Geom. Analítica e Álg. Linear

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Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
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DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
CARGA HORÁRIA: 60H/A 
EMENTA: 
1. Vetores no Plano e no Espaço 
2. Produto Escalar 
3. Produto Vetorial 
4. Norma; Vetor Unitário; Versor 
5. Equações de Retas 
6. Equações de planos 
7. Matrizes e Sistemas. 
VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO 
 
1. Espaço Afim 
 
Seja R o corpo dos números reais e consideremos os termos ordenados (x, y, z) 
desse corpo. O conjunto de todos esses termos ordenados é o produto cartesiano: 
R X R X R = R3 
O conjunto R3 é chamado espaço afim. Os números reais x, y, z são as 
coordenadas cartesianas ou canônicas de um ponto P do espaço afim e denominam-se 
respectivamente abscissa, ordenada e cota. 
As coordenadas canônicas do ponto P denominarão simplesmente coordenadas 
do ponto P. 
Para indicar que as coordenadas do ponto P são x, y, z, usaremos a notação 
P=(x,y,z) e leremos: “O ponto P de coordenadas x, y, z”. 
 
2. Vetor Ligado 
 
Chama-se vetor ligado de origem A (ou ligado ao ponto A) e extremidade B, ao par 
ordenado (A, B) de pontos do espaço afim R3. Na figura abaixo está representado o vetor 
ligado (A, B) pelos pontos A e B (do espaço físico), que são unidos mediante uma flecha que 
liga a origem A à extremidade B. 
 Ao invés de indicarmos por (A, B) o vetor 
ligado de origem A e extremidade B pode-se também 
usar a notação 
𝐴𝐵
 . 
 
Se 𝐴 = (𝑥𝑎 ,𝑦𝑎 ,𝑧𝑎 ) e 𝐵 = (𝑥𝑏,𝑦𝑏 , 𝑧𝑏), os números reais: 𝑥 = 𝑥𝑏 − 𝑥𝑎 , 𝑦 = 𝑦𝑏 −
𝑦𝑎 , 𝑧 = 𝑧𝑏 − 𝑧𝑎 , são as coordenadas canônicas do vetor ligado (A,B), que chamaremos 
simplesmente coordenadas do vetor ligado (A, B). 
Para indicarmos que as coordenadas canônicas do vetor ligado (A, B) são x, y, z, 
usaremos a notação: 
(A, B)=(x, y, z) 
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Exemplo: Dados em R3 dois pontos A=(-1, 2, -1) e B=(3, -2, 5) as coordenadas do 
vetor ligado (A, B) são: 
x=3-(-1)=4 
y=-2-2=-4 
z=5-(-1)=6 
 
Ou seja, (A, B)= (4, -4,6) 
 
3. Eqüipolência entre vetores ligados 
 
Dois vetores ligados (A, B) e (C,D) são eqüipolentes se têm as mesmas 
coordenadas canônicas. 
Denotaremos a relação de eqüipolência por 𝐴,𝐵 ~(𝐶, 𝐷) e leremos: “O vetor 
ligado (A, B) é eqüipolente ao vetor ligado (C, D)”. 
Quando 𝐴, 𝐵 ~(𝐶, 𝐷), a figura formada pelos pontos ABCD no espaço afim é um 
paralelogramo. 
 
 
 
 
 
 
Supondo 𝐴, 𝐵 ~(𝐶, 𝐷) e introduzindo as coordenadas dos pontos: 𝐴 =
(𝑥𝑎 ,𝑦𝑎 ,𝑧𝑎 ), 𝐵 = (𝑥𝑏,𝑦𝑏 , 𝑧𝑏), C= (𝑥𝑐,𝑦𝑐 , 𝑧𝑐 ), D= (𝑥𝑑,𝑦𝑑 , 𝑧𝑑), a condição de eqüipolência entre 
os vetores ligados (A, B) e (C, D) é expressa igualando-se as coordenadas, ou seja: 
 
( , ) ( , )
b a d c
b a d c
b a d c
x x x x
A B C D y y y y
z z z z
  

   
   
 
 
Exemplo: Dados em R3 os pontos A=(2, -1, 0), B=(-2, 3, 2), C=(4, 1, 1) e D=(0, 5, 3), 
os vetores ligados (A, B) e (C, D) são eqüipolentes. De fato: 
(A, B) = (-4, 4, 2) 
(C, D) = (-4, 4, 2) 
 
Logo, 𝐴, 𝐵 ~(𝐶, 𝐷) 
Propriedade 1: 𝑆𝑒 𝐴, 𝐵 ~ 𝐶, 𝐷 ⇒ 𝐴, 𝐶 ~ 𝐵, 𝐷 
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
b a d c c a d b
b a d c c a d b
b a d c c a d b
x x x x x x x x
A B C D y y y y y y y y A C B D
z z z z z z z z
      
 
         
       
 
 
 
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Propriedade 2: Pela definição dos vetores ligados equivalentes, facilmente 
verificamos as relações reflexiva, simétrica e transitiva, a saber: 
a) Reflexiva: 𝐴,𝐵 ~(𝐴,𝐵) 
b) Simétrica: 𝐴,𝐵 ~ 𝐶, 𝐷 ⇒ 𝐶, 𝐷 ~(𝐴,𝐵) 
c) Transitiva: 𝐴, 𝐵 ~ 𝐶, 𝐷 𝑒 𝐶, 𝐷 ~ 𝐸, 𝐹 ⇒ 𝐴,𝐵 ~(𝐸, 𝐹) 
 
4. Vetor Livre 
 
Chama-se vetor livre, ou simplesmente vetor, uma classe de equivalência de 
vetores ligados. Em outras palavras, o vetor livre é o conjunto de todos os vetores ligados que 
têm as mesmas coordenadas. O vetor livre é perfeitamente determinado por qualquer um dos 
representantes da classe. 
Assim, um vetor livre pode ser denotado por 𝐶𝑙 (𝐴,𝐵)ou simplesmente por 𝑣 , e 
lê-se: “vetor v”. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Sejam os pares de pontos do espaço afim R3: 
𝐴1 = −1,2,0 𝑒 𝐵1 = (2,3,2) 
𝐴2 = −3,4, −1 𝑒 𝐵2 = (0,5,1) 
𝐴3 = 2, −1,4 𝑒 𝐵3 = 5,0,6 
... 
𝐴𝑛 = 0,0,0 𝑒 𝐵𝑛 = (3,1,2) 
 
A cada um desses pares associamos os vetores ligados 
 𝐴1, 𝐵1 , 𝐴2, 𝐵2 , 𝐴3, 𝐵3 , … , 𝐴𝑛 , 𝐵𝑛 , cujas coordenadas são: 1 1
2 2
3 3
( , ) (3,1,2)
( , ) (3,1,2)
( , ) (3,1,2) ( , ) (3,1,2)
...
( , ) (3,1,2)n n
A B
A B
A B Cl A B v
A B
 




  


 

 
O conjunto de todos os vetores livres do espaço afim R3 é denotado por V3. É 
conveniente observar a distinção entre o conjunto R3 (espaço afim), que é o conjunto de todos 
os termos ordenados de números reais, e o conjunto V3, que é o conjunto de todos os vetores 
livres do espaço afim R3. 
Observações: 
 Daqui em diante, quando nos referirmos a vetores sem outra 
precisão, estaremos falando de vetores livres. 
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 Existe uma correspondência biunívoca entre o espaço afim R3 e o 
conjunto V3 de vetores livres, que associa a cada ponto 
𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) de R3 um vetor livre de coordenadas canônicas x, y, 
z. 
 Existe um e somente um representante de um vetor livre dado, 
ligado a um ponto dado. 
 
5. Igualdade 
Dois vetores livres são iguais se suas coordenadas canônicas são iguais ou, em 
outras palavras, se seus representantes são eqüipolentes. Em símbolos: 
Se 𝑣1 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 e 𝑣2 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 , então 𝑣1 = 𝑣2 , se e somente se: 
𝑥1 = 𝑥2, 𝑦1 = 𝑦2 𝑒 𝑧1 = 𝑧2. 
6. Adição e Subtração de vetores 
 
Chama-se soma de dois vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), que se denota 
por 𝑢 + 𝑣 , o vetor: 
𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2,𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2) 
 
Observação: A adição de vetores é uma lei de composição interna, pois, a cada 
par de vetores 𝑢 , 𝑣 ∈ 𝑉3𝑋 𝑉3, corresponde um único vetor 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑉3 . 
 
Exemplo: O vetor soma dos vetores 𝑢 = (−1, 2, 1) e 𝑣 = (−2, −5, 3) é o vetor 
𝑢 + 𝑣 = (−3, −3, 4) 
 
Chama-se subtração de vetores 𝑢 = (𝑥1,𝑦1 , 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), que se denota 
por 𝑢 − 𝑣 , o vetor: 
𝑢 − 𝑣 = (𝑥1 − 𝑥2,𝑦1 − 𝑦2 , 𝑧1 − 𝑧2) 
Exemplo: O vetor diferença dos vetores 𝑢 = (−1, 2, 1) e 𝑣 = (−2, −5, 3) é o 
vetor 
𝑢 − 𝑣 = (1, 7, −2) 
 
PROPRIEDADES: 
A adição de vetores verifica as propriedades seguintes, que resultam da definição 
dada e das regras de cálculo dos números reais: 
1º) Comutativa: 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 
2º) Associativa: 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 
3º) Existe um único vetor de V3 , denominado vetor nulo, denotado por 0 , tal que 
para todo 𝑣 ∈ 𝑉3 se tem: 
𝑣 + 0 = 0 + 𝑣 = 𝑣 
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Esse vetor 0 = (0, 0, 0) é representado por um vetor ligado em que a origem e a 
extremidade são coincidentes. 
4º) Qualquer que seja o vetor 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), existe um único vetor 𝑣 , denotado por 
−𝑣 , tal que: 𝑣 + −𝑣 = 0 
O vetor −𝑣 é o termo (−𝑥, −𝑦, −𝑧). 
Conseqüências: 
 A associativa permite definir por recorrência a soma de n vetores livres: 
2 1 2 11 ... ( ... )n n nv v v v v v v       
       
 Dados dois vetores 𝑢 e 𝑣 , existe um único vetor 𝑤
, denominado diferença 
de 𝑢 e 𝑣 , denotado por 𝑤 = 𝑢 − 𝑣 tal que: 𝑤 + 𝑣 = 𝑢 
O vetor diferença 𝑤 = 𝑢 − 𝑣 é a soma de 𝑢 com o oposto de 𝑣 . Ou seja: 
𝑤 = 𝑢 + (−𝑣 ). 
Representação Geométrica 
O vetor soma de 𝑢 com 𝑣 é representado pela diagonal 𝐴𝐷 do paralelogramo 
ABCD, sendo as “flechas” 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶 os representantes geométricos dos vetores 𝑢 e 𝑣 , 
respectivamente: 
 
 
 
Exemplo: determinar as coordenadas do vetor 𝑣 se: 𝑣 = 4, 1,0 − 2, −1, 3 +
(−1, −1,1) 
Solução: 𝑣 = 1, 1, −2 
7. Multiplicação por um escalar 
 
Definição: Dado um vetor 𝑣 ∈ 𝑉3 e um número real 𝜆 (ou escalar), chama-se 
produto escalar do vetor 𝒗 = (𝒙, 𝒚,𝒛) pelo escalar 𝜆, que denotamos por 𝜆𝑣 , o vetor: 
𝜆𝑣 = (𝜆𝑥, 𝜆𝑦, 𝜆𝑧) 
Exemplo: Se 𝑢 = (1, −1, −2) e 𝑣 = (2, −1, 3) com 𝜆 = 3, calcular 𝜆(𝑢 + 𝑣 ). 
Solução: 𝜆 𝑢 + 𝑣 = 3 3, −2, 1 = (9, −6, 3) 
PROPRIEDADES: 
Pela definição dada e pelas regras de cálculo dos números reais, verificam-se para 
a multiplicação de um vetor por um escalar as seguintes propriedades: 
 
 
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Se 𝑢 e 𝑣 pertencem a V3 e 𝜆, 𝜇 são números reais, temos: 
1º) 𝜆 𝜇𝑣 = (𝜆𝜇)𝑣 (Associativa) 
2º) 𝜆 + 𝜇 𝑣 = 𝜆𝑣 + 𝜇𝑣 (Distributiva em relação à adição de escalares) 
3º) 𝜆 𝑢 + 𝑣 = 𝜆𝑢 + 𝜆𝑣 (Distributiva em relação à adição de vetores) 
4º) 1𝑣 = 𝑣 
 
