Estatística Aplicada 3

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Capítulo IV - Medidas de Tendência Central
CAPÍTULO IV - Medidas de Tendência Central
Um dos aspectos mais importantes no estudo da distribuição é a posição de um valor 
central, isto é, um valor representativo sobre o qual as observações estão distribuídas. 
Qualquer medida numérica com este objetivo é chamada de medida de tendência central ou de 
locação. As três mais importantes são a média aritmética, mediana e moda.
4.1 Média aritmética
4.1.1 Média aritmética para dados não agrupados
A média aritmética de um conjunto de n elementos - é a soma dos n elementos dividido 
por n.
Onde: 
xi= valor genérico da observação
n = número de observações
Exemplo 1: Calcular a média aritmética dos seguintes valores 37, 35, 640, 52, 60 e 40.
4.1.2 Média aritmética para dados agrupados
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 Onde
xi= valores agrupados, ou pontos médios de classe, x
Exemplo 2: Determinar a média da distribuição:
Renda Familiar
(em salários mínimos)
No de Famílias xi xi·fi
 2 |- 4 5 3 15
 4 |- 6 10 5 50
 6 |- 8 14 7 98
 8 |- 10 8 9 72
10 |- 12 3 11 33
Total 40 268
Como a renda familiar foi dada em salários mínimos, podemos afirmar que a renda média 
desse grupo de 40 famílias é de 6,7 salários mínimos.
4.2 Mediana
 A mediana de um conjunto de n elementos é o valor que ocupa a posição central, 
quando os dados são ordenados do menor para o maior.
4.2.1 Mediana para dados não agrupados
 Se “n” é ímpar, existe um único valor que ocupa a posição do meio e este valor é a 
mediana. 
Se “n” é par, há dois valores que ocupam a posição central, e a mediana é definida 
como sendo a média entre esses valores.
A mediana é o valor que divide os dados em duas metades, ou seja, 50% dos dados 
estão abaixo da mediana e 50% estão acima.
Exemplo 3: Encontre a mediana dos pesos de recém-nascidos, dados abaixo:
6.4; 9.2; 8.1; 7.8; 10.5
• Primeiro ordena-se em ordem crescente: 6.4 7.8 8.1 9.2 10.5.
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• n = 5, então a posição do meio é a 3ª posição. Assim, a mediana é o valor que 
ocupa esta posição, ou seja, 8.1.
• Se houvessem seis observações a mediana seria a média aritmética entre a 4ª 
e a 3ª posições.
Para “n” ímpar Para “n” par
4.2.2 Mediana para valores tabulados em classe
Para os dados agrupados a mediana pode ser obtida pela fórmula:
l = limite inferior da classe mediana
h = amplitude do intervalo de classe
fMd= freqüência simples da classe mediana
Fant= freqüência acumulada absoluta da classe anterior á classe mediana
EMd = elemento mediano
Exemplo 4: Determine a mediana para os dados da tabela abaixo
Classes fi Fac↓
35 |- 45 5 5
45 |-55 12 17
55 |-65 18 35
65 |-75 14 49
75 |-85 6 55
85 |- 95 3 58
Total 58
1º Passo – Determinar o EMd = n/2. 
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Como n = 58
temos EMd = 58/2 = 29º (vigésimo nono elemento).
2º Passo – Identificar a classe mediana pela Fac↓.
Neste exemplo, a classe mediana é a 3ª.
3º Passo – Aplicar a fórmula
4.3 Separatrizes
Há uma série de medidas de posição semelhantes na sua concepção à mediana, 
embora não sejam medidas de tendência central. Essas medidas são denominadas 
separatrizes.
4.3.1 QUARTIS - os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais.
Q1= 1º quartil, deixa 25% dos elementos abaixo e 75% dos elementos acima.
Q2= 2º quartil, coincide com a mediana, deixa 50% dos elementos abaixo e 50% dos 
elementos acima.
Q3= 3º quartil, deixa 75% dos elementos abaixo e 25% dos elementos acima.
Utilizaremos os quartis apenas para dados agrupados em classes. As fórmulas para 
determinação dos quartis são semelhantes à usada para o cálculo da mediana.
Determinação de Q1:
1º Passo – Determinar o EQ1 = 1·n/4.
2º Passo – Identificar a classe Q1 pela Fac↓.
3º Passo – Aplicar a fórmula
onde:
l = limite inferior da classe quartil
h = amplitude do intervalo de classe
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fQ1= freqüência simples da classe quartil
Fant= freqüência acumulada absoluta da classe anterior à classe quartil
EQ1= elemento quartil
Determinação de Q3
1º Passo – Determinar o EQ3 = 3·n/4.
