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Sinais e Sistemas 
Engenharia de Controle e Automação 
Universidade Federal de Lavras 
 
Prof. Bruno Henrique Groenner Barbosa 
 
 
Notas de Aula 3 – Análise no Domínio do Tempo e o Operador 
 Convolução 
Sumário 
• Equações Diferenciais e de Diferença 
• Análise no Domínio do Tempo Contínuo 
• Análise no Domínio do Tempo Discreto 
• O Somatório de Convolução 
• A Integral de Convolução 
 
Sistemas LIT 
• Neste curso serão estudados os sistemas LIT 
 
 
 
▫ Conhecendo-se o sinal de entrada de um sistema e 
as equações que o regem, é possível obter o sinal 
de saída. 
▫ No tempo contínuo temos as equações diferenciais 
e no tempo discreto as equações de diferenças 
 
 
Equações Diferenciais 
• Os sistemas LCIT 
 
 
 
 
▫ Equações diferenciais: 
 
 
 
 
 
Equações de Diferenças 
• Os sistemas LDIT 
 
 
 
 
▫ Equações de diferenças: 
 
 
 
 
 
Análise no Domínio do Tempo 
• Resposta temporal: 
▫ Resposta total y(t) ou y[n] 
▫ Propriedade da decomposição: 
 y(t) = condições iniciais + resposta natural forçada 
 y(t) = resposta entrada nula+ resposta estado nulo 
 
 
 
Análise no Domínio do Tempo Contínuo 
• Resposta entrada nula: 
▫ x(t) = 0 
 
 
 
 
 
 
▫ A combinação linear de y0(t) e suas n derivadas 
sucessivas é zero para todo t 
▫ Para isso y0(t) e suas n derivadas devem ter a 
mesma forma 
▫ Que função possui essa propriedade? 
Análise no Domínio do Tempo Contínuo 
• Resposta entrada nula: 
▫ Que função possui essa propriedade? 
 A função exponencial 
▫ Presume-se, então, que 
 
 
é a solução da equação. 
 
substituir 
Análise no Domínio do Tempo Contínuo 
• Resposta entrada nula: 
▫ Após substituição: 
 
 
 
 
 
▫ Sendo Q(λ) chamado de polinômio característico 
do sistema, ele independe da entrada 
▫ λ possui N soluções (assumindo que elas são 
distintas): 
Solução não-trivial: 
Análise no Domínio do Tempo Contínuo 
• Resposta entrada nula: 
▫ Portanto ela possui N soluções: 
 
▫ A solução geral da equação 
 
 
é dada por: 
 
 
 
 
Raízes características do sistema 
Modos 
Autovalores 
Análise no Domínio do Tempo Contínuo 
• Resposta entrada nula: 
 
 
▫ Casos especiais: 
 Raízes repetidas 
 
 
 
 Raízes complexas conjugadas 
 
 
Análise no Domínio do Tempo Contínuo 
• Exemplo 2.1 (a) – raízes distintas: 
 
 
▫ Condições iniciais: 
 
 
 
▫ Resposta entrada nula: 
Análise no Domínio do Tempo Contínuo 
• Exemplo 2.1 (b) – raízes reais repetidas: 
 
 
▫ Condições iniciais: 
 
 
 
▫ Resposta entrada nula: 
 
 
 
Análise no Domínio do Tempo Contínuo 
• Exemplo 2.1 (c) – raízes complexas: 
 
 
▫ Condições iniciais: 
 
 
 
▫ Resposta entrada nula: 
 
Análise no Domínio do Tempo Contínuo 
• Exemplo 2.1 (c) – raízes complexas: 
 
 
▫ Condições iniciais: 
 
 
 
▫ Resposta entrada nula: 
 
Papel das Condições Auxiliares 
• Por que precisamos das condições auxiliares 
para obter a resposta de entrada nula? 
▫ A operação diferenciação é não-invertível 
▫ Para obter y(t) unicamente de dy(t)/dt precisamos 
de uma informação extra como y(0) 
▫ Da mesma forma, para obter y(t) de d2y(t)/dt2 
precisamos de 2 condições, chamadas de 
condições auxiliares, e assim por diante 
• Quando a condição auxiliar é dada no tempo 
t=0, chamamos de condição inicial 
 
