o número médio de meninos por família?
x =
n∑
i=1
xiFi
n
= (0×2)+(1×6)+(2×10)+(3×12)+(4×4)
34
= 78
34
∼= 2, 3
Assim a média é de 2,3 meninos por família.
Dados agrupados com intervalos de classe
Convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo da classe
coincidem com seu ponto médio, assim determinamos a média aritmética ponderada por
x =
n∑
i=1
xiFi
n
sendo xi o ponto médio da classe.
Exemplo: A tabela a seguir representa a idade dos alunos do curso de medicina
veterinária da UFBA, ano/1993. Calcule a idade média desses alunos.
Classe de Idade Fi xi xi.Fi
21 ` 24 7 22,5 157,5
24 ` 27 8 25,5 204
27 ` 30 1 28,5 28,5
30 ` 33 5 31,5 157,5
33 ` 36 7 34,5 241,5
Σ 28 142,5 789
x =
n∑
i=1
xi.Fi
n
=
789
28
∼= 28, 18
Logo a idade média dos alunos é de aproximadamente 28,2 anos.
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3. MEDIDAS RESUMO 14
3.1.3 Moda
Moda é o valor que ocorre
com maior frequência em uma série de valores.
Exemplos:
• {7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda é igual a 10;
• { 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } (amodal);
• { 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas modas: 4 e 7. A série é bimodal.
Dados agrupados sem intervalos de classe
Uma vez agrupados os dados, é possível obter imediatamente a moda: basta fixar o
valor da variável de maior frequência.
Exemplo: Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos tomando
para a variável o número de filhos do sexo masculino:
Número de meninos Fi
0 2
1 6
2 10
3 12
4 4
Σ= 34
Qual a moda da variável número de meninos? Mo = 3
Dados agrupados com intervalos de classe
A classe que apresenta maior frequência é denominada classe modal. Existem alguns
métodos para calcular a moda: O método mais simples para o cálculo da moda consiste em
tomar o ponto médio da classe modal.
Exemplo:A tabela a seguir representa a idade dos alunos do curso de medicina vete-
rinária da UFBA, ano/1993.
Classe de Idade Fi xi
21 ` 24 7 �
24 ` 27 8 25,5
27 ` 30 1 �
30 ` 33 5 �
33 ` 36 7 �
Assim a moda é 25, 5, ou seja, há uma maior quantidade de alunos com idade de 25,5
anos.
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3. MEDIDAS RESUMO 15
3.1.4 Mediana
A mediana de um conjunto de valores ordenados(crescente ou decrescente), é o valor
situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos, de mesmo número de
elementos. A mediana é considerada uma separatriz, por dividir a distribuição ou o conjunto
de dados em duas partes iguais.
Para o cálculo da mediana devemos considerar
Med(X) =
{
x(n+1
2
), se n ímpar;
x(n2 )
+x(n2 +1)
2
, se n par.
Exemplos:
• X = {5, 2, 6, 13, 9, 15, 10} ordenando temos:
X = { 2, 5, 6,︸ ︷︷ ︸
=3elementos
9, 10, 13, 15︸ ︷︷ ︸
=3elementos
}
assim
Med(X) = 9
• Y = {1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6} ordenando temos:
Y = {0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6}
Med(X) =
2 + 3
2
= 2, 5
Dados agrupados sem intervalos de classe
Exemplo: Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos tomando
para a variável o número de filhos do sexo masculino:
Número de meninos Fi Fac
0 2 2
1 6 8
2 10 18
3 12 30
4 4 34
Σ= 34
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3. MEDIDAS RESUMO 16
p =
n∑
i=1
Fi
2
p =
34
2
= 17
a menor frequência que supera esse valor é o 18 que corresponde ao valor 2 da variável sendo
este o valor mediano, assim Med= 2 meninos.
Agora se tivermos,
xi Fi Fac
12 1 1
14 2 3
15 1 4
16 2 6
17 1 7
20 1 8
Σ= 8
Temos p = 8
2
= 4 = Fac3
Logo
⇒Med = 15 + 16
2
= 15, 5
Dados agrupados com intervalos de classe
Exemplo:A tabela a seguir representa a idade dos alunos do curso de medicina vete-
rinária da UFBA, ano/1993.
Classe de Idade Fi Fac
21 ` 24 7 7
24 ` 27 8 15
27 ` 30 1 16
30 ` 33 5 21
33 ` 36 7 28
Σ= 28
p = 28
2
= 14; define a classe mediana, localizar p na frequência acumulada (Fac).
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3. MEDIDAS RESUMO 17
Md = li +
[
p2 − Fac(ant)
Fi
]
× h
= 24 +
(14− 7)
8
× 3
= 24 +
21
8
= 26, 63
em que, li é o limite inferior da classe mediana; Fac(ant) é a frequência acumulada da classe
anterior; h é a amplitude da classe e Fi é a frequência da classe mediana.
3.1.5 Quartis, Decis e Percentis
A mediana seja de uma população ou de uma amostra divide o conjunto de dados em
duas partes iguais. Também é possível dividi-lo em mais de 2 partes.
Quando se divide um conjunto ordenado de dados em quatro partes iguais, os pontos
da divisão são conhecidos como quartil; o primeiro quartil, Q1; é o valor que divide aproxima-
damente, a quarta parte (25%) das observações abaixo dele, e os 75% restantes, acima dele. O
segundo quartil é exatamente a mediana (Med). O terceiro quartil, Q3, tem aproximadamente
os três quartos (75%) das observações abaixo dele. Para calcularmos os quartis primeiramente
temos que encontrar a posição dos mesmos. O que pode ser feito pelas seguintes expressões
pj = (n · j)/4, com j = 1,2 ou 3 e
Qj = li +
[
pj − Fac(ant)
Fi
]
× h (3.1)
com, li é o limite inferior da classe definida por pj; Fac(ant) é a frequência acumulada da classe
anterior; h é a amplitude da classe e Fi é a frequência da classe definida por pj.
