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Matemática Financeira: Aplicações à
Análise de Investimentos
4ª. Edição
Resolução dos Exercícios
Propostos
Entre os méritos deste livro, que fazem dele um dos preferidos pelos
estudantes e professores, está explicar os diferentes assuntos da
matemática financeira e da análise de investimentos por meio de uma
grande quantidade de exemplos e de exercícios apresentados ao longo
dos capítulos.
Nesta quarta edição, disponibilizamos aos leitores as resoluções
detalhadas dos 366 exercícios propostos no livro.
Esperamos que este novo recurso facilite a compreensão e o estudo dos
diversos assuntos tratados.
Agradeço às pessoas que colaboraram na elaboração deste material,
especialmente a Eduardo Estellita, do curso de Engenharia de Produção
da PUC-Rio, pela valiosa colaboração.
O autor
CAPÍTULO 1
Exercícios Propostos
Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, ano comercial de 360
dias.
1. Qual é a taxa anual de juros simples obtida em uma aplicação de $1.300 que produz, após um ano,
um montante de $1.750?
Dados: P = $1.300, S = $1.750, i = ?
S P (1 i) $1.750 $1.300 (1 i) i 34,61% a.a.= × + ⇒ = × + ⇒ =
2. Qual é a remuneração obtida em um capital de $2.400 aplicado durante 17 meses à taxa de juros
simples de 60% a.a.?
Dados: P = $2.400, i = 60% a.a., n = 17 meses, J = ?
0,6J P i n J $2.400 17 J= $2.04012= × × ⇒ = × × ⇒
3. Calcular o rendimento de um capital de $80.000 aplicado durante 28 dias à taxa de juros simples de
26% a.m..
Dados: P = $80.000, i = 26% a.m., n = 28 dias, J = ?
0,26
J P i n J $80.000 28 J= $19.413,33
30
= × × ⇒ = × × ⇒
4. Aplicando $80.000 durante 17 meses, resgatamos $140.000. Qual é a taxa anual de juros simples
obtida na operação?
Dados: P = $80.000, S = $140.000, n = 17 meses, i = ?
i
S P (1 i n) $140.000 $80.000 (1 17) i 52,94% a.a.
12
= × + × ⇒ = × + × ⇒ =
5. Em quantos meses um capital de $28.000, aplicado à taxa de juros simples de 48% a.a., produz um
montante de $38.080?
Dados: P = $28.000, S = $38.080, i = 48% a.a., n = ?
0,48
S P (1 i n) $38.080 $28.000 (1 n) n= 9 meses
12
= × + × ⇒ = × + × ⇒
6. Um capital aplicado transformou-se em $13.000. Considerando-se uma taxa de juros simples de
42% a.a e uma remuneração de $4.065,29, determinar o prazo da aplicação.
Dados: S = $13.000, i = 42% a.a., J = $4.065,29, n = ? (meses)
0, 42
$13.000 × × n S × i × n 12J = $4.065, 29 =
0, 421 + i × n 1 + × n
12
455 × n
$4.065, 29 = n = 13 meses
1 + 0, 035 × n
⇒
⇒ ⇒
7. Um capital de $135.000 transformou-se em $180.000 após 44 dias de aplicação. Calcular a taxa de
juros obtida na operação.
Dados: P = $135.000, S = $180.000, n = 44 dias, i = ?
2
i
S P (1 i n) $180.000 $135.000 (1 44) i 22,73% a.m.
30
= × + × ⇒ = × + × ⇒ =
8. João tem uma dívida de $35.000 que vence em 16 meses. Pretende pagar $12.000 no fim de 158
dias e $13.000 189 dias depois desse primeiro pagamento. Quanto deve pagar na data de vencimento
para liquidar a dívida? Considere juros simples de 50% a.a. e data focal no vencimento da dívida.
Dados: i = 50% a.a.
0 158 347 480
- $12.000 - $13.000 $35.000
133 dias
322 dias
0,50 0,50
Valor no vencimento $35.000 - $12.000 1 322 $13.000 1 133 $2.231,95
360 360
= + × − + × =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9. Um capital acrescido de seus juros de 21 meses soma $156.400. O mesmo capital diminuído de seus
juros de nove meses é reduzido a $88.400. Calcular o capital e a taxa de juros simples obtida.
Dados: S1 = $156.400, S2 = $88.400, n1 = 21 meses, n2 = 9 meses, P = ?, i = ?
Podemos montar 2 equações para 2 incógnitas:
108.800P a.a.) .m.(25%2,083333%ai 400.88$9iPP
156.400$12iPP
==⇒=××−
=××+
10. Um capital de $4.500 foi dividido em três parcelas que foram aplicadas pelo prazo de um ano. A
primeira a juros simples de 4% a.t., a segunda a juros simples de 6% a.t. e a terceira a juros simples de
10% a.t.. Considerando-se que o rendimento da primeira parcela foi $160 e o rendimento das três
parcelas totalizou $ 1.320, calcular o valor de cada parcela.
Dados: P1 + P2 + P3 = $4.500, i1 = 4% a.t., i2 = 6% a.t., i3 = 10% a.t., n = 1 ano = 4 trimestres, J1 =
$160, J1 + J2 + J3 = $1.320, P1 = ?, P2 = ?, P3 = ?
J P i n= × ×
Logo,
J1 P1 i1 n $160 P1 4 P1 $1.000
J2 P2 i2 n
J3 P3 i3 n
J1 + J2+ J3 (P1 i1 P2 i2 P3 i3 n $1.320 ( P2 P3 4 P2 P3 $290
0,04
+ + ) 40 + 0,06 + 0,1) 0,06 + 0,1 =
= × × ⇒ = × × ⇒ =
= × ×
= × ×
= × × × × ⇒ = × × × ⇒ × ×
Portanto,
2 3
2 3
2 3
P 0,06+ P 0,1 = $ 290
P = $1.500, P = $2.000
P + P = $3.500
× ×⎧ ⎫ ⇒⎨ ⎬⎩ ⎭
11. Dois capitais, um de $2.400 e outro de $1.800, foram aplicados a uma mesma taxa de juros
simples. Calcular a taxa, considerando-se que o primeiro capital em 48 dias rendeu $17,00 a mais que
o segundo em 30 dias.
Dados: J1 – J2 = $17, n1 = 48 dias, n2 = 30 dias, P1 = $2.400, P2 = $1.800, i = ?
1 2 1 1 2 2
i iJ - J (P n - P n ) $17 ( $2.400 48 - $1.800 30) i 0,833% a.m.
30 30
= × × × ⇒ = × × × ⇒ =
3
12. Um capital foi aplicado a juros simples de 42% a.a. durante 50 dias. Calcular o capital,
considerando-se que, se a diferença entre ele e os juros obtidos fosse aplicada à mesma taxa, renderia
$988,75 em um trimestre.
Dados: i = 42% a. a., n1 = 50 dias, n2 = 90 dias, P = ?
( )
1 =
0,42juros obtidos no prazo de 50 dias = P i n P 50
360
0,42 0,42 0,42 0,42P- P 50 90 $988,75 P 1 50 90 $988,75 P= $10.000360 360 360360
× × × ×
⎛ ⎞× × × × = ⇒ × − × × × = ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠
13. Certo capital foi aplicado a juros simples de 30% a.a. durante 50 dias. Calcular o capital e o
rendimento obtido, considerando-se que, se a diferença entre ambos, acrescida de $10.000, fosse
aplicada à mesma taxa, renderia $95.000 no prazo de um ano.
Dados: i = 30% a. a., n1 = 50 dias, n2 = 1 ano, P = ?
( ) ( )
1 1
1 2
J = P i n
0,30P-J + $10.000 i n $95.000 P 1 50 0, 30 1+ $10.000 0, 30 1 $95.000360
P= $320.000
× ×
× × = ⇒ × − × × × × × =
⇒
Logo,
1 1 1 10,3J = P i n J = $320.000 50 J = $13.333,33360⇒ ⇒× × × ×
14. Uma pessoa aplicou dois capitais a juros simples, o primeiro a 33% a.a. e o segundo a 45% a.a.
Considerando-se que o rendimento de ambas as aplicações totalizou $52.500 no prazo de um ano,
determinar o valor dos capitais, sabendo-se que o primeiro é 37,5% menor que o segundo.
Dados: P1 = (1 – 0,375) P2, i1 = 33% a.a., i2 = 45% a.a., n = 1 ano, S1 + S2 = $52.500
1 2 1 1 2 2 2
2
J P i n
J J = P i + P i n $52.500 0,625 0,33 + 1 0,45 1 P
P = $80.000
+ ( ) ( )
= × ×
× × × ⇒ = × × × ×
⇒
Logo,
1P = $50.000
15. Há 13 meses e dez dias um capital de $10.000 foi aplicado à taxa de juros simples de 6% a.a. Se
hoje for aplicada a importância de $8.000 a juros simples de 12% a.a. e o primeiro capital continuar
aplicado à mesma taxa, em que prazo os montantes respectivos serão iguais?
Dados: n1 = 400 dias, P1 = $ 10.000, P2 = $ 8.000, i1 = 6% a.a., i2 = 12% a.a.., n = ?
Na data focal,
S P (1 i n)
0,06 0,12
$10.000 1 (n+400) $8.000 1 n
360 360
n = 2.667 dias = 7 anos, 4 meses e 27 dias
= × + ×
× + × = × + ×
⇒
⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠
16. Uma empresa obteve
um empréstimo de $200.000 a juros simples de 10% a.a.. Algum tempo
depois liquidou a dívida, inclusive os juros, e tomou um novo empréstimo de $300.000 a juros simples
de 8% a.a.. Dezoito meses após o primeiro empréstimo, liquidou todos os seus débitos, tendo pago
$35.000 de juros totais nos dois empréstimos. Determinar os prazos (em meses) dos dois empréstimos.
Dados: J1 + J2 = $35.000, n1 + n2 = 18 meses, P1 = $200.000, P2 = $300.000, i1 = 10% a.a., i2 = 8% a.a.,
n1 = ?, n2 = ?
4
1 2
1 2 1 1 2 2 1 1
1 2
i i 0,1J + J P n + P n $35.000 $200.000 n + $300.000 (18 n )
12 12 12 12
n 3 meses, n 15 meses
⎛ ⎞ ⎛= × × × × ⇒ = × × × − ×⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⇒ = =
0,08 ⎞⎟⎠
17. Uma pessoa tomou um empréstimo a juros simples de 9% a.a.. Quarenta e cinco dias depois,
pagou a dívida e contraiu um novo empréstimo duas vezes maior que o primeiro, pelo prazo de dez
meses a juros simples de 6% a.a.. Sabendo-se que pagou ao todo $111.250 de juros pelos dois
empréstimos, calcular o valor do primeiro.
Dados: J1 + J2 = $111.250, n1 = 45 dias, n2 = 10 meses, P2 = 2 P1, i1 = 9% a.a.., i2 = 6% a.a., P1 = ?
1 2
1 2 1 1 2 2 1
1
i i 0,09 0,06J + J P n + P n $111.250 P 45 + 2 10
360 12 360 12
P $1.000.000
⎛ ⎞ ⎛= × × × × ⇒ = × × × ×⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⇒ =
⎞⎟⎠
18. Um capital foi dividido em duas parcelas e aplicado a taxas e prazos diferentes. A primeira foi
aplicada a juros simples de 10% a.m. durante seis meses, e a segunda a juros simples de 2% a.m.
durante 12 meses. Sabendo-se que a primeira parcela foi $50 maior e rendeu $60 a mais que a
segunda, determinar os valores de ambas as parcelas.
Dados: J1 - J2 = $60, n1 = 6 meses, n2 = 12 meses, i1 = 10% a.m., i2 = 2% a.m., P1= $50 + P2, P1 = ?, P2
= ?
( )1 21 2 1 1 2 2
1 2
i iJ - J P n - P2 n $60 $50+P 6 0,1 - P2 12 0,02
12 12
P $133,33, P $83,33
⎛ ⎞= × × × × ⇒ = × × × ×⎜ ⎟⎝ ⎠
⇒ = =
19. Aplicado a juros simples pelo prazo de um ano, um capital transformou-se em $13.000. Esse
montante foi reaplicado por mais dois anos a uma taxa 20% maior que a taxa ganha na primeira
aplicação, obtendo-se um montante final de $22.360. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado
e a taxa de juros ao ano à qual ele foi aplicado.
Dados: S1 = $13.000, S2 = $22.360, n1 = 1 ano, n2 = 2 anos, i2 = 1,2×i1, P1 = ?, i1 = ?
2
2 1 2 2 2 2 1
1,2
(1 ) $22.360 $13.000 (1 2) 36% a.a. = 30% a.a.iS S i n i i i= × + × ⇒ = × + × ⇒ = ⇒ =
Por outro lado,
1 1 1 1 1 1S P (1 i n ) $13.000 P (1 0,3 1) P $10.000= × + × ⇒ = × + × ⇒ =
20. Um pessoa aplicou um capital em uma conta remunerada que rende juros simples de 30% a.a..
Depois de três anos, resgatou metade dos juros obtidos e reaplicou a outra metade por um ano à taxa
simples de 32% a.a., obtendo um rendimento de $20,16 nessa última aplicação. Calcular o valor do
capital aplicado inicialmente.
Dados: P2 = 0,5.× J1, J2 = $20,16,-n1 = 3 anos, n2 = 1 ano, i1 = 30% a.a., i2 = 32% a.a., P = ?
( )
( )
Juros ganhos ao término dos 3 anos:
valor reaplicado ao término do terceiro ano:
rendimento do capital reaplicado ao término de 1 ano:
P 0,30 3
0,50 P 0,30 3
$20,16 = 0,50 P 0,30 3 0,32 1
× ×
× × ×
× × × × ×⎡ ⎤⎣ ⎦
P= $140⇒
21. Dois capitais foram aplicados a juros simples. O primeiro à taxa de 20% a.a., e o segundo a 40%
a.a.. Calcular os capitais, considerando-se que, somados, eles perfazem $500 e que os dois, em um
ano, renderam juros totais de $130.
Dados: P1 + P2 = $500 , i1 = 20% a.a., i2 = 40% a.a., n = 1 ano, J1+ J2 = $130, P1 = ?, P2 = ?,
5
( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 J + J P i + P i n $130 P 0,2 + ($500 - P ) 0,4 1 P = $350 P = $150 = × × × ⇒ = × × × ⇒ ⇒
22. Um capital de $50.000, aplicado a juros simples, rendeu $1.875 em um determinado prazo. Se o
prazo fosse 36 dias maior, o rendimento aumentaria em $250. Calcular a taxa de juros simples ao ano
e o prazo da operação em dias.
Dados: P = $50.000, J1 = $1.875, J2 - J1 = $250, n2- n = 36 dias, i = ?, n = ?,
( )2 1 2
1
i
n
360
i
360
J J P i - n $250 $50.000 36 i = 5% a.a.
J P i n $1.875 $50.000 n n = 270 dias = 9 meses
- = × × ⇒ = × × ⇒
= × × ⇒ = × × ⇒
23. Uma pessoa levantou um empréstimo de $3.000 a juros simples de 18% a.a. para ser liquidado
depois de 270 dias. Considerando-se que a pessoa amortizou $1.000 no 75o dia, quanto deverá pagar
na data de vencimento de modo a liquidar a dívida? (data focal: 270o dia).
270 dias
0 75 270
$3.000 - $1.000
195 dias
0,18 0,18
Valor de resgate: $3.000 1 270 -$1.000 1 195 $2.307,50
360 360
= + × + × =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
24. Uma empresa tem duas dívidas a pagar. A primeira de $2.500, contratada a juros simples de 2,5%
a.m., com vencimento em 45 dias; e a segunda, de $3.500, a juros simples de 3% a.m., com vencimento
em 90 dias. Calcular a quantia necessária para liquidação de ambas as dívidas em 180 dias,
considerando-se que no 30o dia do seu prazo a primeira dívida foi amortizada com $1.500, e no 60o dia
do seu prazo a segunda foi amortizada com $3.000 (efetuar os cálculos na data focaldo 180o dia).
150 dias
30 45 180
-$1.500 $2.500
135 dias
120 dias
60 90 180
- $3.000 $3.500
90 dias
0,025 0,025Valor do resgate $2.500 1 135 - $1.500 1 150 ...
