FUNÇÕES VARIAVEIS COMPLEXAS

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Cálculo Avançado A - Variáveis Complexas 
 1 
CAPÍTULO VI – VARIÁVEIS COMPLEXAS 
Neste capítulo, estudaremos as funções de variáveis de complexas, bem como limites, 
continuidade, derivação e integração destas funções, analisando as diferenças e as semelhanças com o 
cálculo de funções de uma variável real. 
1. FUNÇÃO COMPLEXA: 
Seja uma variável complexa, yjxz += , onde x e y são números reais. Consideremos ainda a 
variável complexa jvuw += , onde u e v são números reais. Vamos supor que z está num plano, o 
qual chamaremos de z-plano (domínio) e que w está em outro plano complexo chamado de w-plano 
(imagem). Vamos ainda supor que existe uma regra que associa cada ponto do z-plano (ou uma porção 
deste) com um ponto no w-plano. Desta forma dizemos que w é uma função de z , e podemos escrever 
este fato simbolicamente como: 
( )zfw = . (1.1) 
Se a cada z corresponde um único valor de w, então a função é dita unívoca ou univalente ou 
simplesmente função. Entre essas encontramos as funções racionais, exponenciais, trigonométricas e 
hiperbólicas. Uma função que não é unívoca é dita plurívoca ou multivalente. As inversas das funções 
exponenciais, trigonométricas e hiperbólicas, bem como as funções potência não inteira são funções 
multivalentes e não serão estudadas aqui. Para maiores informações vide referências. “A menos que se 
afirme em contrário iremos supor que todas as funções consideradas são unívocas”. 
OBSERVAÇÃO: 
Devemos notar que o z-plano e o w-plano são geometricamente similares, sendo muitas vezes 
considerados o mesmo plano. 
 
Uma função complexa sempre pode ser decomposta nas suas partes real ( )y,xu e imaginária 
( )y,xv . Por exemplo, vamos decompor a função 
( ) 12 ++= zzzf (1.2) 
em sua parte real e imaginária, substituindo a definição z = x + j y em f(z), obtendo-se que: 
( ) ( ) ( ) ( )yxy2j1xyx1jyxjyxzfw 222 ++++-=++++== (1.3) 
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 2 
e assim: 
( )
( )ïî
ï
í
ì
+=
++-=
yxy2y,xv
1xyxy,xu 22 (1.4) 
Se quiséssemos o contrário, isto é, dada a função 
( ) ( ) ( )yxy2j1xyxzf 22 ++++-= (1.5) 
para encontrarmos a função escrita em termos de z e z , devemos usar as propriedades do conjugado de 
um número complexo, ou seja, 
j2
zz
ye
2
zz
x
-
=
+
= (1.6) 
Transformação: 
Propriedades de uma função real f(x), de uma variável real x, são demonstradas 
geometricamente pelo gráfico da função. A equação )x(fy = estabelece uma correspondência entre os 
pontos x no eixo real x e os pontos y no eixo real y. Ao conjunto dos pontos (x, y) formados desta 
correspondência chamamos de gráfico de f(x). Da mesma forma usamos uma superfície para exibir 
graficamente uma função real ( )y,xfz = , que relaciona um ponto (x, y) do plano domínio com o 
número real z do eixo real z, este é um gráfico em três dimensões. 
Entretanto, quando consideramos )z(fw = , com z e w variáveis complexas, o domínio desta 
função é um plano e a imagem também. Assim seu gráfico teria quatro dimensões, tornando 
impraticável sua representação. Mesmo assim, algumas informações da função podem ser obtidas 
através da observação da relação entre os pontos do domínio e da imagem. Utilizamos para isto, dois 
planos complexos distintos: o z-plano e o w-plano, onde para cada ponto ( )y,xz = no z-plano 
corresponde a um ponto ( )v,uw = do w-plano. Escolhendo um conjunto de pontos no domínio da 
função, podemos estudar a correspondência existente entre este conjunto e sua imagem. A esta relação 
damos o nome de transformação de um conjunto de pontos do z-plano em um outro conjunto de 
pontos no w-plano pela função. Este termo se aplica a conjuntos como uma curva, uma região, etc.. 
Para empregarmos certos termos geométricos, é conveniente, às vezes, considerar a aplicação 
como uma transformação num só plano. A função 2+= zw , por exemplo, pode ser encarada como 
uma translação de cada ponto z à posição 2+= zw , isto é, duas unidades à direita de z. A função 
zw = leva cada ponto z na sua reflexão no eixo real. 
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 3 
A transformação de curvas ou regiões fornece em geral mais informações sobre a função do 
que as transformações de pontos individuais. Como exemplo, vamos considerar a função: 
yjyxw -+= 22 (1.7) 
a qual leva os pontos de cada circunferência 222 cyx =+ (figura 1.1a), onde 0³c , em pontos da reta 
,cu = pois ( )2122 yxu += . Mas para obtermos todos os pontos do circunferência, y deverá assumir 
todos os valores de -c até c, e como v = -y, então v deverá variar de c até -c. Assim, a imagem do 
circunferência 222 cyx =+ é o segmento de reta cu = compreendido entre as retas uveuv -== 
(ver figura 1.1b). Visto que dois pontos do tipo z = x + jy e jyxz +-= tem a mesma imagem w, cada 
ponto do segmento, exceto as extremidades, é imagem de dois pontos do circunferência. O domínio D 
de definição da função w é o z-plano inteiro. Cada ponto de D se situa sobre uma destas 
circunferências, pois c pode ser qualquer constante não negativa, e a imagem desta circunferência é um 
segmento como o descrito acima. Reciprocamente, um segmento deste tipo é sempre imagem de uma 
destas circunferências, pela função f. Assim, a imagem do z-plano, contradomínio R da função w, é o 
quadrante .uvue0u ££-³ 
c
x
y
 
