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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
FACULDADE DE ESTATÍSTICA - CURSO DE BACHARELADO EM ESTATÍSTICA
ESTATÍSTICA DESCRITIVA – Profa. Dra. Silvia dos S. de Almeida
1
APOSTILA
DE
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Profa. Silvia dos Santos de Almeida, Dra.
Belém – Setembro de 2013
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA – Profa. Dra. Silvia dos S. de Almeida
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DISCIPLINA: (EN 0707) Estatística Descritiva - CH Semestral: 90 h
Plano de Ensino - 4º Perí odo/2013
EMENTA: Conceitos Fundamentais, Fases do Trabalho Estatístico, Medidas de Tendência Central,
Medidas de Dispersão, Momentos, Assimetria e Curtose, Correlação Linear Simples, ajustamento,
Números Índices.
OBJETIVO: Possibilitar ao aluno o entendimento e a aplicação de técnicas estatísticas na análise
de dados.
PROCEDIMENTOS DIDÁTICOS: aulas expositivas com uso de quadro negro/ e ou outros
recursos didáticos, além de aulas práticas no Computador e resolução de lista de exercícios.
PROGRAMA
1. Conceitos Fundamentais e Regra de Arredondamento: Estatística (descritiva e
Inferencial), população, amostra, amostragem, variáveis, parâmetro, estimador, estimativa e
Regras de Arredondamento.
2. Fases do Trabalho Estatístico: O método estatístico: Planejamento, coleta de dados,
critica apuração, apresentação e analise dos dados.
3. Medidas de Tendência Central e Separatrizes: médias, moda, mediana, quartis,
percentis, decis e processo gráfico (Box plot).
4. Medidas de Dispersão: amplitude total, desvio médio, variância, desvio padrão e
coeficiente de variação.
5. Momentos: absolutos, centrado numa origem qualquer, centrado na média.
6. Assimetria e Curtose: conceitos, tipos de assimetria e calculo, tipo de curtose e calculo
7. Correlação Linear Simples: conceito, diagrama de dispersão e coeficiente de correlação.
8. Regressão Linear: Conceito, construção do modelo, método de mínimos quadrados,
aplicação.
9. Ajustamento: curva polinomial, exponencial, Gompertz e Logistica
10. Números Índices: conceito, tipos de índices (aritmético e ponderado), números índices
complexos e mudança de base.
IBGE. Centro de Documentação e Disseminação de Informação. Normas de apresentação
tabular/Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, Centro de Documentação e
Disseminação de Informações. 3ª Ed. Rio de Janeiro, 1993. 62 p.
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1. Alguns Conceitos Importantes
1.1 - Estatística
A literatura de estatística apresenta várias definições de Estatística, desde as mais simples
até as mais complexas. Como por exemplo, a apresentada em Dugé de Bernonville, que julga-se ser
simples e fácil de ser memorizada:
“Estatística é um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para estudar e medir
os fenômenos coletivos”.
Ou ainda Estatística é a ciência que se preocupa com coleta, análise, interpretação e
apresentação dos dados, permitindo-nos a obtenção de conclusões válidas a partir destes dados,
bem como a tomada de decisões razoáveis baseadas nessas conclusões. Didaticamente está
dividida em duas partes:
1.1.1 - Estatística Descritiva
É aquela que se preocupa com a coleta, análise, interpretação e apresentação dos dados
estatísticos.
1.1.2 - Estatística Indutiva
Também conhecida como amostral ou inferencial, é aquela que partindo de uma amostra,
estabelece hipóteses sobre a população de origem e formula previsões fundamentando-se na teoria
das probabilidades.
1.2 - População
É todo conjunto, finito ou infinito, em um determinado período de tempo, que possui ao
menos uma característica em comum entre todos os seus elementos componentes. Onde os estudos
destas populações podem ser feito de duas formas:
a) Censo: É a coleta exaustiva das informações de todas as “N” unidades da população.
b) Amostra: É um subconjunto, uma parte selecionada da totalidade de observações abrangidas
pela população da qual se quer inferir alguma coisa.
1.3 - Amostragem
É o processo ou técnica de coleta das informações de parte da população - “n” - chamada
amostra, mediante métodos adequados de seleção destas unidades.
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1.6 - Experimento Aleatório
É todo experimento que efetuado repetidas vezes, sob condições praticamente idênticas, se
obtém resultados que não são essencialmente os mesmos.
Exemplo: Na jogada de uma moeda o resultado do experimento é o aparecimento de uma “cara” ou
uma “coroa”.
1.7 - Variável
É o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno (resposta), ou ainda é (ou são) a (as)
característica(s) da população que se pretende conhecer. E didaticamente pode classificar conforme
Quadro 1 a seguir:
Quadro 1: Esquema de classificação de variáveis.
Variável
Qualitativa
Nominal
Ordinal
Quantitativa
Discreta
Contínua
1.7.1 - Variáveis Qualitativas
É quando se obtém como resposta palavras. Se existir uma ordem natural nas respostas, se
diz que a variável é qualitativa ordinal, caso contrario ela é dita variável qualitativa nominal.
Exemplos:
A Intenção de voto a um determinado candidato (A), a resposta (variável) é sim ou não.
Avaliação dos alunos, a resposta (variável) é: Insuficiente, Regular, Bom e Excelente.
1.7. 2 - Variáveis Quantitativas
É quando se obtém como resposta números. Podem ser ditas Discretas, quando obtidas por meio
de contagem ou Contínuas quando obtidas por meio de medições.
Exemplos:
Número de filhos. (discreta)
Temperatura numa cidade. (continua)
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Exercício:
1. Classifique as variáveis abaixo:
a) Número de filhos dos funcionários de uma escola.
b) Altura dos estudantes da turma A do Ensino Fundamental de uma escola.
c) Cor dos cabelos dos alunos de uma faculdade.
d) Salário dos professores de uma escola.
e) Número de indivíduos nas famílias dos moradores de um conjunto residencial.
f) Estado civil dos funcionários de uma escola.
g) Comprimento dos pregos produzidos por uma máquina.
h) Número de peças defeituosas fabricadas por uma máquina diariamente.
1.8 – Parâmetro: São valores singulares que existem na população e que servem para caracterizá-
la. Para obter o valor de um parâmetro se deve examinar toda a população.
Exemplo: A estatura média () dos alunos da UFPA.
