UNIDADE II e III - aula 6

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UNIDADE II: FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
2.1. FUNÇÕES ESCALARES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
2.2. GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS, ATRAVÉS DE NÍVEL E DAS 
CURVAS TRIANGULAR
2.3. DERIVADAS PARCIAIS. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR E O 
TEOREMA DE SCHWARZ
2.4. DERIVADA DIRECIONAL E GRADIENTE
2.5. REGRA DA CADEIA. SUPERFÍCIES DE NÍVEL E PLANO TANGENTE
2.6. FUNÇÕES VETORIAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS
2.7. A DIFERENCIAL COMO UMA APLICAÇÃO LINEAR. 
UNIDADE II: FUNÇÕES DE VÁRIAS 
VARIÁVEIS
A função f tem limite L quando (x,y) se aproxima de 
se, dado qualquer número positivo , existe um número 
positivo tal que (x,y) no domínio de f
Escrevemos:
 
(x0, y0)
�
� �
0 <
�
(x� x0)2 + (y � y0)2 < � ⇥ ⇤f(x, y)� l⇤ < ⇥
lim
(x,y)�(x0,y0)
f(x, y) = L
Propriedades dos limites de 
funções de 2-variáveis.
1) Soma:
2) Diferença:
3) Produto:
4) Multiplicação:
lim
(x,y)�(x0,y0)
f(x, y) = L lim
(x,y)�(x0,y0)
g(x, y) = M
L,M, k � ⇥
lim
(x,y)�(x0,y0)
[f(x, y) + g(x, y)] = L+M
lim
(x,y)�(x0,y0)
[f(x, y)� g(x, y)] = L�M
lim
(x,y)�(x0,y0)
f(x, y) · g(x, y) = L · M
lim
(x,y)�(x0,y0)
kf(x, y) = kL
5) Regra do quociente:
6) Potência:
 Se m e n forem inteiros, então:
 
 
 Desde que seja um número Real.
lim
(x,y)�(x0,y0)
f(x, y)
g(x, y)
=
L
M
,M �= 0
lim
(x,y)�(x0,y0)
[f(x, y)]m/n = Lm/n
Lm/n
Def. Continuidade em um ponto.
Uma função f(x,y) é contínua no ponto se:
1) f for definida em 
2) existe
3)
 Uma função é contínua quando é contínua em todo os 
pontos do seu domínio.
(x0, y0)
(x0, y0)
lim
(x,y)�(x0,y0)
f(x, y)
lim
(x,y)�(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0)
Def. Derivada parcial em relação a x
A derivada parcial de f(x,y) em relação a x 
no ponto 
 Desde que o limite exista.
(x0, y0)
⇥f
⇥x
|(x0,y0) =
⇥f(x, y0)
⇥x
|x=x0
= lim
h�0
f(x+ h, yo)� f(x0, y0)
h
Def. Derivada parcial em relação a y
A derivada parcial de f(x,y) em relação a y 
no ponto 
 Desde que o limite exista.
(x0, y0)
⇥f
⇥y
|(x0,y0) =
⇥f(x0, y)
⇥y
|y=y0
= lim
h�0
f(x0, y + h)� f(x0, y0)
h
Teorema das Derivadas Mistas
Se f(x,y) e suas derivadas parciais , , e 
forem definidas em uma região aberta contendo um 
ponto (a, b) e todas forem contínuas em (a, b), então:
 