Conseqüência: 
𝜆𝑣 = 0 ⟺ 𝜆 = 0 𝑜𝑢 𝑣 = 0 
Prova: É evidente que se 𝜆 = 0 ou 𝑣 = 0 implica 𝜆𝑣 = 0 
 
Exemplo: Determinar as coordenadas do vetor: 𝑣 = 3 1, 0, 1 − 4 0, 1, 1 −
3(1, −1, 0) 
Solução: 𝑣 = 3, 0,3 + 0, − 4, −4 + −3, 3, 0 = (0, −1, −1) 
 
Exemplo: Dados os vetores 𝑢 = (−1, 4, −15) e 𝑣 = −3, 2, 5 , pede-se 
determinar um vetor 𝑥 ∈ 𝑉3, tal que 𝑢 = 2𝑣 + 5𝑥 
Solução: 
 −1, 4, −15 = 2 −3, 2, 5 + 5(𝑥, 𝑦, 𝑧) 
5 6 1 1
5 4 4 0
5 10 15 5
x x
y y
z z
    

   
       
 
8. Módulo 
Denomina-se magnitude ou módulo do vetor v, denotado 𝑣 , é o comprimento 
do segmento orientado. Logo: 
 𝑣 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
Em particular, dado o vetor 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), se 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1, então v é 
unitário. 
Exemplo: o vetor 𝑣 = 
1
 3
,
1
 6
,
1
 2
 é unitário, pois 
 𝑣 = 
1
 3
 
2
+ 
1
 6
 
2
+ 
1
 2
 
2
= 
1
3
+
1
6
+
1
2
= 
2+1+3
6
= 1 
9. Versor de um vetor 
 
O versor de um vetor 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3, denotado 𝑉𝑢 , é dado por: 
𝑉𝑢 =
1
 𝑣 
. 𝑣 =
1
 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
. 𝑣 = 
𝑥
 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
,
𝑦
 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
,
𝑧
 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
 
Exemplo: Dado o vetor 𝑣 = (1,2,2), seu módulo vale 𝑣 = 1 + 4 + 4 = 3. Seu 
versor é o vetor 
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𝑉𝑢 =
1
3
. 1,2,2 = 
1
3
,
2
3
,
2
3
 
 
10. Combinação linear de vetores 
Uma combinação linear dos vetores 𝑣1, 𝑣2,… , 𝑣𝑛 ∈ 𝑅
3 é um vetor do 𝑅3 da 
forma: 
𝑣 = 𝑎1. 𝑣1 + 𝑎2. 𝑣2 + ⋯ + 𝑎𝑛 . 𝑣𝑛 em que 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 são escalares (constantes) 
reais. 
Exemplo: Dados 𝑣1 = 1,2,3 , 𝑣2 = −1,0,4 𝑒 𝑣3 = (0,2,3) determine 
2. 𝑣1 + 3. 𝑣2 + 4. 𝑣3. 
2. 1,2,3 + 3. −1,0,4 + 4. 0,2,3 = 2,4,6 + −3,0,12 + 0,8,12 = (−1,12,30) 
 
ATIVIDADE 1 
 
1) Em R3 são dados os pontos 𝐴 = (3, −1,2) e 𝐵 = (2,3,1). Determinar as coordenadas 
dos vetores ligados (A,B) e (B,A) e fazer a representação geométrica desses vetores. 
Quais as coordenadas do vetor livre 𝑣 definido pela classe 𝐶𝑙 (𝐴,𝐵)? 
 
2) Em R3 são dados os pontos: 𝐴 = 1,2,3 , 𝐵 = 4, −2,4 , 𝐶 = −5,1,2 𝑒 𝐷 =
 −2, −3, 3 . 
Pede-se: 
a) Verificar se os vetores ligados (A,B) e (C,D) são equivalentes. 
b) Que se pode concluir dos vetores ligados (D,B) e (C,A)? 
c) Fazer a representação geométrica dos vetores livres 𝐴𝐵 𝑒 𝐶𝐷 . 
d) Que representa a figura formada pelos quatro pontos A, B, C, D? 
 
3) Se 𝐴 = (1, 2, 3) e 𝐵 = (−1, 2, 0) quais as coordenadas do ponto 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) tal 
que𝐴𝑃 = 𝐴𝐵 ? 
 
4) Se 𝐴 = (1, 2, 3) e 𝐵 = (4, −2, 4) são dois pontos quaisquer de R3 e supondo-se 
𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 quando 𝐶 = (4, 5, 0), determinar as coordenadas do ponto D. 
 
5) Dados o vetor livre 𝑣 = (3, 4, 5) e o ponto 𝐴 = (1, 7, 4) determinar as coordenadas do 
ponto B tal que: 𝐴𝐵 = 𝑣 
 
6) Se 𝐴 = (2, −3, 8) e 𝐵 = (4, 7, 10), quais as coordenadas do ponto 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) tal 
que 𝐴𝑃 = 𝑃𝐵 ? Interpretar geometricamente o resultado. 
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7) Calcular as coordenadas dos vetores: 
a) 𝑢 = 1, 2, 1 +
1
2
(0, 1, 1) 
b) 𝑣 =
3
2
 5, 0, 1 − 6(0,
4
5
, −1) 
c) 𝑤 = 5, 0, −4 −
1
2
 1, 2, 1 +
3
5
(1, −1, 1) 
 
8) Se 𝑢 + 𝑣 = 𝑢 + 𝑤 ⇒ 𝑣 = 𝑤 . Por quê? 
 
9) Calcular as coordenadas do vetor 𝑥 ∈ 𝑉3, tal que: 2𝑥 + 3 2, 1, 0 = 0 
 
10) Achar as coordenadas do vetor 𝑥 , sabendo-se que: 
1
2
+
2
3
 𝑥 + 5 
1
6
(3, 4, 0) =
1
5
(2, 1,0) 
 
11) Determinar os vetores 𝑥 e 𝑦 pertencentes a V3 que verificam o sistema: 
2 (0,2,1)
2 (1,2, 1)
x y
y x
  

  
 
 
 
 
12) Dados os vetores 𝑢 = 3, 2, 1 , 𝑣 = −4, −3, 1 𝑒 𝑤 = (2, 1, 1), pede-se determinar os 
escalares 𝜆, 𝜇, 𝜐 tais que: 𝜆𝑢 + 𝜇𝑣 + 𝜐𝑤 = (0, 0, 0). 
 
13) Sejam A, B, C, D quatro pontos de R3 e M, N os pontos médios dos segmentos AC e BD. 
Pede-se determinar a soma: 𝑆 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 + 𝐶𝐵 + 𝐶𝐷 
 
14) Dados dois pontos de R3, 𝐴 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 , 𝐵 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), mostrar que existe um 
único ponto M(denominado ponto médio do segmento 𝐴𝐵 ) tal que: 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 = 0 
sendo 0 = (0, 0, 0). Calcular as coordenadas de M em função das coordenadas de A e 
de B. 
 
15) Determine o módulo (magnitude) do vetor dado. 
 
a) 𝑣 = 𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 
b) 𝑣 = (2,3,1) 
c) Vetor v com origem no ponto (2,1,1) e extremidade (0,0,3) 
d) 𝑣 = −𝑖 + 𝑘 
 
16) Determine o versor do vetor dado. 
a) 𝑎 = (−2,1,2) 
b) 𝑏 = 6𝑗 − 8𝑘 
c) 𝑏 = 2𝑖 − 𝑗 + 2𝑘 
d) 𝑎 = (0, −3, −4) 
 
17) Sejam 𝑢 = 1,3, −2,1 𝑒 𝑢 = (2,0, −1,4) vetores do 𝑅4. Determine os escalares 
𝑐1 𝑒 𝑐2 tais que: 
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a) 𝑐1𝑢 + 𝑐2𝑣 = (8,6, −7,14) 
b) 𝑐1𝑢 + 𝑐2𝑣 = (−3,3,4, −7) 
 
PRODUTO ESCALAR 
 
Neste capítulo que agora será desenvolvido, todos os pontos e vetores serão 
tomados em relação ao referencial canônico de origem 0. 
1. Definição 
Chama-se produto escalar (ou produto interno) do vetor 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) pelo 
vetor 𝑣 = (𝑥2,𝑦2 , 𝑧2), e se denota 𝑢 .𝑣 , o número real: 
 
Observação: Denota-se também o produto escalar de 𝑢 por 𝑣 das seguintes 
maneiras: < 𝑢 , 𝑣 > e se lê “u escalar v”. Portanto: 
𝑢 .𝑣 =< 𝑢 ,𝑣 >= 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2 
Exemplo: Se 𝑢 = (−1, 2, 3) e 𝑣 = (−1, −1, 2) calcular o produto escalar de 𝑢 por 
𝑣 . 
Solução: 𝑢 . 𝑣 = −1 −1 + 2 −1 + 3.2 = 1 − 2 + 6 = 5 
 
Observações: 
1º) O produto escalar 𝑣 . 𝑣 é chamado quadrado escalar do vetor 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) e se 
denota 𝑣 2: 
 
 
Da definição de produto escalar resulta que: 
1) 𝑒 1
2 = 𝑒 2
2 = 𝑒 3
2 = 1 
2) 𝑒 1 . 𝑒 2 = 𝑒 2. 𝑒 3 = 𝑒 3. 𝑒 1 = 0 
2º) O produto escalar é uma aplicação f de V3 X V3 em R. Associamos assim a cada
par ordenado de vetores (𝑢 , 𝑣 ) do produto cartesiano V3 X V3 um número real α. E por um 
abuso de linguagem, a imagem α da aplicação é o produto escalar do vetor 𝑢 e 𝑣 . 
 
 
Por conseguinte, o produto escalar de dois vetores é um número real. 
3º) É importante observar que o produto escalar não é uma lei de composição 
interna. 
𝑣 . 𝑣 = 𝑣 2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≥ 0 
𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2 
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PROPRIEDADES: O produto escalar possui as seguintes propriedades, que 
resultam da definição anterior e das propriedades operacionais dos números reais: 
1º) Comutativa. 
 
De fato: Se 𝑢 = (𝑥1,𝑦1 , 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) temos: 
𝑢 .𝑣 = 𝑥1.𝑥2 + 𝑦1. 𝑦2 + 𝑧1. 𝑧2 = 𝑣 . 𝑢 
2º) Associativa para multiplicação por um Escalar. 
 
De fato: Se 𝑢 = (𝑥1,𝑦1 , 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) e 𝜆 ∈ 𝑅, temos: 
 𝜆𝑢 .𝑣 = 𝜆𝑥1 . 𝑥2 + 𝜆𝑦1 . 𝑦2 + 𝜆𝑧1 . 𝑧2 
𝑢 (𝜆𝑣 ) = 𝑥1 𝜆𝑥2 + 𝑦1 𝜆𝑦2 + 𝑧1 𝜆𝑧2 
𝜆 𝑢 .𝑣 = 𝜆(𝑥1. 𝑥2 + 𝑦1 . 𝑦2 + 𝑧1. 𝑧2) 
3º) Distributiva em relação à Adição de Vetores. 
 
De fato: Se 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑣1 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣2 = (𝑥2,𝑦2 , 𝑧2) temos: 
𝑢 . 𝑣1 + 𝑣2 = 𝑥 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑦 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑧 𝑧1 + 𝑧2 = 
= 𝑥. 𝑥1 + 𝑦. 𝑦1 + 𝑧. 𝑧1 + 𝑥. 𝑥2 + 𝑦. 𝑦2 + 𝑧. 𝑧2 = 
= 𝑢 . 𝑣1 + 𝑢 . 𝑣2 
Exemplo: Provar que: (𝑢 + 𝑣 )2 = 𝑢 2 + 2. 𝑢 . 𝑣 + 𝑣2 
(𝑢 + 𝑣 )2 = 𝑢 + 𝑣 . 𝑢 + 𝑣 = 𝑢 . 𝑢 + 𝑢 . 𝑣 + 𝑢 . 𝑣 + 𝑣 .𝑣 = 𝑢 2 + 2. 𝑢 . 𝑣 + 𝑣2 
Exemplo: Provar que: 𝑢 + 𝑣 . 𝑢 − 𝑣 = 𝑢2 − 𝑣2 
Observações: As propriedades que foram deduzidas no exemplo 1 e 2 nos 
mostram que para o produto escalar valem fórmulas análogas aos quadrados da soma e 
diferença de números reais. 
 