Quando dividimos o conjunto de dados em dez partes iguais temos os decis e quando o
dividimos em cem partes temos os percentis, a fórmula para o cálculo dos decis(Dj) e percentis
(Pj) é a mesma que dos quartis (Eq. 3.1), bastando mudar o valor de p, no caso dos decis temos
pj = (n · j)/10, com j = 1, 2, . . . , 9 e para os percentis pj = (n · j)/100, com j = 1, 2, . . . , 99.
Observe que existem relações entre quartis, decis e percentis. Q1 = P25, Q2 = D5 = P50,
Q3 = P75, por exemplo.
3.2 Boxplot
O boxplot é um gráfico que fornece uma visualização da distribuição dos dados, além
de permitir detectar rapidamente uma possível assimetria dessa distribuição. Sua construção
é baseada nas seguintes medidas: na mediana, no primeiro e terceiro quartil e nos valores
extremos. A forma desse gráfico tem as seguintes características (veja a figura 3.1):
• A caixa (�box") é delimitada pelo primeiro (Q1) e terceiro (Q3) quartil. A linha interior
da caixa corresponde a mediana (Med = Q2).
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3. MEDIDAS RESUMO 18
• A partir dos limites da caixa, considera-se duas linhas auxiliares que distam 1,5 o intervalo
interquartil d = Q3 −Q1. Essas linhas não aparecerão no gráfico final. Elas servem para
caracterizar os valores discrepantes que são os valores menores que L.I. = Q1− 1, 5 · d ou
valores maiores que L.S. = Q3 + 1, 5 · d. Os valores discrepantes serão representados no
gráfico com asteriscos (*).
• Os limites do gráfico, representados por uma linha à direita e à esquerda ("bigodes") da
caixa, correspondem ao maior e ao menor valores não discrepantes do conjunto de dados.
Figura 3.1: Boxplot.
3.3 Medidas de Dispersão
O resumo de um conjunto de dados por uma única medida de tendência central esconde
toda a informação sobre a variabilidade do conjunto de observações. Por exemplo, suponhamos
que se deseja comparar a performance de dois empregados, com base na seguinte produção
diária de determinada peça:
Empregado Variáveis Σ
A 70; 71; 69; 70; 70 350
B 60; 80; 70; 59; 81 350
Temos que x¯A = 70 e x¯B = 70, de acordo com as médias diríamos que a performance
de B é igual a de A, no entanto se observarmos a variabilidade, observamos que a performance
de A é bem mais uniforme.
Por esse motivo a dispersão dos dados em torno de sua média deve ser levada em
consideração. As principais medidas de dispersão são: variância, desvio-padrão, amplitude
total, e coeficiente de variação.
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3. MEDIDAS RESUMO 19
3.3.1 Amplitude Total (AT)
Amplitude Total ( AT ) é a diferença entre o maior e o menor valor observado.
AT = x
(máx)
− x
( mín)
Dados agrupados em classes: Neste caso a AT é dada pela diferença entre o limite superior
da última classe e o limite inferior da primeira classe.
AT = Ls − li
A amplitude total não é muito utilizada como medida de dispersão, dado que ela contém
relativamente pouca informação quanto a dispersão, pois seu cálculo depende de apenas dois
valores do conjunto de dados. Aplicações da amplitude total como medida de dispersão podem
ser encontradas em controle de qualidade.
3.3.2 Variância e Desvio Padrão
A variância é a medida que fornece o grau de dispersão, ou variabilidade dos valores do
conjunto de observações em torno da média. Ela é calculada tomando-se a média dos quadrados
dos desvios em relação à média.
Dados não agrupados.
σ2x =
n∑
i=1
(xi − µ)2
N
→ dados populacionais, nesse caso representaremos variância por σ2.
S2 =
n∑
i=1
(xi − X¯)2
n−1 → dados amostrais, nesse caso representaremos a variância por S2.
Dados agrupados em tabelas de frequência
σ2x =
n∑
i=1
(xi − µ)2.Fi
N
→ dados populacionais, nesse caso representaremos variância por
σ2.
S2 =
n∑
i=1
(xi − X¯)2.Fi
n−1 → dados amostrais, nesse caso representaremos a variância por S2.
Desvio Padrão
Como a variância é uma medida de dimensão igual ao quadrado da dimensão dos
dados, pode-se causar problemas de interpretação. Então costuma-se usar o desvio padrão, que
é definido como a raiz quadrada da variância
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3. MEDIDAS RESUMO 20
S =
√
S2 ou σ =
√
σ2
Propriedades do desvio padrão e da variância
1. Somando (ou subtraindo) um valor constante e arbitrário, k a cada elemento de um
conjunto de números, o desvio padrão desse conjunto não se altera, essa propriedade
também vale para variância.
2. Multiplicando (ou dividindo) por um valor constante c, cada elemento de um conjunto
de números, o desvio padrão fica multiplicado (ou dividido) pela constante c, no caso da
variância ela fica multiplicada pela constante elevado ao quadrado.
3.3.3 Coeficiente de Variação
O Coeficiente de variação é uma medida relativa da dispersão ou variabilidade dos
dados em termos relativos ao seu valor médio:
CV% = σ
µ
.100 ou CV% = S
X¯
.100
Critérios para interpretação.
Quanto menor for o coeficiente de variação, mais representativa dos dados será a média.
Coeficiente de variação acima de 50%, a média não é representativa.
• Se 0% ≤ CV% < 30%, conclui-se pela baixa variabilidade dos dados e a média é uma
ótima medida para representar os dados;
• Se 30% ≤ CV% < 50% , conclui-se pela média variabilidade dos dados e a média é uma
boa medida para representar os dados;
• Se CV% ≥ 50% , conclui-se pela alta variabilidade dos dados e a média não é uma medida
apropriada para representar os dados. Neste caso, deve-se pensar na mediana ou moda.
