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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
LUIZ ROBERTO
<número>
Taxa de juros
<número>
Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial
AULA 10 
Teorema de Bayes e Função Binomial
<número>
Taxa de juros
Objetivos da AULA 10 
- Independência de eventos
- Teorema de Bayes
 Função de Probabilidade Binomial
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Taxa de juros
INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS
Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.
P(E1  E2  E3  E4) = P(E1).P(E2).p(E3).P(E4) 
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Taxa de juros
INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS 
Um evento A é considerado independente de outro evento B se a probabilidade de A é igual a probabilidade condicional de A dado B: p(A) = p(A/B)
Da mesma forma, se A é independente de B, B é independente de A: P(B) = P(B/A)
Considerando o Teorema do Produto, pode-se afirmar que se A e B são independentes, então:
 P(A  B) = p(A) . p(B)
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Taxa de juros
INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS 
Exemplo:
Uma caixa tem 10 bolas, sendo 4 vermelhas e 6 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na caixa, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e 
a segunda ser azul?
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Taxa de juros
Solução:
Como os eventos são independentes: 
p(A  B) = p(A) . p(B)
A probabilidade de sair vermelha na 1ª retirada é 4/10 e a de sair azul na segunda retirada 6/10. 
Logo: 4/10. 6/10 = 6/25 = 0,24 = 24%.
Observe que na segunda retirada foram consideradas todas as bolas, pois houve reposição. 
Assim, p(B/A) = p(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda.
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Taxa de juros
Exercício 1
Em uma caixa temos 10 peças, das quais 4 são defeituosas. São retiradas duas peças, uma após a outra, com reposição. Calcular a probabilidade de ambas serem boas. 
Notem: A e B são independentes, pois p(B) = p(B/A)
p(A  B) = p(A) . p(B) = 
 
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Taxa de juros
INDEPENDÊNCIA DE 3 EVENTOS
A, B, C ⊂ Ω são independentes se são dois a dois independentes:
(1) A independente de B; p(A  B) = p(A) . p(B)
 B independente de C; p(B  C) = p(B) . p(C)
 A independente de C; p(A  C) = P(A) . p(C)
(2) e, também, CONJUNTAMENTE INDEPENDENTES:
 P(A  B  C) = P(A) . P(B) . P(C)
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Taxa de juros
Exercício 2 :
Seja Ω = {1, 2, 3, 4} um espaço amostral equiprovável. 
São dados três eventos:
A = {1, 2}
B = {1, 3}
C = {1, 4} 
 
Verificar se os eventos A, B e C são independentes.
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Taxa de juros
Solução: 
Ω = {1, 2, 3, 4} 
Para A e B: A = {1, 2} B = {1, 3}
		p (A) = ; p (B) = ; p(A  B) = 
		
 
 Logo: p(A  B) = p(A) . p(B) =
Os eventos A e B são independentes. 
<número>
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Taxa de juros
Ω = {1, 2, 3, 4} 
Para A e C: A = {1, 2} C = {1, 4}
		p (A) = ; p (C) = ; p(A  C) = 
		
 
 Logo: p(A  C) = p(A) . p(C) =
Os eventos A e C são independentes. 
<número>
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Taxa de juros
Ω = {1, 2, 3, 4} 
Para B e C: B = {1, 3} C = {1, 4}
		p (B) = ; p (C) = ; p(B  C) = 
		
 
 Logo: p(B  C) = p(B) . p(C) =
Os eventos B e C são independentes. 
<número>
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Taxa de juros
Ω = {1, 2, 3, 4} 
Para A, B e C: A = {1, 2} B = {1, 3} C = {1, 4}
p (A) = ; p (B) = ; p (C) = ; p(A B  C) = 
		
