Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA
DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE MATEMÁTICA
ÁLGEBRA LINEAR A
Prof. Francisco Leal Moreira
2003/1
SUMÁRIO
1. MATRIZES ................................................................................................................................................... 1
1.1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................... 1
1.2. PROPRIEDADES ................................................................................................................................... 2
1.3. RESPOSTAS .......................................................................................................................................... 4
2. INVERSÃO DE MATRIZES ........................................................................................................................ 5
2.1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................... 5
2.2. MATRIZ INVERSA ............................................................................................................................... 5
2.3. PROPRIEDADES ................................................................................................................................... 6
2.4. OPERAÇÕES ELEMENTARES DE UMA MATRIZ............................................................................ 6
2.5. INVERSÃO DE MATRIZ POR OPERAÇÕES ELEMENTARES ........................................................ 6
2.6. RESPOSTAS .......................................................................................................................................... 7
3. SISTEMAS LINEARES ............................................................................................................................... 8
3.1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................... 8
3.2. EQUAÇÃO LINEAR ............................................................................................................................. 8
3.3. SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES ............................................................................................... 8
3.4. SISTEMAS EQUIVALENTES. ............................................................................................................. 9
3.5. SISTEMA LINEAR ESCALONADO. ................................................................................................... 9
3.6. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR TRIANGULAÇÃO OU ESCALONAMENTO. .... 10
3.7. MÉTODO DE CASTILHOS. ................................................................................................................ 11
3.8. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 13
4. ESPAÇOS VETORIAIS .............................................................................................................................. 14
4.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 14
4.2. ESPAÇO VETORIAL REAL ............................................................................................................... 15
4.3. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 16
5. SUBESPAÇO VETORIAL .......................................................................................................................... 17
5.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 17
5.2. SUBESPAÇO VETORIAL ................................................................................................................... 17
5.3. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 19
6. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES .................................................................................................. 20
6.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 20
6.2. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 21
7. SUBESPAÇO VETORIAL GERADO ....................................................................................................... 22
7.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 22
7.2. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 23
8.DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ........................................................................................ 24
8.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 24
8.2. PROPRIEDADES ................................................................................................................................. 24
8.3. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 26
9. BASE E DIMENSÃO .................................................................................................................................. 27
9.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 27
9.2. BASE .................................................................................................................................................... 28
9.3. PROPRIEDADES ................................................................................................................................. 28
9.4. DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL ....................................................................................... 29
9.5. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 30
10. COMPONENTES DE UM VETOR E MUDANÇA DE BASE ................................................................. 31
10.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 31
10.2. COMPONENTES DE UM VETOR .................................................................................................... 31
10.3. MUDANÇA DE BASE ....................................................................................................................... 31
10.4. RESPOSTAS ...................................................................................................................................... 33
11. PRODUTO INTERNO .............................................................................................................................. 34
11.2. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 34
11.2.
RESPOSTAS ...................................................................................................................................... 35
12. ORTOGONALIDADE .............................................................................................................................. 36
12.1. VETORES ORTOGONAIS ................................................................................................................ 36
12.2. BASE ORTOGONAL E BASE ORTONORMAL .............................................................................. 36
12.3. PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT .................................................... 37
12.4. RESPOSTAS ...................................................................................................................................... 37
13. TRANSFORMAÇÕES LINEARES .......................................................................................................... 38
13.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 38
13.2. TRANSFORMAÇÃO LINEAR ......................................................................................................... 38
13.3. MATRIZ NATURAL OU MATRIZ CANÔNICA ............................................................................. 39
13.4. T L DEFINIDA PELAS IMAGENS DOS VETORES DE UMA BASE ............................................. 40
13.5. COMPOSTA DE DUAS TL ............................................................................................................... 41
13.6. RESPOSTAS ...................................................................................................................................... 42
14. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS ......................................................................................... 43
14.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 43
14.2. REFLEXÕES ...................................................................................................................................... 43
14.3. DILATAÇÕES E CONTRAÇÕES ..................................................................................................... 45
14.4. CISALHAMENTOS ........................................................................................................................... 46
14.5. ROTAÇÕES ....................................................................................................................................... 47
14.6. RESPOSTAS ...................................................................................................................................... 49
15. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR EM BASES QUAISQUER ..................................... 52
15.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 52
15.2. PROCEDIMENTO PARA ENCONTRAR A MATRIZ
A
B]f[
............................................................ 53
15.3. RESPOSTAS ...................................................................................................................................... 53
16. OPERADORES LINEARES ..................................................................................................................... 54
16.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 54
16.2. MATRIZES SEMELHANTES ........................................................................................................... 54
16.3. RELAÇÃO ENTRE MATRIZES SEMELHANTES . ........................................................................ 54
16.4. OPERADORES INVERSÍVEIS ......................................................................................................... 55
16.5. MATRIZ ORTOGONAL .................................................................................................................... 55
16.7. OPERADOR LINEAR ORTOGONAL .............................................................................................. 55
16.8. PROPRIEDADES ............................................................................................................................... 56
16.9. OPERADOR LINEAR SIMÉTRICO ................................................................................................. 56
16.10. PROPRIEDADE ............................................................................................................................... 57
16.11. RESPOSTAS .................................................................................................................................... 57
17. VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS.................................................................................... 58
17.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 58
17.2. DETERMINAÇÃO DOS VALORES E VETORES PRÓPRIOS ....................................................... 59
17.3. PROPRIEDADES ............................................................................................................................... 60
17.4. RESPOSTAS ...................................................................................................................................... 61
18. DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES .............................................................................................. 62
18.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 62
18.2. DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES SIMÉTRICAS ..................................................................... 63
18.3. RESPOSTAS ...................................................................................................................................... 64
19. CÔNICAS .................................................................................................................................................. 65
19.2. CÔNICAS NÃO-DEGENERADAS EM POSIÇÕES PADRÕES ...................................................... 65
19.3. PROCEDIMENTO PARA ELIMINAR O TERMO EM XY DA EQUAÇÃO .................................... 67
19.4. CLASSIFICAÇÃO DAS CÔNICAS QUANTO AOS VALORES PRÓPRIOS ................................. 69
19.5. RESPOSTAS ...................................................................................................................................... 69
20. BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................................... 70
1
1. MATRIZES
1.1. INTRODUÇÃO
Esta secção, apresenta um conjunto de exercícios que possibilitam ao aluno,
revisar conceitos básicos sobre matrizes. É muito importante que o aluno se detenha nas
propriedades apresentadas, pois são de grande importância dentro da Álgebra Linear.
Algumas aplicações do estudo das matrizes são resolução de sistemas de equações lineares,
mudança de bases de um espaço vetorial, representação e composição de transformações
lineares.
E1) Construa uma matriz:
a) Retangular b) Linha c) Coluna d) Nula e) Quadrada
E2) Identifique a ordem de cada matriz do exercício E1.
E3) Escreva a forma genérica de uma matriz de ordem m x n com elementos a
ji
.
E4) Escreva a matriz oposta (-A é a oposta de A) de
cada matriz do exercício E1.
E5) Construa a matriz A= [aij]mxn tal que:
a) m = n = 4 e a
ji
=
jise,2
jise,1
jise,0 b) m = 2, n = 3 e a
ji
=
ji1 3ji
E6) No exercício E5 a , identifique a diagonal principal e a secundária.
E7) Escreva uma matriz diagonal ( A=[aij]
nxn
, a
ij
=0 se i
j) de ordem 3.
E8) Escreva a matriz identidade ( I
n
=[aij]
nxn
, a
ij
=
jise,0
jise,1
) para n = 4.
E9) Escreva uma matriz triangular superior ( A=[aij]
nxn
, a
ij
=0 se i>j) de ordem 3.
E10)Escreva uma matriz triangular inferior ( A=[aij]
nxn
, a
ij
=0 se i<j) de ordem 4.
2
E11) Encontre x, y, z e w de forma que A=B, sendo:
a) A =
434
30sen52
22
1
002 , B =
4wz
2
1
yx
b) A =
8w2z3
yx413
, B =
w3z27
9y5x4
E12) Dadas as matrizes A =
542
021
, B =
105
312
e C =
23
11
determine a matriz:
a) A + 2B + (-A) + (-B)
b) A – B +
2
AB
c) 3( C – 2I
2
)
1.2. PROPRIEDADES
1. Propriedades da Adição
a) A + B = B + A
b) (A + B) + C = A + (B + C)
c) A + O = A
d) A + (-A) = O
sendo A, B, C e O matrizes de mesma ordem
2. Propriedades do Produto de uma Matriz por um Real
a) ()A = (A)
b(A + B) = A + B
c) ( + )A = A + A
d) 1A = A
sendo A e B matrizes de mesma ordem e ,
3
E13) Sejam as matrizes A =
151
433
012 , B =
413
202
111 e C =
142
321
, determine:
a) AB b) AC c) CA d) (A-I
3
) (B+I
3
)
3. Propriedades da Multiplicação de Matrizes
a) ABC = (AB)C = A(BC)
b) A(B+C) = AB + AC
c) (A+B)C = AC + BC
d(AB) = (A)B = A(B) ,
e) AO = O
f) AI = IA = A
E14) Use V ou F :
a) Se existem AB e BA então AB = BA ( )
b) Se AB = O então necessariamente A = O ou B = O ( )
E15) Encontre a matriz transposta de:
a) A =
450
321
b) B =
673
524
102
4. Propriedades da Transposta
a) (A t ) t = A
b) (A + B) t = A t + B t
c) (AB) t = B t A t
d) (A) t = A t ,
E16) Sejam as matrizes A =
30
12
, B =
15
24
e C =
43
21
, determine:
a) ( A - B) t (B - C) t b) [(2A - I
2
) + (C + I
2
)] t c) (AB t C) t
E17) Construa uma matriz simétrica (A t = A) de ordem 3.
4
E18) Construa uma matriz anti-simétrica (A t = -A) de ordem 4.
1.3. RESPOSTAS
E3)
mn2m1m
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
E5) a)A=
1222
0122
0012
0001
b)A=
101
810
E6) a)Dp = { 1, 1, 1, 1 } e Ds= { 2, 2, 0, 0 }
E8) a)I4=
1000
0100
0010
0001
E11) a) x=-4, y=1, z=2 e w=
9
1
b) x=2, y=1, z=1 e w=2
E12) a) B b)
643
313
2
1
c) 3
43
11
E13) a)
528
719
420 b) NE c)
1559
5811
d)
186
9510
300
E14) a) F b) F
E15) a)A
t
=
43
52
01 b)B
t
=
651
720
342
E16) a)
147
2114
b)
104
35
c)
2448
1533
5
2. INVERSÃO DE MATRIZES
2.1. INTRODUÇÃO
No início desta secção, o aluno encontrará alguns exercícios que possibilitam
revisar o cálculo de determinantes, importante para a identificação de uma matriz
inversível. O estudo de matriz inversa tem várias aplicações na Álgebra Linear, como por
exemplo, na mudança de base de um espaço vetorial e resolução de equações matriciais.
E1) Calcule os determinantes:
a)
2
b)
31
12
c)
423
145
021
d)
300
640
311 e)
20101
01003
0064
0001
E2) Resolva as equações:
a)
x10
0x1
154
= 0 b)
x2
9x2
=
x213
132
x321
c)
351
034
00x2
=
xsenxcos
xcosxsen
2.2. MATRIZ INVERSA
Uma matriz quadrada A é inversível se existir uma matriz quadrada B tal que AB = BA = I.
A matriz B é chamada matriz inversa de A e é representada por A 1 .
E3) Use a definição acima para calcular a inversa da matriz A =
dc
ba
Sugestão: Resolva os sistemas pela regra de Cramer.
DISPOSITIVO PRÁTICO
Se A =
dc
ba
e det A
0 , então A 1 =
Adet
1
ac
bd
0AdetA 1
E4) Calcule as inversas das matrizes A =
12
23
e B =
72
51
.
6
2.3. PROPRIEDADES
a) (A 1 ) 1 = A
b) I
n
1
= I
n
c) (A) 1 = A 1 ,
0
d) (AB) 1 = B 1 A 1
2.4. OPERAÇÕES ELEMENTARES DE UMA MATRIZ
L
ji
- Permutação das linhas de ordem i e j.
kL
i
- Multiplicação da linha de ordem i por k
0.
L
i
+ kL
j
- Substituição da linha de ordem i pela sua soma com a linha de ordem j multiplicada por k
0.
E5) Complete corretamente as matrizes:
A=
31
52
L
12
........
........
L
2
- 2L
1
........
........
- L
2
........
........
L
1
- 3L
2
10
01
Toda matriz inversível pode ser transformada, mediante um número finito de operações elementares, na
matriz I
E6) Aplique a seqüência L
12
, L
2
- 2L
1
, - L
2
, L
1
- 3L
2
na matriz
10
01
.
10
01
L
12
........
........
L
2
- 2L
1
........
........
- L
2
........
........
L
1
- 3L
2
=B
E7) Calcule AB e BA considerando A e B matrizes dos exercícios E5 e E6. O que se pode concluir ?
2.5. INVERSÃO DE MATRIZ POR OPERAÇÕES ELEMENTARES
A mesma seqüência de operações elementares que transforma uma matriz A em I
n
, transforma I
n
em A 1 .
[ A I
n
] seqüência de operações elementares [ I
n
A 1 ]
7
E8) Determine a matriz inversa, caso exista, de cada uma das matrizes dadas:
A =
352
141
010 , B =
53
21
, C =
1201
0301
0010
0120
e D =
304
202
011
E9) Mostre que
t11t )A()A(
.