1.9. Estimativa: é um valor aproximado do parâmetro e é calculado com o uso da amostra.
Exemplo: com base em uma amostra obteve-se a estatura média dos alunos da UFPA é de 1,70.
1.10. Estimador: é a forma de se obter a estimativa.
Exemplo:
.,,2,1,1 ni
n
x
média
n
i
i
1.11- Arredondamentos de Números
Conforme IBGE (1993) as regras de arredondamento são:
Regra 1 - Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for: 0, 1, 2, 3 e 4. Fica inalterado o último
algarismo a permanecer.
Exemplo - arredondar para uma casa decimal os números:
53,24 53,2 ; 88,01 80,0 ; 10,43 10,4
Regra 2 - Quando o primeiro algarismoa ser abandonado for: 5 , 6, 7, 8 ou 9. Aumenta-se uma
unidade no algarismo a permanecer.
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Exemplo - arredondar para uma casa decimal os números:
53,25 53,3 ; 88,09 88,1 ; 10,47 10,5
Observação - Não se deve fazer arredondamentos sucessivos, se houver necessidade de um novo
arredondamento, fica recomendado a volta aos dados originais.
2. FASES DO TRABALHO ESTATÍSTICO
2.1 - FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO
1º - DEFINIÇÃO DO PROBLEMA: Saber exatamente aquilo que se pretende pesquisar é o
mesmo que definir corretamente o problema.
2º - PLANEJAMENTO: Como levantar informações? Que dados deverão ser obtidos? Qual
levantamento a ser utilizado? Censitário? Por amostragem? E o cronograma de atividades? Os
custos envolvidos? etc.
PLANEJAMENTO
COLETA DE DADOS
CRITICA DOS DADOS
APURAÇAO DOS DADOS
EXPOSIÇAO DOS DADOS
ANALISE E
DIVULGAÇAO DOS
RESULTADOS
Definição do
Problema
Método Estatístico – fluxograma
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3º - COLETA DE DADOS: Fase operacional. É o registro sistemático de dados, com um objetivo
determinado.
Dados primários: quando são publicados pela própria pessoa ou organização que os tenha
recolhido. Ex: tabelas do censo demográfico do IBGE.
Dados secundários: quando são publicados pro outra organização. Ex: quando determinado jornal
publica estatísticas referentes ao censo demográfico extraídas do IBGE.
OBS: É mais seguro trabalhar com fontes primárias. O uso da fonte secundária traz o grande risco
de erros de transcrição.
Coleta Direta: quando é obtida diretamente da fonte. A coleta direta pode ser: contínua (registros
de nascimento, óbitos, casamentos, etc.), periódica (recenseamento demográfico, censo industrial) e
ocasional (registro de casos de dengue).
Coleta Indireta: É feita por deduções a partir dos elementos conseguidos pela coleta direta, por
analogia, por avaliação, indícios ou proporcionalidade.
Instrumento de Coleta: é um instrumento para levantar informações a que se deve responder sem a
interferência do avaliador/pesquisador (Questionário). Geralmente usa-se o termo “questionário”
para designar qualquer instrumento de coleta de informações. No entanto, quando este instrumento
é preenchido pela população-alvo da avaliação o termo técnico para designá-lo é “Formulário”.
4º - APURAÇÃO DOS DADOS: Resumo dos dados através de sua contagem e agrupamento. É a
condensação e tabulação de dados.
5º - APRESENTAÇÃO DOS DADOS: Há duas formas de apresentação, que não se excluem
mutuamente. A apresentação tabular, ou seja, é uma apresentação numérica dos dados em linhas e
colunas distribuídas de modo ordenado, segundo regras práticas fixadas pelo Conselho Nacional de
Estatística. A apresentação gráfica dos dados numéricos constitui uma apresentação geométrica
permitindo uma visão rápida e clara do fenômeno.
6º - ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS: A última fase do trabalho estatístico é a mais
importante e delicada. Está ligada essencialmente ao cálculo de medidas e coeficientes, cuja
finalidade principal é descrever o fenômeno (estatística descritiva). Na estatística indutiva as
interpretações dos dados se fundamentam na teoria da probabilidade.
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3. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL.
Torna-se necessário, após a tabulação dos resultados e da representação gráfica, encontrar valores
que possam representar a distribuição como um todo. São as chamadas medidas de tendência
central ou medidas de posição.
I - CONCEITO: as medidas de posição ou também conhecidas como medidas de tendência central
compõem-se de um número que representa um conjunto particular de informações. Geralmente se
localizam em torno do centro da distribuição, onde a maior parte das observações tende a concentra-
se.
3.1 - MÉDIA ARITMÉTICA ( ): consiste em somar todas as observações ou medidas
dividindo-se o resultado pelo número total de valores. Didaticamente têm-se duas formas de
calcular uma média aritmética:
1º Caso - Quando se estiver trabalhando com dados brutos (dados que não foram tabulados em
distribuições de frequência). Neste caso utiliza-se a Equação (3.1).
n
n
i
ix
n
nxxxX
121 , (3.1)
onde x1, ...,xn são os valores da variável de interesse e n é a quantidade desses valores.
Exemplo resolvido: seja o conjunto X = {2, 3, 5, 7, 6}, calcule a média.
= (2 + 3 + 5 + 7 + 6) / 5 = 4,6
Exercício: se um estudante recebe nota 5 no primeiro dia de aula, 7 no segundo, 9 no terceiro, 10
no quarto e 6 no quinto, qual a nota média deste aluno?
2º Caso - Quando se estiver trabalhando com dados Tabulados (dados que foram tabulados em
distribuição de frequência). Neste caso utiliza-se a Equação (3.2).
n
i
i
n
i
ii
f
xf
X
1
1 , (3.2)
Onde: fi = frequência simples da classe i e xi = ponto médio da classe i.
X
X
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3.1.1. PROPRIEDADES DA MÉDIA
A soma algébrica dos desvios de um conjunto de números em relação à média é zero.
00
11
n
i
ii
n
i
i XxfouXx
A soma dos quadrados dos desvios de um conjunto de números xj, em relação a qualquer número
a, é um mínimo quando a = média e somente neste caso.
..
1
2
1
2
Xasemínimoaxfoumínimoax
n
i
ii
n
i
i
Se n1 números têm média
1x
, n2 números têm média
2x
, . . ., nk números têm média
kx
, a média
do conjunto formado por todos os números é dada pela expressão:
k
j
j
k
j
jj
n
nx
X
1
1
.
