Limites

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Cálculo I
3ª Lista de Exercícios – Limites
Calcule os limites:
2) Calcule os limites abaixo:
3) Calcule:
4) Calcule os limites:
5) Calcule os limites:
Exercícios Complementares
1. Calculando-se , obtém-se
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 4.
e) 6.
2. O é igual a
a) 1/9.
b) 1/27.
c) 1/243.
d) 1/243.
e) 1/54.
3. O valor de é
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) ∞.
4. vale
a) 7e
b) e7
c) 7 – e
d) 7 + e
e) 7e
5. Julgue as afirmações abaixo e marque a alternativa correta.
a) I, II e III são falsas.
b) Apenas as afirmações I e II são falsas.
c) I, II e III são verdadeiras.
d) Apenas as afirmações I e III são falsas.
e) Apenas as afirmações II e III são falsas.
6. Calculando-se , obtém-se
a) 1/4.
b) 1/5.
c) 1/6.
d) 1/7.
e) 1/8.
7. Seja . O valor de k para oqual f(x) é contínua em x = 4 é
a) 2.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 10.
8. Sobre a função foram feitas as afirmações abaixo, sendo apenas uma verdadeira.
Assinale-a:
a) Seu gráfico tem a reta x = 4 como uma assíntota vertical.
b) Seu gráfico tem a reta y = 0 como uma assíntota vertical.
c) Seu gráfico passa pelo ponto (0,0).
d) 
e) 
9. é igual a
a) (.
b) 0.
c) 1.
d) - (.
e) 4.
10. Observando o gráfico correspondente à função f(x), assinale a única alternativa incorreta:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) f(1) = 2
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
1) 2) 
3) 4) Não existe pois e 
5) 6) 7) 
EXERCÍCIOS ESPECIAIS 
a) RESP 0 b) RESP -2
c) RESP 1/3 d) RESP 1/2
e) RESP 
 f) RESP 3X2
g) RESP 1 h) RESP 1/2
i) RESP 3 j) RESP 1
k) RESP -1/56 l) RESP 12
m) RESP 3/2 n) RESP -1/3
o) RESP 1 p) RESP 
: x
q) RESP 
 r) RESP -1/3
LIMITES ENVOLVENDO INFINITOS 
Seja a função polinomial f(x) = an xn + na-1xn-1 + ... + a2 x2 + a1x + a0 
 Para o cálculo de limite com 
 toma-se o termo de maior grau da função e aplica-se o limite .
Exemplos : 
Exercícios complementares:
1) 
 R 0 
2) 
 R 4/3 
3) 
 R 
4) 
 R ½ 
LIMITES DE FUNÇÕES
Seja 
 uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número 
, exceto possivelmente no próprio
. Então, diz-se que o limite de 
 quando 
 tende a 
 
 é 
, e representa-se por
	
se 
 para todo 
 há um número correspondente 
 tal que 
 sempre que 
, isto é, se 
.
Exemplo: Provar que 
Solução:
Encontrar um valor para 
:
Uma análise preliminar do problema indica que se 
, deve encontrar-se um 
 tal que
 sempre que 
,
mas 
 sempre que 
, 
isto é, 
 sempre que 
, logo 
.
Prova:
Por tanto, dado 
, escolhe-se 
, e se 
, então,
Assim 
 sempre que 
,
por tanto 
Na prática é suficiente substituir a variável pelo valor ao qual ela tende, isto é,
	
donde 
	
Exemplos:
a)	
Em alguns exemplos o limite não é tão evidente. Seja a função
	
, com 
 , isto é,
 Indeterminação,
estudando-se esta função, tem-se que o domínio de 
 abrange todos os números reais, com exceção de 
 que anula o denominador e o numerador. O que significa que a função é indefinida neste ponto. Porém, ao se utilizar “Baskara” no numerador, ou seja,
	
�� EMBED Equation.2 .
Assim,						 
	
	
						
 
 
	
		 						
				
					 
			 
Desta forma, tem-se que
				 
,
Exercícios:
	
 Indeterminação,
onde substituição direta novamente anula o denominador e o numerador, e a função é indefinida neste ponto. Porém, obtendo-se as raízes do numerador, ou seja,
	
 
Em 
, o ponto 
deve ser excluído do gráfico, pois 
, pois o domínio de 
é: 
 e tem como imagem
.
					
