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Adição de Vetores 
+ : V
3
 x V
3
 → V3 
Propriedades: 
A1) Comutatividade 
 + = + 
A2) Associatividade 
 + ( + ) = ( + ) + 
A3) Vetor Nulo 
 + = 
A4) Vetor Oposto 
 + ( ) = 
 
Multiplicação de vetor por escalar 
 
: ℝ x V3 → V3 
Definição: 
 
1) Se λ = 0 ou = , então λ := 
2) Se λ ≠ 0 ou ≠ , então λ é o vetor assim definido: 
a) || λ || = | λ | . || || ; 
b) λ // ; 
c) se λ > 0 → λ e têm o mesmo sentido; 
se λ < 0 → λ e têm sentidos contrários; 
 
Propriedades: 
M1) 1. = ; 
M2) ( λ . γ ) . = λ . ( γ . ) ; 
M3) ( λ ± γ ) . = λ . ± γ . ; 
M4) λ . ( + ) = λ . + λ . ; 
Vetores paralelos 
Sejam e vetores não nulos. Então || se, e somente se, Ǝ λ ℝ tal que = λ . 
(lê-se é múltiplo escalar de ). 
Dependência e independência linear 
 
1) { } é L.D. ↔ = ↔ = 0 tem solução não trivial; 
{ } é L.I. ↔ ≠ ↔ = 0 tem solução trivial; 
 
2) { , } é L.D. ↔ || ↔ um é combinação linear do outro ↔ + 
 = 0 tem solução não trivial ↔ as coordenadas de 1 e 2, com relação à 
mesma base, são proporcionais; 
 
 { , } é L.I. ↔ ╫ ↔ + = 0 tem apenas a solução trivial ↔ 
as coordenadas de e , com relação à mesma base, não são proporcionais; 
 
3) { , , } é L.D. ↔ , , forem coplanares ↔ um é combinação 
linear dos demais ↔ + + = 0 tem solução não trivial. 
 
 { , , } é L.I. ↔ , , não forem coplanares ↔ + + = 0 
tem apenas a solução trivial. 
 
4) { , ... , } é L.D. , n > 3. 
 
Interpretação Geométrica: 
 
1) Se { } é L.D. , então gera apenas o vetor nulo; 
Se { } é L.I., então gera retas. 
 
2) Se { , } é L.D. , então e geram retas; 
Se { , } é L.I. , então e geram planos. 
 
3) Se { , , } é L.D. , então , e geram, no máximo, planos; 
Se { , , } é L.I. , então , e geram o espaço. 
 
 
Bases de V
3
 
 
Definição: Chamamos de Base de V
3
 a todo conjunto L.I. de três vetores de V
3
. 
 
Notação: B = { , , }. 
 
Definição: Chamamos de base ordenada de V
3
 a toda terna ordenada ( , , ) de 
vetores de V
3 
tal que { , , } seja uma base. 
{ , , } = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: Seja B = ( , , ) uma base ordenada de V3. Se V3, então existem 
únicos escalares x, y, z tais que: 
 = x + y + z 
Nessas condições chamamos de “coordenadas de , com relação à base ordenada B ” 
à terna ordenada (x, y, z). 
Notação: = (x, y, z)B 
Proposição: Sejam B = ( , , ) uma base ordenada de V3, = ( , , ) B , 
 = ( , , ) B , = ( , , ) B vetores de V
3
. Então: 
1) Observe que: = 0 + 0 + 0 . Logo = (0, 0, 0) B. 
2) = ( + + ) + ( + + ) = ( + , + , + ) B . 
3) λ = (λ , λ , λ ) B 
4) || ↔ suas coordenadas são proporcionais. 
 ╫ ↔ suas coordenadas não são proporcionais. 
 
5) { , , } é L.D. ↔ 
 
 
 
 = 
 
 
 
 = 0 
 
{ , , } é L.I. ↔ 
 
 
 
 = 
 
 
 