2. Vetores Ortogonais 
 
Dados dois vetores 𝑢 e 𝑣 , se um dos vetores é nulo, então o produto 𝑢 . 𝑣 é nulo. 
Todavia, a recíproca não é verdadeira, pois podemos ter, por exemplo, dois vetores 
𝑢 = (−1, 1, 3) e 𝑣 = (−1, 5, −2) e então: 
𝑢 . 𝑣 = 1 + 5 − 6 = 0 
 
𝑢 . 𝑣1 + 𝑣2 = 𝑢 . 𝑣1 + 𝑢 . 𝑣2 
 𝜆𝑢 .𝑣 = 𝑢 . 𝜆𝑣 = 𝜆. 𝑢 .𝑣 
𝑢 . 𝑣 = 𝑣 . 𝑢 
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Definição: 
Dois vetores 𝑢 e 𝑣 são ditos ortogonais se o seu produto escalar é nulo. 
Denotaremos vetores ortogonais com a notação 𝑢 ⊥ 𝑣 ⇒ 𝑢 . 𝑣 = 0. 
Observação: Em particular o vetor nulo 0 é ortogonal a qualquer vetor. 
Exemplo: Verificar se os vetores: 𝑣1 = 1, 1, 1 , 𝑣2 = 1, 2, −3 ,𝑣3 = (5, −4, −1), 
são ortogonais dois a dois. 
Solução: 𝑣1 . 𝑣2 = 1 + 2 − 3 = 0 
𝑣1 . 𝑣3 = 5 − 4 − 1 = 0 
𝑣2 . 𝑣3 = 5 − 8 + 3 = 0 
Exemplo: Determinar um vetor 𝑢 ortogonal aos vetores 𝑣1 = 1, 1, 0 𝑒 𝑣2 =
(0, 1, 1). 
Solução: Se 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) tal que seja ortogonal a 𝑣1 𝑒 𝑣2 , temos: 
𝑣1 ⊥ 𝑢 ⇒ 𝑥 + 𝑦 = 0 
𝑣2 ⊥ 𝑢 ⇒ 𝑦 + 𝑧 = 0 
O sistema 
0
0
x y
y z
 

 
 possui uma indeterminação. Logo para 𝑧 = 1, temos: 
𝑦 = −1 𝑒 𝑥 = 1. Então um dos vetores ortogonais a 𝑢 e 𝑣 é o vetor 𝑢 = 1, −1, 1 . 
3. Módulo de um vetor. 
 
Definição: chama-se módulo (ou comprimento) do vetor 𝑣 , que denotamos por 
 𝑣 , o escalar: 
 
 
O módulo de um vetor é uma aplicação de V3 em R+ (conjunto dos números reais 
não negativos). Associamos assim cada 𝑣 ∈ 𝑉3 um número real 𝛼 ∈ 𝑅+. 
𝑣 ∈ 𝑉3 → 𝛼 = 𝑣 = 𝑣 2 ∈ 𝑅+ 
Por conseguinte: 𝑣 2 = 𝑣 2 
Exemplo: Calcular o módulo do vetor 𝑣 = (−1, 2, −2). 
Solução: 𝑣 = (−1)2 + 22 + (−2)2 = 1 + 4 + 4 = 3 
PROPRIEDADES: 
A aplicação 𝑉3 em 𝑅+ verifica as seguintes propriedades: 
 𝑣 = 𝑣 .𝑣 = 𝑣 2 
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1) 
 
De fato: Se 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
 𝑣 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≥ 0 
 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 0 
 
2) 
De fato: 𝜆𝑣 = 𝜆𝑣 . 𝜆𝑣 = 𝜆2𝑣 2 = 𝜆 𝑣 2 = 𝜆 𝑣 
 
 
3) 
De fato: 𝑢 + 𝑣 2 = 𝑢 + 𝑣 . 𝑢 + 𝑣 = 𝑢 2 + 2. 𝑢 .𝑣 + 𝑣 2 
Mas, se 𝑢 ⊥ 𝑣 ⇒ 𝑢 . 𝑣 = 0 
Portanto: 𝑢 + 𝑣 2 = 𝑢 2 + 𝑣 2 
 
 
4) Desigualdade de Schwarz 
 
De fato: Tomemos dois vetores quaisquer 𝑢 ≠ 0 𝑒 𝑣 ≠ 0 de V3 e um escalar 
qualquer 𝜆. Então: 
(𝑢 + 𝜆𝑣 )2 ≥ 0 
 𝑢 + 𝑣 . (𝑢 + 𝑣 ) ≥ 0 
𝑢 2 + 2𝜆 𝑢 .𝑣 + 𝜆2𝑣 2 ≥ 0 
O discriminante deste trinômio do 2º grau um 𝜆 é negativo ou nulo: 
∆= 4(𝑢 .𝑣 )2 − 4𝑢 2𝑣 2 ≤ 0 
(𝑢 . 𝑣 )2 − 𝑢 2𝑣 2 ≤ 0 
 
Portanto: 𝑢 .𝑣 ≤ 𝑢 𝑣 
Esta propriedade indica que o valor absoluto do número real que define produto 
escalar de 𝑢 por 𝑣 é menor ou igual ao produto dos módulos dos vetores 𝑢 e 𝑣 . 
5) Desigualdade de Minkowski 
 
De fato, para quaisquer 𝑢 e 𝑣 pertencentes a V3 , temos: 
(𝑢 + 𝑣 )2 = 𝑢 + 𝑣 . 𝑢 + 𝑣 = 𝑢 2 + 2. (𝑢 . 𝑣 ) + 𝑣 2 
Ou também: 
 𝑢 + 𝑣 2 = 𝑢 2 + 2. 𝑢 .𝑣 + 𝑣 2 ≤ 𝑢 2 + 2 𝑢 . 𝑣 + 𝑣 2 
Utilizando a desigualdade Schwarz temos: 
 𝑢 + 𝑣 2 ≤ 𝑢 2 + 2 𝑢 𝑣 + 𝑣 2 
Finalmente: 𝑢 + 𝑣 ≤ 𝑢 + 𝑣 
 𝑣 ≥ 0; 𝑣 = 0 ⇔ 𝑣 = 0 
 𝜆𝑣 = 𝜆 𝑣 
 𝑢 + 𝑣 2 = 𝑢 2 + 𝑣 2 ⇔ 𝑢 ⊥ 𝑣 
 𝑢 . 𝑣 ≤ 𝑢 𝑣 
 𝑢 + 𝑣 ≤ 𝑢 + 𝑣 
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CONSEQUÊNCIAS: Das propriedades demonstradas, tiramos as seguintes 
conseqüências: 
1º) −𝑣 = 𝑣 
De fato: −𝑣 = −1𝑣 = −1 𝑣 = 𝑣 
2º) 𝑢 − 𝑣 ≥ 𝑢 − 𝑣 
De fato: Supondo 𝑢 ≥ 𝑣 , podemos escrever: 
 𝑢 = 𝑢 − 𝑣 + 𝑣 ≤ 𝑢 − 𝑣 + 𝑣 
Finalmente: 𝑢 − 𝑣 ≥ 𝑢 − 𝑣 
OBS: O módulo 𝑣 do vetor 𝑣 é também denominado norma euclidiana de 𝑣 . O 
espaço vetorial V3 munido da norma euclidiana é dito espaço vetorial normado. 
4. Distância Euclidiana 
 
Chama-se distância euclidiana entre dois pontos P1 e P2, pertencentes ao espaço 
afim R3, o módulo do vetor 𝑃1𝑃2 . A distância euclidiana entre os pontos P1 e P2 
denominaremos simplesmente por 𝑑(𝑃1,𝑃2). Portanto: 
 𝑑 𝑃1,𝑃2 = 𝑃1𝑃2 = 𝑃2 − 𝑃1 
Obs: A distância entre P1 e P2 corresponde ao comprimento do segmento 𝑃1𝑃2 . 
Sejam os pontos 𝑃1 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 𝑒 𝑃2 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), então: 
 
 
 
Propriedades: 
Como conseqüências imediatas das propriedades do módulo de um vetor, 
resultam para a distância euclidiana as seguintes propriedades: 
Se A, B, C são três pontos quaisquer de R3, temos: 
1) 𝑑 𝐴, 𝐵 ≥ 0; 𝑑 𝐴, 𝐵 = 0 ⇔ 𝐴 = 𝐵 
2) 𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑑(𝐵, 𝐴) (Simétrico) 
3) 𝑑 𝐴, 𝐶 ≤ 𝑑 𝐴,𝐵 + 𝑑(𝐵, 𝐶) (Desigualdade triangular) 
 
5. Espaço Euclidiano 
 
O espaço afim munido da distância euclidiana é denominado espaço euclidiano. 
Como conceito de distância euclidiana decorre da definição de produto escalar, podemos dizer 
que o espaço euclidiano é o espaço afim munido da operação de produto escalar. 
O espaço euclidiano é também denominado espaço métrico euclidiano ou 
simplesmente espaço métrico. 
 
 
 
𝑑 𝑃1,𝑃2 = (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2 
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6. Base Ortonormal 
 
Chama-se base ortonormal do espaço V3 a toda base formada de vetores unitários 
e ortogonais dois a dois. 
Sejam os vetores 𝑒 1 = 1, 0,0 , 𝑒 2 = 0, 1, 0 , 𝑒 3 = (0, 0, 1) que formam uma base 
canônica de V3. Pela definição de produto escalar
sabemos que: 
𝑒 1 . 𝑒 1 = 𝑒 2. 𝑒 2 = 𝑒 3. 𝑒 3 = 1 
𝑒 1 . 𝑒 2 = 𝑒 2 . 𝑒 3 = 𝑒 1 . 𝑒 3 = 0 
Portanto: 
 𝑒 1 = 𝑒 2 = 𝑒 3 = 1 
𝑒 1 ⊥ 𝑒 2, 𝑒 2 ⊥ 𝑒 3 , 𝑒 3 ⊥ 𝑒 1 
 
 
 
 
Verificamos assim que os vetores da base canônica têm todos comprimento igual 
a 1 e são ortogonais dois a dois. 
O conjunto formado pelo ponto O e uma base ℬ = {𝑖 , 𝑗 , 𝑘 } é chamado referencial 
ortonormal de origem O ou ainda um sistema cartesiano ortonormal Oxyz. 
 
7. Expressão Analítica do Produto Escalar em relação a uma Base Ortonormal. 
 
Já definimos que as coordenadas dos vetores 𝑢 e 𝑣 podem ser expressas em 
relação à base canônica {𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3}. Entretanto, podemos considerar um referencial 
ortonormal, em que a base não seja necessariamente a canônica, mas uma base ortonormal 
qualquer {𝑖 , 𝑗 , 𝑘 }; e consideremos em relação a essa base os vetores: 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 
𝑣 = (𝑥2,𝑦2 , 𝑧2), isto é: 
𝑢 = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1𝑘 
𝑣 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2𝑘 
Calculando o produto escalar entre os vetores 𝑢 e 𝑣 teremos: 
 
𝑢 . 𝑣 = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1𝑘 . (𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2𝑘 ) 
𝑢 . 𝑣 = 𝑥1𝑥2𝑖 
2 + 𝑦1𝑦2𝑗 
2 + 𝑧1𝑧2𝑘 
2 + 𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦1 𝑖 . 𝑗 + 𝑦1𝑧2 + 𝑦2𝑧1 𝑗 . 𝑘 + 𝑥1𝑧2 + 𝑥2𝑧1 𝑘 . 𝑖 
 
Mas como a base é ortonormal, resulta: 
 
𝑢 . 𝑣 = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2 
 
Chegamos assim à mesma expressão do produto escalar, quando as coordenadas 
do vetor eram expressas em relação à base canônica. 
Observação: 
Verificamos que a expressão analítica do produto escalar de dois vetores, em 
função das coordenadas desses vetores tomadas em relação a uma base ortonormal não 
depende mais da base escolhida. 
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Em particular, se os dois vetores são ortogonais (em relação a base canônica), eles 
são também ortogonais em relação a qualquer outra base ortonormal. 
Daqui para frente quando não especificamos a base, estaremos sempre nos 
referindo a uma base ortonormal {𝑖 , 𝑗 , 𝑘 } . 
 