Exemplo: Voltando ao exemplo da performance dos dois empregados, vamos calcular
a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação dos dois conjuntos de valores de produção
diaria dos empregados A e B.
Empregado Variáveis Σ
A 70; 71; 69; 70; 70 350
B 60; 80; 70; 59; 81 350
Já vimos que: X¯A = 70 e X¯B = 70
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3. MEDIDAS RESUMO 21
Variância de A.
S2A =
n∑
i=1
(xi − X¯)2
n−1 =
(70−70)2+(70−71)2+(70−69)2+(70−70)2+(70−70)2
5−1 =
1+1
4
= 2
4
= 0, 5
Desvio padrão e coeficiente de variação de A.
SA =
√
0, 5 = 0, 7 e CV A% =
0,7
70
.100 = 1
Variância de B.
S2B =
n∑
i=1
(xi − X¯)2
n− 1 =
(70− 60)2 + (70− 80)2 + (70− 70)2 + (70− 59)2 + (70− 81)2
5− 1
=
100 + 100 + 121 + 121
4
=
442
4
= 110, 5
Desvio padrão e coeficiente de variação de B.
SB =
√
110, 5 = 10, 51 e CV B% =
10,51
70
.100 = 15, 01
Conclusão: as duas médias representam muito bem os dados, no entanto é fácil veri-
ficar que a dispersão dos valores de B é muito maior que a de A.
Exemplo: Considere a seguinte distribuição de frequências correspondente aos dife-
rentes preços de um determinado produto em vinte lojas pesquisadas.
Preços (R$) N
o
de lojas
50 2
51 5
52 6
53 6
54 1
Soma 20
Determinar a média, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação dos preços.
Adicionando as colunas complementares, a tabela completa fica:
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3. MEDIDAS RESUMO 22
Preços (R$) N
o
de lojas xi.Fi (xi −X) (xi −X)2 (xi −X)2.Fi
50 2 100 -1,95 3,8025 7,605
51 5 255 -0,95 0,9025 4,5125
52 6 312 0,05 0,0025 0,015
53 6 318 1,05 1,1025 6,615
54 1 54 2,05 4,2025 4,2025
Σ 20 1039 22,95
A partir da última tabela, obtemos os valores desejados como segue:
x¯ =
n∑
i=1
xi.Fi
n
= 1039
20
= 51, 95(R$)
S2 =
n∑
i=1
(xi − X¯)2.Fi
n−1 =
22,95
19
= 1, 21(R$)2
S =
√
1, 21 = 1, 1(R$) e CV% = 1,1
51,95
.100 = 2, 12
A média, nesse caso, é uma ótima medida para representar os dados, pois existe uma
baixa variabilidade em torno desse valor.
Exemplo: Um comerciante atacadista vende determinado produto em sacas que de-
veriam conter 16,50 kg. A pesagem de 40 sacas revelou os resultados representado na tabela:
Classes de peso Fi
14,55 ` 15,05 1
15,05 ` 15,55 3
15,55 ` 16,05 8
16,05 ` 16,55 9
16,55 ` 17,05 10
17,05 ` 17,55 6
17,55 ` 18,05 3
Soma 40
Determinar a média, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação dos pesos.
Segue a tabela com as colunas complementares:
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3. MEDIDAS RESUMO 23
Classe de peso Fi xi xiFi (xi −X) (xi −X)2 (xi −X)2.Fi
14,55 ` 15,05 1 14,8 14,8 -1,68 2,8224 2,8224
15,05 ` 15,55 3 15,3 45,9 -1,18 1,3924 4,1772
15,55 ` 16,05 8 15,8 126,4 -0,68 0,4624 3,6992
16,05 ` 16,55 9 16,3 146,7 -0,18 0,0324 0,2916
16,55 ` 17,05 10 16,8 168 0,32 0,1024 1,024
17,05 ` 17,55 6 17,3 103,8 0,82 0,6724 4,0344
17,55 ` 18,05 3 17,8 53,4 1,32 1,7424 5,2272
Total 40 659 21,276
A partir da última tabela, obtemos os valores desejados como segue:
x¯ =
n∑
i=1
xi.Fi
n
= 659
40
= 16, 475Kg
S2 =
n∑
i=1
(xi − x¯)2.Fi
n−1 =
21,276
39
= 0, 55Kg2
S =
√
0, 55 = 0, 74Kg e CV% = 0,74
16,475
.100 = 4, 48
O coeficiente de variação mostra a baixa variabilidade dos dados em torno da média,
o que faz com que essa medida seja uma ótima medida para representar os dados.
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Capítulo 4
Apresentação dos Dados
Após obtidos, os dados devem ser organizados em tabelas e/ou gráficos para que possam
ser interpretados.
4.1 Tabela
Tabela é um quadro que resume um conjunto de observações de uma população ou
amostra. Um dos objetivos da Estatística é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis
podem assumir, para que se tenha uma visão global das alterações dessa(s) variável (is). Para
isso utiliza-se de tabelas ou de gráficos. Uma tabela compõem-se de
• Corpo: conjunto de linhas e colunas que contêm informações sobre a variável em estudo;
• Cabeçalho: parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas;
• Coluna Indicadora: parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas;
• Linhas: retas horizontais imaginárias que facilitam a leitura dos dados que se inscrevem
nos seus cruzamentos com as colunas;
• Casa ou Célula: espaço destinado a um só número;
• Título: conjunto de informações, as mais completas possíveis, respondendo as perguntas:
O quê? Quando? Onde? Localizado no topo da tabela.
Considera-se como elementos complementares da tabela a Fonte, as Notas, e as Chamadas,
colocadas, de preferência no seu rodapé.
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4. APRESENTAÇÃO DOS DADOS 25
De acordo com a Resolução 886 do IBGE, nas casas ou células da tabela devemos
colocar :
• um traço horizontal ( - ) quando o valor é zero;
• três pontos ( ... ) quando não temos os dados;
• zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada;
• um ponto de interrogação ( ? ) quando temos dúvida quanto à exatidão de determinado
valor.