fx fy fxy fyx
fxy(a, b) = fyx(a, b)
Regra da cadeia para função de
2-variáveis 
Se w= f(x,y) for diferenciável e x e y forem funções 
diferenciáveis de t, então w será uma função 
diferenciável de t e
dw
dt
=
�f
�x
dx
dt
+
�f
�y
dy
dt
Def. Derivada Direcional
A derivada direcional de f em na direção do versor 
 é o número:
Desde que ele exista.
P0(x0, y0)
u = u1i+ u2j�
df
ds
⇥
u,P0
= lim
s�0
f(x0 + su1, y0 + su2)� f(x0, y0)
s
Def. Vetor Gradiente
O vetor gradiente de f(x,y) no ponto é o vetor:
 Obtido por meio do cálculo das derivadas parciais de f em .
P0(x0, y0)
�f = �f
�x
i+
�f
�y
j
P0
Direcional
A derivada direcional é um Produto Escalar.
Se f(x,y) for diferenciável em , então:
O produto escalar do gradiente de f em e 
P0(x0, y0)�
df
ds
⇥
u,P0
= (⇥f)P0 · u
P0 u
 onde é o ângulo entre os vetores u e , revela as seguintes propriedades:
1) A função f aumenta mais rapidamente quando 
 ou quando u é o versor de . Isto é, a cada ponto P no seu domínio, f 
cresce mais rapidamente na direção e no sentido de vetor gradiente em P.
 A derivada nessa direção é:
�
Du,f = ⇤f · u = ⇥⇤f⇥⇥u⇥ cos � = ⇥⇤f⇥ cos �
�f
cos � = 1
�f
�f
Du,f = �⇥f� cos � = �⇥f�
2) De maneira similar, f decresce mais rapidamente na direção e 
no sentido de . A derivada nessa direção é
3) Qualquer direção u ortogonal ao gradiente é uma direção de 
variável zero em f porque é então igual a e
�⇥f
Du,f = ⇥⇤f⇥ cos � = �⇥⇤f⇥
� �
2
Du,f = �⇥f� cos� = �⇥f�0 = 0
Text
Exemplo
Encontre as direções nas quais 
a) Cresce mais rapidamente no ponto (1,1)
b) Decresce mais rapidamente em (1,1)
c) Quais são as direções de variação zero de f em (1,1)
f(x, y) =
x2
2
+
y2
2
a) A função aumenta mais rapidamente na direção e no 
sentido de em (1,1). O gradiente é:
seu versor é
�f
(�f)(1,1) = xi+ yj = i+ j
u =
i+ j
�i+ j� =
1⇥
2
i+
1⇥
2
j
b) A função decresce mais rapidamente na direção e no 
sentido de em (1,1), e seu versor é:
 
�⇥f
�u = � 1⇥
2
i� 1⇥
2
j
c) As direções de variações zero em (1,1) são as direções 
ortogonais a .
 e 
�f
n = � 1⇥
2
i+
1⇥
2
j n =
1⇥
2
i� 1⇥
2
j
Propriedades do Gradiente
1) Multiplicação por constante:
2) Soma
3) Diferença
4) Produto
5) Quociente
�(kf) = k�f
�(f + g) = �f +�g
⇥(f � g) = ⇥f �⇥g
⇥(f · g) = f⇥g + g⇥f
⇥(f
g
) =
g⇥f � f⇥g
g2
Def. Plano Tangente e Reta Normal
O plano tangente no ponto na superfície de 
nível f(x,y,z) = c é o plano que passa por e é normal a 
A reta normal à superfície em é a reta que passa por 
e é paralela a 
P0(x0, y0, z0)
P0
⇥f |P0
P0 P0
⇥f |P0
Exemplo
Solução: O plano tangente é o plano que passa em e é perpendicular ao 
gradiente de f em .
 O gradiente é:
O plano é:
ou
 