8. Definição Geométrica de Produto Escalar. 
Se 𝑢 e 𝑣 são vetores não-nulos e Ѳ ângulo entre eles, então: 
𝑢 . 𝑣 = 𝑢 . 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃 
 
 
 
Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo ABC, temos: 
 𝑢 − 𝑣 2 = 𝑢 2 + 𝑣 2 − 2. 𝑢 . 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃 
Por outro lado temos também: 
 𝑢 − 𝑣 2 = 𝑢 2 + 𝑣 2 − 2. 𝑢 .𝑣 
Comparando as duas expressões, mostramos que: 
𝑢 . 𝑣 = 𝑢 . 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃, 00 ≤ 𝜃 ≤ 1800 
Logo, o produto escalar de dois vetores não-nulos é igual ao produto de seus 
módulos pelo cosseno do ângulo por eles formado. 
Através da definição podemos concluir que: 
 𝑢 . 𝑣 > 0 ⇔ 𝑐𝑜𝑠𝜃 > 0 ⇔ 00 ≤ 𝜃 < 900 
 𝑢 . 𝑣 < 0 ⇔ 𝑐𝑜𝑠𝜃 < 0 ⇔ 900 < 𝜃 ≤ 1800 
 𝑢 . 𝑣 = 0 ⇔ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 ⇔ 𝜃 = 900 
Esta última afirmação estabelece a condição de ortogonalidade de dois vetores. 
Observação: 
O vetor 0 é ortogonal a todo vetor, isto é, 0 . 𝑣 = 0 para todo 𝑣 . 
Exemplo: Provar que o triângulo de vértices 𝐴 = 2, 3, 1 , 𝐵 = 2, 1, −1 𝑒 𝐶 =
(2, 2, −2) é um triângulo retângulo. 
Solução: Para provar que os pontos são de um triângulo retângulo, temos que 
provar que há um ângulo reto entre os vetores. Vamos encontrar os vetores ligados e depois 
fazer o produto escalar entre os mesmos. 
𝐴𝐵 = 0, −2, −2 
𝐴𝐶 = 0, −1, −3 
𝐵𝐶 = (0, 1, −1) 
𝐴𝐵 .𝐴𝐶 = 0 + 2 + 6 = 8 ≠ 0 
𝐴𝐵 .𝐵𝐶 = 0 − 2 + 2 = 0 
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Logo, o triângulo é retângulo em B. 
9. Cálculo do Ângulo de dois Vetores. 
A partir da definição de produto escalar 𝑢 . 𝑣 = 𝑢 . 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃, podemos encontrar o 
ângulo existente entre os vetores não-nulos através da expressão: 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑢 .𝑣 
 𝑢 . 𝑣 
 
 
Definimos esse ângulo como sendo o ângulo entres os vetores 𝑢 e 𝑣 . 
 
 
 
Exemplo: Calcular o ângulo entre os vetores 𝑢 = 1, 1, 4 𝑒 𝑣 = (−1, 2, 2). 
Solução: 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑢 .𝑣 
 𝑢 . 𝑣 
=
 1,1,4 .(−1,2,2)
 1+1+16. 1+4+4
=
−1+2+8
 18. 9
=
1
 2
=
 2
2
 
Logo, 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐. 𝑐𝑜𝑠 
 2
2
 = 450 
Exemplo: Sabendo que o vetor 𝑣 = (2, 1, −1) forma ângulo de 600 com o vetor 
𝐴𝐵 determinado pelos pontos A (3, 1, -2) e B(4, 0, m). Determine o valor de m. 
Solução: 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑢 .𝑣 
 𝑢 . 𝑣 
 
 𝑐𝑜𝑠600 =
 1,−1,𝑚+2 .(2,1,−1)
 1+1+𝑚2 +4𝑚+4. 4+1+1
⇒
1
2
=
−1−𝑚
 𝑚2+4𝑚+6. 6
 
⇒ 
1
2
 
2
= 
−1 − 𝑚
 𝑚2 + 4𝑚 + 6. 6
 
2
⇒
1
4
=
1 + 2𝑚 + 𝑚2
6𝑚2 + 24𝑚 + 36
=⇒ 𝑚2 + 8𝑚 + 16 = 0 
Logo, o valor de m=-4 (raiz dupla) 
10. Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor. 
 
Seja um vetor não-nulo, 𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 . Os ângulos diretores de 𝑣 são os 
ângulos 𝛼, 𝛽 𝑒 𝛾 que 𝑣 forma com os vetores 𝑖 , 𝑗 𝑒 𝑘 , respectivamente: 
 
 
 
 
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Os cossenos diretores de 𝑣 são os cossenos de seus ângulos diretores, isto é, 
cos 𝛼 , 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝛾. 
Para determinação dos cossenos diretores, utilizamos as expressões: 
 
 
 
 
 
Como o versor é um vetor unitário, logo: 
 
Exemplo: Calcular os ângulos diretores de 𝑣 = 1, −1, 0 . 
 𝑣 = 1 + 1 + 0 = 2 
cos 𝛼 =
1
 2
=
 2
2
∴ 𝛼 = 450 
cos 𝛽 =
−1
 2
=
− 2
2
∴ 𝛽 = 1350 
cos 𝛾 =
0
 2
= 0 ∴ 𝛾 = 900 
Exemplo: Os ângulos diretores de um vetor são α, 450 e 600. Determine α. 
𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2𝛾 = 1 
𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 
 2
2
 
2
+ 
1
2
 
2
= 1 
𝑐𝑜𝑠2𝛼 =
1
4
⇒ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = ± 
1
4
⇒ 𝛼 = ±
1
2
 
Logo, α=600 ou α=1200 
11. Interpretação Geométrica do Produto Escalar. 
 
Sejam dois vetores 𝑢 e 𝑣 com 𝑢 ≠ 0. Vamos determinar um escalar 𝜆 tal que 
𝑣 − 𝜆𝑢 seja ortogonal a 𝑢 . 
Se: 𝑣 − 𝜆𝑢 ⊥ 𝑢 ⇒ 𝑣 − 𝜆𝑢 . 𝑢 = 0 ⇒ 𝑢 . 𝑣 − 𝜆 𝑢 2 = 0 ⇒ 𝜆 =
𝑢 .𝑣 
 𝑢 2
 
 
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑣 . 𝑖 
 𝑣 𝑖 
=
 𝑥, 𝑦, 𝑧 . 1, 0, 0 
 𝑣 1 
=
𝑥
 𝑣 
 
𝑐𝑜𝑠𝛽 =
𝑣 . 𝑗 
 𝑣 𝑗 
=
 𝑥, 𝑦, 𝑧 . 0, 1, 0 
 𝑣 1 
=
𝑦
 𝑣 
 
𝑐𝑜𝑠𝛾 =
𝑣 . 𝑘 
 𝑣 𝑘 
=
 𝑥, 𝑦, 𝑧 . 0, 0, 1 
 𝑣 1 
=
𝑧
 𝑣 
 
𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2𝛾 = 1 
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𝜆 =
𝑢 . 𝑣 
 𝑢 2
 
O valor de 𝜆 é determinado pela condição de ortogonalidade do problema. 
O vetor 𝜆𝑢 é denominado projeção ortogonal do vetor 𝒗 sobre o vetor 𝑢 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝜆 > 0 𝜃 <
𝜋
2
 
 
ATIVIDADE 2 
 
1) Dados os vetores 𝑢 = (2, −3, −1) e 𝑣 = (1, −1, 4). Calcular: 
a) 3𝑢 . −𝑣 
b) 𝑢 + 2𝑣 . 𝑣 − 𝑢 
c) 𝑢 + 𝑣 . 𝑣 
d) 𝑢 − 𝑣 . 𝑢 
2) Sejam os vetores 𝑢 = 2, 𝑎, −1 , 𝑣 = 3, 1, −2 𝑒 𝑤 = (2𝑎 − 1, −2, 4). Determinar 𝑎 
de modo que 𝑢 . 𝑣 = 𝑢 + 𝑣 . (𝑣 + 𝑤 ). 
3) Determinar o vetor 𝑣 , sabendo que 𝑣 = 5, 𝑣 é ortogonal a eixo Ox, 𝑣 . 𝑤 = 6 e 
𝑤 = 𝑖 + 2𝑗 . 
4) Dados os vetores 𝑢 = 1, 2, −3 , 𝑣 = 2, 0, −1 𝑒 𝑤 = (3, 1, 0), determinar o vetor 𝑥 
tal que 𝑥 . 𝑢 = −16, 𝑥 .𝑣 = 0 𝑒 𝑥 .𝑤 = 3. 
5) Dados os vetores 𝑢 = 1,𝑎, −2𝑎 − 1 ,𝑣 = 𝑎, 𝑎 − 1, 1 , 𝑤 = (𝑎, −1,1), pede-se 
determinar 𝑎(𝑎 ∈ 𝑅), sabendo-se que 𝑢 .𝑣 = 𝑢 + 𝑣 .𝑤 . 
6) Determinar as distâncias entre os pontos: 
a) 𝑃1 −2, 0, 1 𝑒 𝑃2(1, −3, 2) 
b) 𝑃1 1, 0, 1 𝑒 𝑃2(2,
−1, 0) 
7) Dados os pontos A(-1, 0, 5), B(2, -1, 4) e C(1, 1, 1), determinar x tal que 𝐴𝐶 e 𝐵𝑃 sejam 
ortogonais, sendo P(x, 0, x-3). 
8) Determinar o vetor 𝑢 tal que 𝑢 = 2, o ângulo entre 𝑢 e 𝑣 = (1, −1, 0) é 450 e 𝑢 é 
ortogonal a 𝑤 = (1, 1, 0). 
9) Determinar o ângulo entre os vetores: 
a) 𝑢 = 2, −1, −1 𝑒 𝑣 = (−1, −1, 2). 
b) 𝑢 = 1, −2, 1 𝑒 𝑣 = (−1, 1, 0). 
10) Seja o triângulo de vértices A(3, 4, 4), B(2, -3, 4) e C(6, 0, 4). Determinar o ângulo 
interno ao vértice B. Qual o ângulo externo ao vértice B? 
11) Calcular o valor de m de modo que seja 1200 o ângulo entre os vetores 𝑢 =
 1, −2, 1 𝑒 𝑣 = (−2, 1, 𝑚 + 1). 
𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 = 𝜆𝑢 = 
𝑢 . 𝑣 
 𝑢 2
 . 𝑢 
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12) Calcular os ângulos diretores do vetor 𝑣 = (6, −2, 3). 
13) Os ângulos diretores de um vetor 𝑎 são 450, 600 e 1200 e 𝑎 = 2. Determinar 𝑎 . 
14) Determinar o comprimento da projeção do vetor 𝑣 = (2, −5, 5) sobre um eixo cuja 
direção é dada pelo vetor 𝑤 = (1, −1, −1). 
15) Dados os vetores 𝑣 1 = 3, −6, −1 , 𝑣 2 = 1, 4, −5 𝑒 𝑣 3 = (3, −4, 12), pede-se 
calcular o comprimento da projeção do vetor 𝑣 1 + 2𝑣 2 sobre o eixo cuja direção é 
dada pelo vetor 𝑣 3. 
16) Dados os vetores 𝑢 = 3, 0, 1 𝑒 𝑣 = (−2, 1, 2), determinar 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣𝑢 e 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢𝑣 . 
 
PRODUTO VETORIAL 
 
1. Observações: 
 
Antes de iniciarmos com a definição do produto vetorial, precisamos fazer uma 
breve revisão sobre determinantes de ordem 2 e ordem3. Na resolução do determinante de 
ordem 3 utilizaremos o Teorema de Laplace: 
 Determinante de Ordem 2: 
 
 
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
 = 𝑥1. 𝑦2 − 𝑥2. 𝑦1 
 
Exemplo: 
2 −1
−3 2
 = 2.2 − −3 . −1 = 4 − 3 = 1 
 Determinante de Ordem 3: 
 
 
𝑎 𝑏 𝑐
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
 = 
𝑦1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
 𝑎 − 
𝑥1 𝑧1
𝑥2 𝑧2
 𝑏 + 
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
 𝑐 
 
Exemplo: 
3 1 −2
1 −3 2
2 −1 1
 = 
−3 2
−1 1
 3 − 
1 2
2 1
 1 + 
1 −3
2 −1
 (−2) 
= −3 + 2 . 3 − 1 − 4 . 1 + −1 + 6 . −2 = −3 + 3 − 10 = −10 
As propriedades acima citadas fizeram referência às linhas da matriz pelo fato de, 
no estudo do produto vetorial, haver menção somente a linhas. No entanto, estas 
propriedades valem também para as colunas. 
2. Definição. 
 