30 30
0,03 0,03 ...+ $3.500 1 90 - $3.000 1 120 $1.548,75
30 30
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + × + × +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ × + × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
25. Uma pessoa tem duas dívidas a pagar: a primeira de $1.000, com vencimento em 45 dias, e a
segunda, de $3.500, com vencimento em 120 dias. A pessoa pretende liquidar as dívidas por meio de
dois pagamentos iguais com vencimentos em 90 e 180 dias, respectivamente. Calcular o importe de
cada pagamento, considerando-se que ambas as dívidas foram contratadas a juros simples de 2% a.m.
(data focal: 180o dia)
90 dias
0 45 90 120 180
$1.000 -X $3.500 -X
60 dias
135 dias
0,02 0,02 0,02X = $1.000 1 135 + $3.500 1 60 X 1 90
30 30 30
X =$2.296,12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ × + × − + ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇒
26. Determinar:
a. O tempo necessário para que seja triplicado um capital aplicado a juros simples de 5% a.m..
S P (1 i n)
3P = P (1 0,05 n) n = 40 meses
= × + ×
× + × ⇒
b. O tempo necessário para que seja quintuplicado um capital aplicado a juros simples de 15%
a.t..
S P (1 i n)
5P = P (1 0,15 n) n = 26,67 trimestres = 80 meses
= × + ×
× + × ⇒
c. O tempo em que um capital de $12.000 rende $541,68 quando aplicado a juros simples de
12,5% a.a..
J P i n
0,125$541,68 $12.000 n n = 130 dias360
= × ×
= × × ⇒
d. O tempo necessário para que um capital de $7.000 transforme-se em um montante de
$7.933,34 quando aplicado a juros simples de 24% a.a..
0,24
360
S P (1 i n)
$7.933,34 $7.000 (1 n) n = 200 dias
= × + ×
= × + × ⇒
27. Determinar:
a. A taxa de juros simples anual que produz um rendimento de $60 em 36 dias a partir de um
capital de $2.000.
J P i n
i$60 $2.000 36 i = 30% a.a.360
= × ×
= × × ⇒
b. A taxa de juros simples mensal que produz um rendimento de $6.000 em 30 meses a partir de
um capital de $8.000.
J P i n
$6.000 $8.000 30 i = 2,5% a.m.i
= × ×
= × × ⇒
c. A taxa de juros simples anual embutida na compra de um bem cujo valor à vista é de $3.000,
sendo que o pagamento consiste de uma entrada de $1.000 mais uma parcela de $2.200 para 60
dias.
7
$2.200
1+ i 2
valor à vista = valor da entrada + valor presente da parcela
$3.000 $1.000 + i = 60% a.a.×= ⇒
28. Calcular:
a. O valor do capital que, aplicado a juros simples de 24% a.a., rende $300 em 126 dias.
J P i n
0,24
$300 P 126 P = $3.571,43
360
= × ×
= × × ⇒
b. O valor do capital que, aplicado a juros simples de 26% a.a., rende $800 em 7 trimestres.
J P i n
0,26
$800 P 7 P = $1.758,24
4
= × ×
= × × ⇒
c. O rendimento de uma aplicação de $10.000 por 446 dias a juros simples de 24% a.a..
0,24
J P i n $10.000 446 = $2.973,33
360
= × × = × ×
29. Calcular:
a. O rendimento de um capital de $2.000 aplicado a juros simples de 2,5% a.m. desde o dia 12
de março até o dia 5 de junho do mesmo ano.
0,025
J P i n $2.000 (156-71) = $141,66
30
= × × = × ×
b. O valor do capital que rendeu $3.000 no período compreendido entre 4 de abril e 31 de maio
do mesmo ano a juros simples de 2% a.m..
J P i n
0,02
$3.000 P (151- 94) P = $78.947,37
30
= × ×
= × × ⇒
c. O valor de resgate de um capital de $5.000 aplicado a juros simples de 2% a.m. pelo período
compreendido entre 6 de abril e 26 de junho do mesmo ano. ( )0,02S P (1 i n) $5.000 1 (177-96) = $5.27030= × + × = × + ×
d. O valor do capital que se transformou em um montante de $20.000 no período compreendido
entre 30 de junho e 31 de dezembro do corrente ano, a juros simples de 2% a.m..
( )30
S P (1 i n)
0,02$20.000 P 1 (365-181) P = $17.814,73
= × + ×
= × + × ⇒
e. A taxa de juros simples mensal ganha por uma aplicação de $24.000 que rendeu $2.800 no
período compreendido entre 23 de maio e 18 de agosto do mesmo ano.
J P i n
i
$2.800 $24.000 (230-143) i = 4,023% a.m.
30
= × ×
= × × ⇒
30. No dia 26 de maio foi contratado um empréstimo de $7.000 a juros simples de 24% a.a. para ser
totalmente liquidado em 90 dias. No dia 16 de junho foram amortizados $3.000, e no dia 11 de julho,
$2.500. Determinar a data de vencimento da dívida e o valor da quantia que deverá ser paga naquela
data para liquidar a dívida (considerar ano civil e data focal no 90o dia).
8
Dados: i = 24% a.a.
Determinação da data de resgate da aplicação usando a Tábua para Contagem de Dias do ano civil:
número de dias da data posterior (?) = +n
número de dias da data anterior (26 de maio) = −146
prazo: 90
Logo, n - 146 = 90 → n =236, que na a tábua para contagem de dias entre duas datas (capítulo 1 do
livro) corresponde ao dia 24 de agosto .
44 dias
90 dias
26/ 05 16/ 06 11/ 07 24/ 08
$7.000 - $3.000 - $2.500
69 dias
0,24 0,24alor de resgate $7.000 1 90 -$3.000 1 69 $2.50⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + × + × − 0,240 1 44 $1.708,67
360 360 360
⎛ ⎞+ × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1. Determinar o rendimento de um capital de $2.000 aplicado do dia 3 de m rço até o dia 28 de junho
do corrente ano. A taxa de juros simples inicialmente contratada foi 3% a.m., mas posteriormente teve
ueda para 2,8% a.m. no dia 16 de abril e para 2,6% a.m. no dia 16 de junho.
P = $2.000, i1 = 3% a.m., i2 = 2,8% a.m., i3 = 2,6% a.m., J = ?
n = 03/03 até 16/04 = 106-62 n = 44 dias
n = 16/04 até 16/06 = 167-106 n = 61 dias
⇒
⇒
V
3 a
q
Dados:
1 1
2 2
3 3n = 16/06 até 28/06 = 179-167 n = 12 dias⇒
1 1 2 3 3J P (i n + i n + i n $2.000 44 + 61 +
30 30 30
× × ×2 0,0)= × × × × = × 3 0,028 0,026 12 = $222,67⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
32. Uma dívida de $2.000 contraída no dia 8 de junho para ser liquidada no dia 8 de julho foi
ontratada originalmente a juros simples de 2% a.m.. Calcular o rendiment da aplicação, sabendo-se
ue a taxa de juros subiu para 2,5% a.m. no dia 12 de junho, para 3% a.m o dia 24 de junho e para
3,5% a.m. no dia 3 de julho (considerar o ano civil).
ados: P = $2.000, i1 = 2% a.m., i2 = 2,5% a.m., i3 = 3% a.m., i4 = 3,5% a.m., J = ?
n = 08/06 até 12/06 = 163-159 n = 4 dias
n = 12/06 até 24/06 = 175-163 n = 12 dias
n = 24/06 até 03/07 = 1 -175 n = 9 dias
⇒
⇒
⇒
c o
q . n
D
1 1
2 2
3 3
4 4n = 03/07 até 08/07 = 189-184 n = 5 dias⇒
84
1 1 2 2 3 3 4 4
0,02 0,025 0,03 0,035
P (i n + i n + i n + i n ) $2.000 4 + 12 + 9 += × × × × × = × × × ×J 5 = $55
30 30 30 30
×⎛ ⎞⎝ ⎠
33. Uma aplicação financeira foi iniciada no dia 2 de junho com $2.000. Posteriormente foram
efetuados dois depósitos adicionais de $500 e de $300 nos dias 8 e 16 e um saque de $200 no dia 26 de
junho. Considerando-se que inicialmente foi contratada uma taxa de juros simples de 28% a.a., que
depois baixou para 26% a.a. no dia 16 de junho, calcular o saldo disponível no dia 1o de julho.
⎜ ⎟
9
14 dias
02/06 08/06 16/06
$2.000 $500 + $300
8 dias
0,28 0,28Valor em 16/06 $2.000 1 14 + $500 1 8 $300 $2.825
360 360
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + × + × + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
15 dias
16/06 26/06 01/07
$2.825 - $200
5 dias
0,26 0,26Saldo disponível em 01/07 $2.825 1 15 - $200 1 5 $2.654,50
360 360
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + × + × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
34. Hoje uma pessoa
tem duas dívidas: a primeira, de $8.000, vence em 36 dias, e a segunda, de
$12.000, vence em 58 dias. A pessoa propõe-se a quitá-las por meio de dois pagamentos iguais dentro
de 45 e 90 dias, respectivamente. A juros simples de 24% a.a., calcular o valor de cada pagamento
(data focal: 90o dia).
45 dias
0 36 45 58 90
$8.000 -X $12.000 - X
32 dias
54 dias
0,24 0,24 0,24X = $8.000 1 54 + $12.000 1 32 X 1 45
360 360 360
X $10.120,20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ × + × − + ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⇒ =
⎞⎟⎠
35. Resolver o exercício anterior tomando como data focal o 45o dia.
- 45 dias
0 36 45 58 90
$8.000 -X $12.000 - X
- 13 dias
9 dias
1 10,24 0,24 0,24X = $8.000 1 9 + $12.000 1 13 X 1 45
360 360 360
X $10.119,82
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ × + × − + ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⇒ =
⎞⎟⎠
CAPÍTULO 2
10
Exercícios Propostos
Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, ano comercial de 360
dias.
1. Calcular o montante de uma aplicação de $3.500 pelas seguinte taxas de juros e prazos:
a) 4% a.m., 6 meses
Dados: P = $3.500, = 4% a.m., n = 6 meses
( )6nS P(1+i) $3.500 1 0,04 $ 4.428,62= = × + =
b) 8% a.t., 18 meses
Dados: P = $3.500, i = 8% a.t., n = 18 meses = 6 trimestres
( )6nS P(1+i) $3.500 1 0,08 $ 5.554,06= = × + =
c)12% a.a., 18 meses
Dados: P = $3.500, i =12% a.a., n = 18 meses = 1,5 ano
( )1,5nS P(1+i) $3.500 1 0,12 $ 4.148,54= = × + =
2. Em que prazo um capital de $18.000 acumula um montante de $83.743 à taxa de 15% a.m.?
Dados: P = $18.000, S = $83.743, i = 15% a.m., n = ?
Podemos aplicar a expressão do montante para, a seguir, destacar o fator financeiro implícito:
( )
( )
( )
n
n
n
S P 1 i
$83.743 $18.000 1 0,15
4,65239 1,15
= +
= × +
=
meses 11
1,15 log
4,65239 logn 1,15 logn4,65239 log :logaritmos aplicando ==⇒×=
3. Um investimento resultou em um montante de $43.000 no prazo de três meses. Se a taxa de juros
efetiva ganha for 10% a.m., calcular o valor do investimento.
Dados: S = $43.000, n = 3 meses, i = 10% a.m., P = ?
( )
( )
n
3
S P 1 i
$43.000 P 1 0,1 P $ 32.306,54
= +
= × + ⇒ =
4. Uma empresa pretende comprar um equipamento de $100.000 daqui a quatro anos com o montante
de uma aplicação financeira. Calcular o valor da aplicação necessária se as taxas de juros efetivas
ganhas forem as seguintes:
a) 13% a.t. (ao trimestre)
Dados: S = $100.000, i = 13% a.t., n = 4 anos = 16 trimestres, P = ?
( )
n
16
S P(1+i)
$100.000 P 1 0,13 P $ 14.149,62
=
= × + ⇒ =
b) 18% a.a. (ao ano)
Dados: S = $100.000, i = 18% a.a., n = 4 anos, P = ?
( )
n
4
S P(1+i)
$100.000 P 1 0,18 P $ 51.578,89
= =
= × + ⇒ =
c) 14% a.s. (ao semestre)
Dados: S = $100.000, i = 14% a.s., n = 4 anos = 8 semestres, P = ?
11
( )
n
6
S P(1+i)
$100.000 P 1 0,14 P $ 35.055,91
=
= × + ⇒ =
d) 12% a.m. (ao mês)
Dados: S = $100.000, i = 12% a.m., n = 4 anos = 48 meses, P = ?
( )
n
48
S P(1+i)
$100.000 P 1 0,12 P $ 434,05
=
= × + ⇒ =
5. Um capital de $51.879,31 aplicado por seis meses resultou em $120.000. Qual a taxa de juros
efetiva ganha?
Dados: S = $120.000, P = $51.879,31, n = 6 meses, i = ?
( )n n
1/ 6
SS P 1 i i 1
P
$120.000 i 1 15% a.m.
$51.879,31
= + ⇒ = −
⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠
6. Uma pessoa deve pagar três prestações mensais iguais e consecutivas de $3.500 cada, sendo a
primeira para 30 dias. Se resolvesse quitar a dívida por meio de um pagamento único daqui a três
meses, qual seria o valor desse pagamento, considerando-se uma taxa de juros efetiva de 5% a.m.?
1ª forma de pagamento: 2ª forma de pagamento:
3 prestações de $3.500 1 pagamento único para 3 meses
n=1, 2, 3 meses
O valor do pagamento único deverá ser igual à soma das prestações mensais capitalizada até o
terceiro ano:
( ) ( )2P $3.500 1,05 $3.500 1,05 $3.500 $11.033,75= × + × + =
7. Em uma determinada compra, há duas formas de pagamento: a) pagamento à vista de $1.400; e b)
dois cheques pré-datados de $763,61 cada, para 30 e 60 dias, respectivamente. Calcular a taxa de juros
efetiva cobrada.
Se o cliente obtiver 5% a.m. em suas aplicações financeiras, qual será a melhor opção de compra: à
vista ou a prazo?
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento:
P = $1.400 2 prestações de $736,61
n = 1, 2 meses
Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes das prestações:
( )2
$736,61 $736,61$1.400 i = 6% a.m.
(1+i) 1+i
= + ⇒
Logo, podemos concluir que o melhor seria pagar à vista, pois os juros efetivos da compra são
superiores ao ganho obtido através da aplicação financeira do capital na segunda opção.
8. Na compra de um bem cujo valor à vista é $140, deve-se pagar uma entrada mais duas prestações de
$80 no fim dos próximos dois meses. Considerando-se uma taxa de juros efetiva de 20% a.m., qual o
valor da entrada?
1ª forma de pagamento: 2ª forma de pagamento (à vista):
Entrada + 2 prestações de $80 P= $140
N = 0, 1, 2 meses
Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes dos
pagamentos:
12
( ) ( )1 2
$80 $80$140 E + E $17,78
1,2 1,2
= + ⇒ =
9. Uma casa está sendo vendida por $261.324,40 à vista. Considerando-se que o comprador se propõe
a pagar $638.000 daqui a quatro meses, calcular a taxa de juros efetiva ao mês embutida na proposta.
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento:
P = $261.324,40 um pagamento de $638.000 daqui a 4 meses
Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente do pagamento único:
( )
1/ 4
4
$638.000 $638.000$261.324,40 i 1 i = 25% a.m.
$261.324,401+i
⎛ ⎞= ⇒ = − ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠
10. Qual o tempo necessário para que seja triplicada uma população que cresce à taxa composta de 3%
a.a.?
Dados: S = 3P, i = 3% a.a., n = ?
( )
( )
n
n n
S P 1 i
3P = P 1 i 3 (1,03)
= +
+ ⇒ =
log 3aplicando logaritmos: log 3 n log 1,03 n 37,17 anos
log 1,03
= × ⇒ = =
11. A rentabilidade efetiva de um investimento é de 10% a.a.. Se os juros ganhos foram de $27.473
sobre um capital investido de $83.000, por quanto tempo o capital ficou aplicado?
Dados: S = $110.473 ($83.000 + $27.473), P = $83.000, i = 10% a.a., n = ?
( )n
n
S = P 1 i
$110.473 $83.000 (1,10)
+
= ×
log 1,331aplicando logaritmos: log 1,331 n log 1,10 n 3 anos
log 1,1
= × ⇒ = =
12. Nas vendas a crédito, uma loja aumenta em 40% o valor sobre o preço à vista. Desse valor
majorado, 20% é exigido como entrada e o resto será quitado em duas prestações mensais de $1.058
cada, sendo a primeira para daqui a um mês. Considerando-se que o valor à vista é de $2.000,
determinar a taxa de juros
efetiva cobrada no financiamento.