O Comportamento de Entrada Nula 
• Assuma que um sistema mecânico esteja em 
repouso 
▫ Aplique momentaneamente um distúrbio, remova o 
distúrbio (a partir dessa remoção a resposta é a de 
entrada nula), o sistema não entrará em repouso 
instantaneamente 
▫ O sistema entrará em repouso depois de algum tempo, 
de acordo com as características do sistema 
▫ Esta resposta deverá ser mantida sem qualquer fonte 
externa 
▫ O sistema usa uma combinação linear de seus modos 
característicos para voltar para a posição de repouso 
(de acordo com certas condições iniciais) 
Ressonância 
• Qualquer sinal constituído pelo modo 
característico de um sistema é mantido pelo 
próprio sistema que não oferece obstáculo a tais 
sinais 
• Equivalente a solicitar a um alcoólatra que prove 
um whisky! 
• Alimentar um sistema com um sinal de entrada 
da forma do seu modo característico causará o 
fenômeno de ressonância 
Análise no Domínio do Tempo Discreto 
• Resposta entrada nula: 
▫ x[n] = 0 
 
 
 
 
 
▫ A combinação linear de y0[n] e seus avanços é 
zero 
▫ Para isso y0[n] e seus avanços devem ter a mesma 
forma 
Análise no Domínio do Tempo Discreto 
• Resposta entrada nula: 
▫ Para isso y0[n] e seus avanços devem ter a mesma 
forma 
 
 
▫ Assim, a equação de diferenças pode ser escrita por 
Polinômio Característico (independe da entrada): 
Análise no Domínio do Tempo Discreto 
• Resposta entrada nula: 
▫ A solução da equação de diferenças é portanto: 
 
 
 
 
▫ A resposta temporal y0 [n] é a soma de 
exponenciais complexas 
 
 
Raízes características do sistema 
Modos 
Autovalores 
Análise no Domínio do Tempo Discreto 
• Resposta entrada nula: 
 
▫ determinam a resposta a condições 
iniciais e influenciam na resposta a um sinal de 
entrada 
▫ Os modos característicos definem todo o 
comportamento do sistema 
Análise no Domínio do Tempo Discreto 
• Resposta entrada nula: 
▫ Casos Especiais: 
 
 
 Raízes múltiplas 
 
 
 
 Raízes complexas conjugadas 
Análise no Domínio do Tempo Discreto 
• Exemplo 3.10: (Raízes reais distintas) 
▫ Equação de diferenças: 
 
 
 
▫ Condições iniciais: 
 
 
▫ Resposta entrada nula: 
Análise no Domínio do Tempo Discreto 
• Exemplo 3.10: (Raízes reais múltiplas) 
▫ Equação de diferenças: 
 
 
 
▫ Condições iniciais: 
 
 
▫ Resposta entrada nula: 
Análise no Domínio do Tempo Discreto 
• Exemplo 3.10: (Raízes complexas conjugadas) 
▫ Equação de diferenças: 
 
 
 
▫ Condições iniciais: 
 
 
▫ Resposta entrada nula: 
Análise no Domínio do Tempo 
• Resposta à Entrada Externa 
▫ O sistema encontra-se em estado nulo (condições 
inicias nulas) 
▫ Para obter e entender a resposta a uma entrada 
qualquer é necessário conhecer a resposta ao 
impulso do sistema, h(t) 
▫ Qualquer entrada pode ser quebrada em vários 
pulsos retangulares, cada pulso produz uma 
resposta do sistema 
▫ Como o sistema é LIT, a resposta do sistema a x(t) 
é a soma de sua resposta para todos os 
componentes dos pulsos retangulares 
Análise no Domínio do Tempo 
• Resposta à Entrada Externa 
▫ A resposta do sistema a x(t) é a soma de sua 
resposta para todos os componentes dos pulsos 
retangulares (com Δt aproximando de zero, temos 
impulsos) 
h(t): resposta ao impulso 
Análise no Domínio do Tempo 
• Resposta à Entrada Externa – Caso discreto 
▫ A entrada é um somatório de impulsos 
▫ O sistema encontra-se em estado nulo (condições 
iniciais nulas) 
▫ No sistema abaixo 
 