Dados os vetores 𝑢 = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1𝑘 e 𝑣 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2𝑘 , tomados em 
relação à base canônica, e se representa o produto vetorial do vetor 𝑢 pelo vetor 𝑣 por 𝑢 𝑥𝑣 o 
vetor: 
𝑢 𝑥𝑣 = 
𝑦1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
 𝑖 − 
𝑥1 𝑧1
𝑥2 𝑧2
 𝑗 + 
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
 𝑘 
 
O produto vetorial de 𝑢 por 𝑣 também é indicado por 𝑢 ∧ 𝑣 e lê-se “𝑢 vetorial 𝑣 ”. 
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Utilizamos na resolução do produto vetorial o desenvolvimento do Teorema de 
Laplace, de forma que substituímos os valores de a, b e c pelos vetores unitários 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 . 
No cálculo do produto vetorial não temos determinante, pois, a primeira linha 
contém vetores. Utilizamos esta notação pela facilidade de memorização que ela propicia para 
o cálculo, pois, só é determinante quando temos escalares. 
𝑢 𝑥𝑣 = 
𝑖 𝑗 𝑘 
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
 = 
𝑦1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
 𝑖 − 
𝑥1 𝑧1
𝑥2 𝑧2
 𝑗 + 
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
 𝑘 
 
𝑢 𝑥𝑣 = 
𝑦1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
 𝑖 − 
𝑥1 𝑧1
𝑥2 𝑧2
 𝑗 + 
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
 𝑘 
 
𝑢 𝑥𝑣 = 𝑦1𝑧2 − 𝑦2𝑧1 𝑖 − 𝑥1𝑧2 − 𝑥2𝑧1 𝑗 + (𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1)𝑘 
 
O produto vetorial também é denominado por produto externo ou produto 
cruzado. 
O produto vetorial é uma aplicação de V3 X V3 em V3. Associamos assim a cada par 
ordenado de vetores 𝑢 ,𝑣 do produto cartesiano V3 X V3 um vetor 𝑤 = 𝑢 𝑥𝑣 , de composição 
interna. 
Exemplo: Dados 𝑢 = 𝑖 − 𝑗 + 2𝑘 e 𝑣 = 3𝑖 − 𝑗 − 𝑘 . Calcular 𝑢 𝑥𝑣 . 
 
𝑢 𝑥𝑣 = 
𝑖 𝑗 𝑘 
1 −1 2
3 −1 −1
 = 
−1 2
−1 −1
 𝑖 − 
1 2
3 −1
 𝑗 + 
1 −1
3 −1
 𝑘 
𝑢 𝑥𝑣 = 1 + 2 𝑖 − −1 − 6 𝑗 + −1 + 3 𝑘 = 3𝑖 + 7𝑗 + 2𝑘 
 
Propriedades: 
 O produto vetorial é uma lei de composição interna, logo possui algumas 
propriedades: 
1º) Associativa para a Multiplicação por um Escalar. 
Para quaisquer que sejam 𝑢 𝑒 𝑣 ∈ 𝑉3 𝑒 𝜆 ∈ 𝑉3, temos: 
 𝜆𝑢 𝑥𝑣 = 𝑢 𝑥 𝜆𝑣 = 𝜆(𝑢 𝑥𝑣 ) 
 
2º) Distributiva à esquerda e à direita em relação à adição. 
Para quaisquer que sejam 𝑢 𝑒 𝑣 ∈ 𝑉3 𝑒 𝑤 ∈ 𝑉3, temos: 
𝑢 𝑥 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 𝑥𝑣 + 𝑢 𝑥𝑤 
 𝑢 + 𝑣 𝑥𝑤 = 𝑢 𝑥𝑤 + 𝑣 𝑥𝑤 
3º) Anticomutativa 
Para quaisquer que sejam 𝑢 ∈ 𝑉3 𝑒 𝑣 ∈ 𝑉3, temos: 
𝑢 𝑥𝑣 = −𝑣 𝑥𝑢 
 
4º) A condição anterior implica em particular: 
𝑣 𝑥𝑣 = −𝑣 𝑥𝑣 
2 𝑣 𝑥𝑣 = 0 ⇒ 𝑣 𝑥𝑣 = 0 
 
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3. Condição Geral de Nulidade. 
 
Diante da 4º propriedade, para qualquer que seja 𝑣 , temos: 𝑣 𝑥𝑣 = 0 . A condição 
geral de nulidade do produto vetorial é expressa mediante o teorema. 
Teorema: Para que o produto vetorial de dois vetores seja nulo, é necessário e 
suficiente que os dois vetores sejam paralelos. 
Com efeito, se os dois vetores 𝑢 e 𝑣 são paralelos e não simultaneamente nulos, 
existem um escalar 𝜆 tal que: 
 
Equações da Reta 
 
1. Equação Vetorial da Reta 
Considere um ponto 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e um vetor não-nulo 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐). Só existe 
uma reta r que passa por A e tem a direção de 𝑣 . Um ponto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) pertence a r se, e 
somente se, o vetor 𝐴𝑃 é paralelo a 𝑣 . 
𝐴𝑃 = 𝑡𝑣 ⇒ 𝑃 − 𝐴 = 𝑡𝑣 ⇒ 𝑃 = 𝐴 + 𝑡𝑣 
Expresso através de coordenadas: 
 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1 + 𝑡(𝑎, 𝑏, 𝑐) Equação Vetorial de r. 
Onde: 𝑣 é chamado vetor diretor e t é denominado de parâmetro. 
 
 
 
 
 
Exemplo: A reta r que passa por 𝐴(1, −1,4) e tem a direção de 𝑣 = (2,3,2), tem a 
equação vetorial. 
 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1,𝑦1 , 𝑧1 + 𝑡 𝑎, 𝑏, 𝑐 ⇒ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1, −1,4 + 𝑡(2,3,2) 
2. Equações Paramétricas da Reta 
A equação paramétrica da reta gera a partir da equação vetorial de r. 
 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1 + 𝑡 𝑎, 𝑏, 𝑐 
 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥1 + 𝑎𝑡, 𝑦1 + 𝑏𝑡, 𝑧1 + 𝑐𝑡) 
𝑟: 
𝑥1 + 𝑎𝑡
𝑦1 + 𝑏𝑡
𝑧1 + 𝑐𝑡
 (Equações paramétricas da reta) 
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Exemplos: A reta r que passa pelo ponto 𝐴(3, −4,2) e é paralela ao vetor 
𝑣 = (2,1, −3). Determine a equação paramétrica da reta. 
 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1,𝑦1 , 𝑧1 + 𝑡 𝑎, 𝑏, 𝑐 ⇒ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 3, −4,2 + 𝑡 2,1, −3 
𝑟: 
𝑥 = 3 + 2𝑡
𝑦 = −4 + 𝑡
𝑧 = 2 − 3𝑡
 
3. Reta definida por Dois Pontos. 
A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem direção 
do vetor 𝑣 = 𝐴𝐵 . 
Exemplo: Escrever equações paramétricas da reta r que passa por 𝐴(3,−1, −2) e 
𝐵(1,2,4). 
𝑣 = 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = (−2,3,6) 
𝑟: 
𝑥 = 3 − 2𝑡
𝑦 = −1 + 3𝑡
𝑧 = −2 + 6𝑡
 
4. Equações Paramétricas de um Segmento de Reta. 
Consideremos a reta r do exemplo anterior e nela o segmento 𝐴𝐵 (origem A e 
extremidade B). Em que o ponto 𝐴(3, −1, −2) e 𝐵(1,2,4). 
 
As equações paramétricas do segmento AB são as mesmas da reta r. 
𝐴𝐵: 
𝑥 = 3 − 2𝑡
𝑦 = −1 + 3𝑡
𝑧 = −2 + 6𝑡
 
As equações paramétricas do segmento BA: 
𝐵𝐴: 
𝑥 = 1 + 2𝑡
𝑦 = 2 − 3𝑡
𝑧 = 4 − 6𝑡
 
As equações do segmento AB e BA com 0 ≤ 𝑡 ≤ 1, são: 
𝑃 = 𝐴 + 𝑡 𝐵 − 𝐴 
𝑃 = 𝐵 + 𝑡(𝐴 − 𝐵) 
Onde 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) representa um
ponto qualquer do segmento. 
 
 
 
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5. Equações Simétricas da Reta 
A partir das equações paramétricas da reta 𝑟: 
𝑥1 + 𝑎𝑡
𝑦1 + 𝑏𝑡
𝑧1 + 𝑐𝑡
 , isolando os parâmetros e 
igualando-as temos: 
𝑡 =
𝑥−𝑥1
𝑎
; 𝑡 =
𝑦−𝑦1
𝑏
; 𝑡 =
𝑧−𝑧1
𝑐
 
𝑥−𝑥1
𝑎
=
𝑦−𝑦1
𝑏
=
𝑧−𝑧1
𝑐
 (Equações Simétricas da Reta) 
Exemplo: a reta que passa pelo ponto 𝐴(3,0, −5) e tem a direção do vetor 
𝑣 = (2,2, −1), tem equações simétricas: 
𝑥 − 3
2
=
𝑦
2
=
𝑧 + 5
−1
 
Se desejarmos obter outros pontos da reta, basta atribuir um valor qualquer a 
uma das variáveis. Tipo x=5. 
5 − 3
2
=
𝑦
2
=
𝑧 + 5
−1
 
Logo: 𝑦 = 2 𝑒 𝑧 = −6. Portanto, o ponto (5,2,-6) pertence à reta. 
 
6. Equações Reduzidas da Reta. 
As equações reduzidas da reta na variável x são definidas pelas formas: 
 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛
𝑧 = 𝑝𝑥 + 𝑞
 
Exemplo: Seja a reta r definida pelo ponto 𝐴(2, −4, −3) e pelo vetor diretor 
𝑣 = (1,2, −3) e expressa pelas equações simétricas 
𝑥−2
1
=
𝑦+4
2
=
𝑧+3
−3
 
A partir das equações simétricas vamos isolar y e z em função de x. 
𝑥 − 2
1
=
𝑦 + 4
2
⇒ 𝑦 = 2𝑥 − 8 
𝑥 − 2
1
=
𝑧 + 3
−3
⇒ 𝑧 = −3𝑥 + 3 
Estas são as equações reduzidas da reta r, na variável x. 
7. Retas Paralelas aos Planos Coordenados 
Uma reta é paralela a um dos planos 𝑥𝑂𝑦, 𝑥𝑂𝑧 𝑜𝑢 𝑦𝑂𝑧 se seus vetores diretores 
forem paralelos ao correspondente plano. Neste caso, uma das componentes do vetor é nula. 
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A figura mostra a reta r (𝑟/ 𝑥 𝑂𝑦) que passa pelo ponto 𝐴(−1,2,4) e tem vetor 
diretor 𝑣 = (2,3,0) (a 3º componente é nula porque (𝑣 / 𝑥 𝑂𝑦). 
 
 
 
 
 
Um sistema de equações paramétricas de r é 
𝑥 = −1 + 2𝑡
𝑦 = 2 + 3𝑡
𝑧 = 4 + 0𝑡
 
Observação: 
Como todos os pontos de r são do tipo (𝑥, 𝑦, 4), isto é, são pontos de cota 4, 
todos eles distam 4 unidades do plano 𝒙𝑶𝒚 e por isso (𝑟/ 𝑥 𝑂𝑦). 
8. Retas Paralelas aos Eixos Coordenados 
Uma reta é paralela a um dos eixos 𝑂𝑥, 𝑂𝑦 𝑜𝑢 𝑂𝑧 se seus vetores diretores forem 
paralelos a 𝑖 = (1,0,0) ou a 𝑗 = (0,1,0) ou a 𝑘 = (0,0,1). Neste caso, duas das componentes 
do vetor são nulas. 
Exemplo: Seja a reta r que passa por 𝐴(2,3,4) e tem a direção do vetor (0,0,3). 
Como a direção de 𝑣 é a mesma de 𝑘 , pois 𝑣 = 3𝑘 , a reta r é paralela ao eixo Oz. 
 
𝑥 = 2
𝑦 = 3
𝑧 = 4 + 3𝑡
 
Observação: As retas que passam por 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e são paralelas aos eixos Oy e 
Ox, respectivamente. Logo, suas equações são: 
𝑥 = 𝑥1
𝑧 = 𝑧1
 𝑒 
𝑦 = 𝑦1
𝑧 = 𝑧1
 , respectivamente. 
 
