Lista 3 Gabarito

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II Lista de Exercícios – gabarito 
 
1) Seja um vetor v = (-1, 2), e m=(1, -1) 
a)Encontre um versor em 
em=(1; -1)/√2=(√2/2; -√2/2) 
b)Encontre α e β na expansão abaixo. 
v= α i + βem 
(-1, 2)=α(1;0)+ β(√2/2; -√2/2) 
-1= α+ β√2/2 
 2=- β√2/2→ β=-2√2 
-1= α+ (-2√2)√2/2 
α=-1+2 = 1 
c)Porque α ≠ v.i e β≠ v.em ? 
v.i = -1 
v. em= -3√2/2 
α ≠ v.i e β≠ v.em , pois embora sejam versores, i não é ortogonal à em 
 
2) Considere v = (1 , √3). 
a)Encontre um versor ev associado a v. 
em=(1; √3)/2=(1/2; √3/2) 
 
b) Encontre │v│ (=módulo de v) e θv(orientação de v). 
│v│= 2, 
θv= arctg(√3/1) = 60º. 
c) verifique que: 
vx= │v│cos θv 
│v│cos θv=2.1/2 = 1 = vx 
vy= │v│sen θv 
│v│sen θv=2. √3/2 = √3 = vx 
 
e portanto 
(ev)x= cos θv 
(ev)y= sen θv 
 
3) Mostre que e1 = (cos θ,sen θ) é versor e encontre um versor e2 ortogonal a e1. 
b)Considere θ = 30t, onde t é o tempo. Encontre e1 e e2 para t=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
c)Desenhe estes pares de versores nos pontos p=(2cos θ,2sen θ), onde θ = 30t. 
(obs: costuma-se chamar o versor e1 = (cos θ,sen θ) de versor r). 
 
a) e1 = (cos θ,sen θ) 
11cose¦ 221   sen
 
b) e1 = (cos θ,sen θ); 
e1. e2=0 (pois são ortogonais 
(cos θ,sen θ). (x, y)= cos θ.x+sen θ.y=0 
y
sen
x
sen
y
x
.
cos
cos






 
Como x2+y2=1 
 







seny
sen
x
y
ysen
yy
sen










.
cos
cos
coscos
1.
cos
2222
2
2
 
 
4)Considere o conjunto de forças abaixo: 
F1=(1,-1), F2=(2,-1), F3=(0,3), F4=(-1,-2), Fr=F1+F2+ F3+F4 
Encontre a projeção escalar destas forças (incluindo Fr) nas direções dos versores 
abaixo: 
i = (1,0), j=(0,1) 
e1 =(1/2 , √3/2) 
e2 =(√2/2 , √2/2) 
Fr=(1,-1)+(2,-1)+(0,3)+(-1,-2)=(2,-1) 
 
F1.i=(1,-1).(1,0)=1 F2.i=(2,-1).(1,0)=2 F3.i=(0,3).(1,0)=0 F4.i=(-1,-2).(1,0)=-1 
F1.j=(1,-1).(0,1)=-1 F2.j=(2,-1).(0,1)=-1 F3.j=(0,3).(0,1)=3 F4.j=(-1,-2).(0,1)=-2 
 
Fr. i =(2,-1).(1,0)=2 
Fr. j =(2,-1).(0,1)=-1 
 
F1. e1=(1,-1). (1/2 ,√3/2)=(1-√3)/2 F2. e1=(2,-1).(1/2 ,√3/2)= (2- √3)/2 
F1. e2=(1,-1). (√2/2 ,√2/2)=0 F2. e2=(2,-1).(√2/2 , √2/2)= √2/2 
 
F3. e1=(0,3).(1/2 ,√3/2)= 3.√3/2 F4.e1=(-1,-2).(1/2 ,√3/2)= -(1+2√3)/2 
F3. e2=(0,3).(√2/2 ,√2/2)=3√2/2 F4.e2=(-1,-2).(√2/2 ,√2/2)=- 3.√2/2 
 
Fr.e1=(2,-1).(1/2 ,√3/2)= (2-√3)/2 
Fr.e2=(2,-1).(√2/2 ,√2/2)=√2/2 
 
b)Encontre a projeção escalar da força resultante na direção de F2 
Fr .( F2/│F2│)=√5 = │Fr│- módulo de Fr, pois Fr = F2 então a projeção de Fr na direção de 
F2 é “todo” Fr. 
 
