av2_CET146_T04

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UFRB
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral I COD: CET146 CURSO:
PROFESSOR: DATA: / /
NOME: TURMA:
Segunda Avaliação
Atualizada em 28 de outubro de 2010
INSTRUÇÕES:
1. Desligue o celular. Não é permitido o seu uso durante a prova;
2. Durante a avaliação, a saída da sala e qualquer forma de consulta não será permitida;
3. A interpretação de cada questão é parte integrante da prova;
4. Só serão validadas as questões justificadas com todos os cálculos na folha de respostas.
Questões:
1. (Valor: 2, 0) (a) Dada a função f (x) = x3−2, usando a definição de derivadas, encontre a equação da
reta tangente à curva y = f (x) que seja perpendicular à reta x + 12y − 5 = 0 no ponto, cuja abscissa,
é negativa.
(b) Dada a função f (x) = 3
√
2x − 1, usando a definição de derivadas, determine a equação da reta
tangente à curva y = f (x) no ponto de abscissa 5.
2. (Valor: 2, 0) (a) Sabendo que ϕ(x) = f (5f (2f (x))), onde f (0) = 0 e f ′(0) = 1, determine ϕ′(0).
(b) Seja ψ : (−2,+∞) −→ (−4,+∞) definida por ψ(x) = x2 + 4x . Sendo ψ−1(y) a função inversa de
ψ(x), determine
€
ψ−1
Š
′
(5).
3. (Valor: 2, 0) Usando as regras de derivação, encontrar a derivada das seguintes funções:
(a) f (x) = cosh(ℓn(2x2 + 1)) (b) f (x) = ex
2
+ ℓn(1 + 4x2) + arctg(2x)
4. (Valor: 2, 0) (a) Dada a função y = f (x) definida implicitamente pela equação x3 + y3 − 3xy = 0,
determine y ′ =
dy
dx
.
(b) Calcule a derivada y ′ =
dy
dx
da função y = f (x) definida na forma paramétrica pelas equações
¨
x = 5cos (2t)
y = 5 sen (2t)
, t ∈
•
0,
π
2
˜
. Para quais valores de t, a derivada y ′ =
dy
dx
está definida?
5. (Valor: 2, 0) Numa granja experimental, constatou-se que uma ave em desenvolvimento pesa em
gramas
ϕ(t) =
8
<
:
20 +
1
2
(t + 4)2, se 0 ≤ t ≤ 60
24, 4t + 604, se 60 ≤ t ≤ 90,
onde t é medido em dias.
(a) Qual a razão de aumento do peso da ave quando t = 56?
(b) Quanto a ave aumentará nos cinco primeiros dias?
(c) Qual a razão de aumento do peso quando t = 66?
Questões Extras:
1. (Valor: 1, 0) O raio de uma circunferência cresce à razão de
5
π
cm/s. Qual a taxa de crescimento do
comprimento da circunferência em relação ao tempo?
2. (Valor: 1, 0) Um tanque tem a forma de um cilindro reto de 5m de raio da base e 10m de altura. No
tempo t = 0, a água começa a fluir no tanque à razão de 25m3/h. Com que velocidade o nível da
água sobe? Quanto tempo levará para o tanque ficar totalmente cheio?
3. (Valor: 1, 0) Um material arenoso está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica
cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se dado instante o raio é 12 metros, usando diferenciais,
obtenha a variação do raio que origina um aumento de 2πm3 no volume da pilha.
“Vencer não é nada, se não se teve muito trabalho;
fracassar não é nada se se fez o melhor possível.”
Nádia Boulanger, pianista
Sucesso!!!
Cálculo Diferencial e Integral I 2