1 - Conjuntos e Funções

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GELSON IEZZI
CARLOS MURAKAMI
FUNDAMENTOS DE - 1
MATEMATICA
ELEMENTAR
CONJUNTOS FUNÇÕES
75 Exercícios resolvidos
326 Exercícios propostos - com resposta
272 Testes de Vestibulares - com resposta
3!\ edição
ATUAL
EDITORA
Capa
Roberto Franklin Rondino
Sylvio Ulhoa Cintra Filho
Rua Inhambu, 1235 - S. Paulo
Composição e desenhos
AM Produções Gráficas Ltda.
Rua Castro Alves, 135 - S. Paulo
Artes
Atual Editora Ltda.
Fotolitos
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São Paulo - SP - Brasil
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câmara Brasileira do Livro, SP
FundBlllentDB dI! matemátlcllI elementar (por] Gel-
F977 aon Iezzl (e outros) 5BO Paulo, 'Atul!l1
v.l-2, Ed., 1977-
4-6
CO-Butores: Carlos HurakBllll, Osvaldo Dolce
e Semuel H!!Izzsn; 8 Butarh dos volumes indi-
viduais vada entre 08 4 autores.
Conteúdo; v.l. Con1untos, funçeea.-v.2.
Logsrltmos.-v.4. SeQÜencias, mB~rize8 determl
Mantes, a1etl!lllB8.-v.5. CClllbln!tor1ll!l, prob!bl-
lidsde.-v.6. Complexos, polinomioB, equsçoes.
1. Metemétlca (zg grau) 1. Dolce, Osvaldo,
1938- lI. II!zzl, Gdson, 1939- IlI. Hl!!lzzan,
Sl!IIIlt1el, 1946- 1\1. Hurskeml, C8rl08, 1943-
77-1333 1::00-510
tndice para catálogo sistemático:
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'(
APRESENTACÃO
•
"Fundamentos de Matemática Elementar" é uma coleção em dez volumes
elaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática,
ao nível da escola de 'P. grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para
o curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para exames
vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e
também, como é óbvio, àqueles alunos de colegial mais interessados na "rainha
das ciências" .
No desenvolvimento dos inúmeros capítulos dos livros de "Fundamentos"
procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades.
Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposições
e teoremas estão sempre acompanhados das respectivas demonstrações.
Na estruturação das séries de exercícios, buscamos sempre uma ordenação
crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questões
que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisão. A
seqüência do texto sugere uma dosagem para teoria e exercícios. Os exercícios
resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicação
sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar a
resposta para cada problema proposto e, assim, ter seu reforço positivo ou partir à
procura do erro cometido.
A última parte de cada volume é constitUl'da por testes de vestibulares até
1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matéria
estudada.
Queremos consignar aqu i nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando
Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescindível para que pudéssemos homenagear
nesta coleção alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suas
vidas e sua obras.
Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre o anseio dos autores
e o valor de sua obra, gostaríamos de receber dos colegas professores um{ apre-
ciação sobre este trabalho, notadamente os comentários críticos, os quai's--agra-
decemos.
Os autores
,
INDICE
CAPiTULO I - NOCOES DE lÚGICAX Prop~çã()' . . . . . . . . . . . . . .. l-A
1l.''Nega.çao ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2-A
'1.1.1'. Proposição composta - conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3-A
IV. -Condicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5-A
V; Tautologias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. B-A
VI. Proposições logicamente falsas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9-A
VII. Relação de implicação 10-A
VIII. Relação de equivalência ll-A
IX. ~tenças abertas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. l2-A
X. CÔi!íÔ negar proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. l4-A
CAPiTU la 11 - CONJUNTOS
I.~njunto, elemento, pertinência .
11. ~escrição de um conjunto .
1I1.(Ç,?)'ljunto unitário, conjunto vazio .
IV. -obnjunto universo .
V. ~~juntos iguais .
VI. Subconjuntos .
VII.' ~eunião de conjuntos .
VIII. 1.lltersecção de conjuntos .
IX'.tr0priedades .
X;uiferença de conjuntos .
X( ~mplementarde B em A .
CAPI"rUlO 111 - CONJUNTOS NUMJ:RICOS
I. CoMunto dos números naturais )) .
11. cqJVunto dos números inteiros . Z. .
111. C&r'junto dos números raciona is .. ;..\ .
IV. (\onjunto dos números reais ti".:. .
V. Ii4térvalos .
VI. Coni\Jnto dos números complexos. <- .
VII. Re~o .
VIII. Princípiq'da indução finita .
19-A
20-A
22-A
23-A
25-A
26-A
29-A
30-A
3l-A
33-A
33-A
39-A
40-A
43-A
46-A
49-A
52-A
52-A
53-A
G·I
CAPlIU LO IV - RELAÇOES
I. Par ord enado 59-A
11. Sistema cartesiano ortogonal 60-A
111. Produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62-A
IV. Relação binária. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65-A
V. Dom(nio e imagem 68-A
VI. Relação inversa 70-A
VII. Propriedades .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71-A
CAPlIU LO V - FU NÇOES
I. Conceito de função 73-A
11. Definição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74-A
111. Notação das funções 77-A
IV. Dom(nio e imagem 80-A
V. Funções iguais 84-A
APÊNDICE SOBRE INEQUAÇÕES 86-A
CAPlIULO VI - FUNÇOES DO 19 GRAU
I. Função constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93-A
11. Função identidade 94-A
111. Função linear 94-A
IV. Função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96-A
V. Gráfico 96-A
VI. Imagem 100-A
VII. Coeficientes da função afim 101-A
VIII. Zero da função afim 102-A
IX. Funções crescentes e decrescentes 103-A
X. Teorema 105-A
XI. Sinal de uma função 106-A
XII. Sinal da função afim 108-A
XIII. Inequações simultâneas 112-A
XIV. Inequações-produto 113-A
XV. Inequações-quociente 120-A
CAPliULO VII - FUNÇAO QUADRATICA
I. Defin ição 123-A
11. Parábola 123-A
111. Concavidade 125-A
IV. Forma canônica 125-A
V. Zeros 126-A
VI. Máximos e m(nimos 130-A
V11. Vértice da parábola 131-A
VIII. Imagem 133-A
IX. Eixo de simetria 136-A
X. Gráfico " 136-A
XI. Sinal 140-A
XII. Inequações do 2? grau 144-A
X111. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148-A
XIV. Comparação de um número real com as
ra(zes da equação do 2? grau. . 150-A
XV. Sinais das ra(zes da equação do 2<:' grau 155-A
CAPrrULO VIII - FUNÇAO MODULAR
I. Função definida por várias sentenças abertas 159-A
11. Módulo 161-A
111. Função modular 161-A
IV. Equações modulares 166-A
V. Inequações modulares 168-A
CAPliULO IX - OUTRAS FUNÇOES ELEMENTARES
I. Função f(x) = x3 •...............••.••............. 171-A
11. Função rec(proca 172-A
111. Função máximo inteiro 177-A
CAPliuLO X - FUNÇAO COMPOSTA - FUNÇAO INVERSA
I. Função composta 181-A
11. Função sobrejetora 187-A
111. Função injetora 188-A
IV. Função bijetora 189-A
V. Função inversa 195-A
APÊNDICE I
Equações irracionais 208-A
APÊNDICE II
Inequações irracionais 217-A
- ..RESPOSTAS DOS EXERCICIOS 225-A
TESTES 269-A
RESPOSTAS DE TESTES 315-A
Johann F. C. Gauss
(1777 - 1855)
a) 9 *- 5
b) 7> 3
c) 2 E ;Z
d) 3111
e) ;Z C O
De plebeu a príncipe
Johann Friederich Carl Gauss nasceu em Brunswick, Alemanha. De fam(lia
humilde mas com o incentivo de sua mãe obteve brilhantismo em sua carreira.
Estudando em sua cidade natal, certo dia quando o professor mandou que
os alunos somassem os números de 1 a 100, imediatamente Gauss achou a resposta
- 5050 - aparentemente sem cálculos. Supõe-se que já aI' houvesse descoberto a
fórmula de uma soma de uma progressão aritmética.
Gauss foi para Gottingen sempre contando com o aux(lio financeiro do duque
de Brunswick, decidindo-se pela Matemática em 30 de março de 1796, quando se
tornou o primeiro a construir um polígono regular de dezessete lados somente com
o aux(lio de régua e compasso.
Gauss doutorou-se em 1798, na Universidade de HelmsÜidt e sua tese foi a
demonstração do "Teorema fundamental da Álgebra", provando que toda equação
polinomial f(x)=O tem pelo menos uma ra(z real ou imaginária e para isso baseou-
se em considerações geométricas.
Deve-se a Gauss a representação gráfica dos números complexos pensando
nas partes real e imaginária como coordenadas de um plano.
Seu livro "Disquisitiones Arithmeticae" (Pesquisas Aritméticas) é o principal
responsável pelo desenvolvimento e notações da Teoria dos Números, nele apresen-
tando a notação b=c (mod al, para relação de congruência, que é uma relação
de equivalência.
Ainda nesta obra Gauss apresenta a lei da reciprocidade quadrática classifi-
cada por ele como a "jóia da aritmética" e demonstrando o teorema segundo o
qual todo inteiro positivo pode ser representado de uma só maneira como produto
de primos.
Descreveu uma vez a Matemática como sendo a rainha das Ciências e a Arit-
mética como a rainha da Matemática.
No começo do séc. XI X abandonou a Aritmética para dedicar-se à Astrono-
mia, criando um método para acompanhar a órbita dos satélites, usado até hoje,
e isto lhe proporcionou em 1807, o cargo de diretor do observatório de Gottingen,
onde passou 40 anos.
Suas pesquisas matemáticas continuaram em teoria das funções e Geometria
aplicada ã teoria de Newton.
Em Geodésia inventou o helitropo, aparelho que transmite sinais por meio
de luz refletida e em Eletromagnetismo inventou o magnetômetro bifiliar e o
telégrafo elétrico.
Sua única ambição era o progresso da Matemática pelo que lutou até o
momento em que se conscientizou do fim por sofrer de dilatação cardíaca.
Gauss morreu aos 78 anos e é considerado o "príncipe da Matemática".
CAPiTULOl
NOÇÕES DE LÓGICA
I. PROPOSiÇÃO
1. Definição
Chama-se proposição ou sentença toda oração declarativa que pode ser
classificada de verdadeira ou de falsa.
Observemos que toda proposição apresenta três características obrigatórias:
1~) sendo oração, tem sujeito e predicado;
2~) é declarativa (não é exclamativa nem interrogativa)
3~) tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeira
(V) ou é falsa (F).
2. Exemplos
São proposições:
(Nove é diferente de cinco)
(Sete é maior que três)
(Dois é um número inteiro)
(Três é divisor de 11)
(O conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos
racionais)
Dessas proposições, todas são verdadeiras exceto d.
Não são consideradas proposições as frases:
f) 3· 5 + 1 (onde falta predicado)
g) V2 E O? (que é oração interrogativa)
h) 3x - 1 = 11 (que não pode ser classificada em verdadeira ou falsa)
l-A
11. NEGAÇÃO
3. A partir de uma proposlçao p qualquer sempre podemos construir
outra, denominada negação de p e indicada com o símbolo ~p.
Exemplos
a) p: 9 "* 5 b) p: 7 > 3
~p: 9 = 5 ~p: 7 ~ 3
c) p: 2EZ d) p: 3 1 11
~p: 2gZ ~p: 3111
e) p: ;z.C(}
-p: Zrj.O
4. Para que ~p seja realmente uma proposição devemos ser capazes de
classificá-Ia em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular (decretar)
o segu inte cri tér io de classificação:
A.2 Qual é a negação de cada uma das seguintes proposições? Que negações são verdadeiras?
ai 3 • 7 = 21 b) 3 • 111 - 71 "* 5
cl 3'2+1>4 di 5'7-2~5'6
el (2..)7<1~)3 fi V2 <1
2 2
91 - 1-41 ;;;. 7 hl 317
111. PROPOSiÇÃO COMPOSTA - CONECTIVOS
A partir de proposições dadas podemos construir novas proposições mediante
o emprego de dois símbolos lógicos chamados conectivos: conectivo 1\ (lê-se:
e) e o conectivo V (lê-se: ou).
5. Conectivo 1\
Colocando o conectivo 1\ entre duas proposlçoes p e q, obtemos uma
nova proposição, p 1\ q, denominada conjunção das sentenças p e q.
Assim, reexaminando os exemplos anteriores, temos que ~ p é verdadeira
no exemplo d e ~p é falsa nos demais.
A proposição ~ p tem sempre o valor oposto de p,
isto é, ~ p é verdadeira quando p é falsa e ~ p é falsa
quando p é verdadeira.
Este critério está resumido na tabela ao lado,
denominada tabela-verdade da proposição ~ p.
p ~p
V F
F V
Exemplos
10) p: 2> O
q: 2"* 1
p 1\ q: 2 > O e 2"* 1
2?) p: -2 < -1
q: (_2)2 < (_1)2
p 1\ q: -2 < -1 e (_2)2 < (_1)2
3?) p: um quadrado de lado a tem diagonal medindo 2a
q: um quadrado de lado a tem área a2
p 1\ q: um quadrado de lado a tem diagonal medindo 2a e área
a2 •
EXERCICIOS
A.l Quais das sentenças abaixo são proposições? No caso das proposições quais são
verdadeiras?
4?) p: 2 I 5 (2 é divisor de 5)
q: 315 (3 é divisor de 5)
p 1\ q: 215 e 315 (2 e 3 são divisores de 5).
2-A
ai 5' 4 o 20
cI 2+7,305,4+3
el 1 + 3 "* 1 + 6
91 3 + 4 > O
bl 5 - 4 o 3
di 5(3 + 1I o 5 • 3 + 5 • 1
fi (-2)S;;;' 1_21 3
h)11-4'2
6. Vamos postular um critério para estabelecer o valor lógico (Vou F)
de uma conjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições
p e q:
3-A
A conjunçio P Â q é verdadeira sap e q são ambas
verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então p  q
é falsa.
8. Vamos postular um critério para decidir o valor lógico (Vou F) de uma
disjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q:
1~) p: 5> O
q: 5 > 1
p Y q: 5 > O ou 5> 1
~) p: 3 = 3
q: 3 < 3
p V q: 3';;; 3
Colocando o conectivo Y entre duas proposições p e q, obtemos uma
nova proposição, p y q, denominada disjunção das sentenças p e q.
Exemplos
Reexaminando os exemplos anteriores, temos:
1~) p é V e q é V, então pÂq é V
2~) p é V e q é F, então PÂq é F
3~) p é F e q é V, então pÂq é F
4~) pé F e q é F, então pÂq é F
7. Conectivo Y
A disjunção P Y q é verdadeira se ao menos urna das pro·
posições p ou q e verdadeira; se p e q são ambas falo
sas, então p y q é falsa.
p q Pyq
V V V
V F V
F V V
F F F
Revendo os exemplos anteriores, temos:
1~) p é V e q é V, então Pyq é V
2~) p é V e q é F, então pyq é V
3~) p é F e q é V, então pyq é V
4~) p é F e q é F, então p yq é F
EXERCICIO
A.3 Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas:
a) 3> 1 e 4> 2
b) 3> 1 ou 3 = 1
c) 2 I 4 ou 2 I (4 + 1)
d) 3(5 + 2) = 3 • 5 + 3 • 2 e 3 I7
e).!. < ~ ou 5111
2 4
t) (_1)6 = -1 e 2s < (_2)7
g) ...,riS = 6 ou mdc (4, 7) = 2
Este critério está resumido na
tabela ao lado, denominada tabela·
-verdade da proposição p Y q.
p q PÂq
V V V
V F F
F V F
F F F
Este critério está resumido na
tabela ao lado, onde são e~aminadas
todas as possibilidades para p e q.
Esta tabela é denominada tabela-ver-
dade da proposição p  q.
:1,» p: 10 é número primo
q: 10 é número composto
p y q: 10 é número primo ou número composto
IV. CONDICIONAIS
4~) p: ~ < 26
q: 22 < (_3)s
p V q: 34 < 26 ou 22 < (_3)s
Ainda a partir de proposições dadas podemos construir novas proposlçoes
através do emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais:
o condicional se ... então ... (símbolo: -+) e o condicional ... se e somente se ...
(símbolo: +-+)
4-A 5-A
9. Condicional _ 11. Condicional *---+
Colocando o condicional -+ entre duas proposições p
uma nova proposlçao, p -+ q, que se lê: "se p então q",
necessária para q", "q é condição suficiente para p".
Exemplos
e q, obtemos
"p é condição
Colocando o condicional *---+ entre duas proposições p e q, obtemos
uma nova proposição, p <--+ q, que se lê: "p se e somente se q", "p é condi-
ção necessária e suficiente para q", "q é condição necessária e suficiente
para p" ou "se p então q e reciprocamente".
2?l
1?)
2?)
3?l
p: 214
q: 4112
p -+ q: 2 I 4 -+ 4 I 12
p: 10 = 5 • 2
q: 3110
p -+ q: 10 = 5·2 -+ 3110
p: 5 < 2
q: 2 E Z
p -+ q: 5 < 2 -+ 2 E Z.
Exemplos
l?l p: 2112
q: 2.7112· 7
p<--+q: 2112<--+2.7112·7
p: -ª- = 6
2 4
q: 3·4 * 6· 2
3 6
p <--+ q: 2" = 4"
4?l p: 7';;; 3
q: 3 = 6·2
p -+ q: 7';;; 3 -+ 3 = 6·2
10. Vamos postular um critério de classificação para a proposição p -+ q
baseado nos valores lógicos de p e q:
o condicional p -+ q é falso somente quando p é ver-
dadeira e q é falsa; caso contrário, p -+ q é verdadeiro.
3?l p: 6 = 12: 3
q: 3· 6 = 18
p <--+ q: 6 = 12: 3 <--+ 3·6 = 18
4?l p: 4';;; 3
q: 4·5';;; 3·5
p <--+ q: 4';;; 3 <--+ 4 . 5 O;;; 3· 5
12. Vamos postular para o condicional p <--+ q o seguinte critério de clas-
sificação:
Revendo os exemplos dados, temos:
1?) p é V e q é V, então p -+ q é V
2?) pé V e q é F, então p-+q é F
3?) pé F e q é V, então p -+ q é V
4?) pé F e q é F, então p-+q é V
6-A 7-A
o condicional +---> é verdadeiro somente quando p e
q são ambas verdadeiras ou ambas falsas; se isso não a-
contecer o condicional +---> é falso.
Este critério está resumido na
tabela ao lado, denominada tabela-ver-
dade da proposição p -+ q
p q p-+q
V V V
V F F
F V V
F F V
Assim, a tabela-verdade da pro-
posição p +---> q é a que está ao lado.
p q p <--+ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Revendo os exemplos dados, temos:
1?) p é V e q é V, então p <-> q é V
2?) pé V e q é F, então p <-> q é F
3~) p é F e q é V, então p <-> q é F
4?) p é F e q é F, então p <-> q é V
EXERCICIOS
A.4 Classificar em verdadeira ou falsa cada Uma das proposições abaixo
a) 2 - 1 ~ 1 -->- 5 + 7 = 3 • 4
b) 22 = 4 <-> (_2)2 = 4
c) 5 + 7 • 1 = 10 -->- 3·3 = 9
d) mdc (3, 6) = 1 <-> 4 é nÚmero primo
e) 2 18 -->- mmc (2. 8) ~ 2
f) 6';;; 2 <-> 6 - 2 ;;;. O
g) 1. < ~ -->- 3' 7 = 2 • 5
5 7
A.5 Admitifldo que p e q são verdadeiras e r é falsa, determine o valor (Vou F)
de cada proposição abaixo.
a) p -->- r
b) p <-> q
c) r -->- p
d) (p V rl <-> q
el p -->- (q -->- ri
f)p-->-(qVrl
g) -p <->-q
h) ~p <-> r
V. TAUTOLOGIAS
13. Seja v uma proposição formada a partir de outras (p, q, r, ... ), mediante
emprego de conectivos (Vou 1\) ou de modificador (_) ou de condicionais
(-->- ou +-». Dizemos que v é uma tautologia ou proposição logicamente
verdadeira .quando v tem o valor lógico V (verdadeira) independentemente dos
valores lógicos de p, q, etc.
-Assim a tabela-verdade de uma tautologia v apresenta só V na coluna
de v.
8-A
Exemplos
1'?) (p 1\ ~p) -->- (q V p) é ';Ima tautologia pois
p q ~p p 1\ ~p qV p (p 1\ -p) -+- (q V f)}
V V F F V V:
V F F F V V'
F V V F V V
F F V F F V.
2?) ~ (p 1\ q) <-> (-p V -q) é uma tautologia pois
p q pl\q ~(pl\q). ~p -q ~pV~q ~(p I\q)+-+ (_pV _q)
.....
V V V F F F F V
V F F V F V V V
F V F V V F V V
F F F V V V V V
VI. PROPOSiÇÕES LOGICAMENTE FALSAS
14. Seja f uma proposição formada a partir de outras (p, q, r, ...L mediante
emprego de conectivos (Vou 1\) ou de modificador (-) ou de condicionais
(-->- ou <-». Dizemos que f é uma proposição logicamente falsa quando
f tem o valor lógico F (falsa) independentemente dos valores lógicos de
p, q, etc.
Assim, a tabela-verdade de uma proposição logicamente falsa f apresenta
só F na coluna de f.
Exemplos
1?) p 1\ ~p é proposição logicamente falsa pois:
p -p p I\-p
V F F
F V F
9-A
2<:') (pV~q)+-->(~p/\q)
p q ~p ~q p V~q ~p/\ q (p V ~q)+--> (~p /\ q)
V V F F V F F
V F F V V F F
F V V F F V F
F F V V V F F
VIII. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA
18. Dadas as proposições p e q, dizemos que "p é equivalente a q" quando
p e q têm tabelas·verdades iguais, isto é, quando p e q têm sempre o
mesmo valor lógico.
Ouando p é equivalente a q, indicamos: p <=> q.
19. Observações
1a ) Notemos que p equivale a q quando o condicional p <-+ q
é verdadeiro.
2~) Todo teorema, cujo recíproco também é verdadeiro, é uma equivalência
hipótese <=> tese
VII. RELAÇÃO DE IMPLICAÇÃO
15. Dadas as proposições p e q, dizemos que
tabela de p e q não ocorre VF em nenhuma
temos simultaneamente p verdadeira e q falsa.
Ouando p implica q, indicamos p ""' q.
p implica q" quando na
linha, isto é, quando não 20. Exemplos
16. Observações
1~) Notemos que p implica q quando o condicional p -+ q é verdadeiro.
2~) Todo teorema é uma implicação da forma
hipótese ""' tese
855jm dewgpstrft[ 11 m tegrema significa mgsTra' Que 030 PEque 9 GaBO da
hipótese ser verdadeira e a tese falsa.
17. Exemplos
p q p-+q ~q ~p ~q -+ ~p
V V V F F V
V F F V F F
F V V F V V
F
I
F V V V V
2<:') 2 I 8 <=> mdc (2, 8) = 2 significa dizer que é verdadeiro o bi·
condicional "2 é divisor de 8 se, e somente se, o máximo divisor comum de
2 e 8 é 2".
A.6 Verificar, através das tabelas-verdades, a valid3de das equivalências abaixo:
EXERCICIO
10 1 2 I 4 ""' 2 I 4 • 5
significa dizer que o condicional "se 2 é divisor de 4, então 2 é divisor de
4 . 5" é verdadeiro.
2<:') p té pOSitiVO e primo ""' mdc (p, p2) = P
quer dizer que o condicional "se p é número primo e positivo, então o máximo
divisor comum de p e p2 é p", é verdadeiro.
10-A
a) da conjunção
p/\q <=> q/\p
(p /\ q) /\ r <=> p /\ (q /\ r)
p/\p<=>p
p/\v <=>p
p/\I<=>f
b) da disjunção
pVq <=>qV p
(p V q) V r <=> p V (q V rl
pVP<=>P
P Vv <=>v
P VI <=>p
ll-A
c) da conjunção relativamente à disjunção d) da negação
p /\ (q V rl = (p/\q) V (p/\ rl ~(~p) = p
p V (q /\ r) = (p V ql /\ (p V rl ~(p /\ q) = ~pV ~q
p/\(pVq) = p ~(p Vq) = ~p/\ ~q
p V (p /\ q) = p
onde p, q, r são proposições quaisquer, v é uma tautologia e f uma proposição
logicamente falsa.
Exemplos
1l?) (V xlix + 1 = 7) que se lê:
"qualquer que seja o número x, temos x + 1
2l?) (Vx)(x 3 = 2x z ) que se lê:
"para todo número x, x 3 = 2xz". (Falsa)
7". (Falsa)
IX. SENTENÇAS ABERTAS, QUANTI FICADORES
30 ) (Va) ((a + 1)z = a2 + 2a + 1) que se lê:
"qualquer que seja o número a, temos (a + 1)z = aZ + 2a + 1". (Verdadeira)
40 ) (Vy)(yZ + 1 > O) que se lê:
"para todo número y, temos yZ + 1 positivo". (Verdadeira)
25. Algumas vezes utilizamos também outro quantificador: ::J I que se lê:
"existe um único, "existe um e um só", "existe só um".
o quantificador existencial é indicado pelo slmbolo 3 que se lê: "existe",
"existe pelo menos um", "existe um".
24. O quantificador existencial
2l?) (3 x)(x 3 = 2xz) que se lê:
"existe um número x tal que x 3 = 2xz". (Verdadeira)
3l?) (3a)(az + 1 ~ O) que se lê:
"existe um número a tal que aZ + 1 é não positivo". (Falsa).
4l?) (31m) (m(m + 1) *' mZ + m) que se lê:
"existe pelo menos um número m tal que mIm + 1) i mZ + m". (Falsa)
(Verdadeira)
Exemplos
1l?) (3 xlIx + 1 = 7) que se lê:
"existe um número x tal que x + 1 = 7".
Exemplos
22. Sentenças que contêm variáveis são chamadas funções proposicionais ou
sentenças abertas. Tais sentenças não são proposições pois seu valor lógico
(Vou F) é discutível, dependem do valor dado às variáveis.
Há, entretanto, duas maneiras de transformar sentel)ças abertas em pro·
posições:
la) atribuir valor às variáveis
2a) utilizar quantificadores.
21. Há expressões como:
a) x + 1 = 7
b) x> 2
c) x3 = 2xz
que contêm variáveis e cujo valor lógico (verdadeira ou falsa) vai depender do
valor atribuldo à variável.
Nos exemplos citados temos:
a) x + 1 = 7 é verdadeira se trocarmos x por 6 e é falsa para qualquer outro
valor dado a x;
b) x > 2 é verdadeira, por exemplo, para
c) x3 = 2xz é verdadeira se trocarmos x por O (0 3 = 2 • OZ) ou 2 (23 = 2 • 2z )
e é falsa para qualquer outro
valor dado a x.
o quantificador universal, usado para transformar sentenças abertas em
proposições, é indicado pelo símbolo V que se lê: "qualquer que seja", "para
todo", "para cada"\
2l?) (3Ix)(x 3 = 2xz ) que se lê:
"existe um só número x tal que x 3 = 2x z"
que se lê:
x tal que x + 2 > 3".
23. o quantificador universal
1l?) (3Ix)(x + 1 = 7)
lIex iste um só número
3l?) L3Ix)(x + 2 > 3)
"existe um só número
que se lê:
x tal que x + 7". (Verdadeira)
(Falsa)
(Falsa)
12-A 13-A
EXERCíCIO Exemplos
Transforme as seguintes sentenças abertas em proposições verdadeiras usando quan-
tificadores:
A.7
ai x2 - 5x + 4 = O
c).::L + .::L '" .::L3 4 7
e) -(-x) = x
g) H= x
b) (a + 1)(a - 11 = a2 - 1
di y;;r + 9 '" m + 3
1)5a+4';;11
2
h) a - a = a _ 1
a
1?) p: O triângulo ABC é isósceles
q: o triângulo ABC é equilátero
p V q: o triângulo ABC é isósceles ou equilátero
-(p V q): o triângulo ABC não é isósceles e não é equilátero
2?) p: a = O
q: b = O
P V q: a = O ou b = O
-(p V q): a", O e b '" O
X. COMO NEGAR PROPOSiÇÕES
Já vimos o que é a negação de uma proposição simples, no item II deste
capítulo.
Vamos destacar aqui resultados obtidos no exercício A.6, os quais cons-
tituem processos para negar proposições compostas e condicionais.
26. Negação de uma conjunção
Tendo em vista que ~ (p 1\ q) <= -p V -q, podemos estabelecer que
a negação de p 1\ q é a proposição -p V -q.
Exemplos
1?) p: a '" O
q: b'" O
p 1\ q: a '" O e b '" O
-(pl\q): a=O ou,b=O
2<:» p: 2 1 4
q: 319
p 1\ q: 214 e 319
~(p 1\ q): 2A'4 ou 3A'9
28. Negação de um condicional simples
Já que -(p -+ q) <= P 1\ -q, podemos estabelecer que a negação
de p -+ q é a proposição p 1\ -q.
Exemplos
1<:» p: 2 E ;Z
q: 2 E O
p -+ q: 2 E;Z -+ 2 E O
_(p-+q):2EZ e 2f:-0
2<:» p: 52 = (_5)2
q: 5 = -5
p -+ q: 52 = (_5)2 -+ 5 = -5
-(p -+ q): 52 = (_5)2 e 5"'-5
29. Negação de proposições quantificadas
a) Uma sentença quantificada com o quantificador universal, do tipo
(\fx)(p(x)), é negada assim: substitui-se o quantificador pelo existencial e
nega-se p(x), obtendo: (3x)(-p(x)).
Exemplos
Tendo em vista que - (p V q) <= (-p f\ - q). podemos estabelecer
que a negação de p V q é a proposição - p 1\ - q.
27. Negação de uma disjunção
1?) sentença:
negação:
2?) sentença:
negação:
(\fx)(x + 3 = 5)
(3 x)(x + 3 '" 5)
(\fx)(x(x + 1) = x 2 + x)
(3x)(x(x + 1) '" x2 + x)
14-A 15-A
3'?) sentença:
negação:
4'?) sentença:
negação:
(Vx)(~ = x + 1)
(3X)(~ =1= x + 1)
Todo losango é um quadrado
Existe um losango que não é quadrado
b) Uma
( 3x)(p(x)),
nega-se p(x),
sentença quantificada com o
é negada assim: substitui-se
obtendo: (Vx)(-p(x)).
quantificador existencial, do tipo
o quantificador pelo universal e
Exemplos
1'?) sentença: (3 x)(x = x)
negação: (Vx)(x =1= x)
2'?) sentença: (3 a)(a + 1 ;;;. .1.)
2 3
negação: . (va)(a + ..!... < .1.)
2 3
3'?) sentença: (3a)(..!... E iR)
a
negação: (va)(..!... fJ. IR)
a
EXERCICIO
A.S Dizer qual é a negação de cada proposição abaixo:
a) rode (2, 3) = 1 ou mme (2, 3) =1= 6
b) ~ = ~ ou 3· 10 =1= 6 • 5
5 10
e) ~ ;;;. 1 e -3;;;' - 7
7
d) 22 = 4 .... v'4 = 2
e) (_3)2 = 9 .... Y9 =1= -3
t) 2';;;; 5 .... 32 ,;;;; 52
g) IVx)(x > 2 .... 3x > 32 )
h) (3 x)(...tx" < O
i) Todo número inteiro primo é Impar
j) Todo triângulo isósceles é equilétero
k) Existe um losango que não é quadrado
I) Existe um número cuja raiz quadrada é zero
m) Todo triângulo que tem três ângulos congruentes, tem três lados congruentes
A.9
16-A
Classificar em V ou F as ne9;:ões constru (das no exerc(cio anterior.
Criado um novo paraíso
Georg Ferdinand Ludwing Phillip Cantor nasceu em S. Petersburgo, passando a
maior parte de sua vida na Alemanha. Seus pais eram cristãos de ascendência
judia, e Georg logo se interessou pelos conceitos de continuidade e infinito da
Teologia medieval.
Estudou em Zürich, Gottingen e Berlim, concentrando-se em Filosofia,
FIsica e Matemática.
Possuindo grande imaginação, em 1867 obteve seu doutoramento em Berlim,
com uma tese sobre Teoria dos Números.
Muito atraído pela Análise, sua preocupação estava voltada para a idéia de
"infinito", que até 1872 foi muito discutida tanto em Teologia como em Matemá-
tica mas sem se chegar a uma conclusão precisa.
Em 1874, Cantor publicou no Journal de Crelle o mais revolucionário artigo
que até mesmo seus editores hesitaram em aceitar: havia' reconhecido a proprie-
dade fundamental dos conjuntos infinitos e, ao contrário de Dedekind, percebeu
que nem todos eram iguais, passando a construir uma hierarquia destes conjuntos
conforme suas potências.
Mostrou que o conjunto dos quadrados perfeitos tem a m~ma potência
que o dos inteiros positivos pois, podem ser postos em correspondência biunívoca;
provou que o conjunto de todas as frações é contável ou enumerável e que a po-
tência do conjunto dos pontos de um segmento de reta unitário é igual à potência
do conjunto dos pontos de um quadrado de lado unitário.
Alguns destes resultados eram tão paradoxais que o própio Cantor, certa vez
escrevendo a Dedekind, disse: "Eu vejo isso, mas não acredito", e pediu ao seu
amigo que verificasse a demonstração. Seus incríveis resultados levaram ao esta-
belecimento da Teoria dos Conjuntos como uma disciplina matemática comple-
tamente desenvolvida. de profundos efeitos no ensino.
Georg F. L. P. Cantor
(1845 - 1918)
Os matemáticos da época duvidavam
da teoria da infinidade completa de Cantor,
mas este, juntando as provas, construiu
toda uma aritmética transfinita.
Cantor passou a maior parte de sua
carreira na Universidade de Halle, de pouca
importância, nunca conseguindo realizar
uma de suas grandes aspirações que era a
de ser professor na Universidade de Berlim,
devido à perseguição de Kronecker.
o reconhecimento de suas real izações
mereceram a exclamação de Hilbert: "Nin-
guém nos expulsará do paraíso que Cantor
criou para nós".
CAPITULO II
CONJUNTOS
Faremos aqui uma revlsao das principais noções da teoria dos conjuntos,
naquilo que importa à Matemática Elementar. Em seguida usaremos estas noções
para apresentar os principais conjuntos de números.
I. CONJUNTO. ELEMENTO. PERTINENCIA
30. Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definição, isto é,
são consideradas noções primitivas:
ta) conjuntob) elementoc) pertinência entre elemento e conjunto
A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa na
linguagem comum: é o mesmo que agrupamento, classe, coleção, sistema. Eis
alguns exemplos:
1) conjunto das vogais
2) conjunto dos algarismos romanos
3) conjunto dos nú.meros ímpares positivos
4) conjunto dos planetas do sistema solar
5) conjunto dos números primos positivos
6) conjunto dos naipes das cartas de um baralho
7) conjunto dos nomes dos meses de 31 dias
Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto é chamado
elemento. Assim, nos exemplos anteriores, temos os elementos:
1) a, e, i, o, u
2) I, V, X, L, C, D, M
3) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...
4) Mercúrio, Venus, Terra, Marte,
5) 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
6) paus, ouro, copas, espada
7) janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro
19-A
No exemplo 3, cada número ímpar é elemento do conjunto dos números
ímpares, isto é, pertence ao conjunto. Em particular, 5 pertence ao conjunto
dos números ímpares e 2 não pertence.
Um elemento de um conjunto pode ser uma letra, um número, um nome,
etc. é importante notar que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto.
Por "exemplo, o conjunto das seleções que disputam um campeonato mundial
de futebol é um conjunto formado por equipes que, por sua vez, são conjuntos
de jogadores.
31. Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula A, B, C, ...
e um elemento com uma letra minúscula a, b, c, d, x, y, ....
Sejam A um
conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjunto
A, escrevemos
xEA
Para indicar que x não é elemento do conjunto A escrevemos
x ri. A
33. Quando um conjunto é dado pela enumeração de seus elementos devemos
indicá-lo escrevendo seus elementos entre chaves.
Exemplos
1) conjunto das vogais {a, e, i, o, u}
2) conjunto dos algarismos romanos {I, V, X, L, C, O, M}
3) conjunto dos nomes de meses de 31 dias
{janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro}
Esta notação também é empregada quando o conjunto é infinito: escrevemos
alguns elementos que evidenciem a lei de formação e em seguida colocamos
reticências.
Exemplos
1) conjunto dos números ímpares positivos
{1, 3, 5, 7, 9,11, 13, ... }
2) conjunto dos números primos positivos
{2, 3, 5, 7, 11, 13, ... }
32. É habitual representar um conjun-
to pelos pontos interiores a uma linha
fechada e não entrelaçada. Assim, na
representação ao lado temos:
a E A, b E A e d 1= A.
No caso de usarmos um círculo
para representar um conjunto, estaremos
usando os assim chamado diagrama de
Euler-Venn. C)a•.•••• A. .• c·b
.d
3) conjunto dos múltiplos inteiros de 3
{O, 3, -3, 6, -6, 9, -9, ... }
A mesma notação também é empregada quando o conjunto é finito com
grande número de elementos: escrevemos os elementos iniciais, colocamos re-
ticências e indicamos o último elemento.
Exemplos
1) conjunto dos números inteiros de O a 500
{O, 1, 2, 3, ... , SOO}
2) conjunto dos divisores positivos de 100
{1, 2, 5, 10, ... , 100}
11. DESCRiÇÃO DE UM CONJUNTO
Utilizamos dois recursos principais para descrever um conjunto e seus
elementos: enumeramos (citamos, escrevemos) os elementos do conjunto ou
damos uma propriedade característica dos elementos do conjunto.
2o-A
34. Quando queremos descrever um conjunto A por meio de uma proprieda-
de característica P de seus elementos x, escrevemos
A = {x I x tem a propriedade P}
e lemos: "A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P".
21-A
37. Ouando vamos desenvolver um certo assunto de Matemática, admitimos
a existência de um conjunto U ao qual pertencem todos os elementos utilizados
no tal assunto. Esse conjunto U recebe o nome de conjunto universo.
Assim, se procuramos as soluções reais de uma equação, nosso conjunto·
universo é IR (conjunto dos números reais); se estamos resolvendo um
problema cuja solução vai ser um número inteiro, nosso conjunto-universo
é Z (conjunto dos números inteiros); se estamos resolvendo um problema de
Geometria Plana, nosso conjunto-universo é um certo plano a,{o, 1,2,3, .. ,' 500}
3) {x I x é inteiro e O.,;; x .,;; 500} pode também ser indicado por:
2) {x I x é divisor inteiro de 3} é uma maneira de indicar o conjunto:
{1. -1, 3, -3}
Exemplos IV. CONJUNTO - UNIVERSO
1) {x I x é estado da região sul do Brasi I} é uma maneira de indicar
o conjunto:
{Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul}
111. CONJUNTO UNITÃRIO. CONJUNTO VAZIO
38. Quase sempre a resposta para algumas questões depende do universo U
em que estamos trabalhando. Consideremos a questão: "qual é o conjunto dos
pontos P que ficam a igual distância de dois pontos dados A e B, sendo
A i' B?"
35. Definição
Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento. 1) Se U é a reta AB, o con-junto procurado é formado só por P;
A
•
p
• ~I
B
•
Exemplos
1) conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos: { 1}
2) conjunto das soluções da equação 3x + 1 = 10: {3}
3) conjunto dos estados brasileiros que fazem fronteira com o Uruguai:
{Rio Grande do Sul}
2) Se U é um plano contendo
A e B, o conjunto procurado é a
reta mediatriz do segmento AB;
p
B
, A
36. Definição
Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento algum, O símbolo
usual para o conjunto vazio é 0.
Obtemos um conjunto vazio quando descrevemos um conjunto através de
'Ima propriedade P logicamente falsa.
Exemplos
1){xlxi'x}=0
2) {x I x é ímpar e múltiplo de 2}
3) {x I x > O e x < O} = 0
3) Se U é o espaço, o conjunto
procurado é o plano mediador do segmen-
to AB (plano perpendicular a AB
no seu ponto médio)..
39. Portanto, quando vamos descrever um conjunto A
propriedade P, é essencial fixarmos o conjunto-universo U
trabalhando, escrevendo
A = {x E U I x tem a propriedade p}
através de uma
em que estamos
22-A 23-A
EXERCfclOS
A.l0 Dê os elementos dos seguintes conjuntos:
A = {x I x é letra da palavra "matemática"}
B = {x I x é cor da bandeira brasileira}
C ={x Ix é nome de estado que começa com "a"}
Solução
A ~ {m, a, t, e, i, c}
B = {branco, azul, amarelo, verde}
C = {amazonas, amapá, acre, alagoas}
V. CONJUNTOS IGUAIS
40. Definição
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence
a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. Em símbolos:
1) {a, b, c, d} = {d, c, b, a}
2) {l, 3, 5, 7, 9, ... } = {x I x é inteiro, positivo e ímpar}
A.ll Descreva através de uma propriedade caracter(stica dos elementos cada um dos
conjuntos seguintes:
A ~ {O, 2, 4. 6, 8, ... }
B = {O, 1, 2, ''', 9}
C = {brasllia, rio de janeiro, salvador}
Solução
A = {x Ix é inteiro, par e não negativo}
B = {x Ix é algarismo arábico}
C ~ {x I x é nome de cidade que já foi capital do Brasil}
Exemplos
A B _ ('v'x)(x EA = X E B)
A.12 Escreva com srmbolos:
aI conjunto dos múltiplos inteiros de 3, entre -10 e +10
b) conjunto dos divisores inteiros de 42
c) conjunto dos múltiplos inteiros de O
d) conjunto das frações com numerador e denominador compreendidos entre O e 3
el conjunto dos nomes das capitais da região centro-oeste do Brasil
A.13 Descreva por meio de uma propriedade dos elementos
A = {+1, -1, +2, -2, +3, -3. +6, -6} B = {O, -10, -20, -30, -40, ... }
C = {I, 4, 9,16,25,36, ... } O ~ {Lua}
3) {x I 2x + 1 = 5} = {2}
Observemos que na definição de igualdade entre conjuntos não intervém
a noção de ordem entre os elementos, portanto:
{a, b, c, d} = {d, c, b, a} = {b, a, c, d}
Observemos ainda que a repetição de um elemento na descrição de um
conjunto é algo absolutamente inútil pois, por exemplo:
{a, b, c, d} = {a, a, b, b, b, c, d, d, d, d}
A.14 Ouais dos conjuntos abaixo são unitários?
A = {x I x < ~ e x > ~ }
4 5
C = {x I x é inteiro e x' = 3}
A.15 Ouais dos conjuntos abaixo são vazios?
A = {xlo-x ~ O}
B ~ {x I x > ~ e x < ~ }
4 5
C = {x Ix é divisor de zero}
O = {x I x é divisrvel por zero}
24-A
B = {x IO - x = 2}
O = {x 12x + 1 = 7}
(para conferir basta usar a definição). Assim, preferimos sempre a notação mais
simples.
41. Se A não é igual a B, escrevemos A"* B. ~ evidente que A é dife-
rente de B se existe um elemento de A não pertencente a B ou existe em B
um elemento não pertenctlnte a A.
Exemplo
{a, b, d} "* {a, b, c, d}
25-A
VI. SUBCONJUNTO 44. Vimos anteriormente o conceito de igualdade de conjuntos:
A = B -= (\f x)(x E A -= x E B)
A C B -= (\fx)(x E A => X E BI
o símbolo C é denominado sinal de inclusão.
Em símbolos, a definição fica assim:
Se A = {a} os elementos de![J(A) são °e {a}, isto é:
&(A) = {g!, {a}}
Se A = {a, b} os elementos de fJ(A) são 0, {a}, {b} e {a, b},
45. Propriedades da inclusão
Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários, valem as seguintes propriedades:
1~) iz5 C A
2~) A C A (reflexiva)
3~) (A C B e B C A) => A = B (anti-simétrica)
4~) (A C B e B C C) => A C C (transitiva)
A demonstração dessas propriedades é imediata com exceção da 1~ que
passamos a provar. Para todo x, a implicação
xEgJ=>XEA
é verdadeira pois x E g! é falsa. Então, por definição de subconjunto, 0 C A.
46. Conjunto das partes
Nesta definição está expl ícito que todo elemento de A é elemento de
B e vice-versa, isto é, A C B e B C A, portanto, podemos escrever:
A = B -= (A C B e B C A).
2?)
isto é:
1?)
Exemplos
Provaremos mais adiante (capítulo 111) que se A é um conjunto finito
com
n elementos, então fJ(A) tem 2" elementos.
Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A - notação
&(A) - aquele que é formado por todos os subconjuntos de A. Em símbolos:
&(A) = {X I X C A}
fJ(A) = {g!, {a}, {b}, {a, b}}
3?) Se A = {a, b, c} os elementos defJ(A) são 0, {a}, {b}, {c},
{a, b}, {a, c} {b, c} e {a, b, c}, isto é:
r[iJ(A) = {0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}! {a, b, c}}A rj. B
88
é inteiro e primo}
Exemplos
1) {a, b} C {a, b, c, d}
2) {a} C {a, b}
3) {a, b} C {a, b}
4) {x I x é inteiro e par} C {x I x é inteiro}
42. Definição
Um conjunto A é subconjunto
de um conjunto B se, e somente se,
todo elemento de A pertence também
a B.
Com a notação A C B indicamos
que "A é subconjunto de B" ou "A
está contido em B" ou "A é parte de B".
Com a notação A '1- B indicamos
que "A não está contido em B", isto
é, a negação de A C B.
É evidente que A '7'- B somente
se existe ao menos um elemento de A
que não pertence a B.
Assim, por exemplo, temos:
1) {a, b, c} '7'- {b, c, d, e}
2) {a, b} çz' {c, d, e}
3) {x I x é intei ro e par} '7'- {)( I x
43. Quando A C B, também podemos
escrever B:J A que se lê "B contém A".
26-A 27-A
EXERCI'CIOS VII. REUNIÃO DE CONJUNTOS
A.16 Dados A = {', 2.3, 4} e S = {2, 4}, pede-se:
a) escrever com os símbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentenças: 47. Definição
b) classificar as sentenças anteriores em falsa ou verdadeira.
A.17 Sendo A={1,2},B=c2,3}.C=',1,3,4} e
V ou F cada sentença abaixo e justificar:
Solução
ai V pois 1 E A, , E O, 2 E A e 2Eo
b) F pois lEA e ,ris
c) F pois 2EB e 2 ri C
. di V pois 2 E B, 2 E O, 3 E B e 3 E O
el F POIS 2EO e 2~C
fi V pois 2EA e 2riC
®o
x E A ou x E B.
Exemplos
1) {a, b} U {c, d} = {a, b, c, d}
2) {a, b} U {a, b, c, d} = La, b, c, d}
3) {a, b, c} U {c, d, e} = {a, b, c, d, e}
4) ia, b, c} U ~ = {a, b, c}
5) r/J U r/J = </;
Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e B o conjunto
formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.I A U B = {x I x E A ou x E B}
O conjunto A U B (lê-se "A r-----------------,
reunlao B" ou "A u B") é formado
pelos elementos que pertencem a pelo
menos um dos conjuntos A e B.
Notemos que x é elemento de
A U B se ocorrer ao menos uma das
condições seguintes:
c) B C C
fi A ri- C
o = t 1, 2, 3, 4}. classificar em
2~) não está em B
4~) B é igual a A
b) A C B
e) C = O
1~) 3 li elemento de A
3~) B li parte de A
5~) 4 pertence a B
a) A C O
d) O :) B
Solução
,a) 3 E A (V)
2a) 1 ri S (VI
3~1 B C A (V)
4~1 B = A (F)
5~) 4 E B (V)
A.18 Quais das igualdades abaixo são verdadeiras?
ai la, a, a, b, b} = {a, b}
b) {x I x2 = 4} = {x I x "'" O e x3 - 4x = O}
cl {x 12x + 7 = 11} = {2}
d)',xlx<o e x;;'O}=r/J
A.19 Dizer se é verdadeira (VI ou falsa (FI cada uma das sentenças abaixo.
a) O E{O, 1, 2, 3, 4} f I a E {a, {a}}
bl \a}E{a,b} gl {a} C {a,~a}}
cl \2> E {O} h) \2> C {O, {a}}
di O E</; i) çDE{O,{a}}
el la} C</; j) {a, b} E {a, b, c, d}
A.20 Fazer um diagrama de Venn que simbolize a situação seguinte: A, B, C, D são conjun-
tos não vazios, O C C C B C A.
A.21 Construir o conjunto das partes do conjunto A == {a, b, c, d}.
48. Propriedades da reunião
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:
1~) A U A = A (idempotente)
2a ) A U r/J = A (elemento neutro)
3~) A U B = B U A (comutativa)
4~) (A U B) U C = A U (B U C) (associativa)
Demonstração
Fazendo A = {x I x tem a propriedade p} ou, simplesmente
A=',xip(x)} e,ainda: B={xlq(x)},C={xlr(x)} e r/J={xlf(x)}
onde f é proposição logicamente falsa, temos:
AUA={xlp(x) ou p(x)}={xlp(x)}=A
Analogamente, as demais decorrem das propriedades das proposições vistas
no exercício A.6.
28-A 29-A
VIII. INTERSECÇÃO DI: CONJUNTOS
49. Definição
51. Coniuntgs djsjuntr
Quando A n B = 0, isto é, quando os conjuntos A e B não têm
elemento comum, A e B são denominados conjuntos disjuntos.
IX. PROPRIEDADES
A n B = {x I x EA e x E B}
Dados dois conjuntos A e B, chama·se intersecção de A e B o con-
junto formado pelos elementos que pertencem a A e a B.
o conjunto A n B (Iê-se"A
inter B") é formado pelos elementos
que pertencem aos dois conjuntos (A e
B) simultaneamente.
Se x E A n B, isto significa
que x pertence a A e também x
pertence a B. O conectivo e colocado
entre duas condições significa que elas
devem ser obedecidas ao mesmo tempo.
Exemplos
1) {a, b, c} n {b, c, d, e} = { b, c}
2) {a, b} n {a, b, c, d} = {a, b}
3) {a, b, c} n {a, b, c} = {a, b, c}
4) {a, b} n {c, d} = 0
5) {a, b} n 0 = íZ5
50. Propriedades da intersecção
00
52. Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades,
que inter-relacionam a reunião e a intersecção de conjuntos:
1~) A U (A n B) = A
2~) A n (A U B) = A
3~) A U (B n C) = (A U B) n (A U C)
(distributiva da reunião em relação à intersecção)
4~) A n (B U C) = IA n B) U (A n C)
(distributiva da intersecção em relação à reunião).
Demonstremos, por exemplo, a H e a 3~:
A U (A n B) = {x I p(x) V (p{x) 1\ q(x))} = {x I (p(x))} = A
A U (B n C) = {x I p{x) V (q(x) 1\ r(x))} = {x I (p{x) V q{x)) 1\ (p(x) V r{x))} =
= {x I p{x) Vq(x)} n {x I p{x) V r(x)} = (A U B) n (A U C)
EXERCICIOS
A.22 Dados os conjuntos A = {a. b. c}. B = {c. d} e C = {c. e}. determinar A U B.
A U C. B U C e A U B U C.
A.23 Provar que A C IA U B). "I A.
Solução
x E A => x E A ou x E B
I! uma implicação verdadeira, "I x. portanto: A C (A U B)
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:
1~) A n A = A (idempotente)
2~) A n U = A (elemento neutro)
3~) A n B = B n A (comutativa)
4~) A n (B n C) = (A n B) n C (associativa)
A.24 Classificar em V ou F:
a) 0 C IA U BI
c) A E IA U B)
e) B C IA U B)
admitindo que A. B e C
bl IA U B) C A
d) IA U B) C IA U BI
f) (A U B) C (A U B U C)
são conjuntos quaisquer.
Como mostramos para a operação de reunião, estas propriedades são também
demonstráveis com aux(ljo do exercício A.5.
3O-A
A.25 Determinar a reunião dos circulas de raio r. contidos num plano a e que têm
um ponto comum O E a.
31-A
A.26 Determinar a reunião das retas de um plano Q que são paralelas a uma dada reta
r de Q.
X. DIFERENÇA DE CONJUNTOS
A.28 Provar que (A () B) C Ao 'ri A.
A.31 Dados os conjuntos A = {lo 2. 3}. B = {3o 4} e C = {lo 2. 4}o determinar
o conjunto X tal que X U B = A U C e X () B = 0.
A.27 Dados os conjuntos A = {a. bo c. d}o B = {b. Co do e} e C = {co e o f}, pede-se
descrever A () Bo A () C. B () C e A () B () C.
@
00
@
A - B = {x I x E A e x1=- B}
XI. COMPLEMENTAR DE B EM A
Dados dois conjuntos A e B, tais
que B C A, chama-se complementar de
8 em relação a A o conjunto A - B,
isto é, o conjunto dos elementos de A
que não pertencem a jB.
54. Definição
Dados dois conjuntos A e B, cha-
ma-se diferença entre A e B o con-
junto formado pelos elementos de A
que não pertencem a B.
Com o símbolo
C~ ou A
indicamos o complementar de B em relação a A.
Notemos que C~ só é definido para B C A e aí temos:
53. Definição
Exemplos·
1) {a, b, c} - {b, c, d, e} = {a}
2) {a. b, c} - {b, c} = {a}
3) {a, b} - {c, d, e. f} = {a, b}
4) {a, b} - {a, b, c, d, e} = 0
e) L () Q
f) pU Q
c) L () R
d) Q () R
a) L () P
b) R () P
A.32 Determinar o conjunto X tal que
{ao b, Co d} U X = {a, b, Co d, e}o {c, d} U X = {a, c, d, e} e
{b. Co d} () X = {c}.
Solução
ai X U B = {1. 2 0 3. 4} então os posslveis elementos de X são: 1, 2, 3 e 4.
b) X () B = 0 "* 3 fÍ. X e 4 ri:. X
Conclusão X = {1. 2}
Solução
x E (A () B) = (x E A e x E B) = x E A
é uma implicação verdadeira, 'ri X o portanto (A () B) C A.
A.29 Classificar em V ou F
a) oC (A () B) bl A C (A () B)
c) A E (A () BI d) (A () B) C (A () B)
e) (A () B) C B f) (A () B) :) (A () B () C)
admitindo que Ao B e C são conjuntos quaisquer.
A.30 Consideremos
os conjuntos:
K = conjunto dos quadriláteros planos
P = {x E K Ix tem lados 2 a 2 paralelos}
L = {x E K I x tem 4 lados congruentes}
R = {x E K I x tem 4 ângulos retos}
Q = {x E K Ix tem 2 lados paralelos e 2 ângulos retos}
Pede-se determinar os conjuntos:
A.33 Assinalar no diagrama ao lado, um de
cada vez, os seguintes conjuntos:
a) A () B () C
b) A () (B U C)
c) A U (B () C)
d) A U B U C
32-A 33-A
Exemplos A.35 Provar que (A - B) C A, V A.
admitindo que A e B são conjuntos quaisquer.
Solução
A implicação x E (A-B) ='(x E A e x ~ BI =>x E A
é verdadeira para todo x, então (A - BI C A.
1) Se A = {a, b, c, d, e} e B = {c, d, e}, então:
C~ = {a, b}
2) Se A = {a, b, c, d} B, então:
C~ = 0
3) Se A = {a, b, c, d} e B = >t, então:
C~ = {a, b, c, d} = A
A.36 Classificar em V ou F as sentenças:
ai (A - BI ..:) >t
cl (A- B) C B
bl (A - B) U (A n B) A
di (A-BI C (A U BI
55. Propriedades da complementação
A.37 Dados os conjuntos A ~ {l, 2, 3, 4, 5}, B = {l, 2, 4,6, a} e C = {2, 4, 5, 7},
obter um conjunto X tal que X C A e A - X = B n C.
Sendo B e C subconjuntos de A, valem as seguintes propriedades:
H) C~ n B = 0 e C~ U B = A
2~) C~ 0 eC~ = A
3\1) CAl C~) B
•
4\1) C~ n CI C~ U C;
5~) C~ U CI C~ n C;
A.39 Provar que A - a = A n B onde A e B são conjuntos quaisquer do universo U.
Provemos, por exemplo, a 2\1 e a 4\1:
C~ = {x E A I x ~ A} = 0
CP = {x E A I x ~ 0} = A
C ~ n C) = {x E A I x ~ B n C} = {x E A I x ~ B
= {x E A I x ~ B} U {x E A I x ~ C} =
ou x ~ C} =
C~ U C;
A.38 Assinalar no diagrama ao lado, um de
\ cada vez, os seguintes conjuntos:
ai à - B
bl à - A U B
c) li" UA
d) A U B
e) A n B
f) li" nA
Solução
A implicação
x E (A - a) = (x E A e x ~ ai = x E A e x E a ==>
===> )( E A n a é verdadeira, V x, portanto, está provado.
A.40 Classificar em V ou F as segu intes sentenças:
a) (A - BI U (B - A) = (A U BI - (A n B)
b) A C B = ( C BI C ( CAI
cl (A - B) C ( CAI
d) (A-BI C ( CBI
EXERCICIOS SUPLEMENTARES
u
EXERCICIOS
A = {a, b, c. d}, B = {c, d. e. f} C {b d },g e = , ,e. g .A.34 Sejam os conjuntos
Determinar:
a) A - B
bl B - A
34-A
cl C - B
d) (A U C) - B
e) A- (B n C)
f) (AUB)-(AnCI
A.41 Descrever os elementos dos canju ntos abaixo:
A = {x I x2 - 5x - 6 = O}
B = {x I x é letra da palavra "exercício"}
C = {x I x2 - 9 = O ou 2x - 1 = 9}
D = {x I2x + 1 = O e 2x2 - x - 1 = O}
E = {x I x é algarismo do número 234543}
35-A
A.42 Seja E ~ la, {a}}. Dizer quais das proposições abaixo são verdadeiras.
a) a E E
b) {a} E E
c) a C E
d) {a} C E
e) 0E E
f) 0 C E
A.43 Sejam A e 8 dois conjuntos finitos. Provar que
nA U 8" nA + n8 - nA n 8'
o símbolo nX representa o número de elementos do conjunto X.
A.44 Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam Inglês, 163 estudam Francês e 52 es·
tudam ambas as línguas. Quantos alunos estudam Inglês ou Francês? Quantos alunos
não estudam nenhuma das duas?