 
 Logo: p(A B  C) ≠ p(A) . p(B) . p(C) =
Os eventos A, B e C não são independentes. 
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Taxa de juros
Exercício: Uma carta é selecionada de um baralho com 52 cartas. 
Seja A o evento “a carta selecionada é um ás”, e 
B o evento “a carta selecionada é de espadas”. 
A e B são independentes?
SIM, pois P(A  B) = 1/52 (uma carta)
e P(A) = 4/52 ; P(B) = 13/52
Logo: 4/52 . 13/52 = 1/52 = P(A  B) 
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Taxa de juros
TEOREMA DE BAYES
Thomas Bayes (pronunciado /ˈbeɪz/ ou "bays")
O Teorema de Bayes mostra a relação entre uma probabilidade condicional e a sua inversa: a probabilidade de uma hipótese dada a observação de uma evidência e a probabilidade da evidência dada pela hipótese. 
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Taxa de juros
TEOREMA DE BAYES
Thomas Bayes (pronúncia: beɪz)
Seja A1, A2, A3, ... An, n eventos mutuamente exclusivos tais que Ω = {A1 A2 A3, ... An} 
Sejam p(Ai ) as probabilidades dos vários eventos e B um evento qualquer de Ω tal que são conhecidas todas as probabilidades condicionais p(A/B).
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Taxa de juros
TEOREMA DE BAYES
Então, para cada “i ” temos:
O resultado acima é importante, pois relaciona probabilidades a priori p(Ai ) com probabilidades a posteriori p(Ai / B), ou seja, probabilidade de Ai depois que ocorrer B.
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Taxa de juros
TEOREMA DE BAYES
Suponha os eventos A1 e A2.
De acordo com o Teorema de Bayes, a probabilidade do evento A1 ocorrer dado que o evento B ocorreu é:
São dados: 
P(A1) = 2/3 p(A2) = 1/3 p(B/A1) = 1/5 p(B/A2) = 1/2
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Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial
Taxa de juros
Solução:
São dados: 
P(A1) = p(A2) = p(B/A1) = p(B/A2) =
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Taxa de juros
Exercício: Suponha a seguinte situação.
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U1
U2
U3
PRETAS
3
4
2
BRANCAS
1
3
3
VERMELHAS
5
2
3
Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola ao acaso. Verificou-se que a bola é branca. Qual a probabilidade da bola ter vindo: 
a) da urna 2? 
b) da urna 3?
Taxa de juros
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Solução a) da urna 2:
p(U1) = p(U2) = p(U3) = 
p(br/U1) = p(br/U2) = p(br/U3) = 
 
P(U2 /br) = 
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Taxa de juros
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Conclusão:
A probabilidade a priori de U2 era
Dada a informação que saiu uma bola branca, a probabilidade a posteriori de U2 será
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Taxa de juros
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Solução b) da urna 3:
p (U3/br) = 
 
Como = 1
Temos: p (u1/br) = 1 - 
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Taxa de juros
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Função de Probabilidade Binomial
 
Experimentos binomiais
 
Há muitos experimentos probabilísticos para os quais a conclusão de cada tentativa pode ser reduzida a dois resultados: sucesso ou fracasso. Quando um jogador de futebol ao bater uma penalte, das duas, uma: ou ele marca o gol ou não. 
Experimentos probabilísticos como esse são chamados binomiais. 
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Taxa de juros
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Função de Probabilidade Binomial
 
Um experimento é binomial quando:
 É repetido por um número fixo de tentativas, sendo uma independente de todas as outras. 
 Há dois resultados possíveis em cada tentativa:
sucesso (S) ou fracasso (F).
 A probabilidade de um sucesso é a mesma em cada tentativa.
 A variável aleatória “x” = n° de tentativas com sucesso.
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Taxa de juros
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Função de Probabilidade Binomial
 
n
Número de vezes que uma tentativa é repetida
p = p(S)
Probabilidade de sucesso em uma única tentativa
q = p(F)
Probabilidade de fracasso em uma única tentativa
(q = 1 - p), onde 1 significa 100%
x
A variável aleatória representa a contagem do número de sucessos emntentativas (x= 1, 2, 3, 4, ...,n)
<número>
Taxa de juros
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Exercício 1:
Escolha uma carta de um baralho e veja se o naipe é ouros ou não e recoloque-a no baralho. Repita a experiência cinco vezes. 
Assim, n = 5.
S = tirar uma carta de ouros
F = tirar uma carta de outro naipe.
 As probabilidades de sucesso e fracasso são:
p = p(S) = q = p(F) =
valores possíveis da variável aleatória x são: 0, 1, 2, 3, 4 e 5  
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Taxa de juros
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Exercício 2:
Um determinado procedimento cirúrgico tem 85% de chance de sucesso. Esse procedimento é realizado em dez pacientes. Determine se o experimento é binomial. Se sim, especifique os valores de n, p e q e enumere os valores possíveis da variável aleatória x. 
Solução:
n = 10
p = 0,85 
q = 1 – 0,85 = 0,15 
x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 
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Taxa de juros
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Probabilidades Binomiais
Existem diversos meios de calcular a probabilidade de x sucesso em n tentativas em um experimento binomial. Uma delas é a fórmula da probabilidade binomial. 
p(x) = Cn,x px qn-x = . px qn-x
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Taxa de juros
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Probabilidades Binomiais
Exercício 1:
 
Um dado honesto é jogado três vezes. Obtenha a probabilidade de sair exatamente o número 6 uma única vez.
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Taxa de juros
Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial
<número>
Taxa de juros
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Solução:
Há três resultados que dão exatamente 6. 
Cada um tem a probabilidade de 
Assim, a probabilidade de obter exatamente um “6” é: 
3 . = 0,347
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Taxa de juros
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<número>
Taxa de juros
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Probabilidades Binomiais
Exercício 2:
 
Três dados honestos serão lançados.
A probabilidade de que o número 6 seja obtido mais de uma vez é igual a probabilidade de que seja obtido 2 vezes mais a probabilidade de que seja obtido 3 vezes. 
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Taxa de juros
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<número>
Taxa de juros