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento:
P = $2.000 Entrada = 1,4 × 0,2 × $2.000 = $560
mais 2 prestações de $1.058
Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes de todos as
quantias pagas na segunda forma de pagamento:
( ) ( )1 2
$1.058 $1.058$2.000 $560 + + i 30% a.m.
1+i 1+i
= ⇒ =
13. Um produto cujo preço à vista é $450 será pago em duas prestações mensais consecutivas de $280
e $300, a primeira para 30 dias. Considerando-se que a taxa de juros embutida na primeira prestação é
10% a.m., determinar a taxa embutida na segunda.
13
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento:
P = $ 450 1ª. prestação = $280, 2ª. prestação = $300
i1 = 10% a.m.
Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes de todos as
quantias pagas na segunda forma de pagamento:
( ) ( ) ( )
2
2 21 2
2
$280 $300 $300$450 + 1+i i 23,89% a.m.
$195,451,10 1+i
= ⇒ = ⇒ =
14. Um apartamento pode ser comprado à vista por $320.000 ou pagando-se 20% de entrada mais
duas prestações de $170.000 cada, a primeira para 3 meses e a segunda para 7 meses. Calcular a taxa
de juros efetiva cobrada no financiamento. Se a taxa de juros vigente no mercado para aplicações
financeiras for 2% a.m., qual será a melhor opção de compra?
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento:
P = $320.000 Entrada = 0,2 × $320.000 = $64.000
mais 2 prestações de $170.000 para 3 e 7 meses
Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes de todos as
quantias pagas na segunda forma de pagamento:
( )73
$170.000 $170.000$320.000 $64.000 + i = 5,98% a.m.
(1+i) 1+i
= + ⇒
Logo, podemos concluir que o melhor seria pagar à vista, pois os juros efetivos da compra são
superiores ao ganho obtido através da aplicação financeira do capital na segunda opção.
15. Certa loja tem como política de vendas a crédito exigir 20% do valor à vista como entrada e o
restante a ser liquidado em três prestações mensais iguais, a primeira para 30 dias. Considerando-se
que a taxa de juros efetiva cobrada será 15% a.m., determinar a porcentagem do valor à vista a ser
pago como prestação a cada mês.
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento:
valor à vista = P Entrada = 0,2 × P;
mais 3 prestações de valor: R = p × P
Por equivalência de capitais:
( ) ( )2 31
1 2 3
p P p P p P 0,8 PP 0,2 P + p P = p = 35,05%
(1+i) 1 1 11+i 1+i
(1,15) (1,15) (1,15)
× × × ×= × + + ⇒ × ⇒⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
16. Uma loja permite pagamento em três prestações iguais. Considerando-se que cada prestação é
igual a um terço do valor à vista, sendo a primeira paga no ato da compra (antecipada), calcular a taxa
de juros cobrada.
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento:
valor à vista = P valor das prestações: R = P / 3
Por equivalência de capitais:
( )21
P PP 3 3P + i = 0% a.m.
3 (1+i) 1+i
= + ⇒
17. O valor à vista de um bem é de $6.000. A prazo, paga-se uma entrada mais três parcelas mensais
de $2.000 cada, sendo a primeira em um mês. Calcular o valor da entrada, considerando-se que a taxa
de juros aplicada é 7% a.m..
14
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento:
valor à vista = $6.000 Entrada (E) + 3 prestações de $2.000 cada
Por equivalência de capitais:
( )31 2
$2.000 $2.000 $2.000$6.000 E + E = $751,37
(1,07) (1,07) 1,07
= + + ⇒
18. Por um equipamento de $360.000 paga-se uma entrada de 20% mais dois pagamentos mensais
consecutivos. Considerando-se que o valor do primeiro pagamento é $180.000 e a taxa de juros efetiva
aplicada é de 10% a.m., calcular o valor do segundo pagamento.
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento:
valor à vista = $360.000 E= $72.000; R1 = $180.000, R2 = ?
Por equivalência de capitais:
2
21 2
R$180.000$360.000 $72.000 + R = $150.480
(1,10) (1,10)
= + ⇒
19. Uma pessoa pretende, daqui a seis meses, comprar um automóvel no valor de $25.000. Calcular a
aplicação necessária a ser efetuada hoje em um investimento que rende juros efetivos de 13% a.m., de
modo que o veículo possa ser comprado com os juros ganhos na aplicação.
Dados: J = $25.000, i = 13% a.m., n = 6 meses, P = ?
( )( )
( )
n
6
os juros obtidos ao término dos seis meses deverão ser iguais ao valor do veículo:
juros = S - P = P 1 i 1
$25.000 = P (1,13) 1 P = $23.106,39
+ −
− ⇒
20. Um capital de $50.000 rendeu $1.000 em um determinado prazo. Se o prazo fosse dois meses
maior, o rendimento aumentaria em $2.060,40. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês ganha pela
aplicação e o prazo em meses.
Dados: P = $50.000, S1 = $51.000 ($50.000 + $1.000), S2 = $53.060,40 ($51.000 + $2.060,40), n2 =
n + 2, n = ?, i = ?
( ) nn n 2
2
$51.000 $50.000 (1+i)
S P 1 i
$53.060, 40 $50.000 (1+i) (1+i)
$53.060, 40(1+i) i 2% a.m
$51.000
⎧ ⎫= ×⎪ ⎪= + ⇒ ⎨ ⎬= × ×⎪ ⎪⎩ ⎭
= ⇒ =
aplicando logaritmos: log 1,02 n log 1,02 n 1 mês= × ⇒ =
21. Dois capitais foram aplicados durante dois anos, o primeiro a juros efetivos de 2% a.m. e o
segundo a 1,5% a.m.. O primeiro capital é $10.000 maior que o segundo, e seu rendimento excedeu
em $6.700 o rendimento do segundo capital. Calcular o valor de cada um dos capitais.
Dados: i1= 2% a.m.; i2 = 1,5% a.m, P1 – P2 = $10.000 , J1 – J2 = $6.700, n = 24 meses, P1 = ?, P2 = ?
( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
24 24
1 2
1 2
2 1
J - J = S - S - P - P
$6.700 = P 1,02 P 1,015 $10.000
P = P + $10.000
P =$3.440,52 P =$13.440,52
⎧ ⎫− −⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
⇒
22. Dois capitais, o primeiro de $2.400 e o segundo de $1.800, foram aplicados por 40 e 32 dias,
respectivamente. Considerando-se que a taxa efetiva ganha pelo primeiro capital foi 5% a.m. e
sabendo-se que esse capital rendeu $100 a mais do que o segundo, determinar a taxa mensal ganha
pelo segundo capital.
Dados: n1 = 40 dias, n2 = 32 dias, P1 = $2.400, P2 = $1.800, J1 – J2 = $100, i1 = 5% a.m., i2 = ?
15
( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
40 30 32 30
2
30
32
2 2
J - J = S - S - P - P
$100 = $2.400 1,05 $1.800 1 i $600
$1.861,32i = 1 i = 3,19% a.m.
$1.800
× − × + −
⎛ ⎞ − ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠
23. Um capital foi aplicado por seis meses a juros efetivos de 15% a.a.. Determinar o valor do capital
considerando-se que se o montante, ao término do prazo, diminuído da metade dos juros ganhos, fosse
reaplicado à mesma taxa efetiva, renderia em 3 meses juros de $18,42.
( )( )
( )( )
n
0,5
0,50,5
rendimento = P 1 i 1
Montante ao término dos 6 meses: P(1,15)
Valor reaplicado ao término dos 6 meses: P(1,15) 0,5P 1,15 1
Rendimento em 3 meses do valor reaplicado:
P
+ −
⎡ ⎤− −⎣ ⎦
( )( ) ( )( )0,5 3/120,5 (1,15) 0,5P 1,15 1 1,15 1 $18, 42 P = $500⎡ ⎤− − − = ⇒⎣ ⎦
24. Certo capital, após quatro meses, transformou-se em $850,85.
Esse capital, diminuído dos juros
ganhos nesse prazo, reduziu-se a $549,15. Calcular o capital e a taxa de juros efetiva ao mês ganha na
aplicação.
( )
( )
( )
n
Montante ao término de 4 meses: $850,85
Juros ganhos ao término de 4 meses: $850,85 - P
Capital menos os juros ganhos em 4 meses:
P- $850,85 - P $549,15 P $700
S =P 1 i
$850,85=$700 1 i
= ⇒ =
+
× + 4 i 5% a.m. ⇒ ≈
25. Um capital foi aplicado a juros efetivos de 30% a.a.. Depois de três anos, resgatou-se a metade dos
juros ganhos e, logo depois, o resto do montante foi reaplicado à taxa efetiva de 32% a.a., obtendo-se
um rendimento de $102,30 no prazo de um ano. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado.
( )( )
( )
n
3
3 3
3
juros ganhos = P 1 i 1
Montante ao término de 3 anos: P(1,30)
Valor reaplicado ao término dos 3 anos: P(1,30) 0,5P (1,30) 1
Rendimento em 1 anos do valor reaplicado:
P(1,30)
+ −
⎡ ⎤− −⎣ ⎦
( ) ( )( )13 0,5P (1,30) 1 1,32 1 $102,3, 42 P = $200⎡ ⎤− − − = ⇒⎣ ⎦
26. Um capital foi aplicado por 50 dias a juros efetivos de 3% a.m.. Se a diferença entre o capital
inicial e os juros ganhos fosse aplicada à mesma taxa, renderia em 3 meses juros de $44,02.
Determinar o valor do capital.
Dados: n1 = 50 dias, n2 = 3 meses, P2 = P1 – J1, J2 = $44,02, i = 3% a.m., P1 = ?
( )( ) ( )( )2n 32 2 2 2J P 1 i 1 $44,02 P 1,03 1 P = $474,73= + − ⇒ = − ⇒
Por outro lado,
16
( ){ } ( ){ }1n 52 1 1 1 1
1
P = P - J = P 2 1+i $474,73 = P 2 1,03
P = $500
− ⇒ − 0 30
27. Um capital foi aplicado durante dez meses à taxa efetiva de 2% a.m.. Ao término desse prazo, seu
montante foi reaplicado durante 11 messes a 3% a.m.. A que taxa mensal única deveria ser aplicado o
capital durante todo esse tempo de modo que resultasse no mesmo montante?
Dados: n = n1+ n2, n1,= 10 meses, n2 = 11 meses, i1 = 2% a.m., i2 = 3% a.m., i = ?
Por equivalência de capitais:
( )
( ) ( )
1 2n n n
1 2
10 11 21
P(1+i ) (1+i ) P(1+i)
1,02 1,03 = (1+i) i 2,523% a.m.
× =
× ⇒ =
28. Um capital aplicado à taxa de 4% a.m. rendeu após um ano $480,83 de juros. Do montante obtido,
foram retirados $600 e o saldo restante reaplicado à mesma taxa, resultando em um novo montante de
$1.226,15 depois de um certo prazo. Determinar o valor do capital inicial e o prazo da reaplicação.
Dados: n1 = 12 meses, P2 = S1 – $600, J1 = $480,83, S2 = $1.226,15, i = 4% a.m., P1 = ?, n2 = ?
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
n1
1 1 1 1
12
1 1 1
n n
2 1
12 n
2 2
S = P + J = P 1+i
P + $480,83 = P 1,04 P = $800
Por outro lado,
S P 1 i S = S $600 1 i
$1.226,15 $800 1,04 $600 1,04
aplicando logaritmos: log 1,8 n log 1,04 n 15 meses
⇒
= + ⇒ − +
= × −
= × ⇒ =
29. Dois capitais, o primeiro igual ao dobro do segundo, foram aplicados pelo mesmo prazo e à mesma
taxa efetiva de 4% a.m.. Sabendo-se que o primeiro capital ganhou $400 de juros e que a soma do
primeiro capital mais os juros ganhos pelo segundo totaliza $1.032,91, calcular os capitais e o prazo da
aplicação.
Dados: P1 = 2 × P2, J1 = $400, P1 + J2 = $1.032,91, i = 4% a.m., P1 = ?, P2 = ?, n = ?
( )( )
( ) ( )
n
n n
2
2
juros ganhos pelo primeiro capital:
J P 1 i 1
$200$400 = 2 P 1,04 1 1,04 1
P
= + −
⎡ ⎤× − ⇒ =⎣ ⎦ +
Por outro lado,
( )
( )
n
21
n
=1 2
2 22
2
primeiro capital mais juros do segundo:
P P 1,04 1 $1.032,91
substituindo o valor de 1,04 na equação anterior e P 2P :
$2002P P 1 1 $1.032,91 P = $416,46
P
×
×
⎡ ⎤+ − =⎣ ⎦
⎡ ⎤+ + − = ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦
1 P = $832,91
17
( )
( )
n
2
n
$2001,04 1
P
$2001,04 1 1, 48
$416,46
aplicando logaritmos: log 1,48 n log 1,04 n 10 meses
= +
= + =
= × ⇒ =
30. Dois capitais, o primeiro de $1.000 e o segundo de $227,27, foram aplicados a juros efetivos de
20% a.a.. O primeiro capital, na metade do tempo do segundo, obteve um rendimento de $100 a mais.
Calcular os prazos das duas aplicações.
Dados: P1 = $1.000, P2 = $227,27, J1 – J2 = $100, i = 20% a.a., n1 = n2/2, n1 = ?, n2 = ?
( )
( ) ( )
( )
1 1
1
1 2 1 2 1 2
n 2 n
n
1 2
J - J = S - S - P - P
$100 = $1.000 1, 20 $227,27 1,20 $772,73
1, 20 1, 20 n = 1 ano n = 2 anos
×− −
= ⇒ ⇒
31. Um capital foi aplicado por dois anos a juros efetivos 20% a.a.. Ao término desse prazo, um terço
dos juros ganhos foi reaplicado à taxa efetiva de 25% a.a., obtendo-se uma remuneração semestral de
$34,62. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado.
( )2Juros ganhos ao término de 2 anos: P (1,20) 1−
( )
( ) ( )
2
2 0,5
1o valor reaplicado é igual a um terço dos juros ganhos: P (1,20) 1
3
rendimento do valor reaplicado ao término de 1 semestre:
1 P (1,20) 1 (1,25) 1 $34,62 P = $2.000
3
⎡ ⎤× −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤× − − = ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦
32. Um capital foi aplicado durante 50 dias a juros efetivos de 3% a.m.. Se a diferença entre o capital e
os juros ganhos, acrescida de $10.000, fosse aplicada à mesma taxa, renderia $12.342,82 ao ano.
Calcular o capital.
Dados: n1 = 50 dias, n2 = 1 ano, J2 = $12.342,82, P2 = P1 – J1 + $10.000, i = 3% a.m., P1 = ?
( )( )
( )( )
2n
2 2
12
2 2
J P 1 i 1
$12.342,82 P 1,03 1 P = $28.990
= + −
= − ⇒
Por outro lado,
( ){ } ( ){ }1n 52 1 1 1 1
1
P - $10.000 = P - J = P 2 1+i $18.990 = P 2 1,03
P = $20.000
− ⇒ − 0 30
33. Uma pessoa tomou dois empréstimos. O primeiro por 3 meses a juros efetivos de 5% a.m., e o
segundo por 10 meses a 4% a.m.. Sabendo-se que os juros pagos pelos dois empréstimos totalizaram
$11.181,14 e que o primeiro empréstimo é igual à metade do segundo, calcular o valor total dos
empréstimos.
Dados: i1 = 5% a.m., n1 = 3 meses, i2 = 4% a.m, n2 = 10 meses, 2 x P1 = P2, J1 + J2 = $11.181,14, P1 =
?, P2 = ?
( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
3 10
1
1 2
J + J = S + S - P + P
$11.181,14 = P 1,05 2 1,04 3
P =$10.000 P =$20.000
⎡ ⎤+ × −⎣ ⎦
⇒
Valor total dos empréstimos = $10.000 + $20.000 = $30.000
18
34. Dois capitais, o primeiro igual ao triplo do segundo, foram aplicados, respectivamente, a taxas
efetivas de 5% a.m. e 10% a.m.. Determinar o prazo em que os montantes dos dois capitais se igualam.
Dados: i1 = 5% a.m., i2 = 10% a.m, P1 = 3 × P2, S1 = S2, n = ?
