Lista3

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Universidade Federal Rural do Semi-Árido
Departamento de Ciências Exatas e Naturais
Disciplina: Álgebra Linear Período: 2013.1
Prof
a
Suene Campos
Lista 3: Determinante e Matriz Inversa
1. Sejam A e B matrizes do tipo m× n. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas:
a) det(AB) = det(BA)
b) det(AT ) = detA
c) det(2A) = 2detA
d) det(A2) = (detA)2
e) detAij < detA
f) Se A é uma matriz 3× 3, então a11∆11 + a12∆12 + a13∆13 = a21∆21 + a22∆22 + a23∆23
2. Seja A =
 a b cd e f
g h i

. Supondo detA = −7, obtenha:
a) det(3A)
b) det(A−1)
c) det(2A−1)
d) det[(2A)−1]
e) det
 a g db h e
c i f

3. Calcule o determinante das seguintes matrizes utilizando o desenvolvimento de Laplace:
(a)
 2 0 −13 0 2
4 −3 7
 (b)

4 −1 1 6
0 0 −3 3
4 1 0 14
4 1 3 2

(c)

3 3 0 5
2 2 0 −2
4 1 −3 0
2 10 3 2
 (d)

4 0 0 1 0
3 3 3 −1 0
1 2 4 2 3
9 4 6 2 3
2 2 4 2 3

4. Dada a matriz

2 3 1 −2
5 3 1 4
0 1 2 2
3 −1 −2 4
 calcule:
a) A23
b) |A23|
c) 423
d) detA
5. Sabendo que
 a b cd e f
g h i
 = −6, encontre:
1
(a)
 d e fg h i
a b c
 (b)
 a+ g b+ h c+ id e f
g h i

(c)
 3a 3b 3c−d −e −f
4g 4h 4i
 (d)
 −3a −3b −3cd e f
g − 4d h− 4e i− 4f

6. Saiba que:
• O determinante de uma matriz triangular superior Am×n é igual ao produto dos elementos de sua
diagonal.
• O posto de uma matriz A é dado pela maior ordem possível das submatrizes quadradas de A, com
determinantes diferentes de zero.
Ex 1: Dada a matriz 4× 5 
1 3 −2 5 3
1 11 −15 19 14
3 1 7 1 −2
7 −3 25 −7 0

podemos verificar que cada submatriz de ordem 4 (há 5) tem determinante 0. Também o determinante
de cada submatriz de ordem 3 (há 40) é zero. mas
det
(
1 3
1 11
)
= 8 6= 0
Então, o posto é 2.
Ex 2: Dado o sistema linear  x+ 2y + 3z = 1−2x+ y + z = 0
6x− 3y − 3z = −1
A matriz dos coeficientes A =
 1 2 3−2 1 1
6 −3 −3

tem determinante 0 ( A terceira linha é igual a
segunda multiplicada por −3). Portanto pa < 3.
Considerando a matriz ampliada, B =
 1 2 3 1−2 1 1 0
6 −3 −3 −1

teremos que detB = 0 e a submatriz 2 3 11 1 0
−3 −3 −1
 = 1. Portanto, pc = 3.
Como pa 6= pc, conluímos que o sistema é impossível.
Baseado no que foi dito acima, qual o número de soluções dos sistemas abaixo?
(a)

5x1 + 2x2 − 3x3 + 9x4 = 0
−3x2 + 9x3 − 13x4 = 0−2x3 + x4 = 0
x4 = 1
(b)

3x5 + 2x4 + x1 = 0
−x3 + x2 − x1 = 5
−9x3 − x2 + 9x1 = 0
−3x2 + x1 = 0
x1 = 0
7. Calcule os determinantes:
(a)A =

3 −1 5 0
0 2 0 1
2 0 −1 3
1 1 2 0
 (b)A =

3 0 0 0 0
19 18 0 0 0
−6 pi −5 0 0
4
√
2
√
3 0 0
8 3 5 6 −1
 (c)A =

i 3 2 −i
3 −i 1 i
2 1 −1 0
−i i 0 1

2
8. Dado o sistema

x+ y − w = 0
x− z + w = 2
y + z − w = −3
x+ y − 2w = 1
a) Calcule o posto da matriz dos coeficientes.
b) Calcule o posto da mariz ampliada.
c) Descreva a solução do sistema.
9. Encontre A−1 onde:
(a) A =

4 −1 2 −2
3 −1 0 0
2 3 1 0
0 7 1 1
 (b) A =
 1 0 x1 1 x2
2 2 x2

(c) A =

0 −i −2 i
1 −1 i 1
0 −1 1 −i
1 1 1 0

10. Dada a matriz A =
 2 1 −30 2 1
5 1 3

, calcule:
a) adjA
b) detA
c) A−1
11. Mostre que det
 1 1 1a b c
a2 b2 c2
 = (a− b)(b− c)(c− a)
12. Dizemos que A e B são matrizes semelhantes se existe uma matriz P tal que B = P−1AP . Mostre que
detA = detB se A e B são semelhantes.
13. Classifique em verdadeiro ou falso:
a) Se detA = 1, então A−1 = A.
b) Se A é uma matriz triangular superior e A−1 existe, então A−1 será uma matriz triangular superior.
c) Se A é uma matriz escalar n× n da forma kIn, então detA = kn.
d) Se A é uma matriz triangular superior, então detA = a11 + a22 + ...+ ann.
14. Resolva os sistemas usande a Regra de Cramer:
(a)
 x− 2y + z = 12x+ y = 3
y − 5z = 4
(b)
{
7x− 2y = 3
3x+ y = 5
(c)
 x− 3y + z = 42x− y = −2
4x− 3z = 0
(d)
 4x+ 5y = 211x+ y + 2z = 3
x+ 5y + 2z = 1
(e)

−x− 4y + 2z + w = −32
2x− y + 7z + 9w = 14
−x+ y + 3z + w = 11
x− 2y + z − 4w = −4
15. Encontre os valores de λ para os quais A não é inversível.
(a) A =
[
λ− 2 1
−5 λ+ 4
]
(b) A =
 λ− 4 0 00 λ 2
0 3 λ− 1

(c) A =
[
λ− 3 −2
−2 λ− 2
]
(d) A =
 1 2 43 1 6
λ 3 2

3
GABARITO
1. (a)V, (b)V, (c)F, (d)V, (e)F, (f)V. 3. (a)21, (b)216. 5. (a) -6, (b) 6, (c) -72, (d) -18.
6 (a)Única, (b) Nenhuma. 8. (a) 3, (b) 3, (c) Possível e Determinado. 9. (a)

−1 −1 4 −2
−3 −4 12 −6
11 14 −43 22
10 14 −41 21

(b)
−1
2+i

−1− i −1 −1 −1− i
−i i 1− i −i
1 + 2i 1− i i −1− i
3− i −2− i 3− i 2 + i
 13. (a) F, (b) V, (c) V, (d) F, 14. (a) x = 3623 , y = −323 , z = −1923 ,
(b) x = −3011 , y =
−38
11 , z =
−40
11 . 15. (a) λ = 1 e λ = −3, (b) λ = −1.
4