A.45 Sendo A,8 e C conjuntos finitos, estabelecer uma fórmula para calcular nAU 8 ue·
A.46 Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa
do mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo:
marca A 8 C Ae8 8ee eeA A,8ee nenhuma das três
número de 109 203 162 25 41 28 5 115
consumidores
Pede-se:
a) número de pessoas consultadas
bl número de pessoas que só consomem a marca A
c) número de pessoas que não consomem as marcas A ou C
d) número de pessoas que consomem ao menos duas marcas.
A.47 Determinar os conjuntos A, 8 e C que satisfazem as segu intes seis condições:
1~) A U 8 U C " {z, x, v, u, t, S, r, q, p}
2a) An 8 {r, s}
3a l 8 n C {s, x}
4~) enA {s, t}
5~) AU C {p, q, r, s, t, u, v, x}
6a) AU 8 {p, q, r, s, t, x, z}
A.4S Em certa comunidade há indivfduos de três raças: branca, preta e amarela. Sabendo que
70% são brancos e 210% não são pretos e 50% são amarelos, pergunta-se:
a) quantos indiv(duos tem a comunidade?
b) quantos são os indivfduos amarelos?
36-A
A.49 Dados dois conjuntos A e 8, chama-se diferença simétrica de A com 8 o con-
junto A1l8 tal que:
A1l8 " (A - 8) U (8 - A)
Pede-se:
a) determinar {a, b, c, d} II {c. d, e, f, g}
b) provar que A1l0" A, para todo A
cl provar que AllA" rz5, para todo A
d) provar que A1l8" 811A, para A e 8 quaisquer
e) assinalar em cada diagrama abaixo o conjunto AtJ.8:
@oo
A.50 Desenhar um diagrama de Venn representando quatro conjuntos A, 8, C e D não
vazios de modo que se tenha
A;Z 8, 8;Z A, C :J IA U 81 e D C (A n 81
37-A
CAPÍTULO III
CONJUNTOS
NUMÉRICOS
I. CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS
56. Chama-se conjunto dos números naturais - símbolo PlJ - o conjunto forma-
do pelos números O, 1, 2, 3, ...
N = {O, 1,2,3, ...}
57. Neste conjunto são definidas duas operações fundamentais a adição e a mul-
tiplicação, que apresentam as seguintes propriedades:
[A.l) associativa da adição
(a + b) + c = a + (b + c)
para todos, a, b, c E PlJ.
[A.2) comutativa da adição
a+b=b+a
para todos a, b E PlJ.
[A.3) elemento neutro da adição
a + O = a
para todo a E PlJ
[M.1] associativa da multiplicação
(ab)c = a(bc)
para todos a, b, c E PlJ
[M.2) comutativa da multiplicação
ab = ba
para todos a, b E PlJ
39-A
[M.3]elemento neutro da multiplicação
a • 1 = a
para todo a E IW
[D] Distributiva da multiplicação relativamente à adição
a(b + c) = ab + ac
para todos a, b, c E IW
58. Veremos que os próximos conjuntos numéricos a serem apresentados são
ampliações de IW, isto é, contêm til, têm uma adição e uma multiplicação com as
propriedades formais já apresentadas e outras mais, que constituem justamente o
motivo determinante da ampliação.
Assim, dado um natural a *" O, o simétrico de a não existe em til:
-a E N. O resultado disso é que o símbolo a - b não tem significado em til
para todos a, b E IW, isto é, em til a subtração não é uma operação. Venceremos
esta dificuldade introduzindo um novo conjunto numérico.
[A,4] simétrico ou oposto para a adição
Para todo a E Z. existe -a E 1: tal que
a +. (-a) = O
Devido à propriedade [A41. podemos definir em 1: a operação de sub-
tração, estabelecendo que a - b = a + (- b) para todos a, b E z..
62. Os números inteiros podem ser representados sobre uma reta orientada
através do seguinte procedimento:
a) sobre a reta estabelecemos um sentido positivo e um ponto O (origem)
que representa o inteiro O (zero)
o
b) a partir de O, no sentido positivo, marcamos um segmento unitário
u *" O cuja extremidade passará a representar o inteiro 1
I U ..
o
63. Uma importante noção que devemos ter sobre números inteiros é o con-
ceito de divisor.
Dizemos que o inteiro a é divisor do inteiro b - símbolo a I b - quando
existe um inteiro c tal que ca = b.
c) para cada inteiro POSitiVO n, a partir de O, marcamos um segmento de
medida nu no sentido positivo cuja extremidade representará n e marcamos um
segmento de medida nu no sentido negativo cuja extremidade representará o
inteiro - n.
O resu Itado é este:
-4 -3 -2 -1 O 2 3 4
I I I I I I ~
11. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
59. Chama-se conjunto dos números inteiros - símbolo Z - o seguinte conjunto:
,z = { ••• , -3, -2, -1, O, 1, 2, 3, ...}
60. No conjunto Z. distinguimos três subconjuntos notáveis:
-l+ = {O, 1, 2, 3, ...} = t.I
u u u u u u u u
(chamado conjunto dos inteiros não negativos)
-l_ = {O, -1, -2, -3, ...}
(chamado conjunto dos inteiros não positivos)
,Z* = {... , -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... }
(chamado conjunto dos inteiros não nulos)
61. No conjunto ,z são definidas também as operações de adição e multiplicação
que apresentam, além de [A1l. [A21. [A3]. [Mll. [M2], [M3] e D, a proprie-
dade:
4O-A
Exemplos
1) 2 I 12
2) 3 I -18
3) -5 I 20
4) -2 I -14
5) 4 I O
6) O I O
pois
pois
pois
pois
pois
pois
6·2=12
(-6) • 3 = -18
(-4) (-5) = 20
7·(-2) -14
0·4 O
1 • O O
b)
41-A
64. Quando a é divisor de b dizemos que "b é divisível por a" ou "b é
múltiplo de a".
Para um inteiro a qualquer, indicamos com Ora) o conjunto de seus di-
visores e com M(a) o conjunto de seus múltiplos.
111. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Exemplos
1) 0(2) {1, -1, 2, -2} M(2) = {O, ±2, ± 4, ±6, ... }
2) 0(-3) {1, -1, 3, -3} M(-3) = {O, ±3, ±6, ±9, ... }
3) 0(0) =;z M(O) = {O}
65. Dizemos que um número inteiro p é primo quando p *- O, 1 e -1 e
O(p) = {1, -1, p, -p}.
66. Dado um número inteiro q *- 1 e -1, o inverso de q não existe em
z: ~ rf Z. Porisso não podemos definir em ;Z a operação de divisão, dando
q
significado ao símbolo p Vamos superar esta dificuldade introduzindo os núme-
q
ros racionais.
67. Chama-se conjunto dos números racionais - símbolo lIl- o conjunto dos
pares ordenados (ou frações) ~, onde a E Z e b E Z*, para os quais
adotam-se as seguintes definições:
Exemplos
2, -2, 3, -3, 5, -5, 7 e -7 são primos.
EXERCíCIOS
A.51 Quais das proposições abaixo são verdadeiras?
(j) igualdade: ~=~<==>ad=bcb d
Descrever os seguintes conjuntos: 0(6), 0(-18), 0(-24) n 0(16), M(4), M(10)
M(-9) n M(6),
A.52
a) O E 1\1
d) 1\1 U R._ = 71
g) (-4) (-5) E R.+
b) (2 - 3) E 1\1
e) R.+ n R._ = í25
h) O E 7l
c) 1\1 Cz.
f) 1-3)2 E 7l
i) (5-11)E7l
e
(i i)
(iii)
adição:
a c ac
multiplicação: b' d = bd
A.53 Quais dos seguintes elementos de ;Z não são primos: 12, -13, O, 5, 31, -1, 2, -4, 1,
49 e 53?
A.54 Sendo a e b dois números inteiros, pergunta-se:
a) D(a) e D(b) podem ser disjuntos?
b) Que nome se dá a um inteiro m tal que D(a) n Dlb) = Dlm)?
c) Quando Dia) n D(b) = {1, -1}, qual é a relação existente entre
d) Em que caso ocorre Mia) C M(b)?
e) Em que caso ocorre M(a) n Mlb) = M(ab)?
f) Que nome se dá a um inteiro n tal que M(a) n M(b) Mln)?
Determinar os seguintes números inteiros:
III conjunto dos racionais não positivos
sãoaeb
a é uma fração irredu-b
6
não é:10
o denominador. Sebé o numerador eaab'
lIl* conjunto dos racionais não nulos
Na fração
o f_23 7 -'do,tive!. Assim, as raçoes 3' 7" e 15 sao Irre utlvelS mas
primos entre si, isto é, se mdc(a, b) = 1, dizemos
68. No conjunto dos racionais destacamos os subconjuntos:
lIl+ conjunto dos racionais não negativos
69.
a e b?
b) mdc(-4, 6)
d) mmc(2,3)
f) mmc(-6, -14)
a) mdc(2,3)
c) mdc(-6, -14)
e) mmc 1-4, 6)
A.55
42-A 43-A
70. Consideremos o conjunto ([1' formado pelos números racionais com de-
nominador unitário: ([1' = {~ I x E Z}. Temos:
a b
<o=a=b
1
[MA) simétrico ou inverso para a multiplicação
a a
para todo b E ([1 e b '* O, existe
: E ([1 tal que ~.: = 1.
a b a • b
-·-=---<o=a·b=a·b
1 1 1
Devido à propriedade [MAJ.a b+ 1
a + b
1
<o=a+b=a+b
visão, estabelecendo que
não nulos.
a • c
b d
podemos definir em ([1*, a operação de di-
a d a c
b c para b e d racionais quaisquer
portanto, os racionais com denominador igual a 1 comportam-se para a igualdade,
a adição e a multiplicação como se fossem números inteiros. Assim, fazendo o
por um número decimal. Na passagem de uma notação para outra podem ocorrer
dois casos:
racional x coincidir com o inteiro x, decorre que:
([1' =:l, logo, :l c. ([1
72. Notemos finalmente que todo número racional ab pode ser representado
1Çl) o número decimal tem uma quantidade finita de algarismos, isto é, é
uma decimal exata.
29) o número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que se re-
petem periodicamente, isto é, é uma dízima periódica.
Exemplos
3 1 1 27
,- = 3; "2 = 0,5; 20 = 0,05; 1000 = 0,027
0,285714285714 ...
Exemplos
1 23' = 0,333 ... ; 7
[A.ll (~ + %) + ~
a c c a
[A.2) b + ti = ti + b
a a
[A.3] b + ° = b
a a[A.4)b+(-b) °
71. Pode-se verificar que a adição e a multiplicação de racionais apresentam as
seguintes propriedades:
a c e
onde b' d e f são racionais quaisquer, portanto, são vál idas as mesmas pro-
priedades formais vistas para os números inteiros. Além dessas, temos mais a
seguinte:
a c[M.ll (b' d)
a ~[M.2) b d
a[M.3) b
[o) a
b
(-=-
d
~ a
-
d b
a
b
e a
+-)
bf
EXERCICIOS
A.56 Quais das seguintes proposições são verdadeiras?
a) N C O b) ,z C O
d) 517 E O e) 0,474747 ... E<ll
g) 1 E <ll-'z hl f E O-L.
21 121 131j) é irredut ível kl 147 < 15014
cl oE O
f) {T' !...! } C. <ll3
i) ~ E <ll-'z2
I) r E <ll => -r E O
44-A 45-A
A.57 Colocar na forma de uma fração irredutlvel os seguintes números racionais: 0,4;
0,444. ..; 0,32; 0,323232,.,; 54,2; 5,423423423,
A.59 Mostrar que se ri e r2 são racionais e ri < r2, então existe um racional r
tal que ri < r < r2'
15 11 18 1 47A.58 Colocar em ordem crescente os números racionais seguintes: 16' 12' 19' '48
2
e 3'
.J2 = 1,4142136 ...
rr = 3.1415926, ..
a = 1,010010001 ...
Outro recurso para construção de irracionais é usar o fato de que se a é
a rirracional e r é racional não nulo, então: a + r, a· r. r e a são todos
irracionais.
chamados números irracionais.
Se quisermos outros números irracionais, poderemos obtê-los, por exemplo,
através da expressão ...;p onde p é primo e positivo. São irracionais:
.,[3, v'5. ...[7, etc.
3
-2, -"2' -1,
6
e 2'
A.60 Representar sobre uma reta orientada os números racionais seguintes:
IV. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Exemplos
.J2 + 1, 3../1 .,[3 --ª-
, 2' v'5 são irracionais.
~ é racional. Por exemplo, V2 fi m o que é provado facilmente assim:
e um número natural
conjunto dos reais não negativos
conjunto dos reais não positivos
conjunto dos reais não nlilos.
Além de m, destacamos em IR três outros subconjuntos75.nem sempren ;;. 2.
seja tal queab
a
b
admitamos que a fração irredutível(i)
Dado um número racional73.
lii) ~ = ...[2 = a2 = 2b2 = a2 é par = a é par
(iii) fazendo a = 2m. com m E z., temos:
a2 = 2b2 ==> (2m)2 = 2b2 =- b2 2m2 ==> b2 é par =- b é par
e isto é absurdo pois ITldc (a, b) = 1.
Vamos agora in\roduzir um conjunto numérico que contém o. e onde a
radiciação pode ser definida.
76. As operações de adição e multiplicação em IA gozam das mesmas pro-
priedades vistas para o conjunto m. Em IR é também definida a operação
de subtração e em IR* é definida a divisão, Com a introdução dos números
irracionais, a radiciação é uma operação em IR+. isto é, v-; E IR para todo
a E IR+.
77. Já vimos que os números inteiros podem ser representados por pontos de
uma reta
Analogamente, os números racionais não inteiros também podem. Se qui-
I ,1 bsermos, por exemp o, representar o numero '2 so re a reta, marcamos a par-
1
tir de O um segmento de medida 2"u no sentido positivo. A extremidade desse
74. Chama-se conjunto dos números reais IR - aquele formado por todos os
púmeros com representação decimal, isto é, as decimais exatas ou peribdicas
(que são números racionais) e as decimais não exatas e não periódicas (chamadas
lJúmeros irracionais).
Assim, todo racional é número real.
o.elA
e, além dos racionais, estão em IR números como:
-4
I
-3
I
-2
I
-1
I ° 1I I
u
2
I
3
I
4
I
5
I •
46-A 47-A
-2 -1 O 2 3
I I I I I I I I I I I
segmento representa
números racionais.
-3
I
1
2' Na figura abaixo representamos sobre a reta vários
A.63 Mostrar que J4 + 2 v'3 o 1 + v'3.
A.64 Mostrar que existem a e b raeionaistaisque V18-8V2 o a + bV2.
A.65 Dados dois números x e y reais e positivos, chama-se média aritmética de x com
V o real a ""~ e chama-se média geométrica o real 9 o;; ..J;;;. Mostrar2
que a;;;' g para todos x, y E IR+.
Quando representamos também sobre a reta os números irracionais, cada
ponto da reta passa a representar necessariamente um número racional ou irra-
cional (portanto, real), isto é, os reais preenchem completamente a reta.
-3
-2 -, O 1 2 3
I ~l I I I I I ti I I I I I ..o§. -~ -t , , 9 11
Jr2 -"2 "2 4 "4
-.../3 ,.fi
Esta reta, que representa IR, é chamada reta real ou reta numérica.
A.66 Representar sobre a reta real, cada um dos seguintes conjuntos:
A o {x E IR I , ",;; x ",;; 2}
B ~ {x E IR I O < x < 3}
C ~ {x E IR I x ",;; O ou x > 2}
D = {x E IR 1-' .< x < O ou x;;;' 3}
V. INTERVALOS
78. Na reta real os números estão orde-
nados. Um número a é menor que qual·
quer número x colocado à sua direita e
maior que qualquer número x à sua es·
querda.
EXERCfclOS
a
•--,---~-~/ ',-;~=--,----::--,-
{xEIRlx<a} {xEFllx>a}
79. Dados dois números reais a e b, com a < b, definimos:
a) intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto
] a, b [ = {x ~ IR I a < x < b}
que também pode ser indicado por a - b.
A.61 Ouais das proposições abaixo são verdadeiras?
a) 3 E IR
aI ~ E IR-Ill
gl (V2 - 3 v'3) E IR - III
b) N C IR
e) v'4 E IR-Ill
h) 3V2 E IR-m
v'5
c) 7L. C IR
f) V4 E IR-m
i) 3y'2 E m
572
b) intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto
[a, b] = {x E IR I a ",;; x ",;; b}
que também pode ser indicado por af---lb.
c) intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) de extremos a e b
é o conjunto
[a, b [ = {x E IR I a ",;; x < b}
A.62 Provar que se a, b, c, d são racionais, p é primo positivo e a + b-V-;;- o c + d-V-;;-,
então a = c e b = d.
Solução
a+b~oe+d~<=> (b-dly';;"oe-a
Como c - a é racional, a última igualdade s6 subsiste quando (b - di V; E O,
isto é, se b - d = O. Neste caso, c - a = O, provando a tese.
4S-A
que também pode ser indicado por af--b.
d) intervalo fechado à direita (ou aberto à esquerda) de extremos a e b
é o conjunto
] a, b] = {x E R I a < x ",;; b}
que também pode ser indicado por a ---; b.
49-A
80. Os números reais a e b são denominados, respectivamente, extremo in-
ferior e extremo superior do intervalo.
EXERCíCIOS
~.67 Descrever, conforme a notação da teoria dos conjuntos, os seguintes intervalos:
81. Exemplos [-1.3]. [0.2[. ]-3.4[. ]-00. S[ e [1. + 00[.
83. Os intervalos têm uma representação geométrica sobre a reta real como segue:
..
...
..
..
1 3
0111 Ili 1111 li Ili 11111111 li 111111111110
1 4
01111111111111111111111111111111111111111111111111111110
e A U B c [O. 4]
o 3
0111111111111111111111111111111111111111111111111111111o
O 4
0'"11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
A
ai [0.2] n [1.3]
bl [0.2) n ]1. 3[
cl ]-1. ~[ n )0. ~[
di )-00.2) n [O. + oo[
9
e) [-1. + oo[ n [-'2,21
t) [1.2] n [O. 3] n [-1, 4)
B
Solução
A U B
A n B
então A n B ~ [1. 3]
A n B e A U B sendo A o [O. 3) e B o [1. 4]
~.68 Utilizando a representação grâfica dos intervalos sobre a reta real, determinar
~.69 Descrever os seguintes conjuntos:
1 1 .]- 3' v'2] = {x E IR I - 3 < x .;;; v'2} é intervalo fechado à direita.
19) ]2, 5[ = {x E IR I 2 < x < 5} é intervalo aberto
29) [-1, 4] = {x E IR I -1 .;;; x .;;; 4} é intervalo fechado
[i, 7 [ = {x E IR I ~.;;; x < 7} é intervalo fechado à esquerda39)
49)
82. Também consideramos intervalos lineares os "intervalos infinitos" assim
definidos:
a) ]- 00, a [ = {x E IR I x < a}
que podemos também indicar por - 00 -- a.
b) ]- 00, a] = {x E IR I x .;;; a}
que também podemos indicar por - 00-----1 a.
c) ] a, + 00 [ = {x E IR I x > a}
que também podemos indicar por a-- + 00.
d) [a, + 00 [ = {x E IR I x ;;;. a}
que também podemos indicar por a I--- + 00.
e) ]-00, + co[ = IR
que também podemos indicar por -00 -- + 00.
b
---------..~llIl1llllll-l+III11I1II+lIl++llIlllllrl!II-1+lIllllllrl!lIll1l11llllli!+lllllo---------1,,-
a b
---------cllIIlIl+llI++IIIIllIl-l+II11'IIIIllIl++IIIl1II1IllIll+IIIIllIlIKIIIlIIIIIllIIt_--------1,,_
ai [- 1. 3] U [O. 4]
bl ]-2. 1] U ]0. S[
c) [-1. 3] U [3. S]
1 3 1
d) h-, O[ U ]-'2' - '4)
~.70 Determinar os seguintes conjuntos:
...
..
a b
--------01111111111111111111111111111111111110'--------1...
a b
1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIItIlllllllllUIo
la. b [
[a. b]
[a. b[
la. b]
]- 00, a] 1I111111111111111111111111111111111111111111~
la. + oo[ a---------olllllllllllllIlIIIIIIIIIIIIIIIIIlIlIlIlIUlllllllHllllIlIl111111111111111.
..71 Sendo A [O. S [ e B )1. 3 [. determinar C~
50-A 51-A
VI. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
84. Em IR. a radiciação é uma operação, isto é, va E IR. qualquer que
seja o real a não negativo. Assim, por exemplo, .,f2, V'5, .era, sj3! e
6~ _, .
V 7T sao numeros reais.
Desde que o índice da raiz seja ímpar, os radicais da forma ~,
onde a E IR., também representam números reais. É o caso, por exemplo, de
if=1, Z! -32 e Z!"=3
Se o radicando é negativo e o índice da raiz é par, entretanto, o radical
v::a não representa elemento de IR. Por exemplo, v'""=l não é real, pois:
v'""=l = x===>- 1 = x2
e isto é impossível pois se ,x E A, então x2 ;;;. O.
85. Resolveremos definitivamente o problema de dar significado ao símbolo
va, para todo número a, introduzindo no volume F desta coleção o con·
junto <I: dos nLimeros complexos do qual IR é um subconjunto.
Observemos que ~ C ;z C mC IR C <1:.
Notemos também que:
;Z - ~ = conjunto dos números inteiros negativos
m-;Z conjunto dos números racionais nio inteiros.
IR - m = conjunto dos núl\leros reais irracionais.
Finalmente lembremos das principais operações definidas em cada conjunto:
~: adição e multiplicação
z: adição, multiplicação e subtração
m: adição, multiplicação, subtração e divisão
IR: adição, multiplicação, subtração, divisão e radiciação (para reais não ne-
gativos)
VIII. PRll'JCfPIO DA INDUÇÃO FINITA
87. A indução vulgar (generalização de propriedade após verificação de que a
propriedade é válida em alguns casos particulares) pode conduzir a sérios enganos
na Matemática. Vejamos dois exemplos:
VIL RESUMO 19) Consideremos a relação y
Temos:
n
22 + 1 definida para n E ~.
86. Os conjuntos numéricos podem ser representados esquematicamente pela
figura abaixo:
52-A
n 0== y 220 + 1 21 + 1 3
n 1 == y 221 + 1 22 + 1 5
n = 2 == y = 222 + 1 = 24 + 1 = 17
n 3 ==> y 223 + 28 + 1 = 257
n 4 ==> y 224 + 216 + 1 = 65 537
Os números y encontrados são números primos. Fermat (1601-1665) acre·
:Htou que a fórmula acima daria números primos qualquer que fosse o valor
inteiro positivo atribuído a n. Esta indução é falsa pois Euler (1707-1783)
1l0strou que para n = 5 resulta y = 22S + 1 = 232 + 1 = 4794.967,297 =
= 641 X 6700417, isto é, resulta um número divisível por 641 e que, portanto,
,ão é primo.
53-A
29) Dada relação n
3 3n2 7n 3, definida todoa y +- - - + para6 2 3
n E IW *, temos:
1 = y 1
3 3. 12 7 . 1
+ 3 = -1+9-14+18 2n -- +-- ---6 2 3 6
2= Y
23 3. 22 7· 2
+ 3 -8 + 36 - 28 + 18 3n = --+ -- ---6 2 3 6
33 3. 32 7· 3 -27 + 81 - 42 + 18 5n 3= y --+-----+36 2 3 6
n=4=y= 4
3 3" 42 7· 4 3 =
~64+ 144-56+ 18
= 7-- +-- --- +6 2 3 6
Poderíamos tirar a conclusão precipitada: "y é número primo, 'ri n E
Esta indução também é falsa pois:
29) Se k E 11I, k ;;. no e P(k) é verdadeira, então P(k + 1) também
é verdadeira.
29) Admitamos que P(k), com k E N*, seja verdadeira:
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) '" k2 (hipótese da indução)
e provemos que decorre a validade de P(k + 1), isto é:
+ 3 + 5 + ... + (2k - 1) t [2(k + 1) - 1] (k + 1}2
",
(n E IW*)
19) Verifiquemos que P( 1) é verdadeira
n = 1 = 1 = 12
90. Provemos, por exemplo, que:
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2
89. Para provarmos que a relação é válida para todo n E IW* empregamos o
princípio da indução finita (P.I.F.) cujo enunciado segue:
Uma proposição P(n), aplicável aos números naturais n, é verdadeira
para todo n E 11I, n ;;. no, quando:
19) P(no) é verdadeira, isto é, a propriedade é válida para n = no, e
8-125 + 225 - 70'; 186
53 3. 52 7" 5
n = 5 ~ y = --+ -- - -- + 36 2 3
(n E N*)
88. ~ necessário, portanto, dispor de um método com base lógica que
permita
decidir sobre a validade ou não de uma indução vulgar.
Consideremos, por exemplo, a igualdade:
1 + 3 + 5 +. .. + (2 n - 1) = n2
Temos: •
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1)
\ J ~
r +
k2 + 2k + 1
Vamos verificar se ela é verdadeira:
n = 10 ~ 1 + 3 + 5 + ... + 19 = 100 = 102 (V)
que expressa a propriedade: "a soma dos n primeiros números ímpares positivos
, 2 "e n.
n 2 == + 3 = 4 22 (V)
n = 3 =- + 3 + 5 9 = ~ (V)
A.73
A.76 13 + 23 + 33 + + 3 ~ [n(n + 11]2 'ri E."
... n 2' n '"
EXERCíCIOS
Demonstrar usando o prind~a indução finita.
n(n+ 1)~A.72 1 + 2 + 3+... + n = --2-' n E 1lJ*
n(4 + 3n)
A.74 20 + 21 + 22 + ... 2n-1 - 'ri n E 1\1'
,4.75 2 2 2 2 _ n(n + 11 (2n + 1) '"' E."
r- 1+2+3+ ... +n- (6 .v n '"
(V)1==n
Mesmo que continuemos o trabalho fazendo a verificação até n = 1 000000
não estará provado que a fórmula vale para todo n natural, pois poderá existir
um n > 1 000000 em que a fórmula falha.
54-A 56-A
A.77 a I 132n - 11. V n E W A.8S o número de diagonais de um polígono convexo de n lados é do nln - 31
-2-'
Soluçãc
10) Pll) é verdadeira pois a I 132 - 11
29) Admitamos que Plkl, k E ~', seja verdadeira
a I 132k - 11 (hipótese da induçãol
e provemos que 8 I (32(k + 1) - 11:
Solução
10) P(3) é verdadeira pois:
n = 3 == d 3 = 3(3 - 3) = O2
e isto é verdade porque um triângulo não tem diagonais.
então
291 Supondo válida a fórmula para um polfgono de k lados Ik;:;' 31:
dk -- klk2-3) Ihipótese da indução)
provemos que ela vale para um polígono de k + 1 lados:
_ Ik + 1I[(k + 11 - 3] = (k + 11 (k - 2)
dk + 1 - 2 2
A.79 2 I (n 2 + nl, V n E ~.
6ln(n + llln + 21,Vn E~.A.78
A.80 3 I In3 + 2n), V n E ~.
A.81 (1 + 11 (1 + ~) 11 + ~I . • 11 + 2. 1
n
n + 1, V n E W
Quando passamos de um polígono com k vértices para um de I:< + 1 vértices, acres-
centando mais um vértice, ocorre o seguinte:
(i) todas as diagonais do primeiro polfgono continuam sendo diagonais do segundo;
(ji) um lado do primeiro se 'transforma em diagonal do segundG;
(Hi) no segundo há k - 2 novas diagonais las que partem do novo vértice).
Vejamos, por exemplo, a passagem de um quadrilátero para um pentágono
Solução
19) PI1I é verdadeira pois 2· 1 ;:;, 1 + 1
20 1 Admitamos que P(k), k E ~', seja verdadeira:
A.83 1· 2 + 2 • 3 + 3. 4 +
c
-c
8
.8
D
AVnEWn In + 1) (n + 2)
3
n : 1 ,V n E ~.
+ n(n + 11
1
+ ---
n(n + 11+ -- +3-4
A.84 2n ;:;, n + 1, V n E ~.
1 1
A.82 N + 2.3
21k + 11 = 2k + 2 ;:;, Ik + 11 + 2 > (k + 11 + 1
A.85 2n > n, V n E ~
e provemos que 2(k + 11 ;:;, (k + 11 + 1
Temos:
klk-3) k2 -3k+2k-2
dk+ 1 = dk + 1 + Ik - 2) = --2- + k - 1 = 2 (k + 11 Ik - 2)2
são diagonais~ AC e BD continuam diagonais
---- AD se transforma em diagonal
EB e EC são diagonais
AC e BD
AD é lado
Então:
(hipótese da induçãol2k ;:;, k +
4
+ n 3 >.':'.- V n E ~'.
4
A.89 A soma das medidas dos ângulos internos de um pol(gono convexo de n lados é
Sn = (n - 2) • 1800 .
A.87 (1 + aln ;:;, 1 + na,V n E ~', V a E IR, a;:;' -1
A.90 Se A é um conjunto finito com n elementos, então 'syIA), conjunto das partes
de A, tem 2n elementos.
56-A 57-A
Desvendado mistério da continuidade
CAPÍTULO IV
-RELAÇOES
Julius W. R. Dedekind
(1831 - 1916)
mas isto ficaria fora do nível deste curso.
I. PAR ORDENADO
dc e b(c, dI <=> ala, bl
Em Matemática existem situações, onde há necessidade de distinguir dois
pares pela ordem dos elementos. Por exemplo, no sistema de equações
{
X+ Y =3
x ~ Y =. 1
x = 2 e Y = 1 é sol ução ao passo que x = 1 e Y = 2 não é solução.
Se representássemos por um conjunto teríamos: {2, l} seria solução e {1, 2} .
não seria solução. Há uma contradição, pois sendo {2, l} = {1, 2}, o mesmo con-
junto é e não é solução. Por causa disso dizemos que a solução é o par ordenado
(2, 1) onde fica subentendido que o primeiro elemento 2 refere-se a incógnita
x e o segundo elemento 1 refere-se a incógnita y.
(a, b) = {{a}, {a, b}}
91. Chama-se par todo conjunto formado por dois elementos. Assim {1, 2},
{3, -l}, {a, b} indicam pares. Lembrando do conceito de igualdade de con-
juntos, observamos que inverter a ordem dos elementos não produz um novo par:
{1,2} = {2, 1}, {3, -l} = H, 3}, {a, b} = {b, a}.
(*) Poderíamos definir par ordenado como Kuratowski fez:
92. Admitiremos a noção de par ordenado como conceito primitivo (. I. Para ca.
da elemento a e cada elemento b, admitiremos a existência de um terceiro
elemento (a, b) que denominamos par ordenado de modo que se tenha
Julius Wilhelm Richar Dedekind foi um dos quatro filhos de uma familia luterana de
Braunschweig, Alemanha. Entrou em Gõttingen aos dezenove anos e aos vinte e dois obteve seu
doutoramento com uma tese sobre Cálculo, elogiada até por Gauss. Foi aluno de Dirichlet e
dedicou-se ao ensino secundário em Brunswick até os últimos anos de sua vida.
Preocupado com a natureza das funções e dos números, concentrou~se no problema
dos números irracionais desde 1858 quando dava aulas de Cálculo, publicando seu livro mais
célebre, "A Continuidade e os Números Irracionais".
Uma de suas grandes dúvidas era sobre o que há na reta geométrica contínua que a
distingue dos números racionais, pois, Galileu e Leibniz haviam conclUl'do que entre dois
'pontos quaisquer sempre existe um terceiro e, assim, 05 números racionais formam um
conjunto denso mas não cont(nuo.
Relendo. Dedekind observou que a essência da continuidade da reta não está ligada à
densidade mas à natureza da divisão da reta em duas partes, que chamou classes, através de um
único ponto sobre a reta. A essa qivisão da reta chamou "schnitt" ou "corte" , que passaria a ser
o apoio da Análise, pois com essa observação "o segredo da continuidade seria revelado".
Dedekind viu também que os pontos de uma reta podem ser postos em correspondência
biunívoca com os números reais, o Que conseguiu ampliando .~ conjunto dos racionais. Esta
conclusão é conhecida por nós como Axioma de Cantor-Dedekind.
Mais uma de suas observações foi sobre o
teorema fundamental dos Iimites, achando que
para obter-se uma demonstração rigorosa deste
conceito era necessário desenvolvê-lo somente atra-
vés da Aritmética, sem interferência de métodos
geométricos embora estes tenham sido responsá-
veis por seus brilhantes resultados"
Em 1879 foi o primeiro a dar uma definição
expli'cita de corpo numérico como sendo uma co-
leção de números Que formam um grupo abel ia no
(comutativo) em relação à adição e multiplicação,
no qual a multiplicação é distributiva em relação à
adição. Este conceito, que foi fundamental para o
desenvolvimento da Álgebra, também é responsável
pelo teorema dos inteiros algébricos, bem como
introduziu na Aritmética o conceito de "ideal".
Dedekind viveu tantos anos depois de Sua
célebre introdução dos "cortes" que a famosa
editora Tebner deu como data de sua morte, 4 de
setembro de 1899. Isto divertiu Dedekind que
viveu mais doze anos e escreveu ao editor que
passara a data em questão em conversa estimulan-
te"·com seu amigo Georg Cantor.
58-A
59-A
11. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL 95. Teorema
c) coordenadas de P são os números reais xp e yp, geralmente indi-
cados na forma de um par ordenado (xp, yp) onde xp é o primeiro termo.
d) eixo das abscissas é o eixo x (ou Ox)
e) eixo das ordenadas é o eixo y (ou Oy)
f) sistema de eixos cartesiano ortogonal (ou ortonormal ou retangular)
é o sistema xOy
g) origem do sistema é o ponto O
94. Exemplo
hI plano cartesiano é o plano Ci
b) ordenada de P é o número real yp representado por P2 (X p, yp), existem PI E x e
representa y p' conforme vimos
Iv'
p
E
l
r~ . , ;-,
I"
Ir
ri'
ordenado de números reais
P1 representa x p e P2
A.92 Assinalar no plano cartesiano os pontos: A(2, -3), BIO, -4), C(-4, -5), 01-1, OI,
1 5
ElO, 5),
F15, 4), G(3, O), H(-3, 2),11 2 '2)'
A.91 Dar as coordenadas de cada ponto do plano cartesiano abaixo.
Dado o par
P2 E Y tais que
no item 77.
Se construirmos x' /I x por P2 e y' li y por P1 , essas retas vão concorrer
em P. Assim, a todo par (xp , yp) corresponde um único ponto P, P E Ci.
Esquema: (xp, Ypl ------4 (P I , P2) ----> P
EXERCíCIOS
Demonstração
2? Parte
1? Parte
As definições dadas anteriormente indicam que a todo ponto P, P E Ci,
corresponde um único par de pontos (P I , P2 ) sobre os eixos x e y res-
pectivamente e, portanto, um único par ordenado de números reais (xp, yp)
tais que xp e yp são representados por P1 e P2 , respectivamente.
Esquema: P ------4 (P I , P2 ) -+ (xp, ypl
Entre o conjunto dos pontos P do plano cartesiano e o conjunto dos
pares ordenados (xp, yp) de números reais existe uma correspondência biunívo-
ca.
Tv
~ - - - .
B
y C
o
,
y' CiY P2 P
x'
h
O P 1 x
e
dois eixos x e y
O, os quais deter-
Vamos localizar os pontos
93. Consideremos
perpendiculares em
minam o plano Ci.
Dado um ponto P qualquer, 'P E Ci.
conduzamos por ele duas retas:
Nestas condições definimos:
a) abscissa de P é o número real xp representado por PI
x' li x e y' li y
Denominemos PI a intersecção de
x com y' e P2 a intersecção de y com
x'.
A(2, O), B(O, -3), C(2, 5). D(-3, 4)
5 9
E(-7, -3), F(4, -5), G( 2' 2)
5 9
H(-2' -2)
no plano cartesiano lembrando que, no
par ordenado, o primeiro número repre-
senta a abscissa e o segundo a ordenada
do ponto.
60-A 61-A
96. Definição
111. PRODUTO CARTESIANO
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano
de A por B o conjunto A X B cujos elementos são todos pares ordenados
(x, y) onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B.
A X B = {(x, y) I x E A e y E B}
o símbolo A X B Iê-se "A cartesiano B" ou "produto cartesiano de A por B".
Se A ou B for o conjunto vazio, definimos o produto cartesiano de A
por B como sendo o conjunto vazio. .
, «
I ,
I I
I
:
,
,
I
!
x
3
39) Se A = {x E IR I 1 ,;;;; x < 3} v
e B = {2} então temos A X B = {(x,2) I x E A}.2 -----
A representação gráfica de A X B dá
como resu Itado o conjunto de pontos
do segmento paralelo ao eixo dos x da
figura ao lado.
49) Se A = {x E R I 1 ,;;;; x ,;;;; 3} e B = {x E IR I 1 ,,;;; x ,;;;; 5} te-
mos A X B = {(x, y) E R 2 I 1 ,;;;; x ,;;;; 3 e 1 ,;;;; y ,;;;; 5} representado gra-
ficamente no plano cartesiano pelo conjunto de pontos de um retângulo. Note-
mos que B X A = {(x, y) E R 2 I 1 ,;;;; x ,;;;; 5 e 1 ,;;;; Y ,;;;; 3} é representa-
do por um retângulo distinto do anterior.AXcp=0
AXB
97. Exemplos
v
5 -------r-----,
v BXA
19) Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2} temos
A X B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1). (2,2), (3, 1), (3, 2)}
e 3 - -- - --,...----------,-
B X A = {(1, 1). (1,2), (1,3), (2,1), (2,2). (2,3)}
e as representações no plano cartesiano são as seguintes:
29) Se A = {2, 3} então o conjunto A X A (que também pode ser
indicado por A2 e lê-se "A dois") é
A X A = {(2, 2), (2,3), (3, 2), (3,3)}
2 3
2 ------.~11!!-t!~c?!.~l;l, 2)
I I I
______ ~~1_,_ ~ ~_~~~.-1j--~~, 1)
, I
: I
, :
, ,
I I
-r----+---+--+----<~ x 1) Se A *' B então A X B *' B X A, isto é, o produto cartesiano
de dois conjuntos não goza da propriedade comutativa.
2) Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos respectivamente,
então A X B é um conjunto finito com m· n elementos.
3) Se A ou B for infinito e nenhum deles for vazio então A X B é um
conjunto infinito.
5 xx
1 ---- - 1- -\-_
3
98. Observações
.. x
BXA
2
V
3 ~~~~~~-~~, 3)
i
I I
:(1,2) :(2,2)2 ------f------ ...-
I I
I I
I I
i(1, 1) :(2, 1)
----- --,-- -----t-
I I
I
I
A x Bv
52-A 63-A
EXERCICIOS IV. RELAÇÃO BINÃRIA
bl B X A
ai A X B
representar pelos elementos e pelo gráfico cartesiano os seguintes produtos:
x
..
B
432
A
6 - - - - - - - 0- - -(1)- - -~--
, , I
,
5 -------~---t---t--
, ,
I '
4 - - - - - - -(1)- - -~- -0-
: :
3 ---- --- --t---G-~-+--
, , ,
,
2 --------8--+---+--
, ,
, ,
, :
99. Consideremos os conjuntos A = {2, 3, 4}
e B = {2, 3, 4, 5, 6}, O produto cartesiano
de A por B é o conjunto
A X B = {(x, y) I x E A e y E B}
formado por 3· 5 = 15 elementos represen-
tados na figura ao lado, Se agora considerarmos
o conjunto de pares ordenados (x, y) de
A X B tais que x I y (lê-se: x é divisor de
Y), teremos
R = {(x, y) E A X B I xly}
= {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}
que é chamado relação entre os elementos
de A e de B ou, mais simplesmente, uma rela-
ção binária de A em B.
O conjunto R está contido em A X B
e é formado por pares (x, y) em que o ele-
mento x de A é "associado" ao elemento y de
B mediante um certo critério de "relaciona-
mento" ou "correspondência".
Será bastante úti I a representação da rela-
ção por meio de flechas, como na figura ao lado.
c) A X C
f) c2
cl B X C
f) C2
represente pelos elemen-9,
C~{-1,O,2}
A C B C C. Estabelecer as relações de in-
B, A X C, B X A, B X B, B X C, C X A,
e
bl B X A
el B2
bl A X C
e) A2
Bc{-2,1}
{11,21, (4,2)} C A2
A2
Dados os conjuntos
A c {x E IR 11 <; x <; 3}
B c {x E IR I -2 <; x <; 2}
C - {x E l:l I -4 < x <; 1}
representar graficamente os seguintes produtos:
ai A X B
d) C X A
ai A X B
d) C X B
A.94
A.93 Dados os conjuntos
A ~ {1, 3,4}
A.95 Dados os conjuntos A - {1, 2,3,4} e B (x E IR I 1 <; x <; 4} representar
graficamente os conjuntos:
c) IA X BI U (B X A)
A.96 Sejam os canju ntos A, B e C tais que
clusâo entre os conjuntos A X A, A X
C X B e C X C.
A.97 Sabendo que
tos o conjunto
Solução
O número de elementos de A 2 é igual ao quadrado do número de elementos de A, por-
tanto
100. Definição
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação binária de A em B todo
subconjunto R de A X B.
Se A é um conjunto de 3 elementos, 11,2) E A2 e 14,21 E A2, conciu{mos que
A~{1,2,4}. R é relação binária de A em B -<= R C A X B.
Assim sendo,
A X A - {Il, li, 11, 21, (1,4),12,1),12,2),12,41,14, li, 14, 2),14, 4)}
A.98 Se {ll,-2), (3, O)} C A2 e n1A2 ) ~ 16 então represente A2 pelosseus elemen-
tos.
Se, eventualmente, os conjuntos A e B forem iguais, todo subconjunto de
A X A é chamado relação binária em A.
A.99 Considerando A C B, {to, 51, (-1,2), 12,-1)} C A X B e nlA X B) ~ 12,'e-
presente A X B pelos seus elementos.
R é relação binária em A -<= R C A X A
64-A 65-A
Y, ; , ~ :
6 ----.---.---t--\:!J-- .. --
: : : I !
5 l __ .l __ cb __ .l L_
1 , 'V I I
4 -)--4--~--~---L
; : : ; :
3 ~_~--l_--~--.L_W I T I t
I I I I I
I I ti'
2 + __ +__ +__-+- _-t -
I I I I
I I ' I I
---~--+--~--~--~-
I ti, I
" ,
:: :
Utilizaremos as seguintes nomenclaturas já consagradas
A = conjunto de partida da relação R
B = conjunto de chegada ou contra-domínio da relação R.
Quando o par (x, y) pertence a relação R, escrevemos x R y (lê-se: ".
erre y")
Ix, yl E R ~ x R y
e se o par (x, y) não pertence a relação R escrevemos x fÍ y (lê-se: "x não
erre y") 2 3 4 5 x
A B
Ix, yl !Í R ~ x" y R
39) Se A = {-1, O, 1, 2} quais são os elementos da relação
{(x, y) E A2 I x2 = y2}?
Fazendo a representação gráfica notamos que
R = l(O, O), (1,1), (1, -1), (-1, -1), (-1,1). (2,2)}
pe-
BA
e B = {y E IR I 1 .;;; y .;;; 2}
R = {(x, y) E A X B I y = x}
y
----~-----e
: '
, ', ,
, 2
-~-----
,
,
,
é---1- ---($)---+
, ,
, ,
, ,
, ,
-1 : : 1 : 2 x
, '
, "
I -1 1 I(D----- ---0---+-
49) Se A = {x E IR I 1 .;;; x .;;; 3}
de-se a representação cartesiana de A X B e
101. Exemplos
19) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4} quais são os elementos da
relação R = {(x, y) I x < y} de A em B?
Os elementos de R são todos os pares ordenados de
A X B nos quais o
primeiro elemento é menor que o segundo, isto é, são os pares formados pela
"associação de cada elemento x E A com cada elemento de y E B tal que
x < y".
Temos então y
AXB
y
R = {(1, 2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}
29) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, quais são os elemen-
tos da relação binária R de A em B assim definida: x R y ~ y = x + 27
Fazem parte da relação todos os pares ordenados (x, y) tais que x E A,
y E B e y = x + 2.
, ,
2 -~--------D~~
, ,
: :
, ,
, '
Utilizando as representações gráficas 3 x 3 x
66-A 67-A
EXERCICIOS 103. Exemplos
A.l00 Pede-se:
qual
x1_____
D
~
A
x3
R {(2, 2). (2, 4) (2, 6), (3, 3), (3, 6). (4, 4)}
O ; {2, 3, 4} Im ; {2, 3, 4, 6}
A.l05 Estabelecer o domínio e a imagem das relações binárias do exercício A.100.
Utilizando a representação cartesiana
A.l04 Estabelecer o domínio e a imagem das seguintes relações:
a) {Il, 1), 11,3),12, 4)} b) {1-2, 4),1-1,1), (3, -71, (2, 1)}
c) {12, 1), 11, -3), 15, .,j2Ü d) {Il +..;2, ..;2), 11 -.J3, 1)}
{ 1 53}e) (3, 2'), ("2' -1),1"2' O)
EXERCICIOS
temos D ;{xE IR 11 ~x~2} e Im; {yE IR I 2~y~4}
B
2?) Se A; {x E IR I 1 ~ x ~ 3} e B; {y E IR I 1 ~ y ~ 4}.
é o domínio e a imagem da relação R; {(x, y) E A X B I y ; 2x}?
1?) Se A; {D, 2, 3, 4} e B; {1, 2, 3, 4, 5, 6} qual é o domínio
e a imagem da relação R; {(x, y) E A X B I Y é múltiplo de x}?
Utilizando o esquema das flechas é
fácil perceber que O é o conjunto dos
elementos de A dos quais partem flechas
e que Im é o conjunto dos elementos de
B aos quais chegam flechas, portanto:
b) x S y <==> x2 = y
dI x V y <==> x + y > 2
a) x R y <==> x + y = 2
c) x T y <==> Ixl = Iyl
el x W y <===> Ix - yl2 = 1
102. Definição
Seja R uma relação de A em B.
Chama-se dominio de R o conjunto D de todos os primeiros elementos
dos pares ordenados pertencente a R,
x E O ~ 3y, Y E B I (x, y) E R' I
Il enumerar pares ordenados
111 representar por meio de flechas
111) fazer o gráfico cartesiano
das relações binárias de A = {-2, -1, 0,1, 2} em B = {-3, -2, -1,1,2,3, 4} de-
finidas por:
V. pOMfNIO E IMAGEM
A.103 Dado o conjunto A = {m E Z I -7 ~ m < 7}. Construir O gráfico cartesiano da
relação binária R em A definida por:
x R y <==> x2 + y2 = 25.
A.l0l Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Enu merar os pares ordenados e constru ir
o gráfico cartesiano da relação R em A dada por:
R = {Ix, yl E A2 I mdc Ix, y) = 2}
A.l02 Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Construir o gráfico cartesiano da relação
R em A definida por:
x R y <====* X e y são primos entre si.
Chama-se imagem de R o conjunto Im de todos os segundos elementos dos
pares ordenados pertencentes a R.
A.l06 Sejam os conjuntos A = {-2, -1, O, 1,2,3,4, 5}, B = {-2, -1, 0,1, 2} e R a
relação binária de A em B definida por
x R y <==> x = y2
Y E Im ~ 3x, x E A I (x, y) E R
Decorre da definição que D C A, e Im C B.
Pede-se:
a) enumerar os pares ordenados de R
b) enumerar os elementos do dom(nio e da imagem de R
c) fazer o gráfico cartesiano de R
58-A 69-A
A.l07 Se R é a relação binária de A ~ {x E IR I 1 ,;; x';; 6} em B {y E IR I 1 ,;; y ,;; 4
definida por
xRy=x~2y
Pede-se:
a) a representação cartesiana de A X B
b) a representação cartesiana de R
c) o domínio e a imagem de R
A.l0S Se R e S são as relações binárias de A ~ {x E;Z I -2 ,;; x ,;; 5} em
B ~ {y E;z I -2 ,;; y ,;; 3} definidas por:
x R y = 2 divide Ix - y)
x S y = Ix - 1)2 ~ Iy - 2)2 A B B A
Pedem-se:
a) as representações cartesianas de R e de S
b) o domínio e a imagem 'de R e de S
cl R n S.
temos R
e R-I
{(2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (4, 5), (4, 7), (5, 7l.f
{(3, 2), (5,2), (7, 2), (5, 3), (7, 3), (5, 4), (7, 4), (7, 5)}
VI. RELAÇAo INVERSA
2?) Se A = {x C IR I 1 ,;; x ,;; 4} e B = {y E IR I 2 ,;; y ,;; 8} re-
presentar no plano cartesiano as relações R {(x, y) E A X B I y = 2x} e
sua inversa R-I .
y
. '
-----~-
---_ ..~-
104. Defi nição
Dada uma relação binária R de A em B, consideremos o conjunto
w ' = {(V, x) E B X A I (x, y) E R}
Como R-I é subconjunto de B X A, então R-I é uma relação binária de
B em A à qual daremos o nome de relação inversa de R.
Iy, xl E R-I = (x, y) E. R
8
2
4
VII. PROPRIEDAQES
x
4
2 8 x
Decorre dessa definição que R-I é o conjunto dos pares ordenados obtidos
a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos em cada par.
São evidentes as seguintes propriedades
la) D(W
'
) = Im(R)
Isto é, o domínio de R-I é igual à imagem de R.
105. Exemplos
R
70-A
10) Se A = {2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 5, 7} quais são os elementos de
{(x. y) E A X B I x < y} e de W
'
?
Utilizando o esquema das flechas
2~) Im(R-I ) = D(R)
isto é, a imagem de R-I é igual ao domínio de R.
3a) (R-I)-I = R
isto é, a relação inversa de R -I é a relação R.
71-A
EXERCfclOS
A.109 Enumerar os elementos de R-I, relação inversa de R, nos seguintes casos:
ai R = {(l, 2),13,1),12, 31}
b) R = {(l, -1),12, -1), (3, -1). (-2, 1)}
c) R = {(-3, -2), 11,3), 1-2, -31, 13, 1)}
A.l10 Enumerar os elementos e esboçar os gráficos de R e R-I, . relações binárias em
A = {x E rIJ 1 x ,ç lO}, nos seguintes casos:
ai R = {(x, y) E A2 1 x + Y = s}
b) R = {Ix, y) E A2 I x + 2y = lO}
cl R = {Ix, yl E A2 I y = (x - 31 2 + I}
d) R = {Ix, y) E A2 I y = 2 X}
CAPÍTULO V
-FUNÇOES
I. CONCEITO DE FUNÇÃO
e as seguintes relações binárias de A em B:
106, Vamos considerar, por exemplo, os conjuntos
A = {O, 1, 2, 3} e B = {-1, O, 1, 2, 3}
A.lll Dados os conjuntos A = {x E IR 11 ,çx,ç 6}. B = {y E IR 12,ç y,ç lO} e as seguin-
tes relações binárias:
ai R = {Ix, y) E A X B I x = y}
bl S = {(x,y)EAXB I y = 2x}
c) T = {Ix, yl E A X B I y = x + 2}
d) V = {Ix, v) E A X B Ix+y=7}
pede·se o gráfico cartesiano dessas relações e das respectivas relações inversas.
R = {(x, V) E A X B
S = {(x, V) E A X B
T = {(x, V) E A X B
V = {(x, V) E A X B
W = {(x, V) E A X B
V = x + 1}
V2 = x2 }
V = x}
Iv (x-l)2-1}
I V = 2}
Analisando cada uma das relações temos:
a) R = {(O, 1), (1, 2), (2,3)}
Para cada elemento x E A, com
exceção do 3, existe um só elemento
V E B tal que (x, V) E R.
Para o elemento 3 E A, não exis-
te V E B tal que (3, y) E R.
b) S = {(O, O), (1, 1), (1, ~1),
(2, 2), (3, 3)}
Para cada elemento x E A, com
exceção do 1, existe um só elemento
V E B tal que (x, V) E S. Para o ele·
mento 1 E A existem dois elementos de
B, o 1 e o -1 tais que (1, 1) E S e
(1, -1) E S.
72-A 73-A
As relações T, V, W, que apresentam a particularidade: "para todo x E A
existe um só y E B tal que (x, y) pertence a relação", recebem o nome de
aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B.
f não é função.
109. Podemos verificar através da representação cartesiana da relação f de A em
B se f é ou não função: basta verificarmos se a reta paralela.ao eixo y condu·
zida pelo ponto (x, O), onde x E A, encontra sempre ográfico de f em um só
ponto.
@:-----o----- - --A -----. B
I não é lu nção
~---a-----A "- ••- B
1?) se existir um elemento de A
do qual não parta flecha alguma ou
2?1 se existir um elemento de A
"""do qual partam duas ou mais flechas
108. Vejamos agora com o auxílio do esquema das flechas, que condições deve
satisfazer uma relação f de A em B para ser aplicação (ou função).
1?) é necessário que todo elemento x E A participe de pelo menos um par
(x, Xl E f, isto é, todo elemento de A deve servir como ponto de partida de fle-
aJiJ.---.-- .. - -..'
2?) é necessário que cada elemento x E A participe de apenas um único par
(x, y) E f, isto é, cada elemento de A deve servir como ponto de partida de um~
única flecha.
Uma relação f, não é aplicação (ou função) se não satisfazer uma das con·
dicões acima isto é,
110. Exemplos
d) V =
{(O, O), (1, -1), (2, O), (3, 3)}
c) T = {(O, O), (1, 1), (2, 2), (3, 3)}
Para todo elemento x E A, sem
exceção, existe um só elemento y E B
tal que (x, y) E V.
e) W = {(O, 2), (1,2), (2, 2), (3, 2)}
Para todo elemento x E A, sem
exceção, existe um só elemento y E B
tal que (x, y) E W.
Para todo elemento x E A, sem
exceção, existe um só elemento y E B
tal que (x, y) E T.
11. DEFINIÇÃ(
107, Dados dois conjuntos A e Bi '), não vazios, uma relação f de A em B
recebe o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagens
em B se, e somente se, para todo x E A existe um só y E B tal que (x, y) E f.
1?) A relação f de A em IR, com
A ~ {x E IR I ..1 < x < 3},
representada ao lado é função, pois toda
reta vertical conduzida pelos pontos de
abscissa x E A encontra sempre o grá-
fico de f num só ponto. x
f é aplicação de A em B <==> (\Ix E A, 31 y E B I (x, yl E f)
(li) Em todo o nosso estudo de funções, fica estabelecido que A e 8 são conjuntos forma-
dos de números reais, isto é, A e B contidos em IR.
2?) A relação f de A em IR repre-
sentada ao lado, onde
A = {x E IR I -2 < x < 2}
não é função, pois há retas verticais que
encontram o gráfico de f em dois pon-
tos.
-2 2 x
74-A 75-A
A.114 Quais das relações de IR em IR cujos gráficos aparecem abaixo, são funções? Justificar.3?) A relação f de A em IR, re-
presentada ao lado, onde
A ~ {x E IR I O .;; x .;; 4}
não é função de A em IR pois a reta
vertical conduzida pelo ponto (1, O) não
encontra o gráfico de f. Observemos que
f é função de B em IR onde
B ~ {x E IR I 2 .;; x .;; 4}.
y
2 3 x
ai
I"
1..-
1/
1..-
1..-
1.1
1.1
1.1 x
G
1.1
bl
y
...1-
...
I\. x
,...
r--,...
c)
Iv
I, 1/
I' 1..-
I' 1/ x
I' 1/
EXERC(CIOS
fi
Iv
x
e)
Iv
V
I~ x
1/
1.)
di
Iv
1\ I1
-.
1\ 1I
1\
x
B(blABlalA
A.112 Estabelecer se cada um dos esquemas das relações abaixo define ou não uma função
de A = {-1. 0,1, 2} em B = {-2, -1, 0,1,2, 3}. Justificar.
R
A.113 Quais dos esquemas abaixo definem uma função de A = {O, 1. 2} em B = {-1, 0, 1, 2}? 111. NOTAÇÃO DAS FUNÇÕES
111. Toda função é uma relação binária de A em B, portanto, toda função é
um conjunto de pares ordenados.
Geralmente, existe uma sentença aberta y ~ f(x) que expressa a lei me-
diante a qual, dado x E A, determina-se y E B tal que (x, y) E f, então
f ~ {(x, y) I x E A, y E B e y = f(x)}.
Isto significa que, dados os conjuntos A e B, a função f tem a lei de
corre~pondência y = f(x).
Para indicarmos uma função f, definida em A com imagens em B se-
gundo a lei de correspondência y = f(x), usaremos uma das seguintes notações
f: A - B
x ...---- f(x) ou
A -.!..,. B
x ..-.. f(x)
76-A 77-A
112. Exemplos
EXERCICIOS
19) f: A __ B
x ~ 2x
é uma função que associa a cada x de A um y de B tal que y; 2x.
A.115 Oual é a notação das seguintes funções de IR em IR?
a) f associa cada número real ao seu oposto
b) 9 associa cada nú.nl"ero real ao seu ·cubo
d h associa cada número real ao seu quadrado menos 1
d) k associa cada número real ao número 2
29) f: IR ~ IR
x f------* x2
é uma função que leva a cada x de IR um y de IR tal que y ~ x2 •
39) f: IR+ ~ IR
x ~ y-;
A.116 Oual é a notação das seguintes funções?
aI f é função de <D. em ((} que associa cada número racional ao seu oposto adicionado
com 1.
b) 9 é a função de Z em Ql que associa cada número inteiro à potência de base 2
desse número.
cl h é a função de IR* em IA que associa cada número real ao seu inverso.
é uma função que faz corresponder a cada x E IR+ um y E IR tal que y; y-;: A.117 Seja f a função de IR em IR definida por I(x) = x
2
- 3x + 4. Calcular:
1
c) f(21
f) f(l - vil
113. Se (a, b) E f, como já dissemos anteriormente, o elemento b é chama-
do imagem de a pela aplicação f ou valor de f no elemento a e indicamos:
f(a) ; b
que se lê "f de a é igual a b".
A.118 Seja f a função de,z em,z definida por I(xl = 3x - 2. Calcular:
a) f(2)
b) 1(-31
A.119 Seja f a função de IR em IR assim definida
a) a imagem de O pela aplicação f é 1, isto é:
f( O) o 2 • O + 1 ; 1
A.120 Seja a função f de IR em IR definida por
3do dom ínio que tem - 4 como imagem?