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
n n
1 2
n n
2 2
S S
P 1,05 P 1,10
3 P 1,05 P 1,10 1,04762 3n
=
=
× = ⇒ =
aplicando logaritmos: log 3 n log 1,04762 n 23,6159 meses = 23 meses e 18 dias= × ⇒ =
35. Uma empresa tem duas dívidas. A primeira, de $10.000, contratada a juros efetivos de 3% a.m.,
vence em 48 dias, e a segunda, de $15.000, a juros efetivos de 4% a.m., vence em 63 dias. A empresa
pretende liquidar as dívidas com o dinheiro proveniente do desconto financeiro de uma promissória
com valor nominal de $27.033 que vence em 90 dias. Calcular a taxa mensal efetiva aplicada pelo
banco no desconto do título.
Dados: i1 = 3% a.m., n1 = 48 dias, i2 = 4% a.m, n2 = 63 dias, D1 = $10.000, D2 = $15.000, P =
$27.033, n = 90 dias, i = ?
Por equivalência de capitais:
( )63 3090 30 48 30
$27.033 $10.000 $15.000 i = 5% a.m.
(1+i) (1,03) 1,04
= + ⇒
36. Em quanto tempo o rendimento gerado por um capital iguala-se ao o próprio capital, aplicando-se
uma taxa efetiva de 5%a.m.?
Dados: J = P; i = 5% a.m.; n = ?
( )
( ) ( )
n
n n
J P 1 i 1
P =P 1,05 1 1,05 2
⎡ ⎤= + −⎣ ⎦
⎡ ⎤− ⇒ =⎣ ⎦
aplicando logaritmos: log 2 n log 1,05 n 14,2067 meses 427 dias=
× ⇒ = ≈
37. Quanto tempo é necessário para que a relação entre um capital de $8.000, aplicado a juros efetivos
de 4% a.m., e seu montante seja igual a 4/10?
Dados: P = $8.000, S = (10/4) x P, i = 4% a.m., n = ?
( )
( )
n
n
n
P 4
10P 1 i
$8.000 4 1,04 2,5
10$8.000 (1,04)
=+
= ⇒ =×
aplicando logaritmos: log 2,5 n log 1,04 n 23,3624 meses = 23 meses e 11 dias= × ⇒ =
38. Três dívidas, a primeira de $2.000 com vencimento em 30 dias, a segunda de $1.000 com
vencimento em 60 dias e a terceira de $3.000 com vencimento em 90 dias serão liquidadas por meio
de um pagamento único de $6.000. Se a taxa de juros efetiva aplicada for de 3% a.m., determinar
daqui a quanto tempo deve ser efetuado esse pagamento.
Dados: i = 3% a.m., n1 = 30 dias, n2 = 60 dias, n3 = 90 dias, D1 = $2.000, D2 = $1.000, D3 = $3.000, P
= $6.000, n = ? (data focal = valor presente)
Por equivalência de capitais:
19
( ) ( )
n
2 3n 30 1
$6.000 $2.000 $1.000 $3.000 (1,03) 6,7581
(1,03) (1,03) 1,03 1,03
= + + ⇒ =
aplicando logaritmos: log 6,7581 n log 1,03 n 65 dias= × ⇒ =
39. Quanto tempo é necessário para que o montante de um capital de $5.000 aplicado a juros efetivos
de 6% a.m. se iguale ao montante de outro capital de $8.000 aplicado à taxa efetiva de 4% a.m.?
Dados: i1 = 6% a.m., i2 = 4% a.m, P1 = $5.000, P2 = $8.000, n = ?
( )
( ) ( ) ( )
n
n n
S P 1 i
$5.000 1,06 $8.000 1,04 1,01923 1,6
= +
× = × ⇒ =n
aplicando logaritmos: log 1,6 n log 1,01923 n 24,67444 meses = 740 dias= × ⇒ =
40. Calcular o rendimento de um capital de $7.000 aplicado à taxa efetiva de 1% a.m. no período
compreendido entre 3 de abril e 6 de junho do mesmo ano (considere o ano civil).
Dados: i= 1% a.m., P = $7.000, J = ?
n= 03/04 até 06/06 = 157-93 n= 64 dias⇒
( ) ( )n 64 30J P 1 i 1 $7.000 1,01 1 $150,18⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
41. Qual a taxa de juros anual efetiva que permite a duplicação de um capital no prazo de 42 meses?
Dados: S = 2 x P, n = 42 meses, i = ?
( )
( )
n
42 12
S P 1 i
2 P = P 1 i i = 21,9% a.a.
= +
× + ⇒
42. Um capital de $20.000 foi aplicado por 90 dias à taxa efetiva diária de 0,1% a.d.. Determinar o
rendimento ganho entre o 46o e o 87o dia .
Dados: i= 0,1% a.d., P = $20.000, n1 = 46 dias, n2 = 87 dias, = ? 2 1J - J
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
2 1
n
n n
2 1
87 46
2 1 2 1
J = P 1 i 1
J - J = P 1 i 1 1 i 1
J - J = $20.000 1,001 1,001 J - J = $875,98
+ −
+ − − + +
⎡ ⎤− ⇒⎣ ⎦
43. Duas dívidas, uma de $20.000 e outra de $30.000, com vencimento em 2 e 4 meses,
respectivamente, serão liquidadas por meio de um único pagamento a ser efetuado em 3 meses.
Considerando-se juros efetivos de 5% a.m., calcular o valor desse pagamento.
Dados: i= 5% a.m., n1 = 2 meses, n2 = 4 meses, D1 = $20.000, D2 = $30.000, n = 3 meses, P = ?
(data focal = valor presente)
Por equivalência de capitais:
( )43 2
P $20.000 $30.000 P = $49.571,43
(1,05) (1,05) 1,05
= + ⇒
44. Uma pessoa necessita dispor de $20.000 daqui a 8 meses. Para tanto, pretende efetuar duas
aplicações em um fundo que rende juros efetivos de 3% a.m.. A primeira aplicação, de $10.000, foi
efetuada hoje, e a segunda o será daqui a um mês. De quanto deverá ser esta segunda aplicação de
modo que a pessoa possa dispor da quantia necessitada ao término do oitavo mês?
Dados: i = 3% a.m., n1 = 8 meses, n2 = 7 meses, P1 = $10.000, D = $20.000, n = 8 meses, P2 = ?
20
(data focal = 1 mês)
Por equivalência de capitais:
1
1 2n-1
1
2 27
D P (1+i) + P
(1+i)
$20.000 $10.000 (1,03) + P P = $5.961,83
(1,03)
= ×
= × ⇒
45. Um empréstimo de $5.000, contratado à taxa efetiva de 5% a.m., será liquidado por meio de 5
pagamentos mensais consecutivos, sendo o primeiro daqui a 30 dias. Considerando-se que o valor de
cada um dos 4 primeiros pagamentos é $1.000, determinar o valor do último pagamento.
Dados: i = 5% a.m., ni = i meses, D = $5.000, P1-4 = $1.000, P5 = ?
(data focal = valor presente)
Por equivalência de capitais:
( ) ( ) ( )
5
5 2 4 51 3
$1.000 $1.000 $1.000 $1.000 P$5.000 P = $1.855,78
(1,05) (1,05)1,05 1,05 1,05
= + + + + ⇒
46. Determinar o capital que, aplicado durante 3 meses à taxa efetiva composta de 4% a.m., produz um
montante que excede em $500 o montante que seria obtido se o mesmo capital fosse aplicado pelo
mesmo prazo a juros simples de 4% a.m.
Dados: i= 4% a.m, n = 3 meses, S1 = S2 +$500, P = ?
( ) ( )
( ) ( )
n
1 2
3
S P 1 i S P 1 n i
P 1,04 = P 1 + 3 0,04 $500 P = $102.796,05
e= + = + ×
× + ⇒
47. Um capital aplicado a uma determinada taxa de juros efetiva mensal rendeu, no prazo de dois anos,
um valor igual a um quarto do próprio capital. Determinar a taxa de juros à qual foi aplicado.
Dados: n = 2 anos, Capital = P, Rendimento = 0,25P, i =?
[ ] a.m 0,9341%009341,0i P0,251i)(1P 2 ==⇒×=−+
48. Uma pessoa depositou $1.000 em um fundo que paga juros efetivos de 5% a.m., com o objetivo de
dispor de $1.102,50 dentro de 60 dias. Passados 24 dias após a aplicação, a taxa efetiva baixou para
4% a.m.. Quanto tempo adicional, além dos 60 dias inicialmente previstos, a pessoa terá de esperar
para obter o capital requerido?
Dados: i1 = 5% a.m., i2 = 4% a.m., n1 = 24 dias, P1 = $10.000, S2 = $1.102,50, P2 = S1, n2 = ?
( )
( )
n
24 30
1 1
S P 1 i
S $10.000 1,05 S P = $10.398,04
= +
= × ⇒ = 2
Por outro lado,
( )( ) ( )2 2n - 24 30 n - 242S $1.102,50 $1.039,80 1,04 1,04 5,7925= = × ⇒ =
( )2 aplicando logaritmos: log 5,7925 n - 24 log 1,04 n 69 dias
Dias adicionais: 69 -60 = 9 dias a mais
= × ⇒ =
49. Um capital de $4.000 foi aplicado dividido em duas parcelas. A primeira à taxa efetiva de 6% a.t.,
e a segunda a 2% a.m.. Considerando-se que após 8 meses os montantes de ambas as parcelas se
igualam, determinar o valor de cada parcela.
Dados: i1 = 6% a.t., i2 = 2% a.m, P1 = $4.000 – P2, S1 = S2, n = 8 meses, P1= ?, P2 = ?
21
( )
( ) ( ) ( )
n
8 3 8
2 2 2 1
S P 1 i
$4.000 P 1,06 P 1,02 P = $1.996,69 P = $2.003,04
= +
− = ⇒ ⇒
50. Um capital aplicado em um fundo duplicou seu valor entre 11 de julho e 22 de dezembro do
mesmo ano. A que taxa efetiva mensal foi aplicado? (considere o ano civil)
Dados: S = 2 × P, i = ?
n= 11/07 até 22/12 = 356-192 n= 164 dias⇒
( )
( )
n
164 30
S P 1 i
2 P= P 1 i i = 13,52% a.m.
= +
× + ⇒
51. Um financiamento de $5.000 foi contratado a uma taxa efetiva trimestral de 12% a.t..
Considerando-se que ele foi liquidado após 60 dias, calcular o total de juros pagos pelo financiamento.
Dados: i = 12% a.t., n = 2 meses, P = $5.000, J = ?
( ) ( )n 2 3J P 1 i 1 $5.000 1,12 1 $392,40⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − = × − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
52. Determinar o valor dos juros pagos por um empréstimo de $2.000 contratado a juros efetivos de
5% a.m. pelo prazo de 25 dias.
Dados: i = 5% a.m., n = 25 dias, P = $2.000, J = ?
( ) ( )n 25 30J P 1 i 1 $2.000 1,05 1 $82,99⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − = × − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
53. Um empréstimo de $5.000 foi tomado a juros efetivos em 14 de abril e liquidado por $5.850 em 28
de maio do mesmo ano. Determinar a taxa efetiva mensal contratada. (considere o ano civil)
Dados: S = $5.850, P = $5.000, i = ?
n= 14/04 até 28/05 = 148-104 n= 44 dias⇒
( )
( )
n
44 30
S P 1 i
$5.850 $5.000 1 i i 11,2988% a.m.
= +
= + ⇒ =
CAPÍTULO 3
Exercícios Propostos
Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, ano comercial de 360
dias.
1. Dada a taxa efetiva de 48% a.a., determinar a taxa equivalente ao mês, ao trimestre e ao semestre.
Dados:
ia = 48% a.a.
2 4 12 360
a s t m d
1/12
m a
1/4
t a
1/2
s a
(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )
i =(1 + i ) - 1 = 3,32% a.m.
i =(1 + i ) - 1 = 10,30% a.t.
i =(1 + i ) - 1 = 21,66% a.s.
22
2. Calcular as taxas de juros efetivas mensal, trimestral e semestral equivalentes à taxa nominal de
60% a.a. capitalizada mensalmente.
Dados: j = 60% a.a., k = 12, m = 1
k m 12
a a
2 4 12 360
a s t m d
1/12
m a
1/4
t a
1/2
s a
j 0,60(1 + i ) = 1+ (1 + i ) = 1+ 1,796
k 12
(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )
i =(1 + i ) - 1 = 5,00% a.m.
i =(1 + i ) - 1 = 15,76% a.t.
i =(1 + i )
×⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
- 1 = 34,01% a.s.
3. Determinar a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 60% a.a. nas seguintes hipóteses
de capitalização dos juros da taxa nominal: diária, mensal, trimestral e semestral.
Dados: j = 60% a.a., m = 1
k m
a
360
a
12
a
4
a
j(1 + i ) = 1+
k
0,60Diária (k=360) i = 1+ - 1 = 82,12% a.a.
360
0,60Mensal (k=12) i = 1+ - 1 = 79,59% a.a.
12
0,60Trimestral (k=4) i = 1+ - 1 = 74,90% a.a.
4
Semestral (k=
×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠
2
a
0,602) i = 1+ - 1 = 69,00% a.a.
2
⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠
4. Calcular a taxa nominal anual equivalente à taxa efetiva de 40% a.a. nas seguintes hipóteses de
capitalização dos juros da taxa nominal: mensal, trimestral e semestral.
Dados:ia = 40% a.a., m = 1
k m
1 k m
a a
1 12
1 4
1 2
j(1 + i ) = 1+ j = (1 + i ) 1 ×k
k
Mensal (k=12) j = (1,40) 1 ×12 = 34,12% a.a.
Trimestral (k=4) j = (1,40) 1 ×4 = 35,10% a.a.
Semestral (k=2) j = (1,40) 1 ×2 = 36,64% a
×
×⎛ ⎞ ⎡ ⎤⇒ −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
⎡ ⎤⇒ −⎣ ⎦
⎡ ⎤⇒ −⎣ ⎦
⎡ ⎤⇒ −⎣ ⎦ .a.
5. A que taxa nominal anual, capitalizada mensalmente, uma aplicação de $13.000 resulta em um
montante de $23.000 em 7 meses?
Dados: P = $13.000, S = $23.000, m = 7/12, k = 12, j = ? % a.a.
( )
k m 1 k m
1 12 7 12
j SS = P 1+ j = 1 ×k
k P
$23.000j = 1 ×12= 101,90% a.a.
$13.000
× ×
×
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
6. Se uma aplicação de $18.000 à taxa nominal de 180% a.a., capitalizada mensalmente, resultou em
um montante de $36.204,48, por quantos meses o capital ficou aplicado?
Dados: P = $18.000, S = $36.204,48, j = 180% a.a., k =12, m = ? anos
23
( )
k m
12 m
12 m
jS = P 1+
k
1,80$36.204,48 $18.000 1+ 1,15 2,011
12
×
×
×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠ =
aplicando logaritmos: log 2,011=12×m×log 1,15 m= 5 meses⇒
7. Determinar:
a) a taxa efetiva para dois meses equivalente à taxa nominal de 120% a.a. capitalizada mensalmente.
Dados: j = 120% a.a., k = 12, m = 2/12 anos, i = ?
k m
a
2 4 12 360
a s t m d
j(1 + i ) = 1+
k
(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )
×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
( )12 2 121,20i = 1+ 1 21%
12
×⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
b) a taxa efetiva para 18 meses equivalente à taxa nominal de 120% a.a. capitalizada semestralmente.
Dados: j = 120% a.a., k = 2, m =18/12 anos, i = ?
( )2 18 121,20i = 1+ 1 309,60%
2
×⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
c) a taxa nominal anual capitalizada mensalmente equivalente à taxa efetiva de 10% em 60 dias.
Dados: ib = 10% a.b., k = 12, m = 1 ano, j = ? % a.a.
k m
6 6
a b b
6 12 1
j(1 + i ) = (1 + i ) 1+ j = (1 + i ) 1 ×k
k
j = (1,10) 1 ×12 = 58,57% a.a.
×
×
×
⎛ ⎞ k m⎡ ⎤= ⇒ −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
⎡ ⎤−⎣ ⎦
d) a taxa nominal anual capitalizada trimestralmente equivalente à taxa efetiva de 15% a.s..
Dados: is = 15% a.s., k = 4, m = 1 ano, j = ? % a.a.
k m
2 2
a s s
2 4 1
j(1 + i ) = (1 + i ) 1+ j = (1 + i ) 1 ×k
k
j = (1,15) 1 ×4 = 28,95% a.a.
×
×
×
⎛ ⎞ k m⎡ ⎤= ⇒ −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
⎡ ⎤−⎣ ⎦
e) a taxa efetiva para 41 dias equivalente à taxa nominal de 24% a.a. capitalizada diariamente.