E10) Resolva as equações matriciais na variável X, sabendo-se que A, B, C e X são matrizes inversíveis:
a) AX = B b) AXB = C c) X 1 AB 1 = C d) (AX 1 ) t = B e) AXB = BA f) A t X t = B
2.6. RESPOSTAS
E1) a) –2 b) 7 c) –16 d) 12 e) –120
E2) a) x = 1/4 ou x = 1 b) x = 0 ou x = 3 c) x = -1/6
E3) A
-1
=
11
23
E4) A
-1
=
32
21
B
-1
=
3
1
3
2
3
5
3
7
E8) A
-1
=
1213
001
1317 B
-1
=
13
25
C
-1
=
1121
0021
0010
0163
D
-1
=
120
1
2
3
1
1
2
3
0
E10) a) X=A
-1
B b) X=A
-1
CB
-1
c) X= AB
-1
C
-1
d) X=(B
t
)
-1
A e) X=A
-1
BAB
-1
f) X=B
t
A
-1
8
3. SISTEMAS LINEARES
3.1. INTRODUÇÃO
O estudo de sistemas de equações lineares é de fundamental importância na Álgebra
Linear. Resolvendo sistemas de equações lineares podemos determinar: a dependência ou
independência linear de vetores, o subespaço vetorial gerado por um conjunto de vetores, a
matriz que representa uma transformação linear em bases dadas e vetores próprios de um
operador linear. No final dessa secção, apresentaremos o método de Castilhos que pode ser
utilizado na resolução de sistemas de equações lineares.
3.2. EQUAÇÃO LINEAR
bxaxaxa nn2211
, com
b,a,a,a n21
Exemplos
a) No
2
, x = 3
1x + 0y = 3
b) No
3
, x = 3
1x + 0y + 0z = 3
c) As seguintes equações não são lineares: x
2
– 2x = 4 ,
2yx
, cos x = 1, e
y
-3x = 0 e ln x + 4y = 3.
Solução de uma equação linear é uma seqüência de números que satisfaz a equação.
Conjunto-solução de uma equação é o conjunto de todas as soluções da equção.
Exemplos
a) No
2
, o conjunto-solução da equação x = 3 é {(3,y) / y
} e (3,5) é uma solução particular.
b) No
3
, o conjunto-solução da equação x = 3 é {(3,y,z) / y,z
} e (3,7,9) é uma solução particular.
3.3. SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Sistema linear de m equações com n incógnitas
mnmn22m11m
2nn2222121
1nn1212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
Solução de um sistema linear é uma seqüência de números que é solução de toda equação do sistema.
9
E1) Resolva, se possível, os sistemas escrevendo os conjuntos soluções em U.
a)
0yx
3yx2
, U =
2
b)
1yx
2y2x2
, U =
2
c)
3y2x2
3yx
, U =
2
d)
2y
0zyx
, U =
3
e)
0zy
1z2y2x
, U =
3
f)
1zx
3zx
, U =
3
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR QUANTO ÀS SOLUÇÕES:
determinado (solução única)
compatível
Sistema Linear (possui solução) indeterminado (várias soluções)
incompatível (não possui solução)
REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE UM SISTEMA LINEAR.
A equação AX=B é a representação matricial de qualquer sistema de equações lineares. Se a matriz B é
nula, o sistema é chamado de homogêneo.
Um sistema homogêneo é sempre compatível:
- Determinado se tiver apenas a solução trivial ou imprópria que apresenta todas as variáveis
assumindo valor zero.
- Indeterminado se tiver a solução trivial e outras denominadas soluções próprias.
E2) Mostre que se A é uma matriz inversível então o sistema AX = B admite apenas uma solução. Qual é esta
solução se B = 0 ?
E3) Escreva um sistema linear homogêneo de duas equações com duas variáveis que seja:
a) compatível e determinado b) compatível e indeterminado c) incompatível
3.4. SISTEMAS EQUIVALENTES.
Dois sistemas que apresentam o mesmo conjunto solução são chamados sistemas equivalentes.
E4) Resolva, se possível, o sistema:
4z2
1zy
0zyx3
3.5. SISTEMA LINEAR ESCALONADO.
Um sistema linear está na forma escalonada se o número de zeros que precede o primeiro coeficiente não
nulo aumenta de equação para equação. Todo sistema escalonado pode ser facilmente resolvido como no
exercício E4.
10
Exemplo:
O sistema
4z2y0x0
1zyx0
0zyx3 do exercício E4, cuja matriz ampliada é
4
1
0
200
110
113
E5) Resolva o sistema:
2tz
1tzy2x
3.6. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR TRIANGULAÇÃO OU
ESCALONAMENTO.
Um sistema linear pode ser transformado em outro, equivalente e escalonado, com as seguintes operações:
a) Permutação de duas equações;
b) Multiplicação de uma equação por um número real
diferente de zero;
c) Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente multiplicada por um número
real diferente de zero.
Exemplo:
Resolva o sistema por triangulação:
1z2yx
0zyx
0zy3x2
...........................
...........................
...........................
...........................
...........................
...........................
...........................
...........................
...........................
O sistema resultante está na forma escalonada e é equivalente ao sistema dado. Logo, o sistema dado é
determinado e seu conjunto solução é S =
),,(
.
A seguir, resolva o mesmo sistema, a partir da matriz ampliada.
1
0
0
211
111
132 L
21
....
....
....
.........
.........
......... L
2
+(-2)L
1
....
....
....
.........
.........
......... L
3
+(-1)L
1
....
....
....
.........
.........
.........
E6) Resolva, se possível, os sistemas por escalonamento:
a)
4zx
1zy3x2
1yx b)
2z2y2x
1zyx2
1zyx
Permutan-
do as duas
primeiras
equações
Substituindo a 2o
eq. pela sua soma
com a 1o multipli-
cada por -2
Substituindo a 3 o equação
pela sua soma com a 1 o
multiplicada por -1
11
CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS LINEARES POR TRIANGULAÇÃO OU ESCALONAMENTO.
Se ao escalonar o sistema é zerada uma linha da matriz dos coeficientes sem zerar o correspondente
termo independente, o sistema é incompatível . Caso contrário o sistema é compatível:
- determinado , quando após escalonar obtém-se tantas linhas significativas (não totalmente nulas) quantas
são as colunas da matriz dos coeficientes.
- Indeterminado , quanto após escalonar obtém-se menos linhas significativas do que o número de
colunas da matriz dos coeficientes.
Todo sistema homogêneo que apresentar mais incógnitas que equações é indeterminado.
E7) Determine o valor de “m” para que o sistema
3zy2mx
0mzyx
2zyx seja:
a) Determinado; b) Indeterminado; c) incompatível.
E8) Resolva, se possível, o sistema
5z2yx3
1zy3x2
4z3yx
3.7. MÉTODO DE CASTILHOS.
O método de Castilhos é uma simplificação do método do escalonamento, onde as operações aplicadas
sobre as equações são representadas por determinantes de 2
º
ordem.
A seguir, a aplicação do método de Castilhos na resolução do exercício E8.
1
º
. Quadro 1 1 3 4 do 3
º
. quadro: ................
2 3 1 1
3 1 -2 5 do 2
º
. quadro com ............... em qualquer equação: ...............
2
º
. Quadro
.... .... ....
.... .... .... do 1
º
. quadro com .......... e........... em qualquer equação:.........
3
º
. Quadro
.... .... S =
),,(
12
E9) Resolva, se possível, os sistemas:
a)
3zy4x2
3zy2x
3zy4x2
4zy5x3
b)
1yx
2zy
0zyx2 c)
25yx
5y5x3
4y2x
d)
0zyx2
0zyx
e)
111
112
321
z
y
x =
0
0
0 f)
033
103
312
321
z
y
x =
7
2
5
4
E10) Resolva o sistema para k = -1, k = -2 e k = 3.
k02
0k10
20k
z
y
x =
0
0
0
E11) Se A =
122
121
322 e X =
z
y
x , resolva:
a) A.X = X b) A.X = 4.X c) ( A – 2.I
3
).X = 0
E12) Determine para que valores de a, b e c o sistema é determinado, indeterminado ou impossível:
a)
cz4y6
bz2y3
az5y2x b)
ctz
btzy2
at3z2yx c)
cz3yx2
bzx3
az5yx4
d)
32
21
11
y
x
=
c
b
a e)
211
432
321
z
y
x =
c
b
a
13
3.8. RESPOSTAS
E1) a) S={(1,-1)} b) S={
y/)y,y1(
} c) S={ } d) S={
z/)z,z,2z(
}
e) S={
z/)z,z,1(
} f) S={
y/)1,y,2(
}
E4) S={(1,-1,2)}
E5) S={
t,y/)t,2t,y,y23(
}
E6) a) S={
y/)3y,y,y1(
} b) S={ }
E7) a) m
0 e m
1 b) m = 1 c) m = 0
E8) S={(3,-2,1)}
E9) a) S={ } b) S={
z/)z,z2,1z(
} c) S={ }
d) S={
z/)z,z,0(
} e) S={(0,0,0)} f) S={ }
E10) k=-1, SCI, S={
y/)0,y,0(
} ; k=-2, SCI, S={
z/)z,0,z(
} ; k=3 , S={(0,0,0)}
E11) a)
S={(0,0,0)} b) S={
z/)z,
2
z5
,z4(
} c) S={
z/)z,
2
z3
,z(
}
E12) a) SI se c
2b e SCI se c=2b b) SCI,
c,b,a
c) SCD,
c,b,a
d) SI, se a-b-c
0 e SCD se a-b-c=0 e)SCD,
c,b,a
14
4. ESPAÇOS VETORIAIS
4.1. INTRODUÇÃO
Nesta secção, generaliza-se o conceito de vetor enunciando uma série de axiomas que,
caso sejam todos satisfeitos por uma classe de objetos, serão chamados vetores. O conceito
de espaço vetorial ocorre em muitas aplicações tanto na Matemática quanto nas Ciências e
na Engenharia.
P (ponto)
2
=
x
=
y,x/)y,x(
(x
1
,y
1
)
v (vetor)
y
2
y
1
P
v
0 x
1
x
P (ponto)
3
=
xx
=
z,y,x/)z,y,x(
(x
1
,y
1
,z
1
)
v (vetor)
z
3
z
1
P
v y
1
o y
x
1
x
Esta idéia pode ser estendida para
,..., 54
,
n21n21
n x,...,x,x/)x,...,x,x(
,com a perda
da visão geométrica.
E1) Dê um exemplo de ponto ou vetor no:
a)
4
b)
5
c)
6
15
Se u = (x
1
,x
2
,..., x
n
) e v = (y
1
,y
2
,..., y
n
) são vetores de
n
, tem-se:
a) u = v
x
1
= y
1
, x
2
= y
2
,..., x
n
= y
n
(igualdade)
b) u + v =( x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
,..., x
n
+ y
n
)
c) u = (x
1
,x
2
,..., x
n
) ,
(operações)
d) u.v = x
1
. y
1
+ x
2
. y
2
+... + x
n
. y
n
e)
u
=
2
n
2
2
2
1 xxx
(módulo de u)
Para o conjunto
n
, no qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar, isto é
u,v
n
, u+v
n
e
,
u
n
, u
n
é fácil verificar-se as seguintes propriedades:
A1 : u + v = v + u , u,v n
A2 : (u + v) + w = u + (v + w) , u,v,w n
A3 : 0 n , u n , u + 0 = u
A4 : u n , (-u) n , u + (-u) = 0
M1 : ( + )u = u + u , e u n
(u + v) = u + v , e u,v n
M3 : ()u = (u) , e u n
M4 : 1u = u , u n
Este conjunto
n
, no qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar e em relação as
quais valem as dez propriedades citadas, é chamado espaço vetorial real.
4.2. ESPAÇO VETORIAL REAL
Da mesma forma que o
n
, qualquer conjunto V
no qual estão definidas duas operações: adição e
multiplicação por escalar em relação as quais valem as dez propriedades citadas acima chama-se espaço
vetorial real.
Os elementos de um espaço vetorial são chamados vetores independente de sua natureza.
16
Outros exemplos importantes de espaços vetoriais:
1. O conjunto
mxnM
das matrizes mxn com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
Observação: O conjunto
1nxM
é a notação matricial do
n
.
Se u = (x
1
,x
2
,..., x
n
)
n
então u =
n
2
1
x
:
x
x
1nxM
(as operações de adição e multiplicação por
escalar produzem o mesmo resultado).
2. O conjunto
nP
a
0
x n + a
1
x 1n + ... + a
n
; ai
dos polinômios de grau menor ou igual a “n”,
incluindo o polinômio identicamente nulo, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
3. O conjunto das funções definidas no intervalo [a ; b] em relação às operações definidas por
(f + g)(x) = f(x) + g(x) e (f)(x) = f(x) ,
.
E2) Identifique o vetor nulo, um vetor e o respectivo vetor oposto dos seguintes espaços vetoriais:
a)
2x2M
b)
1x3M
c) P2 d) P3
E3) Analise cada conjunto abaixo e diga porque não é um espaço vetorial com as operações usuais.,
a) V =
1yx/)y,x( 222
b) V =
3x2y/)y,x( 2
c) V =
0ye0x/)y,x( 2
d) V =
01zyx/)z,y,x( 3
e) V =
0a/M
0
0
a
1x3
f) V =
0d/M
dc
ba
2x2
4.3. RESPOSTAS
E3) a) Não b) Não c)Não d) Não e) Não f) Não
17
5. SUBESPAÇO VETORIAL
5.1. INTRODUÇÃO
Às vezes, é importante identificar, dentro de um espaço vetorial, subconjuntos que
sejam também, espaços vetoriais.
SUBESPAÇO VETORIAL
Seja S um subconjunto não vazio de um espaço vetorial V. S é um subespaço vetorial de V se S é também
espaço vetorial com as mesmas operações definidas em V.
Como S
V
, os axiomas A1 , A2 , M1 , M2 , M3 e M4 , da definição, são verificados pois todos os vetores de
S são também de V. Portanto, para que S seja um subespaço vetorial de V, basta que os axiomas A3 e A4
também se verifiquem. Todas estas condições estão reunidas na definição abaixo.