Somando-se (ou subtraindo-se) um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de um
conjunto de números, a média aritmética fica somada (ou subtraída) por essa constante. Ou Seja,
se
nxxxX ,,, 21
e seja X0 uma constante escolhida arbitrariamente. Faça Y = X- X0 ou
Y = X- X0 , tem-se:
00 xxYouxxY
Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada elemento de conjunto de números por um valor constante
e arbitrário, a média fica multiplicada (ou dividida) por essa constante. Sejam
nxxxX ,,, 21
e seja c uma constante escolhida arbitrariamente. Faça Y = cX ou
c
XY
, tem-se:
c
xYouxcY
Observação: a média tem a desvantagem de ser sensível a valores aberrantes ou outliers.
Exemplo: Calcule o salário médio dos funcionários da Escola W no ano de 2012.
Tabela 3.1: SALÁRIOS DOS PROFESSORES DA ESCOLA W - ANO DE 2012
Unidade Monetária Nº de Empregados (fi)
1 |--- 3
3 |--- 5
5 |--- 77 |--- 9
9 |--- 11
11 |--- 13
17
30
45
52
36
20
200
Fonte: Dados Hipotéticos
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3.2. MÉDIA GEOMÉTRICA: é definida, genericamente, como a raiz enésima do produto de
todos os seus valores, e define-se, para variáveis que não assumam valores negativos ou nulos. A
média geométrica pode ser simples ou ponderada, conforme se utilize ou não em seu cálculo uma
tabela de frequência.
a) Média geométrica simples - dados n valores x1, x2 , ..., xn , a média geométrica desses valores
será:
n
ixMg
Exercício: Calcule a média geométrica do seguinte conjunto de números: x = (2, 2, 2, 2)
b) Média geométrica ponderada - dado um conjunto de números dispostos em uma tabela de
frequências, tem-se:
i
i
f
f
ixMg
observação: em geral é calculada utilizando o emprego de logaritmos. (
n
i
ing
xM
1
1 lnln
)
Exercício: Calcular a média geométrica dos valores constantes da Tabela 3.1
3.3 - MÉDIA HARMÔNICA: é o inverso da média aritmética dos inversos. Aplica-se em
situações em que não faz sentido somar os valores da variável por haver proporcionalidade inversa.
a) Média harmônica simples - dado o conjunto de n valores x1 , x2, ..., xn , a média harmônica do
conjunto será:
n
i
xi
n
Mh
1
1
Exercício: Calcular a média harmônica simples do seguinte exemplo y = (2, 2, 2, 2)
b) Média harmônica ponderada
n
i
x
f
n
i
i
i
i
f
Mh
1
1
Exercício: calcular a média harmônica dos dados da Tabela 3.1
Observação: (Murteira e Black, 1983), A média harmônica é menor ou igual à média geométrica
para valores da variável diferentes de zero, que por sua vez é menor ou igual a média aritmética.
XMM gh
.
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3.4 - MÉDIA QUADRÁTICA OU RAÍZ MÉDIA QUADRÁTICA: é definida como,
Para dados Simples é
n
x
QMR
n
i
i
1
2
..
e para dados Tabelados
n
i
i
n
i
i
f
xf
QMR
i
1
1
2
.. .
Exemplo: Obter a RMQ dos números 1,3,4,5 e 7 .
Fórmula Geral das Médias
As médias aritméticas, geométrica e harmônica são casos particulares da formula geral das médias
ou média de ordem
q
,
,
1
1
qn
i
q
i
n
x
qM
que se obtêm fazendo respectivamente
1q
,
0q
,
1q
.
OBSERVAÇÃO: quando se tem valores “extravagantes”, pode-se utilizar as chamadas médias
aparadas, pois esta atribui menor ponderação a esses valores. Uma média aparada a
%100
,
simbolicamente
T
, é obtida eliminando
%100
das menores e maiores observações e
calculando a média simples das restantes. Por exemplo: Dado 20 observações,
2021 ,,, xxx
,
tem-se a média aparada a 10% igual a,
16
10,0 1843
xxx
T
a média aparada a 25% ,
10
25,0 1576
xxx
T
.
O problema da escolha do “melhor”
não cabe neste momento (disciplina). Porém, pode-
se dizer que a quantidade “ideal” para aparar está diretamente relacionada com o peso das caudas da
distribuição da população de onde veio a amostra:
(a) se as caudas são neutras (distribuição gaussiana), a média
0
é a melhor medida de
localização em termos de “eficiência” (nenhuma ou pouca perda de informação);
(b) se as caudas são ligeiramente pesadas, para pequenas amostras
5n
a medida mais eficiente
é a média aparada a 25% (meia média); para amostras ligeiramente maiores
2010 n
a
medida mais eficiente é a média aparada a 10%;
(c) se as caudas são pesadas (Cauchy, etc.), a medida mais eficiente é a mediana.
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3.5. MODA (Mo): é o valor que está em evidencia, o valor que mais aparece num conjunto de
informações ou o de maior frequência em uma tabela. A moda pode não ser única ou ate mesmo
pode não existir.
3.5.1 - MODA DE VALORES BRUTOS: basta observar o valor que mais aparece no conjunto.
Exemplo: 3 ; 3 ; 6 ; 8 ; 10 ; 10; 10; 11; 11; 12 Mo = 10.
3.5.2 - MODA DE VALORES TABELADOS: na literatura existem pelo menos três métodos de
se calcular a moda de dados tabelados, porém neste curso utilizam-se somente dois métodos (Moda
Bruta e Moda de Czuber).
1º passo: identificar a classe modal (em uma distribuição de frequência chama-se classe modal à
classe que possui maior frequência simples).
2º passo: aplica-se a formula de acordo com o tipo de moda solicitada.
Moda Bruta: como o ponto médio é representativo de qualquer classe de frequências, chama-
se moda bruta ao ponto médio da classe modal.
2
)(
si
fidebrutaO
ll
XM
Moda de Czuber: método conhecido como método eficiente, e consiste na aplicação da
formula:
h
fff
ff
lMo
postantMo
antMo
i
2
,
onde:
li
fpost
fant
h
fMO
=
=
=
=
=
Limite inferior da classe modal;
Frequência simples posterior à classe modal;
Frequência simples anterior à classe modal;
Intervalo de classe;
Frequência modal.
