Teoria 3

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Física I - Teoria 
 
FACENS – Prof. Me. André Vitor Bonora Página 1 
 
Capítulo 4 
 
Movimento unidimensional, retilíneo 
e uniformemente variado 
 
1. Aceleração 
 
 Define-se aceleração média como a relação entre a variação da 
velocidade instantânea entre dois pontos pelo intervalo de tempo 
correspondente a esta variação, dada por: 
 
[ ] 22 //: smsegundometroaSI
tt
vv
t
v
a
o
o
média ==→
−
−
=
∆
∆
=
 
 
 Por sua vez, define-se aceleração instantânea como sendo a 
taxa temporal de variação da velocidade instantânea, isto é, é a derivada da 
velocidade instantânea com relação ao tempo, dada por: 
 
dt
dv
t
v
a
t
=
∆
∆
=
→∆ 0
lim
 
 
 Mas, como a velocidade instantânea é a derivada da posição com 
relação ao tempo, a aceleração instantânea é a segunda derivada da posição 
com relação ao tempo, dada por: 
 
2
2
dt
xd
dt
dx
dt
d
dt
dv
a =





==
 
 
2. Movimento Retilíneo Uniformemente Variado – MRUV 
 
 O Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV) possui as 
seguintes características: 
 
1ª.) A trajetória do móvel ao longo do tempo segue uma linha reta; 
 
2ª.) Para variações de velocidade iguais há intervalos de tempo iguais; 
 
3ª.) A aceleração média é invariável no tempo, isto é, ela é constante no 
tempo; assim sendo, pode-se escrever que: 
 
 
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tavv
t
vv
t
v
a o
o
.+=→
−
=
∆
∆
=
 
 
 Esta equação é denominada equação da velocidade do MRUV. 
 Como consequência disto, o gráfico V = f(t) é uma reta crescente, se a 
aceleração for positiva, caracterizando um movimento acelerado; o gráfico V 
= f(t) é uma reta decrescente, se a aceleração for negativa, caracterizando 
um movimento retardado; finalmente, o coeficiente angular da reta do gráfico V 
= f(t) é a aceleração média do MRUV; 
 
4ª.) O gráfico x = f(t) é uma parábola com concavidade voltada para cima se 
a aceleração média for positiva; o gráfico x = f(t) é uma parábola com 
concavidade voltada para baixo se a aceleração média for negativa; 
 
5ª.) A aceleração instantânea coincide com a aceleração média; 
 
6ª.) Como a aceleração é constante, a velocidade média é igual à média 
aritmética entre as velocidades final e inicial entre dois pontos; 
 
7ª.) Por consequência da característica anterior, o deslocamento pode ser dado 
por: 
 
( ) ( )
22
..
2
1
...
2
1
.
...
2
1
..
2
1
.
tatvxxtatvxx
ttavvtvvtvxxx
oooo
ooomédiao
++=→+=−∴
++=+==−=∆
 
 
 A equação que ilustra a variação da posição em função do tempo (x = 
f(t)) é denominada de equação horária do MRUV que, como já citado 
anteriormente, é uma função do 2º grau. 
 
 Outra forma de deduzir a equação horária do MRUV é pelo gráfico V = 
f(t), ilustrado na figura 1. 
 
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Fig. 1: gráfico V = f(t) – MRUV 
 
 A área sob a reta do gráfico V = f(t) é proporcional ao deslocamento do 
móvel entre os pontos to e t. Assim sendo, como a figura geométrica sob a reta 
é um trapézio, a área pode ser dada por: 
 
( ) ( )
( ) 2..
2
1
....
2
1
..
2
1
.menor Basemaior Base.
2
1
tatvxxtvtavxx
tvvalturaxxxÁrea
ooooo
oo
++=→++=−∴
+=+=−=∆=
 
 
3. Equação de Torricelli 
 
 Da mesma equação da área do trapézio da figura 1 pode-se escrever 
que: 
 
( ) ( )
( ) xavv
a
vv
a
vv
vvx
tvvalturaxxxÁrea
o
oo
o
oo
∆+=→−=




 −
+=∆∴
+=+=−=∆=
..2
.2
..
2
1
..
2
1
.menor Basemaior Base.
2
1
22
22
 
 
 Esta última equação, que relaciona diretamente a velocidade com o 
deslocamento num MRUV, é denominada Equação de Torricelli, em 
homenagem a Evangelista Torricelli, cientista italiano. 
 
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Evangelista Torricelli (1608 – 1647) 
 
Ex. 1: Um automóvel está a uma velocidade constante de 80 km/h quando 
o motorista pisa nos freios, provocando uma desaceleração de 2 m/s2. 
Determine quanto tempo o automóvel demora a parar e qual a distância 
percorrida até a parada. 
Solução: na parada a velocidade final é nula ���� V = 0. Os freios provocam 
uma desaceleração, isto é, a aceleração tem sinal negativo nas equações 
���� a = -2 m/s2. 
Portanto, aplicando a equação da velocidade tem-se que: 
 
s 111,
2.6,3
80
.2
6,3
800. ==→−=→+= tttavv o 
 
Aplicando a equação de Torricelli tem-se que: 
 
m 123,457
6,3
80
.
4
1
.2.2
6,3
800..2
22
22
=∆→





=∆→∆−





=→∆+= xxxxavv o 
 
Ex. 2: Um corpo cai em queda livre (desprezando a resistência do ar) do 
repouso do topo de um prédio de 20 andares (60 m). Considerando que 
aceleração seja constante durante todo o trajeto e igual a 10 m/s2 para 
baixo, determine a velocidade final do corpo ao atingir o solo e o tempo 
de queda. 
Solução: se o corpo cai do repouso sua velocidade inicial é nula (vo = 0). 
O deslocamento total do corpo é a altura do prédio (∆∆∆∆x = 60 m). Se a 
aceleração está no sentido do movimento ela é positiva nas equações (a = 
10 m/s2). 
Aplicando a equação de Torricelli tem-se que: 
 
km/h 124,70766 m/s 34,6410120060.10.20..2 222 ==→=→+=→∆+= vvvxavv o
 
 
 
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Aplicando a equação da velocidade tem-se que: 
 
sttavv o 46410,310
34,6410
t10.t034,6410. =→=→+=→+=