Prova 3 Gabarito

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Nome: Matricula:
Prova 3 de Ca´lculo 1
1. Calcule as integrais abaixo
(a)
∫
3
4 + x2
dx
(b)
∫ √
9− x2dx
(c)
∫ 2
1
x2 ln x dx
(d)
∫
x + 3
x2 − 3x + 2dx
(e)
∫ pi
2
0
sen3x√
cos x
dx
Pontuac¸a˜o: 5,0 pontos (cada item (a) vale 1,0 ponto).
Soluc¸a˜o da Questa˜o 1
(a) Observe que
Z
3
4 + x2
dx = 3
Z
1
4 + x2
dx =
3
4
Z
1
1 + x
2
4
dx
Fazendo u = x
2
, temos
du =
dx
2
⇒ 2du = dx.
Enta˜o,
Z
3
4 + x2
dx =
3
4
Z
1
1 + u2
2du
=
3
2
Z
1
1 + u2
du
=
3
2
arctg u+ C =
3
2
arctg
x
2
+ C
(b) Observe que
Z
p
9− x2dx
Fazendo x = 3sen θ, temos
dx = 3cos theta dθ.
Enta˜o,
Z
p
9− x2dx =
Z
p
9− 9 senθ(3cos θ)dθ
= 3
Z √
9 cos2(cosθ)dθ
= 9
Z
cos
2
θ dθ
= 9
Z
1 + cos 2θ
2
dθ
=
9
2
Z
1 + cos 2θdθ
=
9
2
θ +
9sen 2θ
4
+ C
=
9
2
θ +
9 sen θ cos θ
2
+ C
Como x = 3sen θ (0 < θ < pi
2
), temos:
x = 3sen θ ⇒
8
>
>
<
>
>
:
θ = arcsen
�
x
3
�
cos θ =
p
1− senθ =
√
9− x2
3
Finalmente, voltando a varia´vel inicial:
Z
p
9− x2dx = 9
2
arcsen
�
x
3
�
+
x
√
9− x2
2
+ C
(c) Inicialmente, calculemos a integral indefinida por integrac¸a˜o por partes:
Z
x
2
ln x dx =
Z
ln x
| {z }
u
x
2
dx
| {z }
dv
=
x3 ln x
3
−
Z
x3
3
1
x
dx
=
x3 ln x
3
− 1
3
Z
x
2
dx
=
x3 ln x
3
− x
3
9
+ C
Aplicando, o Teorema Fundamental do Ca´lculo, temos:
Z
2
1
x
2
ln x dx =
"
x3 ln x
3
− x
3
9
#
2
1
=
�
8 ln 2
3
− 8
9
�
−
�
ln 1
3
− 1
9
�
=
8 ln 2
3
− 7
9
(d) Observe que:
Z
x+ 3
x2 − 3x+ 2dx =
Z
x+ 3
(x− 1)(x− 2)dx
Usando a decomposic¸a˜o em Frac¸o˜es Parciais, temos:
x+ 3
(x− 1)(x− 2) =
A
(x− 1) +
B
(x− 2)
⇓
x+ 3 = A(x− 2) + B(x− 1)
Enta˜o, fazendo
• x = 1⇒ 4 = −A⇒ A = −4
• x = 2⇒ 5 = B ⇒ B = 5
Finalmente,
Z
x+ 3
x2 − 3x+ 2dx =
Z −3
(x− 1)dx+
Z
5
(x− 2)dx
= −3
Z
1
(x− 1)dx+ 5
Z
1
(x− 2)dx
= −3 ln |x− 1|+ 5 ln |x− 5|+ C
(e) Inicialmente, calculemos a integral indefinida
Z
sen3√
cos x
dx =
Z
sen2x√
cos x
sen x dx =
Z
1− cos2x√
cos x
sen x dx.
Fazendo u = cos x, temos
du = −sen x dx⇒ −du = sen x dx.
2
Enta˜o
Z
sen3x√
cos x
dx =
Z
u2 − 1√
u
du
=
Z
(u
3/2 − u−1/2)du
=
2u5/2
5
− 2u1/2 + C
=
2(cos x)5/2
5
− 2√cos x+ C
Aplicando, o Teorema Fundamental do Ca´lculo, temos:
Z
sen3√
cos x
dx =
"
5(cos x)5/2
2
− 2√cos x
# pi
2
0
= 0−
�
2
5
− 2
�
= −1
2
.