EXERCÍCIO - Dada a tabela abaixo, Pede-se:
Tabela 3.2: Notas dos alunos de Estatística
no Instituto Datavox, ano de 2012
NOTAS fi
1 |-- 3
3 |-- 5
5 |-- 7
5
7
8
20
Fonte: dados hipotéticos
a) A média aritmética da distribuição;
b) A média harmônica da distribuição;
c) Calcule a média geométrica da distribuição;
d) A moda da distribuição pelo processo de
Czuber;
e) A moda bruta da distribuição.
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3.6 - MEDIDAS SEPARATRIZES:
Estas medidas dividem o conjunto de dados (distribuição) em partes (2, 4, 10 e 100) iguais
a) MEDIANA (Me): é o valor central em um rol, ou seja, a mediana de um conjunto de valores ordenados, ou
ainda a mediana divide a distribuição ao meio.
MEDIANA DE VALORES BRUTOS
Ordenar os valores em ordem crescente (Rol);
Verifica se o número de elementos é par ou ímpar;
Se n for ímpar, a posição da Me no conjunto, será o valor localizado na posição dada por:
2
1 nP
;
Se n for par, o conjunto terá dois valores centrais, neste caso, a Me será igual à média aritmética dos
valores centrais, cujas posições são dadas por:
P1 = n / 2 e P2 = (n / 2) + 1
Exemplo: Em um grupo de 6 alunos cujas as alturas medidas em centímetros fossem as seguintes: 183 cm,
170 cm, 165 cm, 180 cm, 185 e 160 cm, qual a altura mediana deste grupo de pessoas?
MEDIANA DE VALORES TABELADOS
Calcula-se primeiro a posição da mediana na tabela: P = fi / 2;
A mediana é dada por:
h
f
F
lMe
i
aa
f
i
n
i
i
2
1
onde:
li
Faa
fi
h
=
=
=
=
Limite inferior da classe da mediana;
Frequência acumulada anterior da classe da Me;
Frequência simples da classe da mediana;
Intervalo de classe.
Observação 1: a mediana é muito utilizada em pesquisas onde não interessam valores extremos, por terem
pouca significação para o conjunto em geral.
Observação 2: quando não se tem os dados originais, é valida a seguinte relação empírica
2
3 oMMex
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b) Quartis (Qi): são os valores que dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais, representados por
Q1, Q2 e Q3 denominam-se primeiro, segundo e terceiro quartis, respectivamente, sendo o valor de Q2 igual à
mediana. Assim, tem-se;
0% ----------------- 25% ----------------- 50% ----------------- 75% ----------------- 100%
Q1 Q2 Q3
A formula para determinação dos quartis para dados agrupados é semelhante à usada para o cálculo da
mediana.
Determinação de Qi:
1º passo: calcula-se a posição ;
4
1
n
i
ifi
p
2º passo: identifica-se a classe Qi pela coluna das Frequências Acumuladas;
3º passo: Aplica-se a fórmula:
.3,2,1,4
1
iparah
f
F
lQ
i
n
i
i
i
iQ
aa
fi
iQi
onde:
i
liQi
Faa
fiQi
h
=
=
=
=
=
Ordem do quartil, i =1 ou 2 ou 3;
Limite inferior da classe do quartil de ordem i.
Frequência acumulada anterior da classe do quartil de ordem i;
Frequência simples da classe do quartil de ordem i;
Intervalo de classe.
Interpretação:
Q1: é o valor que ocupa a posição tal que um quarto dos dados (25%) tomam valores menores ou iguais ao
valor do primeiro quartil;
Q2 = Me: Coincide com o valor da mediana, ou seja 50% dos dados tomam valores menores ou iguais aos da
mediana. Entre o primeiro quartil (Q1) e a mediana (Me) ficam 25% dos dados;
Q3: é o valor que ocupa a posição tal que um quarto dos dados (25%) tomam valores maiores ou iguais ao
valor do terceiro quartil. Entre a mediana (Me) e o terceiro quartil (Q3) ficam 25% dos dados.
Exemplo: Considerando a Tabela 3.1 e calcule o Q1, Q2 e Q3.
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c) Decis (Di): são as medidas separatrizes que dividem a série em 10 partes iguais, e são representadas por D1,
D2, ...,D9. O quinto decil corresponde à mediana.
0% -- 10% -- 20% -- 30% -- 40% -- 50% -- 60% -- 70% -- 80% -- 90% -- 100%
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
A formula, neste caso, é semelhante à das separatrizes anteriores.
Determinação de Di:
1º passo: calcula-se a posição
10
1
n
i
ifi
p , onde i = 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
2º passo: identifica-se a classe Di pela Frequência acumulada.
3º Passo: aplica-se a fórmula:
h
f
F
lD
i
n
i
i
i
iD
aa
fi
iDi
10
1
onde:
I
liDi
Faa
fiDi
h
=
=
=
=
=
Ordem do decil, i =1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 ou 9;
Limite inferior da classe do decil de ordem i.
Frequência acumulada anterior da classe do decil de ordem i;
Frequência simples da classe do decil de ordem i;
Intervalo de classe.
Exemplo: Considerando a Tabela 3.3, calcule o D3.
d) Percentis (Pi): são as medidas separatrizes que dividem a série em 100 partes iguais, e são representadas
por P1, P2, ...,P99.
0%
--- 1% --- 2% -- 3% --- -- -- 50% --- --- --- 97% --- 98% -- 99% -- 100%
P1 P2 P3 P50 P97 P98 P99
Interpretação dos Percentis mais Importantes:
P1 1% dos dados tomam valores menores ou iguais;
P5 5% dos dados tomam valores menores ou iguais;
P10 10% dos dados tomam valores menores ou iguais;
P25 25% dos dados tomam valores menores ou iguais (Q1);
P50 50% dos dados tomam valores menores ou iguais (Q2 = Me);
P75 25% dos dados tomam valores maiores ou iguais (Q3);
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P90 10% dos dados tomam valores maiores ou iguais;
P95 5% dos dados tomam valores maiores ou iguais;
P99 1% dos dados tomam valores maiores ou iguais;
Determinação de Pi:
1º passo: calcula-se a posição
100
1
n
i
ifi
p
, onde i = 1,2,3,...,97,98 e 99.
2º passo: identifica-se a classe de Pi pela Frequência acumulada.