114. Exemplo
Seja a função
f: IR --+ IR
x f------* 2x + 1 então
a) 1(3)
d) f (";';1
f(xl = {1 se x E (Q
x+lsexrj:.111
bl f(-~)
7
el 1(V3- 1)
f(x)
c) flV2l
f) flO,75)
2x - 3
--5-' Qual é o elemento do
basta, portanto, resolver a equação
Resposta: o elemento é x
2x - 3
5
x tal que
3
8
34(2x-3)=-3'5 <==> 8x-12=-15 <==> xC-a<==>3
4
2x - 3
5
Resolvendo a equação:
Queremos determinar o valor de
Solução
b) a imagem de -2 pela aplicação f é -3, isto é:
c) analogamente
f(-2) ; 2 • (-2) + 1 ; -3
1 1
f("2) = 2 • 2 + 1 2
f(y'2) ; 2 • y'2 + 1
f(O,7) ; 2 • 0,7 + 1 ; 2,4
78-A 79-A
A.121 Seja a função f de IR - {1} em IR definida por Hxl -~ Oual é o elemento
- x - 1 . Notemos, que, feita a representação cartesiana da função f, temos:
do domlnio que tem imagem 27
A.122 Ouais são os valores do domlnio da função real definida por f(x) = x2 - 5x + 9 que
produzem imagem igual a 37
Dominio
(O) é O conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticais condu-
zidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado
por todas as abscissas dos pontos do gráfico de f.
IV. OOMfNIO E IMAGEM
Imagem
(I m) é o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontais
conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto for-
mado por todas as ordenadas dos pontos do gráfico de f.
115. Definição 116. Exemplos
Considerando que toda função f de A em B é uma relação binária, então
f tem um dominio e uma imagem.
Chamamos de dominio o conjunto O dos elementos x E A para os quais
existe y E B tal que (x, y) E f. Como, pela definição de função, todo elemento
de A tem essa propriedade, temos nas funções:
domrnio = conjunto de partida
y
x
-2 o x
para os quais O {x E IR -2 .;;; x .;;; 1} O = {x E IR -2 .;;; x .;;; 3}
Im {y E IR O';;; y .;;; 4} Im = {y E IR -1 .;;; y .;;; 4}
3?) y 4?) y
er----. .L......-ç
, , : :
, : 1 : :
,
x -2 -1 2 x
-2
O {x E IR I x *- O} O {x E IR I -2 < x < 2}
Im {y E IR I -2 < y < O Im {1, 2}
ou 1 < y < 2}
81-A
contra-domfnio
Im C B
domfnio
8o-A
isto é,
0= A.
Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos y E B
existe x E A tal que (x, y) E f, portanto:
imagem é subconjunto do contradomrnio
isto é,
117. As funções que apresentam maior interesse na Matemática são as funçõe~
numéricas, isto é, aquelas em que o domínio A e o contradomínio B são subcon-
juntos de R. As funções numéricas são também chamadas funções reais de variá-
vel real.
Observemos que uma função f fica completamente definida quando são
dados o seu domínio D, o seu contradomínio e a lei de correspondencia y= f(x).
Quando nos referirmos à função f e dermos apenas a sentença aberta
y = f(x) que a define, subentendemos que D é o conjunto dos números reais x
cujas imagens pela aplicação f são números reais, isto é:
x E D <== f(x) E IR.
EXERCíCIOS
A.123 Estabelecer o domínio e a imagem das funções abaixo:
118. Exemplos A.124 Nos gráficos cartesianos das funções abaixo representadas, determinar o conjunto ima·gemo
D = IR'.
Tomemos algumas funções e determinemos o seu domínio.
notemos que -!. E IR se, e somente se, x é real e diferente de zero; temos então
x
1?) y = 2x
notando que 2x E IR para todo x E IR, temos:
D = IR.
)r y 1...-
1/1
\/
1...- ,
1/
111' x
/
1/
1...-
1/
) y I"
1/
1/
\/
1/
x
e
d
l,
li'
111'
li' I~
1/
I-1-1-.. 1--1-
-
Iv
a)
b)
x
3?) y
2?) y = x2
notando que x2 E IR para todo x E IR, temos:
D = IR.
4?) y=~
notemos
que ..;-;. E IR se, e somente se, x é real e não negativo, então
D = IR+.
5?) y = .çr;
notando que .çr; E IR para todo x E IR, temoS:
D = IR.
l,
:" 1/
1'\ 1/
i'\ \/
I".. 1/
("v
) Iv
Iv
I/ 1\
TI
82-A 83-A
A.125 Considerando que os gráficos abaixo são gráficos de funções, estabelecer o domíni(
e a imagem.
i?) As funções f(x) ~ fi e g(x)
fi ~ Ixl, vxE IR.
3 - 1 ~ 2 e g(3) ~
120. Exemplos
2
1 - 1--~O
1 + 1
4 - 1
2 + 1
9 - 1
3+1
x2 - 1
X+1
Ixl de R em R são iguais, pois
e g(2)
{-2,-1,O,l,2} entãoasfunçõesde A
o e g(l)
x - 1 e g(x)
- 1
2 - 1
x 3 === f(3)
x ~ 2 === f(2)
f(x)
x ~ 1 = f(l)
são iguais, pois
1?) Se A ~ {1, 2, 3} e B
em B definidas por:) lv
f-I--
f-7~ 1/ '/ l/V V 1/
x
I ly
1/1'\
1/ 1\
i\ 11 x
I'l..I
d
eI - r-r-r-y
K
J'\
I'. x
I'\.
I',
\ Y ! I
'f-1--1-
---+-1-
I-
I--
,x
L_~__
a
b
~7 Sejam as funções f, 9 e h de IR em IR definidas por flx) x3• g(yl ~ y3 e
. h( z) = z3. Quais delas são iguais entre si?
c I y
!"\
1/ I'
lI'
I'\.
x
I y
x
3<:') As funções f(x)
xi= Ixl para x<O.
EXERCfclOS
x e g(x) ~ Ix I de R em fi não são iguais, pois
+128 As funções: f de IR em IR definida por f(xl =...;;:i e 9 de IR em IR definida
por g(x) = x são iguais? Justificar.
são iguais? Justificar.~glx) = \I 2
x - x~+.f(xl = -- ex2 .- x).
/ As funções f ~ 9 cujas leis de correspondência sito
)8-1 ~ ...f(xl = -- e glx) = v'X+1 podem ser IguaIS? Justificar.x+1 x+1
A.J3(l As funções f e 9 de A = {x E IR I -1 < x < O ou x> 1} em IR. definidas por:
/
V. FUNÇÕES IGUAIS
A.126 Dar o domínio das seguintes funções reais:
ai f(xl = 3x + 2 bl g(x) 1
x - 1 x + 2
c) h(x) =
x2 - 4
d) p(x) = .,;x-:l
e) q(x) 1 v;:;2=~ t) r(x) = x - 2
gl s(xl=~ h) t(xl = 1
ulxl =
lf;+2 ~2x + 3
i)
x - 3
119. Definição
A
Duas funções, f de A em B e 9 de C em D são iguais se, e somente se,
C, B ~ D e f(x) ~ g(x) para todo x E A.
f: IR ----> IR
• Jo.o-.--+. + 1
e g: IR - {1}
•
---> IR
f-----+ .2 - 1
• - 1
são iguais? Justificar.
84-A ( 85-A
APl:NDICE SOBRE INEQUAÇÕES
Vamos ver aqui algumas técnicas úteis para os próximos capítulos.
121. Definição
Sejam as funções f(x) e g(x) cujos domínios são respectivamente Dl C IR
e D2 C IR. Chamamos inequação na incógnita x, a qualquer uma das sentenças
abertas, abaixo:
f(x) > g(x)
f(x) < g(x)
f( x) ;;. g( x)
f(x} ,,;;; g(x}
Exemplos
, 1~) 2x - 4 > x é uma inequação onde f(x) ; 2x - 4 e g(x); x.
2c:') 3x - 5 < 2 é uma inequação onde f(x) ; 3x - 5 e g(x); 2.
123. Solução
o número real Xo é solução da inequação f(x) > g(x} se, e somente
se, é verdadeira a sentença f(xo) > g(xo).
Exemplo
O número real 3 é solução da inequação 2x + 1 > x + 3, pois
2·3+1>3+3
'---.,,--J '--v----l
f(3) 9(3)
é uma sentença verdadeira.
124. Conjunto-solução
O conjunto S de todos os números reais x tais que f(x) > g(x) é uma
sentença verdadeira, chamamos de conjunto-solução da inequação.
3c:') x2 - 3 ;;. ~ é uma inequação onde f(x}; x2 - 3 e g(x)
x
='-
x
isto
Exemplo
A inequação 2x + 1 > x + 3 tem o conjunto-solução S; {x E IR I x> 2},
é, para qualquer Xo E S a sentença 2xo + 1 > Xo + 3 é verdadeira.
o r---;. 1 ~ 14.) V x - 2";;; x _ 3 é uma inequação onde f(x) ; v x - 2 e g(x); --.
x-3
122. Domínio de validade
Se não eXistir o número real x tal que a sentença f(x) > g(x) seja
verdadeira, diremos que a inequação f(x) > g(x) é impossível e indicaremos o
conjunto solução por s; 0.
xoÉS = xoED
Resolver uma inequação, significa determinar o seu conjunto-solução. Se
Xo E' R é solução da inequação f(x} > g(x}, então, Xo é tal que f(xo) E R
e g(xo) E IR, isto é, Xo E O (domínio de validade da inequação). Assim sendo,
temos
Chamamos de domínio de validade da inequação f(x) < g(x) o conjunto
D ; Dl n D2 , onde Dl é o domínio da função f e D2 é o domínio da função
g. É evidente que para todo Xo E D, estão definidos fIxo) e g(xo), isto é:
Xo E D <== (xo E Dl e Xo E D2 ) <== (f(xo) E IR e g(xo) E R)
Nos exemplos anteriores, temos:
lc:') D ; IR n R IR
2c:') D ; IR n IR IR
3c:') O ; fl n IR" ; IR"
Exemplo
O conjunto-solução da inequação
existe Xo E IR t.al que a sentença Xo
x + 1 > x + 2 éS; rfJ, pois não
+ 1 > Xo + 2 seja verdadeira.
86-A
4c:') O ; {x E R
{x E IR
x ;;. 2} n {x E IR I x i= 3}
x ;;. 2 e x i= 3}
ou seja, o conjunto-solução é sempre subconjunto do domínio de validade da
inequação.
87-A
125. Inequações equivalentes
Duas inequações são equivalentes em O C IR se o conjunto-solução da
primeira é igual ao conjunto-solução da segunda.
Exemplos
1?) 3x + 6 > O e X + 2 > O são equivalentes em IR, pois o conjunto-
solução de ambas é S = {x E IR I x> 2}.
2?) x < 1 e x2 < 1 não são equivalentes em IR, pois Xo = -2 é solu-
ção da primeira mas não o é da segunda.
portanto, como (}) é equivalente a @' temos:
S = {x E R I x > 4}.
Na prática, aplicamos a propriedade P-l com o seguinte enunciado:
"em uma inequação podemos transpor um termo de um membro para outro
trocando o sinal do termo considerado":
f(x) + h(x) < g(x) = f(x) < g(x) - h(x).
Assim, no exemplo anterior, teríamos:
3x - 1 > 2x + 3 = 3x - 1 - 2x > 3 = x > 3 + 1 = x > 4.
126. Princípios
P-1) Sejam as funções f(x) e g(x) definidas em Dl e D2 , respectivamente. Se
a função h(x) é definida em Dl n D2 , as inequações
f(x) < g(x) e f(x) + h(x) < g(x) + h(x)
são equivalentes em Dl n D2 -
Na resolução de uma inequação procuramos sempre transformá-Ia em outra
equivalente e mais "simples", em que o conjunto-solução possa ser obtido com
maior facilidade. Surge, então, a pergunta: "que transformações podem ser feitas
em uma inequação para obter-se uma inequação equivalente?". A resposta a esta
pergunta são os dois princ(pios seguintes:
adicionemos h(xl = -2x + 1 aos dois membros:
P-2} Sejam as funções f(x) e g(x) definidas em Dl e D2 , respectivamente. Se
a função h(x) é definida em Dl n D2 e tem sinal constante, então:
a) se h(x) > O, as inequações f(x) < g(xl e
f(x) • h(x) < g(xl • h(x) são equivalentes em Dl n D2 •
b) se h(x) < O, as inequações f(xl < g(x) e
f(x) • h(x) > g(xl • h(x) são equivalentes em Dl n D2 •
Exemplos
1?) ; - ~ > ~ e 6x - 9> 4 são equivalentes em R, pois a segunda
inequação foi obtida a partir da primeira através de uma multiplicação por 12.
2?) _2x2 + 3x > 1 e 2x2 - 3x < -1 são equivalentes em R pois a
segunda foi obtida da primeira através de uma multiplicação por -1 e inversão
do sentido da desigualdade.
3?) 4~ - 3 > O e 4x - 3 > O são equivalentes em IR. Notemos que a
x + 1
segunda foi obtida da primeira através da multiplicação por x2 + 1 > O, V x E A-
Na prática, aplicamos a propriedade P-2 com o seguinte enunciado:
"em uma inequação podemos multiplicar os dois membros pela mesma expressão,
mantendo ou invertendo o sentido da desigualdade, conforme essa expressão seja
positiva ou negativa, respectivamente."
(})2x + 3
'----.,,-J
g(x)
3x - 1 >
'----.,..-J
t(x)
Exemplo
Seja a inequação
(3x - 1)
'---v---J
t(x)
+ (-2x + 1)
'--v---J
h(x)
> (2x + 3) +
'---v---J
g(x)
(-2x + 1)
'---v---J
h(x)
façamos as simplificações poss(veis: EXERCICIOS
x
'---.r---J
f(x) + h(x)
> 4
'---v---J
g(x) + h(x)
A.132 Resolver as inequações em IR:
a) 4x + 5 > 2x - 3
b) 5(x + 3) - 2(x + 1) .;;; 2x + 3
c) 3(x + 1) - 2 ;;. 5(x - 1) - 3(2x - 1)
88-A
89-A
A.133 Resolver em IR, a inequação
x + 2
-3-
x - 1 ~
-2- ?x
Solução
A inequação proposta é equivalente à inequação que se obtém multiplicando pelo
m.m.c. (3, 2) = 6:
Família serve a ciência por 100 anos
Nenhuma família na história da Matemática produziu tantos matemáticos célebres
quanto a família Bernoulli. Oriunda dos Países Baixos espanhóis, esta família emigrou
em
1583 para Basiléia, na Sul'ça, fugindo da guerra. Cerca de uma dúzia de membros da família
conseguiu renome na Matemática e na F ísica, sendo quatro deles eleitos como sócios
estrangeiros da Academia das Ciências, da França.
2(x + 2) - 3(x - 1) ;;;. 6x,
Efetuando as operações, temos:
-x + 7 ;;;. 6x
ou ainda
-7x ;;;. -7.
Dividindo ambos os membros por -7 e lembrando que devemos inverter a desigual-
dade, temos
e, portanto,
s = {x E IR I x ~ I}.
A.134 Resolver em IR, as inequações:
a) x-I _ x - 3 ;;;. 1
~ 4
b) 2x - 3 5 - 3x <
-2- - -3- 3x 6
c) (3x + 11 (2x + 1) ~ (2x - 1) (3x + 2) - (4 - 5x)
di (3x - 2)2 - (3x - 1)2 > (x + 21 2 - (x - 1)2
el 4(x - 2) - (3x + 2) > 5x - 6 - 4(x - 11
t) 6(x + 2) - 2(3x + 2) > 2(3x - 1) - 3(2x + 1)
Nicolaus
(1623-17081
1~__--jI-------"11
Jacques Nicolaus I Jean I
(1654-1705) (1662-17161 (1667-17481
\ I
Nicolaus II Nicolaus 111
(1687-17591 (1695-1726)
IJean III
(1746-1807)
I.Daniel I
(1700-1782)
I
Daniel 11
(1751-1834)
. IChnstoph
(1782-1863)
I
Jeil n Gustave
(1811-18631
IJean II
(17,0-1790)
Jaoques II
(1759-1789)
A.l35 Resolver em IR, a inequação:
s = {x E IR I x> I}
2x - 3 ~ 2
x-I
Solução
Os Bernoulli matemáticos: árvore genealógica
Os primeiros Bernoulli que se destacaram em Matemática foram Jacques e Jean,
respectivamente quinto e décimo filhos de Nicolaus.
Jacques viajou muito para encontrar cientistas de outros países. Destacou-se por
seus estudos sobre infinitésimos, seus artigos sobre máximos e mínimos de funções publicadas
na revista "Acta Eruditorum" (Anotações dos eruditos), suas pesquisas sobre séries infinitas
em que aparece o resultado célebre conhecido como "desi9ualdade de Bernoulli": (1 + x) n > 1 +
+ nx . .4. ele é também atribuída a demonstração de que a série harmônica é divergente.
Jacques tinha uma verdadeira fascinação por curvas, tendo estudado várias delas: a
parábola semi-cúbica, a lemniscata, a catenária, a is6crona a espiral logarítmica, etc.
Jean Bernoul!i segundo a vontade do seu pai deveria ser médico, porém indo estudar
em Paris, desgarrou para a Matemática, escrevendo em 1691-1692 dois livros de Cálculo que
foram publicados muito mais tarde. Em 1692, passou a ensinar Cálculo a um jovem marquês
de L'Hospital e, em troca de um salário regular, concordou em enviar ao nobre francês suas
descobertas matemáticas, para serem usadas como o marquês o desejasse. A conseqüência foi
que uma das mais importantes descobertas de Jean passou à Hi~t6ria com nome "regra de
L'Hospital" se f(x) e g(x) são funções diferenciáveis em x a, f(a) ~ O e gla) c O,
então existe lim f'(x) e fim ~ ~ 11m f'(xl
x+ag'(xl x+a glxl x+a g'lxl
--4 - 3x < -13x + 2cl
2x - 3 _ 2 ~ O
x::1
-1 ~ O,
x-I
b) 4x - 5 ;;;. 2
2x - 1
deverá ser não positiva; como o numerador -1 é nega-
x - 1 deverá ser positivo. Lembrando que o denomina-
-1
3x-2~_3
1 - x
Notemos que a fração
A inequação proposta é cqu,valente a
que, reduzindo ao mesmo denominador, fica
e, portanto,
x -
tivo, então o denominador
dor não poderá ser nulo
a)
A.136 Resolver em IR, as inequações:
9O-A 91-A
Os irmãos Jean e Jacques mantinham intensa correspondência com Leibniz pois todos
eles colaboravam com artigos para a mesma revista, "Acta Eruditorum" (Anotações dos eru-
ditos). Jacques é também autor do clássico "Arte de conjecturar", considerada a mais antiga
obra sobre probabilidade.
Jean foi pai de Nicolas, Daniel e Jean 11. Nicolas foi professor de Matemática em
S. Petersburgo e Daniel e Jean II foram professores em Basiléia. Outro Bernoulli. Nicolas li,
primo desses três, ocupou durante algum tempo o lugar que foi de Galileu, em Pádua.
Da geração mais jovem foi Daniel que mais se destacou com seus resultados em hidro-
dinâmica e probabilidade.
Houve ainda outros Bernoulli que conseguiram evidência em Matemática, no século
XVIII, fazendo juz ao nome da fam(lja.
CAPÍTULO VI
FUNÇÕES
DO I!' GRAU
Construir os gráficos das aplicações de IR em IR definida por:
constante é uma reta paralela ao eixo dos x passando
x
x
y
y
lo. c)
2) y = -1
(0,3)
y
1)y=3
f: IR ---+ IR
x_~.
O gráfioo da função
ponto (O, c).
A imagem é o oonjunto Im {c}
128. Exemplos
pelo
Uma aplicação f de IR em IR
recebe o nome de função constante quan-
do a cada elemento x E IR associa
sempre o mesmo elemento c E lÃ.
Isto é:
I. FUNÇÃO CONSTANTE
127. Definição
Jacques Bernoulli
(1654 - 1705)
Jean Bernoulli
(1667 - 1748)
Daniel Bernoulli
(1700 - 1782) x lo, -1)
92-A 93-A
11. FUNÇÃO IDENTIDADE 131. Exemplos
x
y
2
y = 2xx
1~) Construir o gráfico da função
y = 2x. Considerando que dois pontos
distintos determinam uma reta e no caso
da função linear um dos pontos é a
origem, basta atribuir a x um valor
não nulo e calcular o correspondente
y = 2x.
x
...
129. Definição
Uma aplicação f de IR em IR
recebe o nome de função identidade
quando a cada elemento x E IR as-
socia o próprio x, isto é;
f: R_ R
x f----+ X
O gráfico da função identidade é uma reta que contém as bissetrizes do
1~ e 3~ quadrantes.
A imagem é Im IR.
111. FUNÇÃO LINEAR
130. Definição
Uma aplicação de IR em IR re-
cebe o nome de função linear quando
a cada elemento x E IR associa o
elemento ax E IR onde a * O é
um número real dado, isto é:
f: R-----+ R
x~ ax, a * O (*)
Demonstra-se que o gráfico da fun-
ção linear é uma reta que passa pela
origem.(H)
A imagem é Im = IR.
y
Pelos pontos P(O, O) e O( 1, 2)
traçamos a reta PO que é precisamente
o gráfico da função dada.
2~) Construir o gráfico da função
y = -2x. Analogamente, temos:
x y = -2x
1 -2
EXERCICIOS
A.137 Construir o gráfico das funções de IR em IR:
x
De fato, qualquer que seja o y E IR, existe x :!.. E IR, a *0, tal
a
aI y = 2
C)Y=V2
b) y = -3
dI y = O
A.138 Construir, num mesmO sistema cartesiano. os gráficos das funções da
que
f(x) = f(.r) ,. a • l = y.
a a a) y = x b) y = 2x cl y = 3x dI y = ~
2
IR em IR:
A.139 Construir, num meSmO sistema cartesiano. os gráficos das funções de(.) Observe que se a = O, teremos a função constante y = o.
(.. ) Essa demonstração será feita para um caso mais geral e se encontra na página 96. a) y = -x b) y = -2x cl y = -3x dI y = - ~
2
IR em IR:
94-A 95-A
IV. FUNÇÃO AFIM
= aY3 - Y2
Subtraindo membro a membro, temos:
Y3 - Y2 = a(x3 - X2)} ==
Y2 - YI = a(X2 - xtl
Os triângulos ABD e BCE são retângulos e têm lados proporcionais, então
são semelhantes e, portanto, O! = il. Segue-se que os pontos A, B e C estão
alinhados.
132. Definição
Uma aplicação de IR em IR recebe o nome de função afim quando a
cada x E IR estiver associado o elemento (ax + b) E IR com a *' O, isto é:
f:IR ----+ FI
x 1---+ ax + b, a *' O
133. Exemplos
a) Y = 3x + 2 onde a = 3 e b=2
b) Y = -2x + 1 onde a = -2 e b = 1
c) Y = x - 3 onde a = 1 e b = -3
d) Y = 4x onde a = 4 e b=O
134. "O gráfico cartesiano da função f(x)
Notemos que para b
na função linear Y = ax;
particular função afim.
V. GRAFICO
Demonstração
O a função afim Y = ax + b se transforma
podemos, então, dizer que a função linear é uma
ax + b (a * O) é uma reta".
135. Aplicaç.ões
1~) Construir o gráfico da função
Considerando que o gráfico da fun-
ção afim é uma reta, vamos atribuir a x
dois valores distintos e calcular os cor-
respondentes valores de y.
x Y = 2x + 1
O 1
1 3
Y = 2x + 1.
(1, 3)
x
x
(O, 1) e (1,3).
x Y = -x + 3
O 3
1 2
O gráfico procurado é a reta que passa pelos pontos
2~) Constru ir o gráfico da função Y = - x + 3.
De modo análogo, temos
x
dois, do gráfico
e (X3' Y31. res-
V2 - fI
VI
V2
De fato:
(XI, yd E f ~ YI = aXI + b G)
(X2' Y2) E f ~ Y2 = aX2 + b (3)
Sejam A, B e C três pontos quaisquer, distintos dois a
cartesiano
da função Y = ax + b (a *' O) e (XI, yd, (X2' Y2)
pectivamente, as coordenadas cartesianas desses pontos.
Para provarmos que os pontos A, V
B e C pertencem a mesma reta, mos- V3
tremas, inicialmente que os triângulos
retângulos ABD e BCE são seme-
lhantes.
96-A 97-A
Solução Analltica
Existem diversos processos analfticos pelos quais podemos resolver um sistema dE
equações. Vamos apresentar dois deles.
A.141 Resolver analftica e graficamente o sistema de equações:
{
X - Y ~ -3
2x + 3y = 4
la) processo: Substituição
Este processo, consiste em substituir o valor de uma das inc6gnitas, obtido a partil
de uma das equações, na outra.
Resolvendo, por exemplo, a primeira equação na incógnita x, temos:
x - y = -3 <==> x = y - 3
e substituímos x por este valor na segunda equação:
•
Lv
1/
!oo.. 1/Iv ~ :, 3
I' /
'/
/
l/
1/ .....
1/ I'-.
1/
'"
-2x + 4y= ---
'-L- I I I ,3, ,-
2' (-1) + 3y = 4 ... y = 2
A solução do sistema é o par ordenado (-1, 2).
Construrmos os gráficos de
y = x + 3 e y = -2x + 4
3
{
X - Y = -3Assim, no sistema
2x + 3y = 4
multiplicamos a primeira equação por 3
{
3X - 3y = -9
2x + 3y = 4
Substituindo a primeira equaçiio pela soma das duas equações, temos:
{
5x = -5
2x + 3y ~ 4
que é equivalente a:
Gx~+-~y = 4
substituindo x = -1 em 2x + 3y = 4, encontramos
A solução do sistema são as coordenadas do ponto de intersecção das retas, portanto
(-1,2).
o fundamento do processo da adição, consiste no seguinte: aplicando a primeira
propriedade, multiplicamos cada equação por números convenientes, de modo que,
os coeficientes de determinada incógnita sejam opostos e pela segunda propriedade,
substitui mos uma das equações pela soma das duas equações.
Solução Gráfica
O sistema proposto
{
X - Y = -3
2x + 3y ~ 4
é equivalente a
{y~X+3-2x + 4y = --3--
2
que levamos à primeira equação, encontrando:
x-2=-3 <==> x -1.
A solução do sistema é o par ordenado (-1, 2L
2(y - 3) + 3y ~ 4 <==> 2y - 6 + 3y
:z'?) processo: Adição
Este processo baseia·se nas seguintes propriedades:
I. "Num sistema de equações, se multiplicarmos todos os coeficientes de uma equação
por um número não nulo, o sistema que obtemos é equivalente ao anterior (-)'
{
alx + bly = cl _ {kalX + kblY = kCI (k =/=0)
a2 x + b2 Y = c2 a2 x + b2 Y = c2
EXERCíCIOS
A.140 Construir o gráfico cartesiano das funções de IR em IR:
a) Y 2x -- 1 b) Y x + 2
c) 3x + 2 d) 2x - 3Y Y 2
e) Y -3x - 4 f) Y ~ -x + 1
g)
-2x + 3 h) 4 - 3xY Y = 2
11. "Num sistema de equações, se substituirmos uma das equações, pela sua soma
com umé:i outra equação do sistema, o novo sistema é equivalente ao anterior".
A.142 Resolver analltica e graficamente os sistemas de equações.
(-) Sistemas de equações são equivalentes quando apresentam as mesmas soluções.
{x+ y = 5 b) ex - 2y = -14a) 2x + 3y 8x - y ~ 1
(2X - 5y 9 d) {4X + 5y = 2c) 7x + 4y ~ 10 6x + 7y = 4
{x + 2y ~ 1 fi (2X + 5y = Oa)
2x + 4y = 3 3x - 2y = O
98-A 99-A
A.143 Resolver os sistemas de equações:
t;' + 3a) x + y 41 1-x - y x + y 4
Sugestão: faça = a e X+Y bx - y{,,;., 2 52x - y + 3 12
b) + 3
x + y + 1 2x - y + 3
A.144 Obter a equação da reta que passa pelos pontos (1, 2) e (3, -2).
Solução
Seja y = ax + b a equação procurada. O problema estará resolvido se determinarmos o
valores de a e b.
VII. COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM
137. O coeficiente ..:- da função f(x); ax + b é denominado coeficiente
angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano.
O coeficiente b da função y; ax + b é denominado coeficiente linear.
138. Exemplo
Na função y; 2x + 1 o coeficiente angular é 2 e o coeficiente linear
é 1. Observe que se x; O temos y; 1. Portanto, o coeficiente linear é
a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y.
Considerando que o ponto
substituirmos x = 1 e
(1, 2),
y = 2
pertence a reta de equação y = ax + b, ae
em y = ax + b, temos a sentença verdadeiri
2 = a • 1 + b isto é: a + b = 2
Analogamente, para o ponto (3, -2), obtemos:
-2 = a • 3 + b isto é: 3a + b = -2
EXERCíCIOS
encontramos a = -2 e b = 4.
Assim, a equação da reta é y = -2x + 4.
A.145 Obter a equação da reta que passa pelos pontos:
Resolvendo o sistema
{
a+b=2
3a + b = -2 Solução
A equação procurada é da forma y = ax + b.
Se o coeficiente angular é 2, então a = 2.
Substituindo x = 1, y = 3 e a = 2 em y = ax + b, vem:
3=2,1 +b ~ b=1.
A equação procurada é y = 2x + 1.
A.146 Obter a equação da reta que passa pelo ponto: (1, 3) e tem coeficiente angular
igual a 2.
b) (1,-1) e (-1,2)
d) (1, 2) e (2, 2)
a) (2, 3) e (3, 5)
c) (3, -2) e (2, -3)
VI. IMAGEM
A.147 Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 4) e tem coeficiente angular
igual a -3.
136. O conjunto imagem da função afim f: IR -+ IR definida por f(x); ax + I
com a *' O é IR.
A.148 Obter a equação da reta com coeficiente angular igual a - 1 e passando pelo
2
ponto (-3, 1).
f(x)
De fato, qualquer
f(~); a·
a
que seja y E IR
_y-b + b; y.
a
existe x y - b E IR
a
A.149 Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 1) e tem coeficiente linear igual
a 4.
A.150 Obter a equação da reta com coeficiente linear igual a -3 e passa pelo ponto
(-3, -2).
100-A 101-A
1
2 'x =
x y
O -1
1 1
isto é, no ponto
intercepta o eixo dos x em
Exemplo
Fazendo o gráfico da função
y = 2x - 1, podemos notar que a reta
140. Podemos interpretar o zero da função afim, como sendo a abscissa do ponto
onde o gráfico corta o eixo dos x.
A.151 Dados os gráficos das funções de IR em IR, obter a lei de correspondência dessa!
funções.
VIII. ZERO DA FUNÇÃO AFIM
139. Definição
IX. FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES
Zero de uma função é todo número x cuja imagem é nula, isto é, f(x) = O 141. Definição
Em símbolos: f é crescente quando
("Ix}, X2)(XI < X2 => f(xtl < f(x2))
x é zero de y = f(x) <=> f(x) O
Assim, para determinarmos o zero da função afim, basta resolver a equaçãc
do 1Çl grau
ax + b = O
A função f: A -> B definida por
A, C A se, para do is valores quaisquer
x} < X2' tivermos f(xtl < f(x2)'
y = f(x) é crescente no conjunto
x, e x2 pertencentes a A" com
Exemplo
De fato, resolvendo ax + b = O, a 0/= O, temos
y
_+-_~_-L_--"'--_---L __
x
f(xtl - f(x2) > O)
Xl - X2
e isto também pode ser posto assim:
Na linguagem prática (não matemá-
tica), isto significa que a função é cres-
cente no conjunto AI se, ao aumentar-
mos o valor atribuído a x, o valor de
y também aumenta.
b
--o
a
I pois, fazendo 2x - 1
2
é x
b
a
2x - 1f(x)
ax + b = O <=> ax = - b <=> x
o zero da função
1
x =
2
vem
que apresenta uma única solução x
102-A 103-A
142. Exemplo EXERCICIO
x
y
em IR, especificar os intervalos
bl
y
x
cl
ya)
A.152 Com base nos gráficos abaixo, de funções de IR
onde a função é crescente ou decrescente.
é decrescente no conjunto
pertencentes a AI, com
é crescente em IR, pois:
para todo Xl E IR e todo X2 E IR.
A função f(x) ~ 2x
XI < x2 => 2x I < 2x2
L....-J L....-J
f(xI) f(X2)
143. Definição
Afunção f: A ---+ B definida por y ~ f(x)
AI C A se, para dois valores quaisquer XI e x2
XI < x2' tem-se f(xd > f(x2).
Em símbolos: f é decrescente quando
(Vx l , x2)(Xt < x2 => f(xd > f(x2))
e isto também pode ser posto assim:
145, "A função afim é crescente (decrescente) se, e somente se, o coeficiente
angular for positivo (negativo)".
Na linguagem prática, (não mate-
mática) isto significa que a função é
decrescente no conjunto A I se, ao au-
mentarmos o valor atribuído a X, o
valor de y diminui.
f(x l ) - f(x2)
Xl - x2
v
< O)
x. TEOREMA
144. Exemplo
x
ax + b decrescente equivale a
bl y = -4x + 3aI y = 3x - 2
Solução
aI É crescente, pois o coeficiente angUlar
é positivo (a = 31
b) É decrescente, pois o coeficiente angular é negativo (a = -4).
A.153 Especificar para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente em IR:
EXERCICIOS
Fica como exercício provar que f(x)
a < O.
x
y
é decrescente em IR, pois
para todo XI E IR e todo x2 E IR.=> - 2x I > -2X2
'----------' '----v------'
f(Xt) tlx21
A função f(x) ~ -2x
Notemos que uma mesma função
y ~ f(x), pode não ter o mesmo com-
portamento (crescente ou decrescente)
em todo o seu domínio.
É bastante comum que uma função
seja crescente em certos subconjuntos
de D e decrescente em outros. O grá-
fico ao lado representa uma função cres-
cente em IR+ e decrescente em IR_,
104-A 105-A
A.154 Especificar para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente em IR.
a) V = 1 + 5x b) V = -3 - 2x
cl v = x + 2 d) V = 3 - x
e) V = -2x f) V = 3x
A.155 Estudar segundo os valores do parâmetro m, a variação (crescente, decrescente ou
constante) da função V= (m - l)x + 2.
Solução
Se m - 1 > O, isto é, m > 1, então a função terá coeficiente angular positivo e,
portanto, crescente em IR.
Se m - 1 < O, isto é, m < 1, então a função terá coeficiente angular negativo e,
portanto, decrescente em IR.
Se m - 1 = O isto é, m = 1, então será função V = 11 - lIx + 2, ouseja,
V = 2 que é constante em IR.
A.156 Estudar segundo os valores do parâmetro m, a variação (crescente, decrescente ou
constante) das funções abaixo
Observemos, inicialmente, que interessa o comportamento da curva y = f(x)
em relação ao eixo dos x, não importando a posição do eixo dos y.
Preparando o gráfico com aspecto prático, temos:
v = f(x)
•x
tj 2 4 7 xI I I •sinal de _ J ; i III 6 Ó
V = f(x) I + O + .+
I
I
Conclusão:
ai V = (m + 2)x - 3
c) V = 4 - (m + 3)x
XI. SINAL DE UMA FUNÇÃO
b) V = (4 - mlx + 2
dI v = mIx - 1) + 3 - x
EXERCICIO
f(x) O <=<> x = -1
f(x) > O<=<> -1 < X
f(x) < O <==> x <-1
ou X = 2 ou x = 4 ou x = 7
< 2 ou 2 < x < 4 ou x > 7
ou 4 < x < 7.
f(x)
A.157 Estudar o sinal das funções cujos gráficos estão representados abaixo.14G. Seja a função f: A -+ B definida por y = f(x). Vamos resolver o problema
"para que valores de x temos f(x) > O, f(x) = O ou f(x) < O?"
Resolver este problema significa estudar o sinal da função y
para cada x pertencente ao seu domínio.
Para se estudar o sinal de uma função, quando a função está representada
no plano cartesiano, basta examinar se é positiva, nula ou negativa a ordenada
de cada ponto da curva.
147 Exemplo
Estudar o sinal da função y = f(x) cujo gráfico está abaixo representado.
V
y = f(x)
x
a)
b)
cl
y
V
y = f(x)
x
V = h(x)
------.
x
10G-A 107-A
XII. SINAL DA FUNÇÃO AFIM
a
o valor de x para o qual f(x) = O,
ocorre f(x) > O ou f(x) < O.
.. x
b
a
O+
Colocando os valores de x sobre um eixo, o sinal da função f(x) = ax + b
a < O, é:com
examinemos, então, para que valores
zero da função afim f(x) = ax + b,bx = -Considerando que
Devemos considerar dois casos.
148. 1<;> caso: a > O
Podemos analisar o sinal da função f(x) = ax + b com a < O, construindo
o gráf ico cartesiano. Lembremos que neste caso a função é decrescente.
a
f(x) = ax + b > O <==> ax > -b <==> X > _ b
f(x) = ax + b < O <==> ax < -b <==> X < _ b
a
---------""'''<::"""-------_ X
150. Resumo
.. x
+O
-~
af(x) = ax + b
(a> O)
Colocando os valores de x sobre um eixo, o sinal da função f(x) = ax + b
com a > O, é:
isto é. para x > - ~ a função f(x) = ax + b tem o sinal de a.
a
Um outro processo para analisarmos a variação do sinal da função afim
é construir o gráfico cartesiano.
Lembremos que na função afim f(x) = ax + b o gráfico cartesiano é
uma reta e, se o coeficiente angular a é positivo, a função é crescente.
Construindo o gráfico de f(x) = ax + b com a > O, e lembrando que
não importa a posição do eixo y, temos:
1) A função afim f(x) = ax + b anula-se para x
2) Para x > - ~, temos:
a
a > O então f(x) = ax + b > O
a < O então f(x) = ax + b < O
b
a
b3) Para x < - -, temos:
a
-------?-------- x
{
se
se
a > O então f(x) = ax + b < O
a < O então f(x) = ax + b> O
contrário ao de a).
Se colocarmos os valores de x sobre um eixo, a regra dos sinais da função
afim, pode ser assim representada:
149. 2~ caso: a < O
f(x) = ax + b> O ax > -b x <- b<==> <==>
a
f(x) =ax+b<O ax < -b x > - b<==> <==>
a
isto é, para x<- b f -a unçao
a
f(x) = ax + b tem o sinal de -a (sinal
1OS-A l09-A
151. Exemplos
10 ) Estudar os sinais da função f(x) 2x - 1.
Temos:
f(x) 0= 2x - 1 0= 1x = 2
a 2== a> O e -a < O
Logo:
x>
1 f(x) > O (sinal de 2> O)para - = a =2
x <
1 f(x) < O (sinal de -a=-2<01para =2
Fazendo o esquema gráfico, temos
x
flx) =-2x +4
Determine os valores
x
flx)=2x-1y
a) y ~ 2x + 3 bl y = -3x + 2
c) y ~ 4 - x d) y = 5 + x
e) V = 3 x ti x + 3- y =2 3 2
g) = 2x - 4 h)v 3 y = -x
A.158 Estudar os sinais das funções defmidas em R:
EXERCt'CIOS
A.159 Seja a função de IR em IR definida por f(x) = 4x - 5.
do domínio da função que produzem imagens maiores que 2.
152. Um outro processo para analisarmos a variação do sinal da função afim
é construir o gráfico cartesiano.
Lembremos que na função afim f(x) = ax + b o gráfico cartesiano é
uma reta e a função é crescente (decrescente) se o coeficiente angular a é
positivo (negativo).
Assim nos dois últimos exemplos, temos:
x
..
+O
1
2
x ""
_J:!. x> - ~
a a
==v .. x..
O f(x) tem o sinal de a
bx ~
a x
• ..
O f(x) tem o sinal de a
1 Isina I def(x) = 2x -
..
x <-~
a
f(x) tem o sinal de -a
f(x) tem o sinal de -a
ou, simplesmente:
(sinal de a = -2 < O)
(sinal de -a = 2 > O)
2?) Estudar os sina is de f (x)
Temos
f(x) = O ==> -2x + 4 = O = x
a = -2 ==> a < O e -a > O
para x > 2 ==> f(x) < O
para x < 2 ==> f(x) > O
-2x + 4.
2
Solução
Os valorp.s do domínio da função que produzem imagens maiores que 2, são os
valores de x E R tais que
e, ponanto,
x> 7
4
IR em IR definida por f Ix)Fazendo o esquema gráfico
sinal de j----+---+:--------.:~
f(x) = -2x + 4
A.160 Para que valores do domfnio da função de
e imagem é menor que 47
A.161 Pere que velores de x E IR a função flxl 2
3
x é negativa?
2
3x - 1
2
11O-A 111-A
A.162 Sejam as funções f(x) = 2x + 3. g(x) ~ 2 - 3x
em R. Para que valores de x E R, tem-se:
. XIII. INEQUAÇOES SIMULTÂNEAS
A.163 Dados os gráficos das funções f, 9 e h
definidas em IA:. Determinar os valores
de x E IR, tais que:
a) f(x) > g(x)
b) g(x) ~ h(x)
c) t(x) ;;;. h(x)
d) g(x) > 4
e) f(x) ~ O
.v
19 IIt
1'\ :/f
11
1---1'\
11
x
I
'\
I
, di x + 1 ~ 7 - 3x < ~ - 1
2
el 3x + 4 < 5 < 6 - 2x
fi 2 - x < 3x + 2 < 4x +
ai -2 < 3x - 1 < 4
bl -4 < 4 - 2x ~ 3
cl -3 < 3x - 2 < x
A.164 Resolver as inequações em IR:
A intersecção desses dois conjuntos é
1
4
S = {x E IR 1- ~ ~ x < ~} :]::::::::::::::::1""""""","""",::
1
2
EXERC(CIOS
definidash(x) ~ 4x - 1
2
e
c) f(x) ;;;. h(x)?b) g(x) < h(x)?a) f(x) ;;;. g(x)?
Indicando com SI o conjunto-solução de CD e S2 o conjunto-solução til
@, o conjunto-solução da dupla desigualdade é S = SI n S2'
153. A dupla desigualdade f(x) < g(x) < h(x) se decompõe em duas inequa-
ções simultâneas, isto é, equivale a um sistema de duas equações em x, sepa-
radas pelo conectivo e:
{
f(X) <e glx)
flx) < g{x) < h{x) <==
g{x) < h{x)
/
y I
h/
"
v 1/
"
v
v / gf- -
1/ x
T /
"\
I'\.
1/
b) { 5 - 2x < O
3x + 1 ;;;. 4x - 5
x - 3 ;;;. O
di {2x - 5 ~ -2T-=-xx 2 + x + 3 >x
x + 1
A.165 Resolver os sistemas de inequações em IR:
a) {3X -2> 4x + 1
5x + 1 ~ 2x - 5
cl { 3x + 2 ;;;. 5x - 2
4x - 1 > 3x - 4
3 - 2x < x - 6
A.166 Com base nos gráficos das funções f, 9
e h definidas
em IR, determinar
os valores de x E IR, tais que
a) f(x) < g(xl ~ h(x)
bl g(x) ~ f(xl < h(x)
c) h(x) ~ flxl < g(xl
Q)
®
®~
+ 2 < -x + 3 ~ x + 4
J
3x
\
Resolver
154. Exemplo
XIV. INEQUAÇÕES-PRODUTO
CD
@
Temos que resolver duas inequações:
3x + 2 < -x + 3 => 4x < 1 = x < 1
4
-x + 3 ~ x + 4 => -2x ~ 1 => X ;;;. _ 1
2
155. Sendo f(x) e g(x) duas funções na variável x, as inequações
f(x) • g(x) > O, f(x)· g(x) < O, f(x). g(x) ;;;. O e f(x). g(x) ~ O
são denominadas inequações-produto.
112-A 113-A
portanto
29 caso
Cada um dos fatores é negativo, isto é:
x + 2 < O ==> X < -2
{x E R I x> 1.} U {x E IR I x < -2}
2
1
2
-2 x
11""1 I1 I1 1IIIIIQ}---------- _
1111111111111l11111~,tIIPlII110)_---------'.....X
e
A intersecção das duas so luções é:
53 n 54 = {x E IR I x < -2 }
O conjunto-soiução da inequação
(x + 2)(2x - 1) > O é:
2x-1<O~x< 1
2
e
1<:» f(x) > O e g(x) > O
Se 51 e 52 são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas inequações
então 51 n 52 é o conjunto-solução do sistema.
2<:» f(x) < O e g(x) < O
Se 53 e 54 são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas inequações,
então 53 n 54 é o conjunto-solução do sistema.
156. Vejamos, por exemplo, como determinamos o conjunto-solução 5 da
inequação f{x)' g(x) > O.
De acordo com a regra de sinais do produto de números reais, um número
Xo é solução da inequação f{x). g(x) > O se, e somente se, f(x o) e g(xo),
não nulos, tem o mesmo sinal.
Assim, são possíveis dois casos:
Daí condu ímos que o conjunto-solução da inequação do produto
f(x) • g(x) > O é 5 = {x E R I x < -2 ou x > 1 }2
158. Vejamos, um outro processo, mais prático para resolvermos a inequação
(x + 2) • (2x - 1) > O em R.Raciocínio análogo seria feito para a inequação
f(x) • g(x) < O. Fazemos inicialmente o estudo dos sinais das funções f(x)
g(x) = 2x -
x + 2 e
157. Exemplo
Resolver em R a inequação (x + 2)(2x - 1) > O.
Analisando os dois casos possíveis
x
--
x
..
+
1 -
-J
2
o
o +
1
2
ou x>
o
o
-2
-2
+
{x E IR I x < -2s
flxl
glxl
flxl • g(x)
------'+> :r---D+tt++++II.lllllllll'lll'
1t(jf-----~:~--+---'Il:.- gd : +
Com o objetivo de evitar cálculos algébricos no estudo dos sinais do
produto f(x)· g(x), usaremos o quadro abaixo, que denominamos quadro-
produto, no qual figuram os sinais dos fatores e o sinal do produto.
.1.
2
1
2
-2
___-(O+t1l111l111~1I111111111111111111111111l.. )(
,
,
,
----------<0'1\1111111\ ",""Hlllll ~ x
e
> O~ x > 1
2
A intersecção das duas soluções é
51 n 52 = {x E IR I x > t }
2x -
e
11! caso
Cada um dos fatores é positivo, isto é:
x + 2 > O ==> X > -2
114-A 115-A
rac'loclnlo empregado no estudo dos sinais de um159. Podemos estender o
produto de dois fatores para um produto com mais de dois fatores.
5 1 5ou x > -} U {_ _ _ }
2 3' 2
CD
@{
(3x + 1) • (2x - 5) > O
ou
(3x + 1) • (2x - 5) = O
o conjunto-solução é:
CD 1 5Resolvendo I temos 51 = {x E IR I x < - 3 ou x > "2}
Resolvendo @ temos 52 = {_ ~, %}
ou seja:
x
~
+
x
..
3 x
• ..
+ O
+O
-1
Exemplo
Resolver a inequação (3x - 2)(x + 1)(3 - x) < O em IR.
Analisando os sinais dos fatores, temos
l
3
.
Vamos, agora, construir o quadro-produto:
h(x) = 3 - x
g(x) = x + 1
f(x) = 3x - 2 O
-1
2
5 = {x E IR I -1 < x < 3
5e recorrêssemos ao quadro-produto, teríamos:
1 5
3 2 x
flx) ~ 3x + 1 O + +
glxl:2x-5 O +
flx) • glxl + O O +
5
ou x;;;. -}
2
15 = {x E IR I x ~ __
3x
+
+
O
3
3
+
+
+
+
2
3
O
ou x > 3}
O +
+ +
+ O O
.r-. ~
-1 1-
3
hlxl
glxl
flx)
fi xl • glx) • h(xl
1?) "toda potência de base real e expoente ímpar conserva o sinal da
base", isto é
161. Dentre as inequações-produto, são importantes as inequações; [f(x))" > 0,
[f(x))" < O, [f(x))" ;;;. O e [f(x))" ~ O, onde n E N*,
Para resolvermos estas inequações, vamos lembrar duas propriedades das
potências de base real e expoente inteiro:
160. A inequação f(x). g(x) ;;;. O tem por conjunto-solução 5 a reunião do
conjunto-solução 51 da inequação f(x)· g(x) > O com o conjunto solução
52 da equação f(x). g(x) = O, isto é
{
f(x) • g(x) > O
f(x) • g(x} ;;;. O _ ou
f(x) . g(x) = O
5= fxE IRlx~-.!.
l 3 ou x;;;
' ~}
2
Exemplo
Resolver a inequação (3x + 1)(2x - 5) ;;;. O em IR,
A inequação (3x + 1)(2x - 5) ;;;. O é equivalente a:
a2n +1 > O _ a> O
a2n +1 = O -= a = O
a
2n
+1 < O -= a < O In E ~)
116-A 117-A
2':» "toda potência de base real e expoente par é um número real não
negativo", isto é
EXERCfclOS
a2n ~ O, Va E IR, V n E IW
A.167 Resolver em IR as inequações:
-a) (3x + 3)(5x - 3) > O
.- cl 15x + 2)(2 - xl(4x + 3) > O
e) (6x - 1)(2x + 7) ~ O
g) 13 - 2x)(4x + 1)(5x + 3) ~ O
_. b) (4 - 2x)(5 + 2x) < O
- d) 13x + 21{-3x + 4)(x - 61 < O
f) (5 - 2x)(-7x - 21 ,,;; O
h) (5 - 3x)(7 - 2xl(1 - 4xl ,,;; O
fw1+--------.;~:---+----I:-
Solução
Estudemos separadamente os sinais das funções f(x) = {x - 31 5 e g{xl = 12x > 3)6
lí~mbrando que a potência de expoente ímpar e base real tem o sinal da base,
então, O sinal de {x - 3)5 é igual ao sinal de x - 3, isto é:
..
+
b) (3x + 8)3 < O
d) 11 - 7x)5 > O
f) (5x + 1 13 ,,;; O
h) (3x - 8)5 ~ O
(x - 31 5 • (2x + 31 6 < O.
A potência de expoente par e base real não nula é sempre positiva, então (2x + 3)6
é positivo se x*"- ~ e (2x + 3)6 á nulo se x "" - ~, isto é:
2 2
3Jf------~.2~Wl + O
A.168 Resolver em IR as inequações:
a) (x - 3)4 > O
cl 14 - 5x)6 < O
e) (3x + 51 2 ~ O
gl 14 + 3x)4,,;;0
A.169 Resolver em IR a inequação
Assim sendo, temos as seguintes equivalências:
[f(x)]n > O = { f(x) > O se n é ímpar
f(x) * O se n é par
[f(x)]n < O = { f(x) < O se n é ímpar~ x E IR se n é par
[f(x)]n ~ O = {f(X) ~ O se n é Impar
V x E D(f) se n é par
[f(x)]n ,,;; O { f(x) ";;0 se n é ímpar,
= f(x) = O se n é par
Exemplos
1°) (3x - 2)3> O = 3x-2>0= S = {x E: IR I x> 3.}3
2':» (4x - 3)6> O = 4x - 3 * 0= S = {x E IR I x * ~}4
3 x
O +
+
O +
"O
3
+
O
-.
+ O
3
2
S = {x E IR Ix < 3
flxl • glxl
flx)
g(x)
Fazendo o quadro-produto, temos:
3
2
A.170 Resolver em IR as inequações:
ai 15x + 4)4. (7x - 2)3 ~ O
b) 13x + 11 3 • 12 - 5x)5 • Ix + 41 8 > O
cl Ix + 61 7 • 16x - 21 4 • (4x + 5) 10 ,,;; O
d) (5x - 1) • 12x + 6)8. (4 - 6x)6 ~ O
(4x - 5)2 ~ O == S = IR
(8-2x)4";;0=8-2x=0==S {4}
(x - 2)4 < O = S = 0
(3 - 5X)7 ~ O == 3. - 5x ~ O = S = {x E IR I x,,;; ~}
5
(2x + 1)5 < O = 2x + 1 < 0= S = {x E IR I x < - ~}3':»
118-A
119-A
XV. INEQUAÇÕES-QUOCIENTE
são denominadas inequações-quociente.
Considerando que as regras de sinais do produto e do quociente de números
reais são análogas, podemos, então, construir o quadro-quociente de modo
análogo ao quadro-produto, observando o fato de que o denominador de uma
fração não pode ser nulo.
.52 ~ {x E IR I x > 1} n {x E IR I x > - l} ~ {x E IR I x > 1}5
Daremos sempre preferência ao método do quadro-quociente, por sua maior
simplicidade.
=>x;;;.- 2
5
b) h(x) ~ 1 - x < O, isto é, x > 1
3x + 4
.;;; 2 => 3x + 4 ;;;. 2( 1 - x)
1 - x
o conjunto solução é:
\
5 ~ 51 U 52 ~ {x E IR I x .;;; - %ou x > l}
duas funções na variável x, as inequações
< O f(x) ;;;. O e f(x) .;;; O
, g(x) g(x)
162. Sendo f(x) e g(x)
f(x) > O f(x)
g(x) , g(x)
163. Exemplo
3x + 4 .;;; 2 ==> 3x + 4 _ 2 .;;; O ==> 3x + 4 - 2( 1 - x) .;;; O==>
l-x l-x l-x
=> 5x + 2 .;;; O
1 - x
3x + 4Resolver em IR a inequação --- .;;; 2.
1 - x
Temos:
EXERCICIOS
\ A.171 Resolver as inequações em IR:
~.a)~ >0
x + 2
__ cl 3 - 4x ;;;. O
5x + 1
~ bl~ <O
3 - 2x
_ dI -3 - 2x .;;; O
3x + 1
Fazendo o quadro-quociente, temos
2
5 x
t(xl = 5x + 2 O + +
g(x) = 1
- x + + O
f(x)
~ O +
A.173 Resolver as inequações em IR:
A.172 Resolver em IR as inequações:
ai 5x - 3 >-1
3x - 4
cl -"---.::...!. ;;;. 3
x + 1
5 ~ {x
2
5
E IRlx';;;- 2 ou
5
x> l}
a) (1 - 2x)(3 + 4xl
(4 - xl
cl (5x + 4) (4x + 11
(5 - 4xl
>0
bl 5x - 2 < 2
3x + 4
dl~';;;l
2x - 4
bl (3x + 11
(2x + 51(5x + 3) <O
dI (1 - 2x) .;;; O
(5 - x)(3 - xl
3x + 41 _ x .;;; 2, multiplicando por h(x)Podemos resolver a inequação
- x e examinando dois casos:
a) h(x) ~ 1 - x > O, isto é, x < 1
3x + 4
.;;; 2 => 3x + 4 .;;; 2( 1 - x)
1 - x
=>x.;;;-l.
5
51 ~ {x E IR I x < 1} n {x E IR I x .;;; - 1..} ~ {x
5
E IR I x .;;; - 1..}
5
A.174 Resolver em IR as inequações:
ai _1_ < 2
x-4 x+3
c)--"-.:':...!..>~
x+2 x+4
el 5x + 2 >~
4x - 1 4x + 5
gl _2_ ;;;. _1_
3x - 1 x - 1 x + 1
bl 1 < 2
i<='T x-2
di~ .;;; .2'.....:2.
3x + 2 3x + 5
ti 1 + 2 3 <O
i<='T x=2 ""X=3'"
120-A 121-A
Jovem luta para ser ouvido
Niels Henrik Abel de família numerosa e pobre, era filho do pastor da peque-
na aldeia de Findo, na Noruega.
Aos 17 anos, seu professor insistiu para que lesse as grandes obras matemáti-
cas, inclusive as "Disquisitiones" (Pesquisas) de Gauss. Nesta época, Abel conse-
guiu generalizar o teorema binomial que Euler só havia provado para potências
racionais.
Aos 18 anos perdeu o pai e suas responsabilidades ficaram maiores quanto
à fam(lia, mas mesmo assim continuou pesquisando e, em 1824, publicou num
artigo a prova de que se o grau de uma equação é maior que quatro, não existe
uma fórmula geral em função de seus coeficientes para achar suas raízes. Esta era
uma dúvida que preocupava os matemáticos há muito tempo e que agora estava
resolvida. Uma prova neste aspecto foi dada por Ruffini, anteriormente, mas
passou desapercebida e por isso hoje conhecemos este resultado como o "Teorema
de Abel-Ruffini", um dos mais importantes da Matemática.
Seu nome também está ligado a grupos abelianos, ou comutativos, e alguns
de seus resultados foram publicados no Jornal de Crelle.
Em 1826, Abel visitou Legendre e Cauchy em Paris, numa tentativa de
mostrar suas descobertas mas não obteve êxito e numa de suas cartas a um amigo
escreveu "Todo principiante tem muita dificuldade em se fazer notar aqui. ~abei
um extenso tratado sobre certas classes de funções transcendentes mas M. Cauchy
não se dignou a olhá-lo".
122-A
Niels H. Abel
(1802 - 1829)
Abel esperava obter um posto de
professor em alguma Universidade e por
isso deixou suas memórias com Cauchy
para que fossem examinadas mas este logo
as perdeu e ficaram esquecidas.
Devido à falta de recursos morreu
aos 26 anos, de tuberculose, deixando
profundos e importantes resultados em
Álgebra e Teoria dos Números.
Dois dias após sua morte chegou
finalmente a carta informando que havia
sido nomeado professor na Universidade
de Berlim.
Em 1830, Cauchy achou os manus-
critos de Abel que foram publicados em
1841 pelo Instituto Francês e que Legendre
classificou como "um monumento mais
durável que o bronze", contendo impor-
tantes generalizações sobre funções el íticas.
CAPÍTULO VII
FUNÇÕES
QUADRÁ TICAS
I. DEFINiÇÃO
164. Uma aplicação f de IR em IR recebe o nome de função quadrática
ou do :!! grau quando associa a cada x E IR o elemento (ax2 + bx + c) E IR,
onde a *- O. Isto é: f: IR ->- IR
x ...... ax2 + bx + c, a *- O.
Exemplos de funções quadráticas:
a) f(x) x2 - 3x + 2 onde a ~ 1, b ~ -3, c ~ 2
b) fi x) ~ 2x2 + 4x - 3 onde a ~ 2, b ~ 4, c ~ -3
c) f(x) ~ _3x 2 + 5x - 1 onde a ~ -3, b ~ 5, c ~ -1
d) f(x) x2 - 4 onde a ~ 1, b ~ O, c ~ -4
e) f(x) _2x 2 + 5x onde a ~ -2, b ~ 5, c ~ O
f) f(x) _3x2 onde a ~ -3, b ~ O, c ~ O
11. PARÁBOLA
165. O gráfico da função quadrática é uma parábola. (*)
(.) Isto é provado mais adiante no volume de Geometria Analftica desta coleção.