5.2. SUBESPAÇO VETORIAL
Seja S um subconjunto não-vazio de um espaço vetorial V. S é um subespaço vetorial de V sse:
i)
Sv,u
,
Svu
ii)
Su
Su
E1)Verifique se S com as operações usuais é um subespaço vetorial de V.
a) S=
y,x/M
yxy
x0
2x2
e V=
2x2M
.
b) S =
x2y/)y,x( 2
V =
2
c) S=
x/)1x,x(
e V=
2
d) S =
0z2yx/)z,y,x( 3
V =
3
e) S =
01zyx2/)z,y,x( 3
V =
3
Importante:
a) O conjunto formado apenas pelo vetor nulo de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V.
O subespaço {0} é chamado de subespaço nulo.
b) Qualquer reta do
2
que passa pela origem é um subespaço vetorial do
2
.
c) Qualquer reta do
3
que passa pela origem é um subespaço vetorial do
3
.
d) Qualquer plano do
3
que passa pela origem é um subespaço vetorial do
3
.
18
SUBESPAÇOS VETORIAIS DO
2
a) Triviais:
2
e {(0,0)}
b) Não triviais: S =
0ByAx/)y,x( 2
(retas que passam pela origem)
SUBESPAÇOS VETORIAIS DO
3
a) Triviais:
3
e {(0,0,0)}
b) Não triviais: S =
pxzemxy/)z,y,x( 3
ou S =
0czbyax/)z,y,x( 3
( retas e planos
que passam pela origem)
SUBESPAÇOS VETORIAIS DE UM ESPAÇO VETORIAL V
a) Triviais: V e {0}
b) Não triviais: outros
E2)Verifique se S com as operações usuais é um subespaço vetorial de V.
a) S =
x/)x,x( 2
e V=
2
b) S é o conjunto solução do sistema
1yx
1xy
e V =
2
c) S =
xzexy/)z,y,x( 3
V =
3
d) S =
0x/)t,z,y,x( 4
V =
4
e) S é o conjunto solução de um sistema homogêneo AX = 0, onde A é uma matriz de ordem mxn e uma
solução X é um vetor de
n
.
f) S o conjunto de todas as matrizes triangulares superiores, V =
2x2M
g) S =
0ze1yx/)z,y,x( 223
V =
3
h) S =
y,x/
00
yx
, V =
2x2M
i) S =
c,a/cax
, V = P
1
j) S =
0a,c,a/cax2
, V = P
2
k) S é o conjunto solução do sistema
0z3y8x5
0z2y3x2
0zy2x e V =
3
l) S =
0Adet/VA
, V =
3x3M
19
5.3. RESPOSTAS
E1) a) Sim b) Sim c) Não d) Sim e) Não
E2) a) Não b) Não c) Sim d)Não e) Sim f)Sim g) Não h) Sim i) Sim
j) Não k) Sim l) Não
20
6. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES
6.1. INTRODUÇÃO
Uma das características mais importantes de um espaço vetorial é a determinação de
novos vetores a partir de vetores dados.
Sejam os vetores
n21 v,...,v,v
de um espaço vetorial V. Um vetor
v
V é combinação linear (CL) dos
vetores
n21 v,...,v,v
se existem os reais
n21 a,...,a,a
, tais que
vva...vava nn2211
.
E1) Verifique se o vetor
)7,8,1(v
é combinação linear dos vetores
)1,2,3(v1
e
)5,1,4(v2
. Em
caso afirmativo, escreva o vetor
v
como combinação linear de
1v
e
2v
.
A combinação linear
vva...vava nn2211
pode ser representada matricialmente por MA=V,
onde: M é a matriz cujas colunas são os vetores
n21 v,...,v,v
, A é a matriz coluna formada pelos
coeficientes
n21 a,...,a,a
e V é a representação matricial do vetor v.
E2) Sejam os vetores
)2,1,2(v1
,
)2,3,0(v2
e
)0,2,4(v3
.
a) Escreva, se possível, o vetor
)2,5,2(v
como CL dos vetores
1v
e
2v
.
b) Escreva, se possível, o vetor
1v
como CL dos vetores
2v
e
3v
.
c) Determine o valor de “m” para que o vetor
)m,0,6(u
seja CL dos vetores
1v
e
2v
.
d) Determine os vetores do
3
que podem ser escritos como CL dos vetores
1v
,
2v
e
3v
.
e) Determine os vetores do
3
que podem ser escritos como CL dos vetores
)0,1,2(vev 43
.
E3) Sejam os vetores
11
01
v1
,
10
21
v2
e
12
10
v3
de V =
2x2M
.
a)Escreva, se possível, o vetor
50
81
v
como CL dos vetores
1v
,
2v
e
3v
.
b)Escreva, se possível, o vetor
v
como combinação linear dos vetores
1v
e
2v
.
E4) Sejam os vetores
tt2pe2tp,1t2tp 232
2
1
de V =
2P
.
a)Escreva, se possível, o vetor
7t5t5p 2
como CL dos vetores
1p
,
2p
e
3p
.
Nota: As operações de adição e multiplicação por escalar aplicadas sobre p =
cbtat 2
e sobre
p = (a,b,c) produzem o mesmo resultado. Por que ?
Sugestão: represente o vetor
cbtat 2
pela terna (a,b,c).
b)Escreva, se possível, o vetor
p
como CL dos vetores
1p
e
2p
.
21
6.2. RESPOSTAS
E1) v = 3v1 - 2v2
E2) a) v=v1+2v2 b) Impossível c) m=4 d) 3v e) v=(2y,y,0) , y
E3) a) v=4v1+3v2-2v3 b) Impossível
E4) a) p=3p1+2p2+p3 b) Impossível
22
7. SUBESPAÇO VETORIAL GERADO
7.1. INTRODUÇÃO
Nesta secção, veremos como determinar todos os vetores do espaço vetorial que
podem ser obtidos a partir de vetores dados.
E1) Mostre que se V é um espaço vetorial e
n21 v,...,v,v
V
, então o conjunto
S =
inn2211 a,va...vavav/Vv
é um subespaço vetorial de V.
Sejam A =
n21 v,..,v,v
um conjunto de vetores de um espaço vetorial V , e
S =
inn2211 a,va...vavav/Vv
. O conjunto S também representado por G(A)
ou [
n21 v,...,v,v
] é denominado subespaço vetorial gerado por A ou pelos vetores
n21 v,...,v,v
.
Exemplos os exercícios E2d e E2e página 20.
E2) Se V =
2
, determine o subespaço gerado por:
(Quais são os subespaços do
2
? Veja página 18 )
a)
)2,1(v1
b)
)2,1(v1
e
)2,1(v2
c)
)0,1(v1
e
)2,2(v2
d)
)2,1(v1
,
)1,1(v2
e
)1,1(v3
e)
)2,1(v1
e
)1,0(v2
E3) Se V =
3
, determine o subespaço gerado por:
(Quais são os subespaços do
3
? Veja página 18)
a)
)2,3,1(v1
b)
)2,3,1(v1
e
)4,6,2(v2
c)
)2,1,1(v1
e
)1,1,1(v2
d)
)1,1,1(v1
,
)2,2,2(v2
e
)1,1,1(v3
e)
)0,0,1(v1
,
)0,2,0(v2
e
)3,0,0(v3
f)
)0,1,1(v1
,
)1,1,0(v2
,
)1,1,1(v3
e
)1,0,2(v4
E4) Se V =
2x2M
, determine o subespaço gerado por:
a)
00
01
v1
,
00
11
v2
,
12
10
v3
e
11
11
v4
b)
21
21
v1
,
43
12
v2
e
62
13
v3
c)
00
01
v1
e
00
23
v2
d)
21
12
v1
23
E5) Se V = P
2
, determine o subespaço gerado por:
a)
2tt2v 21
,
t2tv 22
e
2t3tv 23
b)
1tv1
e
2
2 tv
c)
2tv 21
e
3t2v 22
E6) Determine um conjunto gerador do conjunto solução do sistema:
0t9zy4x4
0t3zyx
0t5zy2x2
0t2yx
Sugestão: Procure escrever o vetor genérico do conjunto solução como combinação linear de vetores do
4
.
7.2. RESPOSTAS
E2) a)
x2y/)y,x( 2
b)
x2y/)y,x( 2
c)
2
d)
2
e)
2
E3) a)
x2zex3y/)z,y,x( 3
b)
x2zex3y/)z,y,x( 3
c)
0z2y3x/)z,y,x( 3
d)
xz/)z,y,x( 3
e)
3
f)
3
E4) 4) a) M2x2 b)
c,b,a/
a2c
ba
c)
b,a/
00
ba
d)
b/
b2b
bb2
E5) a)
0c5b2a4/cbtat2
b)
0cb/cbtat2
c)
c,a/cat2
E6) S=
t,y/)t,t,y,t2y(
24
8.DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
8.1. INTRODUÇÃO
Em nosso estudo, temos grande interesse na determinação do menor conjunto de
vetores que gera um espaço vetorial, para isto, precisamos das noção de dependência e
independência linear.
Sejam os vetores
n21 v,...,v,v
de um espaço vetorial V e a equação
0va...vava nn2211
(1).
Os vetores
n21 v,...,v,v
são linearmente independentes (LI) caso a equação (1) admita apenas a
solução trivial
0a...aa n21
.
Se a equação (1) admitir soluções distintas da trivial, isto é, algum
0a i
, então os vetores
n21 v,...,v,v
são linearmente dependentes (LD).
E1) Verifique se os vetores são LI ou LD.
a)
)3,2,1(v1
e
)6,4,2(v2
b)
)2,1,1(v1
,
)3,0,2(v2
e
)1,2,0(v3
c)
)2,1,0(v1
,
)3,2,1(v2
e
)0,3,1(v3
8.2. PROPRIEDADES
a) Um conjunto com dois ou mais vetores é LD sse pelo menos um dos vetores é CL dos demais.
b) Se um dos vetores de um conjunto é o vetor nulo então este conjunto é LD.
c) Se um conjunto é LD então qualquer conjunto que contém este também é LD.
d) Se um conjunto é LI então qualquer subconjunto deste também é LI.
E2) Observe a figura abaixo e justifique cada afirmação
y
2
3v
1v
4v
2v
0 x
a) 0 é LD b)
1v
é LI c)
2v
e
4v
são LD d)
1v
e
2v
são LI e)
1v
,
2v
e
3v
são LD
f)
1v
,
2v
,
3v
e
4v
são LD
25
E3) Observe a figura abaixo e justifique cada afirmação.
z
5v
3v
0
1v
2v
y
4v
x xoy
a) 0 é LD b)
1v
é LI c)
3v
e
5v
são LD d)
1v
e
3v
são LI e)
1v
,
2v
e
4v
são LD
f)
1v
,
2v
e v3 são LI g)
1v
,
2v
,
3v
e
4v
são LD h)
1v
,
2v
,
3v
,
4v
e
5v
são LD.
E4) Complete a tabela abaixo:
número de vetores LD LI
1
2
2
3 ou mais
1
3
2
3
4 ou mais
E5) Verifique se os vetores são LI ou LD.
a)
13
20
v1
,
12
01
v2
e
01
12
v3
b)
00
01
v1
,
00
12
v2
,
01
23
v3
e
01
10
v4
c)
1xv1
,
5x3x2v 22
e
1x3xv 23
d)
x1v1
,
xv2
e
2
3 xv
26
8.3. RESPOSTAS
E1) a) LD b)LD c) LI
E5) a)LI b)LD c)LD d)LI
27
9. BASE E DIMENSÃO
9.1. INTRODUÇÃO
Nesta secção, estamos interessados em encontrar, dentro de um espaço vetorial V, os
menores conjuntos finitos de vetores, tais que qualquer vetor de V seja combinação linear
de um deles, isto é, queremos determinar os conjuntos com um número mínimo de vetores
que gere V. Um conjunto com estas propriedades será denominado base do espaço vetorial
V e o número de vetores desses conjuntos de dimensão de V.
Exemplo: Com base na figura abaixo, determine um conjunto com o menor número de vetores que gere o
2
.
Solução: Queremos determinar um conjunto de vetores que gere o
2
e que tenha o menor número de
vetores escolhidos dentre
1v
,
2v
,
3v
,
4v
e
5v
.
a) Seja A o conjunto {
1v
,
2v
,
3v
,
4v
,
5v
}. A é LI ou LD ? ......
3v
2
1v
Qual é o subespaço vetorial do
2
, gerado por A? ................
4v
2v
b) Construa um conjunto B, retirando um vetor do conjunto A
5v
B = {..... , ..... , ..... , ..... }. O conjunto B é LI ou LD ?..............
Qual
é o subespaço vetorial do
2
, gerado pelo conjunto B? ..............
c) Construa um conjunto C, retirando um vetor do conjunto B. C = {..... , ..... , ..... }.
O conjunto C é LI ou LD ? .............
Qual é o subespaço vetorial do
2
, gerado pelo conjunto C? ....................
d) Construa um conjunto D, retirando um vetor do conjunto C, de modo que o gerado continue sendo
o
2
. D = {..... , ..... },
Este conjunto é LI ou LD ? ............
Se for retirado um vetor do conjunto D, o gerado será o
2
? ............
Portanto, D é um conjunto com o menor número de vetores que gera o
2
. Note que dos conjuntos
considerados D é o único LI.
Um conjunto com estas propriedades, LI e que gera um espaço vetorial V, é denominado de base
de V. Portanto D é uma base do
2
.
Apresente, a partir da figura acima, outra base do
2
: E = {..... , ..... }
Quantas bases podemos construir com vetores do
2
?.........
Quantos vetores tem uma base qualquer do
2
?..........
28
9.2. BASE
Seja B =
n21 v,...v,v
um subconjunto de um espaço vetorial V. B é uma base de V, se:
a) B é LI;
b) B gera V.
E1) Sejam os vetores v1 = (1,0), v2 = (-2,0) e v3 = (1,2). Verifique se B é uma base do 2 .
a) B = {
1v
} b) B = {
1v
,
2v
} c) B = {
1v
,
2v
,
3v
} d) B = {
1v
,
3v
}
E2) Sejam os vetores
)0,2,1(v1
,
)1,1,0(v2
,
)0,0,1(v3
e
)1,1,1(v4
.Verifique se B é uma base do
3
.
a) B = {
1v
} b) B = {
1v
,
2v
} c) B = {
1v
,
2v
,
3v
} d) B = {
1v
,
2v
,
4v
}
e) B = {
1v
,
2v
,
3v
,
4v
}
E3) Seja o conjunto B = {(1,-3,-2),(2,-1,1)}.