2º Passo – Identificar a classe Q3 pela Fac↓.
3º Passo – Aplicar a fórmula
onde:
l = limite inferior da classe quartil
h = amplitude do intervalo de classe
fQ3= freqüência simples da classe quartil
Fant= freqüência acumulada absoluta da classe anterior à classe quartil
EQ3= elemento quartil
Exemplo 5: Determine Q1 e Q3 para os dados da tabela abaixo:
Classes fi Fac
7 |- 17 6 6
17 |-27 15 21
27 |-37 20 41
37 |-47 10 51
47 |-57 5 56
Total 56
Cálculo do 1º quartil
1º Passo – Determinar o EQ1 = 1·n/4. 
Como n = 56
EQ1 = 56/4 = 14º
2º Passo – Identificar a classe Q1 pela Fac↓. A classe Q1 é a 2ª classe
3º Passo – Aplicar a fórmula
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Cálculo do 3º quartil
1º Passo – Determinar o EQ3 = 3·n/4
Como n = 56
EQ3 = 3·56/4 = 42º
2º Passo – Identificar a classe Q3 pela Fac↓. A classe Q3 é a 4ª classe
3º Passo – Aplicar a fórmula
4.3.2 DECIS - são valores que dividem a série em 10 partes iguais.
Determinação dos decis:
1º Passo – Determinar o EDi = i·n/10.
2º Passo – Identificar a classe Di pela Fac↓.
3º Passo – Aplicar a fórmula
onde:
lDi = limite inferior da classe decil, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
h = amplitude do intervalo de classe
fDi= freqüência simples da classe decil
Fant= freqüência acumulada absoluta da classe anterior à classe decil
EDi= elemento decil
4.3.3. PERCENTIS - são valores que dividem a série em100 partes iguais.
 Determinação dos percentis:
1º Passo – Determinar o EPi = i·n/100.
2º Passo – Identificar a classe Pi pela Fac↓.
3ºPasso – Aplicar a fórmula.
onde:
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lPi = limite inferior da classe percentil, i = 1, 2, 3, ..., 99.
h = amplitude do intervalo de classe.
FPi= freqüência simples da classe percentil.
Fant= freqüência acumulada absoluta da classe anterior à classe percentil.
EPi= elemento percentil.
Exemplo 6: Determinar o 4º Decil e o 72º Percentil da seguinte distribuição
Classes fi Fac
 4 |- 9 8 8
 9 |-14 12 20
14 |-19 17 37
19 |-24 3 40
Total 40
Cálculo do 4º decil
1º Passo – Determinar o ED4 = 4·n/10.
Como n = 40
ED4 = 4·40/10 = 16º 
2º Passo – Identificar a classe D4 pela Fac↓. A classe D4 é a 2ª classe
3º Passo – Aplicar a fórmula
Cálculo do 72º percentill
1º Passo – Determinar o EP72 = 72·n/100
Como n = 40
EQ1 = 72·(40)/100 = 28,8º
2º Passo – Identificar a classe P72 pela Fac↓. A classe P72 é a 3ª classe
3º Passo – Aplicar a fórmula
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4.4 Moda
É o valor de maior freqüência. Para distribuições simples (sem agrupamento em 
classes), a identificação da Moda é facilitada pela simples observação do elemento que 
apresenta maior freqüência. Assim, para a distribuição:
xi 243 245 248 251 307
fi 7 17 23 20 8
A moda será 248. Indica-se Mo = 248.
Exemplo 7:
Calcular a moda dos seguintes conjuntos de valores:
X = {4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8} 
Moda de X: Mo = 6
Y = {4, 4, 5, 5, 6, 6} 
Moda de Y: não existe é Conjunto amodal
Z = {1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6}
Moda de Z: Mo1=2 e Mo2=5; este é um conjunto bimodal
W = {1, 2, 3, 4, 5} 
Moda de W: não existe é Conjunto amodal
4.4.1 Moda para valores tabulados agrupados
Existem três métodos para determinação da
moda de valores tabulados. 
4.4.1.1. Moda Bruta
Consiste em tomar o ponto médio da classe modal. A classe modal é a classe de maior 
freqüência.