 c
u
v u=v
u=-v 
(a) (b) 
Figura 1.1: Exemplo de Transformação 
Limite e Continuidade: 
Chamamos de Vizinhança de 0z com raio r a um conjunto definido por: 
( ) { }r<-Î=r 00 zz/Cz,zV (1.8) 
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Dizemos que uma função complexa f(z), definida em uma vizinhança de 0z , possui limite L quando z 
se aproxima de z0 por qualquer direção do plano complexo, se para qualquer número real positivo x , 
podemos determinar um outro número real positivo d tal que ( ) x<- Lzf sempre que .zz d<- 0 
Isto é, os valores de f(z) são tão próximos quanto desejarmos de L para todos os valores de z 
suficientemente próximos de z0 (vide Figura 1.2). Escrevemos isto como: 
( ) Lzflim
0zz
=
®
 . (1.9) 
Nota: Como a definição de limite é exatamente a mesma que a dada para o cálculo de uma 
variável real, podemos demonstrar, da mesma forma que para funções de uma variável real que: 
1. O limite quando existe é único. 2. CC
zz
lim =
® 0
 
3. 0
0
zz
zz
lim =
®
 4. ( ) ( )[ ] ( ) )z(g
zz
limzf
zz
limzgzf
zz
lim
000 ®
+
®
=+
®
 
5.
( )
( )
( )
( )zg
zz
lim
zf
zz
lim
zg
zf
zz
lim
0
0
0 ®
®
=
®
 6. ( ) ( ) ( ) ( )zg
zz
limzf
zz
limzgzf
zz
lim
000 ®®
=
®
 