B é LI ou LD ?...........
B é uma base do
3
?
Qual é o subespaço S do
3
gerado por B ? S = ...................................................
Logo, B é uma base de ..........
9.3. PROPRIEDADES
1. Todo conjunto LI de vetores de um espaço vetorial é uma base do subespaço por ele gerado.
E4) Seja o conjunto B do exercício E3 anterior. Se for acrescentado ao mesmo, um ou mais vetores de S , o
o conjunto resultante será LI ou LD?
2. Se B = {
1v
,
2v
,...,
nv
} é uma base de um espaço vetorial V, então todo subconjunto de V com mais de
“n” vetores é LD.
3. Se B = {
1v
,
2v
,...,
nv
} é uma base de um espaço vetorial V, qualquer vetor de V se escreve de modo
único como combinação linear dos vetores de B, isto é, existe uma única n-upla (
n21 a,...,a,a
), tal que
vva...vava nn2211
.
4. Todas as bases de um espaço vetorial V, têm o mesmo número de vetores.
Exemplo: Qualquer base do
2
tem ........ vetores e qualquer base do
3
tem ........ vetores.
29
9.4. DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL
A dimensão de um espaço vetorial V é o número de vetores de qualquer base de V.
Exemplo:
..........dim 2
e
..........dim 3
E5) Qual a dimensão do espaço vetorial S =
0zyx/)z,y,x( 3
?
Solução: Podemos escrever o vetor genérico de S em função de duas variáveis: v = ( x , y ,x + y ).
)z,y,x(
S
)z,y,x(
( x , y , x + y.)
)y,y,0()x,0,x()z,y,x(
)1,1,0.(y)1,0,1.(x)z,y,x(
(1)
Logo, qualquer vetor (x,y,z) de S é CL dos vetores v1=(1,0,1) e v2 =(0,1,1), isto é, o gerado pelos vetores
v1 e v2 é o conjunto S . Além disso, como B = {v1,v2}é LI , B é uma base de S. Portanto, dim S = 2 ( B tem
dois vetores). Na igualdade (1), pode-se observar que o número de vetores é igual ao número de variáveis.
Então, podemos dizer que:
A dimensão de um espaço vetorial V é igual ao número de variáveis livres do vetor genérico de V.
Se a dimensão de um espaço vetorial V é n, então qualquer conjunto LI de “n” vetores de V é uma base de V.
E6) Determine a dimensão e apresentar uma base para cada um dos subespaços:
a)
4
1S
b)
22 PS
c)
1x23 MS
d)
x2y/)y,x(S 24
e)
0zyx2/)z,y,x(S 35
f)
0teyxz/M
tz
yx
S 2x26
E7)Determine a dimensão de cada um dos subespaços:
a) S1 = n b)S2 =
mxnM
c) S3 =
nP
E8)Determine a dimensão e apresentar uma base para cada um dos subespaços:
a)
5
1S
b)
32 PS
c)
2x23 MS
d)
xy/)y,x(S 24
e)
0z2yx/)z,y,x(S 35
f)
0texz/M
tz
yx
S 2x26
30
E9) Sejam os vetores
1v
00
01
,
2v
00
12
,
3v
01
23
,
4v
13
12
e
01
10
v5
verifique se B é uma base de
2x2M
.
a) B = {
1v
} b) B = {
1v
,
2v
} c) B = {
1v
,
2v
,
3v
} d) B = {
1v
,
2v
,
3v
,
4v
}
e)B = {
1v
,
2v
,
3v
,
4v
,
5v
}
E10) Sejam os vetores
1v
=
2x
,
2v
=
2x1
,
3v
=
x2
,
4v
=
2xx
verifique se B é uma base de
2P
.
a) B = {
1v
} b) B = {
1v
,
2v
} c) B = {
1v
,
2v
,
3v
} d) B = {
1v
,
2v
,
3v
,
4v
}
E11) Um certo espaço vetorial V é gerado por cinco vetores LD. O que pode ser dito sobre a dimensão de V?
E12) Determine um vetor “u”, tal que B= {u,(1,0,2),(0,1,1)} seja uma base do
3
.
E13) Mostre que o conjunto solução de cada sistema abaixo é um subespaço vetorial e ache uma base para
cada um deles:
a)
0tzyx
0tzyx
b)
0t3zy2x2
0tzyx
0t4z2yx
E14)Dê um exemplo de um subespaço de
2x2M
de dimensão 3.
E15)Encontre uma base para o
3
que inclua:
a) (-1,2,0) b) (-1,2,0) e (1,0,3)
9.5. RESPOSTAS
E1) a) Não b) Não c) Não d) Sim
E2) a) Não b) Não c) Sim d) Não e) Não
E6) a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 2 f) 2
E7) a) n b) mxn c) n + 1
E8) a) 5 b) 4 c) 4 d) 1 e) 2 f) 2
E9) a) Não b) Não c) Não d) Sim
e) Não
E10) a) Não b) Não c) Sim d) Não
E11) dim V < 5 E12) Qualquer vetor do conjunto
}0zyx2/)z,y,x{( 3
31
10. COMPONENTES DE UM VETOR E MUDANÇA DE BASE
10.1. INTRODUÇÃO
Existe uma estreita ligação entre a noção de base e a de um sistema de coordenadas. Por exemplo, no
2
, cada base representa um sistema de coordenadas, onde os vetores determinam a direção, sentido e
unidade dos eixos OX e OY, respectivamente. Portanto, cada vetor do espaço pode ser escrito de forma única
como combinação linear dos vetores da base.
10.2. COMPONENTES DE UM VETOR
Seja B = {
n21 v,...,v,v
} uma base de um espaço vetorial V.
v
V,
nn2211 va...vavav
.
Os reais
n21 a,...,a,a
são chamados de componentes ou coordenadas de
v
na base B e se representa por
)a,...,a,a(v n21B
.
Notação matricial:
n
2
1
B
a
:
a
a
v .
E1) Sejam as bases A = {
)1,0(v),0,1(v 21
} e B = {
)3,1(u),0,2(u 21
} do
2
e o vetor
)6,8(v
.
Determine
Av
e
Bv
.
E2) Considere o exercício E1 e apresente, nos gráficos abaixo, as representações do vetor
v
nas bases
A={v1,v2} e B={u1,u2}.
y y y’
v v
2u
2v
0
1v
x 0
1u
x’ x
v = ......v1 + .....v2
vA= (..... , ..... ) v = ......u1 + .....u2
vB= (..... , ..... )
10.3. MUDANÇA DE BASE
Como a cada base, corresponde um sistema de coordenadas, realizar uma mudança de base, é substituir o
sistema de coordenadas por outro, isto é, é substituir as componentes de um vetor do espaço em relação ao
primeiro sistema pelas componentes do mesmo vetor do espaço em relação ao outro.
32
E2) Sejam A = {v1= (-1,2),v2= (3,-1)} e B = {u1= (1,-1),u2= (2,0)} bases do 2 . Calcule
Bv
, sabendo que
)3,4(vA
.
Se vA = (a1,a2)
2211 vavav
)1,3.(3)2,1.(4v
v =
3
4
12
31
v = AvA (1)
Se vB = (b1,b2)
2211 ububv )0,2.(b)1,1.(bv 21
v =
2
1
b
b
01
21
v = BvB (2)
De (1) e (2) , AvA. = BvB que é a relação entre vetores nas bases A e B.
Da relação acima,
ABv 1B
vA e
BAv 1A
vB , onde:
-
A1B
é denominada matriz mudança de base de A para B e é representada por
A
BM
.
-
BA 1
é denominada matriz mudança de base de B para A e é representada por
B
AM
.
Retornando o exercício E2:
2
1
2
1
10
.ABM 1AB
1
2
1
12
12
31
logo
Bv
=
A
BM
.vA
5
5
3
4
1
2
1
12
vB= (-5,5)
Interpretação gráfica:
v
A
BM
Av
Bv
E3) Sabendo que A = {(1,2),(-3,-5)} e B = {(1,1),(1,0)} são base do
2
, determine:
a)
Bv
, sabendo que
)1,1(vA
b)
Av
, sabendo que
)1,2(vB
E4) Mostre que as matrizes
A
BM
e
B
AM
são inversas.
E5) Se
51
90
MAB
e B = {(1,-2),(-2,3)}, determine a base A.
E6) Se
101
110
011
MBA
e
3
2
1
vB
, determine
Av
.
E7) Se A é uma base de um espaço vetorial de dimensão n, qual é a matriz mudança de
base de A para A.
33
E8) Considere as bases
}
1
6
1
v,
1
2
3
v,
1
0
1
v{A 321
e
}
0
3
2
u,
1
3
2
u,
0
1
1
u{B 321
do
espaço
1x3M
.
a)Determine a
A
BM
. b) Se
5
8
5
W
calcular
BW
.
E9) Considere as bases
}x23p,x34p{A 21
e
}3x2q,2xq{B 21
a) Determinar a matriz
A
BM
.
b) Calcular
Ap
, onde
4xp
c) Use a matriz mudança de base para encontrar
Bp
d) Calcular a matriz
B
AM
e) Com o resultado de “c” e de “d”, calcule
Ap
.
E10) Os sistemas xOy e x’Oy’ da figura ao lado são definidos pelas bases y x’
a
S={(1,0),(0,1)} e P = {u1=
2
1
,
2
3
u,
2
3
,
2
1
2
}, y’ 2 vS
respectivamente. Utilizando a matriz u2 u1
4 x
mudança de base, determine:
b
a) vP = (a,b), sendo vS = (4,2)
b) vS, sendo vP = (4,2 )
10.4. RESPOSTAS
E1) vA= (8,6) e vB= (3,2)
E2) vB= (-5,5)
E3) a) vB=(-7,3) b) vA=(1,0)
E5) A={(2,-3),(1,3)}
E6) vA=(1,1,-4)
E7) In
E8) a)
662
111
9133
MAB
b) WB=
18
5
31
E9) a)
710
1217
MAB
b) pA= 5x - 8 c) pB= -11x + 6 d)
1710
127
MBA
E10) a) Vp= (2 +
3
, -2
3
+1) b) Vs= (2 -
3
, 2
3
+1)
34
11. PRODUTO INTERNO
11.2. INTRODUÇÃO
Nesta secção estamos interessados em formalizar o conceito de comprimento de um vetor . Com isso,
teremos um processo para medir num espaço vetorial, da mesma forma que se mede no plano e no espaço. O
produto interno apresenta aplicações na Estatística e no Cálculo Diferencial e Integral. Poderíamos definir
também,com o produto interno, ângulo e distância entre vetores .
Seja V um espaço vetorial real . Um produto interno sobre V é uma função que a cada par de vetores u,v
V,
associa um número real, denotado por <u,v> ou por u.v, satisfazendo as propriedades :
i) u.u
0, e u.u = 0 sse u = 0
ii) u.v = v.u
iii) (
u).v = u.(
v) =
(u.v) ,
iv) u.(v+w) = u.v + u.w
O espaço vetorial V, neste caso, é chamado espaço vetorial euclidiano.
Exemplos :
a) V =
2
, u = (x1 ,y1) 2 , v = (x2,y2) 2 com u.v = 2x1x2 + 3y1y2.
b) O produto escalar usual do
n
.
c) V=P2 , p = a2x
2
+a1x +a0 , q = b2x
2
+ b1x +b0 com p.q = a2b2 + a1b1 + a0b0.
d) O espaço V das funções reais continuas no intervalo [a,b] com f,g
V e f.g =
b
a
dx)x(g)x(f
e) V=M2x2 e
dhcgbfae
hg
fe
.
dc
ba
E1) Seja o exemplo c . Se p=5x²+3x-2 e q=4x²-6 , calcule p.q e q.q .
E2) Seja o exemplo d , com a=0 e b=1 . Se f(x) = x e g(x) = x² . Calcule f.g , f.f e g.g .
E3) Seja o exemplo e . Se u =
05
32
ve
32
12
calcule u.v e u.u .
Norma, módulo ou comprimento de um vetor v de um espaço euclidiano é o número real não-negativo,
indicado por ||v|| ou por | v | e definido por | v | =
v.v
.
E4) Nos exercícios E1 , E2 e E3 , calcule | p | , | q | , | f | , | g | , | u | , e | v | .
35
Se | v |=1 , isto é, v.v=1, v é chamado vetor unitário. Neste caso , dizemos que v está normalizado.
Todo vetor não-nulo v pode ser normalizado, fazendo-se
|v|
v
.
E5) Nos exercícios E1, E2 e E3 , normalize os vetores p , q , f , g , u e v.
11.2. RESPOSTAS
E1) p.q = 32 q.q = 52
E2) f.g =
4
1
f.f =
3
1
g.g =
5
1
E3) u.v =11 u.u =16
E4) | p | =
38
| q | =2
13
| f | =
3
3
| g | =
5
5
| u | = 4 | v | = 6
E5)
19
38
x
38
383
x
38
385
|p|
p 2
13
133
x
13
132
|q|
q 2
x3
|f|
f
2x5
|g|
g
4
3
2
1
4
1
4
2
|u|
u
0
6
5
2
1
6
2
|v|
v
36
12. ORTOGONALIDADE
12.1. VETORES ORTOGONAIS
Dois vetores u e v de V são ortogonais se e somente se u.v=0 .
u
v
u.v = 0
E1) Verifique se os vetores do espaço vetorial V são ortogonais
a) u = (-1,2) , v = (2,1) , V =
2
b) u = ( -1,3,-4), v = (2,-2,1), V =
3
c) u = (0,-2,3, -5), v = (7,-2, 2,-2), V =
4
d) p = x
2
, q = x, V = P2 , com p.q =
1
1
dx)x(q)x(p
e) A=
24
13
B,
31
42
, V = M2x2 , com
dhcgbfae
hg
fe
.
dc
ba
f) A=
24
53
, B=
185
31
, V = M2x2 , com o produto interno de 1e.
