7.INTRODUÇÃO ATUARIAL

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INTRODUÇÃO ATUARIAL
Esperança Matemática – conveniente mencionar o significado de esperança matemática (E), a qual pode ser entendida como ganho esperado (Q) multiplicado pela probabilidade (P) de obtê-lo, e ainda multiplicado pelo fator de desconto (VN), caso sorteio não ocorra no momento da aposta. Portanto, a diferença temporal ente o sorteio e aposta implicam trazermos a valor presente o Montante relativo ao ganho esperado. Em se tratando de seguros, a esperança matemática representa o prêmio puro, ou seja, sem nenhum carregamento, sem nenhuma sobrecarga.
E = Q x P x VN em que V = 1/(1 + i)
E = Q x P x 1/(1 + i)N
Exercício exemplo 1:
Uma rifa, que levará quatro meses para o seu sorteio, apresenta como prêmio um automóvel no valor de R$ 60.000,00. Sabendo-se que o total de bilhetes é 15.000, qual o valor pelo qual deverá ser cada cautela, se o a taxa de juros é de 1% ao mês?
Q = 60.000
P = 1/1500
V = 1/(1 + i)
N = 4 meses
E = ?
 E = Q x P x 1/(1 + i)N
E = 60.000 x 1/1500 x 1/( 1 + 0,01)4 = R$ 3,84
Exercício exemplo 2:
Em um evento beneficente, haverá um sorteio de uma viagem a Roma, com acompanhante, cujo valor é de 12.000,00. As pessoas, à entrada, compram o bilhete. Sabendo-se que o total de bilhete é 2.000 e desprezando-se o fator de desconto, pois o sorteio acontecerá no mesmo dia da compra dos bilhetes, qual o valor pelo qual deverá ser vendido cada bilhete, ou seja, qual a esperança matemática?
Q = 12.000
P = 1/2000
N = 1
E = ?
E = Q x P x VN
E = 12.000 X 1/200 X 1 = R$ 6,00
Exercício exemplo 3: Utilizando a Tábua de Mortalidade
Qual a probabilidade de alguém com 27 anos sobreviver à idade de 40 anos?
Probabilidade = I40/I27 = 9.241.359/9.538.423 = 0,9689 = 96,89%.
Exercício exemplo 4: Utilizando a Tábua de Mortalidade
Qual a probabilidade de alguém com 40 anos sobreviver à idade de 53 anos?
Probabilidade = I53/I40 = 8.524.486/9.241.359 = 0,9224 = 92,24 %
Exercício exemplo 5: Utilizando a Tábua de Mortalidade
Qual a probabilidade de alguém com 25 anos sobreviver à idade de 52 anos?
Probabilidade = I52/25 = 8.610.244/9.575.656 = 0,8992 = 89,91%
Exercício exemplo 6: Utilizando a Tábua de Mortalidade
Qual a probabilidade de alguém com 40 anos sobreviver à idade de 95 anos?
Probabilidade = I95/40 = 97.165/9.241.359 = 0,0105 = 1,05 %
Vida Média Completa 
Uma Vida Média Completa para uma idade “x” indica a quantidade de anos, em média, que vive cada componente de um grupo Ix. Este conceito é também conhecido como esperança completa de vida ou expectativa completa de vida. O cálculo para estimarmos a sobrevida de alguém repousa na razão entre o número de anos vividos pelos componentes de uma determinada idade dividido pela quantidade de indivíduos desta idade (Ix). Sabemos que o número de mortos em uma idade “x” (dx) pode ser expresso por uma subtração de sobreviventes, ou seja, poder ser expresso por meio da diferença entre Ix e Ix+1. É razoável admitirmos que a quantidade de falecimentos entre idades, digamos, entre 55 e 56 anos, possua uma distribuição uniforme. Assim sendo, cada pessoa que tenha falecido terá vivido “x” anos e meio, isto é, se alguém fez 55 anos e não completou 56, podemos admitir que tenha vivido 55 anos e meio. Portanto, é aceitável que o número de anos vividos pelos mortos entre duas idades consecutivas possa se representado matematicamente como: (Ix - Ix+1)/2. Conferindo valores, teríamos: (I55 – I56)/2. Em contrapartida, os sobreviventes Ix+1 viveriam um ano. Conseqüentemente, podemos considerar que a quantidade de anos vividos pelas pessoas entre as duas idades consecutivas será:
	 (Ix - Ix+1)/2 + Ix+1 = (Ix + Ix+1)/2
A fim de tornarmos mais didática a explicação, se quiséssemos calcular o número de anos vividos palas pessoas acima de 55 anos, inclusive, teríamos o seguinte:
(I55 + I56)/2 + (I56 + I57)/2 + (I57 + I58)/2 + ... + (Ix-1 + Ix)/2 + Ix/2 = I55 /2 + (I56 + I57 + I58 + ...+ Ik -1 + Ik)/ Ix
Para calcularmos a média de anos vivida por cada componente com 55 anos, basta dividirmos o exposto por I55. Assim, a vida média para uma pessoa de “x” anos pode ser representada, de uma forma mais geral, como:
Vida Média = 1/2 + (Ix+1 + Ix+2 + Ix+3 + ... ...+ Ik-1 + Ik)/ Ix
Exercício exemplo 1: Utilizado tabela de mortalidade 
Qual a expectativa de vida (vida média) para alguém com 95 anos?
Vida Média = 1/2 + (Ix+1 + Ix+2 + Ix+3 + ... ...+ Ik-1 + Ik)/ Ix
Vida Média = 1/2 + (I96 + I97 + I98 + I98 + I99)/ I95
Vida Média = 1/2 + (63.037 + 37.787 + 19.331 +6.415)/97.165
Vida Média = 0,5 + 1,3026 = 1,8026 ( aproximadamente de 2 anos).
Exercício exemplo 2: Utilizado tabela de mortalidade 
Qual a expectativa de vida (vida média) para alguém com 89 anos?
Exercício exemplo 3: Utilizado tabela de mortalidade 
Qual a expectativa de vida (vida média) para alguém com 87 anos?
Exercício exemplo 4: Utilizado tabela de mortalidade 
Qual a expectativa de vida (vida média) para alguém com 90 anos?