7. ( )[ ] ( )
n
zz
n
zz
zflimzflim
00
ú
û
ù
ê
ë
é
=
®®
 8. ( )[ ] ( )
n
n zf
zz
limzf
zz
lim
1
0
1
0 ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
®
=
®
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2: Limite de f(z) quando z tende à z0. 
OBSERVAÇÃO: Como a distância entre dois pontos “ z” e “a” é dada por ,az - segue 
geometricamente que: 
,az r=- (1.10) 
representa uma circunferência de raio ""r com centro em "a" . Conseqüentemente, a desigualdade: 
d 
0z L 
x z f(z) 
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 5 
,az r<- (1.11) 
representa o conjunto de todos os pontos interiores desta circunferência e, 
,az r£- (1.12) 
é a união dos pontos interiores com os pontos sobre a circunferência de centro "a" e raio ""r . 
Uma função f(z) é dita Contínua em 0zz = se: 
a) Existe L, tal que ( ) Lzflim
0zz
=
®
. 
b) A função f(z) está definida no ponto 0z , isto é ( )0zf existe. 
c) ( ) ( )0
zz
0 zf)z(flim,sejaou,zfL
0
==
®
. 
OBSERVAÇÃO: Uma função é dita Contínua num conjunto S, se f(z) é contínua em cada 
ponto z .SÎ 
Nota: Da mesma forma que limites, a definição de continuidade é exatamente a mesma que a 
dada para o Cálculo de Uma Variável Real. Assim, podemos demonstrar, da mesma forma que para a 
funções de uma variável real, que se f e g são duas funções contínuas em 0z , então: 
1. gf + é uma função contínua em 0z . 
2. gf - é uma função contínua em 0z . 
3. g.f é uma função contínua em 0z . 
4. g/f é uma função contínua em 0z , desde que g( ) .z 00 ¹ 
Derivação: 
Uma função f(z) é dita Derivável em um ponto z se existe o limite: 
( ) ( ) ( )
z
zfzzf
limzf)z(fD
0z
z D
-D+
=¢=
®D
 , (1.13) 
e quando o limite (1.13) existe, ele é chamado de derivada de f(z) no ponto z. 
Nota: Todas as regras familiares do cálculo diferencial real, tais como as regras de derivação 
de uma constante, das potências de z, somas, produtos e quocientes de funções deriváveis e a regra da 
cadeia para derivar funções de funções, continuam válidas no campo complexo. Assim sendo: 
1. ( ) 0CDz = ; 2. ( ) 1nnz znzD -= ; 
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3. ( )( ) ( )( )zfDCzfCD zz = ; 4. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )zgDzfDzgzfD zzz +=+ ; 
5. ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )zfD.zgzgDzfzgzfD zzz += ; 
6. 
( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )[ ]2
zz
z
zg
zgD.zfzfD.zg
zg
zf
D
+
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
; 
7. Se ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )zuD)u(fDufDentão,existeufDe,zuu zuzu == . 
EXEMPLOS: 
A derivada de ( ) 2zzf = em qualquer ponto z é 2z, pois: 
( ) ( ) ( ) z2zz2lim
z
zzz
limzf
0z
22
0z
=D+=
D
-D+
=¢
®D®D
. (1.14) 
Nota: É importante ressaltar que algumas funções simples não apresentam derivada em 
nenhum ponto como, por exemplo, podemos citar, ( ) zzf = , pois: 
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
yjx
yjx
yjx
jyxyyjxx
z
zfzzf
)z(h
D+D
D-D
=
D+D
--D+-D+
=
D
-D+
= (1.15) 
e calcular o limite de (1.15) quando 0zz ® depende do caminho escolhido. Vamos primeiramente 
escolher o caminho I da Figura 1.3, isto é, vamos fazer 0y ®D e depois 0x ®D , ou seja: 
1
yjx
yjx
lim)z(hlim
0x
0y0z
=
D+D
D-D
=
®D
®D®D
 (1.16) 
e depois, escolhendo o caminho II, ou seja, fazendo inicialmente 0x ®D e depois 0y ®D , obtendo: 
1
yjx
yjx
lim)z(hlim
0y
0x0z
-=
D+D
D-D
=
®D
®D®D
. (1.17) 
 
 
 