2. Calcule a a´rea da regia˜o hachurada da figura abaixo, determinada pelos gra´ficos das func¸o˜es
f(x) = x3 − x, g(x) = x− x3 e pelo circulo de centro (0, 0) e raio 1.
Pontuac¸a˜o: 2,5 pontos .
Soluc¸a˜o da Questa˜o 2
Intersec¸a˜o dos gra´ficos de f e g: Para todo x ∈ R
f(x) = g(x)⇒ x3 − x = x− x3 ⇒ 2(x3 − x) = 0
Resolvendo a equac¸a˜o temos −1, 0, 1.
(Parte 2): Ca´lculo da A´rea:
Observe que a a´rea em questa˜o e´ quatro vezes a a´rea da regia˜o hachurada no primeiro quadrante. Logo, basta
encontrar esta u´ltima.
A2 =
pi
4
|{z}
A1
−
Z
1
0
(x− x3)dx = pi
4
−
Z
1
0
xdx+
Z
1
0
x
3
dx =
pi
4
− 1
2
+
1
4
=
pi
4
− 1
4
,
onde A1 e´ a a´rea de um quarto da circunfereˆncia. Portanto, a a´rea da regia˜o hachurada e´ A = 4A2 = pi − 1 ua.
3. Dado
f(x) = x3 − x2 − x + 1, x ∈ R.
3
(a) Estude os intervalos de crescimento e de decrescimento; e determine os pontos de ma´ximo
e mı´nimo locais.
(b) Estude a concocavidade do gra´fico e destaque os pontos de inflexa˜o (cado existam).
(c) A func¸a˜o admite ass´ıntotas verticais e/ou horizontais?
(d) Esboce o gra´fico de f .
(e) Calcule a a´rea da regia˜o delimitada por y = f(x), x = −1, x = 1 e o eixo x.
Pontuac¸a˜o: 2,5 pontos .
Soluc¸a˜o da Questa˜o 3
O domı´nio de f :Dom(f) = R.
Ca´lculo da derivada Primeira e Segunda:
f
′
(x) = 3x
2 − 2x− 1 e f ′′(x) = 6x− 2.
Determinando os Pontos cr´ıticos: f ′(x) = 0↔ x = 1 ou x = − 1
3
(a) Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
• x < − 1
3
⇒ f ′(x) > 0⇒ f e´ crescente.
• − 1
3
< x < 1⇒ f ′(x) < 0⇒ f e´ decrescente.
• x > 1⇒ f ′(x) < 0⇒ f e´ crescente.
Agora, pelo Teste da Derivada Primeira, x = − 1
3
e´ um ponto de ma´ximo local e x = 1 e´ um ponto de mı´nimo
local.
(b) Intervalos onde a func¸a˜o e´ coˆncava para baixo e/ou para cima:
• x < 1
3
⇒ f ′′(x) > 0⇒ f e´ coˆncava para cima.
• x = 1
3
⇒ f ′′(x) = 0⇒ 1
3
ponto de inflexa˜o
• x > 1
3
⇒ f ′′(x) > 0⇒ f e´ coˆncava para cima.
(c) Ass´ıntotas Horizontais, Verticais
• lim
x→+∞
(x
3 − x2 − x+ 1) = lim
x→+∞
x
3
(1− 1−
1
x2
+
1
x3
) = +∞
• lim
x→−∞
(x
3 − x2 − x+ 1) = lim
x→+∞
x
3
(1− 1−
1
x2
+
1
x3
) = −∞
Logo, y = 1 e´ ass´ıntota horizontal do gra´fico da func¸a˜o f .
Nota: Na˜o ha´ ass´ıntotas verticais e horizontais.
(d) Esboc¸o do Gra´fico:
4
(e) Ca´lculo da A´rea abaixo do gra´fico no intervalo [−1, 1]:
A(R) =
Z
1
−1
(x
3 − x2 − x+ 1)dx =
"
x4
4
− x
3
3
− x
2
2
+ x
#
1
−1
=
4
3
u.a.
Boa Prova!
5