 
 
 
 
Observação: Os eixos Ox, Oy e Oz são retas particulares. Todas passam pela 
origem O(0,0,0) e têm a direção de 𝑖 , 𝑗 𝑜𝑢 𝑘 , respectivamente. Logo suas equações são: 
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𝑦 = 0
𝑧 = 0
 , 
𝑥 = 0
𝑧 = 0
 𝑒 
𝑥 = 0
𝑦 = 0
 , nesta ordem. 
9. Ângulo de Duas Retas. 
Sejam as retas 𝑟1 e 𝑟2 com direções de 𝑣 1 e 𝑣 2, respectivamente. O ângulo 
formado entre duas retas 𝑟1 e 𝑟2 o menor ângulo de um vetor diretor de 𝑟1e de um vetor 
diretor de 𝑟2. Sendo Ѳ o ângulo formado entre eles, têm-se: 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
 𝑣 1 .𝑣 2 
 𝑣 1 𝑣 2 
, com 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
. 
Exemplo: Determinar o ângulo entre as retas: 
 𝑟1: 
𝑥 = 3 + 𝑡
𝑦 = 𝑡
𝑧 = −1 − 2𝑡
 𝑒 𝑟2:
𝑥+2
−2
=
𝑦−3
1
=
𝑧
1
 
Determinando os vetores diretores: 𝑣 1 = 1,1, −2 𝑒 𝑣 2 = (−2,1,1). 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
 𝑣 1.𝑣 2 
 𝑣 1 𝑣 2 
=
 1,1,−2 .(−2,1,1) 
 12+12+(−2)2. (−2)2+12+12
=
 −2+1−2 
 6. 6
=
3
6
=
1
2
 
Logo; 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 
1
2
 → 𝜃 = 600 
10. Retas Ortogonais 
Sejam as retas 𝑟1 e 𝑟2 com as direções de 𝑣 1 e 𝑣 2, respectivamente: 
Então: 𝑟1 ⊥ 𝑟2 ⇔ 𝑣 1. 𝑣 2 = 0 
 
 
Obs: Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. As retas 𝑟1 e 𝑟2 são 
ortogonais a r, sendo 𝑟2 concorrente a r. Neste caso,diz que são perpendiculares. 
Exemplo: Sejam as retas 𝑟1 : 
𝑦 = −2𝑥 + 1
𝑧 = 4𝑥
 e 𝑟2 : 
𝑥 = 3 − 2𝑡
𝑦 = 4 + 𝑡
𝑧 = 𝑡
 são ortogonais. 
𝑣 1 = 1, −2,4 𝑒 𝑣 2 = (−2,1,1) os vetores diretores de 𝑟1 e 𝑟2, logo: 
𝑣 1. 𝑣 2 = 1. −2 + −2 . 1 + 4.1 = 0 
Logo, as retas são ortogonais. 
11. Reta Ortogonal a Duas Retas 
Sejam as retas 𝑟 1 𝑒 𝑟 2 não-paralelas, com as direções de 𝑣 1 𝑒 𝑣 2, respectivamente. 
Toda reta ao mesmo tem ortogonal a 𝑟 1 𝑒 𝑟 2 terá a direção de um vetor 𝑣 tal que: 
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𝑣 . 𝑣 1 = 0
𝑣 . 𝑣 2 = 0
 
Em vez de tomarmos um vetor 𝑣 ≠ 0 como solução particular do sistema, 
poderíamos utilizar o produto vetorial, isto é: 𝑣 = 𝑣 1𝑥𝑣 2. 
Definido um vetor diretor, a reta r estará determinada quando for conhecido um 
de seus pontos. 
Exemplos: determinar equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto 
𝐴(3,4, −1) e é ortogonal às retas 𝑟1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0,0,1 + 𝑡(2,3, −4) e 𝑟2 : 
𝑥 = 5
𝑦 = 𝑡
𝑧 = 1 − 𝑡
 
As direções de 𝑟 1 𝑒 𝑟 2 são definidas pelos vetores 𝑣 1 = (2,3, −4) e 𝑣 2 =
(0,1, −1). Então a reta r tem a direção do vetor 
 𝑣 1𝑥𝑣 2 = 
𝑖 𝑗 𝑘 
2 3 −4
0 1 −1
 = (1,2,2) 
Logo, tem-se 𝑟: 
𝑥 = 3 + 𝑡
𝑦 = 4 + 2𝑡
𝑧 = −1 + 2𝑡
 
12. Interseção de Duas Retas 
Se duas ou mais retas são concorrentes, isto implica, que existe um ponto de 
interseção entre as mesmas. 
Sejam as retas 𝑟1 : 
𝑥 = 3 + ℎ
𝑦 = 1 + 2ℎ
𝑧 = 2 − ℎ
 𝑒 𝑟2 : 
𝑥 = 5 + 3𝑡
𝑦 = −3 − 2𝑡
𝑧 = 4 + 𝑡
 
Se existe um ponto 𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑧) comum às duas retas, suas coordenadas verificam 
todas as equações de 𝑟 1 𝑒 𝑟 2, isto é, o ponto 𝐼 é solução única do sistema formado pelas 
equações das duas retas. 
Igualando as expressões em x, y e z nas equações de 𝑟 1 𝑒 𝑟 2, tem-se 
 
3 + ℎ = 5 + 3𝑡
1 + 2ℎ = −3 − 2𝑡
2 − ℎ = 4 + 𝑡
 𝑜𝑢 
ℎ − 3𝑡 = 2
2ℎ + 2𝑡 = −4
−ℎ − 𝑡 = 2
 
Sistema cuja solução é ℎ = 𝑡 = −1. Substituindo ℎ = −1 nas equações de r, 
obtém-se 𝑥 = 3 + −1 = 2 ; 𝑦 = 1 + 2 −1 = −1 ; 𝑧 = 2 − −1 = 3 
Portanto, o ponto de interseção é 𝐼 2, −1,3 . 
Observações: 
 Se duas retas se interceptam, elas são coplanares, isto é, estão situadas no mesmo 
plano. Também são coplanares as retas paralelas. 
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 Se duas retas ao são coplanares, elas são ditas reversas. As retas além de não 
concorrentes são não-paralelas e, portanto, não-coplanares. 
 
 
 
Atividade - 4 
 
1) Determinar a equação vetorial da reta r definida pelos pontos A(2, -5, 3) e B(3, -2, 1) e 
verificar se os pontos C(-2, -3, 1) e D(1, -3, 6) pertencem a reta r. 
2) Dada a reta r: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −3,4,2 + 𝑡(2,1,8), escrever as equações paramétricas de r. 
3) Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos 
seguintes casos: 
a) A(1, 3, -5) e B(2, 4, -1) 
b) A(5, 9, -2) e B(1, 3, -2) 
c) A(10, 4, -1) e B(3, -10, 5) 
4) Determinar o ponto da reta r: 
𝑥−1
2
=
𝑦+6
−1
=
𝑧−2
5
 que possui: 
a) Abscissa 4; 
b) Ordenada 3. 
5) Determinar as equações reduzidas na variável x, da reta: 
a) Que passa por A(2, 5, -2) e tem a direção de 𝑣 = (2, 4, 5); 
b) Pelos pontos A(1, -2, 3) e B(3, -1, -2). 
a) Sabendo que as retas 𝑟1 e 𝑟2 são ortogonais, determinar
valor de m para 
𝑟1: 
𝑥 = 2𝑚𝑡 − 3
𝑦 = 1 + 3𝑡
𝑧 = −4𝑡
 𝑒 𝑟2: 
𝑥 = 2𝑦 − 1
𝑧 = −𝑦 + 4
 . 
6) Determinar os pontos da reta 𝑟: 𝑥 = 2 + 𝑡, 𝑦 = 1 + 2𝑡, 𝑧 = 3 + 2𝑡 que 
a) Distam 6 unidades do ponto A(2, 1, 3); 
b) Distam 2 unidades do ponto B(1, -1, 3). 
7) Determinar o valor de n para que seja 300 o ângulo entre as retas 𝑟1:
𝑥−2
4
=
𝑦
5
=
𝑧
3
 e 
𝑟2: 
𝑛𝑥 + 5
𝑧 = 2𝑥 − 2
 . 
8) Dadas as retas 𝑟1:
𝑥−1
2
= −𝑦; 𝑧 = 3 e 𝑟2: 
𝑥 = 𝑡
𝑦 = −1 + 𝑡
𝑧 = 2 + 𝑡
 , encontrar equações reduzidas 
na variável x da reta que passa por A(0, 1, 0) e pelo ponto de interseção de 𝑟1 e 𝑟2. 
9) Representar graficamente as retas de equações: 
 
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a) 
𝑥 = 1 − 𝑡
𝑦 = −1 + 2𝑡
𝑧 = 2 + 𝑡
 
b) 
𝑦 = −𝑥
𝑧 = 3 + 𝑥
 
 
Equações do Plano 
 
1. Equação Geral do Plano 
Seja 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) um ponto pertencente a um plano π e 𝑛 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 , 𝑛 ≠ 0 , um 
vetor normal (ortogonal) ao plano. O vetor normal 𝑛 é ortogonal a todo vetor representado 
em π. 
𝑛 . 𝑃 − 𝐴 = 0 
 𝑎, 𝑏, 𝑐 . 𝑥 − 𝑥1,𝑦 − 𝑦1 , 𝑧 − 𝑧1 = 0 
𝑎 𝑥 − 𝑥1 + 𝑏 𝑦 − 𝑦1 + 𝑐 𝑧 − 𝑧1 = 0 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 − 𝑎𝑥1 − 𝑏𝑦1 − 𝑐𝑧1 = 0 
Fazendo: −𝑎𝑥1 − 𝑏𝑦1 − 𝑐𝑧1 = 𝑑, temos: 
 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 (Equação geral do plano π) 
Observações: 
 Assim como 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) é um vetor normal a π, qualquer vetor 𝑘𝑛 ,𝑘 ≠ 0, é também 
vetor normal ao plano. 
 Os coeficientes a, b e c da equação vetorial do plano π representam as componentes 
de um vetor normal ao plano. Ex: 𝜋: 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 1 = 0, um de seus vetores 
normais é 𝑛 = (3,2, −1). 
Exemplos: 
1º)Obter uma equação geral do plano π que passa pelo ponto A(2, -1, 3) e tem 
𝑛 = (3, 2, −4) como um vetor normal. 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 → 3𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 + 𝑑 = 0 
Sendo A(2, -1, 3) um ponto do plano, temos: 3. 2 + 2. −1 − 4 3 + 𝑑 = 0 ∴
𝑑 = 8 
3𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 + 8 = 0 (Equação Geral do Plano) 
2º) Escrever uma equação geral do plano π que passa pelo ponto A(2, 1, 3) e é 
paralelo ao plano 𝜋1: 3𝑥 − 4𝑦 − 2𝑧 + 5 = 0 
Como 𝜋 ∕∕ 𝜋1, o vetor 𝑛 1 = (3, −4, −2) é normal a 𝜋1 é também normal a 𝜋. 
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𝜋: 3𝑥 − 4𝑦 − 2𝑧 + 𝑑 = 0 → 3 2 − 4 1 − 2 3 + 𝑑 = 0 → 𝑑 = 4 
Logo a equação de π é: 3𝑥 − 4𝑦 − 2𝑧 + 4 = 0 
2. Equação Segmentária do Plano 
Se um plano π intercepta os eixos coordenados nos pontos (p, 0, 0), (0, q, 0) e (0, 
0, r) com 𝑝. 𝑞. 𝑟 ≠ 0, então π admite a equação. 
𝑥
𝑝
+
𝑦
𝑞
+
𝑧
𝑟
= 1 (Equação Segmentária do plano π) 
Exemplo: Sejam os pontos 𝐴1 2, 0, 0 , 𝐴2 0, 3, 0 𝑒 𝐴3(0, 0, 6), a equação 
segmentária do plano é: 
𝑥
2
+
𝑦
3
+
𝑧
6
= 1 ∴ 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 6 = 0 
3. Equação Vetorial e Equações paramétricas do Plano 
Seja 𝐴(𝑥0,𝑦0 , 𝑧0) um ponto pertencente a um plano π e 𝑢 = (𝑎1, 𝑏1, 𝑐1) e 
𝑣 = (𝑎2, 𝑏2,𝑐2) dois vetores paralelos a π, porém, 𝑢 𝑒 𝑣 não-paralelos. Para todo ponto P do 
plano, os vetores 𝐴𝑃 , 𝑢 𝑒 𝑣 são coplanares. Um ponto P(x, y, z) pertence a π se, e somente se, 
existem números reais h e t tais que: 
𝑃 − 𝐴 = ℎ𝑢 + 𝑡𝑣 ⇒ 𝑃 = 𝐴 + ℎ𝑢 + 𝑡𝑣 
Em coordenadas, temos: 
 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + ℎ 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 + 𝑡 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 , ℎ, 𝑡 ∈ 𝑅 (Equação 
Vetorial do plano π) 
Os vetores 𝑢 𝑒 𝑣 são vetores diretores de π. 
A partir da equação vetorial determinamos as equações paramétricas. 
 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥0 + 𝑎1ℎ + 𝑎2𝑡, 𝑦0 + 𝑏1ℎ + 𝑏2𝑡, 𝑧0 + 𝑐1ℎ + 𝑐2𝑡) 
 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎1ℎ + 𝑎2𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑏1ℎ + 𝑏2𝑡
𝑧 = 𝑧0 + 𝑐1ℎ + 𝑐2𝑡
 (Equações paramétricas) 
Exemplo: Seja o plano π que passa pelo ponto A(2, 2, -1) e é paralelo aos vetores 
𝑢 = (2, −3, 1) e 𝑣 = (−1, 5, −3). Obtenha a equação vetorial, um sistema de equações 
paramétricas e uma equação geral de π. 
 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + ℎ 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 + 𝑡(𝑎2, 𝑏2, 𝑐2) 
 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2, 2, −1 + ℎ 2, −3, 1 + 𝑡(−1, 5, −3) Equação Vetorial 
𝜋: 
𝑥 = 2 + 2ℎ − 𝑡
𝑦 = 2 − 3ℎ + 5𝑡
𝑧 = −1 + ℎ − 3𝑡
 Equações paramétricas 
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𝑢 𝑥𝑣 = 
𝑖 𝑗 𝑘 
2 −3 1
−1 5 −3
 = 4, 5, 7 
4𝑥 + 5𝑦 + 7𝑧 + 𝑑 = 0 ⇒ 4 2 + 5 2 + 7 −1 + 𝑑 = 0 ⇒ 𝑑 = −11 
4𝑥 + 5𝑦 + 7𝑧 − 11 = 0 
Observação: Existe outra maneira de se obter uma equação geral de π; como P(x, 
y, z) representa um ponto qualquer do plano, os vetores 𝐴𝑃 , 𝑢 𝑒 𝑣 são coplanares, logo, 
produto misto deles é nulo. 
 𝐴𝑃 , 𝑢 ,𝑣 = 0 
 