 
Figura 1.3: Caminhos I e II. 
Assim, de (1.13) e (1.14) vemos que o limite depende do caminho escolhido, o que indica que 
este não existe, ou seja, a função não é derivável em nenhum ponto. 
zz D+ 
z I 
II 
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 7 
Analiticidade e Singularidade: 
Se uma função f(z) possui derivada em um ponto 0z z e se conseguimos uma vizinhança de 
0z de tal forma que a derivada de f(z) exista em todos os pontos interiores a esta vizinhança dizemos 
que a função f(z) é regular ou analítica em 0z . Neste caso, 0z é dito um ponto regular da f(z). Um 
ponto 0z é dito ponto singular, ou simplesmente uma singularidade de uma função f(z), se ele não é 
um ponto regular desta função. Um ponto singular 0z é dito singularidade isolada, se existe uma 
vizinhança de 0z onde todos os pontos desta vizinhança são regulares, exceto o próprio 0z . 
Uma função f(z) pode ser derivável em um ponto, mas não ser analítica neste ponto, por 
exemplo, 2z)z(f = . Em 0z = , a função é derivável, pois: 
( ) ( )
0zlim
z
z.z
lim
z
z
lim
z
0fz0f
lim
0z0z
2
0z0z
=D=
D
DD
=
D
D
=
D
-D+
®D®D®D®D
. (1.18) 
Entretanto, checando em qualquer outro ponto distinto de zero, a derivada não existe, logo 
todos os pontos são singulares, inclusive a origem, apesar da função ser diferenciável em z = 0. 
Portanto, esta função não é analítica em ponto algum. 
Tipos de singularidades: 
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
ï
î
ï
í
ì
isoladanão
cialsenesadesingularid
polo
removíveladesingularid
isolada
 . 
Um ponto singular isolado 0z de uma função f(z) é dito removível, se existe o limite: 
( )zflim
0zz®
. (1.19) 
Um ponto singular isolado 0z de uma função f(z) é chamado de pólo de ordem n de f(z), se: 
( ) L)z(fzzlim n0
zz 0
=-
®
, (1.20) 
onde L é um número finito não nulo e n é o menor número inteiro positivo tal que (1.20) exista. 
Uma singularidade isolada 0z de f(z) é dita essencial se não existe n inteiro positivo tal que: 
( ) ¥<-
®
)z(fzzlim n0
zz 0
. (1.21) 
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 8 
As Equações de Cauchy-Riemann: 
As Equações de Cauchy-Riemann nos fornecem informações sobre a derivabilidade e a 
analiticidade de uma função complexa f(z) em um dado ponto z do plano complexo. Estas informações 
são apresentadas nos seguintes teoremas: 
TEOREMA 1: Uma função f(z) é derivável num ponto z = (x, y) se, e somente se, satisfaz as 
equações de Cauchy-Riemann: 
ï
ï
î
ïï
í
ì
¶
¶
-=
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
)y,x(
x
v
)y,x(
y
u
)y,x(
y
v
)y,x(
x
u
 (1.22) 
neste ponto. E mais, a derivada de f(z) é dada por: 
yyxx ujv)y,x(vj)y,x(u)z(f -=+=¢ . (1.23) 
TEOREMA 2: Uma função f(z) é analítica em um ponto z se, e somente se, as equações de 
Cauchy-Riemann são satisfeitas em uma vizinhança de z. 
Em outras palavras, acabamos de determinar um teste para a existência, ou não, da derivada 
de uma função, o qual considera apenas a parte real e a parte imaginária desta função. 
A Derivada das Funções Exponencial, Trigonométricas e Hiperbólicas: 
A função exponencial é analítica em C, pois: 
( ) ( )
( )ïî
ï
í
ì
=
=
=+=
yseneyxv
ycoseyxu
ysenjycosee
x
x
xz (1.24) 
e aplicando as condições de Cauchy-Riemann vê-se que xyyx vuevu -== para qualquer 
número z complexo. Assim, podemos calcular sua derivada: 
( ) zxxxxz eysenejycosevjuedz
d
=+=+= (1.25) 
As derivadas das funções trigonométricas e hiperbólicas são calculadas usando-se 
propriedades da derivação e a derivada da exponencial, ou seja: 
( )
,zcosh
2
ee
dz
de
dz
de
2
1
dz
zsenhd zzzz
=
+
=÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-=
--
 (1.26) 
e similarmente, 
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 9 
( )
zsenh
dz
zcoshd
= , (1.27) 
( )
zcos
dz
zsend
= (1.28) 
e 
( )
zsen
dz
zcosd
-= . (1.29) 
As fórmulas (1.26 – 1.29) providenciam informações sobre a analiticidade das funções acima. 
Vemos que zcoshezsenh,zcos,zsen são funções regulares em todo o plano complexo. A derivada 
das funções tg z, sec z, cotg z, cosec z, tgh z, sech z, cotgh z e cosech z é obtida através da regra da 
derivada da divisão e estas funções são singulares em pontos onde a função se torna infinita. Assim, 
por exemplo, cada ponto onde cos z vale zero, é um ponto singular de tg z e sec z, isto é, 
( ) ,0j
2
1k2z +
p
+= 
como já foi visto no capítulo I. Assim, as funções tg z e sec z tem um número infinito de 
singularidades isoladas distribuídas em intervalos uniformes ao longo do eixo real. 
Como um segundo exemplo, vamos encontrar os pontos singulares de tgh z e sech z. Estas 
funções são infinitas quando cosh z é zero, assim, temos que: 
( ) ,njz
2
120
p
++= 
(vide cap. I) os quais são infinitos pontos igualmente espaçados sobre o eixo imaginário. 
Exercício: Achar as singularidades das funções cotg z, cosec z, cotgh z e cosech z. 
2. INTEGRAÇÃO COMPLEXA: 
A teoria de integrais curvilíneas, juntamente com a série de potências e o teorema dos 
resíduos (vide referências), constitui uma parte importante da teoria das funções de variáveis 
complexas. Uma de suas principais aplicações é a inversão de transformações
integrais. 
Curvas e caminhos: 
Uma curva orientada ou paramétrica C no plano complexo (vide fig.2.1) é um conjunto de 
pontos z = (x, y) tais que 
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 10 
)t(xx = e )t(yy = , com t Î [a, b], 
onde x(t) e y(t) são funções contínuas da variável real t, no intervalo fechado [a,b]. Como ,yjxz += 
podemos escrever, 
( ) btacom,tzz ££= . 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1: (a) curva simples, (b),(c) curvas não-simples. 
 
O ponto z(a) é o ponto inicial da curva C, e o ponto z(b) é o ponto final de C. Se z(a) = z(b), C 
é dita uma curva fechada. Se não existem dois valores distintos de t em [a, b], denominados aqui 
,tet 21 com 21 tt < , at1 ¹ e bt2 ¹ , tais que )t(z)t(z 21 = , diz-se que a curva C é simples (Curva 
de Jodan). Uma curva é dita suave se ( )tz¢ existe, é contínua e não se anula para nenhum t no 
intervalo ]a, b[. Uma curva é dita retificável se tem comprimento finito L, isto é, se existe a integral: 
.dt)yx(L 2/1
2b
a
2ò ¢+¢= 
 
 
 
 
 
Figura 2.2: Exemplos de curvas fechadas: (a) simples, (b) não simples. 
 