 0 
 
Ortogonalidade 
 
Sejam , V3, uma reta r e um plano . 
1) Se , diremos que: 
 
a) é ortogonal a r se, e somente se, tem representante perpendicular a r 
Notação: ┴ r 
b) é ortogonal a se, e somente se, tem representante perpendicular a . 
Notação: ┴ 
Convenção: é ortogonal a qualquer reta e a qualquer plano. 
2) Diremos que e são ortogonais se, e somente se: 
a) Um dos vetores é o vetor nulo; 
b) Se nenhum for o vetor nulo e tiverem representantes perpendiculares. 
Definição: Seja B = { , , } uma base de V3. Diremos que B é uma 
ortonormal se, e somente se: 
1) Os vetores de B são dois-a-dois ortogonais ┴ , ┴ , ┴ . 
2) || || = || || = || || = 1 
Proposição: Seja B = ( , , ) uma base ordenada e ortonormal. 
Se = (x, y, z) B é um vetor de V
3
, então: 
|| || = 
Sejam : 
 ┴ ↔ || ||² = || ||² + || ||². 
Produto Escalar (Produto Interno) 
. : V
3 
x V
3
 → ℝ 
Definição: Sejam e vetores de V3. Chamamos de produto escalar (ou interno) de 
por ao número real denotado por . e assim definido: 
 . = 
 
 
 
Proposição: Se B for uma base ortonormal e , ϵ V3, então: 
 = ( , , ) B e = ( , , ) B → . = + + 
Proposição: A medida angular entre é dada por: 
 . = → = 
 
 
 → = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Proposição: Sejam , então: 
 ┴ ↔ . = 0 
Proposição: Sejam , e ϵ V3 e λ, γ ϵ ℝ. Então: 
1) . ( + ) = . + . 
2) . = . 
3) λ . ( . λ . = . λ 
4) || ||² = ou || || = 
 
Vetor Projeção 
Definição: Seja ϵ V3 tal que . Dado V3, existem únicos vetores e 
tais que: 
1) || ; 
2) ┴ ; 
3) + = . 
Nessas condições o vetor é dito a projeção de na direção de : 
 
 
 
 
 
 
Notação: proj = 1 = 
 
 
 . 
 
Norma do vetor projeção 
|| proj || = 
 
 
 . || || 
 
Orientação do Espaço 
Definição: Olhando o triedro T, de acordo com a posição de observação, faça uma 
rotação, segundo o menor ângulo, do primeiro segmento orientado até que este fique 
colinear com o segundo: 
1) Se tal rotação for no sentido anti-horário, diremos que o triedro T é positivo e, 
consequentemente, B é uma base positiva. 
 
 
 
 
2) Se tal rotação for feita no sentido horário, T é negativo e B é uma base 
negativa. 
 
Produto Vetorial 
 
x : V
3
 x V
3
 → V3 
 
Definição: Sejam , ϵ V3. Chamamos de produto vetorial de por , nesta ordem, ao 
vetor denotado por x , ou ^ , e assim definido: 
1) Se e são colineares ( || ) ( { , } é L.D. ), então x = . 
2) Se e são não colineares ( ╫ ) ( { , } é L.I. ), então x é o vetor com 
as seguintes características: 
a) || x || = || || . || || . sen θ, onde θ = ang(
, ); 
b) x é ortogonal a e a ; 
c) o sentido de x é tal que ( , , x ) é uma base positiva. 
Proposição: Sejam e vetores de V3. Se B é uma base, ordenada, ortonormal e 
positiva e = ( , , ) B e = ( , , ) B , então se B = ( , , ) : 
 x = 
 
 
 
 = ( ) + ( ) + ( ) 
Produto Misto 
V
3
 x V
3
 x V
3 → ℝ 
Definição: Sejam , e ϵ V3. Chamamos de produto misto dos vetores , e , nessa 
ordem, ao número real denotado por [ , , ] e assim definido: 
1) [ , , ] = ( x ) . = x . 
2) Se x ≠ e ≠ . Então: 
 x . = || x || . || || . cos θ 
 = || || . || || . sen δ . || || . cos θ 
 
Proposição: Sejam B = ( , , ) uma base, ordenada, ortonormal e positiva e , 
e ϵ V3. Se = ( ) B , = ( ) B e = ( ) B . Então: 
[ , , ] = 
 
 
 
 
 
Mudança de Base 
 
Sejam B = ( , , ) e E = ( , , ) duas bases e ϵ V3. Temos que: 
 
 = → = ( ) B 
e 
 = → = ( ) E 
 
Logo, podemos escrever , , como combinação linear de , , : 
 
 = 
 
 = , ϵ ℝ e únicos 
 
 = 
 
Definição: Chamamos de “matriz de mudança de base B para base E” à matriz M 
assim definida: 
M = 
 
 
 
 
Notação: M = MB, E 
Assim: 
 
 
 
 
 
 = M . 
 
 
 
 ou [ ]B = MB, E . [ ]E