		 		 
				 
		 
								
								
				
3.1 - Propriedades dos Limites
2)	
 e 
 é uma constante
3)	
4)	
 e 
Indeterminações de limites: 
Exemplos:
 
	Indeterminação
Como toda indeterminação deve ser levantada, tem-se
Solução: Deve-se, primeiramente, encontrar as raízes do polinômio superior, isto é,
�� EMBED Equation.2 (Baskara)
 
donde,
	
Então, deve-se encontrar as raízes do polinômio inferior, isto é,
assim,		
	
 			 
3) 
		
 
4) 	
	Indeterminação
Neste caso, para eliminar a indeterminação 
 , se deve racionalizar o numerador , isto é, 
. Desta forma, tem-se:
					
	
3.2 - Limites Notáveis
Um limite considerado notável é o do seno, que ocorre porque quando o ângulo (ou arco) 
 tende a diminuir, o valor do 
 tende a ficar igual a este arco, em valor, de forma que o seu quociente tenda para 
, e o limite notável no caso é
3.2.1 - Limite do seno
6) Calcular
	
 	faz-se 
, para 
	
7) 	
 
8)	
Limite que define o número “e ”
	O número "e" , usado como base do logaritmo natural é obtido pela expressão abaixo.
	
	
	 1
	 2
	 10
	 
	 100
	 
	 1000
	 
	 10000
	 
	 
	 
Exemplo:
 põe-se 
 para 
Limites infinitos de funções racionais
	Se a função for do tipo 
, isto é, 
,
que é uma indeterminação. E para resolver esta indeterminação, basta dividir o numerador e o denominador pela variável independente elevada à maior potência que aparecer na fração. Assim, se 
, tem-se:
,
,
,
e passando ao limite, tem-se:
.
Se 
, tem-se: 
,
,
,
e passando ao limite, tem-se:
.
Se 
, tem-se:
,
,
,
,
e passando ao limite, tem-se: 
.
Desta forma, pode colocar-se a regra geral: Independente de qual dos três casos for considerado, todos os limites menos os de maior expoente, tanto no dividendo quanto no divisor irão anular-se, ou seja,
.
Assim, se 
, se 
 e se 
.
Exemplos:
1)	
, o resultado daria 
 (indeterminação)
Aplicando a técnica exposta anteriormente se tem:
	
 ,
ou simplesmente
	
 
2)	Calcular o limite
	
ou 
	
 
3)	Calcular o limite
	
ou 
	
 
Calcular o limite
ou simplesmente
Limites Laterais
a) Definição: Diz-se que o limite esquerdo de 
 quando 
 tende a 
 (ou que o limite de 
 quando 
 tende a 
 pela esquerda) é 
 e representa-se por
	
se for considerado que 
 tende a 
 pela esquerda, isto é, 
Exemplo: 
b) Definição: Diz-se que o limite direito de 
 quando 
 tende a 
 (ou que o limite de 
 quando 
 tende a 
 pela direita) é 
 e representa-se por
	
se for considerado que 
 tende
a 
 pela esquerda, isto é, 
Exemplo: 
EXERCÍCIOS:
2) Resolver os limites abaixo:
 
 
14. 
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
 � EMBED Equation.3 ���		 � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���		� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Gabarito
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
E E B D E C D C A C
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ��� Ponto� EMBED Equation.3 ��� deve ser excluído do gráfico, pois naquele ponto a função é indefinida.
O gráfico mostra que para � EMBED Equation.3 ��� aproximando de � EMBED Equation.3 ���, � EMBED Equation.3 ��� se aproxima de � EMBED Equation.3 ���, mas se substituir-se � EMBED Equation.3 ��� na 1a expressão, � EMBED Equation.3 ��� não está definida naquele ponto. 
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.2 ��� 
s
� EMBED Equation.2 ���
(
� EMBED Equation.3 ���, se 
� EMBED Equation.3 ���
 11. � EMBED Equation.3 ��� 
16. � EMBED Equation.3 ��� 
17. � EMBED Equation.3 ��� 
 12. � EMBED Equation.3 ��� 
18. � EMBED Equation.3 ��� 
 13. � EMBED Equation.3 ��� 
 19. � EMBED Equation.2 ��� 
 15. � EMBED Equation.2 ��� 
 20) � EMBED Equation.2 ��� 
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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