A figura 2.2 acima mostra o exemplo de duas curvas fechadas: (a) é uma curva simples 
fechada e, em (b), cada um dos "loops" pode ser visto como uma curva simples fechada, mas a curva 
completa não é uma curva simples fechada. 
(a) 
(b) 
(c) 
t = a 
t = b 
t = a 
t = b 
t = a 
t = b 
(a) (b) 
Cálculo Avançado A - Variáveis Complexas 
 11 
Exemplos de Curvas: 
Seja ( ) ( ) ( )tyjtxtz += onde, 
1) 
( )
1t0com,
t)t(y
ttx
2 ££ïî
ï
í
ì
=
=
, ou simplesmente, 1x0com,xy 2 ££= . 
 
2) 
î
í
ì
=
=
tseny
tcosx
, com p££ 2t0 , ou simplesmente, 1yx 22 =+ . 
 
3) 
( )
( )î
í
ì
=
-=
tty
1tx
, com 1t1 ££- . 
 
4) 
ïî
ï
í
ì
=
=
2t)t(y
3t)t(x
, com 2t2 ££- , ou simplesmente, 3/2xy = . 
 
As curvas 1, 2 e 3 são suaves, a curva 4 não é suave, pois )0(ye)0(x ¢¢ anulam-se 
simultaneamente (observe pela figura acima que a curva não possui derivada na origem). 
Um caminho é uma cadeia contínua de curvas suaves. O comprimento de um caminho é a 
soma dos comprimentos das curvas suaves que o compõem. Como exemplos podemos citar o contorno 
de retângulos e triângulos. 
Exemplos de Caminhos: 
1) A semicircunferência inferior, ligando de -1 até 1, parametrizada por ( ) tsinjtcostz += , com 
0t ££p- . 
2) A semicircunferência superior, ligando de 2 até 0, parametrizada por ( ) tsinjtcos1tz ++= , com 
p££ t0 . 
3) O triângulo de vértices -2, 2 e j, percorrido no sentido anti-horário, parametrizado por 
( ) ),t(d)t(d)t(dtz 321 -+= onde: 
-1 
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 12 
( )
( ) ( )ïî
ï
í
ì
££+-=
££+-=
££-=
2t0com,2/tj2t)t(d
2t0com,2/tjt2)t(d
2t2com,t)t(d
3
2
1
. 
 
 
 
 
 
