Fundamentos a Metrologia

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7
 Resultados de Medições Indiretas
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial
- Capítulo 7 - 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial * (slide */52)
Motivação
Como estimar a incerteza do valor de uma grandeza que é calculada a partir de operações matemáticas com os resultados de outras grandezas medidas?
A = b . c
u(A) = ?
- Capítulo 7 - 
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7.1
Considerações Preliminares
- Capítulo 7 - 
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Medições indiretas
O valor do mensurando é determinado a partir de operações matemáticas envolvendo resultados de duas ou mais grandezas de entrada medidas separadamente.
Exemplos:
A área de um terreno calculada através do produto entre sua largura pelo seu comprimento.
Determinação da corrente elétrica dividindo a queda de tensão sobre um resistor pelo valor da sua resistência.
- Capítulo 7 - 
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O Modelo Matemático
É necessário um modelo matemático que relacione as grandezas de entrada com o valor do mensurando.
Exemplos:
A = l . h
V = d / t
- Capítulo 7 - 
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Dependência estatística & correlação
Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente independentes ou não correlacionadas se as variações aleatórias da primeira não guardam nenhum tipo de sincronismo com as da segunda.
Exemplo:
a temperatura da água do mar na praia da Joaquina e a cotação do dólar.
- Capítulo 7 - 
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Dependência estatística
Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente dependentes ou correlacionadas se as variações aleatórias da primeira ocorrem de forma sincronizada com as variações aleatórias da segunda.
Exemplos:
Os valores em Real da cotação do Euro e do Dólar (na verdade quem mais muda é o Real).
A temperatura da água do mar em duas praias próximas.
- Capítulo 7 - 
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Correlação direta
Na correlação direta as variações estão sincronizadas de tal forma que:
(a) o aumento aleatório do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de um aumento proporcional da segunda variável.
(b) a redução aleatória do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de uma redução proporcional da segunda variável. 
- Capítulo 7 - 
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Correlação inversa
Na correlação inversa as variações estão sincronizadas de tal forma que:
(a) o aumento aleatório do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de uma redução proporcional da segunda variável.
(b) a redução aleatória do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de um aumento proporcional da segunda variável. 
- Capítulo 7 - 
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Analogia da Gangorra ...
A e B possuem correlação direta
A e C possuem correlação inversa
B e C possuem correlação inversa
- Capítulo 7 - 
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Coeficiente de Correlação
sendo
(X,Y)		o coeficiente de correlação entre X e Y
cov(X, Y)	a covariância entre X e Y
X		o desvio padrão da variável aleatória X
Y		o desvio padrão da variável aleatória Y
- Capítulo 7 - 
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Estimativa do Coeficiente de Correlação
- Capítulo 7 - 
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Correlação direta e inversa
Correlação direta perfeita:
	 ρ(X, Y) = +1,00
Correlação inversa perfeita: 
	 ρ(X, Y) = -1,00
Ausência total de correlação
	 ρ(X, Y) = 0,00
- Capítulo 7 - 
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Correlação entre múltiplas variáveis aleatórias
- Capítulo 7 - 
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Nas medições indiretas há boas chances de correlação quando:
Há erros sistemáticos consideráveis e não compensados nas medições de ambas grandezas;
Uma mesma grandeza de influência age fortemente em ambos processos de medição;
Ambas grandezas são medidas pelo mesmo SM em condições distintas das de calibração ou muito tempo após a calibração ter sido realizada.
- Capítulo 7 - 
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Nas medições indiretas há boas chances de não haver correlação se:
Ambos os sistemas de medição foram recentemente calibrados e estão operando em condições próximas das condições de calibração e as respectivas correções estão sendo aplicadas;
Distintos sistemas de medição são utilizados em condições em que não há uma mesma grandeza de influência presente que possa afetar significativamente ambos os processos de medição.
- Capítulo 7 - 
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7.2
Estimativa da Incerteza Combinada em Medições não Correlacionadas (MNC)
- Capítulo 7 - 
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Adição e subtração de MNC
O quadrado da incerteza combinada da adição ou subtração de MNC é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão de cada termo:
- Capítulo 7 - 
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Exemplo: Adição de MNC
mT = m1 + m2
m1 = (1000 ± 6) g
m2 = (2000 ± 8) g
[u(mT)]2 = [u(m1)]2 + [u(m2)]2
[u(mT)]2 = [3]2 + [4]2 = 25
u(mT) = 5 g
MNC
mT = (3000 ± 10) g
u(m1) = 6/2,0 = 3 g
u(m2) = 8/2,0 = 4 g
U = t . u = 2,0 . 5 = 10 g
- Capítulo 7 - 
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Exemplo: Subtração de MNC
mC = m2 – m1
m1 = (1000 ± 6) g
m2 = (2000 ± 8) g
[u(mc)]2 = [u(m1)]2 + [u(m2)]2
[u(mT)]2 = [3]2 + [4]2 = 25
u(mT) = 5 g
MNC
mC = (1000 ± 10) g
mC + m1 = m2
U = t . u = 2,0 . 5 = 10 g
- Capítulo 7 - 
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Multiplicação de MNC
Na multiplicação de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas de cada fator:
- Capítulo 7 - 
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Divisão de MNC
Na divisão de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas do divisor e do dividendo:
- Capítulo 7 - 
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Generalizando: Multiplicação e Divisão de MNC
Na multiplicação e/ou divisão de qualquer número de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas de cada termo por:
- Capítulo 7 - 
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Exemplo: Divisão de MNC
R
Determine a corrente elétrica que passa por um resistor de (500,0 ± 1,0)  sobre o qual foi medida uma queda de tensão de (150,0 ± 3,0) V.