Dados: j = 24% a.a., k = 360, m = 41/360 anos, i = ?
( )360 41 3600,24i = 1+ 1 2,77 %
360
×⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
f) a taxa efetiva para 41 dias equivalente à taxa nominal de 24% a.s., capitalizada diariamente.
Dados: j = 24% a.s., k = 180, m = 41/180 anos, i = ?
( )180 41 1800,24i = 1+ 1 5,62 %
180
×⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
24
8. Um capital foi aplicado à taxa nominal de 90% a.a., capitalizada mensalmente. Calcular a taxa
efetiva equivalente para os seguintes prazos: 180 dias, 3 meses, 5 trimestres e 7 semestres.
Dados: j = 90% a.a., k = 12, m = 1
k m 12
a a
2 4 12 360
a s t m d
j 0,90(1 + i ) = 1+ (1 + i ) = 1+ 2,382
k 12
(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )
×⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
180 dias
1/2
180 dias ai =(1 + i ) - 1 = 54,33%
3 meses
1/43 meses ai =(1 + i ) - 1 = 24,23%
5 trimestres
5/4
5 trimestres ai =(1 + i ) - 1 = 195,89%
7 semestres
7/2
7 semestres ai =(1 + i ) - 1 = 1.985,24%
9. Uma aplicação de $18.000 rendeu juros efetivos de $4.200 em quatro meses. Qual seria o
rendimento em 11 meses?
Dados: P = $18.000, S1 = $22.200, n1 = 4 meses, n2 = 11 meses, S2 = ?
( )
( ) ( )
n
4
m m
S = P 1+i
$22.200 $18.000 1+i 1+i 1,0538= ⇒ =
Por outro lado,
( )112 m
2
S = $18.000 1+i $32.043,78
J = S - P = $14.043,78
=
10. Quanto devemos aplicar em um CDB que paga uma taxa nominal de 84% a.a. capitalizada
mensalmente de modo a obter um montante de $76.000 após quatro meses?
Dados: S = $76.000, j = 84% a.a., m = 4/12 anos, k = 12, P = ?
( )
k m
12 4 12
jS = P 1+
k
1,84 $76.000 P 1+ P $57.980,04
12
×
×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
11. Calcular o montante para um capital de $2.000 aplicado conforme as hipóteses a seguir:
Prazo Taxa nominal Capitalização
a) 3 meses 48% a.s. mensal
b) 2 anos 18% a.a. mensal
c) 17 dias 35% a.m. diária
k mjS = P 1+
k
×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
a) Dados: P = $2.000, j = 48% a.s., m = 3/6 semestres, k = 6, S = ?
30,48S = $2.000 1+ $2.519,42
6
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
25
b) Dados: P = $2.000, j = 18% a.a., m = 2 anos, k = 12, S = ?
12 20,18S = $2.000 1+ $2.859,01
12
×⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
c) Dados: P = $2.000, j = 35% a.m., m = 17/30 meses, k = 30, S = ?
170,35S = $2.000 1+ $2.435,94
30
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
12. A juros nominais de 48% a.a., capitalizados mensalmente, determinar em quantos meses um
capital de $10.000 rende juros de $3.685,69.
Dados: P = $10.000, S = $13.685,69, j = 48% a.a., k = 12, m = ? anos
( )
k m
12 m
12 m
jS = P 1+
k
0,48$13.685,69 $10.000 1+ 1,04 1,368
12
×
×
×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠ =
aplicando logaritmos: log 1,368 12 m log 1,04 m= 8 meses= × × ⇒
13. Para os prazos a seguir, calcular as taxas efetivas equivalentes à taxa efetiva de 48% a.a.:
a) 8 meses
8/12
8 mesesi =(1,48) - 1 = 29,87%
b) 11 meses
11/12
11 mesesi =(1,48) - 1 = 43,24%
c) 18 dias
18/360
18 diasi =(1,48) - 1 = 1,98%
d) 3 meses
3/12
3 mesesi =(1,48) - 1 = 10,30%
e) 420 dias
420/360
420 diasi =(1,48) - 1 = 57,99%
f) 7 meses e 12 dias
222/360
7 meses e 12 diasi =(1,48) - 1 = 27,35%
14. Qual é a melhor alternativa: investir à taxa nominal de 240% a.a., capitalizada mensalmente, ou à
de 264% a.a., capitalizada bimestralmente?
Dados: j1 = 240% a.a., k1 = 12, j2 = 264% a.a., k2 = 6, m = 1 ano, i1 = ? % a.a., i2 = ? % a.a.
ik m
i
i
i
12
1 1
6
2 2
j(1 + i ) = 1+
k
2,40(1 +
i ) = 1+ i = 791,61%
12
2,64(1 + i ) = 1+ i = 791,61%
6
×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠
26
As alternativas são equivalentes!
15. Qual deve ser a freqüência da capitalização dos juros de uma taxa nominal de 565,98% a.a., de
modo que seja equivalente à taxa nominal de 480% a.a., capitalizada bimestralmente?
Dados: j1 = 565,98% a.a., j2 = 480% a.a., k2 = 6, m = 1 ano, k1 = ?
1 2
1
k m k m
1 2
1 2
k 6
1
j j1+ = 1+
k k
5,6598 4,801+ = 1+ 34,01
k 6
× ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
1
1 1
5,6598aplicando logaritmos: log 34,01 3,5266 k log 1+
k
Oras, sabemos que k é um divisor de 12, então testando valores obtemos k = 4
⎛ ⎞= = × ⎜ ⎟⎝ ⎠
Logo, a capitalização é trimestral!
16. Em quanto tempo dobra um capital aplicado à taxa nominal de 227,05% a.a., capitalizada
mensalmente ?
Dados: S = 2 x P, j = 227,05% a.a., k = 12, m = ? anos
( )
k m
12 m
12 m
jS = P 1+
k
2,27052 1+ 1,189 2
12
×
×
×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠ =
aplicando logaritmos: log 2=12×m×log 1,189 m= 4 meses⇒
17. Em 14 meses, uma aplicação de $12.000 rendeu juros brutos de $2.300. Considerando-se a
cobrança de um imposto de 2% sobre os rendimentos, calcular a taxa efetiva mensal obtida pela
aplicação.
Dados: P = $12.000, J = $2.300, Imposto = 2%, im = ?
a) Rendimento efetivo em 14 meses:
[ ]
rendimento efetivo juros brutos - imposto
$2.3000 0,02 $2.300 $2.254
=
= − × =
b) Taxa de rendimento efetivo mensal:
1
14
m
$2.254i 1 1 1,2371% a.m.
$12.000
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
eses à taxa efetiva de 45% a.a..
ados: P = $17.8000, i = 45% a.a., m = 7 meses, J = ?
18. Calcular o rendimento de $17.800 aplicados por sete m
D
( )7 12nJ = P (1+i) 1 = $17.800 1,45 1 $4.308,10⎡ ⎤⎡ ⎤− − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
19. Um capital de $24.000 aplicado à taxa nominal de 120% a.a., capitalizada mensalmente, rendeu
ados: P = $24.000, S = $29.040, j = 120% a.a., k = 12, m = ?
$5.040. Determinar o prazo da operação.
D
27
( )
k m
12 m
12 m
jS = P 1+
k
1,20$29.040 $24.000 1+ 1,21 1,1
12
×
×
×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= × ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
'
aplicando logaritmos: log 1,21=12×m×log 1,1 m= 2 meses⇒
20. Em sete meses, um investimento de $15.000 teve um rendimento bruto de $4.000. Considerando-
se um imposto de 3% sobre o rendimento e uma comissão de 1,5% sobre o valor aplicado, calcular a
taxa de juros efetiva mensal ganha na aplicação.
Dados: P = $15.000, J = $4.000, Imposto = 3%, Comissão = 1,5%, im = ?
a) Rendimento efetivo em 14 meses:
[ ] [ ]
rendimento efetivo juros brutos - imposto - comissão
$4.0000 0,03 $4.000 0,015 $15.000 $3.655
=
= − × − × =
b) Taxa de rendimento efetivo mensal:
1
7
m
$3.655i 1 1 3,1642% a.m.
$15.000
⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
21.Um investimento rende juros nominais de 6% a.a., capitalizados mensalmente. Calcular a taxa
efetiva anual.
Dados: j = 6% a.a., k = 12, m = 1 ano, ia = ?
k m
a
12
a
j(1 + i ) = 1+
k
0,06i = 1+ 1 6,1678%
12
×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
22. Em operações de crédito, o Banco A cobra uma taxa efetiva de 30% a.a., e o Banco B cobra juros
nominais de 27% a.a., capitalizados mensalmente. Qual é a melhor taxa para o cliente?
Dados: i = 30% a.a., j = 27% a.a., k = 12, m = 1 ano
a
k×m 12
a
Taxa efetiva anual:
Banco A i =30% a.a.
j 0,27 Banco B i = 1+ - 1= 1+ - 1=30,60% a.a.
k 12
O oferta A é a melhor para o cliente. Representa a menor taxa efetiva
⇒
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23. Uma aplicação a juros nominais de 24% a.a., capitalizados semestralmente, resultou em um
montante de $10.000. Se a taxa fosse de 48% a.a., capitalizada trimestralmente, o montante seria de
$15.735,19. Calcular o capital e o prazo da aplicação em anos.
Dados: S1 = $10.000, S2 = $15.735,19, j1 = 24% a.a., j1 = 48% a.a., k1 =2, k2 = 4. P = ?, m = ? anos
[ ]
k m
m2
m
jS = P 1+
k
0,24 $10.000$10.000 P 1+ P
2 1, 2544
×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞= ⇒ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Por outro lado,
28
[ ]$15.735,19 P 1+ 1,2544 1,5735
4
= ⇒ =⎢ ⎥
k m
m4
m
jS = P 1+
k
0,48
×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎢ ⎥⎣ ⎦
aplicando logaritmos: log 1,5735 m log 1,2544 m= 2 anos P= $6.355,18= × ⇒ ⇒
24. Em que prazo um capital de $75.000, aplicado à taxa nominal de 22% a.a., capitalizada
semestralmente, resulta em um montante de $ 155.712?
Dados: P = $75.000, S = $155.712, j = 22% a.a., k = 2, m = ?
( )2 m$155.712 $75.000 1+ 2,076 1,11
2
k m
2 m
jS = P 1+
k
0,22
×
×
×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞
'
25. Dois capitais foram aplicados. O primeiro de $8.000, à taxa nominal de 20% a.a., capitalizada
trimestralmente, e o segundo de $33.800,80, à taxa nominal de 10% a.a., capitalizada semestralmente.
Em quantos anos os dois capitais produzirão o mesmo rendimento?
Dados: P1 = $8.000, P2 = $33.800,80, j1 = 20% a.a., j1 = 10% a.a., k1 = 4, k2 = 2, J1 = J2, m = ? anos
= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
aplicando logaritmos: log 2,076=2×m×log 1,11 m= 42 meses⇒
( )
k m
4 m 2 m
2m
jrendimento: J = P 1+ 1
k
0,20 0,10$8.000 1+ -1 = $33.800,80 1+ -1
4 2
1,05 3, 2251
×⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
⇒ =
⎤⎥⎥⎦
aplicando logaritmos: log 3,2251 m log 1,1025 m = 12 anos= × ⇒
26. Um capital de $12.600 foi aplicado por três anos à taxa nominal de 22% a.a.. Calcular o montante,
considerando-se que, no primeiro ano, os juros são capitalizados semestralmente; no segundo,
trimestralmente, e no terceiro, bimestralmente.
Dados: P = $12.600, j = 22% a.a., k1 = 2, k2 = 4, k3 = 6, m1 = 1 ano, m2 = 1 ano, m3 = 1 ano, S = ?
k m
2 4
S = P 1+
k⎜ ⎟⎝ ⎠
6
j
$23.870, 48
×⎛ ⎞
0,22 0,22 0,22S $12.600 1+ 1+ 1+ S
2 4 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒
27. Um capital de $12.500 aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada semestralmente, rendeu
juros de $12.172,78. Calcular o prazo da aplicação.
Dados: P = $12.500, j = 24% a.a., k = 2, S = $24.672,78, m = ? anos
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠⎝
29
( )$24.672,78 $12.5 0 1 1,9738 1,12
2
k m
2 m
jS = P 1+
k
0,240 +
×
×
2 m×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞
'
= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
aplicando logaritmos: log 1,9738 2 m log 1,12 m= 3 anos= × × ⇒
28. Três quartos de um capital foram aplicados à taxa nominal de 20% a.a., capitalizada
semestralmente, e o restante a 12% a.s., capitalizada trimestralmente. Considerando-se o prazo de
aplicação de quatro anos e sabendo-se que o rendimento ( juros obtidos) da primeira parcela foi
$4.726,04 maior que o rendimento da segunda, calcular o capital.
Dados: P1 = (3/4) x P, P2 = (1/4) x P, J1 – J2 = $4.726,04, j1 = 20% a.a., k1 = 2, j2 = 12% a.s., k2 = 2,
m,=,4 anos = 8 semestres, P = ?
( )k mjS P 1 J - = S - S - P - P×⎛ ⎞ 1 2 1 2 1 2
2 4 2 8
k
3 0, 2 1 0,12 1$4.726,04 = P 1 1 P= $10.000
4 2 4 2 2
× ×
J= +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + − ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
29. Um capital aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada semestralmente, rendeu $9.738,23.
Se a taxa fosse de 48% a.a., capitalizada trimestralmente, o rendimento seria de $28.959,76.
zo da aplicação em anos e calcular o valor do capital.
⇒
Determinar o pra
Dados: J = $9.1 738,23, J2 = $28.959,76, j1 = 24% a.a., k1 = 2, j2 = 48% a.a., k2 = 4, P = ?, m = ?
( )
k×m
2×m
2×m
jJ = P 1+ -1
k
0,24 $9.738,23$9.738,23 = P 1+ -1 1,12 = 1
2 P
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⇒ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Por outro lado,
k×m
4×m
2
jJ = P 1+ -1
k
0,48$28.959,76 = P 1+ 1
4
$9.738,23$28.959,76 = P 1 -1
P
$9.738,23$28.959,76 = $9.738,23 2 P= $10.000
P
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤+ ⇒
⎢ ⎥⎣ ⎦
( )
( )
2×m $9.738,23 $9.738,231,12 = 1 1
P $10.000
+ = +
2×m1,12 = 1,9738
aplicando logaritmos: log 1,9738 2 m log 1,12 m= 3 anos= × × ⇒
30. Um capital aplicado durante quatro anos à taxa nominal de 12% a.a., capitalizada mensalmente,
rendeu de juros $12.252 a mais do que teria rendido se a capitalização fosse semestral. Calcular o
alor do capital.
ados: J1 – J2 = $12.252, j = 12% a.a., k1 = 12, k2 = 2, m = 4 anos, P = ?
v
D
30
( )k mjS P 1 ×⎛ ⎞= + ⇒⎜⎝ 1 2 1 2 1 2
12 4 2 4
J - J = S - S - P - P
k
0,12 0,12$12.252 = P 1 1 P= $666.666,56
12 2
× ×
⎟⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
31. Dividir a importância de $2.832.774 em três partes, de modo que, aplicadas à taxa nominal de 20%
a.a., capitalizada semestralmente, produzam, respectivamente, montantes iguais em dois, três e cinco
nos, considerando-se que a diferença entre o primeiro e o segundo capital é de $205.627,30. a
Dados: P1 – P2 = $205.627,30, P1 + P2+ P3 = $2.832.774, j = 20% a.a., k = 2, m1= 2 anos, m2 = 3 anos,
m3 = 5 anos, P1 = ?, P2 = ?, P3 = ?
( )
1 2k m k mj j× ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 2P 1 = P 1
k k
+ +
2 2 2 3
2 2 2
1 3
0,2 0,2P + 205.627,30 1 = P 1 P = $979.177,61
2 2
P = $1.184.804,92 P = $668.791,47
× ×
⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇒
32. Dois capitais foram aplicados pelo prazo de dois anos. O primeiro à taxa nominal de 20% a.a.,
⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
capitalizada semestralmente, e o segundo, à de 18% a.a., capitalizada trimestralmente. Considerando-
se que os juros obtidos pelo primeiro capital excederam em $6.741,00 os juros obtidos pelo segundo e
que o primeiro é $10.000 maior que o segundo, calcular os dois capitais.