Figura 2.3: Exemplos de Caminhos: (a) ex. 1; (b) ex. 2; (c) ex. 3. 
A Integral de Linha: 
A integral de linha de uma função complexa f(z), onde jyxz += é uma generalização 
natural da definição real da integral definida. No caso de uma integral definida real, o caminho de 
integração é um intervalo do eixo real, já no caso complexo, integramos ao longo de um caminho 
orientado C. Assim, sendo C um caminho e f(z) uma função contínua sobre C, a integral complexa: 
òC dz)z(f , ou simplesmente, òC dz)z(f , (2.1) 
poderá ser definida e representada em termos das integrais reais, ou seja, fazendo-se 
( ) dyjdxdze)y,x(vj)y,x(uzf +=+= , (2.2) 
obtemos que: 
( ) ( )ò ò ò ++-=C C C dy)y,x(udx)y,x(vjdy)y,x(vdx)y,x(udz)z(f , (2.3) 
desde que existam as integrais reais do lado direito de (2.3). 
O caminho C pode ser aberto ou fechado, mas devemos especificar a direção de integração, 
pois uma mudança de direção resulta em mudança no sinal da integral. As integrais complexas são, 
portanto, redutíveis a integrais reais curvilíneas e possuem as seguintes propriedades. 
( ) ( )( ) ò òò +=+ C CC dz)z(gdz)z(fdzzgzf ; (2.4) 
( ) òò = CC dz)z(fkdzzfk , onde k é uma constante complexa; (2.5) 
òòò += 21 CCC dz)z(fdz)z(fdz)z(f , onde 21 CCC += ; (2.6) 
(a) 
(b) 
(c) 
Cálculo Avançado A - Variáveis Complexas 
 13 
( ) òò- -= CC dz)z(fdzzf . (2.7) 
O valor absoluto de uma integral pode ser estimado pela fórmula: 
MLdz)z(f
C
£ò , (2.8) 
onde )z(fmaxM = sobre C, e L é o comprimento (1.1) da curva C. 
Exemplos de Integrais: 
1) dzz
1
1ò- , onde o caminho C que une -1 até 1 é a semicircunferência inferior de raio 1 
centrada na origem. Portanto, a curva C é parametrizada por ( ) 0tcom,tsinjtcostz ££p-+= e, 
assim, [ ] dttcosjtsindt)t(zdz +-=¢= . Logo, 
[ ][ ] òòò p-p- p===+--= p-
00
C
jtjdtjdttcosjtsentsenjtcosdzz
0
. (2.9) 
2) Idêntico ao exemplo 1, onde C agora é um segmento horizontal unindo -1 até 1. Assim, C é 
parametrizada por ( ) 1t1com,ttz ££-= . Portanto, 
0
2
t
dttdzz
1
1
1
1
2
C
===
-òò - . (2.10) 
Note que o valor da integral dzz
1
1ò- depende do caminho escolhido. Além disto, devemos observar 
que ( ) zzf = não é uma função analítica. Vamos então, fazer o mesmo para uma função analítica, por 
exemplo, .z)z(f = 
3) ò-
1
1
,dzz onde o caminho C que une -1 até 1 é a semicircunferência inferior de raio 1 
centrada na origem. Portanto, a curva C é parametrizada por ( ) 0tcom,tsinjtcostz ££p-+= e, 
assim, [ ] dttcosjtsindt)t(zdz +-=¢= . Logo, 
[ ][ ] ( )òòò p-p- =+-=+-+=
00
C
0dtt2cosjdtt2sendttcosjtsentsenjtcosdzz . (2.11) 
4) Idêntico ao exemplo 3, onde C agora é um segmento horizontal unindo -1 até 1. Assim, C é 
parametrizada por ( ) 1t1com,ttz ££-= . Portanto, 
Cálculo Avançado A - Variáveis Complexas 
 14 
0
2
t
dttdzz
1
1
1
1
2
C
===
-òò - . (2.12) 
Devemos observar agora que o valor da integral ò-
1
1
dzz é o mesmo, independente do caminho 
escolhido. Resulta a seguinte pergunta, cuja resposta será dada na próxima seção: "Escolhendo-se 
outros caminhos entre -1 e 1, o valor desta integral continuará sendo o mesmo?" 
Teorema Integral de Cauchy: 
As integrais de funções analíticas possuem algumas propriedades muito importantes. 
Provavelmente a mais importante delas seja descrita pelo teorema integral de Cauchy. 
Para apresentar este teorema precisamos do conceito de conjunto simplesmente conexo. Um 
conjunto D é dito conexo se quaisquer dois de seus pontos podem ser unidos por uma linha totalmente 
pertencente a D. Um conjunto D é dito simplesmente conexo se qualquer curva simples fechada 
contida em D, pode ser deformada, sempre totalmente contida em D, até se tornar um ponto. 
Teorema Integral de Cauchy: Seja f(z) uma função analítica num domínio simplesmente 
conexo D. Se C é um caminho fechado simples de D, então 
ò =C 0dz)z(f . (2.13) 
Prova: Supondo que a derivada de f é contínua, temos 
( ) ( )
,0dydx
y
v
x
u
jdydx
y
u
x
v
dxvdyujdyvdxudz)z(f
RR
C C C
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
-=
=++-=
òòòò
ò ò ò
 (2.14) 
onde, na segunda igualdade de (2.14) foi aplicado o teorema de Green no plano e, na terceira igualdade 
as equações de Cauchy-Riemann. 
Observação 1: O teorema de Green para o plano afirma que: 