𝑥 − 2 𝑦 − 2 𝑧 + 1
2 −3 1
−1 5 −3
 = 0 ⇒ 4𝑥 + 5𝑦 + 7𝑧 − 11 = 0 
Exemplo: Dado o plano π determinado pelos pontos A(1, -1, 2), B(2, 1, -3) e 
C(-1, -2, 6), obter um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de π. 
Os vetores diretores: 𝑢 = 𝐴𝐵 = 1, 2, −5 𝑒 𝑣 = 𝐴𝐶 = (−2, −1, 4) 
Utilizando o ponto A no plano, as equações paramétricas: 
𝑥 = 1 + ℎ − 2𝑡
𝑦 = −1 + 2ℎ − 𝑡
𝑧 = 2 − 5ℎ + 4𝑡
 
O vetor normal 𝑛 : 𝑛 = 𝑢 𝑥𝑣 = 
𝑖 𝑗 𝑘 
1 2 −5
−2 −1 4
 = (3, 6, 3) 
Logo, 3𝑥 + 6𝑦 + 3𝑧 + 𝑑 = 0 ⇒ 3 1 + 6 −1 + 3 2 + 𝑑 = 0 ⇒ 𝑑 = −3 
3𝑥 + 6𝑦 + 3𝑧 − 3 = 0 ⇒ 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 1 = 0 
Observações: 
 Como é possível encontrar infinitos termos A, B e C de pontos não 
alinhados em π, existem infinitos sistemas de equações paramétricas que 
representam o mesmo plano; 
 É importante observar que os vetores diretores sejam não-paralelos. 
 
 
4. Equação Vetorial de um Paralelogramo 
 
Dados os pontos A, B e C não em linha reta, os vetores 𝐴𝐵 𝑒 𝐴𝐶 determinam o 
paralelogramo cuja equação vetorial é dada por: 
𝑃 = 𝐴 + ℎ 𝐴𝐵 + 𝑡 𝐴𝐶 
𝑃 = 𝐴 + ℎ 𝐵 − 𝐴 + 𝑡 𝐶 − 𝐴 𝑐𝑜𝑚 ℎ, 𝑡 ∈ 0,1 
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Sendo P um ponto qualquer do paralelogramo. 
 
Observe que: 
Para: ℎ = 𝑡 = 0, obtém-se o ponto A(P=A); 
Para ℎ = 1 𝑒 𝑡 = 0, obtém-se o ponto B(P=B); 
Para ℎ = 0 𝑒 𝑡 = 1, obtém-se o ponto C(P=C); 
Para ℎ = 𝑡 = 1, obtém-se o ponto D(P=D); 
Para 𝑡 =
1
2
𝑒 ℎ ∈ [0,1], obtém-se o segmento MN onde M e N são pontos médios. 
 
5. Casos Particulares da Equação Geral do Plano 
 
Caso de um ou mais coeficientes da equação geral do plano serem nulos, o plano 
ocupará uma posição particular em relação aos eixos ou planos coordenados. 
Faremos uma análise dos diversos casos a partir de uma equação geral completa. 
Exemplo: 3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 − 12 = 0 seus coeficientes são: 𝑎 = 3; 𝑏 = 4; 𝑐 = 2;𝑑 = −12 
O plano que esta equação representa intercepta os três eixos coordenados em 
(4,0, 0), (0, 3, 0) e (0, 0, 6). 
1º) Se tivéssemos 𝑑 = 0 a 
equação geral seria seria 3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 =
0 e representa um plano paralelo, porém 
passando pela origem O(0, 0, 0), pois as 
coordenadas deste ponto verificam a 
equação: 3 0 + 4 0 + 2 0 = 0 
 
 
 
 
 
2º) Se tivéssemos 𝑎 = 0, a 
equação seria 4𝑦 + 2𝑧 − 12 = 0, 
representa um plano paralelo ao eixo dos 
x, interceptando os outros dois eixos em 
(0, 3, 0) e (0, 0, 6). Podemos deduzir que 
aconteceria casos parecidos para 
𝑏 = 0 𝑒 𝑐 = 0, ou seja o plano seria 
paralelo ao eixos y e z respectivamente: 
 
 
 
 
 
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3º) Se tivéssemos 𝑎 = 𝑏 = 0, a equação seria 2𝑧 − 12 = 0, ou simplesmente 
𝑧 = 6. Observe que todos os pontos do tipo (x, y, 6)
verificam a equação, logo, se todos os 
pontos têm cota 6, significa que todos estão 6 unidades afastadas do plano 𝑥𝑂𝑦. Portanto, 
trata-se de um plano paralelo e que intercepta ao eixo Oz perpendicularmente em (0, 0, 6). 
Raciocínio análogo leva-nos a concluir que: 
𝑦 = 𝑘 representa um plano paralelo a 𝑥𝑂𝑧; 
𝑥 = 𝑘 representa um plano paralelo a 𝑦𝑂𝑧. 
 
 
6. Ângulo de Dois Planos 
Sejam os planos 𝜋1 𝑒 𝜋2 com vetores normais 𝑛 1 𝑒 𝑛 2, respectivamente. Chama-
se ângulo de dois planos 𝜋1 𝑒 𝜋2 o menor ângulo que um vetor normal a 𝜋1 forma com um 
vetor normal a 𝜋2. Sendo Ѳ este ângulo, tem-se: 
cos 𝜃 =
 𝑛 1. 𝑛 2 
 𝑛 1 𝑛 2 
, 𝑐𝑜𝑚 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
 
Exemplo: Determinar o ângulo entre os planos 𝜋1 : 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 3 = 0 𝑒 𝜋2: 𝑥 +
𝑦 − 4 = 0. 
𝑛 1 = 2, 1, −1 𝑒 𝑛 2 = (1, 1, 0) 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
 2,1, −1 (1,1,0) 
 22 + 12 + −1 2 12 + 12
=
 2 + 1 + 0 
 12
=
 3
2
 
Logo, 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 
 3
2
 =
𝜋
6
 
7. Planos Perpendiculares 
Sejam dois planos 𝜋1 𝑒 𝜋2, e sejam os seus respectivos vetores normais 𝑛 1 𝑒 𝑛 2. 
Pela figura podemos concluir que: 
𝜋1 ⊥ 𝜋2 ⇔ 𝑛 1 ⊥ 𝑛 2 ⇔ 𝑛 1. 𝑛 2 = 0 
Exemplo: verificar se 𝜋1: 3𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 + 2 = 0 𝑒 𝜋2: 2𝑥 + 6𝑦 + 3𝑧 = 0 são planos 
perpendiculares. 
𝑛 1 = 3, 1, −4 𝑒 𝑛 2 = 2 6, 3 
𝑛 1. 𝑛 2 = 3. 2 + 1. 6 − 4. 3 = 0 logo, os planos são perpendiculares. 
 
 
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8. Paralelismo e Perpendicularismo entre Reta e Plano 
Sejam uma reta r com a direção do vetor 𝑣 e um plano π, sendo 𝑛 um vetor 
normal a π. Pelas figuras abaixo conclui-se imediatamente: 
𝑟 /𝜋 ⇔ 𝑣 ⊥ 𝑛 ⇔ 𝑣 . 𝑛 = 0 
𝑟 ⊥ 𝜋 ⇔ 𝑣 /𝑛 ⇔ 𝑣 = 𝛼𝑛 
Exemplo: A reta 𝑟: 
𝑥 = 1 + 2𝑡
𝑦 = −3𝑡
𝑧 = 𝑡
 é paralela ao plano 𝜋: 5𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 − 1 = 0? 
𝑣 = 2, −3, 1 𝑒 𝑛 = (5, 2, −4) 
𝑣 .𝑛 = 2, −3, 1 5, 2, −4 = 2. 5 − 3. 2 + 1. −4 = 0 
9. Reta Contida em Plano 
Uma reta r está contida em um plano π se: 
i. Dois pontos A e B de r forem também de π; 
ii. 𝑣 . 𝑛 = 0, onde 𝑣 é um vetor diretor de r e 𝑛 um vetor normal a π. 
Exemplo: Determinar os valores de m e n para que a reta 𝑟: 
𝑥 = 3 + 𝑡
𝑦 = −1 − 𝑡
𝑧 = −2 − 𝑡
 esteja 
contida no plano 𝜋: 2𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑛𝑧 − 5 = 0 
 
2 3 + 𝑚 −1 + 𝑛 −2 − 5 = 0
2 4 + 𝑚 −2 + 𝑛 −3 − 5 = 0
 ou – 𝑚 − 2𝑛 + 1 = 0
−2𝑚 − 3𝑛 + 3 = 0
 onde m=3 e n=-1. 
Atividade - 5 
 
1) Obter uma equação geral do plano π que passa pelo ponto A(3, -4, 1) e tem 
𝑛 = (5, 3, −2) como um vetor normal. 
2) Seja o plano π que passa pelo ponto A(3, 2, -3) e é paralelo aos vetores 𝑢 = (3, −3, 2) 
e 𝑣 = (−2, −3, 3). Obtenha a equação vetorial, um sistema de equações paramétricas 
e uma equação geral de π. 
3) Dado o plano π determinado pelos pontos A(2, -1, 3), B(1, 1, 3) e C(-2, -1, 4), obter 
um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de π. 
 
4) Determinar o ângulo entre os seguintes planos: 
 
a) 𝜋1 : 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 6 = 0 𝑒 𝜋2: 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 3 = 0 
b) 𝜋1: 𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 𝑒 𝜋2: 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0 
c) 𝜋1 : 𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0 𝑒 𝜋2: 𝑦 = 0 
5) Determinar m de modo que os planos 𝜋1: 𝑚𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 − 1 = 0 𝑒 𝜋2: 2𝑥 − 3𝑚𝑦 +
4𝑧 + 1 = 0 sejam perpendiculares. 
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6) Dados a reta 𝑟: 
𝑥 = −3 + 𝑡
𝑦 = −1 + 2𝑡
𝑧 = 4𝑡
 e o plano 𝜋: 𝑚𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 − 3 = 0, determinar o valor 
de m para que se tenha: 
a) Reta paralela ao plano; 
b) Reta perpendicular ao plano. 
7) Determine a equação geral do plano que passa por A(2, 0, -2) e é paralelo aos vetores 
𝑢 = 𝑖 − 𝑗 + 𝑘 e 𝑣 = 2𝑖 + 3𝑗 . 
Matrizes e Sistemas 
 
1. Introdução 
Historicamente, a representação de números em forma de tabelas, 
posteriormente chamadas de matriz, consolidou-se no século XIX. No entanto, um dos nove 
capítulos do livro chinês sobre arte matemática Chiu-Chang Suan-Shu, escrito em 250 a.C., já 
trazia alguns tipos de problema que utilizavam tabelas retangulares cujas resoluções eram 
feitas na forma de matriz. 
O monitor de computador funciona como uma matriz, com informações (pontos 
coloridos mostrados na tela, os pixels) armazenadas em linha e colunas. A definição da 
imagem apresentada na tela está relacionada com a quantidade de linhas e colunas que a 
formam. Ela pode ser bem definida (alta resolução) ou distorcida (baixa resolução). 
É comum que o monitor de 15 polegadas tenha resolução 600X800 (600 linhas, 
800 colunas), e o de 21 polegadas tenha resolução 1200x1600 (1200 linhas, 1600 colunas). 
2. Definição 
Sejam m e n dois números inteiros maiores ou iguais a 1. 
Denomina-se matriz m x n (lê-se m por n) uma tabela retangular formada por 𝑚. 𝑛 
números reais, dispostos em m linhas e n colunas. 
Dizemos que a matriz é do tipo m x n ou de ordem m x n. 
Exemplos: 
2 3
−1 0
 é uma matriz do tipo 2 x 3 (dois por três). 
 
