Lista de Exercícios - Integrais

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
Campus Prof. Jose´ Alo´ısio de Campos
Departamento de Matema´tica
8a. Lista de exerc´ıcios - Calculo I - Integrais- 2012.1,
1) Encontre a antiderivada, F , mais geral das func¸o˜es abaixo.
a) f(x) = 4 + x2 − 5x3 b) f(x) = cosx− 5senx c) f(x) = sen(3x)
2) Encontre a antiderivada F de f que satisfac¸a a condic¸a˜o dada.
a) f(x) = 5x4 − 2x5, F (0) = 4
3) Encontre f , onde f ′′(x) = 1 + x4/5
4) Estime a a´rea sob o gra´fico de f(x) = 25 − x2 de x = 0 ate´ x = 5 usando quatro retaˆngulos
aproximantes e extremos direitos. Esboce o gra´fico e os retaˆngulos. Sua estimativa e´ uma subestimativa
ou uma superestimativa?
5)O gra´fico da velocidade de um carro freando e´ mostrado. Use-o para estimar a distaˆncia percorrida pelo
carro enquanto os freios esta˜o sendo aplicados.
6) Expresse a a´rea sob a curva y = x5 de 0 ate´ 2 como um limite.
8)Calcule as integrais abaixo interpretando-as em termos da a´rea.
a)
∫ 3
0
x
2
− 1dx b)
∫ 0
−3
(1 +
√
9− x2)dx c)
∫ 10
0
|x− 5|dx.
9)Esboce e encontre a a´rea da regia˜o
a)entre as para´bolas y = x2 e y = 2x− x2 b)entre y = senx, y = ex, x = 0, x = pi/2
c)entre 4x + y2 = 12 e 4x = y d)limitada pela para´bola y = x2, pela reta tangente a essa
para´bola em (1, 1) e o eixo x.
10) Use o Teorema Fundamental do ca´lculo para calcular as derivadas das func¸o˜es.
a)g(x) =
∫ x
2
t2sentdt b) g(y) =
∫ y
1
lntdt
11) Use o Teorema Fundamental do ca´lculo e as propriedades da integral para calcular as seguintes inte-
grais definidas.
a)
∫ 1
0
x4/5dx b)
∫ 2
1
3
t4
dt c)
∫ 9
1
1
2x
dx
d)
∫ 1
−1 e
u+1du e)
∫ 1
0
10xdx f)
∫ 2pi
pi
cosxdx
1
g)
∫ pi
−pi f(x)dx, onde f(x) =
{
x,−pi ≤ x ≤ 0
senx, 0 ≤ x ≤ pi
12) Calcule as integrais indefinidas(Aqui voceˆs podera˜o usar as mais diversas te´cnicas de integrac¸a˜o para
resolver as integrais: substituic¸a˜o, por partes, trigonome´tricas , substituic¸a˜o trigonometrica, frac¸o˜es par-
ciais.)
a)
∫
senxdx b)
∫
sec2xdx c)
∫
1
1 + x2
dx
d)
∫
cos(3x)dx e)
∫
x(4 + x2)10dx f)
∫
x senxdx
g)
∫
lnxdx h)
∫
t2 etdt i)
∫
sen3xcos2xdx
j)
∫ √
1− x2dx k)
∫
x− 1
x3 + x2
dx l)
∫
3
√
8(t− 2)6(t+ 1
2
)3dt m)
∫
x3ex
2
dx
13) Podemos calcular integrais do tipo
∫ ∞
a
f(x)dx ou
∫ b
−∞
f(x)dx ou no caso em que a func¸a˜o f tem
uma descontinuidade infinita em [a, b]. Em todos os casos tais integrais sa˜o ditas integrais impro´prias.
Definic¸a˜o:
(a)Se
∫ t
a
f(x)dx existir para cada nu´mero t ≥ a, enta˜o
∫ ∞
a
f(x)dx = limt→∞
∫ t
a
f(x)dx
(b)Se
∫ b
t
f(x)dx existir para cada nu´mero t ≤ b, enta˜o
∫ b
−∞
f(x)dx = limt→−∞
∫ b
t
f(x)dx
(c)Se f e´ cont´ınua em [a, b) e tem uma descontinuidade do tipo infinita em b, enta˜o
∫ a
b
f(x)dx =
limt→b−
∫ t
a
f(x)dx. Definimos de modo ana´logo se a descontinuidade do tipo infinita ocorrer em x = a.
As integrais impro´prias descritas acima sa˜o chamadas convergentes se os limtes correspondentes existem,
e divergentes se os limites na˜o existem.
Considerando a definic¸a˜o acima, determine se cada integral e´ convergente ou divergente. Avalie aquelas
que sa˜o convergentes.
a)
∫ 0
−∞
1
2x−5dx b)
∫∞
−∞
x
1+x2 dx c)
∫ 3
0
1√
x
dx
14)Esboce a regia˜o e encontre sua a´rea
a)S = {(x, y) ∈ R2|x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ ex} b)S = {(x, y) ∈ R2|0 ≤ y ≤ 2x2+9}
2