CIII-Aula14_camposvetoriais

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Aula 14 
Campos Vetoriais 
 
GEX 108 – Cálculo III 
Profª Evelise 
1 
Campos vetoriais 
Campo Gravitacional da 
terra 
Campo de velocidades 
num escoamento 
 
2 
Definição de campo vetorial: 
• Associação de um ponto no espaço com um 
vetor. 
 
 
 
• Notação compacta: Denotar F(x,y) fazendo 
(x,y) como r = xi + yj, ou seja 
 F(x,y) = F(r) 
 
 
3 
Representação gráfica de campos 
vetoriais 
 
 
 
 
 
 
 
• Importante escolher vetores que representem bem o campo 
vetorial. 
• Gerados computacionalmente por conta do grande volume de 
cálculos. 
• Representação bidimensional é mais adequada. 
 
4 
Exemplo 01: 
• Descreva o campo vetorial 
 F(x,y) =-yi + xj 
 Para os pontos especificados na tabela abaixo: 
 
5 
(x,y) F(x,y) 
(1,1) 
(-1,1) 
 
(-1,-1) 
 
(1,-1) 
 
Campos de quadrado inverso: 
• DEFINIÇÃO: Se r for um vetor posição do espaço bi o 
tridimensional e c uma constante, então o campo vetorial da 
forma: 
 
 
é denominado campo de quadrado inverso 
Note que: 
 
 
6 
3
( )
c
F r r
r

3 2
( )
c c
F r r
r r
 
A grandeza F(r) é 
inversamente 
proporcional ao quadrado 
da distância entre o ponto 
final de r e a origem. 
Campos vetoriais quadrados inversos 
 c < 0 
 
 
 c > 0 
7 
Campos gradiente 
• Campo gradiente de φ = Campo vetorial no espaço 
tridimensional. 
 
 
 
 
• Em cada ponto de um campo gradiente em que o 
gradiente não for nulo, o vetor aponta na direção em 
que é máxima a taxa de aumento de uma função φ 
 8 
i j k
x y z
        
  
Exemplo 02 
9 
Esboce o campo gradiente da função: 
( , )x y x y  
Campos conservativos e função 
potencial 
10 
Exemplo 03 
• Prove que a função φ dada abaixo é uma função potencial de 
um campo de quadrado inverso: 
 
 
 
 
Dica: Considere que 
11 
2 2 1/2
( , )
( )
c
x y
x y
  

2 2 3/2
( , ) ( )
( )
c
F x y xi yj
x y
 

Divergência 
 
• Divergência: maneira como um fluido se 
aproxima ou se afasta de um ponto. 
 
 
 
12 
Rotacional 
• Rotacional: propriedades de rotação do fluido. 
 
13 
Exemplo 03 
• Calcule a divergência e o rotacional do campo 
vetorial 
 
 
14 
2 3( , , ) 2 3F x y z x yi y zj zk  
Operador del 
• Operador : pode ser aplicado a qualquer função. 
 
 
 
 
• Permite expressar a divergência e o rotacional como: 
 
 
 
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Operador Laplaciano 
• Operador del aplicado a si mesmo: 
 
 
 
 
 
• Pode ser aplicado a qualquer função. 
 
 
16 
2 2 2
2
2 2 2x y z
  
    
  