5
3
−6
 é uma matriz do tipo 3 x 1 (três por um). 
3. Representação genérica de uma matriz 
Os números que aparecem na matriz são chamados de elementos ou termos da 
matriz. Assim: 
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 Para representar o elemento de uma matriz, usamos uma letra com dois 
índices: o primeiro indica a linha que o elemento se encontra, e o segundo 
indica em que coluna; 
 O elemento genérico de uma matriz A será indica por 𝑎𝑖𝑗 , em que i 
representa a linha e j representa a coluna na qual o elemento o elemento 
se encontra; ele é chamado de ij-ésimo elemento da matriz; 
𝐴 = 
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
 
Podemos escrever a matriz A na forma: 
 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛 , 𝑐𝑜𝑚 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 𝑒 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁 
4. Matriz quadrada 
Consideremos uma matriz m x n. Quando m=n (o número de linhas é igual ao 
número de colunas), diz-se que a matriz é quadrada do tipo n x n ou simplesmente de ordem 
n. 
Exemplo: 
3 5
1 12
 é uma matriz quadrada de ordem 2. 
5. Matriz diagonal 
A matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos acima e abaixo da 
diagonal principal são nulos é chamada de matriz diagonal. Os elementos da diagonal principal 
também podem ser nulos. 
Exemplo: 
1 0 0
0 3 0
0 0 −4
 
6. Matriz identidade 𝑰𝒏 
A matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal 
são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero é chamada de matriz identidade. 
Exemplo: 𝐼2 = 
1 0
0 1
 
7. Matriz nula 
No conjunto das matrizes, a matriz que tem todos os elementos iguais a zero 
denomina-se matriz nula. 
Exemplo: 03𝑥2 = 
0 0
0 0
0 0
 
 
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8. Igualdade de matrizes 
Duas matrizes A e B são iguais se, e somente se: 
 Elas têm o mesmo tipo; 
 Seus elementos correspondentes são iguais. 
Dadas as matrizes 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛 𝑒 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛 , temos, simbolicamente: 
𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 , 𝑐𝑜𝑚 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 𝑒 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 
Exemplo: 
3.4 8: 4
1 − 1 3 + 1
5 + 2 2 − 3
 = 
12 2
0 4
7 −1
 as matrizes são do mesmo tipo 2x3. 
9. Adição e subtração de matrizes 
Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo mxn, denomina-se soma ou subtração 
da matriz A com B, a matriz C do tipo mxn na qual cada elemento é obtido adicionando ou 
subtraindo-se os elementos correspondentes de A e B. 
Se 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑒 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 são matrizes do tipo mxn, a soma A+B é a matriz 
𝐶 = 𝑐𝑖𝑗 do tipo mxn tal que: 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 , 𝑐𝑜𝑚 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 𝑒 1 ≤ 𝑗 ≤
𝑛 
Se 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑒 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 são matrizes do tipo mxn, a subtração A-B é a matriz 
𝐶 = 𝑐𝑖𝑗 do tipo mxn, tal que: 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗 , 𝑐𝑜𝑚 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 𝑒 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 
Exemplo: dadas as matrizes 𝐴 = 
1
4
 𝑒 𝐵 = 
−3
2
 . Calcule: 
𝐴 + 𝐵 = 
1
4
 + 
−3
2
 = 
−2
6
 
𝐴 − 𝐵 = 
1
4
 − 
−3
2
 = 
4
2
 
10. Multiplicação de um número real por uma matriz 
Se A é uma matriz mxn, de elementos 𝑎𝑖𝑗 , e 𝛼 é um número real, então 𝛼𝐴 é uma 
matriz mxn cujos elementos são 𝛼𝑎𝑖𝑗 . 
Exemplo: Se 𝐴 = 
2 −3
1 4
 , então 2. 𝐴 = 2. 
2 −3
1 4
 = 
4 −6
2 8
 
11. Matriz Transposta 𝑨𝒕 
Seja a matriz A de ordem mxn, denomina-se matriz transposta de A, a matriz nxm 
cujas linhas são, ordenadamente, as colunas de A. 
Exemplo: 𝐴 = 
−1 2 5
6 3 0
 , 𝐴𝑡 = 
−1 6
2 3
5 0
 
 
Adeilson
Nota
3x2
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12. Multiplicação de matrizes 
A multiplicação de matrizes não é uma operação tão simples como as outras já 
estudadas até aqui; não basta multiplicar os elementos correspondentes. 
Dada uma matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 do tipo mxn e uma matriz 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 do tipo nxp, o 
produto da matriz A pela matriz B é a matriz 𝐶 = 𝑐𝑖𝑗 do tipo mxp tal que o elemento 𝑐𝑖𝑗 é 
calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i, da matriz A, pelos 
elementos da coluna j, da matriz B, e somando-se os produtos obtidos. 
Para dizer que a matriz C é o produto de A por B, vamos indicá-la por AB. 
Exemplo: dados 𝐴 = 
3 2
5 0
1 4
 e 𝐵 = 
3 1
6 2
 . Calcule AB 
𝐴𝐵 = 
3 2
5 0
1 4
 . 
3 1
6 2
 = 
3.3 + 2.6 3.1 + 2.2
5.3 + 0.6 5.1 + 0.2
1.3 + 4.6 1.1 + 4.2
 = 
21 7
15 5
27 9
 
13. Matriz inversa 𝑨−𝟏 
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que 𝐴. 𝑋 = 𝐼𝑛 , 
então X é denominada matriz inversa de A indicada por 𝐴−1. 
Exemplo: A matriz 𝐴 = 
1 −1
2 0
 é invertível e sua matriz inversa é 𝐴−1 =
 
0 1/2
−1 1/2
 
14. Equações matriciais 
Definidas as operações de adição, subtração e multiplicação de matrizes e 
multiplicação de um número real por uma matriz, já é possível resolver equações cujas 
incógnitas são matrizes. Essas equações são chamadas de equações matriciais. 
Exemplo: Sendo 𝐴 = 
1 −3
0 2
 𝑒 𝐵 = 
5 2
1 3
 , obtenha a matriz X tal que 
𝑋 + 𝐴 = 𝐵. 
𝑋 = 𝐵 − 𝐴 = 
5 2
1 3
 − 
1 −3
0 2
 = 
4 5
1 1
 
15. Introdução de Sistema Linear 
A aplicação de sistemas lineares é fundamental na resolução de problemas que 
envolvem equações com muitas incógnitas. Problemas desse tipo se apresentam, por exemplo, 
na distribuição de energia elétrica, no gerenciamento das linhas de telecomunicações e na 
logística para transporte de mercadorias em uma região. De fato, seria indispensável citar as 
áreas em que a resolução de sistema linear se aplica, pois ela permeia todo campo do 
conhecimento que envolve o raciocínio matemático. 
 
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16. Equações lineares 
Denomina-se equação linear toda equação que pode ser escrita na forma: 
𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏 na qual: 
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 são as incógnitas; 
𝑎1 , 𝑎2, … , 𝑎𝑛 são números reais denominados de coeficientes e b é denominado 
de termo independente. 
17. Sistema de equações lineares 
Denomina-se sistema linear mxn o conjunto S de m equações lineares em n 
incógnitas, que pode ser representado assim: 
𝑆 = 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
……………………………… ………
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
 
Observação: dizemos que 𝛼1, 𝛼2,… , 𝛼𝑛 é solução de um sistema linear 
quando 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 é solução de cada uma das equações do sistema, ou seja, satisfaz 
simultaneamente todas as equações do sistema. 
18. Classificação de sistema linear 
Os sistemas lineares podem ser classificados de acordo com suas soluções, 
conforme mostra o diagrama: 
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 
𝑃𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙(𝑡𝑒𝑚 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜) 
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑆𝑃𝐷 𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 ú𝑛𝑖𝑐𝑎
𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑆𝑃𝐼 𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠
 
𝐼𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑆𝐼 𝑛ã𝑜 𝑡𝑒𝑚 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜
 
 
A interpretação geométrica do sistema linear 2x2, retas dispostas: 
 Sistema Possível e Determinado – as retas concorrentes indicam que 
existem um único par ordenado que é solução do sistema; 
 Sistema Impossível – as retas paralelas e distintas indicam que não existe 
par ordenado que seja solução do sistema. 
 Sistema Possível e Indeterminado – as retas coincidentes indicam que 
existem infinitos pares ordenados que são soluções do sistema. 
 
19. Regra de Cramer 
A regra de Cramer é empregada para resolver um sistema linear em que o 
número de equações é igual ao número de incógnitas. Seja o sistema de 3 equações e 3 
incógnitas: 
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𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑏1
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 𝑏2
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 𝑏3
 
O determinante da matriz incompleta. 
𝐷𝐴 = 
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
 
Os determinantes 𝐷𝑥 , 𝐷𝑦 𝑒 𝐷𝑧 que se obtêm de 𝐷𝐴 substituindo, respectivamente, 
a 1º coluna (dos coeficientes de x), a 2º coluna (dos coeficientes de y) e a 3º coluna (dos 
coeficientes de z) pela coluna dos termos independentes. 
𝐷𝑥 = 
𝑏1 𝑎12 𝑎13
𝑏2 𝑎22 𝑎23
𝑏3 𝑎32 𝑎33
 ; 𝐷𝑦 = 
𝑎11 𝑏1 𝑎13
𝑎21 𝑏2 𝑎23
𝑎31 𝑏3 𝑎33
 ; 𝐷𝑧 = 
𝑎11 𝑎12 𝑏1
𝑎21 𝑎22 𝑏2
𝑎31 𝑎32 𝑏3
 
Se 𝐷𝐴 ≠ 0, então o sistema é possível e determinado. Os valores das incógnitas 
são dados por: 
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷𝐴
; 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷𝐴
; 𝑧 =
𝐷𝑧
𝐷𝐴
 
Portanto, 𝑆 = 
𝐷𝑥
𝐷𝐴
; 
𝐷𝑦
𝐷𝐴
; 
𝐷𝑧
𝐷𝐴
 
Atividade 
 
1) Construa as matrizes: 
a) 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 1𝑥3 , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑖𝑗 = 2𝑖 − 𝑗 
b) 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 4𝑥2, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑏𝑖𝑗 = 
𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≤ 𝑗
𝑖 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗
 
2) Determine o valor de cada incógnita para que as matrizes sejam iguais: 
 
3 𝑎 𝑏
𝑐 − 1 4 0
 = 
𝑥 − 2 −5 1
4 𝑦 𝑧 + 3
 
3) Dada a matriz 𝐴 = 
1 −1 0
2 3 4
0 1 −2
 , obtenha a matriz X tal que 𝑋 = 𝐴 + 𝐴𝑡 . 
4) Dadas as matrizes 𝐴 = 
1 −2 0
5 −4 3
 𝑒 𝐵 = 
−3 6 12
9 −6 15
 , determine: 
a) −2𝐴 
b) 
1
3
𝐵 
c) 
1
2
. (𝐴 + 𝐵) 
d) −4𝐴 −
2
3
𝐵𝑡 
5) Considere a matriz 𝐴 = 
𝑎 1
0 𝑏
 . Determine a e b reais, tais que: 𝐴2 + 2𝐴 = 
3 2
0 −1
 
6) Sendo 𝐴 = 
4 1
2 −1
 𝑒 𝐵 = 
24
6
 , calcule a matriz X, tal que 𝐴. 𝑋 = 𝐵. 
7) Classifique os sistemas em possíveis, impossíveis, determinados ou indeterminados: 
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a) 
𝑥 − 5𝑦 = −4
3𝑥 + 2𝑦 = 5
 
b) 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0
3𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 9
 
c) 
2𝑎 + 4𝑏 = 2
4𝑎 + 8𝑏 = 4
 
8) Resolva os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer. 
a) 
𝑥 + 2𝑦 = 5
2𝑥 − 3𝑦 = −4
 
b) 
𝑥 + 2𝑦 = 5
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 9
3𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 3
 
9) Resolva as equações matriciais: 
a) 
2 1
1 −3
 
𝑥
𝑦 = 
9
−13
 
b) 
1 4 7
2 3 6
5 1 −1
 
𝑥
𝑦
𝑧
 = 
2
2
8