 
 
 
 como obter y[n]? 
? 
Análise no Domínio do Tempo 
• Resposta à Entrada Externa – Caso discreto 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise no Domínio do Tempo 
• Resposta à Entrada Externa – Caso discreto 
▫ A entrada é um somatório de impulsos 
 
 
 
 
▫ A saída a uma entrada externa é dada por: 
 
 
 
 Somatório de Convolução! 
Análise no Domínio do Tempo 
• Resposta Total– Caso discreto 
▫ A saída total do sistema é dada por: 
 
 
 
 
Resposta 
Entrada Nula 
Resposta 
Estado nulo 
Análise no Domínio do Tempo 
• Resposta à Entrada Externa – Caso Contínuo 
▫ Voltando ao caso contínuo... Condições iniciaisnulas e largura do pulso tendendo a zero 
Análise no Domínio do Tempo 
• Resposta à Entrada Externa – Caso Contínuo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise no Domínio do Tempo 
• Resposta à Entrada Externa – Caso Contínuo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise no Domínio do Tempo 
• Resposta à Entrada Externa – Caso Contínuo 
▫ Assim: 
 
 
 
 
 
 Conhecendo a resposta ao impulso, é possível obter a 
resposta do sistema (LIT) a qualquer entrada 
Integral de Convolução! 
Análise no Domínio do Tempo 
• Resposta Total– Caso Contínuo 
▫ A saída total do sistema LIT é dada por: 
 
 
 
 
Resposta 
Entrada Nula 
Resposta 
Estado nulo 
Convolução 
• Somatório de Convolução 
▫ Considerando o sistema linear e invariante no 
tempo: 
 
 
 
 
? 
Convolução 
• Somatório de Convolução 
▫ Considerando o sistema linear e invariante no 
tempo: 
 
 
 
 
Convolução 
• Somatório de Convolução 
 
 
 
 
Convolução 
• Somatório de Convolução 
 
 
 
 
Convolução 
• Somatório de Convolução 
 
 
 
 
inverte 
Convolução 
• Somatório de Convolução 
 
 
 
 
desloca 
Convolução 
• Somatório de Convolução 
 
 
 
 
multiplica 
Convolução 
• Somatório de Convolução 
 
 
 
 
multiplica 
Convolução 
• Somatório de Convolução 
 
 
 
 
soma 
Convolução 
• Somatório de Convolução 
 
 
 
 
Convolução 
• Somatório de Convolução 
 
 
 
 
Convolução 
• Somatório de Convolução 
 
 
 
 
Convolução 
• Somatório de Convolução 
 
 
 
 
Convolução 
• Somatório de Convolução 
 
 
 
 
Convolução 
• Somatório de Convolução 
 
 
 
 
Convolução 
• Somatório de Convolução 
▫ Qual gráfico abaixo representa a convolução: 
 
 
 
 
? 
Convolução 
• Somatório de Convolução 
 
 
 
 
Convolução 
• Somatório de Convolução 
 
 
 
 
Convolução 
• Somatório de Convolução 
 
 
 
 
Convolução 
• Somatório de Convolução 
 
 
 
 
Convolução 
 
 
 
 
• Somatório de Convolução: propriedades 
 
 
 
 
Convolução 
 
 
 
 
• Somatório de Convolução: propriedades 
 
 
 
 
Convolução 
• Entendimento intuitivo da Convolução 
▫ Assuma que a resposta ao impulso caia linearmente 
com o tempo: 
 
 
 
 
▫ Divida a entrada em pulsos, como, por exemplo: 
Convolução 
• Entendimento intuitivo da Convolução 
▫ A resposta do sistema em t é determinada pela entrada x(τ) 
ponderada por h(t-τ) no pulso sombreado, mais a contribuição de 
todos os pulsos anteriores de x(τ). A soma de todos essas entradas 
é a integral de convolução: 
 
ponderação 
Por isso a reversão temporal... 
1 segundo 
Convolução 
• Sistemas Interconectados 
▫ Conexão paralela: 
 
 
 
 
▫ Em cascata: 
 
Convolução 
• Sistemas Interconectados 
▫ Integração: 
 
 
 
 
▫ Diferenciação 
 
Convolução 
• Sistemas Interconectados 
▫ Considere que: 
 
 
 x(t) é um impulso e h(t) a resposta ao impulso 
 Assim, a resposta ao degrau, g(t) é dada por: 
 