123-A
111. CONCAVIDADEExemplos
1?) Construir o gráfico de y = x2 - 1
x Y 7 x2 - 1
-3 8
-2 3
-1 O
O -1
1 O
2 3
3 8
2?) Construir o gráfico de y = _x2 + 1
x
166. A parábola representativa da fun-
ção quadrática y = ax2 + bx + c pode
ter a concavidade voltada para "cima"
ou voltada para "baixo".
Se a > O, a concavidade da
parábola está voltada para cima.
Se a < O, a concavidade da
parábola está vo Itada para ba ixo.
y
y
x
x
x y = _x2 + 1
-3 -8
-2 -3
-1 O
O 1
1 O
2 -3
3 -8
x
IV. FORMA CANÔNICA
167. A construção do gráfico da função quadrática y = ax2 + bx + c com o
auxílio de uma tabela de valores x e y, como foi feito no item anterior,
torna-se as vezes um trabalho impreciso, pois na tabela atribuímos a x alguns
valores inteiros e pode acontecer que em determinada função quadrática os valores
de abscissa (valores de x) onde a parábola intercepta o eixo dos x ou a
abscissa do ponto da parábola de maior ou menor ordenada, não são inteiros.
Para iniciarmos um estudo analítico mais detalhado da função quadrática,
vamos inicialmente transformá-Ia em outra forma mais conveniente, chamada
forma canônica.
EXERCICIOS
A.175 Construir os gráficos das funções definidas em IR:
a) y = x2
b) y = _x2 •
c) y = 2x2
d) y = _2x2
el y = x2 - 2x
1) y = _2x2 - 4x
g) Y = _3x2 - 3
h) y = x2 - 2x + 4
A.176 Determinar uma função quadrática f tal que f(-l) = -4. f(l) = 2 e f(2) = -1.
124-A
f(x) = ax2 + bx + c = a(x2 +.Q. x + f-) = a[x2 +.Q. x + b22 _ .!t- + ~] =a a a 4a 4a2 a
= a[(x2 +.Q.x + b22 ) _ ( b
2
2 _.f.)] = a[(x +..2-)2 _ (b; - ;ac)]a 4a 4a a 2a 4a
Representando b2 - 4ac por 6, também chamado discriminante do
trinômio do segundo grau, temos a forma canônica.
125-A
V. ZEROS
168. Definição
Os zeros ou raízes da função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c são os valores
de x reais tais que f(x) = O e, portanto, as soluções da equação do segundo grau
ax 2 + bx + c = O.
Utilizando a forma canônica, temos:
ax 2 + bx + c = O <=> a[(x + --E. )2 - ~ I = O <=>
2a 4a2
<=> (x + ~)2 - L\ = O <=> (x + ~)2 = A <=>
2a 4a 2a 4a2
<=> X + b = ± vzs: <=> X = -b ± yz;-
2a 2a 2a
169. Discussão
Observe que a existência de raízes reais para a equação do segundo grau
ax2 + bx + c = O fica condicionada ao fato de v;5. E IR. Assim, temos três
casos a considerar:
l?l  > O, a equação apresentará duas raízes distintas que são
-b + VIS. -b - ...n;.
Xl = e X2 = .
2a 2a
2?) Â = O, a equação apresentará duas ra ízes iguais que são
-b
Xl = X2 = -.2a
3?) Â < O, considerando que nesse caso VIS. fi IR, diremos que a
equação não apresenta ra ízes reais.
170. Resumo
171. Interpretando geometricamente, di-
zemos que os zeros da função quadrática
são as abscissas dos pontos onde a pa-
rábola corta o eixo dos x.
"1 Exemplo
~; Construindo o gráfico da função
tv x2 - 4x + 3 podemos notar que
:'a parábola corta o eixo dos x nos
. pontos de abscissas 1 e 3, que são
as raízes da equação x2 - 4x + 3 = O.
EXERCICIOS
A.177 Determinar os zeros reai,s das funções:
a) f(x) = x2 - 3x + 2
b) f(x) = _x2 + 7x - 12
c) f(x) = 3x2 - 7x + 2
d) f(x) = x2 - 2x + 2
e) f(x) = x2 + 4x + 4
23 1f) f(x) = -x + - x +
2 2
9) f(x} = x - 2x - 1
h) f(x) ~ _x2 + 3x - 4
2.r;, 1
i) f(x) = x - V 2x + 2"
j) f(x) = x2 + (1 - V3)x - V3
k) f(x) = 2x2 - 4x
I} f(x) = _3x2 + 6
m) f(x) = 4x2 + 3
n) f(x) = _5x2
x
•
ax 2 + bx + c = O <=>
126-A
-b + fiÂ> O~ x = ou X =
2a
-bÂ=O~x=
2a
 < O ~ não existem raízes reais.
-b-~
2a
A.178 (MAPOFEI-76) Resolver o sistema
127-A
A.179 Determinar os zeros reais da função f(x) x4 - 3x2 - 4.
Solução
Queremos determinar x E IR tal que x4 - 3x2 - 4 = O.
Fazendo a substituição z == x2, vem:
z2 _ 3z - 4 ~ O
cuja solução é z = 4 ou z = -1 mas z = x:l, então:
x2~4=>x~±2
A. 187 Determinar oS valores de m para que a equação
mx 2 + (2m - 1Ix + (m _ 2) ~ O não tenha ra(zes reais.
A.188 Mostre que na equação do 2':' grau ax2
+ bx + c ~ O. de raizes reais xl e x2.
S d ( S ~ Xl + x2 ~ ~ e para produto P das ra(zestemos para a soma as ra zes a
cP = XI • x2 ~
a
A.189 Na equação do 2':' grau 2x2 • 5x - 1 ~ O de raizes Xl e X2. calcular:
e
ou seja
m > _ 1
4
a) 2 e -3
bl .!.. e 3
2 2
cI 0.4 e 5
di 1 e -..ri
e) 1 + v'3 e 1 - Y3
A.191 Obter uma equação do segundo grau de raizes:
20 d ( XI e X2 é a equação x
2
- Sx + P = OA.190 Mostre ClJe uma equação do . grau e ra zes
onde S = x I + x2 e P ~ xI • x2·
d) (x 112 + (X2)2
el~ + ~
x2 Xl
f) (x 113 + (x213
cl .2.
XI
b) f(x) _x4 + 5x2 + 36
d) f(x) x4 - 4x2 + 4
f) f(xl _x4 + 3x2 - 3
hl f(x) ~ x6 - 7x3 - 8
Considerando que a função é quadrática e os zeros são reais e distintos então:
a = m '* O e Ll ~ 4m + 1 > O
x
2 ~ -1 = ~ X E IR.
Logo. os zeros reais da função t(xl ~ x4 - 3x2 - 4 são X ~ 2 e X -2.
Solução
Na função f(x) ~ mx2 + (2m - 1)x + (m - 21. temos:
a = m. b ~ 2m - 1. c = m - 2 e Ll ~ 4m + 1.
A.180 Determinar os zeros reais das funções:
a) f(x) = x4 - 5x2 + 4
c) f(x) ~x4 - x2 - 6
el flxl ~ 2x4 + 6x2 + 4
g) t(xl ~ 3x4 _ 12x2
A.181 Determinar os valores de m para que a função quadrática
t(x) = mx2 + (2m - 1)x + (m - 21 tenha dois zeros reais e distintos.
..
2 O -J.. O admite as ra(zes reais não nulas Xl eA. 192 Se a equação ax + bx + c ~ • a.,.- •
x2. obter a equação de rarzes:
aI (x 112 e (x212
b) 1 e 1
Xl Xl
c) ~ e ~
Xl Xl
dI (XI)3 e (x213
A.182 Determinar os valores de m para que a função quadrática
f(x) ~ (m - 11x2 + (2m + 3)x + m tenha dois zeros reais e distintos.
i A.183 Determinar os valores de m para que a equação do 2':' grau
'-..,...-1 2 .(m + 21x + (3 - 2m Ix + (m - 1) = O tenha ra(zes reais.
A.1114 Determinar os valores de m para que a função
'-_/ t(xl ~ mx2 + (m + 1)x + (m + 1I tenha um zero real duplo.
. A~5 Determinar os valores de m para que a equação\.Y~ x2 ~ (3m + 21x + (m2 + m + 2) ~ O tenha duas ra(zes reais iguais.
A.186 Determinar os valores de m para que a função
f(x) = (m + 11x2 + (2m + 31x + (m - 1) não tenha zeros reais.
A.193 Determinar m na equação
~ + ~ = 4, onde Xl e
x2 Xl
mx2 _ 2(m - 1)x + m = O
x2 são as ra(zes da equação.
para que se tenha
128-A 129-A
VI. MAxlMO E MfNIMO
172. Definição
174. Exemplos
19) Na função real f(x) = 4x2 - 4x - 8 temos: a = 4, b = -4, c = -8
e  = 144.
Como a = 4 > O, a função admite um valor mínimo:
-Â
YM = 4a
-144 isto é: Ym = -9
4·4'
Dizemos que o número YM E Im(f) (Ym E Im(f)) é o valor de máximo
(mínimo) da função Y = f(x) se, e somente se, YM;;;' Y (Ym';;; Y) para
qualquer Y E Im(f) e o valor de XM E D(f) (xm E D(f)) tal que YM = f(XM)
(Ym = f(xm)) é chamado ponto de máximo (mínimo) da função. em
xm
-b
2a
4
2·4'
isto é: 1X m = 2'
173. Teorema
29) Na função real f(x) = _x2 + x + ~, temos: a = -1, b = 1, c = ~
e  = 4.
Como a = -1 < O, a função admite um valor máximo:Y =
"A função quadrática Y = ax2 + bx + c admite um valor máximo (mínimo)
-Â -b
- em x = - se, e somente se, a < O (a > O)".
4a 2a
Demonstração
-Â
YM = 4a
-4
4(-1) , isto é: YM = 1
Consideremos a função quadrática na forma canônica
Y = a [(x + :a)2 - 4~2 1 (1)
em
-b
2a
-1
2(-1) , isto é: XM
1
=-
2
Considerando que (x + ~)2;;;, O V x E IR e -Â para uma dada
2a' 4a2
função tem valor constante, então Y assumirá valor máximo (mínimo) quando
a < O (a > O) e a diferença
VII. VÉRTICE DA PARABOLA
175. Definição
o ponto V( -b -Â)2a' 4a
é chamado vértice da parábola representativa da
for a menor possível, isto é
(x + ~)2 = O = x = -b
2a 2a
função quadrática.
EXERCíCIOS
e) y = _x2 + 5x - 7
a) y = 2x2 + 5x
c) y = 4x2 - 8x + 4
Substituindo x
130-A
-b em (1) temos
2a
-Â
4a
. . I mlnimo e o ponto de máximo ou o pontoA.194 Determinar o valor maxlmo ou o va or ,
de mlnimo das funções abaixo, definidas em IR.
b) y = -3x2 + 12x
7 5d) y = x 2 - - x +
2 2
x2 4 1
fi y = -"2 + "3 x - 2
131-A
A.195 Determinar o valor de m na função real flxl
mínimo seja ~.
3x2 - 2x + m para que o valo A.206 Num triângulo isósceles de base 6 cm e altura 4 cm está inscrit~ um retângulo.
Determine o retângulo de área máxima sabendo que a base do retangulo está sobre
a base do triângulo.
A.196 Determinar o valor de m na função real f(x) _3x2 + 21m - 1) x + (m + 11 par;
que o valor máximo seja 2.
A.197 Determinar o valor de m na função real flx) mx 2 + (m - llx + (m + 21 par;
que o valor máximo seja 2.
A.207 Determinar os vértices das parábolas:
A.19B Determine o valor de m na função real f(x)
que o valor m{nimo seja 1.
Im - lIx2 + (m + l)x - m par;
a) y == x 2 - 4
cI y ~ 2x2 - 5x + 2
= _x2 2el y + x - 9
bl y ~ _x2 + 3x
1 3
d) y ~ _x2 + "2 x + 2
fi y ~ x2 - 2 x - 2
3
A.199 Dentre todos os números reais de soma 8 determine aqueles cujo produto é máximo
Solução
Indicando por x e z esses números e por y o seu produto, temos:
VIII. IMAGEM
Como precisamos ficar com uma só das variáveis x ou z, fazemos
y = x • z => y = xl8 - xl => y
-1 < o. y é máximo quando
x + Z = 8
paraObservemos queC1
4a
que considerar dois casos:
b )2f(x) ; a(x + - -2a
x E IR então temos
f(x) ; a [(x +.-!?. )2 - ~]
2a 4a2
qualquer
ou seja
176. Para determinarmos a imagem da função quadrática, tomemos inicialmente
a função na forma canônica:
-x2 + 8x.
= 4.=> x
y == x • z.
==>z=8-x
-8
2· (-1)
-b
2a
x
x + z ~ 8
Como a
e portanto
e, portanto:
Substituindo em z = 8 - x vem z 4.
Logo, os números procurados são 4 e 4.
A.200 Dentre todos Os números reais x e z tais que 2x + z = 8 determine aqueles cujo
produto é máximo.
1'?) caso
a> O => a(x + ~)2 ;;. O2a
b )2Y a{x +-2a
C1
4a
-C1;;.
4a
A.201 Dentre todos os retângulos de perímetro 20 cm, determine o de área máxima.
e, portanto,
A.202 Dentre todos os números de soma 6 determine aqueles cuja soma dos quadrados é
mínima.
A.203 Determine o retângulo de área max,ma localizado no primeiro quadrante. com dois
lados nos eixos cartesianos e um vértice na reta y = -4x + 5.
2'?) caso
a < O =? a(x + ..E...)2 .;;; O2a
a(x + ..E..)2
y 2a
C1
4a
-C1
.;;;--.4a
A.204 t dado uma folha de cartolina como na
figura ao lado. Cortando a folha na
linha pontilhada resultará um retângulo.
Determinar esse retângulo sabendo que
a área é máxima.
A.205 Determine o retângulo de maior área contido num triângulo eqüilátero de lado 4 em,
estando a base do retângulo num lado do triângulo.
Resumindo:
-C1
a > O - y;;' 4a' "Ix E IR
-C1
a < O - y .;;; 4;' "Ix E IR.
132-A 133-A
Como a = 2> O, temos: Im(f) = {y E IR I y ;;;. -2}
177. Provemos agora que a imagem da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c
Im = {y E IR I y ;;;. ~} para a > O
4a
e portanto: -Â -16- = - = -2.
4a 4·2
e
Vamos provar só para o caso em que a > O.
Para provarmos que a imagem da função f(x) = ax2 + bx + c é
Im = {y E IR I y ;;;.~} para a > O, devemos mostrar que qualquer que
4a
seja y E Im existe x E IR tal que y = ax2 + bx + c.
De fato, seja y E Im, então podemos escrever
y=a(x+~)2_~
2a 4a
 = b2 - 4ac = 22 - 4 • (- ..!..) (- ~)
3 3
e portanto:
logo:
definida porR
16
9
emIR
5
c = --
3
de
temos:
f
e
da função
x2 1>Na função f(x) = - - + 2x - -3 3'
1
a=-"3' b=2
2':» Obter a imagem
x2 5
= - - + 2x - -.
3 3
f(x)
para a < O.{ _-Â}Im = y E IR I y .;;;
4a
ou seja:
y +~ = a(x + ~)2 (1)
4a 2a
-Â
4a
16
9 4
3
Como
igualdade (1)
~ -Â Â ~ O . . .. b dy r -4a' temos y + - r , Isto e, o primeiro mem ro a
. 4a
é não negativo, logo o segundo membro também o será, isto é,
a(x + ~)2;;;. O
2a
Como a = _.! < O,
3
temos: Im (f) = {y E IR I y .;;; ~}
e como a > O, temos: EXERCICIOS
que é uma inequação do segundo grau com solução
x E IR.
178. Exemplos
1':» Obter a imagem da função f de IR em IR definida por f(x)
= 2x2 - 8x + 6.
Na função f(x) = 2x2 - 8x + 6, temos:
a = 2, b = -8 e c = 6
A.20S Determinar a imagem das funções definidas em IR:
ai y = x2 - 3x
b) y = _x2 + 4
c) v = 3x2 - 9x + 6
d) y = -4x2 + 8x + 12
el y = _x2 + ~ x + 1
2
fi y = .! x2 + x + 1
2
A.209 Determinar m na função f(xl = 3x2 - 4x + m definida em IR para que a imagem
seja Im = {v E FI I y ~ 2}.
logo:
 = b2 - 4ac = (_8)2 - 4 • 2 • 6 = 16
A.210 Determinar m na função f(x) = - x2 + mx - .!... definida em FI para que a imagem
seja Im = {y E FI I y .;;; 7}. 3 2
134-A 135-A
IX. EIXO DE SIMETRIA
Para provarmos que a parábola tem eixo de simetria na reta
Se ll. ~ O, a parábola tangencia o eixo dos x no ponto P(~, O).
2a
Se ll. < O, a parábola não tem pontos no eixo dos x.
49) Vértice da parábola é o ponto V(~, -ll.) que é máximo se a < O
ou é mínimo se a > O. 2a 4a
Seguem-se os tipos de gráficos que poderemos obter:
P (-b +~ O)
2 2a 'e
P (-b - ~ O)
1 2a'
19) O gráfico é uma parábola, cujo eixo de simetria é a reta x ~ .±
perpendicular ao eixo dos x. 2a
29) Se a > O (a < O), a parábola tem a concavidade voltada para cima
(baixo).
39) Zeros da função
Se ll. > O, a parábola intercepta o eixo dos x em dois pontos distintos
x
pertencente ao gráfico da
x ~ -b
2ã'
com "r E IR, pertencente
y
179. "O gráfico da função quadrática
admite um eixo de simetria perpendicular
ao eixo dos x e que passa pelo vértice".
Os pontos da reta perpendicular ao
eixo dos x e que passa pelo vértice da
parábola obedecem a equação x ~ -b
2a'
po is todos os pontos dessa reta tem
abscissa -b.
2a
-bdevemos mostrar que dado um ponto A(2ã - r, y),
ao gráfico da função, existe B( -b + r, y) também
2a
função.
Tomando a função quadrática na forma canônica
f(x) ~ a[(x + ~)2 - ~]
2a 4a2
-b
e considerando que A(_ - r, y) pertence ao gráfico da função temos:
2a
f ( -b ) [( -b b 2 ll.] [ 2 ll.]y ~ - - r ~ a - - r + -) - - ~ a (-r) --
2a 2a 2a 4a2 4a2
y a >0
e
ll.>o
y a >0 y a >0
e
ll.<o
x
~ a[(r)2 - 4ll.a2 ] ~ a[( -b + r + ~)2 -~] ~ f(~+ r)2a 2a 4a2 2a y y y
provando que B( -b + r, y) também pertence ao gráfico da função.
2a
X. GRÃFICO
180. Para fazermos o esboço do gráfico da função quadrática f(x) ~ ax2 + bx + c,
buscaremos, daqui para a frente, informações preliminares que são:
a <o
e
ll.>o
I x
IV
•
ll.<o
136-A
137-A
EXERCICIOS
A.211 Fazer o esboço do gráfico da função y x2 - 4x + 3.
Solução
Concavidade
Como a = 1 > O a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Gráfico
x
Concavidade
Como a = -1 < O a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
x
1 1
o vértice é V(-l, -2 l.2'
~ x2 + x + 1 •
2
1
4 • 1..
2
y
4a
e-1
Em y = 1. x2 + x + 1; temos:
2
a = ~, b = 1, c = 1 e  = -1.
Como -b -1
2a 2. 1.
2
Vértice
Gráfico
Zeros da função
+x2 + x + 1 = O == Â = -1 < O == ~ ra(zes reais.
A parábola não tem pontos no eixo dos x.
A.213 Fazer o esboço do gráfico da função
Solução
Concavidade
Como a = ~ > O, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
x
Y, podemos determinar um outro
em relação a reta x = 2 (eixo
y
-1,-447T
ou x = 3
Determinado o ponto onde a parábola corta o eixo
ponto (4, 3) da parábola, simétrico a (O, 3)
de simetria da parábolal.
Gráfico
Observe que a parábola sempre inter-
cepta o eixo y. Para determinarmos
onde o faz, basta lembrar que o ponto
situado no eixo y tem abscissa nula,
logo y(O) = 02 - 4· O + 3 = 3, isto
é, o ponto no eixo y é (O, 3).
Vértice
Em y = x2 - 4x + 3, temos
a = 1, b = -4, c = 3 e  = 4
como~ = _4_ = 2 e -4Âa-
2a 2 • 1
o vértice é V(2, -11.
Os pontos no eixo x são P[ (1, O) e P2 (3, O)
Zeros da função
x2 - 4x + 3 = O == x =
A.212 Fazer o esboço do gráfico da função y _x2 + 4x - 4.
Solução
Zeros da função
-x2 + 4x - 4 = O
A parábola admite um único ponto no eixo x que é P (2, OI.
Vértice
Considerando que a parábola admite um único ponto no eixo X, então esse ponto
é o vértice da parábola.
A.214 Construir o gráfico cartesiano das funções definidas em IR:
a) y x2 - 2x - 3 b) y = 4x2 - 10x + 4
c) y = _x2 + !..x+ 1 d) = -3x2 + 6x - 3
2 2 Y
e) = x2 - 3x + 9 f) y = 3x2 - 4x + 2y
4
-!.. x2 3
= _x2 + x - 1 hl
y
- x -
gl y 2 2
138-A 139-A
XI. SINAL
e vamos resolver o problema: "para que valores de x E IR temos:
181. Consideremos a função quadrática
f(x) = ax2 + bx + c (a * O)
Exemplos
19) f(x) = x2 - 2x + 2 apresenta t. = (_2)2 - 4· 1 ·2 = -4 < O e,
como a = 1 > O, conclu(mos que
f(x) > O,V x E IR.
-3 < O29) f(x) = _x2 + x - 1 apresenta t. = 12 - 4. (-1) • (-1)
e, como a = -1 < O, conclu(mos que
f(x) < O, V x E IR.c) f(x) = 07 "b) f(x) < O;a) f(x) > O;
Resolver este problema significa estudar o sinal da função quadrática par<
cada x E IR.
Na determinação do sinal da função quadrática, devemos começar pele
cálculo do discriminante t., quando três casos distintos podem aparecer:
Vejamos como prosseguir em cada caso. a. f(x) = a2[(x +~)2 _ (--.2.....)]I~+positivo (não negativo) zero
Da forma canônica, temos:
183. 2l? Caso: t. = O
c) t. > Ob) t. = Oa) t. < O
A representação gráfica da função f(x) = ax2 + bx + c, quando t. = O,
vem confirmar a dedução algébrica.
li > O => f(x) ;;. O, "f X E IR
a < O =>- f(x) .,;; O. V X E IR
182. 1? Caso: t. < O
Se t. < O então -t. > o.
Da forma canônica, temos:
a. f(x) = a2[(x + ...!::-)2 + (-t.)] => a. f(x) > O, V x E IR
-é.~ ~
POSItIVO (não negativo) ~.
POSItiVO
Isto significa que a função f(x) = ax2 + bx + c, quando t. < O, ten
o sinal de a para todo x E IR, ou melhor:
li > O - f(x) > O. V X E IR
a < O => f(x) < O. V x E IR
então a· f(x) ;;. O, V x E IR.
Isto significa que a função
o si nal de a para todo x E IR
ou melhor:
f(x) = ax2 + bx + c, quando t. = O, tem
- {xd sendo XI = ;~ zero duplo de f(x),
x
x
..
xflxl< o
• x
flx) >0
A representação gráfica da função f(x) = ax2 + bx + c, quando t. < O
vem confirmar a dedução algébrica.
140-A
141-A
Exemplos Xl X X22) se Xl < X < X2 ---ll---'I~--+-I ----., , temos:
{
X - Xl > O
Xl < X < X2 => e
X - X2 < O
1t?) f(x) = x2 - 2x + 1 apresenta to = (_2)2 - 4. 1 • 1 = O, então f(x)
-btem um zero duplo Xl = - = 1 e, como a = 1 > O, concluímos:
2a
{
f(xl>O, VxEIR-{1}
f( x) = O se X = 1 3) se X > X2 Xl X2 x---+1--+1---;1--..... , temos:
2t?) f(x) = -2x2 + 8x - 8
f(x) tem um zero duplo para Xl
[f(xl < O,
l!(x) = O
184. 3C? caso: to > O
apresenta to = 82 - 4(-2) • (-8) = O, então
= -b = 2 e, como a = -2 < O, concluímos:
2a
"Ix ElA - {2}
se X = 2
{
X - Xl > O
X > X2 > Xl => e =>
X - X2 > O
Isto significa que:
1) O sinal de f(x) é o sinal de a para todo x, tal que X < Xl ou
x> X2;
2) O sinal de f(x) é o sinal de -a para todo x, tal que XI < X < X2·
Da forma canônica, temos:
fica evidente que a forma canônica se transforma em:
25> O,(-1) 2 - 4 • 1 • (-6)
-----'.'-'-f----~~----x
x
Em resumo:
O gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, quando to > O, vem confirmar
a dedução algébrica.
x = Xl X = X2
X<XI ...... ---,. r----- X.<X<X2 -----, r---- X>X2
t(--x)-t-em-o-----<\~j-~----f-IX-)-te-m-o----~'~)-/--f-Ix-I-te-m-o-..• x
sinal dea O sinal de -8 O sinal dea
Exemplos
1t?) f(x) = x2 - X - 6 apresenta to
então f(x) tem dois zeros reais e distintos:x Xl X2---+I--+I~--;I------+, temos:1) se X < Xl
b v'X 2[ b.Ji. b.Ji. ]a • f(x) = a2[(x + - )2 - (- )2] = a (X + - + - )(X + - - -)
2a 2a 2a 2a 2a 2a
{
-b-~
-b ±~. , Xl = 2a
X = Isto e .~
2a -b + v to
x2=
2a
O sinal de a· f(x) depende dos sinais dos fatores (x - XI) e (x - X2).
Admitindo XI < X2, temos que:
2 [ -b -~ -b +~ ] 2af(x) = a (X - )(x - ) = a (X
- xtl(x - X2).
2a 2a
Lembramos que a fórmula que dá as raízes de uma equação do segundo
grau é:
- Xl < O
e
- X2 < O
== a • f(x) = a2 • (X - xtl (X - X2) > O
'--v---'--' '-v----'
é 0 é
-b -~ = _1_-_5 = -2
---c2=-a-c-- 2
e, como a = 1 > O, concluímos que:
e X2 = -b+~
2a
142-A 143-A
2?) f(x) = -2x 2 + 3x + 2 apresenta .1 32 - 4 . (-2) • 2 25, logo
f(x) tem dois zeros reais e distintos:
-b + fi ··3 + 5 1 -b -fi -3 - 5 2Xl = e X2 = ---2a -4 2 2a -4
x
a>O e .1=0
x
..
S = IR
x < -2 ou x> 3
x = -2 ou x = 3
-2 < x < 3.
para
para
para{
f(X) > O
f(x) = O
f(x) < O
e, como a = -2 < O, condu imos que a<O e .1>0
f(x) < O 1 X > 2para X <-- ou a<O e .1<0 x2 •
f(x) = O 1 2para x = ou x = D2f(x) > O 1para --< x < 22
a<O e .1=0 x
EXERCICIO
A.215 Estudar os sinais de cada uma das funções do exerclcio A.214.
XII. INEQUAÇÃO DO 21? GRAU
EXERCICIOS
A.216 Resolver a inequação x2 - 2x + 2 > O.
Solução
Considerando f(x) = x2 - 2x + 2, temos
a = 1 > O e .1 = -4 < O então
flx) > O, "f x E IR.
Como a inequação é fi x) > O, vem:
S = IR. x
Resolver, por exemplo, a inequação
ax2 + bx + c> O
é responder à pergunta: "existe x real tal que f(x) = ax2 + bx + c seja positiva?"
A resposta a esta pergunta se encontra no estudo do sinal de f(x), que
pode, inclusive, ser feito através do gráfico da função. Assim, no nosso exemplo,
dependendo de a e de .1 podemos ter uma das seis respostas seguintes:
185. Se a *- O
ax 2 + bx + c ;;, O
grau.
as inequações ax 2 + bx + c > O, ax2 + bx + c < O,
e ax2 + bx + c .;;; O são denominadas inequações do 2'?
A.217 Resolver a inequação x2 - 2x + 1 .;;; O.
Solução
Considerando f(xl = x2 - 2x +.1,
temos a = 1 > O, .1 = O e o 2ero
duplo x = -b = 1 então
2a
fflx) >0 "fx E IR - {1}
l!(x) = O se x = 1
Como a Inequação é f(x)';;; O, vem:
S = {1}. x
144-A 145-A
ou x = 2
Solução
2x 2 + x - 1 ,;;;; O em IR.
2x - x2
Determinar:
ai os pontos de intersecção do gráfico da função com o eixo das abscissas.
b) o conjunto dos valores de x para os quais y ~ o.
A.223 Resolver a inequação
A.221 Resolver em IR as inequações:
ai (1 - 4x2 1 • (2x2 + 3x) > O
bl (2x2 - 7x + 6) • (2x2 - 7x + 5) ,;;;; O
c) (x2 - x - 6) • (_x2 + 2x - 1) > O
di (x2 + x - 6) • (_x2 - 2x + 31 ;;. O
el x3 - 2x2 - x + 2 > O
f) 2x 3 - 6x2 + x - 3 ,;;;; O
A.222 (MAPOFEI-71) ~ dada a função y (2x2 - 9x - 5) (x2 - 2x + 21.
x
y
x < _! ou
2
1
2
1
2
Considerando f(x) = -2x 2 + 3x + 2.
temos a = -2 < O, Â = 25 > O e os
zeros Xl.= - ~ e X2 = 2, então
[
(x) < O para
f(x) = O para x =
I(xl > O para
Como a inequação é f(x);;' O, vem:
S={xE IRI-! ';;;;x';;;;2}
2
A.218 Resolver a inequação -2x2 + 3x + ! ;;'0.
x
..
x
...
+
1.
2 2 x
,
O + +
+ O
li +
------------
1 22"
O
2
•
O
+
O
-1
•
O
O
•
+
numerador e do denominador, temos:
1
'2
•
I(x)=2x2 +x-1 + O
g(x) = 2x - x2 O +
I(x)
g(x) Q +
-1 O
g(xl = 2x _ x2
Solução
Analisando os sinais do
Fazendo o quadro·quociente, vem
-1 O
x
..
+
2
••
- 1
I( x) = x2 - x - 2 + O O
I-------..J------<io:--------<....x-g(x) __ x2 +4x_3 O + O
Solução
Analisando os sinais dos fatores, temos:
A.219 Resolver as inequações em R:
a) x2 - 3x + 2 > O bl _x2 + x + 6> O
cl
-3x2 - 8x + 3 ~ O d) _x2 + .:! x + 10 ;;. O
2
e) 8x2 - 14x + 3 ,;;;; O f) 4x2 - 4x + 1 > O
g) x2 - 6x + 9 ;;. O h)
-4x2 + 12x - 9 ;;. O
il x2 + 3x + 7 > O j) -3x2 + 3x - 3 < O
k) 2x2 - 4x + 5 < O I) _ ! x2 + !x-.!>O
3 2 4
A.220 Resolver a inequação (x 2 - x - 2)(_x2 + 4x - 3) > O em IR.
Fazendo o quadro-produto, vem A.224 Resolver em IR as inequações:
s = {x E IR I -1 < x < 1 ou 2 < x <3}
Hx) = x2 - x - 2
g(xl = _x2 + 4x - 3
Hx) • g(x)
+
-1
O
O +
O
O
+
2
O
O
3 x
+ ! +
+ O
+ O
a) 4x2 + x - 5 >0 b) -9x
2 + 9x - 2
';;;;0
2x2 - 3x - 2 3x2 + 7x + 2
c) x2 + 2x ;;'0 d) 2 - 3x <O
x2 + 5x + 6 2x2 + 3x - 2
e) x2 + 3x - 16 ;;'1 fi 2x2 + 4x + 5 < -2
_x2 + 7x - 10 3x2 + 7x + 2
g) 6x
2 + 12x + 17 ;;. -1 h) (x+1)3-1 >1
-2x2 + 7x
- 5 (x-11 3 +1
146-A 147-A
A.226 Resolver os sistemas de inequaçõ;s:
r +x-2>0 {x2 + x - 20 ,;;; oai - x2 < O b) x2 - 4x - 21 > O3x
cl r + 2x ;;. O di {-2X2 - x + 1 ;;. O
-4x2 + 8x - 3 < O 4x2 - 8x + 3 ,;;; O
A.225 Resolver as inequações:
ai 4 < x2 .. 12 ,;;; 4x
bl x2 + 1 < 2x2 - 3 ,;;; -5x
ciO';;; x2 - 3x + 2 ,;;; 6
di 7x + 1 < x2 + 3x - 4 ,;;; 2x + 2
e) O < x 2 + x + 1 < 1
f) 4x2 - 5x + 4 < 3x2 - 6x + 6 < x2 + 3x - 4
> 1.
8'= m(f(x) > O, \f x E IR)
(2m - 1)2 - 4 . m . (m + 1) =
4m 2 - 4m + 1 - 4m 2 - 4m = -8m + 1 < O = m > 1
8
Como as condições são simultâneas, conclu(mos que
2°) a = m> O = m > O
e
Determinar m de modo que a função quadrática
f(x) = mx 2 + (2m .. 1)x + (m + 1) seja positiva para todo x real.
Devemos ter simultaneamente .0. < O e a > O, portanto
187. Exemplo
x 4 _ 5x 2 + 4 ;;. O em IR .
. A.227 Resolver a inequação
Solução
Fazendo 7 -,-- x2 temos
EXERC(CIOS
z2 _ 52 + 4 ~ O ==> z ~ 1 OiJ 2 > 4
mas 2 = x2 , portanto:
Ix2 ,;;; 1 ou x2 ;;' 4) = Ix2 - 1 ,;;; O ou x2 - 4 ;;. 01 =
=> (-1 ,;;; x ,;;; 1 ou x';;; -2 ou x;;' 2)
logo S ~ {x E IR I x ,;;; -2 ou -1';;; x ,;;; 1 ou x;;' 2}
A.229 Determinar m para que se tenha para V x E IR.
ai x2 + 12m - llx + 1m 2 - 2) >0 bl x2 + 12m + 31 x + 1m 2 + 31 ;;. O
cI x2 _ mx + m > O d) x2 + Im + llx + m > O
el _x 2 + Im + 21 x - Im + 31 ;;>- O f) Im -11x2 + 41m - lIx + m >0
ql mx 2 + (m - 2) x + m ~ O h) rnx 2 + Im + 31 x + m ;;>- O
li (m f lIx2 - 21m - llx + 31m .. 11 < O j) 1m2 - 11 x2 +2Im-llx+ 1 >0
A.228 Resolver em IR as inequações:
ai x4 - 10x2 + 9 ,;;; O
cI x4 + 8x 2 - 9 < O
el x6 - 7x 3 - 8 ;;. O
b) x4 - 3x 2 - 4 > O
d) 2x4 - 3x2 + 4 < O
f) 3x4 - 5x2 + 4 > O
A.230 Determinar m para que se tenha
Solução
x2 + Im + llx + 1 < 2 para\fxEIR.
x2 + x + 1
Considerando que x2 + x + 1 é positivo para qualquer x real, multiplicamos
ambos os membros de x 2 -+ (m + 1lx + 1 <x 2 + x + 1 2 por (x 2 -+ x + 1l, mantendo a
=
desiqualdade.
Então:
x
2 + Im + llx + 1 < 2 \f
x 2 + x + 1 ,x E IR
= x2 +lm+llx+l<2Ix2 +x+ll,\fxEIR =
= _x2 + Im - lIx - 1 < O, \f x E IR.
Devemos ter D < O, portanto:
.0. Im - 11 2 - 4' 1-11 • I-li m2 - 2m - 3 < O = -1 < m < 3.
Resposta: -1 < m < 3.
f(x) > O, \f x E IR
flx) < O, \f x E IR
=
=
a) .0. < O € a> O
b) .0. < O e a < O
186. A condição necessária e suficiente para que o trinômio do 2° grau
f( x) = ax 2 + bx + c tenha sinal constante em IR é que .0. < O.
Este teorema é uma conseqüência das propriedades de sinal de
= ax2 + bx + c já estudadas. Observemos que:f(x)
.{
" XIII. TEOREMAI :
148-A 149-A
.. XIV. COMPARAÇAo DE UM NOMERO REAL COM AS RAfzES
DA EQUAÇÃO DO 29 GRAU
A.231 Determinar m para que se tenha para V x E IR:
ai x2 + mx + 1 < 2 b) x2 - mx + 2 > m
x2 + 1 x2 - x + 2
cl x > x + m
x2 + 4 x2 + 1
di -3 < x2
2
+ mx - 2 < 2.
x - x + 1
189. Resumo
Conhecendo a posição de a em relação às raízes reais Xl e X2 de
f(x) = O, temos que:
{
1) a < X\ .;;; X2 = a· fIa) > O
2) XI < a < X2 = a· fIa) < O
3) XI .;;; X2 < a = a· f(a) > O
.. 4) a = XI ou a = X2 = a· fIa) = O
Observemos que nos casos 1, 3 e 4 o discriminante é D.;;' O enquanto
que no caso 2 temos D. > O.
b) se a estiver entre as raízes X\ e X2 (XI * X2) o produto a· f(a)
é negativo, isto é: a e f(a) tem sinais contrários.
188. Comparar o número real O! às raizes reais XI ~ X2 da equação do 29
grau ax2 + bx + c = O é verificar se:
1) a < XI .;;; X2 (a está à esquerda de Xl)
2) XI < a < X2 (a está entre as raízes)
3) XI .;;; X2 < a (a está à direita de X2)
4) a = XI ou a = X2 (a é uma das raízes)
sem calcular as raízes.
Sendo f(x) = ax2 + bx + c uma função quadrática, cuja
regra de sinal já
discutimos neste capítulo, temos que:
a) se a estiver à esquerda de XI ou à direita de X2, o produto a· f(a)
é positivo, isto é: a (coeficiente de x2 ) e f(a) = 002 + ba + c tem o mesmo
sinal.
Se a· f(a) < O, o trinômio f(x) '= ax2 + bx + c tem zeros reais e dis-
tintos e a está compreendido entre eles.
a . f(a), que conclusão
f(x) = O e qual a posição
T {D. > O e XI < a < X2H{a • f(a) < O
29) Se o real a estiver à esquerda de XI ou à direita de X2 ou for
um zero de f(x), teremos a· fIa) ;;. O, o que contraria a hipótese a· f(a) < O.
Concluímos, então que a está compreendido entre XI e )(2.
Demonstração
1C?) Se fosse D.';;; O, teríamos: a· fIa) ;;. O, V a, a E R
o que é absurdo, pois contraria a hipótese a· fIa) < O.
Concluimos, então, que D. > O, isto é, f(x) tem dois zeros XI e X2,
reais e distintos.
Inversamente, conhecendo o sinal do produto
podemos tirar da existência de raizes reais da equação
de a em relação às mesmas raízes?
É o que veremos em seguida.
190. Teorema 1
f(a)
_--l..-+-*_~I-__--1_ x
c) se a é zero de f(x), então a· fIa) = O, pois f(a) = O.
----\-~,------;I--- __ x • x
Exemplo
Comparar o número 1 às raízes da equação 3X2 - 5x + 1 = O.
Temos a = 3, a = 1 e f(x) = 3x2 - 5x + 1, então
a . f(a) = 3 • f( 1) ~ 3 • (3 • 12 - 5 . 1 + 1) = -3 < O.
Conclusão: D. > O e XI < 1 < X2.
150-A 151-A
191. Teorema 2
Exemplos
Se a· fia) > O e Á > O,
de X2'
t·fia) > OH ouÁ>O
então O' está à esquerda de x I ou à direita 1C?) Comparar o número 1 às raizes da equação 3x2 + 4x - 3 = O.
Á = 42 - 4 • 3 • (-3) = 52 > O }
a • f(a) = 3 • f( 1) = 3 • (3 + 4 - 3) = 12 > O = XI < X2 < 1
.§. -b -2 < 1 = O'
2 2a 3
Demonstração
Se Á > O e XI < O' < X2, então a· f(a) < O, o que contradiz a
hipótese a· f(al > O.
Se Á = O e O' X I X2, então a· f(a) = O, o que também contradiz
. a hipótese a· fia) > o.
2C?) Comparar o número O com as raizes da equação 4x2 - 6x + 1 = O.
Á = (-6)2 - 4 • 4 • 1 = 20 > O }
a • f(a) = 4 . f(O) = 4 . 1 = 4 > O = O < XI < X2
S -b 3
-=-=->0
2 2a 4
Conclulmos que O' < XI < X2 ou XI < X2 < a. 192. Resumo
Se f(x) = ax 2 + bx + c apresenta zeros reais XI < X2 e o' é um número
real que vai ser comparado a XI e X2, temos:
se O' >
~ < Sse ~ 2
S
2
T-1
aI a . f(a) < O = XI < O' < X2
b) a . f(a) = O ==== o' é uma das raIzes
{
O' < XI < X2
c) a . f(a) > O e Á > O =
XI < X2 < o'
que é a média aritmética das raizes XI e X2, pois:
Notemos que, se a· f(a) > O e Á > O, o teorema 2 garante que
O' I. [XI, X21. mas não indica se O' está à esquerda desse intervalo (O' < XI < X2)
ou à direita dele (XI < X2 < 0'). Para verificarmos qual dessas duas situações
está ocorrendo, devemos comparar o' com um número qualquer que esteja entre
as raizes. Para facilitar os cálculos vamos utilizar o número S XI + X2 -b2 2 2a '
Calculando S
2
-b
2;' temos duas possibilidades a examinar: EXERCICIOS
1~) se o' < S
2à esquerda de X I ;
- "a" dd Sentao o' esta esquer a e
2
e, conseqüentemente, A.232 Determinar m de modo que o número
equação: mx 2 + Im - l)x - m = O.
esteja compreendido entre as raízes da
XI
então, O' está à direita de S
2
.. X
X2
são as raízes reais de
Solução
Considerando f(xl = mx2 + Im - 1) X - m.
Para que aconteça Xl < 1 < X2 onde, x 1 e x2
mx2 + (m - 1)x - m '" 0, devemos ter:
af(1) < O = ~[m • 12 + Im - 1) • 1 - m] < O
a fií I
= m' Im - 1) < O = 0< m < 1
Resposla: O < m < 1.
.. X
X2
e, conseqüentemente,
S
"2
XI
.
S
"2
~ > S ~ <~ = XI"'" X2 o'2
~ < S < ~~ = o' XI"'" X2
2
2~) se o' > S2'à direita de X2;
152-A 153-A
A.233 Determinar m de modo que o número a esteja compreendido entre as raIzes da
equação:
A.237 Determinar m de modo que a equação (m - 3)x2 + 2(m - 2)x + m + 1 ~ O tenha
ral'zes reais tais que xl < x2 < 1.
A.235 (MAPOFEI-74) Determinar m para que a equação: (m - 2)x2 - 3mx + (m + 21 ~ O
tenha uma raiz positiva e Outra negativa.
A.234 (MAPOFEI-75) Determinar os valores de m na equação x2 + (m - 2)x + 1 - m ~ O
de modo que o número real 2 esteja compreendido entre as raízes.
A.236 Determinar m de modo que a equação mx2 - (2m + l)x + 2 + m O tenha
raIzes reais tais que -1 < xl < x2.
a) mx2 + (2m - 3)x + m - 1 ~ O e a:2
b) (m - 1)x2 + (2m + 1)x + m ~ O e a ~ -1
c) mx2 + (m - 1)x + (m + 2) ~ O e a~o
dI (m2 - 1)x2 + (m - 3)x + m + 1 ~ O e a ~ 1
OA.242 Determinar m para que a equação do 2':' grau (2m + 1) x2 + 2x + m + 1
tenha raIzes reais tais que O < XI < X2 < 4.
A.24' Determinar m para que a equação do 2':' grau 3x2 - 2(m + 2)x + m2 - 6m + 8 = O
tenha raízes reais tais que xl < 1 < X2 < 4.
A.243 Determinar m na equação do 20 grau (3m - 21 x2 + 2mx + 3m O para que
tenha uma única raiz entre -1 e O.
A.244 Determinar m na equação do 20 grau mx2 - 2(m - l)x - m - 1 O para que
se tenha uma única raiz entre -1 e 2.
A.238 Determinar m de modo que a equação (m - 1)x2 - mx - 2m - 2 O tenha
raIzes reais tais que -1 < xl < x2.
A.239 Determinar m de modo que a equação do 2':' grau mx 2 - 2(m + l)x + m + 5 ~ O
tenha raízes reais tais que O < xl < X2 < 2.
A.240 Determinar m para que a equação do 2':' grau mx 2 - 2(m + l)x + m + 5 O
tenha raízes reais tais que xl < O < x2 < 2.
s
"2 > -1.ea·f(-ll >0
Solução
Considerando f(x) ~ mx2 - (2m + l)x + 2 + m.
Para que aconteça -1 < xl < x2. onde xl e x2 são as raízes reais de
mx2 - (2m + 1) X + 2 + m = O, devemos ter:
Analisando separadamente cada condição:
1~) a' f(-1) > O = m' [m(_1)2 - (2m + 1) • (-1) + 2 + m] > O =
-; , 11:1) ,
= m' (4m + 31 > O = m < - ~ ou m > o.
4
XV. SINAIS DAS RAfZES DA EQUAÇÃO DO 29 GRAU
Como as três condições são simu Itâneas, fazendo a intersecção dos intervalos acima
vamos encontrar:
2~)~>0 = (2m+l)2_ 4 ' m(2+ml>0 = -4m+l>0 = m<.!..
4
.. X
.. X
s > O
2
~ ;;;. O e a· f(O) > O e
De acordo com a teoria anterior, temos:
193. 1~) as raízes são positivas
Neste caso, temos:
0< Xl < OX2
ou
0<
o
Xl = X2
Estudar os sinais das raízes de uma equação do 2? grau é comparar o núme-
ro zero às raízes Xl e X2 da equação dada.
Podem ocorrer três situações:2m + 1 + 1 > O = 4m + 1 > O =~ 2m=
O < m <.! que é a resposta.
4
ou
2m + 1 >-1
2m
ou m > o.
m <-~
4
(~> -11
2
(~>Ol
3~1 ~ > -1 =
2
= m<- ~
4
Representando os valores encontrados sobre um eixo
3
-4" O
(a· f(1) > OI 1I1111111111111111111111111111111c 0---,--------------- m
1I11111111111111111111111111111111111111111111111111111111~ .. m
1
-4" O
1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIo----<:lllllllllll 111111111111111111111111111111111.. m
154-A 155-A
1
-8
0111111111111111111111111111 .. m
Notemos que, sendo f( x) ~ ax2 + bx + c, temos:
a) a . f(0) ~ a . c > O = ~ > O = P > O
a
onde P ~ c é o produto das ra(zes da equação do 29 grau.
a
b) ~ > O ~ 5> O
2
onde 5 ~ b é a soma das ra(zes da equação do 29 grau.
a
Assim, sendo, uma equação do 29 grau tem ra(zes positivas somente se:
~;;'O e P>O e 5>0
isto é, se as ra(zes forem reais, com produto positivo e soma positiva.
196. Exemplo
Determinar os valores de m na equação do 29 grau
(m - 1)x2 + (2m + l)x + m ~ O
para que as ra(zes reais sejam distintas e positivas.
Como a equação é do 29 grau, devemos ter, inicialmente
m-l*O ~ m*l
e, se as ra(zes são distintas e positivas (O < Xl < x2 1. então:
~ > O (pelo fato de as ra(zes serem reais e distintas) e 5> O e P> O
(pelo fato de estas ra(zes serem positivas).
Analisando cada condição:
(2m + 1)2 - 4(m - 1) • m
~ 8m + 1 > O ~ m > - .!.
8
1
-2 1
S >O~lIl1l1ll1l1l"lIl1lJlJllIlI~ m
O < m < 1 que é a resposta.
-b - (2m + 1) > O =
a m - 1
=-.!..<m<l
2
~~~~>O=
a m - 1
~ O < m < 1 P >0
Fazendo a intersecção das três condições, vem
o 1
0111111111110 .. m
De acordo com a teoria anterior, temos: EXERCICIOS
e
a . f(O) > O e .§. < O
2
A.245 Delerminar m de modo que a equação do 2'.' grau (m + llx2 + 2(m + llx + m - 1 = O
tenha ra(zes negativas.
Isto também pode ser escrito assim:
195. 3~) as raIzes têm sinais contrários
Neste caso, temos:
Xl < 0< X2
De acordo com a teoria anterior, temos:
a • f(O) < O ou P < O.
156-A
A.246 Determinar m de modo que a equação do 20 grau (m + 1)x2 + .2x + m - 1 = O
lenha raizes positivas.
...
A.247 Determinar m de modo que a equação do 20 grau (m - 2)x2 + (3m - 11 x + (m + 1) = O
tenha ra(zes de sinais contrários.
A.248 Determinar m de modo que a equação do 2\' grau (m - llx2 + (2m + 3)x + m = O
admita raizes negativas.
A.249 Determinar m de modo que a equação do 2'.' grau (m2 - 4)x2 + mx + m - 3 = O
admita raízes de sinais contrários.
A.250 Determinar m de modo que a equação do 2'.' grau mx2 - (2m - llx + (m - 2) = O
admita raízes positivas.
157-A
As margens dos livros falam CAPÍTULO VIII
Pierre S. de Fermat
(1601 - 1665)
I. FUNÇÃO DEFINIDA POR VARIAS SENTENÇAS ABERTAS
x
x
2
y
-,
3
y
-,
,
-"'+./
~
'+, ... 1
,
,
,
f(x) ~ ,
se x < -1
se x;;;' 1
se x < O
se O';;;x<2.
se x;;;' 2
está representado ao
{
-x
f(x) = x2 _ 1
fI') t + 1
O seu gráf ico
lado.
FUNÇÃO MODULAR
O seu gráfico está representado ao
lado.
2!?) Seja a função f: IR -+ IR de-
finida por
f(x) = -x para x < -1
f(x) = x2 - 1 para x;;;'-1
que também pode ser indicada por
1!?) Seja a função f: IR -+ IR de-
finida. por
{
f(x) = 1 para x < O
f( x) = x + 1 para O';;; x < 2
f(x) = 3 para x;;;' 2
que também pode ser indicada por
Uma função f pode ser definida por várias sentenças abertas cada uma das
quais está ligada a um domínio Di contido no domínio da f.
197. Exemplos
Pierre Simon de Fermat nasceu na França e estudou Direito em Toulouse,
aí participando do Parlamento. Embora muito ocupado, encontrou tempo para
estudar Literatura Clássica, Ciências e Matemática, por puro prazer.
Em 1629 iniciou suas descobertas matemáticas depois de ter-se dedicado
à restauração de obras perdidas da Antigüidade.
Baseando-se na coleção Matemática de Pappus, descobriu o princípio fun-
damentai da Geometria Analítica: sempre que numa equação se encontram duas
variáveis, os pontos que satisfazem à equação formam uma curva.
Em curto tratado, "Introdução aos lugares planos e sólidos", dá ênfase ao
esboço de soluções de equações, começando com uma equação linear e um sistema
de coordenadas arbitrário sobre o qual a esboçou. Como apêndice desta obra
escreve "A solução de problemas sólidos por meio de lugares", observando a solu-
ção de equações cúbicas e quadráticas.
Os trabalhos de Fermat eram muito mais sistemáticos e didáticos do que os
de Descartes e sua Geometria Analítica aproxima-se da atual, tendo em mente a
existência de mais de duas ou três dimensões, o que nunca conseguiu provar.
Apesar de não conhecer o conceito de limite, em sua obra "Método para
achar máximos e m(nimos" aproxima-se bastante do cálculo de hoje. Também
seu método para mudar a variável e considerar valores vizinhos é essencial em Aná-
lise I nfinitesimal, usando-o para achar tangentes de curvas. Ainda em Análise, con-
tribuiu com quadraturas, volumes, comprimentos de curvas e centro de gravidade.
Com a restauração do livro "A Arit-
mética", de Diofante, muito pouco prático
e com muitos algoritmos, Fermat passou a
desenvolver um importante ramo da Mate-
mática, a Teoria dos Números, da qual é
considerado fundador e onde principalmente
• cuidou dos números primos.
Sua matemática estava escrita em
apontamentos desorganizados, em margens
de livros ou em cartas que ele não tinha
intenção de publicar.
Fermat é considerado o príncipe dos
amadores em Matemática, sempre com
muitas descobertas mas que perderam sua
prioridade pois, devido à sua modéstia,
quase nada foi publicado.
158-A 159-A
EXERCICIOS 11. MÚDULO
A.251 Construir o gráfico das funções definidas em IR:
a) f(xl o {x + 1 se x;;;, O
-x se x < O
di flx) o {x2 - 4x + 3 se
x - 1 se
x<O
se X;;;, O
{
IXI ~ X
ou
IX I = -X se
198. Definição
Sendo x EC IR, define·se módulo ou valor absoluto de xque se indica por
Ix I, através da relação
x> 1
x < 1
3 se x;;;, 1
se -1 < x < 1
se x ~ -1
f(xl
b)
se x ~ -2
se -2 < x < 2
se x ~ 2
cl {-2
flx) o ;
A.252 IMAPOFEI-741 Esboçar o gratico da função
g) fi xl o{ x2 - 4x se x;;;' O
_xl - 4x se x < O
x> -2
x,,;; -2
+V2, 1+v31+2 1-V21
5'
Isto significa que:
1'?) o módulo de um número real não negativo é igual ao próprio número;
2'?) o módulo de um número real negativo é igual ao oposto desse número.
Assim, por exemplo, temos:
1+21 = +2, 1-71 = +7, 101 = O, 1- 2[
5
x;;;'o
x<O
h) f(x) o{ x2 - 4x + 3 se
xl + 4x + 3 se
x~o
x<O
el flxl o{ x2 - 2x se
1 - x se
{
X-I
flxl o x2 - 1
Ixl
se x> 2
se 0";;x<2
se x < O
199. Propriedades
Para determinarmos o valor de x E R tal que f{x) = 4 resolvemos as equações
A.253 Na função real flxl
têm imagem 4.
Solução
x> -2
x :E;;; -2 determine os valores do domínio que
Decorrem da definição as seguintes propriedades:
I. Ixl ;;;, O, VxECIR
• Ixl = O11. = X = O
111. Ixl • Iyl = Ixyl,V x, y E IR
IV. Ixl2 = x2 , VxEC IR
V. Ix + yl";; Ixl + Iyl, V x, y E IR
VI. Ix-yl;;;'lxl-lyl, V x, y EC IR
VII. Ixl ,,;; a e a> O = -a ~ x ~ a
VIII. Ixl ;;;, a e a> O = X ,,;; -a ou x ;;;, a
{
X o -3
x2 + x - 2 = 4 ==> x2 + x - 6 = O ==> x::;c 2
(não convém)
e 111. FU NÇAo MODULAR
-~ + 1 04 = x -6
2
200. Definição
logo, os valores do domínio são x = 2 ou x ==- -6.
{
X2 - 2. x + 1 se x;;;, O
A.254 Na função real f(x) -= 2 determine os valores do domínio que
x+2 se x<O
têm imagem 7.
Uma aplicação de IR em R recebe o nome de função módulo ou modular
qua ndo a cada x E IR associa o elemento Ix I EC IR.
Isto é: f: IR _ IR
x I---> I xl
160-A 161-A
A.255 Construir os gráficos das funções definidas em IR:
a) f(xl ~ 12x I b) f(x) ~ 13xl
EXERCICIOS
f
V
:=t=1Z
/ x
I
T
VI-
x
H+H'-+-+-J-+X
Primeira Etapa
Se glx);;' O. vamos ter f(x) ~ Ig(x) I ~
~ glx). isto é. o gráfico da função f
coincidirá com o gráfico da função g.
Segu nda Etapa:
Se glxl < o. vamos ter f(x) ~ Ig(x) I ~ -g(x). isto é. o gráfico da função f será simé-
trico do gráfico da função g, relativamente ao eixo das abscissas.
Construindo os gráficos obtidos, nas duas etapas, no mesmo plano cartesiano temos o
gráfico da função f(x) ~ I x + 11.
x
y
IR+, isto é, a função modular somente
se x;;. O
se x < O.
f(x) ={X
-x
Utilizando o conceito de módulo
de um número real, a função modular
pode ser definida também da seguinte
forma:
o gráfico da função modular é a
reunião de duas semi-retas de origem O,
que são as bissetrizes do 19 e 29 qua-
drantes.
A imagem desta função é Im
assume valores reais não negativos.
A.256 Construir o gráfico da função real definida por fi x) ~ Ix + 11.
Solução
Podemos construir o gráfico de f(xl Ix + 11 por dois processos: •
A.257 Construir os gráficos das seguintes funções reais:
a) flx) Ix - 1 I b) f(x) 12x - 1 I
d) t(x) 12 - 3xl e) flx) ~ Ix2 + 4xl
g) t(x) 14 - x2 1
c) t(x)
f) t(x)
12x + 31
Ix2 - 3x + 21
Primeiro Processo
cujo gráfico está representado ao lado.
Para obtermos O gráfico de
f(xl ~ Ig(x)1 ~ Ix + 11
fazemos em duas etapas:
13x - 41 + 1
Ix2 + 4x + 31 - 1
g(x) ~ Ix - 11
f Ix) ~ Ix - 1 I + 2
cl t(x)
f) f(x)
V
I'
"
:/
.~
V
,
,
,
,
, '
_,x
b) flx) 12x - 11 - 2
el f(x) ~ Ix2 - 41 + 3
Solução
Construimos inicialmente o gráfico da
função g(x) ~ Ix - 11
Para obtermos o gráfico de t(x)
~ g(xl + 2 deslocamos cada ponto do
gráfico da função g duas unidades "pa-
ra cima",
a) t(x) ~ Ix I - 3
d) f(x) ~ Ix2 - 11 - 2
A.258
Construir o gráfico da função definida
em IR por f(x) ~ Ix - 1 I + 2
A.259· Construir os gráficos das seguintes funções reais
y I
T
/...
I'''/; +xL'-~~ /,/'+ 1.\+)1
1'\.' D
1'\.1/
yT ~'\
m~+
/ IL(x) >C
~( 1/ x) jCe,.