Obs: O lado direito e esquerdo de uma tabela oficial deve ser aberto. .
4.1.1 Tabela Simples
Tabela simples representa os valores de uma única variável.
Tabela 4.1: Crescimento do Brasil em 2006
Área Porcentagem
Transgênicos 22
Habitação 95
iPhone 50
SOMA 167
Fonte: Veja - janeiro 2007
4.1.2 Tabela de dupla entrada ou de contigência
Tabela de Contingência é a representação, em uma única tabela,
de valores de mais de
uma variável, isto é, a conjugação de duas tabelas.
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4. APRESENTAÇÃO DOS DADOS 26
Tabela 4.2: Sites de Segurança Contra as Ameaças Digitais
FABRICANTE McAfee NORTON. AVG
DETECÇÃO
Prevenção 9 6,3 9
Firewall 8 7 8
Consumo de Memória 6,3 7 8
SOMA 23,3 20,3 25
Fonte: Veja - janeiro 2007
4.2 Gráficos
O gráfico estatístico nada mais é que outra forma de apresentação dos dados estatísticos,
com maior clareza que a tabela, muito embora as comparações numéricas proporcionadas pelas
tabelas sejam mais exatas. O objetivo do gráfico é o de produzir, no investigador ou no público
em geral, uma impressão rápida e viva do fenômeno em estudo, já que os gráficos tem um efeito
visual mais rápido à compreensão que as tabelas.
Meios de comunicação apresentam, diariamente, gráficos das mais variadas formas
para auxiliar na apresentação das informações. Graças à proliferação de recursos gráficos, cuja
construção tem sido cada vez mais simplificada em programas computacionais, existe hoje uma
infinidade de tipos de gráficos que podem ser utilizados.
Deve ser notado, entretanto, que a utilização de recursos visuais na criação de grá-
ficos deve ser feita cuidadosamente; um gráfico desproporcional em suas medidas pode dar
falsa impressão de desempenho e conduzir a conclusões equivocadas. Obviamente, questões de
manipulação incorreta da informação podem ocorrer em qualquer área e não cabe culpar a Esta-
tística. O uso e a divulgação ética e criteriosa de dados devem ser pré-requisitos indispensáveis
e inegociáveis.
Características
• Simplicidade
• Clareza
• Veracidade
4.2.1 Elementos e Normas
• Título: acima do gráfico, completo, claro e conciso;
• Fonte: abaixo do gráfico;
• Moldura: para dar efeito estético ao gráfico;
• Legenda: não deve prejudicar a leitura do gráfico.
• Desenho: no desenho incluem-se apenas as coordenadas necessárias para guiar a leitura
do gráfico;
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4. APRESENTAÇÃO DOS DADOS 27
• Escala: a escala horizontal deve ser lida da esquerda para a direita e a vertical de baixo
para cima;
• Cor: o colorido não deve causar ilusões de ótica;
• Forma: a altura do gráfico deve ter, aproximadamente, 75% da largura, de modo que,
incluindo o título, legenda e o rodapé, a moldura do gráfico assuma mais ou menos, a
forma quadrada.
4.2.2 Principais tipos de Gráficos
Muitas vezes o uso indevido dos gráficos pode trazer um idéia falsa a respeito dos dados
que estão sendo analisados. Por isso é importante analisar qual o melhor tipo de gráfico a ser
empregado em cada estudo.
4.2.3 Gráficos em Colunas
Os gráficos em colunas tem por finalidade comparar grandezas, por meio de retângulos
de igual largura e alturas proporcionais às respectivas grandezas. Esse gráfico é preferível ao
gráfico em barras, que veremos mais a frente, se as legendas a se inscreverem sob os retângulos
forem breves.
Exemplo:Ascensão do cibercrime no Brasil ano 2006.
Tabela 4.3: Ascensão do Cibercrime Brasil - 2006
ANO TOTAL
2001 8821
2002 11136
2003 20731
2004 31726
2005 53950
Fonte: IBGE.
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4. APRESENTAÇÃO DOS DADOS 28
4.2.4 Gráfico em Barras
Tem a mesma finalidade do gráfico em colunas e é preferivel a esse, quando as legendas
a se inscreverem ao lado dos retângulos forem longas.
Exemplo: Repasse de Royalties per capta a alguns Municípios Paranaenses em 2000.
Tabela 4.4: Repasse de Royalties per Capta a Municípios do Paraná - 2000
MUNICÍPIO ROYALTIES PER CAPTA(US$ 1,00)
Foz do Iguaçú 55,94
Guairá 127,44
Terra Roxa 6,94
Medianeira 2,2
Fonte:Revista Paranaense de Desenvolvimento, 2003.
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4. APRESENTAÇÃO DOS DADOS 29
4.2.5 Gráficos em Linhas ou Lineares
Esse tipo de gráfico é mais utilizado para representar grandezas, quando um dos fatores
for o tempo, quando analisamos uma variável ao longo do tempo.
Exemplo: Faturamento do Comércio Eletronico no Brasil nos Anos de 2002 até 2006.
Tabela 4.5: Faturamento do Comércio Eletrônico (em Bilhões de Reais)- Brasil 2002-2006)
ANO FATURAMENTO(bilhões R$)
2002 0,9
2003 1,2
2004 1,8
2005 2,5
2006 4,3
Fonte: Info ex(fev 2007).
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4. APRESENTAÇÃO DOS DADOS 30
4.2.6 Gráficos em Setores
Os gráficos em setores são usados para representar porcentagens.
Exemplo: Enquete on-line sobre o que o brasileiro não consegue ficar sem no seu dia a dia.
Tabela 4.6: Enquetes On Line - O Que O Brasileiro Não Fica Sem - 2006.
Regiões Porcentagem
Banda Larga 51,25
Celular 9,46
Carro 23,39
TV 15,9
Fonte: infoexame (2007).