f(x, y, z) = x2 + y2 + z � 9 = 0 (parabolóide circular)
P0
P0
(�f)P0 = 2xi+ 2yj + k = 2i+ 4j + k
P0(1, 2, 4)no ponto
2(x� 1) + 4(y � 2) + (z � 4) = 0
2x+ 4y + z = 14
A reta normal a superfície em é:
O plano tangente a uma superfície em 
é:
P0
x = 1 + 2t
y = 2 + 4t
z = 4 + t
z = f(x, y) (x0, y0, f(x0, y0))
fx(x0, y0)(x� x0) + fy(x0, y0)(y � y0)� (z � z0) = 0
UNIDADE III: FÓRMULA DE TAYLOR MÁXIMOS E 
MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
3.1. FÓRMULA DE TAYLOR. RESTO DE LAGRANGE E 
RESTO INTEGRAL
3.2. MÁXIMOS E MÍNIMOS
3.3. CARACTERIZAÇÃO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS
3.4. MÉTODO DO MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.
Def. : Linearização, Aproximação 
Linear Padrão.
A linearização de uma função f(x,y) em um ponto 
onde f é diferenciável é a função.
A aproximação 
 é a aproximação linear padrão de f em 
(x0, y0)
L(x, y) = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x� x0) + fy(x0, y0)(y � y0)
f(x, y) � L(x, y)
(x0, y0)
Exemplo
Encontre a linearização de:
 no ponto (3,2)f(x, y) = x2 � xy + 1
2
y2 + 3
Def. Diferencial Total
Se nos movermos de para um ponto 
próximo, a variação resultante
na linearização de f é chamada de diferencial total de f
(x0, y0) (x0 + dx, y0 + dy)
df = fx(x0, y0)dx+ fy(x0, y0)dy
Definição: Máximo local e Mínimo 
Local
Seja f(x,y) definida em uma região R que contém o ponto 
(a,b). Então:
1) f(a,b) é um valor máximo local de f se f(a,b) ≥ f(x,y) para 
todos os pontos do domínio (x,y) em um disco aberto centrado 
em (a,b).
2) f(a,b) é um valor mínino local de f se f(a,b) ≤ f(x,y) para 
todos os pontos do domínio (x,y) em um disco aberto centrado 
em (a,b).
Teste da derivada primeira ordem 
para valores extremos locais
 Se f(x,y) tiver um valor de máximo ou mínimo local 
em um ponto interior (a,b)
do seu domínio e se as 
derivadas parciais de primeira ordem existirem lá, 
então:
 efx(a, b) = 0 fy(a, b) = 0
Definição: Ponto Crítico
 Um ponto interior do domínio de uma função f(x,y) 
onde tanto como sejam zero ou onde ou 
ou ambas não existam é um ponto crítico de f.
fyfx fy fx
Def. Ponto de Sela
 Uma função diferencial f(x,y) tem um ponto de sela em um 
ponto crítico (a,b) se em todo disco aberto centrado em (a,b) 
existem pontos do domínio (x,y) onde f(x,y)>f(a,b) e pontos do 
domínio (x,y) onde f(x,y)<f(a,b). O ponto correspondente 
( a, b, f(a,b) ) na superfície z= f(x,y) é chamado de Ponto de Sela 
da superfície.
Exemplo
Encontre os valores extremos locais de f(x, y) = x2 + y2
Teste da derivada segunda Ordem 
para valores Extremos Locais
Suponha que f(x,y) e suas derivadas 
parciais de 1a e 2a ordem sejam 
contínuas e um disco centredo em (a,b) e 
que e . Então ,fx(a, b) = 0 fy(a, b) = 0
i•f tem um máximo local em (a,b) se 
 e em (a,b)
ii• f tem um mínimo local em (a,b) se 
 e em (a,b)
iii• f tem um ponto de sela em (a,b) se 
iv• o teste é inconclusivo em (a,b) se 
fxx < 0 fxxfyy � f2xy > 0
fxxfyy � f2xy > 0fxx > 0
fxxfyy � f2xy < 0
fxxfyy � f2xy = 0
A Expressão é chamada 
discriminante ou Hessiano de f. 
fxxfyy � f2xy
fxxfyy � f2xy =
���� fxx fxyfxy fyy
����
Encontre os valores extremos locais da 
função f(x, y) = xy � x2 � y2 � 2x� 2y + 4
Fórmula de Taylor para 2-variáveis no ponto (a,b)
 Suponha que f(x,y) e suas derivadas parciais até a 
ordem (n+1) sejam contínuas em uma região 
retangular aberta R centrada em um ponto (a,b). 
Então, em R,
f(a+ h, b+ k) = f(a, b) + (hfx + kfy) |(a,b) +
+
1
2!
�
h2fxx + 2hkfxy + k2fyy
⇥
(a,b)
+
+
1
3!
�
h3fxxx + 3h2kfxxy + 3hk2fxyy + k3fyyy
⇥
(a,b)
+ ...+
+
1
n!
�
h
�
�x
+ k
�
�y
⇥n
f |(a,b) +
+
1
(n+ 1)!
�
h
�
�x
+ k
�
�y
⇥(n+1)
f |(a+ch,b+ck)
Fórmula de Taylor na origem
f(x, y) = f(0, 0) +
n⇤
l=1
1
(l)!
�
x
⇥
⇥x
+ y
⇥
⇥y
⇥(l)
f |(0,0) +
+
1
(n+ 1)!
�
x
�
�x
+ y
�
�y
⇥(n+1)
f |(cx,cy)
Encontre a aproximação quadrática de 
 perto da origem.f(x, y) = sinx sin y
Exemplo
Encontre a aproximação quadrática de:
f(x,y)= sinx . siny perto da origem.