integrais_multiplas

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Integrais múltiplas
Alan André Borges da Costa
UFOP
Agosto 2013
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 1 / 23
Integrais duplas
Considere uma função f de…nida em um retângulo fechado
R = [a, b]� [c , d ] = �(x , y) 2 R2ja � x � b, c � y � d	
o grá…co de f é a superfície com equação z = f (x , y). Seja o sólido
que está acima da região R e abaixo do grá…co de f , isto é,
S =
�
(x , y , z) 2 R3j0 � z � f (x , y) , (x , y) 2 R	
Como medir o volume de S?
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 2 / 23
Integrais duplas
Considere uma função f de…nida em um retângulo fechado
R = [a, b]� [c , d ] = �(x , y) 2 R2ja � x � b, c � y � d	
o grá…co de f é a superfície com equação z = f (x , y). Seja o sólido
que está acima da região R e abaixo do grá…co de f , isto é,
S =
�
(x , y , z) 2 R3j0 � z � f (x , y) , (x , y) 2 R	
Como medir o volume de S?
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 2 / 23
Grá…co 1 - Região para cálculo de volume
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 3 / 23
Integrais duplas
Como medir a região acima de R e abaixo do grá…co de z?
Sabemos calcular a área de retângulos!
Podemos dividir o intervalo [a, b] em m subintervalos [xi�1, xi ];
Podemos dividir o intervalo [c , d ] em n subintervalos
�
yj�1, yj
�
;
Qual será a área de cada intervalo?
Assim,
Rij = [xi�1, xi ]�
�
yj�1, yj
�
=
�
(x , y) jxi�1 � x � xi , yj�1 � y � yj
	
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 4 / 23
Integrais duplas
Como medir a região acima de R e abaixo do grá…co de z?
Sabemos calcular a área de retângulos!
Podemos dividir o intervalo [a, b] em m subintervalos [xi�1, xi ];
Podemos dividir o intervalo [c , d ] em n subintervalos
�
yj�1, yj
�
;
Qual será a área de cada intervalo?
Assim,
Rij = [xi�1, xi ]�
�
yj�1, yj
�
=
�
(x , y) jxi�1 � x � xi , yj�1 � y � yj
	
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 4 / 23
Integrais duplas
Como medir a região acima de R e abaixo do grá…co de z?
Sabemos calcular a área de retângulos!
Podemos dividir o intervalo [a, b] em m subintervalos [xi�1, xi ];
Podemos dividir o intervalo [c , d ] em n subintervalos
�
yj�1, yj
�
;
Qual será a área de cada intervalo?
Assim,
Rij = [xi�1, xi ]�
�
yj�1, yj
�
=
�
(x , y) jxi�1 � x � xi , yj�1 � y � yj
	
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 4 / 23
Integrais duplas
Como medir a região acima de R e abaixo do grá…co de z?
Sabemos calcular a área de retângulos!
Podemos dividir o intervalo [a, b] em m subintervalos [xi�1, xi ];
Podemos dividir o intervalo [c , d ] em n subintervalos
�
yj�1, yj
�
;
Qual será a área de cada intervalo?
Assim,
Rij = [xi�1, xi ]�
�
yj�1, yj
�
=
�
(x , y) jxi�1 � x � xi , yj�1 � y � yj
	
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 4 / 23
Integrais duplas
Como medir a região acima de R e abaixo do grá…co de z?
Sabemos calcular a área de retângulos!
Podemos dividir o intervalo [a, b] em m subintervalos [xi�1, xi ];
Podemos dividir o intervalo [c , d ] em n subintervalos
�
yj�1, yj
�
;
Qual será a área de cada intervalo?
Assim,
Rij = [xi�1, xi ]�
�
yj�1, yj
�
=
�
(x , y) jxi�1 � x � xi , yj�1 � y � yj
	
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 4 / 23
Integrais duplas
Como medir a região acima de R e abaixo do grá…co de z?
Sabemos calcular a área de retângulos!
Podemos dividir o intervalo [a, b] em m subintervalos [xi�1, xi ];
Podemos dividir o intervalo [c , d ] em n subintervalos
�
yj�1, yj
�
;
Qual será a área de cada intervalo?
Assim,
Rij = [xi�1, xi ]�
�
yj�1, yj
�
=
�
(x , y) jxi�1 � x � xi , yj�1 � y � yj
	
