calculo_1_civil_2013_prova3

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Instituto Federal Goiano - Caˆmpus Rio Verde
3a Avaliac¸a˜o de Ca´lculo Diferencial e Integral I - Engenharia Civil
Prof.a Aline Gobbi Dutra - Valor: 10 pts - Data: 17/06/2013
Aluno(a):...................................................................................................................
1. (Valor: 3 pts) Calcule a derivada de cada func¸a˜o abaixo:
(a) f(x) =
x3
3
− 12x2 + 6
x
− 15x−2 (b) f(x) = (12− 3x)4(x− 5)3
(c) f(t) = 2 sin3 t cos2 t (d) f(x) =
(
2x− 1
3x2 + x− 2
)2
(e) f(x) = (ex
2+4)
√
x (f) f(x) = (x + 1)arg sech 2x
Dado: (arg sech u)
′
=
−u′
u
√
1− u2 , 0 < u < 1
2. (Valor: 0.8 pts) Dada a equac¸a˜o
y√
x− y = 2 + x
2, ache
dy
dx
implicitamente.
3. (Valor: 1.2 pts)Ache D3x(2 tan 3x)
4. (Valor: 5.0 pts) Considere a func¸a˜o f(x) = x4 − 2x3. Determine, justificando
cada resposta com seus ca´lculos:
(a) O Df ;
(b) Os pontos de intersecc¸a˜o com os eixos;
(c) Os pontos cr´ıticos;
(d) Os intervalos de crescimento e decrescimento de f ;
(e) Os ma´ximos e mı´nimos relativos, se houver;
(f) Os tipos de concavidades e os pontos de inflexa˜o de f , se houver;
(g) As ass´ıntotas horizontais e verticais, se existirem;
(h) O esboc¸o do gra´fico, destacando todos os dados encontrados acima.
QUESTA˜O EXTRA - TUDO OU NADA (Valor: 1.0 pts) Se y = xn, onde n e´ qualquer
inteiro positivo, prove por induc¸a˜o matema´tica que que f (n)(x) = n!
Induc¸a˜o Matema´tica: Prove para o caso n = 1. Depois suponha verdade o caso (n − 1) e
prove para o caso n