3º Passo: aplica-se a fórmula:
h
f
F
lP
i
n
i
i
i
iP
aa
fi
iPi
100
1
onde:
I
liPi
Faa
fiPi
h
=
=
=
=
=
Ordem do percentil, i =1; 2; ....;97; 98 ou 99;
Limite inferior da classe do percentil de ordem i.
Frequência acumulada anterior da classe do percentil de ordem i;
Frequência simples da classe do percentil de ordem i;
Intervalo de classe.
Exemplo: Considerando a Tabela 3.1, calcule o P3.
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3.7. Processo Gráfico
GRÁFICO BOX-PLOT (DIAGRAMA DA CAIXA, GRÁFICO ESQUEMÁTICO)
* Valores extremos: são valores maiores que 3× comprimentos da caixa,
a partir do percentil 75%
25% dos dados estão
acima da caixa
O
Outliers: são valores maiores que 1,5 × comprimentos da caixa, a partir
do percentil 75%
Maior valor que não é outlier
Percentil 75%
50% dos
dados estão
Mediana
dentro da
caixa
Percentil 25%
Menor valor que não é outlier
25% dos dados estão
abaixo da caixa
O
Outliers: valores menores que 1,5 ×comprimentos da caixa, a partir do
percentil 25%
*
Valores extremos: valores menores que 3× comprimentos da caixa, a
partir do percentil 25%
Obs.: Comprimento da caixa = amplitude interquartílica = Q3 - Q1
Exemplo: Monte um Box-plot para a Tabela 3.1 e interprete os resultados.
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4- MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE.
As medidas que determinam o comportamento dos valores em termos de variabilidade são chamadas
de medidas de dispersão ou de variabilidade, e as mais utilizadas são a variância e o desvio padrão.
4.1 - AMPLITUDE TOTAL: é a diferença entre o maior e o menor valor observado.
minmax XXAT
4.2 - DESVIO MÉDIO:é a média dos valores absolutos dos desvios dos dados a partir de um valor de
tendência central.
a) DESVIO MÉDIO DE VALORES BRUTOS
n
n
i
x
i
x
DM
1
)(
b) DESVIO MÉDIO DE VALORES TABELADOS
n
n
i
i
fonde
n
i
i
f
n
i
i
fx
i
x
DM
1
:,
1
1
.)(
Obs: no caso de amostra trabalha-se com n-1.
Exemplo: calcule o desvio médio da distribuição abaixo
Tabela 4.1: Notas dos alunos da disciplina Estatística
no Instituto Datavox, ano de 2012
NOTAS fi
1 |-- 3
3 |-- 5
5 |-- 7
5
3
2
Soma 10
Fonte: dados hipotéticos
4.3 - VARIÂNCIA OU VARIÂNCIA ABSOLUTA: Quando se trabalha com certo rigor de análise
estatística se faz grande uso do que é chamada a variância de uma distribuição, a qual é a média quadrática
das somas dos desvios em relação à média aritmética.
Símbolo S2 (amostra) ou 2 (população)
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a) FÓRMULA PARA DADOS BRUTOS
Processo longo Processo breve ou simplificado
1
1
)(
2
2
n
n
i
x
i
x
S
1
2
1
2
2
n
xn
n
i
i
x
S
Observação: quando se tratar de população, divide-se apenas por “N”.
Exemplo: calcular a variância dos valores amostrais: 4, 2, 3, 5 e 1.
b) FÓRMULA PARA DADOS TABELADOS:
Processo longo Processo breve ou simplificado
1
1
)(
2
2
n
n
i
x
i
xf
S
i
1
2
1
2
2
n
xn
i
f
n
i
i
x
S
Observação: quando se trata de população dividimos apenas por “N”.
Exemplo: calcule a variância da distribuição dada pela tabela 4.1.
PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA:
a) A variância absoluta de uma constante é igual a zero;
b) Somando-se ou diminuindo-se a todos os valores da série um valor constante K 0, a nova variância será
igual a anterior, isto é, não se altera.
c) Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de uma série por um valor constante, K 0, a nova
variância calculada será igual à variância absoluta original multiplicada ou dividida pelo quadrado da
constante utilizada.
4.4 - DESVIO PADRÃO OU AFASTAMENTO PADRÃO: é a raiz quadrada da variância; assim:
2SS
, é o desvio padrão amostral, ou 2 , é o desvio padrão populacional.
Resumindo: para o cálculo do desvio padrão, deve-se primeiramente determinar o valor da variância e, em
seguida, extrair a raiz quadrada desse resultado.
Exemplo 1: calcular o desvio padrão amostral dos valores: 2, 4, 5, 3 e 1.
Exemplo2: calcule o desvio padrão amostral da distribuição dada pela tabela 4.1.
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4.5- COEFICIENTE DE VARIAÇÃO: Às vezes pode-se querer comparar o grau de dispersão de
dois conjuntos de dados com unidades de medidas diferentes. Neste caso, deve-se usar o coeficiente
de variação (CV), que é uma medida de dispersão relativa, uma vez que ela não está afetada pelas
unidades da medida da variável.
CV =
100
X
S
Observação 1: Será considerada a série mais homogênea, aquela que apresentar menor valor do
coeficiente de variabilidade.
Observação 2: é uma medida estatística que serve para avaliar a homogeneidade de séries
estatísticas, que é o grau de concentração dos valores observados em torno da sua média aritmética.
Observação 3: O seu valor numérico pode ser expresso em percentual.
5 – MOMENTOS
Os momentos podem ser caracterizados como quantidades numéricas, calculados a partir de
uma distribuição de frequência e que são utilizados para fornecer descrições resumidas da
distribuição estudada.
5.1 - Momento Natural (absoluto) de Ordem “ r ”
para valores brutos:
n
x
m
n
i
r
i
r
1'
, r = 1, 2, 3 ou 4.
Observação: o momento natural de 1ª ordem (r=1) é a própria média aritmética (
Xm '1
).
Exercício: calcular os momentos naturais de ordem r = 2, r = 3 e r = 4, para os valores de x (2,3,5,7, 8)
para valores tabelados:
n
xf
m
n
i
r
ii
r
1'
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Ex: calcular os momentos naturais de 1ª, 2ª, 3ª e 4ª ordens da distribuição de frequências abaixo:
Notas dos alunos da disciplina Estatística
no Instituto Datavox , ano de 2012.
