Aula 14

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Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Sec¸a˜o 5.5
Fa´bio S. Bemfica
EC&T - UFRN
21 de setembro de 2012
Fa´bio Sperotto Bemfica Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-NuloSec¸a˜o 5.5
Espac¸o-Linha, Espac¸o-Coluna e Espac¸o-Nulo
Definic¸a˜o
Para uma matriz m × n
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
... · · · ...
am1 am2 · · · amn

os vetores
~r1 = [a11a12 · · · a1n]
~r2 = [a21a22 · · · a2n]
...
...
~rm = [am1am2 · · · amn]
em Rn formados pelas linhas de A sa˜o chamados os vetores linha de A e os
vetores
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~e1 =

a11
a21
...
am1
 , ~e2 =

a12
a22
...
am2
 , · · · , ~en =

a1n
a2n
...
amn

em Rm formados pelas colunas de A sa˜o chamados os vetores-coluna de
A.
Exemplo
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Definic¸a˜o
Se A e´ uma matriz m × n, enta˜o o subespac¸o de Rn gerado pelos
vetores-linha de A e´ chamado espac¸o-linha de A e o subespac¸o de Rm
gerado pelos vetores-coluna de A e´ chamado espac¸o-coluna de A. O
espac¸o-soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo A~x = ~0, que e´ um subespac¸o de
Rn, e´ chamado o espac¸o-nulo de A.
Perguntas relevantes:
Quais relac¸o˜es existem entre as soluc¸o˜es de um sistema linear A~x = ~0
e o espac¸o-linha, o espac¸o-coluna e o espac¸o-nulo da matriz de
coeficientes A?
Quais relac¸o˜es existem entre o espac¸o-linha, o espac¸o-coluna e o
espac¸o-nulo de uma matriz A?
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Theorem (Teorema 5.5.1)
Um sistema A~x = ~b de n equac¸o˜es lineares e n inco´gnitas xi e´ consistente
se, e somente se, ~b esta´ no espac¸o-coluna de A.
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Demonstrac¸a˜o.
Como vimos anteriormente, a matriz A pode ser expressa como uma
matriz cujos elementos sa˜o as n colunas ~ei , ou seja, A = [~e1~e2 · · · ~en].
Nesse caso, o sistema de equac¸o˜es lineares pode ser escrito como
~b = A~x = [~e1~e2 · · · ~en]

x1
x2
...
xn
 = x1~e1 + x2~e2 + · · ·+ xn~en .
Ou seja, se o sistema for consistente, o que implica na existeˆncia de uma
ou mais soluc¸o˜es ~x , enta˜o ~b ∈ ger(~e1,~e2, · · · ,~en) pois ~b e´ uma
combinac¸a˜o linear dos vetores ~ei´s. Se o sistema for inconsistente, enta˜o
isso significa que ~b na˜o pode ser expresso como uma combinac¸a˜o linear
dos vetores coluna de A.
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Exemplo
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Theorem (Teorema 5.5.2)
Se ~x0 denota uma soluc¸a˜o particular de um sistema linear consistente
A~x = ~b e se ~v1, ~v2, · · · , ~vk forma uma base do espac¸o-nulo de A, ou seja,
do espac¸o-soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo A~x = 0, enta˜o cada soluc¸a˜o de
A~x = ~b pode ser escrita na forma
~x = ~x0 + c1~v1 + c2~v2 + · · ·+ cr~vr
e, reciprocamente, para qualquer escolha de escalares c1, c2, · · · , cr , o
vetor ~x e´ uma soluc¸a˜o de A~x = ~b.
Demonstrac¸a˜o.
Como ~x0 e´ uma soluc¸a˜o afixada A~x0 = ~b e ~x e´ outra soluc¸a˜o qualquer do
sistema A~x = ~b, enta˜o o vetor ~x − ~x0 e´ um vetor do espac¸o-nulo pois
A(~x − ~x0) = A~x − A~x0 = ~b − ~b = ~0 .
Sendo assim, o vetor ~x − ~x0 pode ser escrito como uma combinac¸a˜o linear
dos vetores do espac¸o nulo, ou seja
~x − ~x0 = c1~v1 + c2~v2 + · · ·+ cr~vr ,
o que prova o teorema.
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Soluc¸o˜es particulares e soluc¸o˜es gerais
O soluc¸a˜o soluc¸a˜o ~x0 acima e´ chamado de soluc¸a˜o particular do sistema
A~x = ~b, enquanto que a combinac¸a˜o linear
~x = ~x0 + c1~v1 + c2~v2 + · · ·+ cr~vr
e´ chamado de soluc¸a˜o geral do sistema A~x = ~b . Ja´ a combinac¸a˜o linear
dos vetores do espac¸o-nulo c1~v1 + c2~v2 + · · ·+ cr~vr e´ uma soluc¸a˜o geral do
sistema homogeˆneo A~x = ~0.
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Propriedades
As operac¸o˜es elementares sobre linhas na˜o alteram o espac¸o-nulo de
uma matriz;
As operac¸o˜es elementares sobre linhas na˜o alteram o espac¸o-linha de
uma matriz.
As propriedades acima prove´m do fato de que as operac¸o˜es sobre linhas
conduzem a` uma nova matriz cujas linhas sa˜o uma combinac¸a˜o linear das
linhas da matriz inicial. Sendo assim, o espac¸o-linha e o espac¸o-nulo e´ o
mesmo. Ja´ o mesmo na˜o ocorre com o espac¸o-coluna!
Duas matrizes cujo espac¸o-linha e´ o mesmo sa˜o ditas equivalentes por
linhas.
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Apesar de o espac¸o-coluna de duas matrizes equivalentes por linha na˜o ser
o mesmo, valem as seguintes propriedades:
Theorem (Teorema 5.5.5)
Se A e B sa˜o matrizes equivalentes por linhas, enta˜o:
(a) Um conjunto qualquer de vetores-coluna de A e´ linearmente
independente se, e somente se, o conjunto de vetores-coluna
correspondente de B e´ linearmente independente.
(b) Um conjunto qualquer de vetores-coluna de A forma uma
base para o espac¸o-coluna de A se, e somente se, o conjunto
de vetores-coluna correspondente de B forma uma base do
espac¸o-coluna de B
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Theorem (Teorema 5.5.6)
Se uma matriz R esta´ na forma escalonada por linhas, enta˜o os
vetores-linha com os l´ıderes (ou seja, os vetores-linha na˜o-nulos) formam
uma base do espac¸o-linha de R e os vetores-coluna com os l´ıderes dos
vetores-linha formam uma base do espac¸o-coluna de R
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Exemplos
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Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 5.5 do livro texto
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Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 5.5 do livro texto
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Respostas Referentes a` Sec¸a˜o 5.5 do livro texto
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