( ),dygdxfdydx
y
f
x
g
CR òòò +=÷÷ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
 (2.15) 
onde R é uma região limitada e fechada no plano, cujo contorno é um caminho C e ( ) ( )y,xgey,xf 
são funções contínuas e possuem derivadas parciais )y,x(ge)y,x(f xy contínuas em um domínio D 
que contém R. Uma região fechada é um conjunto conexo que possui todos os seus pontos de fronteira. 
Cálculo Avançado A - Variáveis Complexas 
 15 
Observação 2:
Goursat demonstrou este mesmo teorema sem a hipótese adicional de que 
( )zf ¢ deva ser contínua. 
Exemplo: Seja C a circunferência unitária, centrada na origem, orientada positivamente. 
5) ò =C
z ,0dze pois ze)z(f = é uma função analítica, para todo z complexo. 
6) ò ¹p=C 0j2z
dz
. Mas, isto não contradiz o teorema de Cauchy, pois 1z)z(f -= não é 
analítica na origem, a qual pertence a região R interior ao caminho C. 
7) 0
z
dz
C 2
=ò , apesar de 2z)z(f -= não ser analítica em zero. Isto nos mostra que o teorema 
dá condições suficientes, mas não necessárias. 
Observação 3: Mostra-se que, se f(z) é uma função analítica em D, então a integral que liga 
dois pontos de D independe do caminho tomado. Um exemplo disto foi dado nos exemplos 3 e 4 
acima. Para verificar este fato, seja f(z) uma função analítica numa região que contenha um caminho 
fechado C. Subdividindo o caminho de integração C, como na figura abaixo, em dois arcos 21 CeC - , 
obtemos, pelo teorema de Cauchy, que: 
ò òò -== 1 2C CC dz)z(fdz)z(fdz)z(f0 
e, em conseqüência, 
ò ò=1 2C C dz)z(fdz)z(f , 
ou seja, numa região onde f(z) é analítica, a integral entre dois pontos independe do caminho. 
Teorema: Se f(z) é analítica em um domínio simplesmente conexo D e, se F(z) for uma 
integral indefinida de f(z), ou seja, F´(z) = f(z), então para todos os caminhos situados em D que 
ligam dois pontos a e b em D, têm-se que 
)a(F)b(Fdz)z(f
b
a
-=ò . (2.16) 
Este teorema permite o cálculo das integrais de linha de funções complexas através de 
uma integral indefinida. 
Exemplos: 
8) ( )[ ] j17
3
47
jj41
3
1
3
z
dzz 33j41j
3j41
j
2 --=-+== +
+
ò . 
-C2 
C1 
z2 z1 
Cálculo Avançado A - Variáveis Complexas 
 16 
9) ò
p p -=-
p
==
2/
j
2/
j )1senh(j1jsen2
senzsendzzcos . 
A Fórmula Integral de Cauchy: 
A conseqüência mais importante do teorema de Cauchy é a fórmula integral de Cauchy. Esta 
fórmula é dada pelo teorema abaixo. 
Teorema: Seja f(z) uma função analítica no interior e sobre um caminho fechado C. Se 0z é 
um ponto qualquer no interior de C, então: 
( )
ò -p= C 00
dz
zz
zf
j2
1
)z(f , (2.17) 
onde a integração é efetuada no sentido positivo ao longo de C. 
A fórmula integral de Cauchy, mostra que o valor de uma função analítica numa região é 
determinado em toda a região por seus valores na fronteira. A demonstração deste teorema é omitida. 
Devemos observar também que a fórmula integral de Cauchy nos permite calcular uma integral de 
linha desde que a função a ser integrada tenha uma única singularidade no interior do caminho C. 
Exemplo: Encontre o valor das integrais abaixo, calculadas no sentido anti-horário: 
I) dz
)1z)(1z(
1z
dz
1z
1z
I
C
2
C 2
2
òò +-
+
=
-
+
= , onde: 
a) C é uma circunferência de raio 1 e centro 1. Neste caso, 
1z
1z
)z(f
2
+
+
= e 1z 0 = . Assim, 
j2)1(fj2
1z
)z(f
I
C
p=p=
-
= ò . (2.18) 
b) C é uma circunferência de raio 1 e centro -1. Neste caso, 
1z
1z
)z(f
2
-
+
= e 1z 0 -= . Assim, 
j2)1(fj2
1z
)z(f
I
C
p-=-p=
+
= ò . (2.19) 
c) C é uma circunferência de raio 1 e centro j. Neste caso, I = 0, pois a função a ser integrada 
não possui singularidades no interior do caminho C (vide teorema de Cauchy). 
d) C é uma circunferência de raio 2 e centro 0. Neste caso, a função a ser integrada tem duas 
singularidades no interior do caminho C, não satisfazendo as exigências da fórmula integral de 
Cauchy. No entanto, podemos observar que: 
Cálculo Avançado A - Variáveis Complexas 
 17 
0
1z
1z
1z
1z
j2dz
1z
1z
dz
1z
1z
I
1z
2
1z
2
C 2
2
C 2
2
21
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
+
+
-
+
p=
-
+
+
-
+
=
=-=
òò , (2.20) 
onde C1 é a parte de C ligando j até -j unida com o segmento de reta ligando -j até j e C2 é a parte de C 