NOTAS fi
1 |-- 3
3 |-- 5
5 |-- 7
5
7
8
20
Fonte: dados hipotéticos
5.2 - Momento de ordem “r” centrado numa origem qualquer
para valores brutos:
n
xx
m
n
i
r
oi
rxo
1
Exercício: considerando a origem
4ox
, calcular o momento de segunda ordem do conjunto x = (2, 3, 5,
7, 8), em relação a origem xo.
para valores tabelados:
n
xxf
m
n
i
r
oii
rxo
1
Obs: fazendo-se xo = 0, o momento em relação à origem é igual ao momento natural.
5.3 - Momento de Ordem r Centrado na média
Para se calcular o momento centrado na média, usa-se as mesmas fórmulas do centrado numa origem
qualquer, fazendo
xxo
. Com isto, tem-se:
para valores brutos:
n
xx
m
n
i
r
i
r
1
para valores tabelados:
n
xxf
m
n
i
r
ii
r
1
Obs: O 2º momento centrado na média (r = 2), corresponde à variância da distribuição.
Ex: calcular os momentos centrados na média de 3ª e 4ª ordens da distribuição de frequências abaixo:
Notas dos alunos da disciplina Estatística
no Instituto Datavox , ano de 2012.
NOTAS fi
1 |-- 3
3 |-- 5
5 |-- 7
5
7
8
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Fonte: dados hipotéticos
Relação entre os momentos: São validas as seguintes relações entre os momentos centrados na média,
rm
, e os referidos a uma origem arbitrária
rx mo
.
4
12
2
13144
3
12133
2
122
0000
00
364
23
mmmmmmm
mmmmm
mmm
xxxxxx
xxxx
xx
oo
oo
oo
6 – ASSIMETRIA E CURTOSE
6.1 - ASSIMETRIA
É o estudo do grau de enviezamento (viés) da curva. É o grau de desvio ou afastamento do eixo de
simetria de uma distribuição Se o polígono de frequência de uma distribuição tem uma cauda mais longa, diz-
se que a distribuição é assimétrica positiva. Se for o inversoque ocorre, diz-se que ela é assimétrica negativa.
a) Simétrica
b) Assimetria Positiva
c) Assimetria Negativa
= Mo = Md
Mo < Md <
< Md < Mo
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MEDIDAS DE CALCULO:
Coeficiente do momento de assimetria: Este coeficiente pode ser definido usando o terceiro momento
centrado na média e o desvio padrão:
3
2
3
3
3
3
m
m
S
m
a
obs: para curvas perfeitamente simétricas, como a normal, a3 é nulo.
Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson:
S
MX
A 0
Segundo coeficiente de assimetria de Pearson:
S
MX
A e
3
Quando A = 0 Simétrica, se A > 0 Assimetria Positiva e se A < 0 Assimetria Negativa.
Ex: Se um conjunto possui
24X
, Mo = 25 e S = 3, Que tipo de viés possui a curva?
6.2 - CURTOSE
É o estudo do grau de achatamento de uma distribuição, considerado em relação a uma distribuição
normal. A distribuição que tem um pico alto é denominada leptocúrtica, enquanto a da curva que tem o topo
achatado é denominada platicúrtica. E a distribuição que não é nem pontiaguda e nem achatada (normal), é
denominada mesocúrtica.
Curva Mesocúrtica
Curva Platicúrtica
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Curva Leptocúrtica
MEDIDAS DE CALCULO:
Coeficiente do momento de Curtose: é definido pela divisão do momento de grau 4 centrado na média
pela variância ao quadrado. Ou seja:
2
2
4
4
4
2
m
m
S
m
b
.
Para a distribuição normal,
32 b
. Por essa razão, a curtose é definida frequentemente por
32 b
, que é positivo para uma distribuição leptocúrtica, negativa para uma platicúrtica e nulo para uma
normal.
Coeficiente percentílico de Curtose:
19
13
19 2 DD
QQ
DD
D
k
q
onde : K = coeficiente percentílico de curtose
Dq = Desvio quartílico =
2
13 QQ
D9 = 9º decil, D1 = 1º decil, Q1 = 1º quartil e Q3 = 3º quartil.
Comparação: se K = 0,263 curva de frequências mesocúrtica
se K > 0,263 curva de frequências platicúrtica
se K < 0,263 curva de frequências leptocúrtica
Ex: calcular o Coeficiente momento de curtose e o percentílico de curtose para a tabela abaixo e classifique
essa distribuição por ambos os coeficientes:
Notas dos alunos da disciplina Estatística
no Instituto Datavox , ano de 2012.
NOTAS fi
1 |-- 3
3 |-- 5
5 |-- 7
5
7
8
20
Fonte: dados hipotéticos
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7 – CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES
Frequentemente procura-se verificar se existe relação entre duas ou mais variáveis. O peso
pode estar relacionado com a idade das pessoas; o consumo das famílias pode estar relacionado com
sua renda, bem como a demanda de um determinado produto e seu preço. A verificação da
existência e do grau de relação entre variáveis é o objeto de estudo da correlação. Se um sistema de
coordenadas retangulares mostra a localização dos pontos (x, y) e se todos os pontos desse diagrama
parecem cair nas proximidades de uma reta, a correlação é denominada linear. Fazendo X a variável
independente, se Y tende a aumentar quando X cresce, a correlação é denominada positiva. Se Y
tende a diminuir quando X aumenta, a correlação é denominação negativa.
7.1. DIAGRAMAS DE DISPERSÃO
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7.2. COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO: é o instrumento de medida da correlação linear, e é
dado pelo coeficiente de correlação de Pearson.
n
Y
Y
n
X
X
n
YX
XY
r
2
2
2
2
, -1 r 1.
Exemplo 1: calcule o coeficiente de correlação linear entre as variáveis X e Y da tabela abaixo.
X 1 3 4 6 8
Y 1 2 4 4 5
8. REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
8.1 – Considerações Gerais
Na prática, constata-se frequentemente a existência de uma relação entre duas (ou mais)
variáveis e se deseja expressar tal relação sob forma matemática, estabelecendo-se uma equação
entre as variáveis. Supondo a variável X independente e a variável Y aleatória, se diz, que
xfY
.
8.2- Construção do Modelo de Regressão Linear Simples.