1/1
1/1 1
se x ~ -1
se x < -1
IX+ll~{ x+l
-x - 1
Notemos que
então a função pode ser definida como
uma função a duas sentenças ou seja,
se x;)=-1
se x < -1
f(x) ~{ x + 1
-x - 1
Segundo Processo
Para construirmos o gráfico de
f(x) ~ I x + 1 I.
fazemos inicialmente o gráfico da função
glx) ~ x + 1, que está representado ao
lado.
162-A 163-A
A.26D Construir o gráfico da função definida em IR t(x) Ix + 21 + x - 1.
Solução
Notemos que
{
X + 2 se x;>-2Ix + 21 =
-x - 2 se x < -2
1
1':'1 quando x<-2"' temos t(x)=12x+11+lx-ll=-2x-1-x+1 =-3x
1
20 1 quando -'2";; x < 1, temos f(x) = 12x + 11 + Ix - 11 = 2x + 1 - x + 1 = x + 2
30 ) quando x;> 1, temos t(x) = 12x + 11 + Ix - 11 = 2x + 1 + x - 1 = 3x
A.265 Construir os gráficos das seguintes funções reais:
cujo gráfico está ao lado.
Anotando a função f como uma função
definida a várias sentenças vem:
a) t(x) = Ix + 11 + Ix - 1 I
cl flxl = 12x - 21 + Ix + 31
e) flxl = Ix2 -41-lx-21
Ix + 11 - Ix - 11
13x + 31 - 12x - 31
Ix2 - 2x I - Ix2 - 41
2
y li
I\~ i~
\ " :,u,~ '~
1\ ~/, li x'""~'\~+
V "1.,+
x
bl t(x) =
dI flx) =
fi flxi =
se x <_.!.-
2
se -~,,;; x < 1
2
se x ~ 1
{
-3X
t(xl =
x+2
3x
1v I1
I I
>-+- 1-l- ~--.,.
rv"
"-..~ x
....
mio
J
~J
I I
2'.') quando x < -2, temos:
flx) = Ix + 21 + x - 1 =
= -x - 2 + x - 1 = -3.
Devemos, então considerar dois casos
10 ) quando x;> -2, temos:
t(x) = Ix + 21 + x - 1 =
= x + 2 + x - 1 = 2x + 1
Anotando a função f como uma fun-
ção definida a duas sentenças, vem:
t(xl ={2X + 1 se x ;>-2
-3 se x <-2
cujo gráfico está ao lado.
A.264 Construir o gráfico da função definida em IR por:
f(x) = 12x + 11 + Ix - 11
A.263 Construir o gráfico da função flx) = IX
1
- 11 definida em IR - {1}.
- x
A.261 Construir os gráficos das funções reais abaixo.
a) flx) Ixl + x b) flx) Ixl - x
c) flx) = Ix-31+x+2 d) flx) Ix+11-x+3
e) flx) = 12x - 1 I + x - 2 f) flx) 13x + 21 - 2x + 3
g) t(xl = x2 - 41xl + 3 hl t(x) Ix 2 -2Ixl-31
i) t(x) = Ix2 - 2x I + x + 2
\ y I,
1\ /
\ 1/
1\ /
\ 1/
1\ / x
\ 1/
/
\1/ glx) = 12x-21-4
I
,vi I
1\ I I
\ tlxl = I?x-21-4 1/
1\ /
\ 1/
1\ / \ /
\ / \ 1/
1\ / r-.. /
\ / \1/
x
2':'1 Se glx) < 0, temos:
flxl = Iglxll = -glxl
Analisemos as duas possibilidades
f Ix) = 112x - 21 - 41
isto é, o gráfico da função f é o opos
to do gráfico da função g.
Considerando as duas possibilidades e
representando num mesmo plano carte-
siano temos:
isto é, o gráfico da função coincidirá
com o gráfico da função g.
10) Se glx);> 0, temos:
t(x) = Ig(x) I = g(x)
Construímos inicialmente o gráfico de
glx) = 12x - 21 - 4.
Solução
A.266 Construir o gráfico da função definida
em IR
definida em IR 4- •
x
Ixl
se x ~ 1
se x < 1
Devemos então, considerar 3 casos:
e IX_11={x-1
-x + 1
{
2X + 1
Notemos que 12x + 1 I =
-2x - 1
Solução
A.262 Construir o gráfico da função flx)
164-A 165-A
A.267 Construir os gráficos das funções reais:
a) f(x) ~ Ilxl - 21
b) t(xl ~ 112x + 31 - 21
c) flxl = 11 x2 - 11 - 31
di t(x) = IIx - 11 + x - 3\
e) flx) = Ix2 - 41xl + 31
t) t(x) ~ Ilx+21-lx -211
gl f(x) = 113x - 31 - 12x + 111
3<'» Resolver Ix + 11 : 3x + 2
Devemos ter inicialmente
3x + 2;;' O =
para que seja possível a igualdade.
2Supondo x;;. - - temos
3
2x~--
3
1
: 3x + 2 = x =-2"
IV. EQUAÇOES MODULARES
Lembremos da propriedade do módulo dos números reais, para k > O
Ixl = k ~ x = k ou x = -k
e, utilizando essa propriedade, vamos resolver algumas equações modulares.
Ix + 11 : 3x + 2
1S = {--}2
EXERCfclOS
={x+
x + 1
ou
= -3x - 2 = 3x =--4 (não convém)
201. Exemplos
1l?) Resolver 12x - 1/ = 3
2<'» Resolver 13x - 11 = 12x + 31
Lembrando da propriedade
lal = Ibl ~ a = b ou a = -b
Então
{
2x - 1 = 3
12x - 11 = 3 = ou
2x - 1 = -3
S = {2, -1}
=
=
x=2
x = -1
A.268 Resolver as seguintes equações em IR:
ai Ix + 21 ~ 3
b) 13x - 11 = 2
c) 14x - 51 = O
di 12x - 31 = -1
e) Ix2 - 3x - 1 I = 3
t) Ix2-~x-~I~~
2 4 4
g) Ix2 - 4x + 51 = 2
A.269 Resolver em R as seguintes equações:
ai 13x + 21 = Ix - 1 I
b) 14x - 1 I - 12x + 31 = O
cl Ix2 + x-51 ~ 14x - 1 I
d) Ix2 + 2x - 21 = Ix2 - x - 1 I
1 = 2x + 3 = x = 4
ou
temos:
13x - 11 12x + 31
166-A
~{3X-
3x - 1 = -2x - 3 =:=> 2x =--5
A.270 Resolver as seguintes equações em IR:
a) Ix - 21 = 2x + 1
b) 13x + 21 = 2x - 3
c) 12x - 51 = x - 1
di 12x2 + 15x - 31 = x2 + 2x - 3
e) 13x - 21 = 3x - 2
f) 14 - 3xl = 3x - 4
167-A
v. INEQUAÇOES MODULARES
Lembrando das propriedades de módu lo dos números reais, para k > O:
1) Ix I < k <== -k < x < k
2) Ixl > k <== X < -k ou x> k
e, utilizando essas propriedades, podemos resolver algumas inequações modulares.
I
202. Exemplos
lC?) Resolver em R: 12x + 11 < 3
Então:
I 2x + 1 I < 3 = -3 < 2x + 1 < 3 = -2 < x < 1
s = {x E IR I -2 < x < 1}
2C?) Resolver em R: 14x - 31 > 5
Então:
A.273 Resolver em IR a inequação 2x - 7 + Ix + 1 I ;;. o.
Solução
I I { X + 1 se x;;'-lNotando que X + 1 = -x _ 1 se x < -1
devemos então, considerar dois casos:
l'?)Se x;;'-l, temos:
2x - 7 + Ix + 1 I ;;. O = 2x - 7 + x + 1 ;;. O <==> x;;. 2
A solução S, é
S, = {x E IR I x ;;. -1} n {x E IR I x ;;. 2} = {x E IR I x ;;. 2}
20 ) Se x < -1 temos:
2x - 7 + Ix + 11 ;;. O = 2x - 7 - x - 1 ;;. O = x;;. 8.
A solução S2 é
S2 = {x E IR I x < -l} n {x E IR I x;;. 8} =y)
A solução da inequação proposta é
S = S1 U S2
e portanto
S = {x E IR I x ;;. 2}
14x - 31> 5 =
=
s ~ {x E IR I x <
EXERCfclOS
1
2
(4x - 3 < -5 ou 4x - 3 > 5)
1(x < - - ou x > 2)2 .
ou x > 2}.
=
A.274 Resolver em IR as seguintes inequações:
a) Ix - 11 - 3x + 7 .;; O b) 12x + 1 I + 4 - 3x > O
c) 13x - 21 + 2x - 3 .;; O @ 1x + 1 I - x + 2 ;;. O
e) 13x-41+2x +1<0 f) Ix2 -4xl-3x+6';;0
9 I Ix2 - 6x + 51 + 1 < x
A.275 (MAPOFE 1-761 Resolver a inequação Ix2 - 41 < 3x.
A.276 Resolver a inequação em fi 12x - 61 - Ix I .;; 4 - x.
12x - 61 = -2x + 6 -2x + 6 2x - 6
Ixl = -x x x
12x - 61 - Ixl = -x + 6 -3x + 6 x - 6
A.271 Resolver em A as inequações abaixo:
ai 13x-"21<4 b) 12x-31';; 1
cl 14 -'3x[';; 5 di 13x + 41';;0
e) 12x+41<-3 fi 12x - 11 > 3
g) 15x + 41 ;;. 4 h) 12-3xl;;'1
il 13x - 51 > O j) 14x - 71;;'-1
1 < Ix - 11 .;; 3
,
k)
A.272 Resolver as inequações seguintes em fi:
a) Ix2 - 5x + 51 < 1 bl Ix2 - x - 41 > 2
c) Ix2 - 5x I ;;. 6 di Ix2 - 3x - 41 .;; 6
el 1 2x - 31 > 2 fi 1~1';;23x - 1 2x - 1
g) Ilxl-21>1 hl 112x + 11 - 31 ;;. 2
il 112x - 1 I - 41 .;; 3
168-A
Solução
Notando que:
I {
2X - 6
12x - 6 = -2x + 6
Construímos a tabela:
O
e Ixl ={ x
-x
3
se x ~ O
se x < O
x
169-A
temos:
l?l Se x> 3, a inequação proposta é equivalente a:
x - 6 < 4 - x~ 2x < 10 = x < 5
{
X-6
12x - 61 - IxI o -3x + 6
-x + 6
Devemos considerar três casos:
se x> 3
se 0<x<3
se x < O
CAPÍTULO IX
-OUTRAS FUNÇOES
ELEMENTARES
A solução SI é
SI o {x E IR I x ? 3} n {x E IR I x < 5} o {x E IR I 3 < x < 5}
2?) Se O < x < 3, a inequação proposta é equivalente a:
-3x + 6 < 4 - x = -2x < -2~ x? 1
I. FUNÇÃO f(x) = x3
isto é:
S o {x E IR 3 < x < 5} U {x E IR 1 1 < x < 3} u)2f
A.278 (MAPOFEI-751 Resolver a desigualdade Ix - 21 + Ix - 41 ? 6.
bl 13x + 21 - 12x - 1 I > x + 1
di Ix+21 + 12x-31<1O
t) 3 { I x + 1 1- Ix - 1 I} < 2i - 4x
I" I.
4
H
3
I
2 II
11
1 J G
FI7
-2 -1 ) D E 1 2 x
I~ -1
I
I -2
I
-3
B
-4
1
Vamos inicialmente construir a tabela
X x3 ponto
-2 -8 A
3
27 B
-'2 -a
-1 -1 C
1 1 D
-'2 -"8
o o E
1 1 F
"2 8
1 1 G
3 27 H2 8
2 8 I
5 125 J2 8
3 27 K
203. Façamos um estudo da função f: de Fl em IR, que associa cada x E Fl
o elemento x3 E R
Isto é: f: Fl--+ IR
x~ x3
A solução S2 é
S2 o {x E R 1 O < x < 3} n {x E IR I x? 1} o {x E IR I 1 < x < 3}
3?) Se x < O, a inequação proposta é equivalente a:
-x + 6 < 4 - x = 6 < 4 que é absurdo. Logo a solução S3 é:
S3 o )Õ.
A solução da inequação 12x - 61 - Ix1< 4 - x é:
S o SI U S2 U S3
e portanto:
S o {x E R 1 < x < 5}
A.277 Resolver as seguintes inequações em IR:
@Ix + 21 - Ix - 31> X·
cl Ix - 21 - Ix + 41 < 1 - x
el Ix + 21 + 12x - 21 > x + 8
gl Ix - 21 - Ix + 31 > x2 - 4x + 3
170-A
171-A
Observemos que a função f(x) = x3 :
a) é uma função crescente em IR, isto é:
(\fx[ E IR, \fX2 E R) (XI < X2 = x~ < x~)
b) tem imagem Im = R pois, qualquer que seja o y E R, existe x E IF
tal que y = x3 , isto é, x =~
EXERCICIO
A.279 Fazer o esboço dos gráficos das seguintes funções definidas em IR.
ai f(x) ~ x3 + 1
b) f(x) = -x3
c) f(x) = 2 - x 3
d) f(x) = (x + 1)3
e) f(x) = (2 - x)3
f) f(x) = Ix - 1)3 - 1
g) f(x) = 2 + (1 - x)3
h) f(x) = Ix 31
11. FUNÇÃO RECIPROCA
1 1 1 1 1 1 1 2 3 4x -4 -3 -2 -1
-"2 -3 -4 4" 3" 2
1 1 1 1 1 1 1
-1 -2 -3 -4 4 3 2 1
"2 "3 4"y 0_ -4 -3 -"2x
ponto A B C D E F G G' F' E' D' C' B' A'
,- ----- 1 1 ~- ~---~I1- --
y
I- -- ~lG'-~-I----
,~'
--~ ~-~- ----t---
tF i
\ I Iln' I +-- -~f'.... f----c' B' LA'
.....~ xA B ~
D[\
-
~--~-
~,
F
G
---
204. Definição 205. Observemos que a função recíproca y x
Uma aplicação f de IR * em IR recebe o nome de função rec/proca quando
a cada elemento x E IR * associa o elemento 2-,
x
Isto é: f: IR* -+ IR
1
XI-> -
X
Vamos inicialmente construir a tabela
172-A
a) não é definida para x = O;
b) tem imagem Im = IR* pois, dado um número real y * O, sempre
existe um x também real tal que y = 2-;
x
c) tem por gráfico uma hipérbole equilátera(')
Clt) Isto está provado em nosso livro de Geometria Analítica desta coleção.
173-A
EXERCfclOS A.282 Fazer O esboço gráfico das seguintes funções:
a) f(x) ~ 1
x::-T b) f(x)
1
2="X
Vamos construir uma tabela da seguinte maneira: atribu ímos valores a x + 1, calcule
1
mos x + 1 e finalmente calculamos x:
A.28D Fazer o esboço do gráfico das funções
1 b) f(x) 1a) f(x)
2xx
1 d) f(x) 1cl f(x) ~ - 2x lXi
A.283 Fazer o esboço gráfico da função f(x)
Vamos construir a tabela da seguinte maneira: atribuímos valores a x - 1, calcula-
I
mos 1 + x-:-1 e finalmente x.
x-I 1 1
)(:""l + x-I ~1+ x-I
1
Ix + 21
x-I +
x-I
cl f(x)
Solução
Observemos que:1
X+1
Solução
A.281 Fazer o esboço do gráfico da função f(x)
x
-4
-3
-2
O
2
x + 1
-3
-2
-1
1
"3
1
"2
2
3
-1
-2
-3
3
2
1
2
1
3
y
\
.
.......
-.....
x
. f\ I
x-I 1 + 1x y ~
x-I
2
-2 -3
3 Y
-1 -2 1
:2
IO -1 O \
1 1 ""-
2 -2" -1
-r--.
2 1 1\ x3" -3" -2
4 1
43 3
3 1
2 2 3
2 1 2
3 2 3
2
4 3 4
3
174-A 175-A
A.284 Fazer o esboço gráfico das seguintes funções:
EXERCICIOS
A.285 IMAPüFEI-74) Calcular o valor aproximado da área limitada pela curva
Vamos construir uma tabela da seguinte maneira: atribuímos valores a 2x, calcula-
mos l2x] e finalmente x.
A.286 Construir o gráfico das seguintes funções definidas em IR.
a) Ilx) - 2[xj b) Ilxl = -[x]
A.287 Construir o gráfico da lunção real delinida por Ilxl = [2x]
Solução
2
x + 1
x=-1
I~I
x
bl f(xl
di f(x)
y "
>
e x '" 4. Use no cálcu lo três trapézios de basl
x = 3 e x = 4.
x = 1
x = 2,
pelo eixo Ox e pelas retas
contidas nas retas x = 1,
a) f(x) x + 3
-;-+2"
cl f(x) x - 12 - x
206. Definição
111. FUNÇÃO MÃXIMO INTEIRO
Isto é: f: R -+ IR
X -+ Ixl
onde [xJ é o maior inteiro que não supera x.
Assim, por exemplo:
Uma função f de IR em R recebe o nome de função máximo inteiro quand
associa a cada elemento x E IR o elemento [x] que é o maior inteiro qL
não supera x.
1 J. '2
.,
A.288 Construir os gráficos das seguintes funções definidas em IR:
a) f(x) = [~] bl f(x) [-x]2 di f(xl
- [Ix I]
c) f(x) = [x - 1] el Ilxl = 1 [x]1
f) II x) [x J2 g) Ilxl = x - [x]
h) f(xl = x + [x]
x 2x = [2x] yy
-2 <: x < -1.5 -4 <: 2x < -3 -4 4
-1,5<:)«-1 -3 <: 2x < -2
3
-3
,
-1 <: )( < -0.5 -2<:2x<-1 -2
,
-0,5 <: x < O -1 <: 2x < O -1
.,
.-' -1 _2- ,
O <: x < 0,5 0<: 2x < 1 O
, ~ ,
.,
0,5 <: x < 1 1 <: 2x < 2 1
-
.,
1 <: x < 1,5 2 <: 2x < 3
~ ·3
2
1,5 <: x < 2 3 <: 2x < 4
0----<0 4
3
0-0
2 <: x < 2,5 4 <: 2x < 5 4
-7[ 10 ] -1 e [4] 4.39[3,9] = [10] = 3, 1-0,7]
Para construirmos o gráfico,
notemos que J~-----r?-3 <: x < -2 = y lx] -3
-2 <: x < -1 = y [x] -2 2 ----ri II
-1 < x < O = y [x] -1 1 ' I
,
- -..-<;> I ,
O<:x< 1 [x] O -3 -2 -1
' , , ,
= y
,
---
I I -,-
1<:x<2 lx] 1
, I
, 1 x
= y I
,
-1
2<:x<3 [x] 2 I I '~= y I +-'r-- 2
3<:x<4 = y Ix] 3 ~__ - -3
etc.
A imagem da função máximo inteiro é o conjunto Im =::l.
176-A 177-A
Arthur Cayley
(1821 - 1895)
h(x) ~ g(f(x))
207. Definição
{o, 1, 2, 3, 4} e
A~r"
C
1!?) Sejam os conjuntos A ~ {-1, O, 1, 2}. B
{1, 3, 5, 7, 9} e as funções:
f, de A em B, definida por t(x) x2
g, de B em C, definida por g(x) 2x +
CAPÍTULO X
FUNÇÃO COMPOSTA
FUNÇÃO INVERSA
I. FUNÇÃO COMPOSTA
Seja f uma função de um conjunto A em um conjunto B e seja g uma
função de B em um conjunto C; chama-se função composta de g e f à função
h de A em C definida por
(gof) (x) ~ g(f(x))
para todo x em A.
Podemos representar também a com-
posta gof pelo diagrama.
para todo x em A.
Indicaremos esta aplicação h por gof (Iê·se:·g composta com f ou g cir-
culo f); portanto
208. Exemplos
C
Advogado envolvido com Álgebra
Arthur Cayley nasceu na Inglaterra.
Como estudante em Cambridge ganhou muitos premlos em Matemática.
Graduou-se em Trinity e dedicou-se ao Direito durante catorze anos, o que não
impediu suas pesquisas matemáticas.
Em 1839 fundou-se na Inglaterra o "Cambridge Mathematical Journal",
principal veiculo de comunicação que contou com inúmeros artigos de Cayley
assim como outros jornais cientificos, caracteristicos do século XIX.
Em 1843 criou a Geometria Analitica no espaço n-dimensional usando
determ inantes como instrumento básico e foi o primeiro a estudar matrizes, defi·
nindo matriz nula, matriz identidade a partir do que se pode pensar em operações
sobre elas. Neste aspecto contou com a colaboração de Benjamim e Charles Peirce.
Em 1846, Cayley escreveu um artigo para o "Jornal de Crelle" estendendo
o teorema de espaço tridimensional para um espaço de quatro dimensões.
No "Philosophical Transaction" (Transação Filosófica) em 1868, publicou
um desenvolvimento do plano cartesiano a duas dimensões como um espaço de
cinco dimensões cujos elementos são as cônicas.
Em 1854 aceitou o cargo de professor
em Cambridge e em 1881 profeiu uma sériE
dé conferências sobre funções abelianas E
função theta.
Cayley escreveu muitos artigos sobre
invariantes algébricos e principalmente nesta
teoria teve a ajuda de seu amigo inseparável
Sylvester, tanto que foram chamados "gé-
meos invariantes".
Cayley era essencialmente um alge-
brista mas contribuiu também para a Geome·
tria e em Análise escreveu "Ensaio sobre as
funções ellticas':
Produziu q~antidade imensa de arti·
gos e obras durante sua vida, tanto qUE
neste aspecto chega a competir com Cauchy
e Euler.
179-A
observemos, por exemplo que: f(2) = 4, g(4) = 9 e h(2) = 9, isto é, h(2) =
= (gof)(2) = g(f(2)) = g(4) ~ 9.
Para obtermos a lei de correspondência da função composta h = gof,
fazemos assim: g(f(x)) é obtida a partir de g(x) trocando-se x por f(x).
No exemplo dado.
temos:
h(x) = (gof)(x) = g(f(x)) = 2 • f(x) + 1 = 2x2 + 1.
Se vamos calcular h(2), fazemos deste modo:
h(2) = 2 • 22 + 1 = 9.
2?) Sejam as funções reais f e 9 definidas por f(x) = x + 1 e g(x) = x2+ x + 1.
Notemos que a função composta h, = gof é definida por:
hdx) = (gof)(x) = g(f(x)) = [f(X)]2 + f(x) + 1 = (x + 1)2 + (x + 1) + 1 = x2 + 3x + 3.
Notemos, por outro lado, que a função composta h2 = fog é definida por:
h2(x) = (fog)(x) = f(g(x)) = g(x) + 1 = x2 + x + 1 + 1 = x2 + x + 2.
209. Observações
1~) A composta gof só esta definida quando o contra-domínio da f é
igual ao domínio da g. Em particular se as funções f e 9 são de A em A
então as compostas fog e gof estão definidas e são funções de A em A.
2~) Notemos que em geral, fog *- gof, isto é, a composição de funções
não é comutativa.
Pode acontecer que somente uma das funções fog ou gof esteja definida.
180-A
Assim, no primeiro exemplo, se tentarmos obter fog verificaremos que é impos-
sível, pois:
9 é função de B em C mas f não é função de C em A.
B
3~) As duas composições fog e gof estão definidas mas fog *- gof co-
mo nos mostra o segundo ellemplo:
(gof) (x) = x2 + 3x + 3
(fog) (x) = x2 + x + 2.
210. Teorema
Quaisquer que sejam as funções
A-.!-B~C~D
tem-se:
(hog)of = ho(gof).
Demonstração
Consideremos um elemento qualquer x de A e coloquemos f(x) = y,
g(y) = w e h(w) = z; temos:
((hog)of)(x) = (hog)(f(x)) = (hog)(y) = h(g(y)) = h(w) = z
e notemos que
(gof) (x) = g(f(x)) = g(y) = w
portanto,
(ho(gof))(x) = h((gof)(x)) = h(w) = z
então, temos:
((hog)of)(x) = (ho(gof))(x),
para todo x de A.
181-A
A.295 Dadas as funções reais definidas por f(x) = 3x + 2 e g(x) = 2x + a, determinar
o valor de a de modo que se tenha fOg = gOl.
A.296 Se t(x) = x3 e g(x) = x4, mostre que fOg = gOf.
A.298 Sejam as funções definidas por t(x) =.,;; e g(x)
os domínios das funções fOg e gOf.
x2 - 3x - 4. Determinar
Mostre que see g(x) = x2 + ax + b.t(x) = x2 + 2x + 3
f = g.
A.297 Sejam as funções
fOg = gOf então
Solução
a) A lei que define fOg é obtida a partir da lei de f, trocando-se x por g(x):
EXERCICIOS
A.289 Sejam as funções reais f e g, definidas por t(x) = x2 + 4x - 5 e g(x) 2x - 3.
Pede-se:
a) obter as leis que definem fOg e gOf
b) calcular (fOg) (2) e (gOf) (2)
c) determinar os valores do domínio da função fOg que produzem imagem 16.
(fOg)(x) = f(g(x)) = [g(x))2 + 4[g(x)] .. 5 = (2x - 3)2 + 4(2x - 3) - 5
(lOg)(x) = 4x2 .. 4x - 8.
A lei que define gOf é obtida a partir da lei de g, trocando-se x por t(x):
(gOf)(x) = g(t(x)) = 2 • t(x) - 3 = 2(x2 + 4x .. 5) .. 3
(gOf)(x) = 2x2 + 8x .. 13
b) Calculemos fOg para x = 2
(fOg)(2) = 4 • 22 - 4 • 2 - 8 = O
calculemos gOf para x = 2
(gOf)(2) = 2 • 22 + 8 • 2 - 13 = 11
Solução
a) (fOg)(x) = t(g(x)) =,.;;;w = Vx2 .. 3x - 4.
Para que exista (fOg)(x) E IR, devemos ter x2 - 3x - 4 ;;;. O, isto é: x';;;;-1
ou x;;;' 4. Então
D(fOg) = {x E IR I x ';;;;-1 ou x ;;;'4}
bl (gOt)(x) = g(t(x)) = [g(x))2 - 3 • g(x) - 4 = Ixl - 3..[; - 4.
Para que exista (gOf)(x) E IR, devemos ter x;;;' O. Então
D(gOf) = {x E IR I x ;;;'O}.
A.299 Sejam t(x) =~ e g(x) = 2x2 - 5x + 3. Determinar os domínios das funções
fOg e gOf.
c) o problema em questão, resume-se em resolver a equação
(fOg)(x) = 16
ou seja
4x2 - 4x .. 8 = 16 = 4(x' - x - 6) = O = x = 3 ou x ~ -2.
300 Se () x+1 ..A. jam as funções f x =~ definida para todo
definida para todo x real. Pedem-se:
a) o domínio e a lei que define fOg
b) o domínio e a lei que define gOf.
x real e x =1= 2 e g(x) = 2x + 3
. A.302 Sejam as funções reais f(x) 1 - x, g(x) = x2 - x + 2 e h(x) = 2x + 3. Obter
a lei que define hO (gOf!.
A.290 Sejam as funções reais f e g, definidas por t(x) = x2 - X - 2 e g(xl 1 - 2x.
Pede-se:
a) obter as leis que definem fOg e gOf
b) calcular (lOg)(-2) e (gOf)(-2)
c) determinar os valores do domínio da função fOg que produzem imagem 10.
A.301 Sejam as funções reais t(x) = 2x + 1, g(x)
a lei que define (hOg)Of.
x2 - 1 e h(x) = 3x + 2. Obter
A.291 Sejam as funções reais f e g. definidas por t(x) = x2 .. 4x + 1 e g(x) = x2 .. 1.
Obter as leis que definem fOg e gOf.
A.303 Sejam as funções reais t(x) = 3x - 5 e (fOg)(x) = x2 - 3. Determinar a lei da
função g.
A.292 Sejam as funções reias f e g, definidas por t(x) = 2 e g(x) = 3x - 1. Obter as
leis que definem fOg e gOf.
e g, definidas por f(x) = x2 + 2 e g(x) = x - 3, obter asA.293 Nas funções reais
leis que definem:
a) IOg b) gOf c) fOf d) gOg
Solução
Se f(xl = 3x - 5 então trocando-se x por g(x) temos:
(fOg)(x) = f(g(x)) = 3 • g(x) - 5
mas é dado que: 1t0g)(x) = x2 - 3 então
3 • g(x) - 5 = x2 - 3
A.294 Considere a função em IR definida por t(x) = x3 - 3x2 + 2x - 1. Qual é a lei
que define t("x)? E t(.!.)? E t(x - 1)?
x
ou seja
x2 + 2
g(x) = --3-'
182-A 183-A
A.3D4 Sejam as funções reais f(x) 2x + 7 e (fOg)(x) = x2 - 2x + 3. Determinar a
lei da função g.
A.3D5 Sejam as funções reais g(x) = 3x - 2 e (fOg)(x) = 9x2 - 3x + 1. Determinar a
lei da função f.
Solução
Se (fOg)(x) = 9x2 - 3x + 1 então f(g(x)) = 9x2 - 3x + 1.
g(x) + 2 _Como g(x) = 3x - 2, decorre x = --3-- e entao:
f(g(x)) = 9[g(x)3+2f -3, [g(X)3+ 2 ] + 1 = [g(x)]2 +4g(x)+4-g(x)-2+1 =
= [g(x)j2 + 3 • g(x) + 3 logo, f(x) = x2 + 3x + 3.
A.3D6 Sejam as funções reais g(x) = 2x - 3 e (fOg)(x) = 2x2 - 4x + 1. Determinar a
lei da função f.
. A.3D7 Sejam as funções reais g(x) = 2x + 3 definida para todo x real e x cF 2 e
2x + 5(fOg)(x) = x + 1 definida para todo x real e x cF 1. Determinar a lei da
função f.
A.31D Sejam as funções reais f e 9 definidas por
{
x2 + 2 se x';;-1
f(x) = x ~ 2 se -1 < x < 1
4 - x2 se x ~ 1
e g(x) = 2 - 3x.
Obter as leis que definem f Og e gOl.
A.311 Sejam as funções reais f e 9 definidas por
{
4X - 3 se x ~ O {x + 1 se x > 2
f(x) = x2 _ 3x + 2 se x < O e g(x) = 1 _ x2 se x.;; 2
Obter as leis que definem fOg e gOf.
A.312 Sejam as funções reais 9 e fOg definidas por g(x) = 2x - 3 e
{
4X2 - 6x - 1 se x ~ 1
(fOg)(x) = 4x + 3 se x < 1
Obter a lei que define f.
Solução
Fazendo g(x) = V, temos (fOg)(x) = f(g(x)) f(v).
Temos de examinar dois casos:
1':') v ~ 1
V ~ 1 =* g(x) ~ 1 =* x - 3 ~ 1 =* x ~ 4
V ~ 1 = f(v) = V2 + 2v + 4 ==? f(g(x)) = (g(x)}2 + 2 • g(x) + 4 "*
= (fOg)(x) = (x - 3)2 + 2(x - 3) + 4 = x2 - 4x + 7.
2':') v < 1
v < 1 =* g(x) < 1 =* x - 3 < 1 =* x < 4
v < 1 = f(v) = 3v + 4 ==? f(g(x)) = 3 • g(x) + 4 =
= (fOg)(x) = 3(x - 3) + 4 = 3x - 5
A.308 Sejam f e 9 funções reais definidas
{
x2 + 2x + 4 se x ~ 1
f (x) = 3x + 4 se x < 1
Obter a lei que define fOgo
por
e g(x) x - 3.
11. FUNÇÃO SOBREJETORA
211. Definição
Uma função f de A em B é sobrejetora se, e somente se, para todo
y pertencente a B existe um elemento x pertencente a A tal que
f(x) = y.
Em símbolos
f: A -+ B
f é iobrejetora
Notemos que f: A -+ B é sobrejetora se, e somente se, Im (f) B.
Obter as leis que definem fOg e gOf.
A.309 Sejam f e 9 as funções reais definidas por
{
x2 - 4x + 3 se x ~ 2
f(x) x < 2 e g(x) = 2x + 3.
= 2x - 3 se
Conclusão: {
x2 - 4x + 7, se
(fOg)(x) = 3x _ 5, se X~4
x < 4.
f: A ... &
f é sobrejetora .... Im(f) = B
Em lugar de dizermos "f é uma função sobrejetora de A em B" poderemos
dizer "f é uma sobrejeção de A em B".
184-A 185-A
212. Exemplos
1'?) A função f de
A = {-1, 0, 1, 2} em B = {O, 1, 4}
definida pela lei f( x) = x2 é sobrejetora
pois, para todo elemento y E B, existe
o elemento x E A tal que y ~ x2.
Observemos que para todo elemen-
to de B converge pelo menos uma flecha. A B
214. Exemplos
1'?) A função f de A = {O, 1, 2, 3} em B = tl, 3, 5,7, 9}definida
pela lei f(x) = 2x + 1 é injetora
pois, dois elementos 'distintos de A têm
como imagens dois elementos distintos
de B. Observemos que não existem duas
ou mais flechas convergindo
para um
mesmo elemento de B.
2'?) A função de A = ~ em B = ~ definida por f(x) = 2x é injetora,
pois, qualquer que sejam XI e X2 de~, se XI '* X2 então 2xI '* 2X2'
2'?) A função f de A = IR em B = {y E IR I y ?> 1} definida por
f( x) = x2 + 1 é sobrejetora pois, para todo y E B, existe )( E A tal que
y = x2 + 1, bastando para isso tomar x = v'Y--=-1 ou x = -~.
111. FUNÇAo INJETORA
213. Definição
3'?) A função de A = IR'
tora, pois, qualquer que sejam XI e
IV. FUNÇAO BIJETORA
215. Definição
em B = IR definida por f( x)
x
• -J- - 1.1-X2 de IR , se x I -r- X2 entao - "I-
XI
é inje-
Uma função f de A em B é injetora se, e somente se, quaisquer que
sejam XI e X2 de A, se XI '* X2 então f(xI) cf f(x2).
Em símbolos
Uma função f de A em B é bijetora se, e somente se, f é sobrejetora
e injetora.
Em símbolos
f: A -> B
f é injetora = (\fXI , Xl E A,
,.
\f X2, x2 E A)(xI '* X2 ~ f(xtI '* f(X2))
. ~
f: A -> B
f é bijetora = f é sobrejetora e injetora,
Notemos que a definição proposta é equivalente a uma função f de A
em B é injetora se, e somente se, quaisquer que sejam XI e X2 de A, se
f(x,) ~ f(X2) então XI = X2'
f: A -> B
f é injetl}ra = (\f Xl , XI E A, \fX2' x2 E A)(f(xt! = f(X2) ~ XI X2)
Em lugar de dizermos "f é uma função injetora de A em B" poderemos
dizer "f é uma injeção de A em B".
186-A
A definição acima é equivalente a: uma função f de A em B é bijetora
se, e somente se, para qualquer elemento y pertencente a B existe um único
elemento X pertencente a A tal que f(x) = y.
f: A -4 B
f é bijetora = \f y, Y E B, 31 x, x E A I f(x) V
Em lugar de dizermos "f é uma função bijetora de A em B" poderemos
dizer "f é uma bijeção de A em B".
187-A
1C?) Se cada uma dessas retas cortar o gráfico em um só ponto ou não
cortar o gráfico, então a função é injetora.
2<?) Se cada uma das retas cortar o gráfico em um ou mais pontos então
a função é sobrejetora.
216. Exemplos
1C?) A função f de A {O, 1,2, 3} em B = {1, 2, 3, 4} definida
por f(x) = x + 1 é bijetora
pois, f é sobrejetora e injetora, isto é, para todo elemento y E B, existe um
único elemento x E A, tal que y = x + 1. Observemos que para cada ele.
. mento de B converge uma só flecha.
29) A função f de A = IR em B = IR definida por f(x) 3x + 2
é bijetora, pois:
I) qualquer que seja y E IR, existe x E IR tal que y = 3x + 2, basta
y - 2
tomarmos x = Logo, f é sobrejetora;
3
11) quaisquer que sejam XI e X2 de IR, se XI "* X2 então 3xI + 2 "* 3X2 + 2,
isto é, f é injetora.
Exemplos
a) f: IR -+ IR
f(x) = x
y
Exemplos
a) f: IR -+ IR
f(x) = x - 1
y
x
x
b) f: IR. -+ IR
f(x) = x2
y
b) f: IR -+ IR.
f(x) = x2
y
x
x
217. Observemos que existem funções que não são sobrejetoras nem injetoras.
Assim, por exemplo, a função de IR em IR definida por f(x) = I xl 39) Se cada uma dessas retas cortar o gráfico em um só ponto, então afu nção é bijetora.
I) dado y E IR~, não existe X E IR tal que y = I xl. portanto f
não é sobrejetora;
11) existem XI e X2 em IR, XI e X2 opostos (e portanto XI"* X2)
tais que IXI I = IX2 I, isto é, f não é injetora.
218. Através da representação cartesiana de uma função f podemos verificar
se f é injetora ou sobrejetora ou bijetora. Para isso, basta analisarmos o número
de pontos de intersecção das retas paralelas ao eixo dos x, conduzidas por cada
ponto (0, y) onde y E B (contra-domínio de f).
188-A
Exemplos
a) f: IR -+ IR
f(x) = 2x
x
b) f: IR -+ IR
f(x) = X • I x I
y
x
1S9-A
219. Resumo: EXERCfclOS
220. Teorema
xx
h
c)
., r;=0 f0 "~~revB A B
"(2+ ~ ~-A~;~"
A.313 Indique qual das funções abaixo é injetora. sobrejetora ou bijetora?
A.314 Para as funções em IR ·abaixo representadas qual é injetora? E sobrejetora? E
bijetora?
y
a) b)
x
c) y d)
é sobrejetora então, para todo z de C, existe V em B
e a função f é sobrejetora, isto é, dado V em B existe
f(x) ~ V.
2?) se toda reta corta o gráfico, então f é sobrejetora.
Logo, para toda z em C, existe x em A tal que
z ~ g(V) ~ g(f(x)) ~ (gof) (x)
Dada a função f de A em B, consideram-se as retas horizontais por
(O. V) com V E B:
~?I se nenhuma reta corta o gráfico mais de uma vez, então f é injetora.
3?) se toda reta corta o gráfico em um só ponto, então f é bijetora_
Se duas funções f de A em B e 9 de B em C são sobrejetoras,
então a função composta gof de A em C é também sobrejetora.
o que prova que gof é sobrejetora.
Demonstração
A função 9
tal que g(V) ~ z
x em A tal que
a) f: IR -+ IR tal que f(xl ~ 2x + 1
b) g: IR -+IR tal que g(x) = 1 - x2
cI h: IR -+ IR+ tal que h(xl = Ix - 1 I
d) m: t.I -+ t.I tal que m(xl = 3x + 2
el n: IR -+Z tal que n(x) = [x]
fi IR' -+ IR' tal que p(x)
,
p:
( x
g) q: IR -+ IR tal que q(x) = x 3
hl r: IR -+ IR tal que r(xl =lxl,(x-1I
191-A
221. Teorema
Se duas funções f de A em B e 9 de B em C são injetoras, então a
função composta gof de A em C é também injetora.
Demonstração
Consideremos x I e X2 dois elementos quaisquer de A e suponhamos
que (gof) (XI) ~ (gof) (X2), isto é, g(f(x l )) ~ g(f(X2)l. Como 9 é injetora,
da última igualdade resulta que" f(xI) ~ f(X2), como f é também injetora
vem, XI = X2; portanto gof "é. injetora.
190-A
A.315 Nas funções seguintes classifique em
II injetora III sobrejetora
IV) não é sobrejetora e nem injetora.
111) bijetora
A.316 Determine o valor de b em B = {y EIR I y ;;. b} de modo que a função f de
IR em B definida por f(x) = x2 -4 x + 6 seja sobrejetora. V. FUNÇÃO INVERSA
A.317 Determine o maior valor de a em A =- {x E IR I x ~ a} de modo que a função
f de A em IR definida por fi x) = 2x2 - 3x + 4 seja inietora. 222. Dados os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4}
a função f de A em B definida por f(x)
e B {1, 3, 5, 7}
2x - 1.
consideremos
A.320 As funções IA e 18 do exercido anterior são iguais? Justificar.
A.319 Sejam as funções: f de A em B, definida por y = f(x); identidade em A,
anotada por IA, de A em A e definida por IA(xl = x; identidade em B,
anotada por IB, de B em B e definida por IB(x) = x. Prove:
f()IA=f e IBof=f.
A
B
x
tal que V = 2x - 1
V + 1
2
x E A tal que
V E B
A
. isto éx =
Im(f- I ) = A.
f-I leva cada elemento V E B até o
f leva cada elemento x EC A até o1?)
2?)
Observemos que a função f é definida pela sentença V = 2x - 1, e f -\ é
V + 1
2
DW') = B e
definida pela sentença
ri = {(l, 1), (3, 2), (5,3), (7, 4)}
onde
Notemos que a função f é bijetora
formada pelos pares ordenados
f = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}
onde D(f) = A e Im(f) = B.
A relação f-I = {(y, x) I Ix, V) E f},
inversa de f, é também uma função
pois, f é uma bijeção de A em B,
iS10 é, para todo V E B ex iste um
único x EC A tal que (V, xl E f-I.
A função f-I é formada pelos
pares ordenados
xE(D
x E (IR - (D)
b) g: IR -+ IRr~ 1 se x ;;. 1g(x) = se
-1 < x < 1
x + 1 se x ,;;; -1
d) m: IR -+ IR
m(xl = { 4 - x
2 se x <; 1
x2 - 6x + 8 se x > 1
1111 bijetora
fi p: IR -+ (D
p(x) = {~:] ::
x ;;. O
x<O
111 sobrejetora
{ xx2 sseefi xl =
IV) não é injetora e nem sobrejetora.
11 injetora
cl h: IR -+ IR
{ 3x - 2 se x ;;. 2h(xl =
x - 2 se x < 2
el n: IW -+ IW
=P;1 se x é parn(xl se x é (mpar
a) f: IR -+ IR
A.318 Nas funções seguintes classifique em
A.321 Os conjuntos A e B têm, respectivamente m e n elementos. Considera-se uma
função f: A ---+ B. Qual a condição sobre m e n para que f possa ser injetora?
E para f ser sobrejetora? E bijetora?
A.322 Quantas são as injeções de A = {a, b} em B {c, d, e, f}?
223. Teorema
Seja f: A --> B. A relação f-I é uma função de B em A se, e somente
se, f é bijetora.
A.323 Quantas são as sobrejeções de A {a, b, c} em B::. {d, e}?
DemonStração
la Parte: se f-I é uma função de B em A então f é bijetora.
A.324
Mostrar com um exemplo que a composta de uma injeção com uma sobrejeção pode
não ser nem injetora nem sobrejetora.
ai para todo V E B existe um x E A tal que f- 1 (V)
(V, xl E f- \ ou ainda, (x, V) E f. Assim f é sobrejetora.
x, isto é,
192-A 193-A
b) dados Xl E A e X2 E A, com Xl =lo X2, se tivermos f(xI) = f(x2) = y
resultará f-I (y) = XI e f-I (y) = X2, o que é absurdo pois y só tem uma
imagem em f-I. Assim f(xl) =lo f(x2) e f é injetora.
2'! Parte: se f é bijetora, então f-I é uma função de B em A.
a) Como f é sobrejetora, para todo y E B existe um X E A tal que
(x, y) E f, portanto, (y, x) E f-I.
b) Se y E B duas imagens XI e x2 em f-I, vem:
portanto
A
O(f-I ) B = Im (f)
B
e
B
ImWl) = A = O(f).
A
Como f é injetora resulta XI = X2'
224. Definição
Se f é umjl função bijetora de A em B, a relação inversa de f é uma
função de B em A que denominamos função inversa de f e indicamos por f-I.
226. Vimos no exemplo anterior que se a função f é definida pela sentença
aberta y = 2x - 1, então a função inversa f-I é definida pela sentença X= Y+ 1 .
2
Observemos, por exemplo, que X = 2 e y = 3 satisfazem a condição
y = 2x - 1 e também X = ~. Isto não quer dizer que o par ordenado
2
(2, 3) pertença a f e a ri. De fato
(2, 3) E f e (3, 2) E rI.
225. Observações As sentenças abertas y = 2x - 1 e x = r....:':.J.. não especificam quem
2
1~) Os pares ordenádos que formam f-I podem ser obtidos dos pares
ordenados de f, permutando-se os elementos de cada par, isto é
(x, y) E f -. (y, x) E f-I
2~) Pela observação anterior, temos
(x, y) E f -. (y, x) E f-I.
Agora, se considerarmos a função inversa de ri, teremos:
(y, x) E f-I -. (x, y) E (f-I )-1
isto é, a inversa de f-I é a própria função f
(f-I)-I = f.
Podemos assim afirmar que f e rI são inversas entre si, ou melhor, uma é
inversa da outra.
3~) O domínio da função f-I é B, que é a imagem da função f.
A imagem da função ri é A, que é o domínio da função f.
194-A
(x? ou V?) é o primeiro termo do par ordenado.
Ao construirmos o gráfico cartesiano da função f, colocamos x em
abscissas e y em ordenadas, isto é:
f = {(x, y) E A X B I y = 2x - 1}
e ao representarmos no mesmo plano cartesiano o gráfico de f-I, como o
conjunto
rI = {(y, x) E B X A I x = ~}
2
devemos ter y em abscissa e x em ordenada.
Afim de que possamos convencionar que:
1C?) dada uma sentença aberta que define uma função, x representa
sempre o primeiro termo dos pares ordenados e
2C?) dois gráficos de funções distintas podem ser construídos no mesmo
plano cartesiano com x em abscissas e y em ordenadas. Justifica-se a segu inte
regra prática.
195-A
e observemos que
PM2 + MR2 = 2(~)2 + 2(~ _ C)2 o a2 - 2ab + b2 + a2 +2ab+b2
2 2 2 2
x + 4
2
=vx
=if";
v I 1/
fll 1/
11/ ./......
~ ...... f-
I......~
...... I7Y
........... 1/ J
.......... 1/ 'I
./
...... / J Iv
...... ~,~/ IJ
I.,:,<j:/
-
I
1/ I1
1/ J
/ 11
I
e
e
e
x + 4
-2-y
x Y
-12 -4
-10 -3
-8 -2
-6 -1
-4 O
-2 1
O 2
2 3
4 4
f(x) = 2x - 4
(~_C)2+(~
2 2
(a - C)2 + (b _ C)2
1'?)
x Y
-4 -12
-3 -10
-2 -8
-1 -6
O -4
1 -2
2 O
3 2
4 4
_ 2(a + b) . c + 2c2 = a2 + b2 - 2ac - 2bc + 2c2 (a2 - 2ac + c2 ) + (b2 -
_ 2bc + c2 ) = (a - C)2 + (b - C)2 = PR 2 .
MR 2 =
PR 2 =
229. Assim, por exemplo, vamos construir no mesmo diagrama os gráficos de
duas funções inversas entre si:
+-+
Para provarmos que a reta PO é perpendicular a reta r, consideremos o
ponto R(c, c) da reta r, distinto de M e provemos que o triângulo PMR é
retângulo em M.
Calculando a medida dos lados do triângulo PMR encontramos:
(a+b a+b)
2 ' 2
M é médio do segmento PO, isto ,
que os pontos P e O equidistam d,
x = y3 = y =if;
f-I (x) if;.
2'?) f(x) x2
definida por
3'?) f(x) x3
1'?) y 2x - 4
e portanto M pertence a reta r. Como
MP = MO, M E r, está então provado
reta r.
Para provarmos que os pontos Pia, b) e O(b, a) são simétricos em relaçãc
a reta r de equação y = x (bissetriz dos quadrantes 1 e 3), devemos provar
que a reta que passa pelos pontos P e O é perpendicular a reta r e que a!
distâncias dos pontos P e O a reta r são iguais.
O ponto M, médio do segmento PO tem coordenadas
2'?) Oual é a função inversa da função f bijetora em IR definida pOI
f(x) = x 3?
A função dada é f(x) = Y = x3 .
Aplicando a regra prática, temos:
Resposta: É a função f-I em IR
228. Propriedade
Os gráficos cartesianos de f e f-I são simétricos em relação a bissetri,
dos quadrantes 1 e 3 do plano cartesiano.
Observemos inicialmente que se (a, b) E f então (b, a) E f-I.
Exemplos
10 ) Oual é a função iflversa da função f bijetora emiR definida por
fi x) = 3x + 2?
A função dada é: f(x) y = 3x + 2.
Aplicando a regra prática:
I) permutando as variáveis: x = 3y + 2
11) expressando y em função de x:
x - 2
x = 3y + 2 = 3y = x - 2 = y = ---
3
Resposta: É a função f-I em iR definida por f-I (x) = X - 2
3
Dada a função bijetora f de A em B, definida pela sentença y = f(xl,
para obtermos a sentença aberta que define f-I, procedemos do seguinte modo:
10 ) na sentença y = f(x) fazemos uma mudança de variável, isto é,
trocamos x por V e V por x, obtendo x = f(y).
20 ) transformamos algebricamente a expressão x = f(y), expressandc
V em função de x para obtermos y = f -I (x).
227. Regra prática
196-A 197-A
231. Teorema
Se as funções f de A em B e 9 de B em C são bijetoras então
(gof)-I = f-I og-I.
IC'
f-I og-I, então basta provar que
(gof)OW'og-l ) = Ic·
Queremos provar que (gof) -I =
(f-1og-1)O(gof) = IA e
Notemos que
f-IOf = IA, fof- I
Demonstração
Observemos inicialmente; se as funções f de A em B e 9 de B em C,
são bijetoras, então a função composta, gof de A em C é bijetora, logo,
existe a função inversa (gof) -I de C em A.
I 1/
1ft V
--- V
V
I ?<'~'"
I
~~
lY
II 1/
1/
J 1/ f I
-/ 1/ J--
IJ::.l..-I-
~
yy = v'X
x y
O O
1 1
4 2
9 3
16 4
25 5
36 6
x y
o o
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
6 36
2?) Y X 2
ai flxl ~ 2x + 3
bl qlxl ~ ~
3
cl hlxl ~ x3 + 2
di plxl - Ix - 1)3 + 2
el qlxl ~ if02
fi rlxl-~
gl,lxl ~~
A.327 A função f em IR definida por f(x) == x2 , admite função inversa? Justificar.
A.326 Nas funções abaixo de ,IR em IR, obter a lei de correspondência Que define a função
inversa.
EXERCíCIOS
A.325 Para cada função abaixo pede~se provar que é bijetora e determinar sua inversa:
ai f: IR ---+ IR tal que f(x) ~ 2x - 5
bl 9: IR - {4} -> IR - {1} tal que 91 xl _ x + 1
x - 4
cl h: IR --+ IR tal que hlxl ~ xS
Então;
Wlog-I)O(gof) = [Wlog-I}og]of = [f-Io(g-Iog)]of = [rlolslof =
=rlof=IA
(gof) o(f-I o g-I) = [(gof) orl ]og-I = [go (fof-I ) ]og-I = [go Is ]og-I =
= gog-I = Ic .
:
-I
1/
1/
1/
1/
1/
y
x
I/'
f-I (y) = x
f(x) = y.
1/HL-f--+-+-+++-+- --+----+-+-+-+----V
f-I (f(x))
fW1(y))
y=~
x Y
-27 -3
-8 -2
-1 -1
O O
1 1
8 2
27 3
Demonstração
\;f x E A, (f-IOf) (x)
\;f y E B, (fof-1 ) (y)
x y
-3 -27
-2 -8
-1 -1
O O
1 1
2 8
3 27
Seja f uma função bijetora de A em B. Se f-I é a função inversa d
f então
230. Teorema
3?) Y X 3
198-A 199-A
A.331 Obter a função inversa das seguintes funções:
A.332 Seja a função f de IR - {-2} em IR - {4} definida por f(x)
é o valor do domínio de f-I com imagem 57
A.328 Seja a função f de IR_ em IR., definida por f(x) ~ x2. Qual é a função inversa
de f?
Solução
A função dada é f(x) = y = x2 com x';; O e V;;;. O.
Aplicando a regra prática, temos:
I) permutando as variáveis:
x ~ V2 com V.;; O e x;;;' O
11) expressando V em função de x
x ~ y2 = V ~ -yÇ ou V = --yÇ
Considerando que na função inversa f-I. devemos ter V.;; O e x;;;' O a lei de
correspondência da função inversa será f-I (x) = -...r;. .
Resposta: ~ a função
f-I de IR+ em IR_ definida por f-I (x) = -...r;..
a) f: IR - {3} ----> IR - {I}
f(x)=~
x - 3
c) f: IR - {3} --+ IR - {-I}
f(x) ~~
x - 3
e) f: IR' ----.. IR - {4}
f(x) = 4x + 2
x
b) f: IR - {-I} ...... IR - {2}
f(x) = 2x + 3
x + 1
d) f' IR - O·} --+ IR - {.?}
. 3 3
f(x) = 5x + 2
3x - 1
f) f: IR - {3} ----.. IR - {3}
f(x) = 3x + 2
x - 3
4x - 3
~. Qual
Resp.: ~ a função f-I. de IR - {I} em IR - {2}. definida por f-I (x) 2x + 1
x-I
A.330 Seja a função bijetora f. de IR - {2} em IR - {I} definida por f(x) x • 1
Qual é a função inversa de f7 x - 2
. A.329 Obter a função inversa nas seguintes funções abaixo
a) f: IR. IR.
f(x) ~ x2
b) f: A ----.. IR•• onde A ~ {x E IR I x .;; 1 }
f(x) = (x _ 1)2
c) f: A -----+ IR_. onde A = {x E IR I x .;; 2}
f(x) = -(x - 2)2
d) f: A-----+ IR_. onde A ~ {x E IR I x .;; -I}
f(x) ~ -(x + 1)2
17
7
a ~.!2.==>
7
f-I: B~ A
f-I(x) ~ 1+~
Resposta:
a = f(5) ~ 4, 5 - 3
5 + 2
Solução
Queremos determinar a E IR - {4} tal que f -I (a) = 5, para isto. basta determinar
a tal que f(5) ~ a
Solução
A função dada é f(x) ~ V ~ x2 - 2x + 3 com x;;;' 1 e V;;;. 2.
Aplicando a regra prática temos:
Il permutando as variáveis:
x = y2 _ 2y + 3 com V;;;. 1 e x;;;' 2
IJ) expressando V em função de x
x ~ y2 _ 2y + 3 =>- x ~ y2 - 2y + 1 + 3 - 1=> x ~ (V - 1)2 + 2=>
=>- (y _ 1)2 ~~~y - 1 =~ ou y - 1 ~ -~=>
=>- y = 1 +~ ou y = 1 -~.
Considerando que na função inversa f-I. devemos ter V;;;'l e x;;;' 2, a sentença
que define a função inversa é f-I (x) = 1 +~
A.333 Seia a função f de A = { x E IR I x .;; -I} em B = {V E IR I V ;;;. I} definida
por f(x) = .J x2 + 2x + 2. Qual é o valor do domínio de ri com imagem 37
A.334 Sejam oS conjuntos A = {x E IR I x ;;;'1} e B = {y E IR I y_;;;'2} e a função
f de A em B definida por f(x) ~ x2 - 2x + 3. Obter a funçao Inversa de f.
V + 1 = XV - V ~ 2x + 1 =>- vlx - 1) = 2x + 1 ==o~ =xy - 2x ~y-2
2x + 1
x-I
e) f: IR _----> B. onde B={yEIRlv;;;'l}
f(x) ~ x2 + 1
f) f: IR. -----+ B. onde B = {V E IR Iv .;; 4}
f(x) = 4 - x2
g) f: IR_--->B. onde B = {y E IR I y ;;;. -I}
ti x) = x2 - 1
x ~
=>y
Solução
A função dada é f(x) = y =~ com x*-2 e V *- 1.
x - 2
Apl icando a regra prática. temos:
200-A
201-A
Solução
Notemos que
1?1 se x ~O então t(x) = y = x2 _ 1, logo y ~-1.
2?) se x < O então t(xl = y = x - 1, logo y < -1.
A função proposta é
y = x
2
- 1 com x ~ O e y ~ -1 ou y = x _ 1 com x < O e y < -1.
Aplicando a regra prática:
I) permutando as variáveis, temos:
x = y2 - 1 com y ~ O e x ~ -1 ou x = y - 1 com y < O e x < -1
11) expressando y em função de x, temos:
y =~ com y ~ O e x ~ -1 ou y = x + 1 com y < O e x < -1 .
Logo, a função inversa f-I é de IR em IR e definida por
f-I (x) = {~ se x ~-1
x + 1 se x < -1
A.335 Obter a função inversa das seguintes funções:
a) A = {x E IR I x ~ 1} e B={yEIRIY~-1}
f:A--+B
f(xl = x2 - 2x
bl A = {x E iR I x ~ -1} e B={yEIRIY~1}
f:A--+B
t( xi = x2 + 2x + 2
cl A = {x E IR I x ,;;; 2} e B {yERIY~-l}
f: A---+ B
f(xi = x2 - 4x + 3
di A = {x E IR I x ~ 1.} e B {yEIRly~_1-}f: A---+ B 2 4
f( xl = x2 - 3x + 2
ei A = {x E IR I x ~ 2} e B {y E IR I y ,;;; g}
f:A--+B
t( x) = -x2 + 4x + 5
f) A = {x E IR I x';;; -1} e B={YEIRlv';;;5}
f:A--+B
t(x) = _x2 - 2x + 4
g) A={xERlx~~} e B={YEIRly~_~}
f:A---+B 4 8
flx) = 2x2 - 5x + 2
d f e f-I.A.341 Nas funções que seguem, construir num mesmo plano cartesiano os gráficos e
x ~-1
x <-1
se x <-1
se x ~ -1
IV' II
..~!t-
E L
/ .....f;:;
lflI:
7J
..../
....
I"" / x
1/
1.1
, '
= { x 3 - 2
4x + 1
{
x2 - 4x + 7 se x ~ 2
f) f( x) = 2x - 1 se -1 < x < 2
-x2 - 2x - 4 se x';;;-l
di t(x)
x + 3
2
x ~O
x < O
x y
-5 -1
-3 O
-1 1
1 2
3 3
5 4
i f( ) __ {X2 sec x
2x se
{ V;:~ se x~3e) flxl = (3 _ x)3 se x < 3
x y
-1 -5
O -3
1 -1
2 1
3 3
4 5
Solução
t(x) = 2x - 3
ai f: IR --+ IR bl f: IR --+ IR
f(xi = 2x + 1 f(xl = 2x + 4
3
cl f: IR ---+ IR
di f: R _ ""* B = {y E IR I y ,;;; 1}f(x) = 1 - x 3
f( x) = 1 - x2
el f: A---+ A = {x E IR I x ~ -1} fi f: IR'~ IR't(xl = x2 + 2x
f(xl = 2-
f: IR'""* IR - {1} xg)
f(xl =~ h) f: IR-.> IR.
x f(x) = 2x
i) f: IR-.> IR.
f(xl = (~)x
2
A.337 Nas seguintes funções em IR, determinar a função inversa.