ligando -j até j unida com o segmento de reta ligando j até -j, ambos os caminhos orientados no sentido 
anti-horário. Assim, no interior de C1, 
1z
1z
)z(f
2
-
+
= e 1z 0 -= , enquanto que no interior de C2, 
1z
1z
)z(f
2
+
+
= e 1z 0 = . Isto nos dá a idéia de que quando uma função tem mais de uma singularidade 
no interior do caminho, a integral é calculada usando a fórmula integral de Cauchy para cada 
singularidade por vez e, então, somando-se os resultados obtidos. Vejamos o próximo exemplo: 
II) Sendo C é a circunferência 3z = , calcule a integral ( )( )ò +-C 2
2
jz4z
dzz
. 
Como as singularidades da função a ser integrada são 2, -2 e -j e estão todas no interior do 
caminho C, como foi feito no exemplo 1d acima, a integral assume o valor: 
( ) j2)2z)(2z(
z
)jz)(2z(
z
)jz)(2z(
z
j2
jz)2z)(2z(
dzz
jz
2
2z
2
2z
2
C
2
p=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+-
+
+-
+
++
p=
++-
-=-==
ò . (2.21) 
Deve-se observar que a fórmula integral de Cauchy não poderá ser aplicada se a função a ser 
integrada tiver singularidades múltiplas, pois não poderemos separa- las como no exemplo I-d. Neste 
caso, usaremos a fórmula que será apresentada na próxima seção. 
Derivadas de uma Função Analítica: 
Uma fórmula para a derivada de f(z) pode ser obtida derivando o lado direito da fórmula 
integral de Cauchy (2.17). Nesta fórmula, a integral é uma função do parâmetro 0z e pode ser 
diferenciada em relação à 0z . Similarmente às propriedades das integrais reais, supondo que o 
contorno C seja uma curva simples fechada orientada no sentido anti-horário, segue-se a regra de 
Leibnitz, ou seja, 
( ) ( )ò ò ¶
¶
=
C C 0
0
0
0
dz
z
z,zf
dzz,zf
dz
d
. (2.22) 
Aplicando-se a regra de Leibnitz ao teorema integral de Cauchy, obtemos uma expressão para a 
derivada da f(z), 
Cálculo Avançado A - Variáveis Complexas 
 18 
( )
( )ò -p
=¢
C 2
0
0 dz
zz
)z(f
j2
1
zf . (2.23) 
Uma repetição deste processo nos fornece uma fórmula para a n-ésima derivada da f(z): 
( )
( )
dz
zz
zf
j2
!n
)z(f)z(
dz
fd
C 1n
0
0
)n(
0n
n
ò +-p
== . (2.24) 
Rescrevendo-se a fórmula acima, obtemos uma fórmula para o cálculo da integral de linha de 
uma função complexa que possui uma singularidade 0z de multiplicidade (n + 1), qual seja: 
( )
( )
)z(f
!n
j2
dz
zz
zf
0
)n(
C 1n
0
p
=
-
ò + . (2.25) 
Exemplo: Sendo C a circunferência 3jz =- , positivamente orientada, calcule as seguintes 
integrais de linha: 
III) 
( )
( ) p-=p=
- =
ò 8z!3
j2
jz
dzz
jz
´´´4
C 4
4
, (2.26) 
pois, na fórmula (2.25), temos n = 3, jz 0 = (pertencente ao interior do caminho C) e f(z) = z
4. 
IV)
( ) ( ) ( )
0
)jz(
z
!1
j2
)jz(
z
!1
j2
jzjz
dzz
1z
dzz
jz
2
jz
2C 22C 22
=
¢
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
p
+
¢
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
p
=
+-
=
+
-==
òò , (2.27) 
onde procedemos de forma semelhante aos exemplos I-d e II, considerando jz 0 = e n = 1 na primeira 
parcela e, jz 0 -= e n = 1 na segunda parcela. 
( )( ) ( ) ( )
,
8
j3
)3z()1z(
z
j2
)3z2z(
z
!1
j2
)3z(1z1z
dzz
3z4z1z
dzz
)V
1z
2
1z
2
C 2C 22
p
-=÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
--
p+
¢
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
--
p
=
=
-+-
=
+--
-==
òò
 (2.28) 
onde consideramos 1z 0 = e n = 1 na primeira parcela e a fórmula integral de Cauchy na segunda 
parcela com 1z 0 -= . Cabe ressaltar que a singularidade 3z 0 = da função a ser integrada está no 
exterior do caminho C. Assim, não foi aplicado nenhum dos teoremas de Cauchy sobre esta 
singularidade, mas ela continua fazendo parte da função
(observe que )3z( - é fator dos 
denominadores de ambas as parcelas). 
Cálculo Avançado A - Variáveis Complexas 
 19 
Finalizando, é importante observar que a fórmula integral de Cauchy é um caso particular da 
fórmula (2.25), a qual pode ser chamada de fórmula integral generalizada de Cauchy. Em uma integral 
de linha, esta fórmula é aplicada a cada uma das singularidades da função a ser integrada que estejam 
no interior do caminho C. Já as singularidades da função que estiverem no exterior do caminho C não 
são vistas pela integral como uma singula ridade, ou seja, a fórmula integral generalizada de Cauchy 
não se aplica a ela, mas ela continua fazendo parte da função.