4.2.7 Gráfico Comparativo
Exemplo: Mudanças que ocorreram no Soft. EXCEL nos anos de 2006 e 2007.
Tabela 4.7: Mudanças-Excel- 2006/2007 (em reais)
PRODUTO PREÇO
2006 2007
Placa-mãeAX7N 410 320
Placa de vídeoR9870 345 360
HD 120GB7200RPM 290 245
HD 80GB7200RPM 210 213
HD 200GB7200RPM 350 370
Fonte: Info Ex9fev, (2007).
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4. APRESENTAÇÃO DOS DADOS 31
4.2.8 Cartograma
O cartograma é a representação sobre uma carta geográfica. Este gráfico é empregado
quando o objetivo é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas
geográficas ou políticas.
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Capítulo 5
Probabilidade
Os profissionais que trabalham com ciências aplicadas estão, em geral, envolvidos tanto
com a análise quanto com o planejamento de sistemas, nos quais as características dos compo-
nentes do sistema são não determinísticas. Assim, a compreensão e a utilização da probabilidade
é essencial para a descrição, o planejamento e a análise de tais sistemas.
O estudo formal da teoria de probabilidade aparentemente se originou nos séculos XVII
e XVIII, na França, e foi motivado pelo estudo dos tradicionais jogos de azar. A verdadeira
teoria surgiu das correspondências entre Pascal e Fermat.
Laplace comentou as teorias de Pascal do seguinte modo: � A teoria das probabilidades
no fundo não é mais do que o bom senso traduzido em cálculo, permite calcular com exatidão
aquilo que as pessoas sentem por uma espécie de instinto. É notável que tal ciência, que
começou nos estudos sobre jogos de azar, tenha alcançado os mais altos níveis do conhecimento
humano�.
A teoria de probabilidade evolui de tal forma que no século XX possui uma axiomática
dentro da teoria matemática. Tal efeito deve-se sobretudo a Kolmogorov.
O cálculo das probabilidades está associado aos experimentos, os quais podem ser
classificados em dois tipos:
• Experimento determinístico: é aquele que repetido sob condições quase idênticas condu-
zem a um mesmo resultado.
• Experimento aleatório: é aquele que repetido sob condições quase idênticas produzem
resultados diferentes em geral.
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5. PROBABILIDADE 33
5.1 Teoria de Conjuntos
Um conjunto que contém todos os resultados possíveis para um dado experimento é
chamado espaço amostral, geralmente representado por Ω. Por exemplo, conta-se o número
de veículos que passam por um posto de pedágio das 24 as 8 horas, assim Ω = N.
Se Ω for finito ou infinito enumerável então se diz espaço amostral discreto. Os sub-
conjuntos associados ao espaço amostral são denominados eventos, ou seja, A ⊂ Ω. A é um
evento, temos ainda que Ω é o evento certo e ∅ o evento impossível.
5.1.1 Operações com Eventos
Seja Ω um espaço amostral associado a um experimento. Sejam A e B dois eventos,
tais que A ∈ P(Ω) e B ∈ P(Ω), isto é, A ⊂ Ω e B ⊂ Ω. Definimos:
i) Ac: é o evento que ocorre se A não ocorre.
ii) A ∪B: é o evento que ocorre se A ou B ocorre ou ambos ocorrem.
iii) A ∩B = é o evento que ocorre se A e B ocorre.
iv) (A ∪B)c = Ac ∩Bc e (A ∩B)c = Ac ∪Bc (Leis de De Morgan)
Exemplos:
1. Seja o experimento E : jogar duas moedas e observar os resultados.
Ω=
Seja A o evento: ocorrer pelo menos 2 caras.
A=
2. Seja o experimento U : lançar um dado e observar o número de cima.
Ω=
Seja B o evento : ocorrer múltiplo de 2.
B=
3. Seja o experimento W : lançar um dado e observar o resultado.
Seja A: ocorrer número par e B: ocorrer número ímpar.
A=
B=
A ∩B=
A ∪B=
Ac=
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5. PROBABILIDADE 34
Bc=
5.2 Definição clássica de probabilidade
A probabilidade de um evento é calculada como a razão existente entre o número de
eventos favoráveis a este particular evento e o número de eventos equiprováveis.
P (A) =
n
o
casos favoráveis a A
n
o
eventos possíveis
=
]A
]Ω
Exemplo: Lança-se um dado honesto, qual a probabilidade de ocorrer a face 3?
Exemplo: Lança-se uma moeda, qual a probabilidade de ocorrer a face �cara�?
Axiomas: Seja E um experimento e Ω o espaço amostral associado ao mesmo. A cada
evento A desse espaço amostral associamos uma medida P (A), denominada probabilidade de
A, que satisfaça:
i) 0 ≤ P (A) ≤ 1;
ii) P (Ω) = 1;
iii) P (
n⋃
i=1
Ai) =
n∑
i=1
P (Ai) se forem disjuntos 2 a 2, ou seja (Ai ∩ Aj) = 0, para todo i 6= j.
Algumas propriedades
1) Se ∅ é o evento impossível, então P (∅) = 0;
2) Se A e B são dois eventos quaisquer então:
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B);
3) Se A ⊂ B, então P (A) ≤ P (B);
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5. PROBABILIDADE 35
4) P (Ac) = 1− P (A).
Exemplo: Considere um experimento e os eventos A e B associados, tais que
P (A) = 1
2
, P (B) = 1
3
e P (A ∩B) = 1
4
. Encontre:
a) P (Ac) e P (Bc);
b) P (A ∪B);
c) P (Ac ∩Bc);
d) P (Ac ∪Bc);
5.3 Probabilidade Condicional
Consideremos 250 alunos que cursam o primeiro período de uma faculdade. Destes
alunos 100 são homens (H) e 150 são mulheres (M), 110 cursam física (F) e 140 cursam química
(Q). A distribuição dos alunos é a seguinte:
Sexo Disciplina Total
F Q
H 40 60 100
M 70 80 150
Total 110 140 250
Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando química?