12.2. BASE ORTOGONAL E BASE ORTONORMAL
Uma base B de um espaço vetorial V é ortogonal se os seus vetores são dois a dois ortogonais.
Uma base B de um espaço vetorial é ortonormal se B é ortogonal e todos os seus vetores são unitários.
B é ortogonal : vi.vj = 0 para i
j.
B é ortonormal : vi.vj =0 para i
j e vi.vj = 1 para i=j.
E2)Construa uma base ortogonal do
2
.
E3)Construa uma base ortonormal a partir da base considerada no exercício E2.
E4)Repita os exercícios E2 e E3 para o
3
.
Nos exercícios E5 a E8, considere V=
3
.
E5) Determine o vetor v3 de modo que B={v1=(2,-2,1), v2=(1,2,2),v3} seja uma base ortogonal.
E6) Construa uma base ortonormal a partir da base B do exercício E5.
E7) Determine os vetores v2 e v3 de modo que B={v1=(1,2,-1),v2,v3} seja uma base ortogonal.
E8) Construa uma base ortonormal a partir da base B do exercício E7.
E9) Determine uma base ortogonal para cada um dos seguintes subespaços:
a) S={(x,y,z)
3
/ x-y+z = 0} b) S={(x,y,z)
3
/ z=2x } c) S={(x,y,z,w)
4
/ w-y=0}
E10)Construa bases ortonormais para os subespaços do exercício E9.
37
E11)Encontre as componentes do vetor v=(-4,0,5) na base A={(1,1,0),(-1,1,1),(1,-1,2)}
E12) Encontre as componentes de v na base ortonormal construída a partir de A.
E13) Mostre que as componentes de um vetor v de um espaço vetorial V em relação a uma base ortogonal
B={v1,v2,...vn} de V são ai = v.vi / vi.vi , com i = 1,...,n. Estas componentes são chamadas coeficientes
de Fourier.
Sugestão: Suponha que B={v1,v2,...,vi,...,vn} seja ortogonal e multiplique escalarmente os dois membros
da equação a1v1+a2v2+...+aivi+...+anvn = v por vi.
E14) Como ficam os coeficientes de Fourier se a base B for ortonormal?
E15) Resolva os exercícios E11 e E12 com os resultados dos exercícios E13 e E14.
12.3. PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT
O processo de Gram-Schmidt que nos possibilita construir uma base ortogonal B={u1,u2,...,un} de um
espaço vetorial V a partir de uma base qualquer A={v1,v2,...,vn} de V, consiste no seguinte:
Considera-se u1 = v1 e ui = vi -
1i
1i1i
1ii
1
11
1i u.
u.u
u.v
....u.
u.u
u.v
, para i=2,...,n.
E16)Use o processo de Gram-Schmidt para transformar B em uma base ortogonal:
a) B={(1,-2),(0,3)} b) B={(1,1,1),(1,0,1),(1,2,-2)}
c) B={(0,1,-1),(0,1,1),(1,1,1)} d) B={(1,0,0,1),(0,1,1,0),(1,0,0,-1),(1,1,1,1)}
e)B={(-1,1,0),(2,0,1)} f) B={(0,0,1,0),(1,0,0,2),(1,-1,0,1)}
E17)Use as bases ortogonais obtidas no exercício E16 para construir bases ortonormais.
12.4. RESPOSTAS
E1) a) SIM b) NÃO c) NÃO d) SIM e) SIM f) NÃO
E5)
0y,)y2,y,y2(v
E6)
3
2
,
3
1
,
3
2
,
3
2
,
3
2
,
3
1
,
3
1
,
3
2
,
3
2
E11) vA=(-2,3,1) E12) vA=
)6,33,22(
E14) ai = v.vi com i = 1,...,n.
38
13. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
13.1. INTRODUÇÃO
As transformações lineares são funções onde o domínio e o contradomínio são
espaços vetoriais, isto é, tanto a variável independente como a variável dependentes são
vetores. Este tipo de função possui uma propriedade importante: preserva a soma e a
multiplicação por escalar. As transformações lineares apresentam aplicações na Física,
Engenharia, Ciências Sociais e em vários ramos da Matemática.
13.2. TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Sejam V e W espaços vetoriais. Uma função f de V em W é chamada transformação linear (TL) , se
i) f(u+v) = f(u) + f(v) ,
Vv,u
ii) f(
u) =
f(u),
e
Vu
No caso de V = W, f é chamada operador linear sobre V.
E1) Mostre que as transformações abaixo são lineares. .
a) f:
, dada por f(x) = 2x b) f:
32
, dada por f(x,y) = (x , x+y , y).
E2) Quais das seguintes transformações são lineares ?
a) f(x)= 2x + 1 b)f(x,y) = xy c)f(x,y,z) = ( 0 , 0 , z ) d)f(x,y) = | x+y |
E3) Numa TL. f: V
W, f (u) =2u e f(v)=3v , calcule :
a) f(u+v) b) f(3u) c) f(u-v) d) f(2u+5v)
Importante:
a) Se f: V
W é uma TL então f(0V) = 0W.
b) Em qualquer TL, a imagem de uma combinação linear de vetores é igual a combinação linear das
imagens com os mesmos coeficientes, isto é, f(a1v1 + a2v2 + ... + anvn ) = a1f(v1) + a2f(v2) + ...+ anf(vn).
E4) Mostre que a transformação identidade : f: V
V , f(v) = v é linear.
E5) Seja f:
3
w a projeção ortogonal do
3
sobre o plano xy, indicado por w .
a)Encontre a f(x,y,z) b)Determine f (2,-1,3)
E6) Se f:
32
é linear e u=(1,2), v=(-1,3), f(u)= (2,-1,-2) e f(v)=(-2,-4,-3) calcule:
a) f(u+v) b) f(3u) c) f(2,4) d) f(2u-3v)
E7) Seja V o espaço vetorial das funções diferenciáveis. Mostre que f: V
W, com f(v) = v’ é linear.
39
E8) Seja V o espaço vetorial das funções definidas em [0,1]. Mostre que f:V
W, com f(v)=
1
0
dx)x(v
é
linear
E9) Quais das seguintes transformações são lineares ?
a) f
wz
yx
wz
yx
b) f
zy
1x
z
y
x c) f(ax + b) = ax
2
+ bx
E10) Seja f:P2
P3 a TL tal que f(1)=1, f(t)=t
2
, e f(t
2
)= t
3
+ t. Encontre f(2t
2
-5t+3)
13.3. MATRIZ NATURAL OU MATRIZ CANÔNICA
Seja a matriz A=
45
03
12 . Se pensarmos na matriz A como um objeto que atua sobre um vetor v =
y
x
,
por multiplicação, o resultado será o vetor u = Av =
.................
.................
................. . Logo, a matriz A define uma
transformação f:
32
, onde f(v) = A.v ou f(x,y) = .........................................................
Importante:
A transformação f:
mn
definida por f(v)= A.v é linear.
Toda matriz Amxn define uma TL f: mn , com f(v)= A.v. Neste caso, A é chamada matriz natural
ou matriz canônica de f e A pode ser representada também por [f].
Se a matriz A define a TL f, então as linhas de A são, respectivamente, os coeficientes das componentes
da imagem de f.
E11) Seja a matriz A=
354
321
, determine :
a) a lei da TL definida por A. b) a imagem de v=(1,-1,1), usando a matriz A.
c) a imagem de v=(1,-1,1), usando a lei. d) o vetor u , tal que f(u)=0
E12) Escreva a matriz natural associada a transformação linear f (x,y)=(x+2y,x-y,3x-5y)
E13) Escreva a matriz natural associada a transformação linear :
a) f(x,y,z)=(x+y-z,0) b) f(x)=(2x,0,-x) c) f(x,y)=x+y d) f(x)=3x
40
E14)Um operador linear no
2
é definida pela matriz
10
21
f
. Determine u e v , tal que :
a) f(u)=u b) f(v)=-v
E15)Um operador linear no
3
é definido pela matriz
301
121
211
A
. Determine v e w tal que:
a) f(v) = 0 b) f(w) = (2,-1,-3)
E16)Um operador linear é definido pela matriz A=
43
12
. Determine v
0 e u
0 tal que:
a) Av = 5v b) Au = -2u
13.4. T L DEFINIDA PELAS IMAGENS DOS VETORES DE UMA BASE
Se B = {v1,v2, ... ,vn} é uma base do espaço vetorial V então
Vv
, v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn(1), isto é,
podemos encontrar ai com i = 1,2,...,n.
Se f: V
W é uma TL, f(v) = a1f(v1) + a2f(v2) + ...+ anf(vn), isto é, f(v) é CL das imagens com os mesmos
coeficientes ai , calculados em (1). Portanto, é possível calcular f(v), quando são conhecidas as imagens
dos vetores de uma base do domínio de f.
Uma TL f: V
W está perfeitamente definida quando são conhecidas as imagens dos vetores de uma
base do domínio de f.
E17) Seja f:
32
a TL definida por f(1,-1) = (3,2,1) e f(0,1) = (-2,4,-3). Determine:
a) f(5,4) b) f(x,y) c) f(5,4) pela lei
E18) Seja f:
23
a TL definida por f(1,0,0) = (2,3), f (0,1,0) = (-4,1) e f(0,0,1) = (-2,-1) . Encontre
f(x,y,z) e [f].
E19) Seja f a TL definida por f(1,0) = (3,-2,1) e f(0,1) = (4,0,2). Encontre f(x,y) e [f].
E20) Seja f a TL definida por f(1,1,1) = (1,0), f (1,1,0) = (2,-1) e f(1,0,0) = (4,3). Encontre f(x,y,z) e [f].
41
13.5. COMPOSTA DE DUAS TL
Sejam f1: V
W e f2: W
U transformações lineares. A composta de f2 com f1 é a TL f2of1: V
U
definida por (f2of1)(v) = f2(f1(v)).
W
w=f1(v)= [f1].v
f1 f2
[f1] [f2]
V U
f2of1
v
u= f2(w)= [f2].[f1].v
[f2of1] = [f2]. [f1]
Importante:
A matriz que representa uma seqüência de TL é o produto das matrizes das TL na ordem inversa.
E21) Sejam os operadores lineares definidos por f1(x,y) = (3x+y , y-x) e f2(x,y) = (2x-y , 3x). Determine:
a) as matrizes das compostas f1of2 e f2of1.
b) as leis das compostas f1of2 e f2of1.
E22) Sejam as TL dadas por f1(x,y) = (2x +3y , x+y , 2x) e f2(x,y,z) = ( x-y , y-z). Determine:
a) as matrizes das compostas f1of2 e f2of1.
b) as leis das compostas f1of2 e f2of1.
42
13.6. RESPOSTAS
E2) a) Não b) Não c) Sim d) Não
E3) a) 2u + 3v b) 6u c) 2u – 3v d) 4u + 15v
E5) a) (x,y,0) b) (2,-1,0)
E6) a) (0,-5,-5) b) (6,-3,-6) c) (4,-2,-4) d) (10,10,5)
E9) a) Não b) Não c) Sim
E10) f(2t
2
- 5t + 3) = 2t
3
+ 2t – 5t2+ 3
E11) a) f(x,y,z) = (x + 2y – 3z, 4x + 5y + 3z) b) (-4,2) c) (-4,2) d) (-7z,5z,z) , z
E12) A =
53
11
21
E13) a) A =
000
111
b) A =
1
0
2 c) A =
11
d) A =[3]
E14) a) (y , y) , y
b) (x , 0) , x
E15) a) (3z , z , z) , z
b) (3z – 3 , z – 1 , z) , z
E16) a) (x , 3x) x
b) NE
E17) a) (-3 , 46 , -22) b) f(x,y) = (x – 2y , 6x + 4y , -2x – 3y) c) (-3 , 46 , -22)
E18) f(x,y,z) = (2x –4y –2z , 3x + y – z ) [ f ] =
113
242
E19) f(x,y) = (3x + 4y , -2x , x + 2y) [ f ] =
21
02
43
E20) f(x,y,z) = (4x – 2y – z , 3x - 4y + z ) [ f ] =
143
124
E21) a)
11
39
e
39
17
b) b) f(x,y) = (9x - 3y , x + y ) e f(x,y) = (7x + y , 9x + 3y)
E22) a)
022
101
312 e
11
21
b) f(x,y,z) = (2x + y - 3z , x – z , 2x – 2y ) e f(x,y) = (x + 2y , -x + y)
43
14. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS
14.1. INTRODUÇÃO
Nesta secção, apresentaremos alguns operadores lineares
22:f
utilizados na
computação gráfica bidimensional. A computação gráfica tem importante papel nas áreas
de videogames e de efeitos especiais para a indústria cinematográfica.
E1) Seja o operador linear f definido por f(1,0) = (-2,5) e f(0,1) = (3,4). Encontre f(x,y) e [f].
14.2. REFLEXÕES
1. Reflexão em relação ao eixo das abscissas.
y
e2
f(e1)=e1
o x
f(e2)=-e2
f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........)
[f] =
........
........
, f(x,y) = ( .......... , ...........)
2. Reflexão em relação ao eixo das ordenadas.
y
f(e2)=e2
f(e1)=-e1 o e1 x
f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........)
[f] =
........
........
, f(x,y) = ( ........... , ...........)
E2) Esboce a imagem do ponto P(-2,3), através de:
a) reflexão em torno do eixo x;
b) reflexão em torno do eixo y;
E3) Esboçar a imagem do vetor v = (2,1), através de:
a) reflexão em torno do eixo x;
b) reflexão em torno do eixo y;
44
3. Reflexão em relação à origem
y
e2
f(e1)=-e1 o e1 x
f(e2)=-e2
f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........)
[f] =
........
........
, f(x,y) = ( ........... , ...........)
4. Reflexão em relação à reta y = x.
y
f(e1)=e2
o f(e2)=e1 x
f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........)
[f] =
........