{
2x + 3 se x ~ 2 { 5 _ 3x se
a) f(x) = bl flxl =
3x + 1 se x < 2 4 - 4x se
A.338 A função f em IR definida por t(x) = I x + 21 + Ix - 1\, adrr:ite função inversa?
A.339 Seja a função f em IR definida por f(x) = 2x + 1x + 11 - 12x - 41. Determinar
a função inversa de f.
f · 'd f() 2 3 Construir num mesmo planoA.340 Seja a função f em IR de In' a por x = x - .
cartesiano os gráficos de f e f-I.
x ~O
x <O{
x2 - 1 sef(x) =
x - 1 se
Determinar f-I.
A.336. Seja a função bijetora de IR em IR definida por
Solução
1':' Processo
Determinamos inicialmente gOf e em seguida (gof)-I
(gof)(x) = g(f(x)) = 2f(x) + 5 = 2(3x - 2) + 5 = 6x + 1.
A.342 Dadas as funções f e 9 em IR definidas por f(x)
determinar a função inversa de gof.
Aplicando a regra prática, temos:
x=6y+1 "* y=~
6
3x - 2 e g(x) = 2x + 5 A.344 Sejam os conjuntos A = {x E IR I x;;;' -2}, B = {x E IR I x ;;;. -4} e
C = {x E IR I x ;;;. -1} e as funções f de A em B definida por f(x)
= x2 + 4x e 9 de B em C definida por g(x) = x2 - 1. Pergunta-te: existe
(gOf) -17 Justificar a resposta.
A.345 Sejam os conjuntos A = {x E IR I x .;;; 1-} e B = {x E IR I x;;;' -1 } e as funções: f
2
de A em IR _ definida por f(x) = 2x - 1, 9 de IR _ em IR. definida por glx) = x2
e h de IR. em B definida por hlx) = 4x - 1. Determinar a função inversa de
hOlgof).
portanto (gOf) -I (x I 2!...:....!
6
x - 1
63
x - 5 + 2
2
2':' Processo
Determinamos inicialmente f-I e g-I e em seguida f-Iog-I pois
(gOf)-1 = f-IOg-l .
Aplicando a regra prática em f(x) = 3x - 2 e g(x) = 2x + 5 temos:
f-I (x) =~ e g-I(x) = x - 5
3 2
(f-Iog-I)(x) = f-I(g-I(x)) = g-I(x) + 2
3
portanto (gOf) -I (x) = x ~ 1
Resposta: (gof) -I: IR ---+ IR
(goWI(x) ~
6
A.343 Dadas as funções f e g, determinar a função inversa de gof:
a) f: IR-+ IR e g: IR-+ IR
f(x) = 4x + 1 g(x) = 3x - 5
b) I: IR-+ IR e g: IR-+ FI
f(x) = x 3 g(x) = 2x + 3
c) I: IR.~ IR. e g: IR.-+ C = {x E IR I x ';;;4}
I(x) = x2 g(x) = 4 - x
d) A = {x E IR I x;;;' %},
I: A-+ B e
f(x) = x2 - 3x
B = {x E IR I x ;;;. - ~}
4
g: B-+ IR.
g(x) = 4x + 9
f: A ---+ IR.
f(x) = x2 - 1
e
C = {x E IR I x ;;;. 2}
g: IR+---+ C
g(x)=~
204-A 205-A
APÊNDICE I
EQUAÇOES IRRACIONAIS
Equação irracional é uma equação em que há incógnita sob um ou mai:
radicais.
Exemplos
~ = 3, ~ 2x + 1 = 2, V 3x + 2 = x + 2, ~ +~= 5.
Para resolvermos uma equação irracional, devemos transformá-Ia, eliminando
os radicais, bastando para tanto elevá-Ia a potências convenientes. Não devemO!
esquecer que este procedimento pode introduzir raízes estranhas à equação
proposta inicialmente.
232. Equação vIf(;J = g(x)
29) verificando se g(a);;' O.
Mostremos que g(a);;' O => a é raiz de (1)
fIa) = (g(a))2 ==> [Vf((;) - g(a)] [v't(aj + g(a)] = O=>
{
g(a) =~
= ou
g(a) = -ylf0)
Como g(a);;' O resulta que só g(a) =~ é verdadeira, isto é, o:
é raiz da equação g(x) = Yf0J.
Esquematicamente, temos:
I v'ffXf= g(x) => 1M = [g(x)j2 e g(x);;' O
EXERCfclOS
Façamos o estudo da equação irracional do tipo Yf0J = g(x).
Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos:
f(x) = [g(x)]2.
A.346 Resolver as equações
a)~c5
Solução
b) Vx2 + 5x + 1 + 1. 2x
As duas equações podem ser escritas
a) Não há possibilidade de introduzir raízes estranhas ao quadrarmos esta equação,
pois
yf(;J - g(x) = O e f(x) - [g(x)]2 = O
ou
Vf(x) - g(x) O (1) e (Yf0J - g(x)) • (Yf(;J + g(x)) O (2).
qlxl - 5 > O, V- x E IR
yI~ c 5 = 2x - 3 _ 52 => x _ 14
S - {14}
É claro
que toda raiz da equação (1) é raiz da equação (2) porque anulando-se
VI(x) - g(xl anular-se-á o produto (YIf(;J - g(x))(Yf0J + g(x)).
Entretanto, a reciproca não é verdadeira, isto é, uma raiz da equação (2)
pode não ser raiz da equação (1). De fato, uma raiz de (2) anula um dos fatores,
podendo anular Yf0J + g(x) sem anular yIf(;J - g(x).
Para verificarmos se a, raiz da equação (2), também é raiz da equação
(1) podemos proceder de dois modos:
19) verificando na equação proposta, isto é, substituindo x por a em
(1) e notando se aparece uma igualdade verdadeira;
20G-A
b) Antes de Quadrarmos esta equação é conveniente isolarmos a raiz em um dos
membros. Assim, temos:
V x2 + 5x + 1 + 1 - 2x = ~~~ - 2x - 1 =
-> x2 + 5x + 1 _ 12x - 1)2 => x2 + 5x + 1 _ 4x2 - 4x + 1 =
:::::> 3x 2 - 9x = O ==> x o;;: O ou x"'" 3
x - O não é solução pois, vo"2-+-5-'-0-+-1 + 1 * 2 • O
x - 3 é solução pois, ~~-5 • 3 + 1 + 1 - 2 • 3
Para verificar se x == O ou x == 3 são ou não soluções da equação proposta podemos
utilizar o segundo processo, como segue:
qlxl - 2x - 1
9(0) - -1 < O = x = O não é solução
gl31 c. 5 > O ==> x _ 3 é solução.
207-A
A.348 (MAPOFEI-74) Resolver a equação~ - x = O.
A.349 (MAPOFEI-75) Verificar se existem números reais x tais que 2 - x =~
Justificar a resposta.
Soluções
a) Fazendo .,;;; = Y e x3 = y2. temos:
y2 _ 3y + 2 = O => y = 1 ou y = 2
mas y =.,;;;, logo
R = 1 ==> x3 = 1 ==> x = 1
R = 2 ==> x3 = 4 ==> x = .v4
5 = {1. ~}
b) Fazendo ~ = Y e .,;;= y2. temos
12y2 + y - 1 = O => y = 2" ou y = -1
Agora calculemos x:
y = -1 => \f; = -1 ==> x ~ IR
y = t =>~ = t ==> x = 116
5 = {..!...}
16
5 = {-2, -1}.
b)~+~=l
d)~-~=l
f) ~+~=14
x = 4 é solução pois
V2 • 4 + 1 + Y2. 4 - 4 = 5
5 = {4}
A.356 Resolver as equações:
a) ~=2+yÇ
cl~-~=l
e)~-~=l
A.356 Resolver a equação
~+~=5
Solução
A equação proposta é equivalente a
x2 + 3x + 4 - Y x2 + 3x + 6 = O => x2 + 3x + 6 - Y x2 + 3x + 6 - 2 = O
Fazendo Y x2 + 3x + 6 = y, temos
y2 _ Y _ 2 = O => y = 2 ou y = -1
y = -1, não convém, pois, y = Y~x-:-2-+-3-x-+-6-;;' O
Para y = 2, temos:
V x2 + 3x + 6 = 2 ==> x2 + 3x + 6 = 22 => x2 + 3x + 2 = O =>
~ x = -2 ou x = -1
Solução
Antes de elevarmos ao quadrado, devemos transpor uma das ra(zes para o outro
membro. Assim, temos:
~+~=5=>~=5-~
=> (~12 = (5 _~)2 ==>2x + 1 = 25 _10~ + 2x - 4==>
~ 1O~ = 20 =>~ = 2 => 2x - 4 = 22 ==> x = 4
A.353 Resolver as equações:
a) 3x2 + 5x + 4 = 2 Y 3x2 + 5x + 7
b) x2 + Y x2 - 4x - 1 = 4x + 7
cl x2 - x + 3 = 5 Y x2 - x - 3
di x2 + 4 Y x2 - 2x - 6 = 2x + 3
A.354 Resolver em IR ... a equação
xJX .J:X
A.352 Resolver a equação
Vx2 + 3x + 6 - 3x = x2 + 4
b) 9x + 12yÇ - 5 = O
d) x - 2yÇ - 2 = O
f) x3 + 7..[';.3 - 8 = O
h) yÇ - \f; - 6 = O
j) 9W -8R - 1 = O
b) ~ + 2 yÇ - 1 = O
b)~=3
d) V 2x2 - 7x + 6 = 2
f) ../16 ... v;+4 = 5
h) V 5x + 10 = 17 - 4x
j) x - V25 - x2 = 1
I) Y x2 + x - 1 = 2 - x
n) V x4 + 2x2 - x + 1 = 1 - x2
p) ) 2x + V 6x2 + 1 = x + 1
A.351 Resolver as equações:
a) x - 5yÇ + 6 = O
c) 6x + 7yÇ + 2 = O
e) x 3 - 6R + 5 = O
g)\f;-yÇ+2=0
j) 3~ - 2yÇ - 1 = O
A.360 Resolver as equações:
a) x 3 - 3R + 2 = O
A.347 Resolver as equações irracionais:
a)~=4
c) V x2 - 5x + 13 = 3
e) Y 3x2 - 7x + 4 = 2
g) .j5+~=3
j) x + V25 - x2 = 7
k) 2 - x - 2~= O
ml V 9x2 + 2x - 3 + 2 = 3x
o) )1-~ = x-l
209-A
208-A
Solução
Multiplicando os termos da primeira tração por x - Y2 - x2 e os da segunda por
x+~. temos:
A.357 Resolver as equações:
a).J;+ 1=~
cl~-~=3
e) y;;-:;:-; - 1 =~~
gl .J 1 + x + x2 + .J 1 - x + x2 = 4
b)~+~=4
dl~-~=2
fi yÇ - .Jx -~ = 1
A.362 Resolver a equação:
2
x+~· +
2
x-~
= x
A.358 Resolver as equações:
ai~ -~ = .J4x - 23
bl .,J;04 + 2 y;;-:;:-; =~
cl v;-:;:5 =~ - v;.
d)~+~=~
el~-~=~
A.359 Resolver a equação:
~+~=Y;-;S+~
2Ix-~1 + 2Ix+~1
2x2 _ 2 2x2 _ 2 o;; x =>
x-Y27 x+..[27
=> 2 + 2 =x=>2x=xlx2 -11=>x 3 -3x=0=>
x-1 x-1
xlx2 - 3) = O => x = O ou x = Y3 ou x = -Y3
x = Y3 ou x = -V3 não são soluções pois devemos ter 2 - x2 > O para que
seja real a expressão ~. Somente x = O é solução e isto pode ser verificado
facilmente, substituindo x por zero na equação proposta.
S = {O}.
A.364 IMAPOFE 1-76) Resolver a equação
Solução
~+~=~+v;::1õ=>
=>(~ +~12= l..;;:s +~)2 =>
=> x _ 2 + x _ 7 + 2.Jx2 - 9x + 14 = x + 5 + x - 10 + 2.J x2 - 5x - 50
=> 2.Jx2 - 9x + 14 = 4 + 2.J x2 - 5x - 50 =>
=>.J x2 - 9x + 14 = 2 +.J i - 5x - 50 =>
=> 60 _ 4x = 4.J x2 - 5x - 50 => 15 - x = .J x2 - 5x - 50 =>
=> 225 _ 30x + x2 = x2 - 5x - 50 => -25x = -275 => x = 11
x = 11 é solução pois
-J11=2 + v'11--=-7 =~ +~
S = {11}
A.363 Resolver as equações:
ai 1
.Jx+~
+
.J21x2 + 11
2
A.360 Resolver as equações:
a)~ + .J3x"+"2 - V2x"+"5 = V3x
b)~.Jx-10=~+~
cl~+~=~-~
d)~-~=~-~
A.367 Sendo a e b números reais, resolver a equação:
~ +~ = .Ja + b - 2x
A.365 Resolver a equação
A.366 Resolver a equação
+x-~
1 + x + .J2x + x2
.J4x + 20di -'----c=_
4 + ..;;;
A.361 Resolver as equações:
ai x + .J x2 + 16 = 40
.J x2 + 16
cI~+~= 12
~
210-A
211-A
A.36B Sendo a E IR:. resolver a equação:
~ 5a22x + 2 V a2 + x2 ~ ~
Va2 + x2
A.369 Sendo a e b números reais não negativos, resolver e discutir a equação:
~=v;.+Vb
233. Equação .çf f(x) = g(x)
Façamos agora o estudo da equação do tipo .çf f(x) = g(x).
Vamos mostrar que ao elevarmos esta equação ao cubo não introduzimos
ra ízes estranhas, isto é, obtemos uma equação equ ivalente.
.çf f(x) = g(x) <= f(x) = [g(xIP.
A.371 Sendo 8 e b números reais não nulos, resolver a equação:
V8 2 + x'J b2 + x2 - a2 = x - a
A.370 Sabendo que a e b são números reais e positivos. resolver as equações:
ai~+~ =Vb
~-~
b)";;+~ = A
Vb+V;;-::-;; b
ou
V':..,~8~+~x~+_v~:=a=-=x=­cl -~-~
b
a
De fato, considerando estas duas equações, temos:
\! f(x) = g(x) e f(x) = [g(x)]3
.çf f(x) - g(x) = O (1) e f(x) - [g(x)]3 = O (2).
Observemos em (2) que:
f(x) - [g(x)p = [.çf f(x) - g(x)]. [(.çf f(X))2 + g(x) • .çf f(x) + (g(x))2] = O.
Como o fator (<<f1;())2 + g(x) • .çf f(x) + (g(X))2 é sempre positivo pois
(.çff(X))2 + g(x) • .çff(x) + (g(X))2 = [.çff(x) + g(x) F + 3· [g(x)p
2 4
resulta que o fator .çf f(x) - g(x) é nulo e a equação (2) tem sempre as mesmas
soluções da equação (1), isto é, (1) e (2) são equivalentes.
Solução
3~ 3
ai V 2x + 1 = 3~ 2x + 1 = 3 = x = 13
S = {13}
b) .çf4x2 + 9x + 1 = x + 1= 4x2 + 9x + 1 = Ix + 1)3=
= 4x2 + 9x + 1 = x3 + 3x2 + 3x + 1= x3 _ x2 - 6x = O~
=- xlx2 - x - 61 = 0= x = O ou x = 3 ou x = -2
S = {O. 3. -2}.
A.372 Resolver os sistemas de equações:
a) { xy = 36v;.+V;=5
b) { ...,r; - V; = 2.J;Y
x + y = 20
A+jf= ;
x + Y = 10
x+y-";;;=7
x2 + y2 + xy = 133
EXERCICIOS
A.374 Resolver as equações:
a)~=3 bl .çf4x2+ 9x + 1 = x + 1
~ + V2x + 4y = 4 + V2
~ _ V'2x + 2y = 2v'2 - 2
212-A
A.375 Resolver as equações:
al.çf3x-5=1
c) ~=-3
e) ~ 3x2 - 7x - 5 = 1
g)~ = 2x + 1
il ~ 2x2 + 3x - 1 = 2x - 1
b)~=2
d) ~ x2 - x - 4 = 2
f) .çf x2 - 8x + 40 = 3
h)~ = 2x -1
j) ~8 + 15x - 5x2 - 3x3 = x + 2
213-A
A.376 Resolver a equação 3~4 .3; 22V x· - 3v x - 20 = O APÊNDICE 11
A;377 Resolver a equação {I x + 49 - {I x - 49 = 2
Solução
{I x + 49 - {I x - 49 = 2 = {I x + 49 = 2 + {I x - 49 => ({I x + 49)3 =
= (2 + {I x - 491 3 = x + 49 = 8 +3~ + 3( {I x - 491 2 + x - 49 ==
=>3({lx - 491 2 +3~ - 90 = 0= ({Ix - 49)2 +~- 15 = O.
Fazendo {I x - 49 = y, temos:
y2 + Y _ 15 = O == y = 3 ou y = -5 mas, y = {I x - 49, então
{I x - 49 = 3 == x - 49 = 33 == x = 76
{Ix - 49 = -5== x - 49 = (_51 3 = x = -76
S = {76, -76}.
INEQUAÇÕES IRRACIONAIS
234. Inequação irracional é uma inequação em que há incógnita sob um ou
mais radicais.
Exemplos
vx+2 > 3, Y x2 - 3x + 4 > x, v'X+1 +~ > 2.
Observemos inicialmente que se a e b são números reais não
negativos
então
A.378 Resolver a equação .çr,;-:;:-; -~ = 1.
A.379 Resolver a equação ~ +~ =~.
a> b _ a2 > b2
a < b _ a2 < b2
Assim, por exemplo, são verdadeiras as implicações
s = {O V5 _V5}
, 2' 2
= 4 < 25
=>3>2
=>2<3
-3 < -2 ~ 9 < 4
2> -5 ~ 4 > 25
2> -3 ~ 4 > 9
2<5
V3>v'2
4<9
mas são falsas as impl icações
235. Teorema
Se f(x);;' O e g(x);;' O em um conjunto de valores x pertencentes
a A C IR, então são equivalentes as inequações f(x) > g(x) e [f(x)]2 > [g(x)]2.
~=1-~.A.380 Resolver a equação
A.381 Resolver a equação
Solução
Para resolvermos esta equação vamos utilizar a identidade
IA + B)3 = A3 + B3 + 3ABIA + B).
Fazendo A =~, B =~ e A + B =~, temos:
1{!5x)3 = 1~13 + (~)3 + 3.çr,;-:;:-; .~.~-
~x + 1 + x -1 + 3{15x3 - 5x = 5x=>{l5x3 - 5x = x=>5x3 - 5x = x3 ==
v'5 v'5~ 4x3 _ 5x = O == xl4x2 - 5) = O == x = O ou x = -2- ou x = - -2-
A.382 Resolver a equação:
A.383 Resolver a equação:
Demonstração
Seja SI o conjunto das soluções da inequação f(x) > g(x)
conjunto das soluções da inequação [f(X)]2> [g(x)]2, isto é,
SI = {x E A I f(x) > g(x)}
A.384 Resolver a equação:
{
X+ Y =72
A.385 Reso Iver o sistema de equações: .3/ 3/
vx+Vy=6
e
S2 = {x E A I [f(x)]2 > [g(x)]2}
Para provarmos que as inequações f(x) > g(x) e [f(x)]2 > [g(x)]2
são equivalentes, basta provarmos que SI = S2'
214-A 215-A
Esquematicamente, temos:
As condições (I) e (11) podem ser agrupadas da seguinte forma
O ,;; f(x) < [g(x)]2 e g(x) > O
Acabamos de provar que S, C S2' provemos agora que S2 C S"
Para todo Q de S2' temos:
x ~-1 I1I
e
x ~- 5 111)
2
e
x ~-2 ou x?2 (1111
(I)
b) ~';;x + 1
{
x2 _ 3x ~ O
=> O ,;; x2 - 3x < 4 => p.
x 2 _ 3x < 4
-1
11) ..OI++II++III++II++II++III++II++II++III++II+++IIIIH+++++++++HH++HHf++- x
5
~! ',',I',',',',',','llil\\!ii\I',',',',',',',I,',',',',',',',',',',',',',\',',',',',',',\!,I',',',',',',!!,'\\1\\~ x(11)
-2
(111) 111111111111111111111 ~
e
2x + 5 ,;; (x + 1)2
x + 1 ;;;, O
e
2x + 5 ;;;, O
x
2
_ 3x ~ O { x < O ou x ~ 3
e => e
x2 _ 3x - 4 < O -1 < x < 4 (11)
O 3
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII~ 01111111111111111111111111- x(I)
-1 4
_____---<011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110)---__ x(li)
2
.-------ofttItlHIHtHte- x
2
(I) n(111 n(lll) ---<oIoftIIIHIIIIIIIIIII ... x
S = {x E IR I x ~ 2}
(I) n (11) ---<of++I+Il+\ijl~lo---------<.oI+l++IIIIttII++IIH1III:--- ....._ x
-1 O 3 4
O ou 3';; x < 4}s = {x E IR 1-1 < x <
={
-{
b)~ ,;; x + 1 =>
a)~<2
Soluções
A.386 Resolver as inequações irracionais
a) VT3x <2
EXERCICIOS
inequações
=> f(a) - g(a) > O => fIa) > g(a) => a E SI'
{
a E S2 => [f(a)]2 > [g(a)]2 => [f(a)]2 - [g(a)]2 > O =>}
=> [f(a) + g(a)] • [fIa) - g(a)] > O
=> e
a E A => fIa) ~ O e g(a) ~ O => fIa) + g(a) ;;;, O
f(x) ;;;, O e g(x) > O (I)
2?) Quadramos a inequação proposta e resolvemos
f(x) < [g(x)j2 (11)
o processo para resolvermos esta inequação é:
1?) Estabelecemos o domínio de validade, isto é;
Vejamos agora processos para resolvermos alguns tipos de
irracionais.
De fato, para todo a de S" temos:
. { fIa) - g(a) > O}
a E S, C A => f(a) > g(a) > O => e =
fIa) + g(a) > O
=> [f(a) - g(a)]· [f(a) + g(a)] > O=> [f(a)j2 - Ig(a)]2 > O=>
=> If(a)]2 > Ig(a)]2 => a E S2.
a E S2 C A
236, Inequação Irracional YfW < g(x)
..; f(x} < g(x) """" O < f(x} < [g(x}f e g(x) > O
Analogamente, podemos estabelecer para a inequação YfW';; g(x)
..; f(x} < g(X} <=> O < f(x} < [g(x}j2 e g(x);;;' O
A.387 Resolver as inequações:
al~<2
bl ~5 ';;3
cI ..; x2 - x - 2 < 2
di ..; 3x 2 - 5x + 2 ,;; 2
e) ..; 2x 2 + x + 3 < 1
216-A 217-A
A.388 Resolver as inequações:
a)~';;;x
c) v'"2x""+9 < x - 3
el ~<3-x
g) V x2 - 3x + 3 < 2x - 1
i) 1 + V x2 - 3x + 2 ,;;; 2x
b)~<x-1
dl~';;;x+1
f) V 2x2 - x - 6 ,;;; x
h I V 2x2 - 5x - 3 < x + 3
EXERCíCIOS
A.389 Resolver as inequações:
a) v'3x-=5 ;;:. 2 b) V3x2 - 7x + 2 > -4
Solução
a) V"3x""-=5;;:. 2 => 3x - 5 ;;:. 22 => x ;;:. 3
S = {x E IR I x ;;:. 3}
cl~>X-2
237. Inequação' irracional Vf(Xj > g(x)
o processo para resolução desta inequação consiste em duas partes, que são
TI? Parte
bl V 3x2 - 7x + 2 > -4 ==> 3x2 - 7x + 2 ;;:. O ==> x < 1 ou x > 2
3
S = {x E IR I x < .!. ou x> 2}
3
x;;:. 1
2
(111 )
(IV)
1
"2
.,11111111111111111111111111111111111111" X
2x - 1 ;;:. O e x - 2 < O (I)
ou
2x - 1 > (x - 2)2 e x - 2 ;;:. O (11)
e
x <2
(111)
c) ~>x-2 === {
Resolvendo (I), temos:
{
2x : 1 ;;:. O {
x - 2 <O =
b) Quadramos a inequação proposta recaindo em
f(x) > [g(x)j2 (11)
2'! Parte
a) Estabelecemos o domínio de validade da inequação, isto é:
f(x) ;;:. O e g(x);;:' O (I)
g(x) < O e f(x);;:' O
pois sendo g(x) < O e f(x);;:' O, a inequação Vf(Xj > g(x) está satisfeita.
As condições (I) e (11) podem ser agrupadas da seguinte forma
f(x) > [g(x)j2 e g(x);;:' O
Esquematicamente, temos:
2
(IV) 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 ...
1
"2 2
(111) n (IV) .. ,11111111111111",
SI = {x E IR 1 .!.. ,;;; x < 2}
2
.. x
.. x
1 5
(VI-OIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1111111110
{
f(x) ;;:. O e g(xl < O
v'fW > g(xl === ou
f(x) > [g(xlj2 e g(xl;;:. O
Resolvendo (11), temos:
{
2x - 1 : (x _ 2)2 = {
x - 2 ;;:. O
x
2
_ 6x + 5 < O
e ===
x - 2 ;;:. O
(V)
(VI)
.. x
S = SI U S2 = {x E IR I .!.. ,;;; x < 5}
2
2 5
(V) n (vI) ---------<.IHI#II++IIII+'II~II#II++IIII+'II~II#II++III~II~II#II++IIIft:[l>---------1._ X
S2 = {x E IR 12 ,;;; x < 5}
A solução da inequação proposta ~ dada por:
Analogamente, para a inequação Yf(Xj;;:. g(x). temos:
{
tlxl ;;:. O e g(x) < O
v!flXi ;;:. g(x) == ou
f(x) ;;:. [g(x)F e g(xl;;:. O
(VI)
2
.. 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111,. x
218-A 219-A
o
(IV) () (V) 11111111111111111111111111111111111111110
~ = {x E IR Ix < O}
A.390 Resolver as inequações:
a)~>5
c) ~>-2
e) ..;x2-2x + 7 :;;" 3
g) v' 5 + 5x - 2x2 :;;" 3
b)~:;;"1
d) v' 4x2 - 13x + 7 > 2
f) v' 4 - 19x - 5x2 :;;" -3
(IV)
(VI
o
1111111111111111111111111111111111111110
3
11111111111111111111111111111111111111111111111111111I11111111111111111111110
.. x
.. x
.. x
A solução da inequação proposta 11 dada por:
S = SI U S2 = {x E IR I x < O ou 2. ,;;; x ,;;; 3}
4
A.391 Resolver as inequações
a I v'3x""--=-2 > x
c) ~:;;"1-x
e) v' x2 - 6x + 5 > x - 2
g)~:;;"x+2
I) v'2+x-x2 >x-4
b)~:;;"x
d) v' 6x2 + x - 1 > 2x + 1
f) v' x2 + 4x - 4 :;;" 2x - 2
h) v' 4x2 - 5x + 2 :;;" x - 2
j) v' 2 + 3x - 2x2 > x - 2
A.393 Resolver as inequações
a) v'5x""+3 <v'2
x
b) v' 24 - 2x - x2 < 1
x
A.392 Resolver a inequação
c) v;:+2 :;;" 1
x
d) v' _x2 + 7x - 6 :;;" 1
x
Solução
Para resolvermos esta inequação, devemos multiplicar ambos os membros por x,
não esquecendo que dependendo do sinal de x, o sentido da desigualdade será
mantido ou invertido.
238. Inequação Irracional v'f1Xi" > YQiXl
o processo de resolução desta inequação é
1~ Possibil idade x > O (I) 19) Estabelecermos o domínio de validade da inequação, isto é,
~./ .~./ 2
--- """ 2 ==> v 3 - x """ 2x ==> O ,;;; 3 - x ,;;; 4x ==>
x
f(x) :;;" O e g(x):;;" O (I )
O
~IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII" x f(x) > g(x) :;;" O
As condições (I) e (11) podem ser agrupadas da seguinte forma
f(x) > g(x) (11)
Quadramos a inequação proposta recaindo em2?)
(111)
(11 )
x:;;" 3
4
={
v' f(x! > v' g(x! => f(x! > g(x! :;;" O
Esquematicamente, temos:.. x
..
(11) 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111~
3
-1 4
1111111111111111111111111110 0111111111111111111111111111111111111111111111111.. x
3
"4 3
0111111111111111111111111110
(111)
(I) () (11) () (/11)
2a Possibilidade x < O (IV)
De modo análogo, para a inequação
v'fTx1 :;;" v'9lXl, temos:
~./ .r.:--~
___ :::::::::2~V3-x::?2x
x
(2x <O)
= 3-x:;;"O==>x';;;j (V) v' f(x) :;;" ..J g(x) ==> f(x) :;;" g(x) :;;" O
220-A 221-A
EXERC(CIOS
A.394 Resolver a inequação
Y'2-x""2-_-X-_- >Vx2 - 4x + 3
Solução
V 2x2 - x - 1 > V x2 - 4x + 3 == 2x2 - x - 1 > x2 - 4x + 3 ;;;, O =>
{
2x2 - x - 1 > x2 - 4x + 3 { x2 + 3x - 4 > O
===> e ==> e
x
2
- 4x + 3 ;;;, O x2 - 4x + 3 ;;;, O
{x <-4 ou x> 1 (I)= e
x ... 1 ou x;;;'3 (11 )
-4(I) 11111111111111111:>
c) .,;a:-;. -...;;+1 > ~
2
d) V x2 + 3x + 2 < 1 + Y,...x....2-_-x-+=--
inequação proposta é:
4
.IIIIIIIIIIIIIUlIJIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIJlIIIIIIIIIIIIIIIIIII1111111111111111 .. x
65
1i11ll1ll1ll1l11ll11ll1f11ll11l1l1ll1l1l111111111111 111111111111111" x
65
li'11I1111111I1111111I1I11I1I1I1111111111111111111111111111111111111. x
(I)
(11 )
A solução da
a)~<1+~
b)~-~<3
s = {x E IR Ix > 65 }
16
(I) n (11)
Notemos que para os valores de x satisfazendo (I), ambos os membros da
inequação proposta são positivos, então podemos quadrá-Ia sem preocupações.
...;;+1 < 2 +~ == x + 1 < 4 + x - 4 + 4~=- 1 < 4~=
=~>...!...==x-4> ...!...=-x> 65 111)
4 16 16
A.399 Resolver as inequações:
3
1111111111.. x
3
1111111111... x
1
OI~IIII1III1I1I1II1I1III1IIIIIIIII1.. x
1
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111.
-4
111111111111111110--
(11)
(I) n(ll)
s = {x E fl Ix < -4 ou x;;;, 3}
A.395 Resolver as inequações:
a)~;;;'~
c) V 2x2 - 5x - 3 ...~
e) V2x2 - 10x + B >yr~""'2r-_-6-x-+-7
g) V 2 - 3x - x2 > V x2 - 5x + 4
b)~<~
d) V x2 - 7x + 17 ;;;, yrB=--+-2-x-_-x""'2
fl V _x2 + 5x - 6 < V 4x2 + 12x + 11
h) V x2 - 2x + 2 < V 2x2 - x + 4
A.400 Resolver a inequação:
V;-:;:S -...;;+1 >~
A.401 Resolver a inequação:
x + V x2 - 10x + 9 > V x + 2 V x2 - 1Ox + 9
A.396 Resolver as inequações:
a)V4-~>~
b)V2-~-~<O
A.397 Resolver as inequações:
a)~ "'VV5 + x
4
b) v;+B <v;;+2
A.398 Resolver a inequação:
...;;+1 <2+~
Solução
Estabelecemos inicialmente o domlnio de validade da inequação
222-A 223-A
RESPOSTAS
CAPITULO I
A.1 São proposições: a, b, c, d, e, f, 9
São verdadeiras: a, d, e, 9
A.2 a) 3 • 7 =ft 21 (F) e) (..!...)7 > (..!..)3 (FI
2 2
bl 3( 11 - 7) = 5 (F) f) V2~ 1 (V)
c) 3'2+1";;4 (F) g) -(-4) < 7 (V)
d) 5'7-2>5'6 (V) h) 3%7 (V)
A.3 a) V b) V c) V d) F e) V
f) F g) F
A.4 a) V b) V c) V d) V e) V
f) F g) V
A.5 a) F b) V c) V d) V e) F
f) V g) V h) V
A.7 a) (3 <)(x2 - 5x + 4 = O) b) (\>'al((a + 1)(a - 1) = a2 - 1)
c)
13y)(*+:i..=ft .'!'..) d) (3m)(y';;;2 + 9 =ft m + 3)4 7
e) (\>, x)(+~) = x) f) (3a)(5a + 4 ,,;; 11)
(3x) rJ;.2 = x)
2
g) h) (3a)(~= a - 1)
a
A.S a) mde 12. 3) =ft 1 e mme 12, 3) ~ 6 b) ~ =ft ~ e 3'10~6'5
~ <1 5 10c) ou -3 <-7 d) 22 = 4 e Vi. =ft27
e) 1_3)2 = 9 e V9 ~-3 f) 2>5 e 32 > 52
g) (3<)(x > 2 e 3x ,,;; 32 h) I\>' <)(y'"; ~ O)
j) Existe um número inteiro primo e par
j) Existe um triângulo isósceles e não equilátero
k) Todo losango é Quadrado
I) Todo número tem raiz quadrada igual a zero
m) Existe um triângulo equiângulo e não equilátero.
A.9) a) F
f) F
k) F
b) F
g) F
Il F
c) V
h) V
m) F
d) F
i) V
e) F
j) V
225-A
00
cl {b}
f) '~a, c, e, f, g}
d) V
E ~ {2, 3, 4, 5}
c) F di V
B: {e, x, r, c, i, o}
b) {e, f, g}
e) {a, b, c}
c) F
b) V
b) V
a, b, d, f
332 e 83
nA U B U C = nA + nB + nC - nA n B - nB n C - nC nA + nA n B n C
a) 500 bl 61 cI 257 d) 84
A : {p, q, r, 5, t} B: {r, 5, x, z} C: {5, t, U, v, x}
a) 560 b) 280
ai {a, b, e, f, g}
fi
a, c, d, 9, h, i
D(6) ~ t±l, ±2, ±3, ±6} D(-18) : {±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18}
D(-24) n D(161 : {±1, ±2, ±4, ±8} M(41 : {O, ±4, ±8, ±12, ... }
M(101 : {O, ±10, ±20, ±30, ... } MI-9) n M(6) : {O, ±18, ±36, ±54, ... }
12,0,-1,1 e 49
a) não, pois 1 E D(a) n Dlb)
b) m é um máximo divisor comum de a e b: mdc(a, b) = ±m
c) a e b são primos entre si: mdc(a, bl : ± 1
di quando a I b
e) Quando a e b são primos entre si
fi n é um m(nimo múltiplo comum de a e b: mmc la, b) : ± n
a) ±1, bl ±2 c) ±3 d) ±6, e) ±f2 f) ±42
a, b, e, f, h, k, Q
2 4 8 32 271 e 602
"5' "9' 25' 99' 50 111
A.50
A.42
A.44
A,45
A.46
A.47
A.48
A.49
A.55
A.56
A.57
A.53
A,54
A.34 ai {a, b}
d) {a, b}
A.36 a) V
A.37 X ~ {1, 3. 5}
A.40 ai V
A.41 A: {6, -1},
C ~ {3, -3, 5},
A.51
A.52
CAPitULO 111
e) F
j) F
e A n B n C: {c}
el V fi V
e) Q f) P
d) F
il V
B n C : {c}
di V
d) Q
cl F
h) V
bl F
gl V
A ~ {x I x é divisor de 6}
B ~ {x Ix é múltiplo inteiro e positivo de la}
C : {x I x é quadrado de um inteiro}
D : {x I x é satélite natural da Terra}
D : {3}
B: (3
(A) : {(3, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, te. d},
{a, b, c} {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, A}
A U B : {a, b, c, d}, A U C : {a, b, c, e},
B U C = te. d, e}, A U B U C : {a, b, c, d, e}
a) V b) F cl F d) V el V fi V
círculo de centro O e raio 2r
plano C<
A n B = {b, c, d}, A n C: {c},
ai V b) F cl F
a) L b) R c) Q
X = {a, c. e}
todas
a) V
fi V
A.12 ai {-9, -6, -3, O, 3, 6, 9}
bl {±1, ±2, ±3. ±6, ±7, ±14, ±21, ±42}
cl {+' ~, f, 1}
di {O}
e) {cuiabá, goiânia}
A.13
A.14
A.15
A.18
A.19
CAPfTULO 11
A.20
A.21
A.22
A.24
A.25
A,26
A.27
A,29
A.30
A.32
A.33
226-A 227-A
011111111111111111111111111111111111111111111'"
~~
I
I
1
1
I
1
1
)
1
1
A x B = {(I, -2), (I, 1), (3, -21, (3, 1), (4, -21, (4, 1)}
B X A = 11-2, li, (-2, 3), (-2, 41, (I, li, 11, 3), 11, 4)}
A X C = til, -1), lI, OI, 11,2),13, -1), (3, O), (3,21,14, -li, (4, O), (4, 21}
C X A = :(-1, lI, (-1,31, (-1,41, lO, 1), lO, 31, (0,41, (2, li, (2, 3), (2, 4}
B2 = {(-2, -21, 1-2, 11, 11, -2), (I, I)}
C2 = ,1-1, -1), (-I, O), (-1,2), (O, -1), (O, O), lO, 21, (2, -1), (2, Dl. (2, 21}
a b) cl
A.93 aI
bl
cl
d)
e)
f)
C: 1111111",,',I',',',',',',IIIII',',IIII',',',',',II',le
-1 O
D: 11111 11 11 11111 1IIIIo>---------_eIl1II1I1tIlIl1I1I11t1111111111t1l1l111111t1l1l111111t1l1l11111I+1l11111111t1l.....
1 2
A.66 A:-----------..IIIItIIIl1IIII1tIlIl1I1II1tIlIl1II1I1t"..---------....
O 3
B: ----------<0111111111111111111111111111111111111111111111111111111:l)------...
A.5S2<..!..! <~<.!!!..<~< 1
3 12 16 19 48
.2.-
A.60 -2 -1 O 1 2 2
1 I 1 I , 1 I , I I •
3
_1 .l- ~ .1.
2 4 3 3 3
A.61 a, b, c, f, 9, h, i
A.67 [-1,3] = {x E IR l-I .;; x';; 3}
[O, 2[ = {x E IR I O .;; x < 2}
]-3; 4[ = {x E IR I -3 < x < 4}
]-00, 5[ = {x E IR I x < 5}
[1, +00( = {x E IR I x ;;. 1}
A. 69 a) [1,2] bl]l,2] c)]O,~[dl[0,2] el[-1,2[ 0[1,2]
5
A.70 aI [-1, 4] bl [-I, 5] cl ]-2, 5[ d)]- %' O[
A.71 C: [O, 1] U 13, 5[
dI 1 I
I I
. 1
1
eI
1
1
I
1
1
CAP('rULO IV
A.91 A(4, 2), B(-4, 6), C(-5, -3), D(4, -51, E(O, 41, F(-3, O), GIO, -61, H(5, OI, I{O, O
A.94 a I
2
1
cl
1
A.92
i-i-+-+-l-+-+-+-+-+-+--+. .-1-
_l_I-
f---Cf---t-+ f-+- -
- t- - +-f-+-+-l-+-~
dI
r-
I
el
1
f)
1
,
~
I I
228-A 229-A
y
I- ,-1-1
1
c) T = {1-2, -21. 1-2,2),1-1, -11, 1-1, 1), 11, -1), 11, 11, 12, -21. 12, 2)}4 Y
3
2
1 x
cl) 4 y
3
2
1 I"
1 4
b4 y
1 x
1 34
A.95 a)
A.98 A2 ~ {(-2, -21, 1-2, Dl. 1-2. 11, (-2, 3), 10, -21. lO, OI, (O, 1), (O, 3), 11, -2),
(1, 01,11,11,11,31, (3, -21, (3, 0),13,11,13, 2)}
A.99 A X B ~ {(-1, -11, (-1, OI, (-1, 2), (-1, 5), lO, -11, (O, O), (O, 21, (O, 5),12,-11
(2, O), 12,21, (2, 5)}
y
H-1--1 x
1
I
I
y
rI- 1-1 x
1
i
I
y
1
1
di V = {1-1, 4), (O, 3), (O, 4), 11, 21, 11, 31. (1, 41. 12, 11, 12, 2), (2, 3), 12, 41}
e) W = ;1-2, -31,1-2, -11,1-1, -2), lO, -11, 10,11. 11,2),12,11,12, 3)}
A.101 R = {12, 21, 12, 4),12,61,14,2),14,6),16,21,16, 4)}
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
l
y
f-+--1-1 x
1
I
I
I
b) S = ;1-2,41.12,4).1-1.1),11, 11}
A.100al R = {1-2, 4),1-1,3), 10,2),11, 11}
!Y
I
1 x
1
'I I
A.102
!-'y
r-
-
1 x
230-A
231-A
A.l03 ,
5
4
3
2
1
5 ·4 3 2 1 1 2 3 4 5
2
I o
A.1OS ai
, - - fY. C· .-1-- _. I-t-
I- - -- . l-r-
1-1-. 3
1-1- 2
_. I x
8 2 4t-=H1 I
r- .-2 I I
I I
bl
-I-Yr-
I-I-+- 1
1
- r- I-x-
I I
1
lv
1-1
"
A.l04al D = {I, 2} e Im= {I, 3, 4}
bl D = {-2, -1, 3, 2} e Im = {-7, 4, I}
c) D = {2, 1, 5} e Im = {I, -3, v'2}
di D = {I + 0, 1 - v'3} e Im = {O, l}
e) D={3, t, %} e Im={t,-l,O}
A.l05a) DIR)={-2,-1,O,l}e Im(R)={l,2,3,4}
bl DISI = {-2, -1, 1, 2} e Im (5) = {I, 4}
cl D(T) = {-2, -1, I, 2} e Im (TI = {-2, -1, I, 2.}
d) DIVI = {-I, 0,1, 2} e Im IV) = {1, 2, 3, 4}
el DIW) = {-2, -1, O, I, 2} e Im (WI = {-3, -2, -1,1,2, 3}
A.ll16al R = {(O, OI, (1, -1), (1, 1), (4, -2),14, 21}
b) DIR) = {O, I, 4} e Im IRI = {-2, -I, O, I, 2}
c)
c) Rns=0
A.l09 ai R-I = {12. 1). 11, 31, 13,21}
bl R-I ,(-1,1),1-1,21, 1-1,31, (1, -21}
c) R-I = {(-2, -31, 13, li, 1-3, -21,11, 31}
A.ll0al R= R-I = {IO,SI, 11,7), 12,6)'13,51, (4,41, (5,3), (6,2)'17, 11, IS,OI}
bl R= {lO, 51,12,41, (4,3)'16,2), IS, 1), (10,OI}
R-I = {15, 01,14,2), 13,41,12,61, 11, S), la, 101}
cl R = {lO, 101, 11,51, (2,2), 13, 1), (4,21,15,51,16,10)}
R-I = {11 O, O), 15, 1), (2,2), 11, 3), (2,41, 15, 5), (10,61 }
di R= {Ia, 11, 11,2),12,4I,13,SI}
R-I = {lI, 01,12,11, (4,21, (S, 31}
cl D(RI = {x E IR I 2 ,;;;; x';;;; 6} e Im IR) = {y E IR I 1 ,;;;; V';;;; 3}
f--
A.l07 ai
Y I
A x B
1-1
x
1
b)
V
R
1-1
x
1
I
A.lll ai I I
-+t·- - rt+f-+-+--H- I- -+-1- --- I-
1-- - -j- -f-- -----+----~------:..-+---t-
I " IR = R 1 I~
r."
I iX· I=p ~.1~2 j I', "f-+-+--+-+'+-r-.+++- I)" ,-
I , , 2 _ ._1. ,~__L .L_L _1.
bl ~ _. --s±H+-H
10 " I I I
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j--+ 11+ ,-lT T~ ll-j
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H-f o:; i~tt~'=rj-··t-Lit'f-':._-t .r-t-+-
2 + ... ·-t-t··· f--+--.-
11- 1-"1- 1-: ,--t-f-+-+;;-
1 2 5 I I i 10 i
232-A 233-A
CAPITULO V
b) fl- ~ ) = 1
7
dI f(Y4) = 1
fi 1(0,75) ~ 1
e Im ~ {1, 2, 3, 4}
e Im = {y E IR I -3 ,,;;; y ~ 2}
e Im = {y E IR I 1 ,,;;; y ,,;;; 5}
e Im = {y E IR I 1 ,,;;; y < 3}
e Im = {y E IR I -3 ,,;;; y ~ 5}
e Im = {-3, -2, -1, 0,1, 2}
A.119al f(3) ~ 1
c) f(Y2) = 1 + Vi.
e) flv'3 - 1) ~ v'3
A.121 x ~ -4
A.122 x = 2 ou x =3
A.123 a) D(fI = {O, 1, 2} e Im (f) ~ {-1, o,d
b) D(g) = {-1, O, 1, 2} e Im(g) = {1, 2}
c) D(h)={-1,O,1} e Im(h)~{-2}
d) D(k) ~ {-2, 0,1, 2} e Im (k) = {-2, -1, O, 2}
A.124ai Im = {-2, O, 2} b) Im = {y E IR
c) Im ~ {y E IR I y ~ 1 ou Y ;;. 2} dI Im = IR
e) Im = {y E IR I O ~ y ~ 2 ou y > 4}
f) Im ~ {y E IR I y ~ 1 }
A.125a) D = {-3, -2, -1, 0,1,2, 3}
b) D~{xEIRI-2~x~3}
c) D = {x E IR I -2 ~ x ~ 4}
d) D ~ {x E IR I -3 ~ x < 5}
e) D ~ {x E IR I -4 ,,;;; x ,,;;; 4}
f) D = {x E IR I -3 ,,;;; x < 3}
A.126 a) D(f) = IR
b) D(gl ~ IR - {-2}
c) D(h) = IR - {2, -2}
d) D(pl = {x E IR I x ;;. 1 }
e) D(q) = {x E IR I x > -1}
fi D(r) = {x E IR I x ;;. -2 e x i= 2}
gl D(s) = IR
h) D(t) ~ IR - {- ~}
il D(nl = IR _ {3} 2
A.127 Todas são iguais, pois são todas funções de IR em IR e associam cada número real
ao seu cubo.
A.128 Não são iguais, pois para x < O temos R i= x.
A.131 Não são iguaisi pois não têm o mesmo domrnio.
A.132 a) S = {x E IR I x >-4}
b) S = {x E IR I x";; -10}
c) S = {x E IR I x ;;. _ -3 }
4
A.129 Somente serão iguais se forem funções de A em IR onde A ol qualquer subcon-
junto de {x E IR I x ;;. 1 }.
A.130São iguais, pois jX2+1 =~ para -1 <x";;;O ou x>1.x -x ~
--~
y
5 ~C-- f----
,\v'
"- - f---
"-I -- .- ,
2 6
b) f(-3) ~ -11
fI f( l..1 não tem significado pois 3 d;Z2 2l"·
=JY - ~
6 - i": ---- -f-- -
"-'\~- f--- -
- r· I"-2 f-
-- f--- - ,
- ,
1
.. - - ~--
-
b) g:;Z -7 CO c) h: IR' -7 IR
x 1-4 2x 1x >-> -
x
bl f H) = 8 c) f( .!..) ~ 11
2 4
el fl..,..'3) = 7 - 3v'3 f) f(1 - V2) = 4 + Y2
J- ~"
L-L-,;L--+--+-+~+,Tti
+---1
I
-tH
f-i----l--!---'---+--i---L
6
±J-E
A.117 a) f(21 = 2
d) f(_.!..) ~ 46
3 9
A.118al f(2) ~ 4
c) flO) ~ -2
A,112 a) não define função de A em B, pois o elemento 2 E A não está associado a
nenhum elemento de B.
b) não define função de A em B, pois o elemento 1 E A está associado a dois
elementos de B.
c e d) define função de A em B, pois todo elemento de A está associado a
um único elemento de B.
A.113 somente (d) pois o conjunto de partida é A ~ {O, 1, 2} e o conjunto de chegada
é B = {-1, O, 1, 2}
A,114 a) ol função.
b) não ol função de IR em IR, pois qualquer reta vertical conduzida pelos pontos
(x, O), com x > O, encontra o gráfico da relação em dois pontos.
c) não é função de IR em IR, pois qualquer reta vertical conduzida pelos pontos
(x, O), com -1 < x < 1, não encontra o gráfico da relação.
d) ol função e) é função
f) não é função de IR em IR, pois a reta vertical conduzida pelo ponto (3, O)
encontra o gráfico da relação em mais que dois pontos e as retas verticais con-
duzidas pelos pontos (x, O), COm x i= 3, não encontram o gráfico da relação.
A.115a) f: IR -7 IR b) g: IR -7 IR el h: IR -7 IR
x 4 -x X ~ x3 x 1--+ x2 - 1
d) k: IR -7 IR
x >->2
A.116 a) f: CO -7 CO
X 4 -x + 1
234-A 235-A
A.134a) S = {x E IR I x ~3}
b) S = {x E IR I x> -3}
c) S = {x E IR I x ~ 7}
dI S = {x E IR I x < O}
a) S = 0
f) S = IR
A.l36 aI S = {x E IR I x> 1}
b) S = {x E IR I x < ..!.}
22
cI S = {x E IR I x > - -}
3
.CAPITULO VI
A.137 aI
v
(0,2)
x
c)
x
b)
dI
v
lO, Vi)
x
A.139
A.l40a)
bl
v;::2X\ I !VI
1"1 I \V -;iX
v' -X"" 1\
"'10...1 I'
,-x ~"I\\v= - ~2 x
~
I~I"
1"\ ~
1"\
1 \1\. r\
I'
v
x
J
v V
V
V
/
V
V x
1/
V
1/
I"
a)
fI
1\ V
1\ x
1\
1\
"
V
'"
"I"-
"
x
I"-
r\,
r\
lO. -3)
A.l38 Y.t I V-o LV
~=3>f VI
V x
IJV AX
IIJV n
- 2
u
~ x
VIA
t/
t/
V I1
I" V
10,01 x
cI
d)
V-
II
1/ x
I1
lv
x
g)
h)
, y
,
,
x
,
1\,
1\
\
I\.
,
x
,
236-A 237-A
A.142 a) S = {(3, 2)} b) S ~ {(-2, 4)} A.158 aI ~ el 6 x
c) S = {(2, -li} dI S = {(3, -21} 2 x
el S = )21 fI S = {(O, O)}
y ~ 3 - ~S~{(3,-1)} b) S = {(2, I)} + OA.143 aI
y = 2x + 3 O + 2
A. 145 aI y = 2x - 1 b) 1 - 3xy =
2
cl y = x - 5 d) y = 2
A.147 y = -3x - 2
A.148y = - .2'... - ..!- 9
2 2 2 -2' x
A.149y ~ 1...- x + 4 3 xbl f)2 x ~y = "3 + O +
A.150y=-.2'...-3 2
3 y = -3x+ 2 + O
A.151 a) x 1 bl x + 4Y = + y = - -3 3 2
c) 2x 1 d) y ~ 2x + 3y ~
3 3 2
A.152a) crescente para x E A I x";;-2 ou x ;;;. 1 3 x
decrescente para x E IR I -2 ..;; x ..;; 1 4 x g)
b) crescente para x E IR I -1 ..;; x";; O ou x ;;;. 1 c) 4
decrescente para x E IR I x ";;-1 ou O";;x";;l Y ~ 2x --"3 O +
c) xEIRlx";;o x>O y=4-x + Ocrescente para ou
A.154 aI crescente dI decrescente
b) decresce0te e) decrescente
c) crescente fI crescente
A.156 a) crescente para m >-2
decrescente para m <-2 O x
constante para m = -2
-5 x
bl crescente para m <4 dI h)
decrescente para m >4 Y = -x + O
constante para m=4 y =5 + x O +
cl crescente para m <-3
decrescente para m >-3
constante para m = -3
111 crescente para m >1
decrescente para m < 1
A.160x <3
constante para m = 1
A.157 aI f(x) = O $=O x = -5 ou x = -3 ou x = 2 ou x = 6 A.161 x > ~
f(x) > O $=O x <-5 -3 < x < 2 x>6 3ou ou
...!....f(x) < O $=O -5 < x <-3 ou 2<x<6 A.162 aI X#- b) x> ...!... c) V x E IR.5 ' 2
b) g(xl = O $=O x = -3 ou x = -1 ou x = 3 A.163 a) x >2
g(x) > O $=O -3 < x <-1 bl x;;;'O
g(x) < O $=O x < -3 ou x> -1 e x * 3 c) 11 x E IR
c) h(x) = O $=O x = -2 d) x <-2
h(xl > O $=O x * -2 el x";;3
238-A 239-A
( .....
I y c--~·- 1f--f-- -j ,
"'J ~II \ t-f-- -
. f--~l-r'
fiI-t-+-
I-+- -I
r- f--t-
f--I- j-
~~- - _. L_ __ L-L_ L-
_L-L-
bI y
~. +
~ --' \ I\ rr~- _. - - I
II ---f-+-
'.- t 'L~ -- t--r\. ,
t -'- t--
~ I _I _L-_.
- -- --- -
--
-
CAPITULO VII
A.175 aI
A.171 a) S = {x E IR I x < -2 ou x > _ J.. }
2
b) S = {x E IR / x < 2 ou x > ~}
3 2
c) S = {x E IR I - J... < x ~ 1.}
5 4
dI S = {x E IR I x ~ - %ou x > _ +}
A.172 aI s={xEIRlx<!- ou x>~}
8 3
b) S = {x E IR I x < -10 ou x> -~}
3
'c) S={xEIRI-2~x<-1}
d) S = {x E IR /1 ~ x < 2}
A.173a) s={xEIRI-~ <x<1. ou x>4}
4 2
bl S = 'Lx E IR I x < - ~ ou _l < x < - !-}
253
c) S = {x E IR I x ~ - ~ ou -.!. ~ x < ~}
5 4 4
d) S = [x E IR I 1. ~ x < 3 ou x > 5}
2
A.174 a) S = l x E IR I -3 < x < 4 ou x > 11 }
b) S = {x E IR I O < x < 1 ou x > 2}
c) s={xEIRI-4<x<-2}
d) s={xEIRlx<-~ ou -~ ~x<-~}
3 24 3
a) S = {x E IR I -~ < x < - ~ ou x> 1.}
4 G 4
f) S = {x E IR I x < 1 ou 1. < x < 2 ou x > 3}
2
,. I 1g) S = LX E IR -1 < x ~ O ou - < x < 1 ou x;;;. 3}
3
d) S = 0
f) S = {x E IR I x > 1}
x > ~}
5
x> 2}b) S = {x E IR I x < -~ ou
2
c) S = {x E IR I x < - 1. ou - 2 < x < 2 }
4 5
d) S = {x E IR I - ~ < x < .i ou x> 6}
3 3
a) S = {x E IR I x ~ - 2 ou x;;;...!.}
2 6
t) S = {x E IR I - 2 ~ x ~ ~}
7 2
g) S = {x E R I x ~ - 1. ou _..!. ~ x ~ ~}
5 4 2
h) S = {x E IR I J.. ~ x ~ ~ ou x;;;. 2 }
4 3 2
A.168 a) S = {x E IR I x =F 3}
b) S = {x E IR I x < -~}
3
c) S = 0
d) S = {x E IR I x < !-}
7
a) S = IR
f) S={xEIR Ix~-J...}
g) S = {_ ~ } 5
3
h) S = {x E IR I x ;;;. ~ }
3
A.170a)~ E IR I x;;;' t}
b) S = {x E IR I - ..!- < x < ~}
3 5
c) S = {x E IR I x ~ -6 ou x = J.. ou x = - ~ }
3 4
d) S = {x E IR I x ~ J... ou x = -3 }
5
A.164a) S={xEIRI- .!.<x<~}
3 3
. 1
c) S = tx E IR I - - < x< 1}
3
a) S = {x E IR I x < .!.}
3
A.165aI S = {x E IR I x <-3}
b) S = {x E IR I 3 ~ x ~ 6}
c) S = 0
d) S = {x E IR I -1 < x < 1 }
A.166 a) S = {x E IR I 1 < x ~ 4}
b) S = {x E IR I -3 < x ~ 1 }
c) S = 0
A.167 a) S = {x E IR I x <-1 ou
240-A 241-A
A, 176 f(xl = _2x2 + 3x + 1
A,177 aI x = 1 ou x = 2
b) x = 3 ou x = 4
cl x = 2 1ou x =
3
dI não existe x EIR
e) x = -2
f) x=-..!. ou x=2
2
gl x=I+V2ou x=I-V2
b) não existe x E IR
i) x = V2
2
jI x = -1 Ou x =V3
kl x = O ou x = 2
I) x =V2 ou x="V2
m) não existe x E IR
nl x = O
dI 29 el _ ~ ti 155
428
b} 4x2 + 4x - 3 = O
dI x2 - (1 - V2lx - V2 = o
1
m =
3
2
m =
5
bl xM = 2 e YM = 12
cl xm = 1 e Ym = O
dI 7 -9Xm = - e Ym = -4 16
el = ~ e - 3xM YM =2 4
ti 4 7xM = - e YM = -3 18
A.I84m = -1 ou
A.178 S = {(3, 41, (4, 3)}
A.180 aI x = 1 ou x = -1 ou x = 2 ou x = -2
bl x = 3 ou x = - 3
cl x = V3 ou x = - V3
d) x = V2 ou x = - V2
el não existe x E IR
ti não ex iste x E IR
gl x = O ou x = 2 ou x = -2
h) x = 2 ou x = -1
A.182 m > ~ em*" 1
16
A.183 m ~ 17 em*"-2
16
A.185m = -2 ou
A,186m <_ 13
12
A.187m<- 1
4
A.I89 a) ~. b) _1. cl-5
2 2
A.191 aI x2 + x - 6 = O
c) x2 - 5,4x + 2 = O
el x2 - 2x - 2 = O
A.192al a2 • 2 _ (b2 _ 2ac). + e2 = O
bl ex2 + bx + a = O
cl aex2 - (b2 - 2aclx + ae = O
dI a'.' + (b' - 3abel. + e' - O
A.193 m = -2 + Y6 ou m = -2 - Y6
A.194al xm -- -~ e Ym =- 254 8
A.I96 m = -2 ou m = 1
A.197 m =-1
A. 198 não existe m E IR
A,200x=2 e z=4
A.195m = 2
1\ v 11
\
1\ I, IJ
I'.. Li
x
v
Ir 1"'1
x
'\
\
v
x
Ir I,
dI
hl
f)
v
\
\
1\ J •
v
j
1\ 11
11
1\ I
IJ •
'-
v
•
Ir 1\
c)
el
g)
242-A 243-A
y
f-
1\
--
-f--
-H - f- -f-
f- I- ~ -c- lt
x
f- I--+- l~ I11
.J
y
.