Dados n pares de valores de duas variáveis, Xi, Yi (i = 1, 2, ...,n), admite-se que Y é função
linear de X, ou seja
xfY
, pode-se estabelecer uma regressão linear simples , cujo modelo
estatístico é
iii XY 10
(2)
onde:
Yi é o i-ésimo valor da variável resposta; 0 e 1 são os parâmetros (coeficientes de regressão);
Xi é o i-ésimo valor da variável preditora (é uma constante conhecida, fixo).
i é o termo do erro aleatório com distribuição normal e E(i)=0 e
2
(i)=
2;
i e j não são correlacionados (i, j)=0 para todo i,j; i j; (covariância é nula).i=1,2,...,n.
Deve-se verificar também se o número de observações é maior do que o número de
parâmetros da equação de regressão. Os dados são usados para estimar 0 e 1, isto é, ajustar o
modelo aos dados. Isto geralmente é feito pelo métodos de mínimos quadrados.
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27
8.3 - Método dos mínimos quadrados
O Objetivo na aplicação típica: é prever o comportamento de uma variável
dependente (Y) a partir do valor de uma variável independente (x). Logo, Y é uma variável aleatória
cuja distribuição depende de X.
Seja as observações (Xi,Yi) i=1,..,n, temos o modelo:
n1,..,i XY iii 10
Importante: A figura mostra a distribuição de Y para vários valores de X. Mostra onde cai a
observação Y1. Mostra que o erro é a diferença entre Y1 e E(Y1). Observe que as distribuições de
probabilidade apresentam a mesma variabilidade.
Deseja-se ajustar o modelo, estimando os parâmetros desconhecidos 0 e 1.
O método de mínimos quadrados considera os desvios de Yi em relação ao seu valor esperado
(E(Yi)):
)( 10 ii XY
Elevando-se ao quadrado esses desvios e aplicando-se o somatório, temos o critério Q.
1
2
10
n
i
ii XYQ
De acordo com o método de mínimos quadrados, os estimadores de 0 e 1são os valores
0ˆ
e
1ˆ
,
respectivamente, que minimizam o critério Q para a amostra (X1,Y1),..,(Xn,Yn).- Estimadores de mínimos quadrados
Os valores de 0 e 1 que minimizam o critério Q podem ser obtidos diferenciando-se Q em
relação a 0 e 1, obtendo-se:
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n
i
iii
Q
n
i
ii
Q
XYX
XY
1
10
1
10
)(2
)(2
1
0
Iguala-se a zero as derivadas parciais, utilizando-se
0ˆ
e
1ˆ
para denotar os valores de
0
e 1
tem-se:
0ˆˆ
0ˆˆ
0)ˆˆ(
0)ˆˆ(
:se-obtem ,expandindo e ndosimplifica
0)ˆˆ(2
0)ˆˆ(2
1
2
1
1
0
1
1
10
1
1
10
1
10
1
10
1
10
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
iii
n
i
ii
n
i
iii
n
i
ii
XXYX
XnY
XYX
XY
XYX
XY
De onde, se obtém o sistema de equações normais, dado por:
n
i
i
n
i
n
i
iii
n
i
i
n
i
i
XXYX
XnY
1
2
1
1
1
0
11
10
ˆˆ
ˆˆ
As equações normais podem ser resolvidas simultaneamente para
0ˆ
e
1ˆ
(estimadores pontuais):
XYXY
n
X
X
n
YX
XY
iin
XX
YYXX
i
ii
11
1
0
2
2
)(
))((
1
ˆˆˆ
ˆ
2
Onde: n = número de observações;
n
xX
= média de X e
n
y
Y
= média de Y.
- Portanto a reta estimada será:
ii XY 10
ˆˆˆ
.
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Exercício – Utilizando-se os dados abaixo,
Quantidade (X) 10 11 12 13 14 15
Custos (Y) 100 112 119 130 139 142
a) Construa o diagrama de dispersão;
b) Calcule o coeficiente de correlação linear;
c) Ajuste uma reta aos dados;
d) Qual é o custo para 16 unidades?
8.4 - Aplicação a séries de Tempo
Quando se utiliza uma série de temporal é necessária uma transformação na variável X para
facilitar os cálculos. Em geral se se tem um número ímpar de elementos (n) deve-se centra a
variável X em zero, e proceder a uma escala de números naturais. Por exemplo, para n=5, tem-se X
(-2, -1, 0, 1, 2). No caso de n par o procedimento pode se de apenas excluir o zero, ou seja, para
n=4, tem-se X (-2, -1, 1, 2).
Exercício:
1. As importações de determinada matéria prima, no período de 2004 a 2010, encontram-se na
tabela a seguir:
Ano 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Quantidade (ton) 50 47 35 30 24 10 16
Pede-se:
a) Construir um diagrama de dispersão;
b) Estimar a equação de regressão linear da quantidade sobre o tempo;
c) Estimar a quantidade para 2011.
9. Ajustamento de Curvas
9.1 - Considerações Gerais: a determinação de equações de curvas que se ajustem a determinados
conjuntos de dados observados é chamado de ajustamento de curvas, onde ajustar, significa estimar
uma variável dependente em função de outra independente. Porém, é necessário inicialmente
identificar a curva matemática que mais se aproxima dos pontos característicos do fenômeno, e isto
depende do conhecimento algébrico de cada um, a curva mais comum é a linear, vista anteriormente
no capitulo 8. Porém, quando os dados se afastam da linearidade, deve-se cogitar outra curva que
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não seja a linha reta. A seguir apresentam-se outras curvas não lineares, porém possíveis de
ajustamento.
a) Curva Polinomial: Uma linha de tendência polinomial pode ajustar uma curva quando os
dados têm diversas variações. Por exemplo, de grau 2, neste caso se possui apenas um
máximo ou um mínimo relativo, pois se trata de uma parábola:
2cxbxay
,
A seguir um exemplo gráfico da curva polinomial de grau 2
b) Curva Exponencial: é muito útil para os casos em que a variável dependente varia com uma
taxa percentual constante. E sua equação é dada por:
bxeay
Um exemplo gráfico é apresentado a seguir
c) Curva de Gompertz: é uma curva sigmoidal, ela descreve um crescimento cuja taxa relativa
decresce exponencialmente como função do tempo.
ctbeeay
A figura a seguir é uma representação da curva de crescimento Gompertz.