........
, f(x,y) = ( ........... , ...........)
5. Reflexão em relação à reta y = -x.
y
e2
f(e2)=-e1 o e1 x
f(e1)=-e2
f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........)
[f] =
........
........
, f(x,y) = ( ........... , ...........)
E4) Esboce a imagem do vetor v = (2,1), através de:
a) reflexão em torno da origem;
b) reflexão em torno da reta y=x;
c) reflexão em torno da reta y=-x.
45
E5) Determine a matriz da TL plana que representa uma reflexão em relação ao eixo x, seguida de uma
reflexão em relação à reta y=-x.
E6) Esboçar a imagem da reta y=2x, através de:
a) relexão em torno do eixo das abscissas b) reflexão em torno da origem;
c) reflexão em torno da reta y=x; d) reflexão em torno da reta y=-x.
14.3. DILATAÇÕES E CONTRAÇÕES
1. Dilatação e Contração de fator
Contração:
10
y
e2
f(e2)
o f(e1) e1 x
f(e1) =
e1 f(e2) =
e2
Dilatação:
>1
y
f(e2)
e2
o e1 f(e1) x
f(e1) =
e1 f(e2) =
e2
f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........)
[f] =
........
........
, f(x,y) = ( ........... , ............)
2. Dilatação e Contração na direção do eixo das abscissas.
y y
f(e2)=e2 f(e2)=e2
o e1 f(e1) x o f(e1) e1 x
f(e1) =
e1
1
10
f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........)
[f] =
........
........
, f(x,y) = ( ........... , ...........)
46
3. Dilatação e Contração na direção do eixo das ordenadas.
y y
f(e2)
e2 e2
f(e2)
o f(e1)=e1 x o f(e1)=e1 x f(e2) =
e2
1
10
f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........)
[f] =
........
........
, f(x,y) = ( ........... , ............)
E7) Esboce a imagem do vetor v = (2,1), através de:
a) contração de fator 1/2 na direção x; b) dilatação de fator 2 na direção x;
c) contração de fator 1/3 na direção y; d) dilatação de fator 3 na direção y.
E8) Esboçar a imagem do retângulo de vértices A(0,0) , B(2,0) , C(2,1) e D(0,1) , através de:
a) contração de fator 1/3 na direção x; b) dilatação de fator 2 na direção x;
c) contração de fator 1/2 na direção y; d) dilatação de fator 3 na direção y.
E9) Determine a matriz da TL plana que representa uma reflexão em relação ao eixo y, seguida de uma
reflexão em relação à reta y=x e, finalmente uma dilatação de fator 3 na direção x.
14.4. CISALHAMENTOS
1. Cisalhamento na direção do eixo das abscissas
y
e2 f(e2)
o
f(e1)=e1 x
f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........)
[f] =
........
........
, f(x,y) = ( ........... , ...........)
2. Cisalhamento na direção do eixo das ordenadas.
y
f(e2)=e2
f(e1)
o e1 x
f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........)
[f] =
........
........
, f(x,y) = ( ........... , ............)
47
E10) Esboce a imagem do retângulo de vértices A(0,0) , B(2,0) , C(2,1) e D(0,1) , através de:
a) cisalhamento por um fator 3 na direção x;
b) cisalhamento por um fator 1/2 na direção x;
c) cisalhamento por um fator 2 na direção y;
d) cisalhamento por um fator 1/3 na direção y.
E11) Seja o triângulo de vértices A(0,0), B(2,0) e C(0,2). Esboçar a imagem do triângulo através de uma
contração de fator 1/2 na direção y, seguida de uma reflexão em relação ao eixo x e, finalmente
um cisalhamento de fator 1/2 na direção x.
E12) Achar a matriz de cisalhamento na direção x que transforma o triângulo de vértices (0,0),(2,1) e (3,0)
num triângulo retângulo cujo ângulo reto está na origem.
E13) Determine a matriz da TL plana que representa uma reflexão em relação ao eixo x, seguida de uma
dilatação de fator 2 na direção y e, finalmente um cisalhamento de fator 3 na direção y.
14.5. ROTAÇÕES
1. Rotação no sentido anti-horário.
y
e2
f(e2) f(e1)
o e1 x
f(e1) = (..........,..........) f(e2) = (..........,..........)
20,
....................
....................
fondev.f)v(f
2. Se
< 0(sentido horário) considera-se o ângulo -
.
y
e2
f(e2)
o
e1 x
f(e1)
f(e1) = (............,.............) f(e2) = (.............,..............)
.....................
.....................
f )(
E14) Ache a matriz que gira um ponto do plano em torno da origem um ângulo de:
a) 45
0
b) -60
0
48
E15)Esboce a imagem do vetor:
a)v=(2,4) através de uma rotação de 90
0
;
b)v=(3,
3
) através de uma rotação de –300.
E16) Determine, em cada item, a matriz que representa a seqüência de operações indicada:
a)efetuar uma rotação de 30
0
, depois cisalhar por um fator –2 na direção y; e finalmente dilatar por
um fator 3 na direção y.
b)comprimir por um fator 1/2 na direção x; a seguir dilatar num fator 5 na direção y.
c)refletir em torno de y=x; a seguir, girar um ângulo de 180
0
.
y
3
2
-1 0 2 3 x
E17)Encontre a figura resultante das imagens dos vértices da figura acima através de:
a)reflexão em torno do eixo x; b) reflexão em torno do eixo y;
c) reflexão em torno do eixo y; d) contração por um fator 1/2;
e)dilatação de fator 2; f)contração por um fator 1/2 na direção do eixo x;
g)dilatação por um fator 2 na direção do eixo y; h)cisalhamento por um fator 2 na direção do eixo x;
i)rotação de 45
0
; j) rotação de -90
0
.
49
14.6. RESPOSTAS
E1) f(x,y) = (-2x + 3y , 5x + 4y ) e [f] =
45
32
y
E2) a) y b) 3
3
v v f(v)
-2 0 x -2 0 2 x
f(v)
-3
E3) a) y b) y
1 v f(v) 1 v
0 2 x -2 0 2 x
-1 f(v)
f(v)=(1,2) y
E4) a) y b) y y=x c) y= -x
v=(2,1) v=(2,1) v=(2,1)
0 x 0 x 0 x
f(v)=(-2 ,-1)
f(v)=(-1,-2)
E5)
01
10
E6)a) s=f(r) y r b) y f(r) = r
2 2
-1 0 1 x -1 0 1 x
-2
E7)
a) y b) y c) y
f(v)=(1,1) v=(2,1) v=(2,1) f(v)=(4,1)
v=(2,1)
f(v)=(2,1/3)
0 x 0 x 0 x
d) y f(v)=(2,3)
v=(2,1)
0 x
50
E8) a) y b) y
1 1
0 2/3 2 x 0 2 4 x
c) y d) y
3
1 1
1/2
0 2 x 0 2 x
E9)
01
30
E10) a) y b) y
1 1
0 1 2 3 4 5 x 0 1/2 1 3/2 2 5/2 x
c) y d) y
5
4
5/3
1 1
2/3
0 1 2 x 0 1 2 x
51
E11) y
2
1
0 1 2
x
(-1/2 ,-1)
E12)
10
21
E13)
23
01
E14) a)
2
2
2
2
2
2
2
2
b)
2
1
2
3
2
3
2
1
E15) a) y b) y
v=(2,4)
f(v)=(-4,2) v=(3,
3
)
f(v)=(
32
,0)
0 x 0 x
E16) a)
2
336
2
363
2
1
2
3
b)
50
0
2
1 c)
01
10
E17)
10
21
52
15. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR EM
BASES QUAISQUER
15.1. INTRODUÇÃO
Na secção 13, vimos que cada TL f:
mn
está associada a uma matriz Amxn ,
tal que f(v) = Av. Esta idéia pode ser estendida para qualquer TL f:V
W. Nesta
secção veremos que uma TL f:V
W pode ser representada por infinitas matrizes,no
entanto, fixadas uma base de V e uma base de W , a matriz que representa f é única.
Sejam f:V
W uma TL, A=
n21 v,...v,v
uma base de V e B={w1,w2,...wm}uma base
de W. Como f(v1),f(v2),...f(vn) W, podemos escrever:
f(v1)=a11w1+a21w2+ . . . +am1wm
f(v1)B= (a11,a21, . . . am1)
f(v2)=a12w1+a22w2+ . . . +am2wm
f(v2)B= (a12,a22, . . . am2)
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
f(vn)=a1nw1+a2nw2+ . . . +amnwm
f(vn)B= (a1n,a2n, . . . amn)
A matriz que representa a TL f em relação as bases A e B é
mn2m1m
n22221
n11211
A
B
aaa
a...aa
a...aa
]f[
f(vn)B
f(v2)B
f(v1)B
A matriz
A
B]f[
é tal que f(v)B= A
B]f[
.vA
E1) Seja a TL f:
23
, dada por f(x,y,z)= (2x+y-z,3x-2y+4z) , v=(1,2,3) e A={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} e
B={(1,3),(1,4)} são bases do
3
e
2
, respectivamente, determine:
a) f(v) b) vA c) f(v)B d) A
B]f[
e) f(v)B usando A
B]f[
53
15.2. PROCEDIMENTO PARA ENCONTRAR A MATRIZ
A
B]f[
Para encontrar a matriz de uma TL f:
mn
em relação as bases A=
n21 v,...v,v
e
B={w1,w2,...wm}, podemos adotar o seguinte procedimento:
1º ) calcular f(vi) para i = 1,2,...n.
2º ) formar a matriz [ w1,w2,...wm f(v1),f(v2),...f(vn) ] e coloca-la na forma escalonada, obtendo
assim a matriz[ In M ].
3º )
A
B]f[
= M.
E2) Resolva o exercício E1d usando o procedimento 15.2.
E3) Encontre
A
B]f[
, sendo f a TL do exercício E1 e A e B as bases canônicas.
E4) Sejam f(x,y,z) = (2x-y+z , 3x+y-2z), A= {(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)}, B ={(2,1),(5,3)} e
v = (3,-4,2). Determine:
a) f(v) b) vA c) f(v)B d) A
B]f[
e) f(v)B usando A
B]f[
E5) Sejam f(x,y) = (2x-y , x+y) , A = {(1,-2), (-1,3)} e B = {1,1) , (-1,0)}. Determine;
a)
A
B]f[
b)
A]f[
c)
B]f[
d) f(v)B para v = (3,4) , usando A
B]f[
e
B]f[
e)
B
A]f[
f) f(v)A , para v = (3,4) , usando B
A]f[
e
A]f[
15.3. RESPOSTAS
E1) a) (1, 11) b) (-1,-1, 3) c) (-7,8) d)
183
3115
e) (-7,8)
E3)
423
112
E4) a) (12,1) b) (3,-7,6) c) (31,-10) d)
522
1354
e) (3,-7,6)
E5) a)
75
21
b)
87
1311
c)
11
12
d) (7,5) e)
54
75
f) (13,11)
54
16. OPERADORES LINEARES
16.1. INTRODUÇÃO
Um dos problemas fundamentais da álgebra linear é escolher uma base de v de modo
que o operador f : v
v seja o mais simples possível. muitas vezes a matriz
canônica(natural) que representa o operador na base canônica não é a matriz mais
simples de f. neste caso, procura-se , através de mudança se base, encontrar uma matriz
mais simples . nesta secção, serão apresentadas propriedades particulares de alguns
operadores e de suas matrizes.
E1) Sabendo que f(x,y) = ( 2x-y , x + y ) e que A = {(1,-2),(-1,3)} e B = {(1,1),(1,0)} são bases do
2
,
determine [f]A e [f]B.
16.2. MATRIZES SEMELHANTES
Seja f :V
V um operador linear. As matrizes [f]A e [f]B são chamadas matrizes semelhantes por
representarem o mesmo operador linear em bases distintas.
16.3. RELAÇÃO ENTRE MATRIZES SEMELHANTES .
Seja f: V
V um operador linear.
[f]B
vB f(v)B
Q =
M
B
A
A
BM
= (
M
B
A
)
-1
= Q
-1
[f]A
vA f(v)A
A figura acima mostra que existem dois caminhos para ir de vB para f(v)B.
(1) f(v)B =[f]B.vB e (2) f(v)B =Q
-1
.[f]A.Q.vB
Comparando (1) e (2) , vem : [f]B= Q
-1
.[f]A.Q com Q=
M
B
A
= A
-1
.B
E2) No exercício 1 , use a relação entre matrizes semelhantes para encontrar :
a) [f]B , partindo de [f]A b) [f]A , partindo de [f]B c) [f] , partindo de [f]A
E3) Calcule det[f]A , det[f]B e det[f].
Se [f]A e [f]B são matrizes semelhantes então det[f]A =det[f]B.
55
16.4. OPERADORES INVERSÍVEIS
Seja f: V
V um operador linear.
V V
f f(v) = [f].v
v f(v) Se existe [f]
-1
, [f]
-1
.f(v) = [f]
-1
.[f].v
f
-1
ou v = ...................
Logo, existe f
-1
se det[f]
0 e a matriz canônica de f
-1
é .............
E4) Um operador linear f é definido por f(x,y) = ( x + 3y , x + 2y ), determine, caso exista,o operador f
-1.
16.5. MATRIZ ORTOGONAL
Uma matriz quadrada A é ortogonal se A
-1
= A
t
E5) Verifique se as matrizes são ortogonais
a)
5
3
5
4
5
4
5
3
b)
cossen
sencos
c)
100
010
001 d)
01
11
16.6. PROPRIEDADES
a) Se A é uma matriz ortogonal então detA =
1
.
b) Se A é uma matriz ortogonal e det A = 1 então A é uma matriz rotação.
c) Uma matriz A é ortogonal sse as colunas(ou linhas) de A são vetores ortonormais.
E6) Repita o exercício E5 usando a propriedade c de 16.6.