5)No esquema abaixo 
 
a) encontre a força resultante Fr=F1+F2+ F3+F4 
Devemos encontrar as coordenadas retangulares para então somá-los e então 
encontrar a resultante Fr. 
Como e1 e e2 são versores ortogonais entre si então em qualquer decomposição na 
forma: 
v= αe1 + βe2 
α= v.e1 =proj. de v na dir. de e1 
β= v.e2 =proj. de v na dir. de e2 
30º
. 
F1 
F2 
F3 
F4 
15º. 
│F1│=6 
 
│F2│=10 
 
│F3│=4 
 
│F4│=10 
 
 
 
e1 
e2 
 
 
Se F1= αe1 + βe2 
α= │F1││e1│cosθ = 6.1.cos(240)= -6(1/2)=-3 
β=│F1││e2│cosθ = 6.1.cos(120)= -6(√3/2) =-3√3 
F1 =-3e1-3√3 e2 
 = -3 e1-5,196e2 
 
F2=-10e1 
 
F3=4e2 
 
F4=10cos(15)e1+10cos(75)e2 
 =9,659 e1+2,588 e2 
 
Fr=F1+F2+ F3+F4 
 =(-3 e1-5,196e2)-10e1+4e2+(9,659 e1+2,588 e2) 
=(-3-10+9,659)e1+(-5,196+4+2,588) e2 
=-3,34 e1+1,392 e2 
 
b) a projeção escalar de cada força na direção da resultante. Qual é a soma destas 
projeções? 
A projeção é dada por: Fi.(Fr/│Fr│) 
│Fr│=( (-3,34)
2+(1,392)2)1/2=3,618 
Fr/│Fr│=(-3,34 e1+1,392 e2)/ 3,618=(-3,34/3,618) e1+(1,392 / 3,618) e2 
 =-0,923 e1+0,3847e2 
F1.(Fr/│Fr│)=(-3 e1-5,196e2).(-0,923 e1+0,3847e2) 
 =0,77 
F2.(Fr/│Fr│)=(-10 e1).(-0,923 e1+0,3847e2) 
 = 9,23 ( -10 x -0,923) 
F3.(Fr/│Fr│)=(4 e2).(-0,923 e1+0,3847e2) 
 =1,5388 (0,3847 x 4) 
F4.(Fr/│Fr│)=(9,659 e1+2,588 e2).(-0,923 e1+0,3847e2) 
 =-7,9196 
A soma vale 3,618, que é exatamente o módulo de │Fr│=3,618 
Isto ocorre porque a soma dos vetores projeções de cada força na direção da 
resultante compõe a própria resultante. 
c) um versor F┴ ortogonal à Fr 
e=xe1+ye2 
e .(Fr/│Fr│+=0 
 (xe1+ye2).(-0,923 e1+0,3847e2)= 
= (x.(-0,923))+(y.0,3847)=0 
x=[(0,3847)/(0,923)]y 
x=0,41679y 
Como é versor: 
x2+y2=1 
(0,41679y)2+ y2=1 
1, 1737y2=1 
y=0,9230 
x=0,41679y 
 = (0,41679) x (0,9230) 
 = 0,3846 
d) a projeção escalar de cada força na direção de F┴. Qual é a soma destas projeções? 
F1.(0,3846.e1+0,9230e2)=(-3 e1-5,196e2).(0,3846.e1+0,9230e2) 
 =-5,9497 
F2. (0,3846.e1+0,9230e2)=(-10 e1).( 0,3846.e1+0,9230e2) 
 =-3,846 
F3. (0,3846..e1+0,9230e2)=(4 e2).( 0,3846.e1+0,9230e2) 
 =3,692 
F4. (0,3846..e1+0,9230e2)=(9,659 e1+2,588 e2). (0,3846.e1+0,9230e2) 
 =6,1035 
A soma vale 0. Isto ocorre porque a soma dos vetores projeções de cada força na 
direção da ortogonal a resultante devem se anular. 
 
6) Sejam os vetores: 
u=(1,1,-1), v=(0,-1,0) e w=(-1,0,1). 
a)Verifique se existem α, β, e γ tais que: 
m=(2,1,-2) = αu + βv + γw 
(x) 2=α-γ 
(y) 1=α-β 
(z) -2=-α+γ 
As equações para x e para z são equivalentes então temos apenas duas equações 
para 3 incógnitas. 
 