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 4 / 23
Grá…co 2 - Dividindo a região R em subintervalos
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 5 / 23
Integrais duplas
Grá…co 3 - Volume de um único retângulo
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 6 / 23
Integrais duplas
Grá…co 4 - Volume total
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 7 / 23
Integrais duplas
Qual o volume de um único retângulo?
Assim,
f (xij , yij )∆A
O volume total (S) será dado por
V =
m
∑
i=1
n
∑
j=1
f (xij , yij )∆A
Qual a quantidade de retângulos que precisaremos para ter um
cálculo com maior precisão?
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 8 / 23
Integrais duplas
Qual o volume de um único retângulo?
Assim,
f (xij , yij )∆A
O volume total (S) será dado por
V =
m
∑
i=1
n
∑
j=1
f (xij , yij )∆A
Qual a quantidade de retângulos que precisaremos para ter um
cálculo com maior precisão?
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 8 / 23
Integrais duplas
Qual o volume de um único retângulo?
Assim,
f (xij , yij )∆A
O volume total (S) será dado por
V =
m
∑
i=1
n
∑
j=1
f (xij , yij )∆A
Qual a quantidade de retângulos que precisaremos para ter um
cálculo com maior precisão?
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 8 / 23
Integrais duplas
Qual o volume de um único retângulo?
Assim,
f (xij , yij )∆A
O volume total (S) será dado por
V =
m
∑
i=1
n
∑
j=1
f (xij , yij )∆A
Qual a quantidade de retângulos que precisaremos para ter um
cálculo com maior precisão?
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 8 / 23
Integrais duplas
Logo,
V = lim
m,n!∞
m
∑
i=1
n
∑
j=1
f (xij , yij )∆A
De…nition
A integral dupla de f sobre o retângulo R éZZ
R
f (x , y) dA = lim
m,n!∞
m
∑
i=1
n
∑
j=1
f (xij , yij )∆A
De…nition
Se f (x , y) � 0, então o volume V do sólido que está acima do retângulo
R e abaixo da superfície z = f (x , y) é
V =
ZZ
R
f (x , y) dA
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 9 / 23
Integrais duplas
Logo,
V = lim
m,n!∞
m
∑
i=1
n
∑
j=1
f (xij , yij )∆A
De…nition
A integral dupla de f sobre o retângulo R éZZ
R
f (x , y) dA = lim
m,n!∞
m
∑
i=1
n
∑
j=1
f (xij , yij )∆A
De…nition
Se f (x , y) � 0, então o volume V do sólido que está acima do retângulo
R e abaixo da superfície z = f (x , y) é
V =
ZZ
R
f (x , y) dA
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 9 / 23
Integrais duplas
Logo,
V = lim
m,n!∞
m
∑
i=1
n
∑
j=1
f (xij , yij )∆A
De…nition
A integral dupla de f sobre o retângulo R éZZ
R
f (x , y) dA = lim
m,n!∞
m
∑
i=1
n
∑
j=1
f (xij , yij )∆A
De…nition
Se f (x , y) � 0, então o volume V do sólido que está acima do retângulo
R e abaixo da superfície z = f (x , y) é
V =
ZZ
R
f (x , y) dA
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 9 / 23
Integrais duplas: propriedades
Algumas propriedadesZZ
R
[f (x , y) + g (x , y)] dA =
ZZ
R
f (x , y) dA+
ZZ
R
g (x , y) dA
ZZ
R
cf (x , y) dA = c
ZZ
R
f (x , y) dA
ZZ
R
f (x , y) dA �
ZZ
R
g (x , y) dA
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 10 / 23
Integrais Iteradas
Como calcular integrais com a seguinte estrutura?
A (x) =
dZ
c
f (x , y) dy
A (y) =
bZ
a
f (x , y) dx
Assim, temos a integral dupla de…nida
bZ
a
dZ
c
f (x , y) dydx
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 11 / 23
Integrais Iteradas
Como calcular integrais com a seguinte estrutura?
A (x) =
dZ
c
f (x , y) dy
A (y) =
bZ
a
f (x , y) dx
Assim, temos a integral dupla de…nida
bZ