E7) Construa uma matriz ortogonal cuja primeira coluna seja o vetor
a) v = ( -3/5 , 4/5 ) b) v = (
22,0,22
)
E8) Sejam as bases ortonormais do
2
: A = { (1,0),(0,1) } e B = { (1/2,
3
/2),(-
3
/2,1/2)}
a) determine
A
BM
b) se v = (-2 , 4 ), calcule vB, usando
A
BM
16.7. OPERADOR LINEAR ORTOGONAL
Seja f: V
V um operador linear e B uma base ortonormal de V. f é ortogonal se
B]f[
é uma matriz
ortogonal.
56
E9) Verifique se os operadores abaixo são ortogonais
a) f(x,y) = (
5
y3
5
x4
,
5
y4
5
x3
) b) f(x,y) = ( x + y, x – y )
E10) Seja o operador definido por f(x,y) =
2
y
2
x3
,
2
y3
2
x
.
a) Mostre que f é ortogonal.
b) Escolha dois vetores
2v,u
e calcule u.v e f(u).f(v). Compare os resultados.
c) Para os vetores escolhidos em b, calcule | u |, | v |, | f(u) | e | f(v) |. Compare os resultados.
d) Construa uma base ortonormal A = { v1, v2 } do
2 e encontre o conjunto
B = { f(v1), f(v2) }. B é uma base ortonormal do 2 ?
E11) Verifique se os operadores abaixo são ortogonais
a) f(x,y) = (
2
y3
2
x
,
2
y
2
x3
)
b) f é a composição da reflexão em relação ao eixo das abscissas e da dilatação de fator 2 na
direção do eixo das ordenadas.
a) f é a composição da reflexão em relação à reta y = x e da rotação de 45º.
d) f(x,y,z,w) = ( y,-z, x, -w)
E12) Para que valores de m e n, o operador linear f definido por
f(x,y,z) = ( x , my +
2
2
z , ny +
2
2
z ) é ortogonal ?
16.8. PROPRIEDADES
Seja f: V
V um operador linear ortogonal.
a) f preserva o produto escalar, isto é, u.v = f(u).f(v),
Vv,u
.
b) f preserva o módulo de cada vetor, isto é, | f(u) | = | u | ,
Vu
.
Conseqüência: f preserva o ângulo dos vetores e f transforma bases ortonormais em bases ortonormais
E13) Construa uma matriz simétrica de ordem
a) 2x2 b) 3x3 c)4x4
E14) As matrizes construídas no exercício E13 definem operadores lineares. Identifique estes
operadores determinando suas leis.
16.9. OPERADOR LINEAR SIMÉTRICO
Seja f: V
V um operador linear e B uma base ortonormal de V. f é um operador linear simétrico se
B]f[
é uma matriz simétrica(secção 1, exercício E17).
57
E15) Verifique se os operadores abaixo são simétricos
a) f(x,y) = ( x + y, x – y ) b) f(x,y,z) = ( x + y, x – y – 2z , 2y)
E16) Seja o operador linear simétrico definido pela matriz do exercício E11 a . Escolha dois vetores
2v,u
e calcule u.f(v) e v.f(u). Compare os resultados.
16.10. PROPRIEDADE
Se f: V
V um operador linear simétrico então u.f(v) = v.f(u),
Vv,u
.
16.11. RESPOSTAS
E1)
11
12
fe
87
1311
f BA
E2) a)
11
12
b)
87
1311
c )
11
12
d)
11
12
E3) det[f]A = det [f]B = det[f]=3
E4) f
-1
(x , y)=(-2x +3y , x -y)
E5) a) Sim b) Sim c) Sim d) Não
E7) a)
5
3
5
4
5
4
5
3
b)
0
1
2
2
2
100
0
2
2
2
2
( não é única )
E8) a)
2
1
2
3
2
3
2
1
b) vB =
)23,132(
E9) a) Sim b) Não
E11) a) Sim b) Não c) Sim d) Sim
E12) m =
2
2
e n =
2
2
ou m = –
2
2
e n =
2
2
E15) a) Sim b) Não
58
17. VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS
17.1. INTRODUÇÃO
Em muitos problemas aplicados, apresenta-se um operador linear f e a necessidade de
encontrar os escalares para os quais a equação f(v) =
v possui soluções não-nulas. Tais
questões aparecem em aplicações envolvendo vibrações, em aerodinâmica, elasticidade,
física nuclear, mecânica, engenharia, biologia e equações diferenciais.Outra aplicação
importante é a classificação de cônicas e quádricas. Nela, vetores e valores próprios
são usados para encontrar mudanças de referencial que permitam identificar quais as
figuras geométricas que representam certas equações no plano e no espaço.
Seja f:V
V um operador linear. Um vetor não-nulo v
V é chamado vetor próprio ou autovetor de f
se existe
, tal que f(v) =
v. O real
é chamado valor próprio ou autovalor de f associado ao
vetor próprio v.
E1) Considere a figura abaixo e identifique os vetores próprios e os valores próprios correspondentes do
operador linear f.
y
f(v2)
v3
f(v3) v1
v2
0 x
f(v1)
E2) Mostre que se v é um vetor próprio de um operador linear f associado ao valor próprio
então qualquer
vetor
v, com
0
, é também vetor próprio associado ao mesmo
.
E3) Sejam v1 = (2,3) e v2 = (1,-1) vetores próprios de um operador linear associados aos 1 = 4 e 2 = -1,
respectivamente. Encontre:
a) f(4 , 6) b) f(2 , -2) c) f(2/3 , 1) d) f(1/2 , -1/2)
E4) Verifique se o vetor v é vetor próprio da matriz A, em caso afirmativo, determine o valor próprio
correspondente.
a) v = (5 , 2) , A =
12
54
b) v = (1 , 2) , A =
23
21
59
17.2. DETERMINAÇÃO DOS VALORES E VETORES PRÓPRIOS
Seja f:V
V um operador linear e [f] = A.
Valores próprios:
f(v) =
v
A.v =
v
A.v -
v = 0
A.v -
I.v = 0
(A -
I).v = 0
O sistema homogêneo correspondente admitirá soluções v
0
, se det(A -
I) = 0 (1).
A equação (1) é chamada “equação característica de f ” e suas raízes são os valores próprios de f.
Vetores próprios:
Os vetores próprios são as soluções da equação (A -
I).v = 0 para cada valor próprio encontrado.
Exemplo: Encontre os valores e vetores próprios do operador linear definido por f(x,y) = (3x,4x+y).
Solução:
Cálculo dos valores próprios :
det(A -
I) = 0
A =
..........
..........
A -
I =
......................
......................
det(A -
I) =
....................
....................
= 0
........................ ,
1= ..... ou
2= .....
Cálculo dos vetores próprios:
(A -
I).v = 0
Para
1= .... e v = (x,y)
(A -
I).v = 0
..........
..........
.
0
0
y
x
..................... , v = ............ com ...........
Para
2= ..... e v = (x,y)
(A -
I).v = 0
..........
..........
.
0
0
y
x
..................... , v = ........... com ...........
60
E5) Calcule os valores e vetores próprios :
a) do operador linear definido por f(x,y) = (4x + 5y , 2x + y)
b) do operador linear definido por f(x,y) = (x + 2y , 3x + 2y)
c) do operador linear definido por f(x,y,z) = (x , -2x - y , 2x + y + 2z)
d) da matriz A =
040
900
000
E6) Sabendo que
= 2 é valor próprio de A =
321
141
123 calcule os vetores próprios
correspondentes.
E7) Mostre que se
é um valor próprio de um operador linear f então o conjunto S formado
pelo vetor nulo e pelos vetores próprios associados a
é um subespaço vetorial de V.
S
},v)v(f/Vv{
E8) Sejam A= { (1,0),(0,1)} B = { (1,1),(1,0)} bases do
2
e o operador linear
22:f
definido por
f(x,y) = (x-y , x+y ). Determine as matrizes [f]A e [f]B.
E9) Calcule os valores próprios da TL f do exercício E8 usando [f]A e [f]B e compare os resultados.
17.3. PROPRIEDADES
Seja f:V
V um operador linear.
a) Se
é um valor próprio de f então o conjunto S formado pelo vetor nulo e pelos vetores próprios
associados a
é um subespaço vetorial de V.
b) Se A e B são bases de V então as matrizes semelhantes [f]A e [f]B têm os mesmos valores próprios.
c) Os vetores próprios associados a valores próprios distintos de f são linearmente independentes.
E10) Sejam v1 = (2,3) e v2 = (1,-1) vetores próprios de um operador linear associados aos
1 = 4 e
2 = -1,
respectivamente. Encontre f(1 , 4) e f( x , y).
E11) Verifique se o vetor v é vetor próprio da matriz A, em caso afirmativo, determine o valor próprio
a) v = (1 , 1 , -2) , A =
420
110
012 b) v = (1 , 2 , 1) , A =
231
220
321
E12) Calcule os valores e vetores próprios :
a) da matriz A =
302
020
200 b) da matriz A =
3000
0400
0030
0013
c) do operador linear definido por f(1,0) =(-2,2) e f(0,1) = (5,-5)
d) do operador linear definido por f(1,0,0) = (1,-1,3) , f(0,1,0) = (0,3,2) e f(0,0,1) = (0,0,-2)
61
17.4. RESPOSTAS
E1) v1=(2,2) ,
11
e v2=(4,2) ,
22
E3) a) (16,24) b) (-2,2 ) c) (8/3,4) d) ( -1/2 , 1/2 )
E4) a) Sim
6
b) Não
E5) a)
11
,
0x),x,x(v1
e
62
e
)t2,t5(v2
,
0t
b)
11
,
0x),x,x(v1
e
42
e
)t3,t2(v2
,
0t
c)
11
,
0z),z,z3,0(v1
e
12
e
)z,z,z(v2
,
0z
e
23
,
0z),z,0,0(v3
E6) v= (x ,y ,- x - 2y) com x e y não simultaneamente nulos
E8) [f]A=
44
11
[f]B =
33
45
E9)
31
e
12
E10) a) (9,11) b) f(x , y)=(x +2y, 3x +2y)
E11) a) Sim,
3
d) Não
E12) a)
21
,
0y),0,y,0(v1
e
12
e
)z,0,z2(v2
,
0z
e
43
,
0x),x2,0,x(v3
b)
31
,
),w,0,0,x(v1
com x e w não simultaneamente nulos,
42
e
)0,z,0,0(v2
,
0z
.
c)
71
,
0x),x,x(v1
,
02
e
)t2,t5(v2
,
0t
.
d)
21
,
0z),z,0,0(v1
e
12
e
)t8,t3,t6(v2
,
0t
e
33
,
0t),t2,t5,0(v3
62
18. DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES
18.1. INTRODUÇÃO
Nesta secção, estamos interessados em encontrar uma base do espaço vetorial V, de
modo que a matriz que representa o operador f:V
V seja a mais simples. Veremos
que essa matriz é uma matriz diagonal.
E1)Seja o operador linear f:
22
. Se v1= (1,1) e v2=(4,1) são vetores próprios de f associados a
1
= 1
e
2
= -2, respectivamente, encontre f(x,y) e a matriz que representa f na base B ={ v1,v2 } .
Seja o operador linear f:V
V com dim V = n. Se os valores próprios de f são distintos, o conjunto P,
formado pelos correspondentes vetores próprios é LI (17.3.c), e portanto, P é uma base de V.
Sejam
1,
2,...,
n os valores próprios de f e P=
n21 v,...v,v
a base dos vetores próprios
correspondentes. De 15.1, podemos escrever:
f(v1) =
1v1 =
1v1 + 0.v2 + . . . + 0.vn
f(v1)P = (
1,0, . . .,0)
f(v2) =
2v2 = 0.v1 +
2v2 + . . . + 0.vn
f(v2)P = (0,
2,. . . ,0)
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
f(vn) =
nvn = 0.v1 + 0.v2 + . . . +
nvn
f(vn)P = (0,0, . . .,
n)
Logo, a matriz que representa f em relação a base P é
n1
2
1
P
00
0...0
0...0
]f[
= D
A matriz D é tal que f(v)P =D.vP
Sejam f:V
V um operador linear , D a matriz diagonal que representa f na base P dos vetores próprios
e A a matriz que representa f na base canônica C.
As matrizes [f]P = D e [f]C = A são semelhantes. Veja 16.1. página 43.
De relação entre matrizes semelhantes, [f]P = Q
-1
.[f]C . Q com Q =
M
P
C
= C
-1
.P = P.
Logo, D = P
-1
.A.P
E2) Use a relação entre matrizes semelhantes para calcular cada matriz D do exercício E1.
Importante:
a) Uma matriz quadrada A é diagonalizável sse existe uma matriz P, tal que P
-1
.A.P é diagonal. Nesse
caso, dizemos que P é uma matriz diagonalizadora da matriz A.
b) Um operador linear f:V
V é diagonalizável sse existe uma base de V formada pelos vetores
próprios de f.
63
E3) Verifique se A é diagonalizável , em caso afirmativo, encontre uma matriz diagonalizadora P.
a) A=
420
110
012 b) A=
300
320
321 c) A=
100
530
403
E4) Seja a matriz A =
302
020
200 .
a) Calcule os valores e vetores próprios de A.
b) Construa, se possível, uma base P do
3
com vetores próprios de A.
c) A é diagonalizável ? Em caso afirmativo, encontre uma matriz diagonalizadora de A.
d) A base P é ortogonal ?
18.2.
DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES SIMÉTRICAS
Se A é uma matriz simétrica e seus valores próprios são distintos então os vetores próprios correspondentes
são ortogonais.
E5) Considere a matriz A do exercício E4.
a) Construa uma base ortonornal P’ , a partir de P.
b) A matriz P’ é ortogonal ?
c) A matriz P’ diagonaliza A ?
Seja A uma matriz simétrica com valores próprios distintos. A matriz P formada pelos vetores próprios
unitários é ortogonal, isto é , P
-1
= P
t
. Nesse caso, dizemos que P diagonaliza A ortogonalmente e D =P
t
AP.
E6) Determine, caso exista, uma matriz que diagonaliza A ortogonalmente, sendo:
a) A=
43
34
b) A=
20
02
c) A =
311
151
110
E7) No exercício anterior, calcule a matriz D usando a relação entre matrizes semelhantes.