γ=α-2 
β=α-1 
e αєR (variável livre) 
 (ou seja α pode assumir qualquer valor) 
b)Interprete geometricamente este resultado. 
Bastariam 2 vetores (u e v por exemplo), para compormos o vetor m. O terceiro vetor 
(w no caso) é desnecessário pois ele também pode ser expresso como combinação 
linear de u e v (verifiquem isto). 
 
7) Sejam os versores: 
e1=(√2/2; 0; -√2/2), e2=(0,-1,0) e e3=(√2/2; 0; √2/2). 
a)Verifique que estes versores são ortogonais entre si 
Basta verificar para cada par de versores que o produto escalar entre eles resulta em 
0. Por exemplo: 
e1.e2=(√2/2; 0; -√2/2).(0,-1,0)= √2/2.0+0.(-1)-√2/2.0=0 
Façam o mesmo para e mostre que: 
e1.e3=e2.e3=0 
b)Encontre α, β, e γ tais que: 
m=(2,1,-3) = α e1 + β e2 + γe3 
Como e1, e2 e e3 são versores ortogonais entre si temos: 
α=proj. escalar de m na direção de e1=m.e1 
 =(2,1,-3).(√2/2; 0; -√2/2)= 5√2/2 
β=proj. escalar de m na direção de e2=m.e2 
 =(2,1,-3). (0,-1,0)= -1 
γ =proj. escalar de m na direção de e3=m.e3 
 =(2,1,-3). (√2/2; 0; √2/2)= -√2/2 
 
8)Sejam os vetores: 
u=(1,0,-1) e v=(2,-1,2). Encontre um vetor m ortogonal ao eixo x tal que: 
v = mxu 
Um vetor ortogonal a X é ortogonal a qualquer vetor paralelo ao eixo X por exemplo 
i=(1;0;0) – na verdade poderíamos pegar qualquer vetor na forma (α;0;0), αєR. 
Se m=(x,y,z), m.i=0, logo 
x=0 
Então 
v=(2,-1,2)= mxu = det = i(-y)-j(-z)+k(-y) 
i j k 
0 y z 
1 0 -1 
 = (-y ; z ; -y) 
Logo y=-2 e z=-1 
9) Determinar um vetor unitário que seja ortogonal ao eixo Z e que forme um ângulo 
de 60º. com o versor i. 
Da mesma forma que nos casos anteriores devemos ter que: 
para v = (x;y;z); 
v.k=0→z=0 
(x;y;z).(1;0;0)=│v│.1.cos60 
x=1.1.1/2 
Então como v é unitário: 
x2+y2+z2=1 
(1/2)2+ y2=1 
y2=1-1/4=3/4 
y=√3/2 
 
10) Sejam os vetores v = (1, -2, 1) e w=(1, 1, 1) 
a)Mostre que v e w são ortogonais. 
v.w = (1, -2, 1).(1, 1, 1) = 0 
b)Encontre um vetor u ortogonal a v e a w simultaneamente 
Podemos encontrar u na forma: 
1ª) u.v=0 e u.w=0 
(duas equações para 3 incógnitas. Ficamos com uma variável livre pois temos infinitos 
vetores ortogonais a v e a w, todos paralelos entre si mas com o tamanho e o sentido 
(positivo ou negativo) arbitrários. 
 
2ª.)u=det = i(-2-1)-j(1-1)+k(1+2) 
 =-3i+3k = (-3; 0 ; 3) 
 
 
Encontre os versores eu, ev, ew associados a u, v, e w. 
eu=u/│u│=(-√2/2; 0; √2/2) 
ev=v/│v│=(1, -2, 1) / √6=(√6/6; -√6/3; √6/6) 
ew=w/│w│=(1, 1, 1) / √3=(√3/3; √3/3; √3/3) 
 
c)Encontre α, β, e γ tais que: 
m=(2,1,-3)
= α eu + β ev + γ ew 
α=proj. de m na direção de e1=m.e1 
 =(2,1,-3). (-√2/2; 0; √2/2)= -5√2/2 
β=proj. de m na direção de e2=m.e2 
 =(2,1,-3). (√6/6; -√6/3; √6/6)= -√6/2 
γ =proj. de m na direção de e3=m.e3 
 =(2,1,-3). (√3/3; √3/3; √3/3)= 0 
 
i j k 
1 -2 1 
1 1 1