 
Convolução 
• Entendimento gráfico da Integral de Convolução 
 
 
 
 
Convolução 
• Entendimento gráfico da Integral de Convolução 
 
 
 Manter x(τ) e fazer a reversão de g(τ) 
 
 
 
 
Convolução 
• Entendimento gráfico da Integral de Convolução 
 
 
 Deslocar g(τ) no tempo determinado (t1) e integrar 
(t1>0) – área debaixo do produto, sendo ela o 
resultado da convolução para o valor de t 
 
 
 
 
Convolução 
• Entendimento gráfico da Integral de Convolução 
 
 
 Deslocar g(τ) no tempo determinado (t2) e integrar 
(t2<0) 
 
 
 
 
Convolução 
• Entendimento gráfico da Integral de Convolução 
 
 
 Deslocar g(τ) no tempo para todos os valores de t e 
integrar (para t≤-3 elas não se sobrepõem) 
 
 
 
 
Convolução 
• Entendimento gráfico da Integral de Convolução 
 
 
 Resultado final 
 
 
 
 
Convolução 
• Entendimento gráfico da Integral de Convolução 
 Exemplo 2.7: 
 
 
 
 
Convolução 
• Entendimento gráfico da Integral de Convolução 
 Exemplo 2.7: 
 
 
 
 
• Integral de Convolução 
 
 
 
 
Convolução 
• Integral de Convolução 
Usando a tabela: 
 
 
 
 
Convolução 
Convolução 
• Integral de Convolução 
▫ Qual gráfico abaixo representa a convolução: 
 
 
 
 
? 
Propriedades da Convolução 
• Integral de Convolução 
▫ Qual gráfico abaixo representa a convolução: 
 
 
 
 
? 
• Integral de Convolução: propriedades 
 
 
 
 
Convolução 
• Integral de Convolução: propriedades 
 
 
 
 
Convolução 
Exercícios 
• 2.4-2 
• 2.4-4 
• 2.4-5 
• 2.4-7 (tabela) 
• 2.4-11 d) 
• 2.4-12 
• 2.4-16 
• 2.4-18 c) e d) 
• 2.4-29 
• 2.6-6 
• 3.6-1, 3,6-2, 3,6-3 
• 3.6-7 
• 3.8 
• 3.10 
Solução de Exercícios 
• 3.4-7 
(a) V 
(b) F 
(c) V 
(d) F 
(e) F 
Solução de Exercícios 
• 3.6-7 
• 3.8-12 
	Sinais e Sistemas
	Sumário
	Sistemas LIT
	Equações Diferenciais
	Equações de Diferenças
	Análise no Domínio do Tempo
	Análise no Domínio do Tempo Contínuo
	Análise no Domínio do Tempo Contínuo
	Análise no Domínio do Tempo Contínuo
	Análise no Domínio do Tempo Contínuo
	Análise no Domínio do Tempo Contínuo
	Análise no Domínio do Tempo Contínuo
	Análise no Domínio do Tempo Contínuo
	Análise no Domínio do Tempo Contínuo
	Análise no Domínio do Tempo Contínuo
	Papel das Condições Auxiliares
	O Comportamento de Entrada Nula
	Ressonância
	Análise no Domínio do Tempo Discreto
	Análise no Domínio do Tempo Discreto
	Análise no Domínio do Tempo Discreto
	Análise no Domínio do Tempo Discreto
	Análise no Domínio do Tempo Discreto
	Análise no Domínio do Tempo Discreto
	Análise no Domínio do Tempo Discreto
	Análise no Domínio do Tempo Discreto
	Análise no Domínio do Tempo
	Análise no Domínio do Tempo
	Análise no Domínio do Tempo
	Análise no Domínio do Tempo
	Análise no Domínio do Tempo
	Análise no Domínio do Tempo
	Análise no Domínio do Tempo
	Análise no Domínio do Tempo
	Análise no Domínio do Tempo
	Análise no Domínio do Tempo
	Análise no Domínio do Tempo
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Convolução
	Propriedades da Convolução
	Convolução
	Convolução
	Exercícios
	Solução de Exercícios
	Solução de Exercícios