E8)Verifique se A é diagonalizável , em caso afirmativo, encontre uma matriz diagonalizadora P.
a) A=
100
530
433 b) A=
1000
0100
0530
0403
E9) Determine, caso exista, uma matriz que diagonaliza A=
3000
0200
0020
0002
ortogonalmente.
E10) No exercício anterior, calcule a matriz D usando a relação entre matrizes semelhantes.
64
18.3. RESPOSTAS
E1) f(x,y) = (4x-3y, 2y –x) e D=
20
01
E3) a) Não b)Sim P =
200
610
921 c) Sim P =
400
510
401
E4) a)
21
,
0y),0,y,0(v1
,
12
e
)z,0,z2(v2
,
0z
e
43
,
0x),x2,0,x(v3
b) P= { (0,1,0) , (2,0,1) , (1,0,-2) } c) Sim P =
210
001
120 d) Sim
E5) a) P’=
5
2
,0,
5
1
,
5
1
,0,
5
2
,0,1,0
b) Sim c) Sim
E6) a )
10
1
10
3
10
3
10
1
b)I2 c)
6
1
3
1
2
1
6
2
3
1
0
6
1
3
1
2
1
E7) a)
50
05
b)
20
02
c)
600
030
002
E8) a) Não e) Sim P=
1000
0400
0510
0401
E9) I4
E10) D = A
65
19. CÔNICAS
19.1. INTRODUÇÃO
Nesta secção , estamos interessados em classificar e esboçar os gráficos das cônicas
mais importantes, conhecidas as suas equações quadráticas .
Cônica é um conjunto de pontos do plano cujas coordenadas x e y em relação à base conônica satisfazem
a equação : ax
2
+ by
2
+ 2cxy + dx + ey + f =o (equação quadrática), onde a,b,c,d,e,f
com a,b e c não
simultaneamente nulos.
19.2. CÔNICAS NÃO-DEGENERADAS EM POSIÇÕES PADRÕES
1
b
y
a
x
2
2
2
2
a = b y a < b y a > b y
a b
b
-a o a x -a o a x -a o a x
-b
-a -b
1
b
y
a
x
2
2
2
2
y
1
b
x
a
y
2
2
2
2
y
a
o o
-a a x x
-a
y
2
= 2px y y
p > 0 o x o p < 0 x
x
2
= 2py y y
p > 0 o p < 0 x
o x
66
E1) Identifique e esboce os gráficos das cônicas de equações :
a) x2- y2 = -1 b) y2- 4x = 0 c) x2+ 4y2- 4 = 0
A equação de uma cônica na posição padrão não possui o termo em xy (chamado de termo cruzado).
A presença do termo cruzado na equação indica que cônica saiu da posição padrão devido a uma rotação.
Observe também, que a equação de uma cônica na posição padrão não possui, simultaneamente, os
termos x
2
e x ou os termos y
2
e y. Se um desses casos ocorrer e se a equação não apresentar o termo
cruzado, significa que a cônica saiu da posição padrão devido a uma translação.
y y y
0 x 0 x 0 x
Parábola após uma Hipérbole após uma Elipse após uma rotação
rotação translação e uma translação
Para identificar a cônica não-degenerada cujo gráfico não está na posição padrão e cuja equação não
tem o termo cruzado, mas tem um termo em x
2
e um termo em x, ou um termo em y
2
e um termo em y,
realiza-se uma translação de eixos de modo que o gráfico da equação
resultante fique na posição padrão
em relação ao novo sistema de coordenadas. .
Exemplo: Identifique e esboce o gráfico da cônica de equação 2x
2
+ 4x – 4y + 6 = 0
Solução : Devemos colocar a equação na forma padrão, neste caso:
)ky(p2)hx( 2
.
2x
2
+ 4x = 4y – 6
2(x
2
+ 2x) = 4y – 6
2(x
2
+ 2x + 1) = 4y – 6 + 2
(x
+ 1)
2
= 2 (y – 1) que é a equação de uma parábola na forma padrão.
Fazendo x + 1 = x’ e y – 1 = y’ , obtemos a equação reduzida da parábola
,2, y2x
de vértice em O’( -1 , 1).
Transladando o sistema de coordenadas xOy para x’O’y’ , de origem em O’( -1 , 1) teremos a parábola
na posição padrão em relação ao sistema x’O’y’ (vértice na origem e eixo de simetria em y’) .
y’ y
x’
0’
x
0
67
E2) Identifique e esboce os gráficos das equações :
a) x
2
+ 4x + 2y + 6 = 0 b) x
2
+ y
2
- 2x + 4y + 1 = 0 c) 9x
2
- y
2
+ 54x + 2y + 89 = 0
Para identificar a cônica não-degenerada cujo gráfico não está na posição padrão e cuja equação
apresenta o termo cruzado, realiza-se uma rotação ou mudança de sistema de coordenadas, através de
mudança de base, da canônica para uma base de vetores próprios ortonormais.
19.3. PROCEDIMENTO PARA ELIMINAR O TERMO EM xy DA EQUAÇÃO
Passo 1. Escrever a equação da cônica ax
2
+ by
2
+ 2cxy + dx + ey + f =o na forma matricial.
0f
y
x
.ed
y
x
.
bc
ca
.yx
(1) onde
1,0,0,1Ce
bc
ca
A,)y,x(vC
Passo 2. Calcular os valores e vetores próprios de A, construir uma matriz P que diagonaliza A
ortogonalmente e a matriz diagonal D correspondente.
Passo 3. Mudança da base da canônica C para a base dos vetores próprios unitários P.
Como
PP
1
P
P
CC v.Pv.P.CvMv
. substituir na equação (1) vC por P.vP
Se
)'y,'x(vP
, podemos escrever :
tP'y'xyx
'y
'x
P
y
x
Substituindo
yxe
y
x
na equação (1), vem:
0f
'y
'x
P.ed
'y
'x
P.
bc
ca
P.'y'x t
Como P
t
.A. P = D, a equação assume a forma
0f
'y
'x
.P.ed
'y
'x
.
0
0
.'y'x
2
1
ou
.0fyexdyx '''''2
'
1
22
Que é a equação do cônica em relação do sistema x’y’.
y
y’ x’
u2 u1
x
o
Onde os eixos x’ e y’ foram determinados, respectivamente, pelos vetores próprios ortonormais u1 e u2 da
base P, escolhida dentre oito possíveis .
68
Exemplo: Identifique e esboce o gráfico do equação 2xy –1 = 0
Passo 1.
01
y
x
00
y
x
01
10
yx
Passo 2. A=
01
10
Cálculo dos valores próprios :
1,1;010
1
1
21
2
Cálculo dos vetores próprios :
0x),x,x(v,
0
0
y
x
11
11
,1 11
0x),x,x(v,
0
0
y
x
11
11
,1 12
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
P
10
01.
D
2
1
2
1
2
1
2
1
P
Passo 3. 01
'y
'x
2
1
2
1
2
1
2
1
.]00[
'y
'x
10
01.
.]'y'x[
01'y'x 22
ou
1'x'y 22
Que é a equação de uma hipérbole na posição padrão em relação ao sistema x’O y’(centro na origem e eixo
transverso sobre o eixo y’).
Y y’
0 x
x’
69
19.4. CLASSIFICAÇÃO DAS CÔNICAS QUANTO AOS VALORES PRÓPRIOS
Parábola :
0ou0 21
Hipérbole:
21.
< 0
Elipse:
21.
> 0
Importante:
Para encontrar a equação reduzida da cônica de equação ax
2
+ by
2
+ 2cxy + dx + ey + f =o, devemos:
1) Eliminar o termo em xy, caso exista, através de uma mudança de base(19.6.)
2) Realizar uma translação de eixos, caso a equação obtida em (1) apresente os temos x
2
e x ou y
2
e y(19.4.)
E3) Determine as equações reduzidas e esboce os gráficos das cônicas de equações:
a) x
2
+ 2xy + y
2
- 8x + 4 = 0 b) 4x
2
- 3y
2
+ 24xy - 156 = 0
c) 5x
2
+5y
2
- 6xy +10
2
x - 22
2
y +42 = 0
E4) Identifique e esboce os gráficos das cônicas de equações :
a) 4y
2
+ 9x
2
- 36 = 0 b)2y - 3x
2
= 0 c) 25y
2
- 4x
2
+100 = 0 d) x
2
+ y
2
- 9 = 0 e) 4x
2
- y
2
= -4
E5) Identifique e esboce os gráficos das equações :
a) 9x
2
+ 4y
2
+ 54x - 16y + 61 = 0
b) x
2
– y2 + 4x + 10y – 22 = 0 c) y2 - x – 2 = 0
E6) Determine as equações reduzidas e esboçar os gráficos das cônicas de equações:
a) 11x
2
- 24xy + 4y
2
+20x - 40y – 20 = 0 b) 2x2+2y2+ 4xy +4
2
x +12
2
y – 8 = 0
c) 2x
2
+2y
2
+ 2xy +7
2
x +5
2
y +10 = 0 d) 2xy- 4y – 1 =0
19.5. RESPOSTAS
E1) a) Hipérbole , a = b = 1 b) Parábola, p = 2 e F(1,0) c) Elipse, a = 2 e b = 1
E2) a) Parábola, x’2= - 2 y’ , V ( -2 , -1) b) Circunferência , x’2 + y’2 = 4 , C (1,-2)
c) Hipérbole ,
1'x
9
y 2
2'
, C (-3,1)
E4) a) Elipse, a = 2 e b = 3 b) Parábola, p =
3
1
e F (0,
6
1
) c) Hipérbole , a = 5, b = 2
d) Circunferência , r = 3 e) Hipérbole , a = 2 , b = 1
E5)a) Elipse ,
1
9
y
4
x
2'2'
, C (-3,2) b) Hipérbole, x
’2 – y’2 = 1 , C ( -2 , 5 ) c) Parábola, y’2= x’ , V ( -2,0)
70
20. BIBLIOGRAFIA
ANTON, Howard, RORRES, Chris. Algebra Linear com aplicações. 8.ed. Ed. New York : Bookman.
BOLDRINI, José Luiz; COSTA, Sueli I. Rodrigues;Ribeiro,Vera Lúcia S.S.;Wetzler,Henry G.
Algebra Linear . São Paulo: Harbra, 1980.
BOULOS, Paulo; CAMARGO, Ivan de. Introdução à geometria analítica no espaço. São Paulo:
Makron Books do Brasil, 1997.
FOLEY, James, VAN DAM, Andries, FEINER, Steven, HUGHES, John. Computer graphics:
pinciples and practice. New York: Addison-Wesley, 1997.
KOLMAN , Bernard . Introdução à Algebra Linear com aplicações. 6.ed. Ed.PHB – Prentica-Hall do
Brasil ,1998.
LAY, David C. Algebra Linear e suas aplicações. 2. Ed. LTC-Livros Técnicos e Científicos S. A.
1999.
MORTENSON, Michael. Computer graphics handbook: geometry and mathematics. New York:
Industrial Press, 1990.
STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.
STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo. Geometria analítica. São Paulo: McGraw- Hill, 1987.
WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analítica. São Paulo : Makron, 2000.Mais conteúdos dessa disciplina
Screenshot from 2025-07-24 15-51-13- Exercícios sobre arte na Pré-história - Brasil Escola
- 30 problemas matemáticos - Brasil Escola
- FATORAÇÃO ALGÉBRICA | RÁPIDO E FÁCIL
- Aula 7 - Organização do Processador
- Exercícios sobre Fenômenos Físicos e Químicos - Brasil Escola
- Importância da Leitura para o Cérebro
- Aula 6 - Tipos de Memória
- Exercícios sobre a Batalha das Ardenas - Brasil Escola
- Exercícios sobre a Formação do Estado Nacional Britânico
- Exercícios sobre energia elétrica - Brasil Escola
- Enem_ lista de exercícios sobre semiótica - Brasil Escola
- Qual é o nome do pokemon numero 132?
- Em quais das passagens a seguir está ocorrendo transformação química?
1) " O reflexo da luz nas águas onduladas pelos ventos lembrava-lhe os cabelo...
- Marque as alternativas referentes a fenômenos químicos:
a) Produção de plásticos a partir do petróleo.
b) Fabricação de fios de cobre a partir de u...
- Veja os esquemas a seguir:
I. Água \(\rightarrow\) gás hidrogênio, gás oxigênio
II. Gelo \(\rightarrow\) água
III. Água oxigenada \(\rightarrow\) á...
- Qual foi o grande objetivo estipulado por Adolf Hitler a ser alcançado pela Alemanha caso os alemães saíssem vitoriosos da ofensiva nas Ardenas:
a)...
- A Batalha das Ardenas aconteceu entre dezembro de 1944 e janeiro de 1945 e ficou caracterizada por ser:
a) a última batalha em que os alemães utili...
- Qual foi a grande consequência da Batalha das Ardenas para os alemães:
a) gerou receio nos Aliados, pois a ofensiva nas Ardenas foi vista como uma ...
- Sobre a formação da monarquia nacional inglesa é incorreto afirmar:
a. na Magna Carta (1215) firmou-se a criação do chamado Grande Conselho, que ti...
- Ao final da Guerra dos Cem Anos (1337-1453), a Inglaterra vivenciou uma guerra interna que seria fundamental para a consolidação da centralização d...
- Os problemas de heranças feudais, que haviam confundido destinos e províncias, tornaram inevitável a Guerra dos Cem Anos entre França e Inglaterra....
- A Magna Carta (1215), aceita por João Sem-Terra, da Inglaterra, reveste-se de grande importância porque, entre outros aspectos:
a. assegurava aos h...
- Quais das alternativas apresentam as unidades de medidas correspondentes às grandezas físicas estudadas na energia elétrica? I. A energia elétrica ...
- Determine a potência elétrica de um chuveiro elétrico que consome 38400 Wh de energia elétrica mensal, sabendo que ele é ligado todos os dias por 2...