Dados: P1 – P2 = $10.000, J1 – J2 = $6.741, j1 = 20% a.a., k1 = 2, j2 = 18% a.a., k2 = 4, m = 2 anos, P1
= ?, P = ? 2 ( )
( )
1 2 1 2 1 2
2 2 4 2
2 2
2 1
J - J = S - S - P - P
0,20 0,18$6.741 = P + $10.000 1 - P 1 $10.000
2 4
P = $50.000,73 P = $60.000,73
× ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇒
Um capital foi aplicado durante cinco anos à taxa nominal de 5.5% a.a., capitalizada
?
33.
semestralmente, e a seguir seu montante foi colocado a juros efetivos de 4% a.a. durante dez anos. A
que taxa efetiva anual única o capital poderia ser aplicado durante todo esse tempo de modo que
resultasse no mesmo montante?
Dados: j1 = 5,5% a.a., k = 2, i = 4% a.a., m = 5 anos, n = 10 anos, n = 15 anos, i = 1 2 1 2
( )
( ) ( ) ( )
k m
n
2 5
10 15 15
jS = P 1+ P 1+i
k
0,0551+ 1+0,04 1+i 1+i 1,9416 i = 4,5226% a.a.
2
×
×
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ = ⇒ = ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠
34. Uma pessoa precisa de $10.000 por dois anos. Oferecem-lhe o dinheiro nas seguintes condições: a)
a juros nominais de 5% a.a., capitalizados trimestralmente; b) à taxa nominal de 5,375% a.a.,
capitalizada semestralmente; e c) a juros simples de 5,5% a.a. Qual é a melhor oferta?
Dados: j1 = 5% a.a , k1 = 4, j2 = 5,375% a.a , k2 = 2, i3 = 5,5% a.a., n = 2 anos
31
( )
k×m 4×2
k×m 2×2
Juros pagos:
j 0,05Oferta A = P 1+ - P = $10.000× 1+ -$10.000 = $1.044,86
k 4
j 0,05375 Oferta B = P 1+ - P = $10.000× 1+ -$10.000 = $ .119,12
k 2
Oferta C = P 1+i n - P = $10.0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
× ( )00× 1+0,055 2 -$10.000 = $1.100,00
A oferta A é a melhor para o cliente. Paga-se menos juros nela.
×
to
ados: P1 = $20.000, P2 = J1, j1 = 18% a.a., j2 = 12% a.a., k1 =2, k2 = 4, m1 = 4 anos, m2 = 15/12
anos, J2 = ?
1
35. Uma pessoa aplicou um capital de $20.000 durante quatro anos à taxa nominal de 18% a.a.,
capitalizada semestralmente. Ao término desse período, somente os juros obtidos foram reaplicados
l de 12% a.a., capitalizada trimestralmente. Calcular o rendimenpor mais 15 meses à taxa nomina
essa última aplicação. d
D
k mj ×equação para calcular os juros: J = P 1+ 1
k
⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
2 4
2 1 2
0,18 P = J = $20.000 1+ 1 P = $19.851,25
2
×⎡ ⎤⎛ ⎞ − ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠
o l
⎢ ⎥⎣ ⎦
or outr ado, P
( )4 15 12
2 2
0,12J = $19.851,25 1+ 1 J = $3.161,79
4
×⎡ ⎤⎛ ⎞ − ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
6. Um banco oferece uma rentabilidade efetiva de 40% a.a.. Considerando-se que o investidor tem
i =(1 + i ) - = 8,78% a.t.
A oferta B (9% a.t.) oferece maior taxa efetiva, portanto maior rentabilidade para o cliente!
37. Um investidor aplicou $25.000 na Bolsa de Valores esperando ganhar uma rentabilidade efetiva de
100% a.a.. Caso tal rentabilidade ocorresse, calcular os juros obtidos ao fim de 20 meses.
5.000, i = 100% a.a., n = 20 meses, J = ?
3
condições de ganhar juros efetivos de 9% a.t. em outro banco, qual deve ser a alternativa escolhida?
Dados: i1 = 40% a.a, i2 = 9% a.t
2 4 12 360
a s t m d(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )
1/4
t1 a 1
Dados: P = $2
( )
( )
n
20 12
J P 1 i 1
J $25.000 2 1 J $54.370,05
⎡ ⎤= + −⎣ ⎦
⎡ ⎤= − ⇒ =⎣ ⎦
38. Um capital aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada semestralmente, rendeu $2.294,08.
Se a taxa fosse de 48% a.a., capitalizada trimestralmente, o montante seria de $9.903,85. Calcular o
capital e o prazo da aplicação.
Dados: J1 = $2.294,08, S2 = $9,903,85, j1 = 24% a.a., k1 = 2, j2 = 48% a.a., k2 = 4, P = ?, m = ?
32
( )
k×m
2×m
2×m
jJ = P 1+ -1
k
0,24 $2.294,08$2.294,08=P 1⎢⎜⎝ + -1 1,12 = 12 P
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⇒ +⎥⎟⎠
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎢ ⎥⎣ ⎦
Por outro lado,
k×mjJ = P 1+ -1
k
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥
22×m⎡ ⎤
2
0,48$9.903,85=P 1+
4
$2.294,08$9.903,85=P 1
P
$2.294,08 P$9.903,85=$2.294,08 2 P= $4.000
P $2.294,08
⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤+ + ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦
39. O Produto Interno Bruto (PIB) de um país cresceu 200% em dez anos. Qual foi a taxa de
crescimento anual média?
Dados: idécada = 200% a.d., i = ?
1.61% a.a.
40. Em 12/10/2006, um foi aplicado à taxa nom a.a., capitalizada
diariamente. C cu s os m n r a ivil).
Dados: j = 36% a. k = 5, $ = =
nd t c g s iv tre as duas datas (capítulo 1 do
livro):
e s r d v ro) = +328
e e te e = −285
⎢ ⎥⎣ ⎦
aplicando logaritmos: log 1,5735=2×m×log 1,12 m= 2 anos⇒
a
10 1/10
década a a d(1 + i ) = (1 + i ) i =(1 + i ) - 1 = 1⇒
capital de $2.300 inal de 36%
al lar o jur acu ulados em 24/11/2007 (co side ar o no c
a., 36 P = 2.300, m ?, J ?
Determinação do prazo usa o a ábua para onta em de dia do ano c il en
número d dias da data po terio (24 e no emb
núm ro d dias da data an rior (12 d outubro)
prazo: 43 dias
Prazo total = 365 + =
43 408 dias
k m×
408
j+ ⎞J P ⎛⎢ 1 1
0 $ 8
=
k ⎟⎠
0,36 ⎞J $2.3 0 ⎢ ⎥1+ 1− J = 1.13 ,80
365 ⎠
⎡ ⎤−
⎛= × ⎜⎝
bu a o e e e s a
⎥⎜⎝⎢⎣ ⎥⎦
⎡ ⎤ ⇒⎟⎢ ⎥⎣ ⎦
Tá a p ra c ntag m d dias entr dua dat s
J . AN FEV. MAR ABR
.
MAI. JUN. JUL. AGO SET. OUT. NOV DEZ.
1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335
2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338
5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340
7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342
9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343
10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345
12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346
13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348
15 46 74 105 135 166 196 227 258
288 319 349
33
16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350
17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351
18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352
19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353
20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354
21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355
22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356
23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357
24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358
25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359
26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360
27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361
28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362
29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363
30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364
31 90 151 212 243 304 365
41. Em 31/12/2005, uma pessoa aplicou $10.000 à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada diariamente.
30/06/2007 (considerar o ano civil).
Dados: j1 = 24% a.a., j2 = 20% a.a., k =365, P = $10.000, m1 = ?, m1 = ?, S = ?
Considerando-se que, a partir de 01/01/2007, a taxa nominal passou a ser de 20% a.a., calcular o valor
de resgate da aplicação no dia
1 1
2 2
m = 31/12/2005 até 01/01/2007 m = 366 dias
m = 01/01/2007 até 30/06/2007 m = 180 dias
⇒
⇒
k m
366 180
jS P 1+
k
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛
0,24 0,20S $10.000 1+ 1+ S $14.037,98
365
⎞ ⎛ ⎞= × ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟365
×
⎝ ⎠
42. Uma aplicação foi feita em duas parcelas. A primeira por quatro anos à taxa nominal de 28% a.a.,
com capitalização trimestral, e a segunda por dois anos à taxa nominal de 12% a.s., com capitalização
mensal. Considerando-se que a primeira parcela excede em $100 a segunda e a diferença dos juros
obtidos entre as duas é de $1.404,57, calcular o valor do capital.
Dados: P1 – P2 = $100, J1 – J2 = $1.404,57, j1 = 28% a.a., k1 = 4, j2 = 12% a.s., k2 = 6, m1 = 4 anos, m2
4 semestres, P = P + P = ?
⎝ ⎠
= 1 2 ( )
( )
1 2 1 2 1 2
4 4 6 4
2 2
J - J = S - S - P - P
0,28 0,12$1.404,57 = P + $100 1 - P 1 $100
× ×
2
4 6
P = $900 P = $1.000 P= $1.900
⎝ ⎠ ⎠
⇒ ⇒1
⎛ ⎞
43. Um capital de $4.000 foi aplicado por 11 meses: nos primeiros três meses à taxa de 24% a.a.,
capitalizada mensalmente, e nos 8 últimos meses à taxa de 36% a.s., capitalizada trimestralmente.
Calcular o rendimento da aplicação.
Dados: j1 = 24% a.a., j2 = 36% a.s., k1 = 12, k2 = 2, P = $4.000, m1 = 3 meses, m2 = 8 meses, J = ?
⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝
k m
3 2
J P 1+ 1
k
0,24 0,36J=$4.000 1+ 1+ 1 $1.910,50
12 2
j ×⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞× − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
eses: nos primeiros 11 meses à taxa de 48% a.a.,
capitalizada mensalmente, nos 12 meses seguintes à taxa de 40% a.s., capitalizada trimestralmente, e
nos últimos 2 meses à taxa de 36% a.a., capitalizada bimestralmente . Calcular o montante final.
Dados: j1 = 48% a.a., j2 = 40% a.s., j3 = 36% a.a., k1 = 12, k2 = 2, k3 = 6, P = $6.000, m1 = 11 meses,
m2 = 12 meses, m1 = 2 meses, S = ?
⎢ ⎥
⎣ ⎦
44. Um capital de $6.000 foi aplicado por 25 m
34
k m
12 (11/12) 2 (12 / 6) 6 (2 /12)
jS P 1+
k
0,48 0,40 0,36S $6.000 1+ 1+ 1+ $20.302,47
12 2 6⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
45. Dois terços
×
× × ×
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × × =
de um capital foram aplicados por dois anos à taxa de 18% a.s., capitalizada
a.t., capitalizada
ensalmente. Considerando-se que o valor do capital é de $12.000 e o rendimento da primeira parcela
é $4.048,79 maior que o rendimento da segunda, calcular o prazo em anos da segunda parcela.
Dados: P1 = $8.000, P2 = $4.000, J1 – J2 = $1.404,57, j1 = 18% a.s., k1 = 3, j2 = 18% a.t., k2 = 3, m1 =
4 semestres, m2 = ?
bimestralmente, e o restante foi aplicado por um determinado prazo à taxa de 18%
m
( )
( ) 23 m1,06 2,012× =
2
1 2 1 2 1 2
3 4 3 m
J - J = S - S - P - P
× ×
46. Um capital foi aplicado por 18 meses a juros nominais de 24% a.a., capitalizados mensalmente. Se
inal fossem semestrais, o rendimento seria $1.000 menor. Calcular o
alor do capital.
Dados: J1 – J2 = $1.000, j = 24% a.a., k1 = 12, k2 = 2, m = 18 meses, P1 = P2 = P = ?
0,18 0,18$4.048,79 = $8.000 1 - $4.000 1 $4.000
3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
aplicando logaritmos: log 2,012=3×m×log 1,06 m= 4 trimestres = 1 ano⇒
as capitalizações da taxa nom
v
( )1 2 1 2 1 2
18 3
J - J = S - S - P - P
$1.000 = P 1
⎡ ⎤⎛ 0,24 0,24 P = $42.884,87⎞ ⎛ ⎞ ⇒1
12 2
+ − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
47. Calcular o prazo em que um capital dobra quando aplicado a juros nominais de 120,17% a.a.,
capitalizados diariamente.
Dados: S = 2 × P, j = 120,17% a.a., k = 360, m = ?
( )
k m
360 m
360 m
jS P 1
k
1,20172 1 1,00334 2
360
×
×
×
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= + ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
aplicando logaritmos: log 2=360×m×log 1,00334 m= 208 dias⇒
que prazo devemos aplicar um capital a48. A juros nom
trimestralmente, de modo que ele proporcione o me mo r
inais de 20% a.a., capitalizados
endimento obtido se for aplicado durante oito
anos a juros efetivos de 5% a.a.?
Dados: j = 20% a.a., k = 4, i = 5% a.a., n = 8 anos, m =?
s
( )4×m 4×m8 0,2(1,05) = 1+ 1,477 1,05
4
⎛ ⎞
k×m
n j(1 + i) = 1+
k
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⇒ =
⎜ ⎟⎝ ⎠
35
aplicando logaritmos: log 1,477=4×m×log 1,05 m= 2 anos⇒
49. Um investidor teria o mesmo rendimento se aplicasse um capital em qualquer uma de duas opções
de investimento. A primeira opção permite aplicar o capital durante quatro anos à taxa efetiva
composta de 8% a.a., e a segunda, durante dois anos a uma determinada taxa nominal anual,
Dados: k = 2, i = 8% a.a., n = 4 anos, m = 2 anos, j = ?
capitalizada semestralmente. Qual é a taxa nominal?
k×m
n j(1 + i) = 1+
k
⎛ ⎞⎜ ⎟
2×2
⎝ ⎠
4 j(1,08) = 1+ j 16% a.a.
2
⎛ ⎞ ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
50. Em que data um capital de $10.000, aplicado em €20 de setembro de 2006 a juros efetivos de 40%
a.a., resultará em um montante de €$19.600? (trabalhar com o ano civil)
Dados: i = 40% a.a., P = $10.000, S = $€19.600, n =?
( )
( ) ( )
n
n 365 n 365
S P 1+i=
meses) de aplicação de um capital de $20.000 de modo que ele proporcione um
ndimento mínimo de $5.000 quando aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada mensalmente?
Dados: S = $25.000, P = $20.0000, j = 24% a.a., k = 12, m = ?
$19.600 $10.000 1,4 1,4 1,96000= × ⇒ =
aplicando logaritmos: 365×log 1,9600=n×log 1,4 n= 730 dias⇒
Logo, o prazo é de dois anos e a data final é 19 de setembro de 2008.
51. Qual o prazo (em
re
( )
k m
12 m
12 m
jS P 1
k
0,241, 25 1 1,02 1,25
12
×
×
×
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= + ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
20% a.a., o que motivou o saque de uma
siderando-se que, transcorridos seis meses
desse saque, a conta foi encerrada, resgatando-se o saldo total de $20.000, calcular o capital
inicialmente aplicado.
Dados: P2 = S1 – P1/2, j1 = 24% a.a., j2 = 20% a.a., k = 4, m1 = 1 ano, m2 = 6 meses, S2 = $20.000, P1
= ?
aplicando logaritmos: log 1,25=12×m×log 1,02 m= 12 meses⇒
52. Um capital foi aplicado em uma conta remunerada que pagava uma taxa de 24% a.a., capitalizada
trimestralmente. Depois de um ano, a taxa baixou para
quantia igual a 50% do capital inicialmente aplicado. Con
4 1×⎡ ⎤⎞
2 1 1 1
1 0,24P = S - P = P 1+
2 4
⎛⎢⎜⎝ ⎠ 2 10,5 P = 0,762 P− ⇒⎥⎟⎢ ⎥⎣ ⎦
Por outro lado,
k m
4 0,5
1 1
jS = P 1+
k
0,20$20.000 = 0,7625 P 1+ P = $23.791,66
4
×
×
×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞× ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠
36
53. Calcular o valor dos juros pagos por um financiamento de capital de giro de $1.500 por cinco dias
contratado à taxa de 3% a.m., capitalizada diariame e.
Dados: P = $1.500, j = 3% a.m.. k
nt
= 30, m = 5 dias, J = ?
( )k m 30× 5 30j 0,03+ 1 $1.500 1+ 1
k 30
× ⎡ ⎤⎤⎞
⎛ ⎞⎢ ⎥− = − =⎥⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎥⎦ ⎣ ⎦
J P 1 $7,5150
⎡⎛= ⎢⎜⎝⎢⎣
s: k = 4, i = 12% a.a., n = m = 1 ano, j = ?