-1, -1)
1/ "- t) f-i-I 1'\10,
/ 1\
1/ 1\
f)
h)
..!. x +
2
1.- x +
2
iT - - ,-,-----,.-- -,---,----,-['-y
I I 1\
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--I 1-1-~l ~\-
r-Ia, *1
I
R= ---'Ir- -- I\..:--tt - -- r---
l ) - I~, OI --f----j
:ij- f++ ---
l. _1 '_~
e)
g)
x
2
- 2x - 3 > O <=> x < -1 ou x > 3
x
2
- 2x - 3 = O <=> x = -1 ou x = 3
x
2
- 2x - 3 < O <=> -1 < x < 3
bl 4x 2 - 10x + 4 > O <=> x < 1 ou x > 2
2
4x 2 - 10x + 4 = O <=> x = 1 ou x = 2
2
4x2 - 10x + 4 < O<=>1.- < x < 2
2
1 >O<=>- 1 <x<1
2 2
1 = O <=> x = _ 1 ou x =
2 2
_x
2
+ -.!.. x + 1 < O <=> x < - -.!.. ou x > 1
222
A.215 ai
5 9
e) V( 4' -8)
f) V( 2. - ~ )
6' 36
y
\
\ x
b)
.!l.)
4
J....)
36
b) V( l
2'
e) V(-.!..
2 '
d) V(.!.. ~)
4' 16
A.208 a) Im = {y E IR I y ;;. - ~}
4
b) Im = {y E IR I y .;; 4}
e) Im = {y E IR I y ;;;;. _ l}
4
d) Im = {y E IR I y .;; 16}
e) Im = {y E IR I y .;; ~}
16
f) Im = {y E IR I y ;;. -.!..}
2
A.209 m = !Q.
3
A.210 m = v'1O ou m = - v'1O
A.214a)
A.201 quadrado de lado 5 em
A.2023 e 3
A.203 Retângulo de lados ~ e 5
8 2
A.204 Retângulo de lados 4 em e 3 em
A.20S Retângulo de lados 2 em e Y3em
A.206 Retângulo de lados 2 em e 3 em
A.207 a) V(Q, -41,
c)
f- f- f-Y I I[ I I I l_ I- I-(~ ~)- I- '-
4' 16
I, ,.....
1\ x_
d) y
f- I--
I1 1\ x
1/
I j
d) _3x2 + 6x - 3 = O <=> x = 1
_3x 2 + 6x - 3 < O <=> x =1= 1
el x2 - 3x + 9 > O <=> x =1= .l
4 2
x
2
_ 3x + ~ = O <=> x = 3
4 2
f) 3x2 - 4x + 2 > O, V x E IR
g) _x 2 + x - 1 < O, "Ix E IR
hl - 2. x2 _ x - 3 < O W x E R2 2' v '
244-A 245-A
Ii m <-2
f) 1<m<~
3
cl 0< m <4
e m *-1di -3 < m < 1
bl m < 1
d) -1 < m <2
bl m > 1
hl m ;;. 3
bl m <;;; 1
4
el ;tfm E IR
A.228 ai
bl
cl
d)
ai
f)
A.249 m < -2 ou 2 < m < 3
A.250 - .!... <;;; m < O ou m > 2
4
A.226 a) S = {x E IR I x < -2 ou x > 3}
bl S = {x E IR 1 -5 <;;; x < -3}
c) S='{xEIR 1- -.l <;;;x< -.!. ou x> 1.}
2 2 2
di S = { .!... }
2
S = {x E IR I -3 <;;; x <;;; -1 ou 1 <;;; x <;;; 3}
S = {x E IR I x < -2 ou x> 2}
S = {x E IR I -1 < x < 1}
S = 0
s = {x E IR 1 x <;;; -1 ou x;;' 2}
S = IR
A.229a) rr. > ~
4
di fj m E IR
gl m <;;;-2
j) m;;'1
A.231 ai -2 < m < 2
cl m < - 1.
4
A.233 ai O < m < ~
9
c) -2 < m < O
A.234 m <-1
A.235 -2 < m < 2
A.237 m < 1. ou 3 < m < 2
2 2
A.238 m < -2 V2
3
A.239 m <-5
A.240 -5 < m <-1
A.2411 < m < 4
A.242 - l. < m < -1
2
A.243 O < m < .!...
2
A.244 m < ~ e m *O ou m > 3
2 •
A.245 m > 1
A.246 - Y2 < m < -1
A.247 - 1 < m < 2
A.248 m > 1
f) S = 0
1. < x < - -.!. ou O < x < ..!. }
2 2 2
b) S = {x E IR I 1 <;;; x <;;; ~ ou 2 <;;; x <;;; É..}
2 2
c) S = {x E IR I -2 < x < 3 a x * 1 }
d) S = {x E IR I x = -3 ou 1 <;;; x <;;; 2}
a) S = {x E IR I -1 < x < 1 ou x > 2}
f) S = {x E IR 1 x <;;; 3}
A.222 a) P1 (5, O) e P2 (- .!..., O)2
b) S = {x E IR I - -.!. <;;; x <;;; 5}
2
A.224 a) S = {x E IR I x < - ~ ou -.!... < x < 1 ou x > 2}
4 2
b) S = {x E IR I x < -2 ou -.!... < x <;;; .!... ou x;;' ~3 }
3 3
c) S = {x E IR 1 x < -3 ou x;;' O}
di S = {x E IR I -2 < x < ..!.- ou x > 2}
2 3
e) S = {x E IR I -1 <;;; x < 2 ou 3 <;;; x < 5}
f) S = {x E IR 1 -2 < x < - ~ ou _1.. < x < - -.!. }
2 4 3
g) S = {x E IR 1 -4 <;;; x <;;; - ~ ou 1 < x < ~}4 2
hl S = {x E IR I x> O}
A.225 a) S = {x E IR I 4 < x <;;; 6}
b) S = {x E IR I -3 <;;; x < -2}
c) S = {x E IR I -1 <;;; x <;;; 1 ou 2 <;;; x <;;; 4}
d) S = {x E IR I -3 <;;; x < -1}
ai S = {x E IR 1 -1 < x < O}
A.219a) S = {x E IR I x < 1 ou x> 2}
b) S = {x E IR I -2 < x < 3}
c) S = {x E IR 1 x <;;; -3 ou x;;' .!..}
3
d) S = {x E IR I - ~ <;;; x <;;; 4}
2
a) S = {x E IR I .!.. <;;; x <;;; ~}
4 2
f)S=IR-{.!..}
2
g) S = IR
h) S = {%}
I) S = IR
jl S = IR
k) S = 0
II S = 0
A.221 ai S = {x E IR I -
246-A 247-A
CAPITULO VIII
-
y
\ I
1\ I
--
1\ I
x
b)
---
-,- _.
y
\ I
\ I
\ I
\ I I
1\ I
I
i I
xl
I
y
"
'"
'"
I
'"
11 x
/
A.252
A.254 x = 4
A.255 a)
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A.263
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A.262
g)
252-A 253-A
A.26B a) S = {1, -5}
bl S = {1, - ~}
cl S = { ~}
4
dJ S = ~
a) S = i-l, 1, 2, 4}
f) S = {_.!- .!- 2 3}
2' 2' ,
gl S = {1, 3}
A.269 ai S = {- %' - ~}
bl S = {2, - ~}
cl S = {-6, -1, 1, 4}
d) S = {- 1. 2. 1}
2' 3'
A.270a) S = {.!-}
bl S = ~3
c) S = {4, 2J
d) S = {-13, -6}
a) S = {x E IR I " ;, ~}
3
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f) S = {x E IR I x ;, ~ }
3
A.271 a) S = {" E IR I - ~ < x < 2}
3
bl S = {" E IR I 1 ..;; x ..;; 2}
c) S = {x E IR I - .!- ";;,,";; 3}
3
d) S = {- ~}
3
ai S = ~
t) S = {x E IR I x < -1 ou ,,> 2}
gl S = {" E IR I " ..;; - -ª- ou ,,;' O}
5
h) S = {x E IR I " ..;; .!- ou ,,;' 1 }
3
i I S = {" E IR I " i= -ª-}
3
j) S = IR
k) S = {x E IR I -2 ..;; x < O ou 2 < x ..;; 4}
A.272 ai S = {" E IR I 1 < x < 2 ou 3 <" < 4}
b) S = {" E IR I " < -2 ou -1 <" < 2 ou ,,> 3}
c) S,;, {" E IR I " ..;; -1 ou 2";; x ..;; 3 ou ,,;' 6}
di S = {" E IR I -2 ..;; " ..;; 1 ou 2";;,,";; 5}
ai S = {" E IR I - .!- <" < -ª- a "i= -.!..-}4 8 3
fi S = {x E IR I x ..;; 1.- ou ,,;' 1 }
5
gl S = {" E IR I " < -3 ou -1 < x < 1 ou x > 3}
h) S = {x E IR I"" ..;; -3 ou -1";; x ..;; O ou ,,;' 2}
il S = {" E IR I -3 ..;; " ..;; O ou 1";;,,";; 4}
A.274ai S = {" E IR I" ;'3} <'
bl S = {" E IR I " < 5}
c) S = {x E IR I -1 ";;" ..;; 1}
(cJl)S = IR
a) S = ~
fi S = {" E IR I 3 ";;" ..;; 6}
gl S = {x E IR I 4 < " < 6}
A.275 S = {" E IR I 1 < x < 4}
A.277 a) S = {x E IR I x < -5 ou i <" < 5} ."
b) S = {" E IR I " < -2 ou ,,> O}
c) S = {" E IR I " ..;; -5 ou -3";;,,";; 7}
d) S = {" E IR I -3 < " < 1..!...}
3
ai S={"EIRlx<-2 ou x>4}
f) S = {" E IR I " ..;; O ou ,,;' 3}
g) S = ~
A.27B S = {x E IR I " ..;; O ou ,,;' 6}
254-A 256-A
CAPITULO IX
A.279 a) rT-r-,--,,,--.,,, b) I,
.
c)
,
A.280 a)
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H-++-+-t+t-+++-+-t-+
.+-
H-++-+-t-t-+-+-t-Tt---H-t--H
c)
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d) r++-r+1''-t-H-t-1 eI r+--tLH-t---t-t-i----1 f) ,
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A.282 aI 1-_
f+H-H-I-HHt-I-HH-i-t-l
b) ,
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g) r+-+-l-Lt-+-+-+-+-
258-A
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257-A
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A.288 a)
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f-t-f-- +-+--
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+-H-H---H++-+-H+- - H
35A.285 12
A.284 a
b)
g) hl v
- +-
·
I
+-
258-A 259-A
9
A=B
SOBREJETORA
f
9x2 - 12x + 6 se x;;;. 1
1 1
- 3x se "3 < x < 1
1
-9x2 + 12x se x < "3
se x < -1
se -1 < x < 1
se x ;;;. 1
{'''' se x>21 - 4x2 se -1 ",; x ",; 1
x 4 + x 2 se x <-1 ou 1 < x"'; 2
INJETORA
{
4X - 2 se x > ~
-16x2 + 24x - 8 458 O"'; X ",; ~
x 2 - 3x + 3 se x < O
{
X 2 + 3x - 1 se x;;. -1
2x + 9 se x < -1
b) sobrejetora dI bijetora e) não é injetora e nem sobrejetora
b) ?ijetora c) sobrejetora d) não é injetora e nem sobrejetora
bl IV c) 11 ( d) I
f) 111 g)1I1 h) 11
(fOg) (x) =
gOI(x)
(gOf) (x) =
fog(x) =
f(xl =
gof nã) é injetora nem sobrejetora.
111 b) 11 c) I
11 e) 11 f) 11
As funções IA e IB são iguais se e somente se
m ",; n, m;;;' n, m = n
12
6
A.310
A.312
A.311
A.313 a) injetora
A.314 a) injetora
A.315 a) 111
e) 11
A.316 b = 2
3A.317 a = 4"
A.318al
dI
A.320
A.321
A.322
A.323
A.324
(gof) (x)
. 1
D(fOg)={xElRlx"';2 ou x;;;'2}
b) D(gOf) = {x ER I x ;;;'1}
D(fog) = IR - {- ~}
2x + 4(fOg) (x) =---
2x + 1
b) D(gOfl = IR - {2}
(gOf) (x) = 5x -4
2x -
[(hOg)of) (x) = 12x2 + 12x + 2
[ho(gOf)) (x) = 2x2 - 2x + 7
() x2 - 2x - 4g x - 2
f(x) = x2 + 2x - 1
2
f( x) = 2x + 4 para x '* 1
x - 1
{
4X2 + 4x se x;;;. -1-21(fOg) (x) =
4x + 3 se x < --2
{
2x2 - 8x + 9 se x;;. 2
4x - 3 se x < 2
cl x = 2 ou x = - ~2
(fog) (x) = x4 - 6x2 + 6
(gol) (x) = x4 - 8x3 + 18x2 - 8x
(lOg) (x) = 2, (gof) (x) = 5
(fog) (x) = x2 - 6x + 11
(gOf) (x) = x 2 - 1
(fOf) (x) = x4 + 4x2 ~. 6
(gOg) (x) = x - 6
fI-x) = -x3 - 3x2 - 2x - 1
1 1 3 2f(-)=-- ....... +--1
x x3 x~ x
f(x - 1) = x3 - 6x2 + 11 x - 7
a = 1A.295
A.299 a)
A.300a)
A.301
A.302
A.307
A.309
A.306
A.304
A.292
A.293a)
b)
c)
d)
A.294
CAPfTULO X
A.291
A.290 a) (IOg) (x) = 4x2 - 2x - 2
(gOl) (x) = 5 + 2x - 2x2
b) (IOg) (-2) = 18, (gol) (-2) = - 7
260-A 261-A
Não, pois f não é injetora, por exemplo: f(-l) o;;:; f(l) '--- 1, e portanto f não é bijetora.
A.381 a) f-I : iR - { 1 } ~.. IR - {3}
f-I (xl = 3x~
x - 1
d)'~'I'l J
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Não, pois f não é injetora, por exemplo f(-2) =. f(l) = 3, portanto f não é bijetora.
lx - 5 se x;? 7f-I (xl = ~ se -8';; x < 75x + 53 se x <-8
cl {r .. se x ~of-I (xl x<o
di {~ se x <-3f-I (xl x - 1
--4- se x? -3
el f-I (xl {x2 + 3 se x ~O
3 - yr; se x<o
f) r+~ se x ~3
f-I (xl x + 1
-3 < x < 3---- set_12_~- se x ~-3
cI f+-hJ II I ; ;
e--J~---l- - .
-h-.
, ; I .
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I--+--~---
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A.341 ai ,
A.338
A.339
3x + 1
=-4--
=1+~
bl [5; x x:<;8se
f-I (xl = L~"- se x>8
_ 4
bl f-I: IR - {2} ----+ IR - {-1}
f-I (xl 3 - xX-=2
di f-I; IR - { ~ } ---+ IR _ { 2. }
3 3
f-I (xl x + 23X-=5
f) f-I : IR - {3} ---. IR - {3}
f-I (xl = 3x + 2
----x-:::r
bl f-I :IR. ---.. A
f-I (xl = 1 - .,r;
di f-I: IR_ ----+ A
f-I (xl = -1 -~
f) f-I: B -+ IR.
f-Ilxl ~
bl f-I: B_ A
f-I (x) = -1 +~
di f-I : B ---+ A
3+~f-I (xl = 2
f) f-I: B ---+ A
f-I(xl = - 1 -~
f) ,-1 (x) = (x + 1)3
di p -I(xl
bl 9 -I (x)
isto é,
se x)!:.7
se x < 7{
X; 3
x - 1
3
A.326 a) f-I (xl = -,,--=_2
2
cI h-I (xl =,~
el q-l lxl = x3 - 2
gIS-I(xl=~
A.327
A.329al f-I: IR. ------+ IR.
f-I (xl = y-;;
cl f-I; IR_ ---+ A
f-I (xl = 2 -~
el f-I: B __ IR
f-1(xl =-~
gl f-I; B~ IR_
f- 1 (xl o.-~
e) f-I: B ---+ A
f-l(xl = 2+~
gl f-I: B----- A
5+~f-I (x I = --'--4,-----
el f-l;IR-{4}---'IR'
f-I (x) = _2_
x - 4
A.333 É o v17 pois f- 1 ( v'i7 I = 3,
f(3) = v17
A.335 ai f-I: B ----+ A
f-l(xl = 1+~
cl f-I; B ---+ A
f-l(x) =2-~
cl f-I: IR - {-l} ---+ IR - {3J
f-I (xl = 3x + 4
x + 1
A.337 ai
262-A 263-A
el (gofl- I : C ---+ A
(gofl-I(x) =~
A.344 Não, pois 9 não é injetora, por exemplo: g(-1) = g(1) =.0, portanto gOl não é
bijetora.
A.343ai (gofl-I :IR _IR
(gofl-I(x) ~ ~
12
c) (gofl -I : C ---->-IR +
(gofl-I(x) ~~
c) S = { ~ }
flS={40}
c) S = {2, 6}
f) S = 0
clS={4}
bl S ~ {-4}
di S = { 7 + [33 ,
flS~(77J
hIS={3}
j) S~{4}
I) S = {1}
n) S = {O, -±-}
pl S = {o, 2}
b) S ~ {...!..}
9
d) S = {4 + 2~}
flS={l}
h) S ~ {81 }
j)S~{l'l~}
b) S = {5, -1}
1-Y29}
2
b) S = 0
e) S ~ { ]J2 }
4
b) S = {2}
e) S = {8}
4
--}
Y5
b) S = {--[,}
e)S~{3a}
A.345 [ho(gOII]-I: B -------> A
[ ] 2-~holgOfl -I (x) 4
A.347 ai S ~ {e}
cl S ~ {1. ,4}
e) S ~ {O, ~}
gl S ~ {13}
i) S ~ {3, 4}
k) S ~ {O1
m) S ~ 0
o) s ~ {=}
A:348 S ~ {5}
A.349 S ~ 0
A.351 a) S = {4, 9}
c) S = 0"
e) S = {1, V25 }
g) S = {16}
j) S={l, 1~}
A.353 a) S = {-2, ~}
c) S ~ {4, -3, 1 + f29 '
d) S ~ 0
A.354 S ~ {o, 1, 4}
A.356 a) S ~ {64}
d) S = {34}
A.357 a) S = {O, 4}
d) S = {1, 17}
g) S ~ {_4_,
V5
A.358 a) S ~ {6}
d) S ~ {3}
b) (gofl- I : IR -+IR
(gofl-I (x) = :/ x ; 3
di (gofl- I : IR+ - A
(gofl -I (x) = 3 + ..;:
2
Y
--,~
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y",x 1/
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Ll/ i - f-
e) f- y f - ~tt#l---~
1---- i
H-+-+-rt- -;~+ t Y='=
~v --------:f'
g)
264-A 265-A
2&7-A
bl S ~ {x EIR I x ;;>-2}
b) S = {x EIR I x > 4}
d) S ~ {x E IR I x ;;> 1}
ou
bl S = {x E IR I - i- ,;;; x ,;;; 2}
c) S ~ {x E IR I -2 < x ,;;; -1 ou
1 2
--';;;x,;;;-3 3
A.390 a) S ~ {x E IR I x > 11 }
c) S={xEIRlx;;> ~}
d) S = {x E IR I x < ~ ou x > 3}
oi S = {x E IR I x ,;;; 1 - fi ou x;;> 1 + v'3 }
ti S = {x E IR I -4 ,;;; x ,;;; t}
g) S = 0
A.376 S ~ 0
A.37B S = {-2, 7}
3 2}A.379 S~{l'2'
A.380 S = {1, 2, lO}
A.382 S = {O}
A.3B3 S _ {V5 _v'5}
- 2 ' 2
A. 384 S = { : }
A.385 S = {(B, 64), (64, B)}
A.3B7a) S={xEIRI~';;;X<2}
d) S = {x EIR I
o) S = 0
A.388a) S = {x EIR 11';;; x,;;;-;.}
c) S = {x E IR I x >B}
7 -.J17
o) S ~ {x E IR I -1 ,;;; x < 2 }
ti S={xEIRI2';;;x';;;3}
g) S~{xEIRlx>1}
h) S={xEIRI-l<X';;;-+ ou 3';;;x<12}
1+V13 ..-i) S ~ {x EIR I 6 ';;;x"",l ou x;;>2}
cl S ~ {2}
bl a = b =- S ~ {x E IR I x ;;> a}
a * b = S = {a + b}
• 7 }b) S = 1.4"
d) S = {4, -3}
ti S={4+V3, 4-vS}
{ 3+V3 3-V3}h) S = O, 4 ' 4
j) S ~ {O -3, {}
b) {(-4, 6)}
bl S = { 1. }
3
b) S ~ {19}
b) S = { ~ }
{ 5a2 - b2 }Ibl;;>lal==>s= o,
4a
b) S = {(lO + 4Y6, 10 - 4V61)
di S ~ {(9, 4), (4,91}
a<O 8
A.360 a) S ~ {3}
d) S = {3}
A.361 a) S = {3}
d) S ~ {4}
A.363 ai S = {1}
A.364 S~{l}
A.365 S = { ~}
9
A.366 S = {O}
A.367 a';;; b == S = {a}
a>b==S~{b}
A.368
A.369 a = b = O ==> S = IR.
2a2 b }tI b > a = S = { a2 + b2
{ (a - b)2 }a;;>b>O==S= -_
4b
a<b ou b=O ===>S=;zj
A.370 a) b ;;> 1 == S = { 2a Yb }
b + 1
A.371
A.372 ai S = {(9, 4), (4,9)}
c) S = {(2, B), (B, 2)}
A.373a) S = {(4, 2), 9 ~}(-2 ' 12
A.375a) S = {2}
c) S = {-16}
o) s={-f, 3}
g)S={O}
I) S = {O, {, ~}
2
266-A
A.391a) S ~ {x EIR 11 < x <2}
c) S ~ {x E IR I x ~ 2 - V6}
bl S = {x E IR I x .;;; 2 }
d) S~{xEIRlx<-+ ou x>2} TESTES
ou3';;;x';;;4}
ou x~3+v'2}
A.400 S = {x E IR I t.;;; x < 3}
A.401 S~{xEIRI-:5 <x<1 ou x~9} el nenhuma das anteriores
b) "todo corintiano é inteligente"
d) "todo inteligente é corintiano"
(bl século XX
(d) depois de 1830
d) (d)
e) nenhuma das anteriores.
e) nenhuma das respostas anteriores.
di (4)
d) 11
c) (c)
•
c) 10
b) (b)
b) 9
(a) século XIX
(c) antes de 1860
(e) nenhuma das anteriores
Pode-se garantir que a resposta correta é:
(FEI-68) Um teste de Literatura, com 5 alternativas em que uma única é verdadeira,
referindo-se à data do nascimento de um famoso escritor I apresenta as seguintes alter-
nativas:
a) 7
(EPUSP-66) Depois de n dias de férias. um estudante observa que
(1) choveu 7 vêzes, de manhã ou à tarde
(2) quando chove de manhã não chove à tarde
(3) houve 5 tardes sem chuva
(4) houve 6 manhãs sem chuva
Então n é igual a:
(FEI-66) Dadas as proposições:
(1) toda mulher é boa motorista
(2) nenhum homem é bom motorista
(3) todos os homens são maus motoristas
(4) pelo menos um homem é mau motorista
(5) todos os homens são bons motoristas
a negação de (5) é
a) (1) b) (2) c) (3)
(EPUSP-66) Em um baile há r rapazes e m moças. Um rapaz dança com 5 moças,
urn segundo rapaz dança com 6 moças, e assim sucessivamente. O último rapaz dança
com todas as moças. Tem-se então:
m
a) r ~ 5" b) r ~ m - 5 c) r = m - 4 di r ~ m
e) nenhuma das respostas anteriores
ai (a)
a) "existem corintianos inteligentes"
c) "nenhum corintiano é inteligente"
e) não se pode tirar conclusão.
LÓGICA
TA.4
TA.3
TA.2
TA.1 (FEI-67) Dadas as premissas: "Todos os corlntlanos são fanáticos" - "Existem fa-
náticos inteligentes", pode-se tirar a conclusão seguinte:
TA.5
C 6+2V3}
-2 + 2 V 2 .;;; x .;;; 3
h} S ~ IR
j) S = {x EIR 1- +.;;; x< 2}
_ v'31}
8
di S ~ {x E IR I x .;;; -2 ou -1';;; x < -1 + v'13 }
6
e) S = {x E IR I x .;;; 1}
f) S = {x E IR i x .;;; - 2 - 2 v'2 ou
g) S = 0
j) S = {x E IR I -1 .;;; x .;;; 2}
A.393a) S~{xEIRI-~';;;x<o ou x>3}
bl S ~ {x E IR I -6 .;;; x < O ou 3 < x .;;; 4 }
c) S ~ {x E IR I O < x .;;; 2 }
d) S = {x E IR 1% .;;; x .;;; 2}
A.395a) S ~ {x EIR I x ~%}
b) S ~ {x E IR I - ~ < x .;;; 5}
13 +y'201
c) S = {x E IR 1 3';;;x .;;; }
4
3di S ~ {x EIR 1-2';;; x';;; 2"
e) S ~ {x E IR I x < 2 - .J3
f) S={xEIRI2';;;x';;;3}
gl S = 0
h) S = IR
{ -5 + v'13 }A.396 a) S = x E IR I 2 < x .;;; 1
b) s={xEIRI-3 -VS <x';;;1}
2
A.397 a) S = {x E IR I -1 .;;; x .;;; 1}
b) S = {x E IR I x > 1 }
A.399 a) S = {x E IR I x > 11 }
b) S ~ {x E IR I x ~4}
c) S ~ {x E IR I -1 .;;; x < 1
288-A 269-A
TA.6 IMACK-73l Duas grandezas x e y são tais que: "se x = 3 então y = 7",
Pode-se concluir que
TA.11 Sendo dado um conjunto A com n elementos indiquemos por a o número de sub-
conjuntos de A. Seja B o conjunto
que se obtém acrescentando um novo elemento
a A e indiquemos por b o número de subconjuntos de B, Qual a relação que liga
a e b?a) se x * 3 então y * 7
d) se x = 5 então y = 5
b) se y = 7 então x = 3 c) se y * 7 então x * :
e) nenhuma das conclusões acima é válida
a) 2a = b b) a = 2b c) b = a + 1 d) a = b e) n' a = In + llb
TA.12 (MACK-76) Dado o conjunto C {O, 1, 2. 3}. o número de subconjuntos próprios
de C é:
TA.13ICESCEM-77) Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4,
7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números fmpares, O número de elementos
de X é:
e) 18d) 16c) 14b) 12a) 6
a) 32 b) 27 c) 24 d) 22 e) 20
TA.14 IMACl<-691 Sendo A = {{I}. {2}. {1, 2}} pode-se afirmar que
a) {1},E A b) {1} C A c) {1}n{2}~A
d) 2EA e) {1}U {2}EA
TA.15IGV-72) Sejam A, B e C três conjuntos não vazios e consideremos os diagramas:
1) 2) 3) 4)
TA.7 (CESCEM-71) Indique a afirmação correta:
a) uma condição necessária para que um número seja maior do que 2 é que ele sej
JX)sitivo
b) uma condição suficiente para que um nllmaro seja maior do que 2 é que ele sej.
positivo
c) uma condição necessária e suficiente para que um número seja maior do que 2
que ele seja positivo
d) toda condição suficiente para que um número seja positivo é também suficientl
para que ele seja maior do que 2
e) nenhuma das afirmações anteriores é correta
TA.8 ISANTA CASA-77) Dispõe-se de alguns livros de Ffsica do autor A. outros do autor I
e outros do autor C. Da mesma forma, temos alguns livros de Ou ímica do mesm<
autor A, outros de B e outros de C. Todos os livros devem ser colocados em dua'
caixas com o seguinte critério: na primeira caixa, deve-se colocar todos os livros qu
satisfaçam a condição "se for do autor A, então não pode ser de FI'sica". Na segund
caixa, somente os livros que não satisfazem a essa proposição.
A primeira caixa deve conter exatamente:
a) todos os livros de Qufmica do autor A mais todos os livros de Física dos autore'
B e C
b) todos os livros de Ffsica ou de Qufmica dos autores B e C mais todos os livros di
Qufmica do autor A
cl todos os livros de Ffsica dos autores B e C
d) todos os livros de Ffsica do autor A
e) todos os livros de Qufmica dos autores A, B e C
então as associações corretas são:
b) (1,1). (4, 111)
e) 13, IV), 11, Ii
CONJUNTOS
TA.9 (MACK-731 Seja o conjunto A = {3, {3}} e as proposições:
1) 3EA 2) {3}CA 3) {3}EA
então:
e as denominações
Ii ACB, CÇ'B, Anc*0
11) ACB, CCB, AnC=ÇZ)
a) 11, IV). 12, 111)
d) (4,111), (1, 11)
111) ACIBnC),BCC,C*B,A*C
IV) AnC=jZ'>, A*C, BnC=ÇZ)
c) 12, 11), 13, IV)
TA.16 (PUC-74) A e B são subconjuntos de um mesmo universo. Existem elementos d~ A
que pertencem ao conjunto B. Então, pode-se afirmar:
a) apenas as proposições 1) e 2) são verdadeiras
b) apenas as proposições 2) e 3) são verdadeiras
c) apenas as propoSlçoes 1) e 3)· são verdadei ras
d) todas as proposições são verdadeiras
e) nenhuma proposição é verdadeira
a) A é subconjunto de B
d) A n B *ÇZ)
b) B é subconjunto de A c) A e B são disjuntos
e) nenhuma das anteriores.
dois conjuntos quaisquer, então é verdade que:
b) A * B =<> A rt B cl IA n B) C IB - A)
e) A = B - A n B * A U B
TA.17 (PUC-76) Sendo A e B
a) A *B =A CB
d) IA n B) U IB - A) = B
{b} * a * b *0, então:
c) {€l, {a}} C A
A = {0; a; {b}}, com
bl {O, b} CA
e) {{a}, {b}} C A
TA.10 ICESCEM-77) Sendo
a) {€l, {b}} C A
d) {a,b}CA
270-A 271-A
TA.18 (MACK-74) Sabe-se que A U 8 U C = {n E rt.I 11';;; n';;; lO}, A n 8 = {2,3,8:
A n C = {2, 7}, 8 n C = {2, 5, 6} e A U 8 = {n E rt.I 11 .;;; n .;;; 8}.
O conjunto C é:
a) {9, lO}
dI {2, 5, 6, 7}
b) {5, 6, 9.10}
e) A U 8
c) {2, 5, 6. 7, 9, lO}
TA.25 (GV-761 De todos os empregados de uma firma, 30% optaram por um plano de
assistência médica. A firma tem a matriz na Capital e somente duas filiais, uma em
Santos e outra em Campinas. 45% dos empregados trabalham na matriz e 20% dos
empregados trabalham na filial de Santos. Sabendo-se que 20% dos empregados da
Capital optaram pelo plano de assistência médica e que 35% dos empregados da filial
de Santos o fizeram, qual a porcentagem dos empregados da filial de Campinas que
optaram pelo plano?
TA.19 (MACK-741 Dentre as seguintes afirmações: aI 47% b) 32% c) 38% d) 40% e) 29%
TA.21 (CESCRANRIO-761 Sejam A = (_00, 2] e 8 ~ [O, +(0) intervalos de números reais
Então An8 é:
TA.23 (CESGRANRIO-761 Em uma universidade são lidos dois jornais A e 8; exatament,
80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal 8. Sabendo-se que todo aluno é leito
de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é:
bl A n (8 - AI =.0
d) (A Ua) nA = {-1, O}
a) A U 8 = {2, 4, O, -1 }
c) A n 8 = {-I, 4, 2, O, 5, 7, 3}
e) nenhuma das respostas anteriores
Assinale dentre as afirmações abaixo a correta:
ai (An8IUC={xEIR!-2';;;x';;;2}
b) C - a = {x E A 1-5 < x< -2}
c) A - (8 n C) ~ {x E IR I -1 .;;; x .;;; O}
d) A U 8 U C = {x E IR 1-5 < x.;;; 2}
e) nenhuma das respostas anteriores
TA,27 (CESCEA-72) Dados os conjuntos A = {1, 2, -1, O, 4, 3. 5} e a = {-I, 4, 2, O, 5, 7}
assinale a afirmação verdadeira:
TA.29 (PUC-75) Sendo A = {x E IR l-I < x';;; 3} e 8 ~ {x E IR 12 < x';;; 5}, então:
aI A n 8 = {x E IR I 2 .;;; x .;;; 3}
bl AUa={xEIRI-l<x';;;5}
c) A - 8 ~ {x E IR I -1 < x 'S 2}
dI 8-A~{xEIRI3';;;x';;;5}
e) C'A 8 = {x E IR l-I .;;; x <2}
TA.28 (CESCEA-731 Sejam R o conjunto dos números reais, e
A = {x E IR l-I <x.;;; 2},
8 ~ {x E IR I -2 .;;; x .;;; 4},
C = {xEIR 1-5<x<0}.
TA.26 (CESCEA-691 Dados os conjuntos A = {a, b, d, 8 = {b, c, d} e C ~ {a, c, d, e}o
conjunto (A - CI U (C - 8) U (A n 8 n CI é
aI {a, b, c, e} b) {a, c, e} el A dI {b, d, e} el {b, c, d, e}
e) 40%
el [O, 2].
d) SO%
d) {0,l,2}
cl 60%
c) vazio
b) 140%
b) (_00, O]
aI todas são verdadeiras
b) todas são falsas
c) só I e 11 são verdadeiras
dI só 11 é verdadeira
e) só I é falsa
I) AUa=AUC
11) A U a = A U C
111) AUB=AUC
ai 4S%
a) {I}
TA.22 (PUe-761 Sejam os conjuntos A com 2 elementos, a com 3 elementos, C con
4 elementos; então:
a) A n a tem no máximo 1 elemento
bl A U C tem no máximo 5 elementos
c) (A n a) n C tem no máximo 2 elementos
di (A U a) n C tem no máximo 2 elementos
el A n 0 tem 2 elementos pelo menos
TA.20 (GV-70f A parte haehuradas no gráfico, representa:
aI A n (8 UC)
b) (A n 8) UC
c) (A U 8) nC
d) A U (8 nCI
e) nenhuma das respostas anteriores.
TA.24 (CESCEA-681 Foi realizada uma pesquisa numa indústria X tendo sido feitas a seu
operários apenas duas perguntas. Dos operários, 92 responderam sim á primeira
SÓ responderam sim à segunda, 35 responderam sim a ambas e 33 não responderam a
perguntas feitas. Pode-se concluir então que o número de operários da indústria é
TA.30 (CV-741 Considere os conjuntos dados
no gráfico. Apenas uma das afirmações
11 verdadeira. Qual?
a) 170 bl 172 c) 205 dI 174 e) 240
a) AUB" ~ S
c) Ana =0
el An"ll=8
b) AnB" = B"
d) ACB
S
"D2-A 273-A
TA.31 (GV-75l Considere a parte hachurada nos diagramas, onde A e B são subconjuntos de S
considere as denominações:
c) m > n I 1
e m c Slnl
el E
CI Inteiro OI Real EI Complexo
bl m < n
e) m ::.-= n
di OcI C
B) Irracional
bl B
A) RJcional
A alternativa correta era:
ai A
ai m c n ou m c Slnl
di n < m
TA36 (FUVEST--77l Em um teste de cinco iJlter-natlvas, com ':-Ima únicLl corret;l, as alternativas
eram"
TA37 (CESCEA-68) Se nem são números naturais e se n -<: m ~ $(n), onde $(n) é o
sucessor de n, então, é sempre verdade que:
e) Bb) A UBai B·· A
As associações corretas estão na alternativa:
TA.32 (GV-76) Denotando-se por x o complementar de um conjunto qualquer x, então
qualquer que sejam P e Q, o conjunto [p' U (P n Q) J é igual a:
ai 11, di, 14, bl, 15, el
di 11, cl, 14, bl, 12, el
di P' U Qai P' n Q bl PU Q'
bl 13, a), 12, e), 15, cI
el 13, di, 14, bl, 12,
ai
cI P n Q'
cI 13, a), 12, cI, 15, di
elO' Iconjunto vaziol
TA.38 (CESCEA-68l Quaisquer que sejiJm m, n e p de "2 têm-se:
ai n*O =~E~ bl p * O p m + p n E ~=n p
cl *0
p m + m~E dl~Ep =-- ~ ~ se e somente sep p
el Im + nl P ~ m P + nP P*O e p ~ m + n
TA.33IPUC-771 Sabendo·se que: A e B são subconjuntos de U, A
A n B :c. d}, A U B c {a, b, c, d, e, f}, então:
Observação: Ã: complementar de A em relação a U.
te. I, g, h, i}
TA.39 ICESGRANRIO-761 Seja H o conjunto {n E llJ I 2 ~ n ~ 40, n miJltlplo de 2,
n não-múltiplo de 3} O número de elementos de H é
TA.34 (MACK-75) Dados M, N e P, subconjuntos não vazios de E, e as afirmações:
ai A tem 2 elementos e B tem 4 elementos
bl A tem 4 elementos e B tem 2 elementos
c) A tem 3 elementos e B tem 3 elementos
di A tem 4 elementos e B tem 4 elementos
el A tem 1 elemento e B tem 5 elementos
II MUN M<=>NLM;
III M n NeM <=> M L N;
1IIIIpLMePLNI<=>PLIMnNI;
IVI Me N <=> M n GN ~ 0;
VI M C N <=> N U CE M ~ E;
então o número de afirmações corretas é:
TA.41 (PUC-69) O menor número inteiro positivo x para que 2940x = M3 onde M é um in·
teiro é:
e) nada disso
cI x2 < a2 < O
e) nenhuma das respostas anteriores
el 6
di 2060
di 13
cl 3150
cl 7
bl x2 > ax > a2
ax < O
e x forem números reais tais que x < a < O, então
bl 1960
bl 14ai 12
ai 2040
IEPUSP-661 Se a2
ai x < ax < O
di x 2 > ax mas
TA40 (FUVEST--77) Sejam a e b números naturais e p um número primo.
a) se p divide a2 + b 2 e p divide a, entao p divide b
b) se p divide ab, então p divide a e p divide b
c) se p divide a + b, então p divide a e p divIde b
d) se a divide p, então a é primo
e) se a divide b e p dIvide b, então p divide a
TA.42
el 5d) 4cl 3bl 2ai 1
CONJUNTOS NUMÉRICOS
TA.43 (CESCEA-75) Assinalar dentre as afirmações seguintes a correta, quaisquer que sejam os
números reais A, B e C com A *0, B *0, C *0.
TA.35 ICESGRANRIO-771 A intersecção dos três conjuntos
IRnC, lt.Jn-ZIUIll e IlJUIZnOI
é:
ai ~ bl0 cl III di IR el ~
ai ~ ;;;,C =A;;;' BC bl A ;;;'B =~;:"1
B B "'"
AB > C ==> ABC > C2 di ~ < B A <- 1 B <Ocl =-- seIBlc
AB;;;' C AB C <Oel =>TCT ~- se
274-A 275-A
TA.44 IGV-73) Sejam a, b e c números reais quaisquer. Assinale a afirmação verdadeira.
a) a > b = a2 > b2 bl a > b = ac > bc
c) -Ja2 + b2 ;;;. a
d) _c_~.:.+.:. e) a2 ~ b2 = a ~ b
a + b a b
TA.51 ICESGRANRIO-77) Considere a expressão
1 1
-+-
5 30,999... + -3--1-
5"-15
TA.45 (PUC-70) Sendo a e b números reais quaisquer e m um real diferente de zero, então:
Efetuando as operações indicadas e simplificando, obtemos:
TA.48 (EPUSP-66) O número x não pertence ao intervalo aberto de extremos -1 e 2. Sabe-s
que x <O ou x >3. Pode-se então concluir que:
a) x~-l ou x>3 blx;;;'210u x<O c) x~2 ou x~-1
d) x > 3 e) nenhuma das respostas anteriores.
a) n é um número natural ímpar se B = iR
b) n é um número natural ímpar V p E B
cl n é um número natural ímpar se e somente se B = Z
d) n é um número natural ímpa"r se e somente se 8 = N
e) n é um número natural ímpar se e somente se B = N *
TA.47 (CESCEM-66) A desigualdade (x + yl2 > x2 + y2, sendo x e y diferentes de zer
a) é sempre verdadeira
bl s6 é verdadeira se x e y forem positivos
c) só é verdadeira se x e y forem negativos
d) só é verdadeira se x e y tiverem o mesmo sinal
e) 56 é verdadeira se x e y tiverem sinais contrários
a) a>b e am >bm então m~ 1
b) a;;;'b e am ~ bm então m <O
c) a;;;' b e am;;;' bm então m ;;;'1
d) a <b e am <bm então m <O
e) nenhuma das respostas anteriores é correta.
e) 1di .!§.
9
e 790,0721721. .. 721 ...
e 3,590888 8 ..
e 1,30892 892 .
e 37,101112131415161718...
c)~
10
b) 2a) ~10
a) 1,000...0...
b) 0,010010001...
cl 68,01002000300004 ..
d) 447,50047047...047 ..
e) nada disso
al~ c E A b)~ c Ed + - A se e somente se a = cb b d
c)..!. c E A d)..!.+':'" Eb d b d A
el ~ c
b d se e somente se b = d.
TA.54 IPUC-741 Um número racional qualquer:
a) tem sempre um número finito de ordens (casas) decimais
b) tem sempre um número infinito de ordens (casasI decimais
c) não pode expressar-se na forma decimal exata
d) nunca se expressa na forma de uma decimal inexata
e) nenhuma das anteriores
TA.53 (CESCEA-681 Designemos por A o conjunto de todos os números reais da forma ..!.b
com a e b inteiros não negativos e b =I=- O. Se ~ e.E. são dois elementos quaisquer de A
b d
tem-se que:
TA.52 ICESCEA-67) Dados abaixo grupos de dois números reais, expressos decimal mente,
qual dentre eles é constituído somente de números racionais?
TA.55 ICESCEM-701 Assinalar a afirmação falsa:
a) a soma de dois números irracionais pode $er racional
b) a soma de um racional com um irracional é sempre irracional
c) o inverso de um irracional é sempre irracional
d) o produto de dois irracionais é sempre irracional
e) a raiz quadrada positiva de um número irracional positivo é sempre irracional
TA.56 (GV-74) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que:
ai x • y é irracional b) y • y é irracional c) x + y é racional
d) x - y + J2 é irracional e) x + 2y é irracional
2
b) 0,5999 ... < -C-
y5 + 1
2 2
d)~ <3" <0,5999 ...
y5 + 1
se verifica
b) para x *0
d) para quaisquer x e y de sinais contrârios
e p E B}, então
c) 2
v'5 + 1
2 2
e) - < -r.:- < 0,5999 ...
3 y5 + 1
2 <2-
aI 0,5999... <. ç 3
y5 + 1
2
<0,5999... <3"
(FE 1-68) A desigualdade ~ + .'L > 2y x
a) quaisquer que sejam os reais x e y
c) para quaisquer x e y de mesmo sinal
e) nenhuma das anteriores.
TA.50 IFUVEST-771 Assinale a correta:
TA.49 IPUC-761 Se A = {nln = 2p-
TA. 46
276-A 271-A
TA.57 (CESCEM-71I Dada uma seqüência de números positivos ai, a2' ''', an um algoritr
utilizado em computadores eletrônicos para saber se algum dos elementos da seqüên,
é um quadrado perfeito é o seguinte:
RELAÇÃO BINÃRIA
TA.62Se a é um número negativo e b é um número positivo então assinale a correta:
TA.63 Se as coordenadas de A e B são respectivamente (-2, 2) e (-3, -1) então as coorde-
nadas de C são:
TA.66 (UFF-71) Sabendo que A e B são dois conjuntos tais que:
1'?) (1, 7), (5, 3) são elementos de A X B
2'?) A nB: {1, 3}
TA.65 (CESGRANRI0-741 Sejam F: {1, 2, 3, 4} e G: {3, 4, 7}. Então:
a) F X G tem 12 elementos b) G X F tem 9 elementos
c) F U G tem 7 elementos 'd) F n G tem 3 elementos
e) (F U G) n F : >3
b) (b, a) está no 2'? quadrante
di (a, -b) está no 4'? quadrante
•
a) (a, b) está no 1'? quadrante
c) (b, -a) está no 1'? quadrante
e) (-a, -b) está no 3'? quadrante
a) (2, -4)
b) 1-4, -2)
c) (4, -2)
d) (-4,2)
e) (-2,4)
TA.64 (CESCRANR 10 731 Sendo A ~ {1 ,3} e B ~ {2 .4}, o produto cartesiano
A X B é dado por:
a) {(1, 21, (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}
b) {(1, 2), (3, 2), (1, 4), (3, 4)}
c) {(1, 31, (1, 21, (1,41, (3, 4)}
d) {(1, 2), (3, 4)}
e) nenhuma das respostas anteriores
ai : ai a2 a3
bi : 2,71 4 b3
ci :2 c2 531
di : 4 d2 271961
os dados são suficientes para afirmar que:
ai a2 é quadrado perfeito
b) a3 é quadrado perfeito
cl somente a2 é quadrado perfeito
di somente a3 é quadrado perfeito
e) nem ai nem a3 são quadrados perfeitos
TA.58 (MACK-741 Os números reais x e y são tais que x > 1 > y. Sejam S ~ x +
e P = xv. Nessas condições:
a) S > P
bl P > S
c) 5 pode ser maior, igualou menor que P
d) S pode ser maior ou menor, mas nunca igual a P
e) nenhuma das anteriores.
x + 1TA.59 (FCESP-74) O número real r que não pode ser escrito sob a forma r ~-x-' x real, ,
1. Construir uma nova seqüência b 1, b2, "', bn. obtida da primeira pela extração da ri
quadrada de cada um de seus elementos.
2, Construir uma nova seqüência cI, c2, ''', cn' a partir da anterior, onde cada ci Ê
menor inteiro contido em bj.
3. Construir a seqüência di, d2 , .. " dn• obtida da anterior elevando·se os elementos ci
quadrado.
4. Comparar os elementos
da seqüência di com os respectivos da seqüência aj' Os c
forem iguais são quadrados perfeitos.
Nestas condições, dadas as seqüências abaixo
TA.60 (PUC-76) Se
a) X IR
e) X IR"
X ~ {x E IR I(x + 1) • (x - 1) : x 2-l}, então
b) X : IR+ cl X = 0 dl 31 x E R Ix E X
ai -1 b) O c) 1 d) 2 e) 3 podemos afirmar com toda segurança que:
a) A X B tem B elementos b) A X B tem mais de 8 elementos
c) A X B tem menos de 8 elementos d) A X B não pode ter 9 elementos
e) nada se pode afirmar sobre o número de elementos de A X B
TA.67 (CESCEA-73) Sejam os conjuntos A: {1, 2, 3}, B: {a, {a}} e o produto car-
tesiano A X B: {(1, a), (1, {a}),(2, a), (2, {a}):(3, al, (3, {a})}. Entre as relações
abaixo, uma e apenas uma, é falsa. Assinale-a:
TA.61 (FEI-68) Sendo x um número real positivo qualquer, tem-se
ai .,fX + .,fX : 1 + x para algum x > O
b) ..rx + ..rx < 1 + x para qualquer x > O
c) .,fX + .,fX > 1 + x para qualquer x > O
d) .,fX + .,fX : ..rx + ~, para qualquer x > O
e) nenhuma das anteriores.
a) {a}EB e {a}CB
c)j25CAXB
e) nenhuma das anteriores
b) {(1, a), (1, {a}), 12, a)} C A X B
d) {la, {a}), (1, {a})}C A X B
278-A 279-A
TA.69 Com base na representação cartesiana de A X B abaixo podemos concluir:
c) IR
f: IR --->IR uma função. O conjunto dos pontos de
com uma reta vertical.
d)
a) IR+ b) IR"
e) {x E IR e x *± 2 }
FUNÇÃO
TA.73 (PUC-76) O dominio da relação
f = { (x, y) E IR X IR 1 y = _2_} é:
4 - x2
TA.74 (CESCEM-75) Dizemos que uma relação entre dois conjuntos A e B é uma função
ou aplicação de A em B quando todo o elemento de:
a) B é imagem de algum elemento em A
b) B é imagem de um único elemento de A
c) A possui somente uma imagem em B
d) A possui, no mínimo, uma imagem em B
e) A possui somente uma imagem em B e vice-versa
TA.75 (CESGRANRIO-77) Seja
interseção do gráfico de
a) possui exatamente dois elementos.
b) é vazio.
c) é não enumerável
d) possui, pelo menos, dois elementos.
e) possui um s6 elemento.
TA.76 (PUC-75) Qual dos gráficos não representa uma função?
.1~ "71\' oi i==.
'-k=-. .1 ~ •
TA.77 (PUC-76) Qual dos gráficos seguintes representa uma função f de IR~ em IR?
a) tl/ b)~ c)~R
---==t=-- IR -----+=::==:=== • IR IR
d~IR e) -E- IR -
TA.78 (PUC-77) Se x e y são elementos do conjunto R, qual das relações é função de x?
a) {(x, y) I x = y2 - 1} b) {(x, y) I x ~ Iy I} c) {(x, y) I y =~ }
d) {(x, y), x < y} e) {(x, y) I y = x2 + 1}
x
2
2
1
1 3 2 3
-
123
Y3 ..------,
, ,
2 -~
: ~1 ---r-----
: I
2
(c
2
1
-
1 3 2 3
2
(e
c) F = (5,6,7,8) d) (E n F) U F = E
2 ! iI
•I ,
1
I
1
--ª-
2 3
b
2
b) E - F = ~
D = { (x, y) E A X B 1 y ;;. x + 4}, tem·se que
2
1
1 3 2 3
2
(d
a) A = B ~ {1, 2, 3}
b) A ~ { 1, 2, 3} e B ~ {x E IR 11 .;;; x .;;; 3}
c) A = {x E IR 11 .;;; x .;;; 3} e B ~ { 1, 2, 3}
d) A ~ B ~ {x E IR 11 .;;; x.;;; 3}
e) nenhuma das respostas anteriores.
o gráfico de A X B é melhor representado por:
Então, se
(
2
I I, I, I, ,
1
1
--ª-
2 3
TA.71 (PUC-77) Sendo E = {1, 2, 3, 4, 5,6,7, 8}, p(y): y + 1 .;;; 6 e
F ~ {y E E I y satisfaz p(y)}, tem·se:
Observação: F: complementar de F em relação a E
TA.70 (CESGRANRIO-73) Seja Z o conjunto dos inteiros. Sejam ainda os conjuntos
A={xEZI-l<x';;;2} e B={3,4,5}.
a) D ~ A X B b) D tem dois elementos
c) D tem um elemento d) D tem três elementos
e) as Quatro afirmativas anteriores são falsas
(a
a) E = F
e) F n \ZÍ = F
TA.72 (PUC-77) O domínio da relação P = {(x, y) E N X N) 1 y = x - 5} é:
a)N b)N" c) IR d) {xElIllx;;'6}
e) {x E N 1 x ;;. 5 }
TA.68 (CESGRANRIO-73) Dados os conjuntos
280-A 7 281-A
Sejam M, N, P as imagens das funções f, g e h respectivamente. Então M' U N' U P'
onde X' = complementar de X, em relação a A, é o conjunto:
d) -2
TA.85 O valor de f (-2) é:
1
a) 2 b) 2 c) O
e) nenhuma das respostas anteriores
TA.86 (CESCEM-71) ~ dada uma função real tal que:
1. f(x). f(y) ~ f(x + y) 2. f(1) ~ 2 3. f(y2) = 4
O valor de f (3 + V2) é:
a) (3 + V2 )2 b) 16 c) 24 d) 32
e) impossfvel de ser determinado pois faltam dados.
e) {1, 2, 3}d) 0c) {1}b) {2, 3, 4}a) A
TA.79 (GV-72) Os diagramas abaixo definem as funções f, g e h de A em A, sendl
A = {1, 2, 3, 4}.
flx) ~ -fI-x) e f(x + a) = f(x)
TA.87(FEI-65) Uma função flx), definida no conjunto dos números reais, sendo a um
número real determinado, verifica as propriedades:
TA.88 (CESG RAN RI 0-76) Sejam ,z o conjunto dos números e N = {n E,z In;;;' 1}. Con-
sidere a função f: IN--+,z definida por f(n) = xl + ... + xn onde xk = (_l)k,
para cada k = 1, ... ,n. A imagem da função f é o conjunto.
d) {-1, O, 1} e) {-I, O}c) ,z
b) f(x) = fIa) c) f(2a - x) = -f (-x)
e) nenhuma das anteriores é correta.
b) {O}a) {O, I}
Então:
a) fIa + x) ~ fi-x)
d) fl2a) = fia)
x
e) [2; 4]d) (3; 6)
TA.80 (CESCEM-76) Se f: A .... B é uma fu-
ção e se O C A, chamamos de imagem
de O pela função f ao conjunto ano-
tado e definido por:
f <O> = {y E B I existe x E O tal que f (x) = y}.
Se g é a função de R em R cujo grá-
fico está representado ao lado, então a
imagem g < [5; 9] > do intervalo
fechado [5; 9] é:
a) (2; 6) b) [2; 6] c) [3; 6]
(CESCEM-68) O enunciado abaixo refere-se aos testes 81 e 82 que o seguem: Seja f(.
uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros e que associa a tod
inteiro par o valor zero e a todo inteiro ímpar o dobro do valor. FUNÇOES DO 19 GRAU
TA.81 t(- 2) vale:
de IR em IR é tal que, para todo x EIR, f(3x) = 3 f(x).
" -1
di -3c) -5b) 2a) O
TA.91 (PUC-76) A função 1 ~ x + 1 representa em IR x IR uma reta
a) paralela à reta de equação y = x + 3
b) concorrente à reta de equação y ~ 2x + 5
cl igual à reta de equação y ~ x + 2
d) que intercepta o eixo das ordenadas no ponto (O, 1)
,; que intercepta o eixo das abscissas no ponto (-1, O)
TA.90 (PUC-75) Na função f definida por f(xl ~ ax + b:
a} o coeficiente b determina o ponto em que a reta corta o eixo das absd~s
b) o coeficiente a determina o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas
c) o coeficiente b determina a inclinação da r8ta " ,I
d) o coeficiente a determina o ponto em que a reta corfa O eixo das abscissas
'e) o coeficiente b determina o ponto em que a reta corta O eixo das ordenadas
TA.89 (MACK-75) A função f é definida por f(x) ax + b. Sabe-se que f(-I) = 3 e
f(l) ~ 1. O valor de f(3) é:
umaf(n)
el +2
d) zero
c) f(l) ~9
e) não sei
84 e 85. Seja
d) -2
d) v'2
c) -f (2)
c) 2Y4S
b) não está dei inidaa) zero
a) O b) 1 c) 2
el nenhuma das respostas anteriores
TA.82 f (+ y"4S2\ S inteiro, vale:
a) 2S b) 4S
e) nenhum dos valores acima.
TA.83(MACK-77) A função
Se f (9) = 45, então:
a)f(1)~5 b)f(1)=6
d) f (1) não pode ser calculado
(CESCEM-69) O enunciado abaixo refere-se aos testes
função definida, para todo n inteiro pelas relações.
{
f (2) ~ 2
f(p + q) = f(p) • f(q)
TA.84 O valor de f (O) é:
282-A 2S3-A
TA.92 (MACK-69) o gráfico da aplicação definida por
F = {(x, yl E [2,5] • [2,5] Iy = x} C IR X IR,
onde [2, 5] = {x E IR I 2 ",;; x ",;; 5} é
aI um conjunto finito de pontos b) uma reta
cl urna semi·reta )'Il um segmento de reta
e) nenhuma das respostas acima é correta.