a
dZ
c
f (x , y) dydx
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 11 / 23
Integrais Iteradas
Um exemplo
Example
Calcule as seguintes integrais
a)
3Z
0
2Z
1
x2ydydx ; b)
2Z
1
3Z
0
x2ydxdy
Theorem
Teorema de Fubini: Se f for contínua no retângulo
R = f(x , y) ja � x � b, c � y � dg, então
ZZ
R
f (x , y) dA =
bZ
a
dZ
c
f (x , y) dydx =
dZ
c
bZ
a
f (x , y) dxdy
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 12 / 23
Integrais Iteradas
Um exemplo
Example
Calcule as seguintes integrais
a)
3Z
0
2Z
1
x2ydydx ; b)
2Z
1
3Z
0
x2ydxdy
Theorem
Teorema de Fubini: Se f for contínua no retângulo
R = f(x , y) ja � x � b, c � y � dg, então
ZZ
R
f (x , y) dA =
bZ
a
dZ
c
f (x , y) dydx =
dZ
c
bZ
a
f (x , y) dxdy
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 12 / 23
Integrais Iteradas
Um exemplo
Example
Calcule as seguintes integrais
a)
3Z
0
2Z
1
x2ydydx ; b)
2Z
1
3Z
0
x2ydxdy
Theorem
Teorema de Fubini: Se f for contínua no retângulo
R = f(x , y) ja � x � b, c � y � dg, então
ZZ
R
f (x , y) dA =
bZ
a
dZ
c
f (x , y) dydx =
dZ
c
bZ
a
f (x , y) dxdy
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 12 / 23
Integrais duplas
Example
Calcule a integral dupla ZZ
R
�
x � 3y2� dA
em que R = f(x , y) j0 � x � 2, 1 � y � 2g
Example
Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo paraboloide elíptico
x2 + 2y2 + z = 16, pelo planos x = 2 e y = 2 e pelos três planos
coordenados
Exercicios Stewart (2010, p.917): 1-4, 7-12, 14-15, 17, 20, 21, 22,
25-27
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 13 / 23
Integrais duplas sobre regiões gerais
Podemos calcular integrais em regiões gerais do tipo
F (x , y) =
�
f (x , y) se (x , y) está em D
0 se (x , y) está em R, mas não em D
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 14 / 23
Integrais duplas sobre regiões gerais
Grá…co 5 - Regiões D e R
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 15 / 23
Integrais duplas sobre regiões gerais
Grá…co 6 - Regiões D e R
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 16 / 23
Integrais duplas sobre regiões gerais
Podemos calcular integrais em regiões gerais do tipo
F (x , y) =
�
f (x , y) se (x , y) está em D
0 se (x , y) está em R, mas não em D
Se F for integrável em R, então de…nimos a integral dupla de f em D
por ZZ
D
f (x , y) dA =
ZZ
R
F (x , y) dA
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 17 / 23
Integrais duplas sobre regiões gerais
Podemos calcular integrais em regiões gerais do tipo
F (x , y) =
�
f (x , y) se (x , y) está em D
0 se (x , y) está em R, mas não em D
Se F for integrável em R, então de…nimos a integral dupla de f em D
por ZZ
D
f (x , y) dA =
ZZ
R
F (x , y) dA
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 17 / 23
Integrais duplas sobre regiões gerais
Uma região plana D é dita do tipo I se for a região entre o grá…co de
duas funções contínuas, ou seja,
D = f(x , y) ja � x � b, g1 (x) � y � g2 (x)g
De…nition
Se f é contínua em uma região D do tipo I tal que
D = f(x , y) ja � x � b, g1 (x) � y � g2 (x)g
então ZZ
D
f (x , y) dA =
bZ
a
g2(x )Z
g1(x )
f (x , y) dydx
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 18 / 23
Integrais duplas sobre regiões gerais
Uma região plana D é dita do tipo I se for a região entre o grá…co de
duas funções contínuas, ou seja,
D = f(x , y) ja � x � b, g1 (x) � y � g2 (x)g
De…nition
Se f é contínua em uma região D do tipo I tal que
D = f(x , y) ja � x � b, g1 (x) � y � g2 (x)g
então ZZ
D