54. Calcular a taxa nominal anual, capitalizada trimestralmente, equivalente à taxa efetiva de 12% a.a..
adoD
k×m
n j(1 + i) = 1+
k
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4
11,50% a.a.
4
j (1,12) = 1+ j 0,114949⎛ ⎞ ⇒ =⎝ ⎠
CAPÍTULO 4
=⎜ ⎟
: em contrário, ano comercial de 360
1. Uma duplicata de $180.000 é descontada quatro meses antes de seu vencimento. Considerando-se
uma taxa de desconto de 60% a.s., calcular o valor do desconto e o valor liberado na modalidade de
ercial.
Dados: N = $180.000, n = 4 meses, d = 60% a.s., D = ?, V = ?
Exercícios Propostos
tenção Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção A
dias.
desconto com
D N d n
4D = $180.000 0,60 D = $72.000
6
= × ×
× × ⇒
Além disso,
o de 15% a.m. e libera $18.900
n três meses, calcular o valor de resgate e a
xa de desconto efetiva linear.
Dados: V = $18.900, n = 3 meses, d = 15% a.m, N = ?, i = ?
V N D V= $108.000
s de descont
= − ⇒
2. Considerando-se que um banco aplica uma taxa simple
o desco to comercial de um título com vencimento paran
ta
( )V N 1- d n= × ×
$18.900N = N = $34.363,64 D= $15.463,36
1- 0,15 3
⇒ ⇒×
Além disso,
d 0,15i 27, 27% a.m
1 d n 1 0,15 3
ou
D 30 $15.463,36 30i 2
V n $18.900 90
= = =− × − ×
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × = × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7, 27% a.m
37
3. Calcular o valor liberado de um título com valor nominal de $120.000 e com vencimento para 180
dias, descontado comercialmente a uma taxa de desconto de 40% a.a..
Dados: N = $120.000, n= 180 dias, d = 40% a.a., V = ?
( )V N 1- d n
1V $120.000 1- 0,4 V = $96.000
2
= × ×
⎛ ⎞= × × ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠
4. Calcular a taxa de desconto efetiva linear para uma operação de desconto comercial de um título de
$135.000 descontado por $120.000 quatro meses antes de seu vencimento.
Dados: N = $135.000, V = $120.000, n = 4 meses, i = ?
D N - V D = $15.000= ⇒
Além disso,
D 30 $15.000i 3,125% a.m.
V n $120.000 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5. Uma duplicata de $86.000, com prazo de vencimento de três meses, teve valor liberado de $80.000.
Determinar a taxa de desconto aplicada na modalidade racional.
ados: N = $86.000, V = $80.000, D = $6.000, n = 3 meses, i = ? D
D V i n
$6.000i = 2,5% a.m
$80.000 3
.
= × ×
= ×
6. Um lote de LTN com valor de resgate de $4.800.000 é adquirido por $4.000.000. Considerando-se
um prazo de vencimento de 120 dias, calcular a taxa de desconto (ao ano) e a rentabilidade efetiva
linear da operação.
Dados: N = $4.800.000, V = $4.000.000, D = $800.000, n = 4 meses, d =?, i = ?
D 360 $800.000 360d 50% a.a.
N n $4.800.000 120
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × = × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Além disso,
( )
d 0,5
% a.a. em operações de compra de LBC.
inar o P.U. sobre o qual se
termos de desconto comercial e calcular a taxa de desconto mínima exigida.
Dados: i = 180% a.a., n = 90 dias, P.U.= ?, d = ?
i 60% a.a.
1 d n 1 0,5 1 3
= = =− × − ×
7. Um banco deseja uma rentabilidade efetiva linear de 180
onsiderando-se que o lote de letras tem vencimento para 90 dias, determC
deve negociar em
( )
( )
d i
1 d n/360
d
= − ×⎡ ⎤⎣ ⎦
1,8 d 124,14% a.a.
1 d 90/360
= ⇒ =− ×⎡ ⎤⎣ ⎦
Além disso,
( ) [ ]P.U.= 1 d n/360 1 1,2414 90 / 360 = 0,68966− × = − ×⎡ ⎤⎣ ⎦
. Uma duplicata de $880.000 foi descontada comercialmente oito meses antes do vencimento. 8
Considerando-se uma taxa de desconto efetiva linear de 145% a.a., calcular o valor liberado pelo
banco.
Dados: N = $880.000, i = 145% a.a., n = 8 meses, V = ?
38
D 360 i
V n
$800.000 - V 360 1,45 = V= $447.457,63
V 240
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞× ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
9. Uma promissória de $450 sofreu um desconto de $54. Considerando-se uma taxa de desconto de
6% a.m., calcular o prazo da operação.
Dados: N = $450, D = $54, d = 6% a.m., n = ?
D N d n= × ×
$54 = $450 0,06 n n = 2 meses× × ⇒
10. Um título de $13.000 que vence em 120 dias foi descontado comercialmente por $11.400. Calcular
a taxa de desconto (ao ano) e a taxa de desconto efetiva linear .
Dados: N = $13.000, V = $11.400, D = $1.600, n = 120 dias, d = ?, i = ?
D 360 $1.600 360d 36,92% a.a.
N n $13.000 120
= × = × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Além disso,
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
D 360⎛ ⎞ ⎛ $1.600i
V n $11.4
⎞= × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 42,11% a.a.
00
× =
11. Um título de $240.000 foi descontado 43 dias antes do vencimento pelo desconto comercial
simples aplicando-se uma determinada taxa de desconto. Considerando-se uma taxa de desconto
efetiva linear da operação de 6% a.m., calcular o valor liberado.
Dados: N = $240.000, i = 6% a.m., n = 43 dias, V = ?
D 30 i
V n
$240.000 - V 300,06 V= $220.994,48.
V 43
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2. Para operações de desconto comercial, um banco aplica uma taxa de desconto de 27% a.a. e cobra 1
2% sobre o valor nominal como TSB. Calcular as taxas de desconto efetivas lineares anuais para os
prazos de um mês, três meses e seis meses.
Dados: d = 27% a.a., TSB = 2%, i1 = ?, i3 = ?, i6 = ?
( )
( ) ( )
[ ]
[ ]
1 mês
3 meses
6
n 121 d n 12 - TSB
0,27 1 12 + 0,02 1i = 53,26% a.a.
1 0,27 1 12 - 0,02 1 12
0,27 3 12 + 0,02 1i = 38,36% a.a.
1 0,27 3 12 - 0,02 3 12
i
⎜ ⎟⎜ ⎟− ×⎡ ⎤ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞×= ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− × ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞×= ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− × ⎝ ⎠⎝ ⎠
d n 12 + TSB 1 i
⎛ ⎞ ⎛ ⎞×= ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟
[ ] meses
0,27 6 12 + 0,02 1 = 36,69% a.a.
⎛ ⎞ ⎛ ⎞×= ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟1 0,27 6 12 - 0,02 6 12− × ⎝ ⎠⎝ ⎠
13. Uma duplicata de $72.000 com vencimento para cinco meses foi descontada comercialmente a
39
uma taxa de desconto de 2% a.m.. Considerando-se que foi paga uma taxa de serviço bancário de
2,5% sobre o valor nominal do título, calcular o valor líquido liberado pelo banco e a taxa de desconto
Dados: N = $72.000, d = 2% a.m., TSB = 2,5%, n = 5 meses, i = ?, V = ?
efetiva linear da operação.
[ ]
[ ]
d n + TSB 1 i
1 d n - TSB n
0,02 5 + 0,025 1i = 2,86% a.m. = 34,29% a.a.
1 0,02 5 - 0,025 5
×= ×− ×
×= ×− ×
Além disso,
14. Duas letras, uma de $10.000 e outra de $8.000, foram descontadas pelo desconto comercial
simples aplicando-se uma taxa de desconto de 36% a.a.. Considerando-se que o valor do desconto
da segunda letra excede em dez dias o prazo da primeira, determinar os
( )
( )
V N 1 TSB d n
V $72.000 1 0,025 0,02 5 V $63.000
= − − ×
= − − × ⇒ =
total é de $4.400 e que o prazo
prazos e as taxas de desconto efetivas lineares das letras.
Dados: N1 = $10.000, N2 = $8.000, d = 36% a.a., D = $4.400, n2 = n1+10 dias, n1 = ?, i1 = ?, i2 = ?
D N d n= × ×
[ ]( )1 1 1 2 10,36$4.400 = $10.000 n +$8.000 n + 10 n =240 dias n = n +10 =250 dias
360
× × × ⇒ ⇒
Além disso,
( )
( )
( )
1 1
2 2
d i
1 d n/360
0,36i i 47,37% a.a.
1 0,36 240/360
0,36i i 48% a.a
1 0,36 250/360− ×⎡ ⎤⎣ ⎦
15. Duas letras pagáveis, respectivamente, em 150 e 120 dias, foram descontadas comercialmente a
uma taxa de desconto de 5% a.m., e a soma dos valores dos descontos foi de $53.000. Determinar os
= − ×⎡ ⎤⎣ ⎦
= ⇒ =− ×⎡ ⎤⎣ ⎦
= ⇒ =
tarde, a taxa de
desconto seria de 8% a.m a dos valores dos descontos seria de $72.000.
Dados: d1 = 5% a.m., D1+ D2= $53.000, D1+ D2= $72.000, d2 = 8% a.m. n1 = 150 dias, n2 = 120
dias, N1 = ?, N2 = ?
valores nominais dos títulos sabendo-se que, se essa operação fosse feita 20 dias mais
. e a som
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2N = $100.000 N = $140.000
D N d n
0,05$53.000 =
150 N +120 N $1.060.000 5 N +4 N30
0,08 $2.700.000 13 N +10 N$72.000 = 130 N +100 N
30
= × ×
⎧ ⎫× × ×⎪ ⎪ = × ×⎧ ⎫⎪ ⎪ ⇒⎨ ⎬ ⎨ ⎬= × ×⎩ ⎭⎪ ⎪× × ×⎪ ⎪⎩ ⎭
desconto do segundo é de $166.454,55, calcular os valores nominais dos títulos.
Dados: d = 6% a.m., N1 –D2= $166.454,55 n1 = 60 dias, n2 = 90 dias, N1 = ?, N2 = ?
⇒
16. Dois títulos com prazos, respectivamente, de 60 e 90 dias foram descontados comercialmente à
taxa de desconto de 6% a.m., produzindo os mesmos valores liberados para ambos os títulos.
Considerando-se que a diferença entre o valor nominal (valor de resgate) do primeiro e o valor do
40
( )
( ) ( )1 2 1 2
V N 1 d n
N 1 0,06 2 N 1 0,06 3 N 0,9318 N− × = − × ⇒ = ×
Logo,
= − ×
1 2 2
2 1
D = N d n× ×
N = 0,9318 N = $166.454,55 + 0,06 3 N × × ×
N = $221.402,67 N = $206.307,03⇒
17. Dois títulos vencíveis, respectivamente, em 33 e 66 dias foram descontados comercialmente, o
primeiro à taxa de desconto de 40% a.a. e o segundo à taxa de 38% a.a., totalizando um desconto de
iderando-se que o valor nominal do primeiro é a metade do valor nominal do segundo,
inais dos dois títulos.
Dados: d1 = 40% a.a., d2 = 38% a.a., D = $1.760, N1 = N2/2, n1 = 33 dias, n2 = 66 dias, N1 = ?, N2 = ?
$1.760. Cons
calcular os valores nom
[ ]1 1 1 20,40 0,38$1.760 = N 33 + 2 N 66 N = $10.000 N = $20.000
360 360
⎛ ⎞
D N d n= × ×
× ×
que o valor líquido liberado foi de $18.000 e sabendo-se que foi cobrada uma
sobre o valor nominal da duplicata, calcular a taxa mensal de desconto e a taxa de
desconto efetiva linear da operação.
Dados: N = $20.000, V = $18.000, D = $2.000, n = 120 dias, s = 2%, d = ?, i = ?
disso,
× × × ⇒ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠
18. Uma duplicata de $20.000 foi descontada comercialmente 120 dias antes do vencimento.
Considerando-se
comissão de 2%
( )
( )
V N 1 s d n
$18.000 $20.000 1 0,02 d 4 d 2% a.m.
= − − ×
= − − × ⇒ =
Além
[ ] [ ]
d n + s 1 0,02 4 + 0,02 1 i = 2,78% a.m.
1 d n - s n 1 0,02 4 - 0,02 4
× ×= ×
ontadas comercialmente a uma
xa de desconto de 5% a.m., e a soma dos valores dos descontos totalizou $1.070. Se essa operação
fosse feita dez dias mais tarde, a taxa de desconto seria de 6% a.m. e a soma dos descontos totalizaria
$1.184. Calcular os valores nominais dos títulos.
Dados: d12 = 5% a.m., D12 = $1.070, d3 = 6% a.m., D3 = $1.184, n1 = 186 dias, n2 = 90 dias, N1 = ?,
N2 = ?
= ×− × − ×
19. Duas letras pagáveis, respectivamente, em 186 e 90 dias foram desc
ta
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
D N d n
$1.070 = 186 N +90 N $7.133,33 2, 67 N +1 N30
0,06 $59.200 17,6 N +8 N$1.184 = 176 N +80 N
= ×
0,05
0
×
× × ×⎪ ⎪ = × ×
⎧ ⎫
30
1 2N = $2.000 N = $3.000
⎧ ⎫⎪ ⎪ ⇒⎨ ⎬ ⎨ ⎬= × ×⎩ ⎭⎪ ⎪× × ×⎪ ⎪⎩
500, n = 3 meses, d = 1% a.m., V = ?
⎭
⇒
20. O possuidor de um título de $20.000, com vencimento para três meses, tem duas possibilidades:
vendê-lo por $19.500 a um particular ou descontá-lo comercialmente em um banco que aplica uma
taxa de desconto de 1% a.m.. Determinar qual transação é a mais vantajosa.
Dados: N = $20.000, G = $19.
( )
( )
V N 1- d n
V $20.000 1- 0,01 3 V = $19.400
= × ×
= × × ⇒
41
Como o banco liberará apenas $19.400, a melhor opção é vendê-lo por $19.500!
Analogamente, podemos resolver o problema comparando os descontos:
0 dias, foram descontados
racionalmente à taxa de 6% a.m.. Considerando-se ue os dois tiveram o mesmo valor liberado e que a
diferença entre o valor nominal do primeiro e o valor do desconto do segundo é de $4.160,91, calcular
os valores nominais dos títulos.
Dados: d = 6% a.m., N1 – D2 = $4.160,91, V1 = V2, n1 = 60 dias, n2 = 90 dias, N1 = ?, N2 = ?
D N d n
D $20.000 0,01 3 D = $600
= × ×
= × × ⇒
Como o banco descontará $600, a melhor opção é vendê-lo por $19.500
(um desconto de apenas $500)!
21. Dois títulos, o primeiro com vencimento para 60 dias e o segundo para 9
q
2 2
D V d n
D 0,18V
= × ×
=
Logo,
( )N = V 1+ d n×
( )1
1 2
N = $4.160,91 + 0,18V = V +0,06 2
V = $4.426,50 N = $4.957,68 N = $5.223,27
×
⇒ ⇒
22. Dois títulos foram descontados comercialmente 60 dias antes do vencimento à taxa de desconto de
desconto de $2.000. Considerando-se que o valor de resgate do segundo é o
r de resgate do primeiro, calcular os valores de resgate dos títulos.
1
4% a.m., totalizando um
dobro do valo
Dados: d = 4% a.m., D = $2.000, N2 = 2 × N1, n = 60 dias, N1 = ?, N2 = ?
( )1 1 1 2
D N d n
$2.000 = 0.04 2 N + 2 N N = $8.333,33 N = $16.666,67
= × ×
× × ⇒ ⇒
23. A soma dos valores dos descontos e dos valores líquidos liberados por duas promissórias
descontadas comercialmente totalizaram, respectivamente, $6.300 e $143.700. O valor de resgate da
segunda promissória é o dobro do valor de resgate da primeira e vence 30 dias depois. Considerando-
se uma taxa de desconto de 2,1% a.m., determinar os valores de resgate e os prazos dos títulos.
Dados: d = 2,1% a.m., D1 + D2 = = $6.300, V1 + V2 = $143.700, N2 = 2 × N1, n2 = n1 + 30, N1= ?, N2
= ?, n1 = ?, n2 = ?