Agora, qual a probabilidade de que esteja cursando química, dado que é mulher?
Se A e B são eventos de um espaço amostral Ω, então a probabilidade condicional do
evento A dado que ocorreu o evento B, é dado por
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
, com P (B) > 0;
Também,
P (B|A) = P (A ∩B)
P (A)
, com P (A) > 0;
Então:
P (A ∩B) = P (A|B) · P (B) ou P (A ∩B) = P (B|A) · P (A).
(Teorema do produto)
Exemplo: Sendo P (A) = 1
3
; P (B) = 3
4
e P (A ∪B) = 11
12
calcular:
i) P(A|B);
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5. PROBABILIDADE 36
ii) P(B|A).
Resolução:
Exemplo: Duas bolas são retiradas de uma urna (sem reposição) que contém 2 bolas
brancas, 3 pretas e 4 verdes. Qual a probabilidade de que ambas:
a) sejam verdes;
b) sejam da mesma cor.
Resolução:
Generalização do teorema do produto:
P (
n⋂
i=1
Ai) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A2 ∩ A1) . . . P (An|A1 ∩ . . . ∩ An−1).
Exemplo: Uma urna contém 7 bolas brancas e 5 pretas. Retiramos três bolas da urna
sem reposição. Assumindo que cada bola da urna é igualmente provável de ser retirada, qual a
probabilidade de todas serem brancas?
Resolução:
5.4 Eventos Independentes
Dois eventos são independentes quando a realização de um dos eventos não afeta a
probabilidade de realização do outro e vice versa.
Definição: A e B são eventos independentes se P (A ∩B) = P (A) · P (B).
Exemplo: Lançam-se três moedas. Verificar se são independentes os eventos:
A: saída de cara na primeira moeda.
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5. PROBABILIDADE 37
B: Saída de coroa na segunda e cara na terceira moeda.
Resolução:
Exemplo: Em uma caixa temos 10 peças das quais 4 são defeituosas. São retiradas
duas peças, uma após a outra com reposição. Calcular a probabilidade de ambas serem boas.
Resolução:
5.5 Eventos mutuamente exclusivos
Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a
realização do outro(s). Assim no lançamento de uma moeda, o evento �tirar cara� e o evento
�tirar coroa� são mutuamente exclusivos, já que ao se realizar um deles, o outro não se realiza.
Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é
igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize: P (A ∪B) = P (A) + P (B).
OBS: Se A e B são mutuamente exclusivos, então A e B são dependentes, pois se A ocorre B
não ocorre.
1) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é
2
5
; a de sua mulher é de
2
3
.
Determinar a probabilidade de que daqui 30 anos:
a) ambos estejam vivos; R:4/15
b) somente o homem esteja vivo; R:2/15
c) somente a mulher esteja viva; R:2/5
d) pelo menos um esteja vivo. R:4/5
2) Sejam A e B dois eventos em um espaço amostral, tais que P (A) = p , P (B) = 0, 2 e
P (A ∪B) = 0, 5 e P (A ∩B) = 0, 1. Determine o valor de p. R= 0,4
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5. PROBABILIDADE 38
5.5.1 Partição do espaço amostral
Seja Ω o espaço amostral de um experimento qualquer, considere que A1, A2, . . . , An
são eventos disjuntos em Ω em que
n⋃
i=1
Ai = Ω, logo podemos dizer que esses eventos formam
uma partição do espaço amostral Ω.
Figura 5.1: Partição do espaço amostral (K=6).
5.5.2 Probabilidade Total
Se C1, C2, . . . Ck representam uma partição de Ω e se A é um evento arbitrário em Ω,
então a probabilidade total de A é dada por
P (A) = P (C1)P (A|C1) + P (C2)P (A|C2) + . . . P (Ck)P (A|Ck)
=
k∑
i=1
P (Ci)P (A|Ci).
Exemplo: Suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite que
utiliza da uma fazenda F1, 30% de outra fazenda F2 e 50% de F3. Um órgão fiscalizador
inspecionou as fazendas e descobriu que 20% do leite produzido por F1 era adulterado por
adição de água, enquanto F2 e F3, essa proporção era de 5% e 2%, respectivamente. Na
indústria de sorvetes os galões de leite são armazenados em um refrigerador sem identificação
das fazendas. Para um galão escolhido ao acaso, vamos analisar o leite para decidir sobre sua
adulteração ou não.
Se denotarmos A o evento �adulteração de leite�, temos que P (A|F1) = 0, 2; P (A|F2) =
0, 05; P (A|F3) = 0, 02. Além disso, F1, F2 e F3 formam uma partição do espaço amostral pois
uma dada amostra de leite vem, necessariamente, de uma e apenas uma das três fazendas.
Desta forma, o evento A pode ser escrito em termos de interseções de A com os eventos F1, F2
e F3, então:
A = (A ∩ F1) ∪ (A ∩ F2) ∪ (A ∩ F3)
.
Exemplo: Uma companhia que produz rádio tem três linhas de montagem produzindo
15%, 35% e 50% respectivamente, de sua produção. Suponha que a probabilidade de um rádio
sair defeituoso por uma dessas linhas de montagem sejam 0,01; 0,05; e 0,02. Se um rádio
é escolhido aleatoriamente da produção da companhia, qual é a probabilidade que ele seja
defeituoso?
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Capítulo 6
Variável Aleatória
Variável aleatória (v.a.) é a função que associa a todo evento pertencente a uma
partição do espaço amostral um único número real. É classificada como discreta ou contínua.
A variável aleatória é discreta se assume valores num conjunto enumerável com certa proba-
bilidade, por exemplo número de filhos em uma família. Por outro lado será contínua se
seu conjunto de valores é qualquer intervalo dos números reais, o que seria um conjunto não
enumerável, por exemplo tempo de reação a certo medicamento.
