Lista CN - Integracao

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Lista de Cálculo Numérico – INTEGRAÇÃO 
 
 
1. Explique, incluindo um breve diagrama gráfico, a ideia por trás da integração pelo Método dos 
Trapézios e pelo Método de Simpson ⅓. Qual a condição imposta ao número de pontos n da tabela, 
de modo a podermos utilizar o método de Simpson ⅓? Analise qual seria esta mesma condição caso 
aproximássemos os subtrechos da função original f(x) por polinômios de grau 3 (cúbicas). 
Esquematize graficamente como seria uma unidade de sub-área neste caso. 
 
2. Estime o número mínimo de subintervalos necessários para aproximar as integrais abaixo, de modo 
a obter um erro menor que 0,001, usando os seguintes métodos: I) Regra dos Trapézios; II) Regra 
de Simpson ⅓. 
a. ∫ ( ) 
 
 
 Tr = 37; Sp = 1 
b. ∫ ( ) 
 
 
 Tr = 90; Sp = 1 
c. ∫ ( ) 
 
 
 Tr = 22; Sp = 6 (4.72) 
 
3. Considere a função ( ) 
 
 
 . Encontre ∫ ( ) 
 
 
 com 5 subintervalos usando o Método dos 
Trapézios. Faça a estimativa do erro, dado que ( ) 
 
( ) 
 é estritamente crescente no 
intervalo [0,2]. 
R: I = 0,391866 , Etr = 0,0033 
 
4. Algumas funções, embora aparentemente simples, não possuem primitivas (integral analítica). A 
função ( ) 
 
 é um deste casos. Estime numericamente a integral ∫ 
 
 
 
 
 utilizando o 
Método da Quadratura Gaussiana com n = 2 pontos. 
 R: IQG = 0.746594 
 
5. Um foguete é lançado verticalmente em direção ao espaço, acelerando num primeiro estágio 
(de duração aproximada de 1 min) com uma velocidade que pode ser descrita pela função 
 ( ) . Estime, utilizando métodos numéricos sem introduzir erros de 
truncamento, a distância percorrida pelo projétil nos primeiros 10 s. Resolva a integral 
analiticamente e compare os resultados. OBS: Atenção ao escolher o número de pontos para 
integração. 
R: Distância = 823.3333 m 
 
6. Uma piscina retangular tem 30 m de largura e 50 de comprimento. A tabela a seguir mostra as 
medições de profundidade da água feitas em intervalos de 5 m, de uma extremidade da piscina à 
outra. Estime o volume de água na piscina com a maior exatidão possível utilizando a Regra dos 
Trapézios. É possível estimar-se o erro cometido? 
 
Posição Profundidade Posição Profundidade 
0 6,0 30 11,5 
5 8,2 35 11,9 
10 9,1 40 12,3 
15 9,9 45 12,7 
20 10,5 50 13,0 
25 11,0 
 
R: V = 1435,2 m3 . Não é possível estimar o erro pois não temos informação da função que descreve 
a profundidade real (por que?). 
 
7. Um sólido foi obtido pela rotação da seção de uma reta ( ) em torno do eixo y, conforme 
mostrado na figura abaixo. Calcule numericamente, com erro zero, o volume do sólido limitado pelo 
plano , observando que o sólido é formado por seções circulares cujos raios variam em função 
da coordenada y. A área de uma determinada seção circular é descrita pela equação , 
onde é o raio da circunferência que delimita a seção. Em seguida, resolva analiticamente o 
problema de integração e confirme a exatidão da resposta. Sugestão: expresse a área de cada seção 
circular em função da variável y. 
 
 
 
 
R: V = 64,0206 
𝑦 
𝑥 
𝑦 𝑥 
𝑟 
𝑟