TA.99 (CESCEA-751 A solução do sistema
[
3X + 2 < 7 -2x
48x < 3x + 10
11 - 2(x - 31 > 1 - 3(x - 5)
é o conjunto de todos 05 números reais x tais que:
TA.94 (EAESP-GV-77) Uma empresa produz e vende determinado tipo de produto. A quar
tidade que ela consegue vender varia conforme o preço, da seguinte forma: a um preço'
ela consegue vender x unidades do produto, de acordo com a equação y = 50-~
Sabendo·se que a receita (quantidade vendida vezes o preço de venda) obtida foi d
Cr$ 1,250,00, pode-se dizer que a quantidade vendida foi de:
x - 3 ..... OTA.101(PUC-76) O conjunto verdade da inequação ~ """
a) {x E IR e (-5 < x ",;; 31}
b) {x E IR e (x < -5) e (x;;;. 3)}
cl {x E IR e [(x < -5) ou (x ;;. 3)]}
d) {x E IR e x -=F -5}
e) {x E IR e [(x",;; 5) ou (x ;;. 3)]}
e) y> O
então:
é dado por:
2
cl -1 < x < 9"
se 1 < x < 2,
d) y> 2
b) -1
e) -1
a) -1 < x < O
1
dI -1 < x < 3"
TA. 100 (FCESP-74) Seja y = (x - 1I (x - 2) (x - 31;
e) y < -2 b) y < O c) y = O
y
~ se f(x) < O, então x>3se x >2, então f(x) > f(2)
c) se x <O, então f(x) <O
d) se f(x) <O, então x<O
e) se x >0, então f(xl >0
TA.93 (MACK-76) Examinando o gráfico da
função f ao lado, que é uma reta, po-
demos concluir:
TA. 102 (CESCEA-701 O conjunto de todos os x para os quais
aI 25 unidades
c) 40 unidades
el 20 unidades
TA.95 (CESCEA-74) A equação
mente se:
b) 50 unidades
dI 35 unidades
(m2 + 1Ix - 2m + 5 = O admite raiz negativa se, e se
aI {x EIR/-l < x < 2}
cl {x E IR / x < -1 ou x > 2}
e) {x E R / x -=F 2}
j x + 1 é um número real é:
x-2
b) {x E IR/-l ..;; x < 2}
d) {x EIR/x"';; -1 oux > 2}
5
ai m <2' 1c) m"';;'4 5d) m ;;. 2' e) não sei
TA.103(PUC-70) O domlnio da função y = f(x) = j ~ :: é:
TA.97 (MACK-691 A desigualdade 1 ;;;. O é satisfeita se:xn
TA.96 (CESCEA-74) A solução da inequação 9(x - 5) < - 4(1 - x)
meros reais x tais que:
a) x > O b) x > -1 c) x < O
e) nenhuma das respostas acima é correta,
d) x ;;. -1
bl -1 < x ",;;
d) -1 ",;; x .;;;;
x x;;;. O é:
x+l-X::-;-
b) x < -1 ou O .;;;; x <
dI x ",;; O
a) x ",;; -1 ou x;;;' 1
c) -1 < x ",;; O ou x >
el x -=F -1 ou x -=F 1
a) x < - 1 ou x ;;. 1
c) x -=F -1 e x ",;; 1
e) x ;;. O
TA. 104 (GV-721 A solução da inequação
41
el x < 13
é o conjunto dos nll
d) x<~5c) x > 10ai x < -~ b) x > ~1
TA.98 (CESGRANRIQ-73) Dada a inequação
a solução é:
aI {x I x < 2/3 ou 2 < x < 5}
c) 2/3 ",;; x ",;; 2
el diferente das quatro anteriores
(3x - 2)3 (x - 5)2 (2 - xIx > O, tem·se que
b) {x 12/3 < x < 2 ou x < O}
di 2/3 < x < 5
TA. 105 (MACK-76) O conjunto solução de
a) {x E IR I x > 15 e x < -3}
c) {x E IR I x > O}
el {x E R 1-15 < x < 15}
~<5 é:
x+3
bl {x E IR I x < 15 e X-=F
dI {x EIR 1-3 < x < 15}
-3}
284-A 285-A
TA. 106 (GV-74) Seja D o conjunto dos números reais x para os quais : ~ ~ ;;;. 4. Então
é o conjunto dos x reais tais que:
9
a) x';;; '2 e x * 2
c) x> 2
e) -1 .;;; x < 2
b) 2 < x';;; 3
d) x < 2 ou x> 3
TA.110 (MACK-77) Se V = ax2 + bx + c é a
equação da parábola da figura ao lado,
pode-se afirmar que:
a) ab < O
b) ac > O
c) bc < O
d) b2 - 4ac ~ O
el não sei
V
x
FUNÇÃO QUADRÁTICA
TA.111 (PUC-70) O valor máximo da função V = ax2 + bx + c com a * O é:
-6 b
a) 4a se a < O b) - 2a se a > O c) b2 - 4ac se a > O
d) b2 - 4ac se a < O e) nenhuma das anteriores é correta
TA.112 (CESCEM-72) Considere o gráfico da função
de menor ordenada tem coordenadas:
TA. 107 (PUC-76) A função quadrática
a) m * 4
c) m * -2
e) m * ±2
V = (m2 - 4)x2 - (m + 2)x - 1
b) m * 2
d) m = -2 ou +2
está definida quando:
a) (2,3) b) (3,2) c) (3/2, 1)
V = x2 - 5x + 6. O ponto do gráfico
d) (5/2, -1) e) (5/2, -1/4)
TA. 113 (CESCEA-76) A parábola de equação V = -2x2 + bx + c passa pelo ponto (1, O) e
seu vértice é o ponto de coordenadas (3, v). Então v é igual a:
TA. 108 (PUC-77) O esboço do gráfico da função quadrática
V = 2x2 - 8x + 6 é:
a) 8 b) 4 c) 6 d) -5 e) 18
a) V
x
b) V c) V
TA. 114 (CESCEM-69) Se dois trinômios do 29 grau possuem as mesmas raizes, então:
a) eles são necessariamente iguais
b} eles assumem necessariamente um m(nimo ou um máximo no mesmo ponto
c) eles diferem por uma constante
d) suas concavidades são de mesmo sentido
e) nenhuma das anteriores
TA.10S (CESCEM-76) Sabe-se que o gráfico ao
lado representa uma função quadrática.
Esta função é:
x2 3
a) "2 + x + '2
x2 3
b) 2' - x - 2'
x2 3
c) -"2 - x -"2
d) x2 - 2x - 3
e) x2 + 2x - 3
c) 15';;; V .;;; 36b) 15 .;;; V < 36
e) -12 .;;; V .;;; 36
a) - 2 .;;; V .;;; 2
d) -12';;; V < 36
TA.115 (PUC-77) O conjunto imagem da função f = {(x, V) E IR XIR Iv = i-3} é:
a) {vIVEIR e V;;;. ~}
b) {V I V E IR e V;;;. -3}
cl {VIVEIR e V .;;; 3}
d) {Y I V E IR e V;;;. O}
e) {y I V E IR e V.;;; -3}
TA. 117 (CESCEA-71) Seja f(x) = ax2 + bx + c. Sabendo-se que f(1) 4, f(2) O
e f(3) -2, então, o produto a.b.c é:
a) 20 b) 50 c) -8 d) -70 e) não sei
TA. 116 (CICE-68) Seja a função V = 3x2 - 12 definida no intervalo -4 < x .;;; 3. A
imagem de tal fu nção é tal que:
x
e)
V
Vd)
286-A 287-A
TA.124 (PUG-77) As curvas representativas das funções:
V ~ x2 e 2V ~ -x + 1
TA.118IEPUSP-67) Os trinômios V ~ ax2 + bx + c tais que a + b + c o:
a) tem em comum um ponto no eixo dos x
b) tem em comum um ponto no eixo dos y
c) tem em comum a origem
d) não tem ponto em comum
e) nenhuma das respostas anteriores
a) tem por intersecção os pontos de abscissas
b) têm por intersecção os pontos de abscissas - 1 e
1
"2
1
"2
TA. 119 (EPUSP-66) O gráfico da função V ~ ax2 + bx + c, sendo b =1= O e c =1= O
o gráfico da função obtida da anterior pela mudança de x em -x se interceptam:
c) têm por intersecção os pontos de abscissas -1 e 1
1 +..{5d) têm por intersecção os pontos de abscissas --2--
e) não se interceptam.
e
1 - J5
2
TA.121 Dados três pontos no plano cartesiano, não colineares e com abscissas distintas duas
duas, o número de funções quadráticas Que podem ser encontradas de maneira ql
esses pontos pertençam aos seus gráficos é:
a) em dois pontos, um no eixo dos x e outro no eixo dos y
b) em um ponto fora dos eixos
c) somente na origem
d) em um ponto do eixo dos V
e) nenhuma das respostas anteriores
a
OI (_1,~) e (1' -4) bl (_l'~)e (2'-3)2'4 ' 2' 4 '
(_1~) e (4' -5) d) 3 e (2; -3)cl 2'4 ' (-2; 4)
3
e (1; -4)el (2";4)
~s coordenadas dos pontos P e Q são:
TA,l26 (CESCEM-77) Na figura ao lado estão
representados os gráficos das funções da-
das por
I(xl = (x + 1) (x - 3) e
x
f(x) =2 + 3,
TA.125 (MACK-75) O gráfico de uma função f é uma parábola que passa pelos pontos 11,0),
(3, O) e (2, -1), O gráfico da função g é uma reta que passa por (1, O) e (O, -1). A
sentença I(x) ~ g(x):
a) é falsa qualquer que seja x b) é verdadeira se, e somente se, x ~
c) é equivalente ax ~ 1 ou x ~ 4 d) implica x ~ O
e) é verdadeira se, e somente se, x é um número inteiro
x
2 3
V
d) mais que duasc) 2b) 1a) O
a) a < b < c < O
b) c < b < a < O
clO<a<b<c
d) O < c < b < a
e) nenhuma das alternativas anteriores é correta.
TA. 120 (MACK-76) No gráfico ao lado estão re-
presentadas três parábolas (1), (2), (31,
de equações, respectivamente, V = ax2 ,
V ~ bx2 e V ~ cx2 , Podemos con-
cluir que:
TA,127IEAESP-GV-771 O menor valor de k para o qual a intersecção da reta
com a parábola V ~ 2x2 + 3x - 2 seja não vazia é:
TA.122(CONSART-751 Um dia na praia ás 10 horas a temperatura era de 36°C e ás 14 hor:
atingiu a máxima de 39,2°C, Supondo que nesse dia a temperatura I(t) em graus e
uma função do tempo t medido em horas, dada por I(t) = at2 + bt + c, quanc
8 < t < 20, então pode-se afirmar que: aI 5 bl 1/4 cl 3/8
d) 2 17el -8
V ~ 4x + k
TA.123 (CESGRANRIO-77) Uma conta perfurada de um colar é enfiada em um arame fin
com o formato da parábola V = x2 - 6. Do ponto P de coordenadas (4, 10) deixa-,
a conta deslizar no arame até chegar ao ponto Q de ordenada - 6. A distância horizont
percorrida pela conta (diferença entre as abscissas de P e a) é:
aI b ~ O
c) a ~ b
e) b < O
b) ab < O
d) a> O
TA.128 (GV-72) A região hachurada do gráfico
é a solução gráfica do sistema de desigualdades:
a) {v- x2 ;;;. O bl {v-Ixl;;;' O
x ~ -1 x<;;;1
c) {V -x2 <;;; O d) {V -x2 ;;;. O
Ix I O;;; 1 Ix I O;;; 1
-1
a) 12 bl 4 c) 6 d) 5 el 3 e) nenhuma das anteriores
288-A 289-A
EQUAÇÕES DO 29 GRAU TA. 137 (PUC-75) Seja a função quadrática definida por
t(x) ~ mx' - (2m - 2) x + m - 2:
TA.130 (CESCEM-67) A equação
do segundo grau cujas rafzes são -1 e 3 é:
a) x' - x + 3 ~ O bl a(x - lI(x + 3) ~ O, a 0/= O
c) (x + l)(x + 31 ~ O d) (x - 1 )Ix - 3) ~ O
e) nenhuma das respostas acima é correta.
TA.129 (PUC-70) Uma equação do tipo ax' + bx + c ~ O onde a, b, c são números reais
a) tem sempre duas raIzes reais.
b) pode ter uma só raiz imaginária
o) pode ser uma equacão do 1':' grau
d) nunca terá rarzes iguais.
e) nenhuma das anteriores é correta
TA.131 (MACK-74) Dada a equação x + 6 ~ x',
a) x (x + 6) x3
bl x + 6 + x' ~ x' + x + 6
com
bl somente se a > b > c
d) somente se c > a > b
a) sempre
cl somente se a > c > b
e) nunca
a) f tem duas raIzes reais e iguais pera "Im E IR'
bl f tem duas raIzes reais e iguais para {:u ~ 2
m ~ -2
c) f tem duas rafzes reais e desiguais para -2 < m < 2
d) f tem duas rafzes reais e desiguais pera V m E IR'
el f tem duas rarzes imaginárias para m > 2 ou m < -2
TA.138(MACK-74) As raizes da equação (a - b + c)x' + 4(a - b)x + (a - b - c) ~ O
a - b + c 0/= O são reais:
TA. 139 (CESCEM-72) O tronomio ax' + bx + c tem duas raIzes reais e distintas; ex e (J
são dois números reais não nulos. Então o trinômio
uma equação equivalente à mesma é:
1
x - 3
= x2 +1
x - 3
~ 3x'
c) x+6+
dI 3(x + 61
TA.133IFEI-66) O número de soluções reais da equação 5x4 + x' - 3 ~ O é:
2x' - 8xTA.132 (MACK-77) O número de soluções reais da equação x' _ 4x
e) todas são equivalentes à equação dada
a) O b) 1 c) 2 d) 3
x é:
e) não sei
a) tem duas raízes reais e distintas ou nenhuma raiz real, conforme o sinal de (3.
b) pode ter uma, duas ou nenhuma raIzes reais.
c) tem duas raIzes reais e distintas se ex e (J forem ambos positivos, nada se podendo
afirmar nos demais casos.
d) tem duas rafzes reais e distintas ou nenhuma raiz real, conforme o sinal do produto
ex(J
e) tem sempre duas raizes reais e distintas
TA. 134 (PUC-76) O trinômio x' + px + q onde p e q E IR torna-se um trinômio quadradc
perfeito quando se adiciona o termo constante:
TA. 140 IMACK-74) A equação 10<' - (1 - 2k)x + k - 2 ~ O tem raIzes racionais pera
os valores de k pertencentes ao conjunto:
a) O
a) ~ - q
4
b) 1 c) 2 d) 3
d)~ -q
4p
e) 4
el p' - 4a q
aI A ~ {1, 2, 4, 5}
c) C {2, 6, 12, 20, 30}
el E~{l,8,27,64,Bl}
b) 8 = {2, 4, 6, 8, lO}
d) D ~ {1, 4, 9,16, 25}
é necessário e suficiente que:
TA. 135 (PUC-77) Para que a equação tenha ra(zes reais e iguais
el não seid) y > 7cl y = 6b) y> 29
4
a) y < 2
4
5
TA. 141 (CESCEA-721 Considere o seguinte problema: "determinar o número cujo qulntuplo
excede o seu quadrado de y unidades". Para que valores de y, o problema admite
duas soluções reais?
a + 1Oel~
2
x' _ ax + a' - b' ~ O
4
c) a ~ 2bb) b ~ Oa) a ~ b
TA. 136 IITA-72) Seja t(x) ~ x' + px + p uma função real de variável real. Os valores dE
p pera os quais t(x) ~ O possue raiz dupla positiva, são:
a) O < p < 4 b) p ~ 4 cl p ~ O
d) f(xl ~ O não pode ter raiz dupla positiva
e) nenhuma das respostas anteriores
TA. 142 (CESGRANRI0-73) A equação do 2':' grau cuja menor raiz é 2 - V3 e o produto
das duas raízes é igual a 1 é expressa por:
a) x' + x - 4 = O bl x' + 4x - 1 ~ O c) x' - x + 4 ~ O
dI x' - 4x + 1 ~ O e) nenhuma das respostas anteriores
29o-A 291-A
TA. 143 (CESCEA-771 As raízes da equação 2x2 2mx + 3 = O são positivas e uma'
o triplo da outra. Então o valor de m é: INEQUAÇOES
ai 4 bl -2 el 2..j2 d) -2..j2 el O TA. 150 (PUC-771 O trinômio _x2 + 3x - 4:
TA. 144 (FEI-68) Sendo a e b as raizes da equação 2x 2 - 5x + m = 3
,
r e s são as raizes da equação ax2 + bx + c
+ ~ é'
,2 .
TA.145(MACK-76) Se
o valor de * el -5 < m < -4bl -1 < m < 2
e) 0< m < 1
ai 1 < m < 2
di -3 < m < 2
a) é positivo para todo número real x
bl é negativo para todo nú mero real x
c) muda de sinal quando x percorre o conjunto de todos os números reais
d) é positivo para 1 < x < 4
el é positivo para x < 1 ou x > 4
TA. 151 (PUC-77) Para qual dos seguintes conjuntos de valores de m o polinômio
P(x) = mx2 + 2(m - 21x + m2 é negativo quando x = I?
e) nenhu ma das anter ia resd) Oc) 32
4
~, o valor de m é
3
+ 1
b
b) _ 4
3
a
3
ai "4
então, se
TA. 152 (CESCEM-751 A expressão ax 2 + bx + c, onde b2 - 4ae > O e a < O, é
estritamente positiva se x for:
ai b2 - 4ae
di b2 - 4ae
2a
bl b
2
- 2ae el b
2
- 4ae
e2 e2
el b
2
- 2ae
2a
ai POSItIVO bl não nulo
e) interior às raízes
d igual às raízes d) exterior às raízes
TA. 146 (CESGRANRIO-77) As raízes da equação x2 + bx + 47 = O são inteiras. Podemo
afirmar que.
a) a diferença entre as duas raízes tem módulo 46
b) a soma das duas ra ízes tem môdulo 2
el b é positivo
d) o môdulo da soma das duas rafzes é igual a 94
e) b é negativo
TA. 153 (CESGRANRIO-73) O conjunto dos valores de p para os quais a inequação
x2 + 2x + p > 10 é verdadeira para qualquer x pertencente a IR é dado por:
ai p > -9 bl p < 11 c) p > 11 di p < -9
e) nenhuma das respostas anteriores
TA. 154 IMACK-741 A desigualdade x2 - 2(m + 21x + m + 2 > O é verificada para todo nú-
mero real x, se e somente se:
TA. 148 IMACK-74) O valor de P. para o qual a soma dos quadrados das raizes de
x2 + (p - 2) x + p - 3 = O
TA. 147 (CESGRANRIO-751 Sejam p e q reais; se a equação do segundo grau em x:
x2 + p2 x + q2 + 1 = O
tem duas raízes reais Xl e x2, então
tem o menor valor. é:
ciO<m<1bl -1 < m < O
e) 2 < m < 3
ai -2 < m < -1
di 1 < m < 2
TA.156 (CESCEA-741 Uma condição suficiente para que a expressão y
presente uma função é que:
e) nenhuma das afirmações acima é verdadeira
TA. 155 (EESCUSP-691 O trinômio kx2 + 2(k + 1Ix - (k + 1l:
a) é negativo para todo valor de x e todo k =1= O
bl é negativo para todo valor de x se k';;-2
el é positivo para todo valor de x e todo k =1= O
d) é negativo para todo valor de x se -1 < k <
el 3di -1c) 1
bl xl + x2 - p2 cl xl + x2 = q2 + 1
el Xt<O e X2<0
bl O
ai Xl > O e x2 > O
di xl - X2
a) 2
TA. 149 (MACK-741 Dadas as equações x2 - 5x + k = O e x2 - 7x + 2k = O, sabe-sequ<
uma das raízes da segunda equação é o dobro de uma das rarzes da primeira equação
Então o valor de k =1= O está no intervalo:
a) -2 < x < 2
di -1 < x < 3
b) -2';; x .;; 2
e) x < -2 ou
cI x .;; -2
x > O
ou x ;;;. 2
a) [-4. -2]
di (5. 7]
bl [-1,1]
e) [-4, 4]
1
é:TA. 157 (CESCEM-71 I O domfnio da função Vx2 - 5x + 6
ai x';; 2 e x ;;;. 3 bl x ;;;. 2 e x .;; 3 el x =1= 2 e x =1= 3
di x';; 2 ou x ;;;. 3 e) x < 2 ou x> 3
292-A 293-A
a) a > O, b > O -1 < x < a + b
, a
TA. 159 (GV-701 Dada a parábola y x2 - 4, quais são os valores de x que produzen
imagem maior que 5?
TA. 160 lITA-67) Seja y [(ax2 - 2bx - (a + 2b)]1/2, Em qual dos casos abaixo y é rea
e diferente de zero?
TA.158 (EPUSP-67) Seja A o conjunto dos números inteiros positivos que satisfazem a inequ,
ção (3x - 31 (2x - 51 < (5 - 2x)2. Então:
a) A évazio b) A = {-2; 5/2} c) A = {-I; I}
d) A = {I; 2} e) nenhuma das respostas anteriores
x + 1
x2 _ 3x + 2 ;;. O são dadas por:
bl -1 .;;;; x .;;;; 1 ou x;;' 2
di x .;;;; 1 e x > 2
a) -1 .;;;; x < 1 ou x > 2
c) x .;;;; -1 e x;;' 2
e) nenhuma das respostas anteriores
TA. 166 (CESGRANRI0-73) As soluções da inequação
TA. 165 (GV-72) O conjunto de todos os números reais para os quais
v' (x2 - 4x + 3) (x 2 - x - 2) exista é:
a) {-I < x < 1 ou 1 < x < 2 ou 2 < x < 3}
b) {x < -1 ou 2';;;; x .;;;; 3 ou 3 < x}
c) {- 1 .;;;; x .;;;; 1 ou 2';;;; x .;;;; 3}
d) {x .;;;; -1 ou 1';;;; x .;;;; 2 ou 3';;;; x}
e) nenhuma das anteriores
c) x < - 3 ou x > +3
e) nenhuma das respostas anteriores
a) x > O b) x < O
d) -3 < x < 3
TA.161 (GV-76) Para que a função real f(x) = v' x2 - 6x + k, onde x e k são reais, sej'
definida para qualquer valor de x, k deverá ser Ul)'l número tal que:
1
TA. 162 (GV-76) Para que a função real f dada por f(x) = seja definid,
Vx2 + 2bx
+ c
para qualquer x real, 05 números b e c devem ser tais que:
ai b2 < c e b '* O b) b2 > c e c '* O c) b2 < c
d) b2 < c e c;;' O e) b2 > c e b > O
c) a> O, b = O, -1 < x<1
di a < O, b 3a, x< -1
el a < O, 2a, -1 < x < a+bb
a
el t .;;;; O
y real, seja definida, devemos ter:
di t> O
se e somente se:
c) t ;;. -1
(x - 3) (x2 + 2x - 8)
x2 + 4x + 3
b) t < Oa) t .;;;; -1
TA. 167 IMACK-76) Tem-se
el~ < O <=> (x - a) (x - bl < O
x - b
TA. 168 (GV-73) Assinale a afirmação verdadeira:
x2 + 3x + 2
a) ;;.. O <=> x2 + 3x + 2 ;;. O
x2 - 1
bl ax2 + bx + c > O, para todo x real <=> b2 - 4ac < O
x2 - 1
c) h+1 .;;;; O <=> -1 < x .;;;;
d)~ > O <=> (x - a) (x - b) > O
x - b
TA.169IGV-74) Para que y =
e) k ;;. 9d) k .;;;; 9c) k = 5
a + 2b
x =--
a
b) k = 9
b) a> O, b < O,
a) k .;;;; 5
a)
-4 < x < -1 ou 1 < x < 2
bl -4 < x < -3 ou -1 < x .;;;; 2 ou x ;;. 3
c)
-3 < x < -1 ou 2 < x < 3
d) x< 3 ou x > -1
e) x < -4 ou
-3 < x < -1 ou 2 .;;;; x <3
TA.163 (CESCEA-69) A solução da inequação
ai -2 < x < 3 ou x > 5
b) 3 < x < 5 ou x < -2
c) -2 < x < 5
d) x > 6
e) x < 3'
(x - 3) (-x2 + 3x + 10) < O é:
TA. 170 (GV-74) A solução da inequação x ;;. O é:
x3 - x2 + x-I
TA. 164 (CESCEM-75) Os valores de x que satisfazem à inequação:
(x2 - 2x + 8) (x2 - 5x + 6) (x2 - 16) < O são:
TA.171 (CESCEM-68) Quais os valores de x que satisfazem à inequação:
a) x < -1 ou O < x < 2
c) x .;;;; - 1 ou x;;' 2
e) nenhum valor de x
bl -1 < x < 2 e x '* O
dI qualquer valor de x diferente de zero
x2 - 2
--x- <
x>clx<Oou
e} O ~ x ~ 1
x ;;;. 1b) x < o. ou
x > 1
ai x ;;. O
d) x < O ou
x> 4
aI x < -2 ou x> 4
b) x < -2 ou 4< x< 5
cl -4 < x < 2 ou x > 4
d) -4 < x < 2 ou 3 < x < 4
e) x < -4 ou 2 < x < 3 ou
294-A
295-A
x2 + 2x - 1 1
TA. 173 (CESCEA-731 A solução da inequação xL 1 ;;. -;+1 é:
TA. 172 (GV-771 Seja IR o conjunto dos números reais. O conjunto solução da inequação
x - 3~~ x - 1 é:
bl {x E IR I x > 2}
el {x E IR I x < O}
e
bl x> 2 e b < a
4bdI x > a - 2 e a > 2b
b > a
ax + bx ;;. O
~ x2 - bx + (2b - aI < O
4.{
-b
a) x < - e
a
cl O < x < 1
a > O, b > O, b *- a.
Tem solução para:
TA. 179 (ITA-71 I O sistema de desigualdades
cl {x E IR I x ~ 1}
ou -1 < x ~ O ou x > 1
ou x;;' O
bl x < -1
dI x < -1
a) x ~ O ou x> 1
clO~x<1
aI {x E IR 11 ~ x < 2}
dI {x E IR 1 x ;;. 2}
{ 2x2 + 8 ;;. x2 - 6xx + 5 < O é:
aI 0< x < 5 bl -5 < x ~ -4 c) -4 ~ x ~ -2
d) x~ -2 e) x < -5
x-a <x+aTA. 174 (CESCEA-731 Se X2+1 -;;2' para todo x *- O,
TA. 175 (ITA-67) Em qual dos casos abaixo, vale a desigualdade
{x EIR 1 "fx2 :~~ + 2 ;;. O} é igual a:
bl {x E IR I x > 1}
d) {x E IR I x *- 1}
aI {x E IR I x ;;. 2}
cl {x E IR I 1 < x ~ 2}
e) {x E IR I x < 1 ou x
e) nenhuma das respostas anteriores
está definida é:
al{xEIRI1<x~2}
bl {x E IR 11 < x < 2}
c) {x E IR 1-2 < x < 2 e x*-1}
dl{xEIRI-2~x~2 e x*-1}
el não sei
TA.181 (GV-731 O conjunto
TA. 180 (CESCEA-71 I O conjunto de todos os números reais x para os quais a expressão
então:
x2 - ax - 2a2~..:..-,---==~-'-=- < O:
x2 - (a + 2 Ix + 2a
cl a > 2, 2 < x < a
J'L J2
c) - 4 < a < 4 dI não sei
b) a = O, x > -a
el a> 2, x> 2a
J'L
bl a> 4.J2a) a < - 2
aI a < O, x < 2a
dI a > 2, -a < x < 2
TA. 177 (CESCEM-701 A solução do sistema de inequações:
{
x2 - 2x ;;. O
-x2 + 2x + 3 > O é:
TA.176 (CESCEM-68) A solução do sistema de inequações:
aI O < x < 2
cl x < -1 e x> 3
bl -1 < x ~ O e 2 ~ x < 3
dI nenhum x el qualquer x
TA. 182 (GV-721 O conjunto de todos os números reais x para os quais a expressão:
f(xl=~+~
b) {x E IR I O < x <
dI {x E IR I O ~ x ~ ':
b) {x E IR 1 2 < x ~ 3}
dI {x E IR I 1 ~ x ~ 3}
aI {2}
cl vazio
e) {x E IR I 1 ~ x ~ 2}
resulta num número real, é:
aI {x E IR 1-1 ~ x ~ 1}
c) {x E IR 1x > O ou x ~ 1}
el {x E IR I x ;;. O}
TA. 183 (PUC-77) Se A = {x E IR I x2 - 3x + 2 ~ O} e B ={x E IR I x2 .. 4x + 3 > O},
então A n B é igual a:
e) 1 < x < ~5
4
aI 1 < Ix 1< J5
-4
b) J5 < x < -1
4
cl1<x<J5
dI não há solução
1TA. 178 (FFCLUSP-66) A solução geral da dupla desigualdade -2 < x2 - 3 <"5 é:
296-A 297-A
TA. 185 IGV-70) Dado o trinômio flx) = x2 - 5x + m o zero é externo ao intervalo d,
raizes para:
x
-1x
x
e)
TA. 189 (PUC-771 o esboço do gráfico de y = Ixl - 1 é:
ai bl
di 0< m <~4cl m> Ob) qualquer ma) nenhum m
TA. 184 ICESCEA-671 Dado o trinômio do 29 grau flxl = ax2 + bx + c e sabendo-se ql
aflal < O, para a um número real, qual das afirmações abaixo é verdadeira?
a) o trinômio não tem raízes reais
b) para conclu ir a existência de raízes reais é preciso ainda examinar-se b2 - 4ac
c) o trinômio se anula para dois valores de x, um menor e outro maior que Q
d) a: não pertence ao intervalo cujos extremos são as raízes reais
e) nada disso
x
x
x
c)
x
é:
x
x
x
1 2
y
y
e)
b)
bl
x
x
y
-1
yd)
a)
a)
d)
TA. 190 (MACK-74) O gráfico da relação
TA. 192 ICESCEM-70) O gráfico de y = Ixl -2 é:
TA.191 (MACK-77) O gráfico ao lado representa a função:
a) y = - Ix - a I + a Y
bl y = Ix - a I - a
c) y = - Ix - ai - a
di {Ixl- a se x;;'a
y = Ixl + a se x <a
e) não sei
clb)
el
el nenhuma das respostas anteriores
d)
a)
FUNÇÃO MODULAR
TA. 187 (PUC-76) Para definir módulo de um número real x posso dizer que:
ai é igual ao valor de x se x é real
b) é o maior valor do conjunto formado por x e o oposto de x
c) é o valor de x tal que x E N
d) é oposto do valor de x
el é o maior inteiro contido em x
TA.186 (CESCEA-72) Para que a equação x2 + (2 - a)x - (3a - 1) = O admita duas ralll
reais distintas no intervalo [-2, 3) devemos ter:
a) - 8 .-; a .-; O b) a < -8 ou a > O cl O < a .-; 1
16d) O < a .;;; 6"" el não sei
TA.188ICESGRANRIO-COMCITEC-73) Nos gráficos abaixo os pontos do domlnio sã
marcados no eixo horizontal e os da imagem no eixo vertical. O gráfico que malhe
pode representar a função
f: IR+ ~ IR
x ~ flx) = - Ixl
onde tR + , o conjunto dos reais não negativos, é:
298-A 299-A
TA. 193 (CESCEM-73) O gráfico da função y
ai y bl y
TA. 197 (MACK ·761 O gráfico, de g(x) I x I + Ix-I I é:
x x-I
ai y b) Y el y di yh e) y2 --~ 2 2 2I --.,--
I III I
-1 O :1
-1 O
-1 O -1 O 11 -1
-,.
x x I X X O x,
I,
I I
-2 -2
,
-2 :L---- 1-2 -2
--------JI
1/3
y
x+1
Ix-ll-lxl é:
cl
-1
---+-~c-;----~
xx
x
di
1/2
TA. 194 (GV-74) O gráfico da equação: y 2 V7i + x é: TA.19B ICESCEM-691 A representação gráfica da função y ~ x2 - Ixl é:
x
Hx)
el y
d)
y ~ Ix2 .. 41xl +31 pode
Hxl
di
cl
y
.--
x
cl
flxl
y
bl
bly
ser
f(x)
Se a = -b
ai
e) nenhum dos anteriores.
ai
TA.200 ICESCEM-71) Dados dois números reais distintos a e b, podemos definir uma
função f(x) Que chamaremos "distância ao conjunto {a. b}". da seguinte forma:
distância de x ao conjunto {a, b} é o menor dos números
Ix - a I, Ix - b I.
1, o gráfico de flxl é:
TA. 199 (MACK-74) O gráfico cartesiano da função definida por
f (x) ~ x + ..li... se x *'Ix IR por
.--'-"f--+-----_
-1 1 x
---~----
-1 I 1 :-
b)
d)
~~!1------••1 x
~-y:• I------1·· 1 __..
-1 1 x
a)
el
e f(ol ~ O. O seu gráfico é:
TA.195(MACK-73) O gráfico cartesiano da função definida por y = -x Ixl pode ser
.1 W--;" m--;~~
d)__~~ ~"'rP--:-
TA. 196 (EAESP- 75) Seja f uma função definida em
I
I
I
--)--+---'-.....x
y
-1
el
e) nenhum dos anteriores.
a)
cl__~Y ...
~ x
x
yel
a) r bl v
----- -_. __ .,...,-----~ --------~
di 1
.._._._---- ~--:-
300-A 301-A
TA.209 (CESCEA-681 Se a e b são dois números reais quaisquer, assinale dentre as afirmações
abaixo a que é sempre verdadeira
TA. 21 O(GV-74) Sejam x e y números reais quaisquer. Assinale a
afirmação correta:
aI Ix + yl ~ Ixl + Iyl bl Ix _ yl;;;. .lllxl-Iyll
2 2
c) Ixl + Iyl >vx2 + y2 d) Ixyl > Ixl·lyl
e) Ixl + Iyl ~ 2Vx2 +y2
TA. 201 (MACK-76) Seja f uma função de IR em IR definida por
f(x) ~ 2 Ix - 31 + x - 1
o conjunto imagem da função f é:
a) {y E IR I y ;;;. 2} bl {y E IR 1y ~ 3} c) {y E IR I y ;;;. 3}
d){yEIRly~2} e) IR
TA.202 (PUC-77) Dado A = {x E IR Ilx I = 2}. tem-se:
a)ACIW b)ACIR+ c) AUZ+=Z+ d)AnZ_=A
e) A n IW = {2}
aI la + bl ;;;'Ial + Ibl
dI lal - Ibl ;;;.Ia + bl
bl la + bl = lal + Ibl
e) lal+lbli=la+bl
c) la + bl ~ lal + Ibl
TA.207 (COMBITEC-COMBIMED-75) A equação
Ix + 1 I - Ix I = 2x + 1, x E IR,
TA.204 (GV-72) Seja V o conjunto de todas as soluções reais da equação
V x2 + 2x + 1 = 1 + x.
TA. 206 (EPUSP-65) As ra(zes da equação Ixl 2 + Ixl - 6 = O
aI são positivas b) têm soma O c) têm soma 1 d) têm produto 6
e) nenhuma das respostas anteriores
a) tem duas soluções distintas cuja soma é 2
b) tem somente as soluções -1 e O
c) não tem solução
d) tem uma infinidade de soluções
e) tem três soluções distintas cuja soma é 4
e) 4
c) [-2, -1] U (O, 1)
d) 3
b) -1 <x <7 ou -3 <x <-1
d) O < x < 4
b) {x Ix ~O} U [3,15]
d) {xl-5 <x <-1}u{xI1 <x <17}
Ix - 31 < x + 3 é:
c) IR d) {x E IR I x > O}
1 < Ix - 31 < 4 é o conjunto dos nÚmeros x tais
c)
b) (-2, -1) U lO, 1)
e) [-2,1]
b) 5
é um intervalo de comprimento
a) 2
a) [-2,-1]U[0,1]
d) (-2, -1) U [0,1]
TA.214 (MACK-771 O conjunto-solução de
a) ~ b) {x E IR IO < x < 3}
e) não sei
TA.212 rIMACK-74) O conjunto solução de
que:
a) 4 < x < 7 ou -1 < x < 2
c) -1 < x < 7 ou 2 < x < 4
e) -1 < x < 4 ou 2 < x < 7
TA.216 (CESGRANRI0-73) O conjunto solução da desigualdade
Ix + 11 - Ixl ~ x + 2
ai [-3,O]U[1,73]
cl [-3, O] U {x I x ;;;. O}
el [-4,2]U[-2,1]
TA.215ICESCEA-70) O conjunto de todos os x para os quais 12x - 31 > x é:
a) [x E IR I x < O} b) {x E IR I x < O ou x < 4}
c) {x E IR 11 < x < 3} di {x E IR lo < x < 4}
e) {x E IR I x < 1 ou x > 3}
TA.213 (CESGRANRI0-73) A função P(x) = Ix2 + x - 11 é menor do que 1 para os va-
lores de x em:
TA.211 (CESCRANRI0-75) A interseção dos conjuntos {x E IR I I x - 21 < 4} e
{x E IR I I x - 71 < 2} é um intervalo de comprimento
têm 2 pont
e) Od) -VScl -1
bl V = IR
d) V = {x E IR I x ;;;. -1}
bl 1
Então:
a) V ~ ~
c) V = {x E IR Ix~-1}
e) V = {O}
a) VS
TA. 205 (CESGRANRIO-771 Os gráficos de f(x) = x e 91x) = Ix2 - 11
em comum. A soma das abcissas dos pontos em comum é:
TA.203 (PUC-74) O conjunto S das soluções da equação
12x - 1 I = x - 1 é:
a) S = {O, ~ } bl S = {O, +} c) S = ~
d) S = {O, -1} e) S = {O, ~ }
TA. 217 (MACK-75) Se Ix2 - 41 < N para todo x tal que Ix - 21 < 1, então:TA.208 (FCESP-74) Se x E ] - 00, O] então a expressão:
Vlx - 3)2 + R - VI4 - 3x)2 vale:
a) 5x - 1 b) 3x - 1 c) x - 1 d) 7 - x e) x - 7
a) o menor valor posslvel de N é 3
b) o maior valor posslvel de N é 3
e) N pode assumir qualquer valor
cl o menor valor posslvel de N li 5
dI o maior valor posslvel de N é 5
302-A 303-A
TA.218IPUC-70) Qualquer que seja o nÚmero real não nulo x, tem-se sempre:
TA.219 IGV-73) O gráfico da função f dada por
pode ser:8
x2 + 4Y
TA.223 (MACK-741 O gráfico da função definida por
a) Y bl Y cl Y
I !~I,IIIi(" I ..O O 12 x x
I
I
I
I
I
I
e) não sei
TA.222 (MACK-77) O gráfico da função f dada por f(x) - ~- 1__ é, aproximadamente:
- 4x ~ x2 - 4
Y
é:
elY
x .;; O
0<x";;2
x > 2
c) Ix + 2- I .;; x
x
d)Ycl
bl Ix + ~ I .;; 10
x
e) nenhuma das anteriores.
Yb)
aI Ix + ~ I ;;, 2
x
d) Ix + ~ 1<
x x
Y
GRAFICOS
a)
x
f(xlcl
xix - 1)
x-I
x
Y ~
c) não tem ponto fixo
2 f(xl
1
Y ~- e
x
e
bl
1
Y - x 2
x
1 ±J5
bl x = --2-
f(x)
d)
a) x ~ ± 1
di tem infinitos pontos fixos
ai interceptam-se em um único ponto de abscissa positiva
bl interceptam-se em dois pontos
c) não se interceptam
d) interceptam-se em mais de dois pontos
e) interceptam-se em um único ponto de abscissa negativa
a) não têm ponto em comum b) têm um único ponto comum
c) têm exatamente dois pontos comuns
d) têm exatamente 4 pontos comuns
e) têm uma infinidade de pontos comuns
TA.224IFUVEST-771 As curvas
TA.225 ICESCEM-71l As figuras de equações
TA.226 (FEI-731 Chama-se ponto fixo de uma função f um número real x tal que flxl ~ x.
Calcule os pontos fixos da função f(x) ~ 1 + 2- :
x
x
x
x
2
pode ser
2
1
x
x+2
x-I
f(xl
cl
x
x
a)
ir ..x
di Yi"-
_L _____
I
x
1 --- 2 2 •
1
,
I-- 1 >---,
2 -------'---+-x 2 x 2 x
TA.220 (CESCEM-741 A função cujo gráfico me-
lhor se adapta ao da figura é:
a) f(xl Ix I
b) flx) I~I
x
cl f(x) Imin (x; ~-) I
x
dI f(x) min (Ix I; I~I)
x
min (I x2 1; J,;I -1el f(xl
)(
TA.221 (MACK-731 O gráfico cartesiano da função definida por y
304-A 305-A
TA.227 (FEI-73) Considere o gráfico da função
2
y = 1 + 1~' Deseja-se calcular a área
hachurada da figura ao lado. Calcule um
valor aproximado dessa área, substitu in-
do os arcos AB, BC e CO por segmentos
de reta.
A
FUNÇÚES COMPOSTAS
TA.231 (PUC-771 Sendo f(x)
aI 1 b) 3
x3 + 1 e g(xl
c) O
x - 2, então
d) 2
g(f(O)) é igual a:
e) -1
TA.228 (EPUSP-67) Sendo A a área limitada pela curva y
TA.233 (CESGRANRIQ-731 Seja f uma função de IR em IR tal que f(21 =7, f(9) =3, f(0) =O,
f(5) = 16 e f(71 = 4; seja g uma outra função de IR em IR tal que a imagem de
cada ponto x do seu domrnio seja 2x + 3. Então, chamando-se h e função com-
posta gof, tem-se que:
a) 2,95
b) 4,95
c) 3,95
d) 1,95
e) nenhuma das respostas anteriores O 2 3
x e pelas retas x =
TA.232 (MACK-751 Dadas as
g(x) = x2 - 2x + 1 e
a) 1 b) 2
funções f, g e h, de
h(xl = x + 2, então
c) 3
IR em IR, definidas por
((h.fl og) (21 é igual a:
dI 4 el 5
f(xl 3x,
x = 3, y = O, tem-se:
a) h(ll = 16 b) h(9) = 9
a) A < 0,3 b) 0,3 < A < 0,8 c) 0,8 < A < 1,5 c) h(2) = 49 d) não existe essa função h
d) 1,5 < A < 10 e) nenhuma das respostas anteriores e) nada se pode afirmar pois a lei de formação da f não é conhecida
TA.234 (CONSART-75) Se f e g são funções definidas em IR por
então g(f(x)) é:
a) 3x + 11 b) 3x2 + 10 cl 3x2 + 11 x + 10
TA.235(CESGRANRIO-731 Se
c) x
d14x+7 el f!g(x)/
é expressa por:
f(x) = x + 2 e g(x) = 3x + 5,
e) nenhuma das respostas anteriores
f(f(xl)f(xl - x + 1 então
- """"X="1
d) 2x + 2
2x - 1
b) 1a) ~
xx
= án
x
y
ONestas condições, a área ao lado indi-
cada vale:
x3TA.229 (CESCEM-74) A função y = 3" dá o
valor da área da região compreendida
entre a curva y = x2 I do ponto de
abscissa O ao ponto de abscissa x e o
eixo das abscissas, conforme indica a fi·
gura ao lado:
determinam um quadrilátero, no qual está definida a função y = x I + X2.
Sabendo-se que O máximo desta função está num dos vértices deste quadrilátero c
seu valor é: '
TA.23D (CESCEM-74) As regiões do plano definidas por:
XI + 2X2 < 2, XI ;;. O
2xI + x2 < 2, X2 ;;. O
3
el "2
3f(x)
d) 2f(x) + 1
d) 1
3f(x)
c) 2f(xl _ 1
cl J..2
3f(x)
b) 3f(xl _ 3
a) -1
TA.236 (MACK-75) Dada a aplicação f: 0-+ Q definida por f(x) = x2 - 2. o valor de
x tal que f(xl = f(x + 1) é:
TA.2380TA-77) Considere a função F(x) = Ix2 -11 definida em IR. Se F o F representa
a função composta de F com F, então:
a) (Fo FI (xl = x I x2 - 1 I, para todo x real
b) não existe número real y, tal que (Fo F) (y) = y
c) F o F é uma função injetora
d) (Fo FI (x) = O, apenas para dois valores reais de x
e) nenhuma das anteriores
TA.237 (MACK-76) Dada a função f(x) = x ~ l' a expressão de f(3xl, em termos de
f(x), é:
3f(xl
a) 3f(x) _ 1
e) 3f(x) - 1
x4O 1
d) Ocl 1..3b)23
a) ~
3
a) 64
3
b) 21
c) l1.
3
d) 64
e) 1..
3
306-A 307-A
para qualquer número real x tal (
x~
2x + b
TA.240 (CESGRANRIO-76) Considere as lunções
I:IR 41R g: IR 41R
TA.239IFEI-68) Dada a lunção f(x) ~ ~,
Ix I <; 2 tem-se:
a) 1(2xl 211x) b) I(x - 2) f(xl - f(2) ai E CA e K C D
b) E C B e K::JA
c) E ::J D, D
"* E
e K C B
d) E C D e K C B
el nenhuma das respostas anteriores
TA.244IITA-74) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conjunto R dos números reais.
Sejam as lunções I: A ~ B (y ~ I(x)), g: D ~ A (x ~ g(tl), e a lunção composta
Ilog): E ~ K. Então os conjuntos E e K são tais que:
x
f(x)
c) f(.!.-)
x
e) nenhuma das anterioresd) f(-xl ~ f(x)
gol: IR ~IR
x ~ glf(xl) ~ 4x2 - 12x + 9
podemos alirmar que b é um elemento do conjunto:
ai (-4, O) b) (0,21 cl (2, 4) d) (4, + 00)
onde b é uma constante. Conhecendo-se a composta
TA.241 (PUC-74) Se I(x) 1~' então (lo [lo Ij) Ix) é igual:
e) (-00, -4)
TA.245 (MACK-74) Sejam I e 9 lunções delR emiR tais que f(x)
Então to 9 = 90 f, se e somente se:
a) a = c e b = d
b) a = b = c = d
c) (a - 1) • d = b • (c - 1 I
d) a = c
e) a = c e b = -d
ax + b e glx) cx + d.
TA.242 (CESGRANRIO-73) Sejam dadas as lunções
a) 2x bl 3x c) 4x d) x el -x TA.246 (CESGRANRIO-77) Seja f: {I, 2, 3} -+ {I, 2, 3} uma lunção tal que o con-
junto solução da equação f(x) = x é {I, 2}. Em relação à lunção composta 101
podemos alirmar que:
Considere as afirmações:
1) não existe a função no m
2} não existe a função mo n
3) m é uma lunção bijetora de IR em IR
4) a função mo n o m não existe
5) todas aS afirmativas anteriores são falsas
TA.247 (MACK-751 Dadas as funções f e 9 delR emiR, sendo g(x) = 4x - 5 e f(g(x)) = 13 - 8x,
então:
a) para todo x, (lo Ii (xl = x
bl para todo x, (lo f) (x) f(x)
cl (lo f) (31 = 3
d) (Iof) (3) 1
e) (101)(3) = 2
c) f(xl = 2 + 3xb) I(xl = 3-2x
e) I(x) = 5 -4x
a) f(x) = 2 - 3x
d) f(x) = 2x + 3
e(O, O)}m = {(3, 5),
n = {(5, 2),
Então:
a) todas são corretas
b) somente duas são corretas
c} somente uma é correta
di todas são falsas
e) somente três são corretas
TA.243 (CESCEM-70) Sejam f(x) = +~; gIz) = [I(z)t e h(z) z - 4:
a) os domrnios de giz) e h(z) coincidem
b) o domlnio de giz) contém estritamente o domlnio de h(z)
c) o domlnio de f(x) não tem pontos em comum com o domlnio de gIz)
di qualquer que seja z real, gIz) = f(z)
e) nenhuma das anteriores
{ -x2 se x<; g(x) x+3TA.248 (MACK-73) Sendo f(x) = x + 1
x>
e
se
a) (fo g)(xl {-(X + 3)2 se x <; -2
x + 4 se x> -2
bl (lo gl(x) { _x
2 + 3 se x<; 1
x + 4 se x> 1
c) (Iog)(x) {-(X + 3)2 se x<;
x + 4 se x>
d) (Iog)(x) = {_x2 + 3 se x<; -2
x + 4 se x> -2
e) nenhuma das anteriores
30S-A
309-A
FUNÇÕES INVERSAS TA.253 (CESGRANRIO-731 Seja AS um diâmetro de uma esfera tangente a um plano P
no ponto S. Seja E o conjunto dos pontos da superffcie esférica que são distintos
de A.
suaf(xl = x 3 + I,
A
bijetora definida por
c) loge ( 2
7
5 )
b) f-I (x) = 1
x 3 + 1
e) nenhuma das anteriores
b) ~
25
a) 4
3
Considere a função
f: E ~ P
x ~ t(xl
onde f(x) é o ponto de interseção da
reta definida por A e x com o plano P.
Dentre as afirmações. a falsa é:
TA.256 (ITA-75) Seja f(x) = eX - e-x definida em IR. Se 9 fêr a função inversa
7 eX + e-x
de f, o valor de eg (2s I será:
TA.254 (ITA-761 Considere g: {a, b, c} ~ {a, b, c} uma função tal que g(a) = b e g(bl = a.
Então, temos:
ai a equação g(x) = x tem solução se, e somente se, 9 é injetora
b) 9 é injetora, mas não é sobrejetora
cl 9 é sobrejetora, mas não é injetora
d) se 9 não é sobrejetora, então g(g(x)) x para todo x em {a, b, c}
e} nenhuma das respostas anteriores
a) a função é injetora
b) a função é sobrejetora
c) a função é bijetora
di a função leva circunferências em circunferências
ai a função leva pontos simétricos em relação ao diâmetro AB em pontos simétricos
em relação ao ponto B.
TA.256 (MACK-751 Dada a função f: IR ~ IR,
inversa f-I: IR ~ IR é definida por:
3
a) f-l(xl=~
1d) f-Ilx) ~ '3'---
V'x3+1
yc)
x
•
b)
x
y
I
I
I
I
I
-1- _
I
d)
a)
TA.251 (MACK-741 f é uma aplicação de A em S; S';;;; S; f é uma aplicação sobrejeto
de A em S'. Podemos afirmar:
a) f é uma aplicação sobrejetora de A em S
bl f é uma aplicação injetora de A em S'
c) a informação dada é contraditória; não pode ser uma aplicação de A em
e de A em S'
d) existe x em A tal que f(x) E S e f(xl E S'
e) existe y em S tal que t(x) = y não se verifica para nenhum x de A
TA.250 (MACK-75) Ao lado está o gráfIco
da função f. Um exame deste grãfico
nos permite concluir que:
a) f é injetora
b) f é periódica
cl f(rr) < O
dI f(v3i .;;; O
e) f(1) + f(21 = f(3)
TA.249 (CESCEM-76) Dentre os gráficos abaixo, o que melhor se adapta a uma funçl
bijetora (injetora e sobrejetora) com dom(nio IR e contradomrnio IR é
TA.252 (MACK-75) A aplicação f: ~ ~ ~ definida por
e) nenhuma das respostas anteriores
TA.257 (CONSART-75) O gráfico de uma função f é o segmento de reta que une os pontos
(-3, 4) e (3, O). Se f-I é a função inversa de f, então f-I (21 én é par
é:
n é rmpar ai 2 b) O c) 32
d) - ~
2
e) não definida
TA.258 (MACK-771 A função
O seu contradom(nio é
e) não sei
a) somente injetora;
c) bijetora;
e} nenhuma das anteriores.
b) somente sobrejetora;
d) nem injetora e nem sobrejetora;
a) 2 b) -2
f definida em IR - {2} por
IR - {a}. O valor de a é:
cl 1 dI -1
f(xl 2+x
2 - x
é inversível.
310-A
311-A
TA.26llCESGRANRIO-77) A imagem da reta y = 2x pela reflexão no eixo dos x
a rata de equação
estão no intervalo:
nenhuma das anteriores
el [..!.. , ~]
5 2
di {O, ~} e) nenhuma das anteriores
b) tem três raízes reais
d) não tem raízes
b)[-~,l]
e) [5,8]
b) {O, 2} el {O}
a) tem duas ra ízes reais
c) não tem raízes reais
ai tem uma única raiz real
a) [-2, - ~ ]
d) [~, 7]
4
TA.266 (PUC-74) O conjunto verdade da equação irracional
.jX-l+~=2 é:
a) V = {3} bl V = {3, 9} c) V = {9} d) V = {4} e) nenhuma das anteriores
TA.264 (PUC-70) O conjunto verdade da equação y'4;+"1 = 2x - 1 é:
TA.265 (GV-75) A equação~ = -~:
TA.267 (FEI-68) seja V o conjunto dos números reais que são soluções da equação irracional
..f2;-~=1
ai V={2,18} b) V={2} c) V={18}dl V=çD
TA.268 (MACK-761 Todas as raízes da equação
TA.269 (ITA-73) A respeito da equação, 3x2 - 4x + y 3x2 - 4x - 6 = 18 podemos dizer:
a) 2 ± y'7õ são raízes b) A única raiz é x = 3
3
c) A única raiz é x = 2 + v10 di tem 2 raízes reais e 2 imaginárias
e) nenhuma das anteriores
O x
para todo x em
e) y = - J... x
2
c)
x
x
di y = 2x
b) y
~
O
e) y
~
O
x
b) y = ..!.. x c) y = -2x
2
a) y = 12x I
O gráfico que mais bem representa a função inversa
rl:x r+ f-I (x) é
a)
d) y
O
TA.2BO (ITA-76) Sejam A e B conjuntos infinitos de números naturais.
Se f: A ..... B e g: B ..... A são funções tais que I(g(x)) = x,
e g(l(x)) = x, para todo x em A, então, temos:
a) existe Xo em B, tal que f(y) = xo, para todo y em A
b) existe a função inversa de f
c) existem Xo e XI em A, tais que Xo *' XI e I(xo) = I(xI)
d) existe a em B, tal que g(l(g(a))) *' g(a)
e) nenhuma das respostas anteriores
TA.259 (CESGRANRIO-76) Seja f: x ..... I(x) a função cujo gráfico é
b) {y E IR IO .;;; y .;;; 2}
d){yEIRly;;;'4} b) XI = 3 e x2 = 3d) não tem raízes reais
TA.262 (CESGRANRIO-73) Sendo x ;;;'4, o conjunto imagem da função y = y-; + y;::
é dado por:
a) {yEIRly;;;'O}
c) {yEIRly;;;'2}
e) nenhuma das respostas anteriores
TA.270 (ITA-72) Todas as raizes reais da equação
a) XI = 3 e x2 = -3
el Xl = 3 e x2 = V3
e) nenhuma das respostas anteriores
J~-J_x
x x2 + 3
3 são:
2
TA.271 (MACK-74) Se o nÚmero x
x2 está entre:
3 3
é solução da equação yr;+g-~"3,
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES IRRACIONAIS
a) O e 25 b) 25 e 55 cl 55 e 75 d) 75 e 95 ..e) 95 e 105
então
TA.263 (CESCEM-731 Considere-se o número x dado
pela expressão
x=I~1
e) x não é raiz da equação x2 - x - 2 = O
Nestas condições,
a) x = 2,222 ...
d) x = 2
b) x = 1 ± 3
2
c) x = 2+~
TA.272 (GV-74) Resolver a desigualdade 1 - 3x > Y2 + x2 - 3x:
ai x< 3 - v'41 b) x< 1 c) x < 1 x>216 3 ou
d) ..!.. ~x~ 3 +V41 e) x< 3 - v'41 x> 3 +v'41ou3 16 16 16
312-A 313-A
RESPOSTAS
TA.1 e TA.36 e TA.71 d TA.106 bTA.2 d TA.37 e TA.72 e TA.107 eTA.3 b TA.38b TA.73 e TA.108aTA.4 c TA.39b TA.74 c TA.109bTA.5 c TA.40a TA.75 e TA.nOaTA.6 c TA.41 c TA.76~ TA.111 aTA.7 a TA.42b TA.77 c TA.112 eTA.8 b TA.43d TA.78 e TA.113aTA.9 d TA.44 c TA.79b TA.114bTA.10a TA.45 e TA.80b TA.115bTA.11 a TA.46 e TA.81 a TA.116dTA.12 c TA.47d TA.82d TA.117dTA.13d TA.48 a TA.83 a TA.118aTA.14e TA.49 e TA.84b TA.119dTA.15 d TA,/50 a TA.85b TA.120dTA.16d TA.51 b TA.86d TA.121 bTA.17d TA.52 a TA.87d TA.122bTA.18 c TA.53 c TA.88 e TA.123bTA.19 b TA.54 e TA.89 e TA.124 bTA.20a TA.55d TA.90e TA.125cTA.21 e TA.56 e TA.91 e TA.126aTA.22 c TA.57a TA.92d TA.127 eTA.23 e TA.58 a TA.93 a TA.128dTA.24 a TA.59 c TA.94b TA.129 cTA.25d TA.60a TA.95 a TA.130 eTA.26 a TA.61 a TA.96d TA.131 dTA.27 b TA.62 c TA.97b TA.132bTA.28b TA.63 c TA.98b TA.133 cTA.29b TA.64b TA.99 c TA.134aTA.30b TA.65 a TA.100e TA.135bTA.31 b TA.66b TA.101 b TA.136dTA.32 c TA.67d TA.102d TA.137dTA.33d TA.68b TA.103b TA.138aTA.34 e TA.69 c TA.104b TA.139 eTA.35 e TA.70d TA.105d TA. 140 c
315-A
TA.141c
TA.142d
TA.143 c
TA.144 c
TA.145b
TA.146 a
TA.147 e
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TA.174b
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TA.l77b
TA.178 a
TA.17ge
TA.180d
TA.181 a
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TA.240a
TA.241 d
TA.242 c
TA.243e
TA.244d
TA.245c
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TA.247 b
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TA.249d
TA.250d
TA.251 e
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TA.253d
TA.254 a
TA.255 c
TA.256 a
TA.257 b
TA.258d
TA.259e
TA.260b
TA.261 c
TA.262 c
TA.263d
TA.264 a
TA.265e
TA.266 a
TA.267c
TA.268 c
TA.269e
TA.270e
TA.271 d
TA.272 a
FUNDAMENTOS DE
MATEMÁTICA ELEMENTAR
Vai 1 - Conjuntos e Funções
1. noções de lógica, 2. conjuntos. 3. conjuntos numéricos. 4. relações. 5. funções.
6. funções do 1':> grau. 7. funções do 2':> grau. 8. função modular. 9. função com·
posta e função inversa.
Vai 2 - Logaritmos
1. potências. 2. função exponencial, 3. função logarítmica. 4. equações e ine-
quações logarítmicas, 5. logaritmos decimais.
Vai 3 - Trigonometria
1. ciclo trigonométrico, 2. funções circulares, 3. principais identidades, 4. trans-
formações, 5. equações, 6. funções circulares inversas, 7. inequações, 8. triân-
gulos.
Vai 4 - Seqüências, Matrizes, Determinantes, Sistemas
1. seqüências e progressões, 2. matrizes, 3. propriedades dos determinantes, 4. siso
temas lineares: método do escalonamento.
Vol 5 - Combinatória, Binômio, Probabilidade
1. princípios fundamentais da contagem, 2. arranjos, 3. permutações, 4. combi·
nações, 5. desenvolvimento binomial, 6. probabilidade em espaço amostrai finito.
Vai 6 - Complexos. Polinômios. Equações
1. números complexos, 2. polinômios, 3. equações polinomiais, 4. transforma·
ções, 5. raízes múltiplas.
Vol 7 - Geometria Analítica
1. o ponto, 2. a reta, 3. a circunferência, 4. as cônicas, 5. lugares geométricos.
Vai 8 - Limites. Derivadas. Noções de Integral
1. definição de limite, 2. propriedades operatórias, 3. definição de derivadas,
4. cálculo de derivadas, 5. estudo de funções, 6. noções de integral definida.
Vai 9 - Geometria Plana
1. triângulos, 2. paralelismo, 3. perpendicularismo, 4. circunferência, 5. seme-
lhança, 6. relações métricas, 7. áreas das figuras planas.
Vai 10 - Geometria Espacial
1. Geometria de posição: paralelismo, perpendicularismo, diedros, triedros, polie-
dros; 2. Geometria Métrica: prisma, pirâmide, cilindro, cone, sólidos semelhantes,
superfície e sôlidos de revolução, sólidos esféricos.