u(R) = 1,0/2,0 = 0,5 Ω
u(V) = 3,0/2,0 = 1,5 V
- Capítulo 7 - 
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GEI - Divisão - Exemplo
R
V = (150,0 ± 2*1,5) V
R = (500,0 ± 2*0,5) 
u(I) = 0,0030 A
I = (300 ±6) mA
- Capítulo 7 - 
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Caso Geral de MNC
= coeficiente de sensibilidade
Podem ser calculados analitica ou numericamente
- Capítulo 7 - 
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Exemplo: Caso Geral de MNC
Na determinação da massa específica (ρ) de um material usou-se um processo
indireto, medindo-se em um laboratório, com uma balança, a massa (m) de um cilindro cujo diâmetro (D) e altura (h) foram determinados por um micrômetro e um paquímetro respectivamente. Após a compensação dos erros sistemáticos, foram encontrados os seguintes resultados e os respectivos números de graus de liberdade para cada grandeza de entrada:
- Capítulo 7 - 
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Medições Realizadas
D
Para a massa: 
	m = (1580 ± 22) g		νm = 14
Para o diâmetro:
	D = (25,423 ± 0,006) mm
	νD = ∞
Para a altura:
	h = (77,35 ± 0,11) mm	νh = 14
- Capítulo 7 - 
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Massa Específica
D
- Capítulo 7 - 
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Considerando que as medições foram efetuadas em condições de laboratório e as componentes sistemáticas foram compensadas, é muito provável que as medidas das três grandezas sejam não correlacionadas. 
A incerteza padrão associada a cada grandeza envolvida será calculada dividindo-se a incerteza expandida pelo coeficiente t de Student:
	u(m) = U(m)/t14 = 22/2,20 = 10 g
	u(D) = U(D)/t = 0,006/2,00 = 0,0030 mm
	u(h) = U(h)/t14 = 0,11/2,20 = 0,050 mm
- Capítulo 7 - 
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Cálculo da incerteza combinada
- Capítulo 7 - 
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Cálculo da incerteza combinada
- Capítulo 7 - 
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Cálculo da incerteza combinada
- Capítulo 7 - 
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Cálculo do número de graus de liberdade efetivos
- Capítulo 7 - 
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Valor da massa específica:
 U() = 2,20 . u()
U() = 2,20 . 0,0002562 = 0,000564 g/mm3
 = (0,04024  0,00056) g/mm3 
- Capítulo 7 - 
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7.3
Estimativa da Incerteza Combinada de Medições Correlacionadas (MC)
- Capítulo 7 - 
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Adição de MC
Com correlação direta perfeita:
Com correlação inversa perfeita:
- Capítulo 7 - 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial * (slide */52)
Adição de MC
Soma de múltiplos termos:
Z = A + B + C + D
E = A + C
F = B + D
Z = E + F
u(E) = u(A) + u(C)
u(F) = u(B) + u(D)
u(Z) = |u(E) – u(F)|
u(Z) = |u(A) – u(B) + u(C) – u(D)|
- Capítulo 7 - 
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Subtração de MC
Com correlação direta perfeita:
Com correlação inversa perfeita:
- Capítulo 7 - 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial * (slide */52)
Subtração de MC
Para múltiplos termos:
Z = A - B - C – D = (A - C) – (B + D)
G = A - C
H = B + D
Z = G - H
u(G) = |u(A) - u(C)|
u(H) = u(B) + u(D)
u(Z) = u(G) + u(H)
u(Z) = |u(A) – u(C)| + u(B) + u(D)
- Capítulo 7 - 
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Multiplicação de MC
Com correlação direta perfeita:
Com correlação inversa perfeita:
- Capítulo 7 - 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial * (slide */52)
Multiplicação de MC
Para múltiplos termos:
Z = A . B . C . D
K = A . C
L = B . D
Z = K . L
uR(K) = uR(A) + uR(C)
uR(F) = uR(B) + uR(D)
uR(Z) = |uR(K) – uR(L)|
uR(Z) = |uR(A) – uR(B) + uR(C) – uR(D)|
- Capítulo 7 - 
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Divisão de MC
Com correlação direta perfeita:
Com correlação inversa perfeita:
- Capítulo 7 - 
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Divisão de MC
Para múltiplos termos:
Z = A . B / (C . D) = (A/C) . (B/D)
M = A/C
N = B/D
Z = M . N
uR(M) = |uR(A) - uR(C)|
uR(N) = |uR(B) - uR(D)|
uR(Z) = |uR(M) – uR(N)|
uR(Z) = ||uR(A) – uR(C)| - |uR(B) - uR(D)||
- Capítulo 7 - 
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Caso Geral de MC
Incerteza máxima possível
= coeficiente de sensibilidade
Pode ser calculado analitica ou numericamente
- Capítulo 7 - 
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Caso Geral de MC
Incerteza máxima possível
u(A) = 3 e u(B) = 4
(a) Não correlacionadas:
(b) Correlação direta:
u(G) = u(A) + u(B) = 3 + 4 = 7
(c) Correlação inversa:
u(G) = |u(A) - u(B)| = |3 – 4| = 1
(d) Máxima possível:
- Capítulo 7 - 
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7.4
Estimativa da Incerteza Combinada Quando o Coeficiente de Correlação é Conhecido
- Capítulo 7 - 
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Caso Geral
= coeficiente de sensibilidade
Pode ser calculado analitica ou numericamente
- Capítulo 7 - 
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Medições correlacionadas e não correlacionadas
Para múltiplos termos:
G = A + B + C + D
- Capítulo 7 - 
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Medições correlacionadas e não correlacionadas
- Capítulo 7 - 
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial * (slide */52)
Medições correlacionadas e não correlacionadas
- Capítulo 7 - 
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Correlação parcial
com r(h, α) = -0,5
- Capítulo 7 -