6.1 Variáveis Aleatórias Discretas
Exemplo: Lançam-se três moedas. Seja X: número de ocorrências da face cara. De-
terminar a distribuição de probabilidade de X. O espaço amostral do experimento é: Ω =
{(c, c, c), (c, c, k), (c, k, c), (k, c, c), (c, k, k), (k, c, k), (k, k, c), (k, k, k)}.
Se X é o número de caras, X assume os valores 0, 1, 2 e 3. Podemos associar a es-
ses números eventos que correspondam à ocorrência de nenhuma, uma, duas ou três caras
respectivamentes.
Podemos também associar às probabilidades de X assumir um dos valores, as proba-
bilidades dos eventos correspondentes:
P (X = 0) =
1
8
P (X = 1) =
3
8
P (X = 2) =
3
8
P (X = 3) =
1
8
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6. VARIÁVEL ALEATÓRIA 40
6.1.1 Função Discreta de Probabilidade
É a função que associa a cada valor assumido pela variável aleatória a probabilidade
do evento correspondente, isto é
P (X = xi) = P (xi) = Pi, i = 1, 2, . . . (6.1)
ou ainda,
X x1 x2 x3 . . .
Pi p1 p2 p3 . . .
Uma função de probabilidade satisfaz: 0 ≤ pi ≤ 1 e
∑
i pi = 1.
No exemplo anterior temos que
X 0 1 2 3
P (X = xi) 1/8 3/8 3/8 1/8
Exemplo: Considere o lançamento de dois dados. Seja X a v.a. faces de um dado, Y
a v.a. soma das faces de dois dados. (Y = X+X) e Z a v.a. máximo das faces dos dois dados.
Vamos obter a distribuição de probabilidades de X, Y e Z.
Resolução:
6.2 Esperança de uma v.a.
Esperança, valor médio ou simplesmente média de uma v.a.
Definição: A esperança de uma v.a. discreta X é a soma de todos os produtos possíveis
da v.a. pela respectiva probabilidade.
E(X) = µ =
n∑
i=1
xi · P (xi) (6.2)
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6. VARIÁVEL ALEATÓRIA 41
Exemplo: Num jogo de dados, Ana paga R$ 20,00 a José e lança 3 dados. Se sair
face 1 com um dos dados apenas, Ana ganha R$ 20,00. Se sair face 1 em dois dados apenas,
Ana ganha R$ 50,00 e se sair 1 nos três dados, Ana ganha R$ 80,00. Calcular o lucro líquido
médio de Ana em uma jogada.
Resolução:
6.2.1 Propriedades da Esperança
Seja X e Y variáveis aleatórias e c uma constante:
1. E(c) = c;
2. E(c.X) = cE(X)
3. E(X ± Y ) = E(X)± E(Y )
4. E(aX ± b) = aE(X)± b
6.3 Variância
O fato de conhecermos a média de uma distribuição de probabilidade já nos ajuda
bastante, porém não temos uma medida que nos dê o grau de dispersão de probabilidade em
torno dessa média. A medida que dá o grau de dispersão de probabilidade em torno da média
é a variância.
V ar(X) = σ2 = E(X2)− (E(X))2 (6.3)
em que,
E(X2) =
n∑
i=1
x2iP (xi)
6.3.1 Propriedades da Variância
1. V ar(c) = 0;
2. V ar(c · x) = c2V ar(X);
3. V ar(aX ± b) = a2V ar(X); a,b constantes;
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6. VARIÁVEL ALEATÓRIA 42
Exemplo: Um jogador lança um dado. Se aparecerem os números 1, 2 ou 3, recebe
R$10,00. Se, no entanto, aparecer 4 ou 5, recebe R$ 5,00. Se aparecer 6, ganha R$ 20,00. Qual
o ganho médio do jogador? R:R$10,00.
Resolução:
Exemplo: Uma moeda é viciada de modo que a probabilidade de sair cara é 4 vezes
maior a de sair coroa. Para quatro lançamentos independentes dessa moeda, seja X o número
de caras que aparece, determine:
a) E(X) e a Var(X)
Resolução:
Exemplo: Um caça níquel tem dois discos que funcionam independentemente um do
outro. Cada disco tem 10 figuras: 4 maçãs, 3 bananas, 2 peras e 1 laranja. Uma pessoa paga R$
80,00 e aciona a máquina. Se aparecerem 2 maçãs, ganha R$ 40,00. Se aparecerem 2 bananas,
ganha R$80,00; R$ 140,00 se aparecerem 2 peras e ganha R$ 180,00 se aparecerem 2 laranjas.
Qual a esperança de ganho numa única jogada? R: -R$59,00
Resolução:
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6. VARIÁVEL ALEATÓRIA 43
Exemplos: Sejam X e Y v.a. Expresse:
• E(3);
• E(45);
• E(4500);
• E(2X);
• E(12Y)
• E(2X+ 5);
• E(5X + 3Y + 1);
• E(X+ 5);
• E(10Y + 2);
• Var(23);
• Var(2X);
• Var(3X +1);
6.4 Principais distribuições discretas de probabilidade
Nesta seção estudaremos alguns modelos probabilísticos padrões que podem ser usados
em diversas situações práticas. O problema passa a ser, então, determinar qual modelo é o
mais apropriado para a situação em estudo e como aplicá-lo adequadamente.
Lembrando que para identificarmos uma v.a. discreta, temos que conhecer quais re-
sultados podem ocorrer e quais são as probabilidades associadas aos resultados. A seguir, são
apresentadas as principais distribuições de probabilidade ou modelos de probabilidade.
6.4.1 Distribuição de Bernoulli
Provavelmente os experimentos mais simples são aqueles em que observamos a pre-
sença ou não de alguma característica, que são conhecidos como ensaios de Bernoulli. Alguns
exemplos:
a) lançar uma moeda e observar se ocorre cara ou não;
b) numa linha de produção, observar se um item, tomado ao acaso, é ou não defeituoso;
c) verificar se um servidor de uma intranet está ou não ativo.