4.4.1.2. Método de Czuber
O Método de CZUBER, leva em consideração não apenas as freqüências das classes 
adjacentes, mas também a freqüência da classe modal. É obtido através da seguinte 
expressão:
onde
l = limite inferior da classe modal
h = amplitude do intervalo de classe
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fant= freqüência simples da classe adjacente anterior á classe modal
fpost= freqüência simples da classe posterior á classe modal
fmo= freqüência simples da classe modal
4.4.1.3. Método de King
O método de KING baseia-se na influência das freqüências das classes adjacentes 
sobre a classe modal. Ë calculado pela seguinte expressão:
 Onde
l = limite inferior da classe modal
h = amplitude do intervalo de classe
fant= freqüência simples da classe adjacente anterior á classe modal
fpost= freqüência simples da classe posterior á classe modal
Exercícios
1 – Dado o seguinte conjunto de dados: {7, 8, 6, 10, 5, 9, 4, 12, 7, 8}
a-) a média
b-) mediana e moda
2 - O número de acidentes ocorridos durante um dado mês em 13 departamentos de 
manufaturas em um estabelecimento industrial foi: 2, 0, 0, 3, 3, 12, 1, 0, 8, 1, 0, 5, 1.Calcular:
a)média
b)mediana
c)a moda para o número de acidentes por departamento.
3 - Um caminhão cujo peso vazio é 3.000kg será carregado com 480 caixas de 10kg cada, 350 
de 8kg cada, 500 caixas de 4 kg cada e 800 caixas de 5kg cada. O motorista do caminhão 
pesa 80kg e a lona de cobertura da carga pesa 50kg.
a)Se este caminhão tem que passar por uma balança que só permite passagens a caminhão 
com peso máximo de 15 toneladas, este caminhão passará pela balança?
b)Qual o peso médio das caixas carregadas no caminhão?
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4 - Determine a média, a mediana e a moda dos dados da tabela abaixo.
Rendimento em milhas por galão de automóveis em 25 viagens realizadas por veículos de 
propriedade de uma companhia
Milhas por galão Número de viagens
15,9 3
17,9 5
19,9 10
21,9 4
23,9 2
25,9 1
Total 25
5 - As mortes em acidentes de trânsito são devastadoras para as famílias envolvidas e, em 
geral, envolvem processos na justiça e pagamentos de altos seguros. Abaixo, estão 
apresentadas uma distribuição de freqüência dos motoristas com habilitação, por idade.
Classe de idade motoristas com habilitação
10|--20 5
20|--30 17
30|--40 21
40|--50 27
50|--60 12
60|--70 8
70|--80 6
80|--90 4
total 100
Determine os valores: a) média, b)mediana, c)moda, d) primeiro quartil, e) sexto decil, f) 65º 
percentil g) 92º percentil para tais idade.
6 - É dada a distribuição dos salários semanais de 100 funcionários:
Salário por semana (R$) Nº de empregados
50|--100 26
100|--150 43
150|--200 17
200|--250 9
250|--300 5
total 100
Determine os valores: a) média, b)mediana, c)moda, d) terceiro quartil, e) nono decil, f) do 50º 
percentil g) 84º percentil para tal grupo de salários.
7 - Determine:
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Capítulo IV - Medidas de Tendência Central
Tempo de Vida de componente Tipo A
Tempo de Vidas (horas) Nº de Peças
0|--25 2
25|--50 4
50|--75 12
75|--100 30
100|--125 18
125|--150 4
Total 70
a) O valor médio do tempo de vida
b) O valor mais freqüente (utilizando os dois métodos estudados)
c) Q1 e Q3
d) D2 e D7
e) P5, P25, P45
8 - Uma auditoria em uma grande construtora observou o valor de 50 notas fiscais emitidas 
durante um mês. Esta amostra apresentou a seguinte distribuição:
Valor da nota (mil reais) No de notas
 7 |-12 2
12 |-17 5
17 |-22 13
22 |-27 10
27 |-32 9
32 |-37 6
37 |-42 5
Total 50
Pede-se:
a) O valor médio das notas
b) O valor mais freqüente (utilizando os dois métodos estudados)
c) Q1 e Q3
d) D5 e D8
e) P10, P50, P90
Estatística Aplicada Prof ª Juciara do N. César – UNB
	CAPÍTULO IV - Medidas de Tendência Central
	4.1 Média aritmética
	4.1.2 Média aritmética para dados agrupados
	 Onde
	Tempo de Vida de componente Tipo A
	Tempo de Vidas (horas)
	Nº de Peças
	0|--25
	2
	25|--50
	4
	50|--75
	12
	75|--100
	30
	100|--125
	18
	125|--150
	4
	Total
	70