Integrais Múltiplas - Lista 1

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
Mo´dulo 2 – Gabaritos – Lista 1 2.o/2013
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Considere o tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano de equac¸a˜o
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1,
em que a, b e c sa˜o constantes positivas. Como ilustra a figura abaixo, o tetraedro corresponde
a` regia˜o abaixo do gra´fico de uma func¸a˜o f : D → R, onde D e´ um domı´nio que pode ser
descrito na forma D = {(x, y); x ∈ I e g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} com I ⊂ R um intervalo e func¸o˜es
apropriadas g1, g2 : I → R.
C E a) O intervalo I e´ dado por I = [0, b].
C E b) A func¸a˜o g2 e´ dada por g2(x) =
a
b
(a− x)}.
C E c) A func¸a˜o f e´ dada por f(x, y) = c
ab
(ab− bx− ay).
C E d) Calculando, obte´m-se que
∫ g2(x)
g1(x)
f(x, y) dy = cb
2a2
(a− x)2. a x
b
yc
z
C E e) Dos itens anteriores segue-se que o volume do tetraedro e´ um terc¸o do volume do
paralelep´ıpedo de lados a, b e c.
2) Considere a chapa D no primerio quadrante limitada por um arco da elipse x
2
a2
+ y
2
4a2
= 1,
onde a e´ uma constante positiva. Supondo que a chapa tenha densidade δ(x, y) =
√
4 a2 − y2,
a sua massa M e´ dada pela integral M =
∫∫
D
δ(x, y) dxdy.
a
2a
a) Esboce o domı´nio D no espac¸o ao lado, indicando os pontos de
intersec¸a˜o com os eixos coordenados.
b) Descreva a chapa D na forma Rx.
Resposta: D = {(x, y); 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤ 2√a2 − x2}
c) Use o item anterior para expressar a massa M como uma
integral iterada, integrando primeiro na varia´vel y.
Resposta: M =
∫ a
0
(∫ 2√a2−x2
0
√
4a2 − y2 dy
)
dx
d) Inverta a ordem de integrac¸a˜o para expressar a massa M como uma integral iterada
integrando primeiro na varia´vel x.
Resposta: M =
∫ 2a
0
(∫ (1/2)√4a2−y2
0
√
4a2 − y2 dx
)
dy
e) Use os itens anteriores para calcular a massa da chapa.
Resposta: M = 83a
3
Ca´lculo III Mo´dulo 2 – Gabaritos – Lista 1 2.o/2013 – 1/2
3) Da figura abaixo, que ilustra o gra´fico de f(x, y) = (x− y)/(x+ y)3, percebe-se que essa
func¸a˜o na˜o se comporta bem perto da origem, assumindo valores pro´ximos de +∞ e de −∞.
Nesse caso, como ilustra os itens a seguir, coisas estranhas podem acontecer com as integrais
iteradas no domı´nio D = [0, 1]× [0, 1].
a) Obtenha a expressa˜o da func¸a˜o F1(y) =
∫ 1
0
f(x, y) dx.
Resposta: F1(y) = −1/(1 + y)2
b) Calcule em seguida a integral
∫ 1
0
F1(y) dy.
Resposta:
∫ 1
0 F1(y) dy = −1/2
c) Obtenha a expressa˜o da func¸a˜o F2(x) =
∫ 1
0
f(x, y) dy.
Resposta: F2(x) = 1/(1 + x)
2
d) Calcule em seguida a integral
∫ 1
0
F2(x) dx.
Resposta:
∫ 1
0
F2(x) dx = 1/2
e) Usando os itens anteriores, a definic¸a˜o da integral dupla como limite das somas de
Riemann e a relac¸a˜o dessas somas com as integrais iteradas, deˆ uma justificativa para
a afirmac¸a˜o de que f(x, y) na˜o e´ integra´vel no domı´nio D.
Resposta: escolhendo uma partic¸a˜o de D com mais pontos no eixo Oy (ou com mais pontos no eixo
Ox) as somas de Riemann se aproximam de 1/2 (ou de −1/2). Este comportamento indica que na˜o
existe o limite das somas de Riemann.
4) Em integrais iteradas, uma escolha adequada da ordem de integrac¸a˜o pode facilitar muito
os ca´lculos. Por exemplo, considere a regia˜o D limitada pelas curvas y+1 = 0, y2+x−4 = 0
e x +
√
4− y2 = 0, como ilustrado abaixo, e indique por A a sua a´rea. Se necessa´rio, use
que
∫ √
4− t2 dt = 2 arcsen(1
2
t) + 1
2
t
√
4− t2 + k.
B
A D
C
x+
√
4− y2 = 0
y2 + x− 4 = 0
y + 1 = 0
a) Identifique as treˆs curvas, e determine as coordenadas
dos pontos A = (a1, a2), B = (b1, b2), C = (c1, c2) e
D = (d1, d2) indicados na figura.
Resposta: A = (−2, 0), B = (−√3,−1), C = (3,−1) e D =
(4, 0); a identificac¸a˜o esta´ indicada na figura.
b) A regia˜oD pode ser dividida em quatro regio˜es do tipo
Rx, com x variando nos intervalos [a1, b1], [b1, 0], [0, c1]
e [c1, d1]. Descreva cada uma dessas regio˜es.
Resposta: {(x, y);−2 ≤ x ≤ −√3 e −√4− x2 ≤ y ≤ √4− x2}, {(x, y);−√3 ≤ x ≤ 0 e − 1 ≤ y ≤√
4− x2}, {(x, y); 0 ≤ x ≤ 3 e − 1 ≤ y ≤ √4− x} e {(x, y); 3 ≤ x ≤ 4 e −√4− x ≤ y ≤ √4− x}
c) Use o item anterior para calcular a a´rea A.
Resposta: A = 43pi +
1
2
√
3 + 9.
d) Observe que D e´ tambe´m uma regia˜o do tipo Ry, e descreva D nesta forma.
Resposta: D = {(x, y);−1 ≤ y ≤ 2 e −
√
4− y2 ≤ x ≤ 4− y2}
e) Do item anterior, a a´rea A pode ser calculada por meio de uma u´nica integral. Proceda
a esse ca´lculo e compare com o resultado do item c).
Resposta: os resultados sa˜o iguais
Ca´lculo III Mo´dulo 2 – Gabaritos – Lista 1 2.o/2013 – 2/2