Denominamos sucesso e fracasso os dois eventos possíveis em cada caso. O ensaio de Bernoulli é
caracterizado por uma variável aleatória X, definida por X = 1, se sucesso; X = 0, se fracasso.
A função de probabilidade de X é dada por
x P (x)
0 q
1 p
Total 1
em que, p = P (sucesso) e q = 1−p. A distribuição fica completamente especificada ao atribuir-
mos um valor para p. No exemplo (a), se o lançamento for imparcial e a moeda perfeitamente
equilibrada, p = 1/2.
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6. VARIÁVEL ALEATÓRIA 44
De maneira geral,
P (X = x) = px(1− p)1−x (6.4)
com X = 0, 1.
Outras características da distribuição de Bernoulli:
E(X) = p (6.5)
V ar(X) = p · (1− p) (6.6)
Notação: X ∼ B(p).
6.4.2 Distribuição Binomial
Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a mesma
probabilidade de sucesso p. A variável aleatória X que conta o número total de sucessos é
denominada Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dada por
P (X = k) =
(
n
k
)
· pk · qn−k (6.7)
E(X) = n · p (6.8)
V ar(X) = n · p · q (6.9)
Notação: X ∼ Bin(n, p)
Exemplo: Dados históricos mostram que 30% dos carregamentos de determinado
produto são classificados na classe A. Entre os quatro próximos carregamentos, calcule a pro-
babilidade de exatamente dois serem classificados na classe A.
Resolução:
Exemplo: Encontre a média e a variância da variável aleatória Y = 3X + 2, sendo
que X ∼ Bin(20, 0, 3).
Resolução:
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6. VARIÁVEL ALEATÓRIA 45
6.5 Distribuição Normal
A normal é considerada a distribuição de probabilidades mais importante, pois permite
modelar uma infinidade de fenômenos naturais e, além disso, possibilita realizar aproximações
para calcular probabilidades de muitas variáveis aleatórias que têm outras distribuições. É
muito importante também na inferência estatística.
Uma v.a. contínuaX tem distribuição normal com parâmetros µ e σ2, (−∞ < µ < +∞)
e σ > 0, se a sua função de probabilidade é dada por:
f(x) =
1√
2piσ2
exp
{
−(x− µ)
2
2σ2
}
.
com (−∞ < x < +∞)
Notação: X ∼ N(µ, σ2), em que µ representa a média e σ2 a variância de X. σ = √σ2
é o desvio padrão.
A função de distribuição da normal não tem forma fechada e, de fato, o cálculo de
probabilidades com essa densidade não podem ser feitos por integração, pois esta não possui
primitiva. Assim, valores de probabilidades acumuladas são obtidos por integração numérica
e apresentadas em tabelas. Não é necessário fazer uma tabela para cada par de valores dos
parâmetros que se tem interesse.
6.5.1 Normal Padrão
A distribuição normal possui uma importante propriedade
que permite que qualquer
variável aleatória com esta distribuição possa ser transformada em outra variável com distri-
buição normal com parâmetros µ = 0 e σ2 = 1.
Teorema: Se X ∼ N(µ, σ2), então a variável Z é da forma:
Z =
X − µ
σ
téra distribuição N(0, 1)
O gráfico da densidade Normal Padrão é apresentado na Figura 6.1.
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6. VARIÁVEL ALEATÓRIA 46
−4 −2 0 2 4
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
x
f(x
)
Figura 6.1: Densidade da Normal Padrão.
Verificaremos agora a correspondência entre X e Z, por meio do exemplo:
Seja X ∼ N(20; 4). Encontrar os valores reduzidos correspondentes a:
i) X= 16 ii) X= 18
iii) X= 20 iv) X= 22 v) X=24
Exemplo: Seja X ∼ N(100; 25). Calcular:
a)P (100 ≤ X ≤ 106)
b) P (89 ≤ X ≤ 107)
c) P (112 ≤ X ≤ 116)
d) P (X ≤ 108)
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6. VARIÁVEL ALEATÓRIA 47
Resolução:
Exemplo: A distribuição de altura de 500 estudantes do sexo masculino de uma
universidade é aproximadamente normal, com média 1,70 m e desvio padrão de 2,5 cm.
a) Quantos tem altura inferior a 1,75 m?
b) Quantos tem altura entre 1,72 e 1,80 m?
Resolução:
Exercício 1: A distribuição da altura de plantas de Amaranthus hybridus, X, pode ser
aproximada por uma distribuição normal de média 29,7 cm e desvio padrão de 2,7 cm. Calcule
a probabilidade de uma planta apresentar altura:
a) Entre 29,7 e 32 cm.
b) Acima de 32 cm.
c) Entre 27 e 32 cm.
d) Entre 25 e 27 cm.
Exercício 2: Suponha que as medidas da corrente em um pedaço de fio sigam a dis-
tribuição normal, com uma média de 10 miliampéres e uma variância de 4 (miliampéres)2.
a)Qual é a probabilidade da medida exceder 13 miliampéres?
b)Qual é a probabilidade da medida estar entre 9 e 11 miliampéres?
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Referências
[1] Andrade, F. D. & Ogliari, P. (2007). Estatística para as ciências agrárias e biológicas: com
noções de experimentação. 3. ed. Editora da UFSC.
[2] Fonseca, J.S. & Martins G. A. Curso de Estatística. 3. ed. Editora Atlas.
[3] Magalhães, M. N. & Lima, A. C. P. (2005). Noções de Probabilidade e Estatística. 6 ed. São
Paulo: Editora da Universidade de São Paulo.
[4] Morettin, P. A. & Bussab, W.O. (2012) Estatística Básica. 7. ed. Editora Saraiva.
[5] Oliveira, P .L. & Neto C. (2002). Estatística. 3. ed. Editora Edgard Blücher Ltda.
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