f (x , y) dA =
bZ
a
g2(x )Z
g1(x )
f (x , y) dydx
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 18 / 23
Integrais duplas sobre regiões gerais
Uma região plana D é dita do tipo II se for a região entre o grá…co
de duas funções contínuas, ou seja,
D = f(x , y) jc � y � d , h1 (y) � x � h2 (y)g
De…nition
Se f é contínua em uma região D do tipo II tal que
D = f(x , y) jc � y � d , h1 (y) � x � h2 (y)g
então ZZ
D
f (x , y) dA =
dZ
c
h2(y )Z
h1(y )
f (x , y) dxdy
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 19 / 23
Integrais duplas sobre regiões gerais
Uma região plana D é dita do tipo II se for a região entre o grá…co
de duas funções contínuas, ou seja,
D = f(x , y) jc � y � d , h1 (y) � x � h2 (y)g
De…nition
Se f é contínua em uma região D do tipo II tal que
D = f(x , y) jc � y � d , h1 (y) � x � h2 (y)g
então ZZ
D
f (x , y) dA =
dZ
c
h2(y )Z
h1(y )
f (x , y) dxdy
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 19 / 23
Integrais duplas sobre regiões gerais
Example
Calcule ZZ
D
(x + 2y) dA
onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1+ x2
Example
Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide z = x2 + y2
e acima da região D do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela
parábola y = x2
Exercicios Stewart (2010, p.924): 1-4, 7, 10-12, 14, 16, 19-20
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 20 / 23
Integrais triplas
Podemos aumentar o número de variáveis. O caso mais simples está
relacionada a seguinte caixa retangular:
B = f(x , y , z) ja � x � b, c � y � d , r � z � sg
De…nition
A integral tripla de f na caixa B é
ZZZ
B
f (x , y , z) dV = lim
l ,m,n!∞
l
∑
i=1
m
∑
j=1
n
∑
k=1
f (xijk , yijk , zijk )∆V
De…nition
Teorema de Fubini para integrais triplas: Se f é contínua em uma
caixa retangular B = [a, b]� [c , d ]� [r , s ] , então
ZZZ
B
f (x , y , z) dV =
sZ
r
dZ
c
bZ
a
f (x , y , z) dxdydz
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 21 / 23
Integrais triplas
Podemos aumentar o número de variáveis. O caso mais simples está
relacionada a seguinte caixa retangular:
B = f(x , y , z) ja � x � b, c � y � d , r � z � sg
De…nition
A integral tripla de f na caixa B é
ZZZ
B
f (x , y , z) dV = lim
l ,m,n!∞
l
∑
i=1
m
∑
j=1
n
∑
k=1
f (xijk , yijk , zijk )∆V
De…nition
Teorema de Fubini para integrais triplas: Se f é contínua em uma
caixa retangular B = [a, b]� [c , d ]� [r , s ] , então
ZZZ
B
f (x , y , z) dV =
sZ
r
dZ
c
bZ
a
f (x , y , z) dxdydz
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 21 / 23
Integrais triplas
Podemos aumentar o número de variáveis. O caso mais simples está
relacionada a seguinte caixa retangular:
B = f(x , y , z) ja � x � b, c � y � d , r � z � sg
De…nition
A integral tripla de f na caixa B é
ZZZ
B
f (x , y , z) dV = lim
l ,m,n!∞
l
∑
i=1
m
∑
j=1
n
∑
k=1
f (xijk , yijk , zijk )∆V
De…nition
Teorema de Fubini para integrais triplas: Se f é contínua em uma
caixa retangular B = [a, b]� [c , d ]� [r , s ] , então
ZZZ
B
f (x , y , z) dV =
sZ
r
dZ
c
bZ
a
f (x , y , z) dxdydz
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 21 / 23
Integrais triplas
Example
Calcule a integral tripla
ZZZ
B
xyz2dV em que B é a caixa retangular dada
por
B = f(x , y , z) j0 � x � 1,�1 � y � 2, 0 � z � 3g
Exercicios Stewart (2010, p.948): 2-4, 6
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 22 / 23
Referências
Stewart (2010) [vol.2] [cap.15]
Alan Costa (UFOP) Integrais múltiplas Agosto 2013 23 / 23