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d) Curva de Lorenz: é um simples instrumental gráfico e analítico que nos permite
descrever e analisar a distribuição relativa de uma variável em um domínio determinado. O
domínio pode ser o conjunto de pessoas de uma região ou país, por exemplo. A variável
cuja distribuição se estuda pode ser a renda das pessoas. A curva é traçada considerando-se
a percentagem acumulada de pessoas no eixo das abscissas e a percentagem acumulada de
renda no eixo das ordenadas.
A equação (modelo) de Lorenz é comumente definida como três equações diferenciais
ordinárias, como aliada
=
=
e) Logistica: é uma curva também sigmoidal, porém descreve um crescimento cuja a taxa
relativa decresce linearmente como função do tempo.
x
x
e
e
y
1
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A figura a seguir é uma representação da curva de crescimento logística.
TAREFA EXTRA: Pesquise e apresente para cada uma das curvas dadas anteriormente, um
exemplo resolvido.
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10. NÚMEROS ÍNDICES
São medidas estatísticas usadas para comparar grupos de variáveis relacionadas entre si e para obter
um quadro simples e resumido das mudanças significativas ocorridas ao longo do tempo ou em
diferentes lugares.
10.1- RELATIVOS DE PREÇO, QUANTIDADE E VALOR
Tratam-se dos números índices mais simples, relacionando o preço ou a quantidade ou ainda o valor
de um produto numa época atual (a) com uma época base (b). Assim, para um produto:
bP
= Preço da Época Base
aP
= Preço da Época Atual
bq
= Quantidade da Época Base
aq
= Quantidade da Época Atual
bV
= Valor da Época Base
aV
= Valor da Época Atual
Assim, Tem-se
Relativo de Preço b
a
ab
P
P
P ,
Relativo de Quantidade b
a
ab
q
q
q ,
Relativo de Valor b
a
ab
V
V
V ,
onde, aaa qPV e bbb qPV .
Exemplo - Em 2002, uma empresa vendeu 500 unidades de um produto ao preço unitário de R$
40,00. Em 2003, vendeu 700 unidades do mesmo produto ao preço unitário de R$80,00. Determine
os relativos de preço, quantidade e de valor para o produto, tomando como base2002.
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10.2 - TIPOS DE NÚMEROS ÍNDICES
Quando se pretende avaliar a variação de preços, entre duas épocas, por exemplo, de dez artigos,
através de um número-resumo (Índice), o cálculo dos relativos visto anteriormente representa
apenas o primeiro passo para a solução do problema. Sem levar em consideração a importância
relativa de cada item, existem várias proposições no que diz respeito aos métodos de cálculo: Média
Aritmética, Geométrica e Harmônica Simples, Índice Agregativo Simples e Mediana.
1 - Número Índice Aritmético Simples (ou Média Aritmética Simples de Relativos)
Basta calcular o valor dos relativos de todos os itens considerandos e, em seguida, aplicar a fórmula
da média aritmética.
a) Índice Aritmético Simples de Preços
n
P
P
ab
ab
,
,
,
onde
abP ,
= Relativos de Preços dos Itens considerados;
n = Número de Itens Considerados.
b) Índice Aritmético Simples de Quantidade
n
q
q
ab
ab
,
,
,
onde
abq ,
= Relativos de Quantidades dos Itens considerados;
n = Número de Itens Considerados.
2 - Número índice aritmético ponderado (IAP)
Seu cálculo é uma média aritmética ponderada, em que as variáveis são os números relativos e os
fatores de ponderação as quantidades originais do período dado (atual).
aiq
aiqbaiP
baIAP
)(
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III - NÚMEROS ÍNDICES OU COMPLEXOS
Estes índices também são chamados de índices agregativos ponderados. A ponderação proposta
nestes índices baseia-se na participação de cada bem no valor transacionado total e é feita, em geral,
segundo dois critérios: peso fixo na época básica ou peso variável na época atual.
1 - Números índices complexos de Laspeyres (ou método da época-base)
Neste índice, a base de ponderação é a época básica; daí a denominação método da época básica.
a) Números Índices de Laspeyres de Preço - abPL ,
ibqibP
ibqiaP
abPL ,
onde :
abPL ,
= Índice de Preço de Laspeyres
iaP
= Preços da Época Atual
ibq
= Quantidade da Época Base
ibP
= Preços da Época Base
b) Números Índices de Laspeyres de Quantidade abQL ,
O índice de quantidade, pelo método de Laspeyres, é obtido permutando-se p e q da expressão de
preços.
ibPibq
ibPiaq
abQL , ,
onde
abQL ,
= Índice de Quantidade de Laspeyres
iaq
= Quantidade da Época Atual
ibq
= Quantidade da Época Base
ibP
= Preços da Época Base
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2 - Números índices de Paasche ou Método da época atual
Neste índice, a base de ponderação é a época atual, daí a denominação método da época atual.
a) Número índice de Paasche de Preços abPP ,
iaqibP
iaqiaP
abPP ,
onde :
abPP ,
= Índice de Preço de Paasche
iaP
= Preços da Época Atual
iaq
= Quantidade da Época Atual
ibP
= Preços da Época Base
b) Números índices de Paasche de Quantidade abQP ,
ibqiaP
iaqiaP
abQP ,
onde
abQP ,
= Índice de Quantidade de Paasche
iaP
= Preço da Época Atual
iaq
= Quantidade da Época Atual
ibq
= Quantidade da Época Base
Exemplo - Dada a tabela abaixo, calcule os índices de preço e quantidade de Laspeyres e Paasche.
2011 2012
PRODUTOS Preço Qtde. Preço Qtde.
A
B
C
3
4
7
2
6
4
1
5
3
4
2
2
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10.3 - MUDANÇA DE BASE DOS NÚMEROS ÍNDICES
Na prática, é desejável que o período-base escolhido, para fins de comparação, seja de
estabilidade econômica e não esteja muito distante no passado; de tempos em tempos, entretanto,
pode ser necessário mudar o período-base (mudança de base)
A mudança de base é feita dividindo-se os números índices de uma série original pelo
índice correspondente à nova época-base.
Obs.: a mudança de base não é valida para os índices complexos, visto estes apresentarem
pesos variáveis, exigindo a mudança no período de referência mudança nos pesos.
Ex: Na tabela abaixo, encontra-se a produção anual de tratores no período de 2006 a 2012. Reduzir
os dados a quantidades relativas, utilizando como base o ano de 2006.
ANOS 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
TRATORES 71 59 55 64 69 47 37