( ) ( )1 2 1 1 2 2
1 11
2
N N = D +V D +V $150.000
N 2N =$150.000 N = $50.000
N = 2 $50.000 = $100.000
+ + =
+ ⇒
×
Além disso,
[ ]( )1 1 1 20,021$6.300 = $50.000 n +$100.000 n +30 n = 40 dias n = 70 dias
30
× × ⇒ ⇒
24. Duas letras com prazos, respectivamente, de 40 e 120 dias foram descontadas comercialmente à
D N d n= × ×
o
valores dos descontos comerciais totalizaria $18.500. Determinar os valores nominais das letras.
Dados: d = (6% a.m. e 5% a.m. ), D1 + D2 = $24.800, D1 + D2 = $18.500, n1 = 40 dias, n2 = 120 dias,
N1 = ?, N2 = ?
taxa de desconto de 6% a.m., e a soma dos valores dos descontos totalizou $24.800. Se a operaçã
fosse feita dez dias mais tarde, teria sido aplicada uma taxa de desconto de 5% a.m., e a soma dos
42
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
D N d n
0,06$24.800 = 40 N +120 N $310.000 N +3 N30
0,05 $1.110.000 3 N +11 N$18.500 = 30 N +110 N
30
N = $40.000 N = $90.000
= × ×
⎧ ⎫× × ×⎪ ⎪ = ×⎧ ⎫⎪ ⎪ ⇒⎨ ⎬ ⎨ = × ×⎩ ⎭⎪ ⎪× × ×⎪ ⎪⎩ ⎭
⇒
⎬
Calcular o valor total
eração se realizasse 30 dias mais tarde, a soma
dos valores dos descontos teria sido de $180.
Dados: i = 2% a.m., D1 + D2 = = $300, D1 + D2 = $180, n1 = 90 dias, n2 = 45 dias, V = V1+ V2 = ?
25. Duas letras vencíveis, respectivamente, em 90 e 45 dias foram descontadas racionalmente a uma
taxa simples de 2% a.m., e a soma dos valores dos descontos foi de $300.
liberado pelas duas letras, sabendo-se que, se essa op
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
D V×i n
V +1 V
V +1 V$180 = 60 V +15 V
30
V = $4.000 V = $2.000 V= $6.000
= ×
1 2
0,02$300 = 90 V +45 V $10.000 230
⎧ ⎫× × ×⎪ ⎪ = × ×⎧ ⎫⎪ ⎪
0,02 $18.000 4
⇒⎨ ⎬× ⎭× × ×⎪ ⎪⎩ ⎭
⇒ ⇒
26. Uma nota promissória de $5.000 foi descontada racionalmente 60 dias antes do vencimento à taxa
a.m.. Calcular o valor líquido recebido pelo possuidor do título.
Dados: i= 3% a.m., N = $5.000, n = 2 meses, V =?
⎬ ⎨ = ×⎩⎪ ⎪
simples de 3%
N $5.000N V(1+ i n) V= $4.716,98
(1+ i n) 1+0,03 2
= × ⇒ = =× ×
27. Um título de $50.000 sofreu um desconto comercial de $4.000. Considerando-se uma taxa de
desconto efetiva linear de 10,87% a.m., determinar o prazo da operação.
Dados: i = 10,87% a.m., D = $4.000, N = $50.000, n = 60 dias, n =?
D N d n= × ×
n$4.000 = $50.000 d d n = 2,4
30
× × ⇒ ×⎜ ⎟⎝ ⎠
Além disso,
⎛ ⎞
( )
[ ]
d i
1 d n 30
d 20,1087 d = 10% a.m. n = =24 dias
1 0,08 0,10
e
= − ×⎡ ⎤⎣ ⎦
= ⇒−
,4
28. Uma promissória de $22.000 teve um desconto comercial de $2.000. Considerando-se que a taxa
efetiva exponencial da operação é de 4,8809%
a.m., determinar o prazo da operação e a taxa de
esconto contratada.
d
Dados: ie = 4,8809% a.m., D = $2.000, N = $22.000, n = ?, d = ?
D N d n= × ×
n$2.000 = $22.000 d d n = 2,727
0
⎛ ⎞
3
× ×
Além disso,
( )
⇒ ×⎜ ⎟⎝ ⎠
( )
( )
30/n
e
30/n 30/n
i N/V 1
0,048809 $22.000 / $20.000 1 1,048809 = 1,1
= −
= − ⇒
43
aplicando logaritmos: n log 1,048809 30 log 1,1
n= 60 dias d= 4,5455% a.m.
× = ×
⇒
29. Um banco emprestou $100.000 por 40 dias a juros efetivos compostos de 26% a.a.. Considerando-
se que o banco descontará comercialmente uma promissória com valor nominal de $50.022,36 a uma
taxa de desconto de 4% a.m., determinar o prazo do desconto de modo que as duas operações
roduzam o mesmo rendimento. p
Dados: P = $100.000, i = 26% a.a., n1 = 40 dias, N = $50.022,36, d = 4% a.m., n2 = ?
juros obtidos no desconto = juros obtidos no empréstimo
D J=
( )
( )
1n
2
2 40 360
2
N d n = P 1+i 1
n $50.022,36 0,04 $100.000 1,26 1 n = 39 dias
30
⎡ ⎤× × −⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎡ ⎤× × = − ⇒⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
30. Um banco pode emprestar $25.000 a juros efetivos de 42% a.a. ou empregar esse capital em
ercial com prazo de 90 dias. Qual deve ser a taxa de desconto aplicada na operações de desconto com
operação, de modo que o banco tenha um rendimento igual ao obtido no empréstimo?
Dados: P = $25.000, i = 42% a.a., n = 90 dias, d = ?
juros obtidos no desconto = juros obtidos no mpr
D J=
( )
( )
n
3 12
e éstimo
N d n = P 1+i 1
$25.000 d 3 $25.000 1,42 1 d= 3,0541% a.m.
⎡ ⎤× × −⎣ ⎦
⎡ ⎤× × = − ⇒⎣ ⎦
31. Um título com valor nominal de $240.000 foi descontado comercialmente 60 dias antes do
vencimento a uma taxa de desconto de 4% a.m.. Calcular o valor líquido liberado ao seu portador e a
xa de desconto efetiva exponencial anual.
Além disso,
presa descontou comercialmente, 100 dias antes do vencimento, uma duplicata de
siderando-se que o valor líquido liberado foi de $19.000, calcular a taxa de desconto
mensal e a taxa de desconto efetiva exponencial anual .
Dados: N = $20.000, n = 100 dias, V = $19.000, d = ?, ie = ?
ta
Dados: N = $240.000, n = 60 dias, d = 4% a.m., V = ?, ie = ?
( )V N 1 - d n= ×
( )V = $240.000 1 - 0,04 2 V =× ⇒ $220.800
( )
( )
360/n
e
360/60
e e
i N/V 1
i $240.000 / $220.800 1 i 64,9199% a.a.
= −
= − ⇒ =
32. Uma em
$20.000. Con
nV N 1 - d
30
100$19.000 = $20.000 1 - d d = 1,5% a.m.
⎛ ⎞
30
= ×⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞× ×⎝ ⎠
⇒⎜ ⎟
Além disso,
( )
( )
360/n
e
360/100
e e
i N/V 1
i $20.000 / $19.000 1 i 20,2804% a.a.
= −
= − ⇒ =
44
33. Calcular o valor nominal de uma nota promissória descontada comercialmente três meses antes do
vencimento de modo que seu valor liberado seja igual à soma dos valores liberados por três duplicatas
com valores nominais, respectivamente, de $100, $500 e $700 descontadas pelo mesmo prazo e taxa
de desconto da nota promissória.
Dados: N1 = $100, N2 = $500, N3 = $700, n = 3 meses, d = d123, V = $19.000, N = ?
3
1
V V N 1 - d
30
n n n n
i
i=
1 2N 1 - d = N 1 - d N 1 - d
30 30
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛× × +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3
1 2 3
n
N 1 - d
30 30
N = N + N + N N = $1.300
⎛ ⎞= =
× + ×⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠
⇒
34. Um lote de títulos públicos com vencimento para 180 dias foi negociado a $20.000. Considerando-
se que a rentabilidade efetiva exponencial da operação foi de 2% a.m., determinar o P.U. das letras.
30/180 1/ 6
/P.U. 1
0,02 1/ PU 1 1,02 1/ PU PU = 0,887971
−
= − ⇒ = ⇒
35. O quociente entre o valor nominal e o valor liberado por um título descontado comercialmente 60
vencimento é 1,03. Calcular a taxa de desconto efetiva linear e exponencial da operação.
Dados: N/V = 1,03, n = 60 dias, i = ?, ie = ?
lém disso,
×⎜ ⎟⎝ ⎠
⎞ ⎛ ⎞
∑
Dados: ie = 2% a.m., n = 180 dias, V = $20.000, P.U.= ?
(ei 1= )
( ) ( )
30/n
dias antes do
( )
( )
30/n
e
30/60
e e
i N/V 1
i 1,03 1 i 1,4889% a.a.
= −
= − ⇒ =
A
D 30i
V n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ×
( ) 30i 1,03 - 1 i = 1,⎛ ⎞= × ⇒⎜ ⎟ 5% a.m.60
⎜ ⎟
⎝ ⎠
36. Um título com valor nominal de $2.000 foi descontado comercialmente. Considerando-se que a
nto efetiva exponencial foi 3% a.m. e que a antecipação foi de dois meses, calcular a taxa
sconto e o valor do desconto.
Dados: ie = 3% a.m., N = $2.000, n = 2 meses, d = ?, D = ?
⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
taxa de desco
mensal de de
D N d n
D = $2.000 2 d D = $4.000 d
= × ×
× × ⇒ ×
Além disso,
( )
e
1/2
-1/2
i 1
1 d n
10,03 1 1,03 = 1- 2 d
1/n1
d = 2,8702% a.m. D = $4 00 d = $4000 0,08792 = $114,81
⎛ ⎞= −⎜ ⎟− ×⎝ ⎠
1 d 2
⎛ ⎞= − ⇒ ×⎜ ⎟
.0
− ×
×
37. Calcular a taxa de juros efetiva composta que um banco deverá adotar para emprestar um capital
de €$10.000 por 4 meses, de modo que tenha uma remuneração igual à obtida no desconto comercial
de uma duplicata de $20.000 descontada pelo mesmo prazo à taxa de desconto de 2% a.m..
Dados: P = $10.000, N = $20.000, n = 4, d = 2% a.m., € i = ?
⎝ ⎠
⇒ ×
45
( )
( )
( ) ( )
n
4
4 1/ 4
juros obtidos no desconto = juros obtidos no empréstimo
D J
N d n = P 1+i 1
$20.000 0,02 4 $10.000 1+i 1
1+i 1,16 i= 1,16 1 3,7880% a.m.
=
⎡ ⎤× × −⎣ ⎦
⎡ ⎤× × = × −⎣ ⎦
⇒ = ⇒ − =
CAPÍTULO 5
Exercícios Propostos
Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, ano comercial de 360
dias e pagamentos postecipados (termos vencidos).
1. Um financiamento de $132.000 será liquidado em 14 prestações mensais. Considerando-se que a
taxa de juros efetiva cobrada será de 3% a.m., calcular o valor das prestações na hipótese de serem
pagas: a) postecipadamente (final de cada mês); e b) antecipadamente (início de cada mês).
Dados: P = $132.000, i =3% a.m., n = 14, R = ?
a) prestação postecipada:
( )
( )
n i%
14
14 3%
14
Financiamento R
P $132.000 $132.000R =$11.685,48
11, 296071,03 1
1,03 0,03
a
a
=
= = =⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦
b) prestação antecipada:
As prestações são calculadas com base no financiamento efetivo (financiamento menos a primeira
prestação paga no ato):
( )
( )
n-1 i% n-1 i%
13 3%
13
13
Financiamento efetivo empréstimo - primeira prestação paga no atoR
P - RR
$132.000 RR
1,03 1
1,03 0,03
$132.000 RR R =$11.345,12
10,63496
a a
a
= =
=
−= ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦
−= ⇒
2. Uma pessoa deposita $2.450 todo final de mês em um fundo de investimento que paga juros
nominais de 120% a.a. capitalizados mensalmente. Calcular o montante da aplicação no fim do 16o
mês.
Dados: R = $2.450, J =120% a.a., k =12, n = 16, S = ?
46
m
1, 20taxa mensal efetiva: i 1 1 10% a.m.
12
⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
16
16 10%
(1,10) 1Montante R $2.450 $2.450 35,94973 $88.076,84
0,10
s
⎡ ⎤−= × = × = × =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
4
4 22,5043% 4
12
12 7% 12
onde:
(1, 225043) 1 2, 470586
(1, 225043) 0, 225043
(1,07) 1 7,942686
(1,07) 0,07
a
a
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
3. Uma compra no valor de $16.000 será paga com uma entrada de 20% e determinado número de
prestações mensais de $4.038,02, a primeira um mês após a compra. Considerando-se juros efetivos
de 10% a.m., calcular o número de prestações necessárias para liquidar a dívida.
Dados: P = $16.000, E =3.200, R = $4.038,02, i =10% a.m., n = ?
Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor do financiamento deverá ser igual ao valor presente
do fluxo pagamentos:
n 10% n 10%
n
n
n 10% n
16.000 $3.200 $16.000 $3.200 $4.038,02 3,169870382
4.038,02
(1,10) -1 3,169870382 (1,10) 1,464101058
(1,10) ×0,1
log (1,464101058) Aplicando logaritmos: n
log
a a
a
= −= + × ⇒ =
⎡ ⎤⇒ = = ⇒ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
= 4 prestações mensais
(1,10)
=
Nas tabelas financeiras do Apêndice deste livro, pode ser observado que o fator n 10% 3,1698704a =
corresponde a n = 4, o que indica que o número de prestações é igual a quatro.
4. Uma máquina é vendida em 12 prestações mensais de $307. Considerando-se juros efetivos de 10%
a.m., qual deveria ser seu valor à vista?
Dados: n = 12, R = $307, i = 10% a.m., P = ?
Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente das
prestações:
12
12 10% 12
(1,10) -1P 307 307 307 6,81369=$2.091,80
(1,10) ×0,1
a
⎡ ⎤= × = × = ×⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
5. Calcular o valor da aplicação mensal necessária que permita acumular, depois de 16 meses, um
montante de $2.300.000, considerando-se que a aplicação rende juros efetivos de 6% a.m..
Dados: S = 2.300.000, n = 16, i = 6% a.m, R = ?
36
36
(1,02) 1 S $2.300.000 S = R R = = $89.589,93
0,02 25,67253 (1,02) 1
0,02
⎡ ⎤−× ⇒ =⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
47
6. Por uma compra no valor de $5.000 será paga uma entrada de 20% e prestações quinzenais durante
dois anos. Considerando-se juros efetivos de 26,9735% a.a., calcular o valor das prestações.
Dados: P = $5.000, E = 1.000, i = 26,9735% a.a., n = 48 quinzenas, R = ?
Taxa quinzenal equivalente: iq = (1,269735)1/24 – 1 = 1% a.q.
Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor do financiamento deverá ser igual ao valor presente
do fluxo pagamentos:
48 1%
48 1%
48
48 1% 48
$5.000 $1.000 $4.000 $5.000 $1.000 R R= 105,34
37,97396
(1,01) 1onde: ` 37,97396
(1,01) 0,01
a
a
−= + × ⇒ = =
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
7. Um investidor aplicou mensalmente $4.900 durante 14 meses. Considerando-se que no fim do 14o
mês o saldo da aplicação foi de $110.497,40, calcular a taxa de juros efetiva ganha.
Dados: S = 110.497,40, n = 14, R = $4.900, i = ?
n
14 i% 14 i%
(1+i) -1 S = R
i
$110.497,40$110.497, 40 $4.900 = 22,55049
$4.900
s s
⎡ ⎤× ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
= × ⇒ =
• Interpolação linear para aproximar a taxa de juros:
S14 i%
S14 7,,5% = 23,36592
S14 i% = 22,55049
S14 6,5% = 21,76730
6,5% i% 7,5% taxa de juros
%
Observando-se o digrama anterior, é possível estabelecer a seguinte proporcionalidade de triângulos e,
a seguir, destacar a taxa i:
23,36592 21,76730 22,55049 21,76730 i =7% a.m.
7,5 6,5 i 6,5
− −= ⇒− −
Nas tabelas financeiras do Apêndice deste livro, pode ser observado que o fator 14 i% 22,55049s =
corresponde a uma taxa de juros de 7%.
8. Um bem de $350 pode ser pago com uma entrada mais quatro prestações bimestrais de $100.
Considerando-se juros efetivos de 5% a.m., calcular o valor da entrada.
Dados: P = $350, R = $100, n = 4, i = 5% a.m., E = ?
Taxa bimestral equivalente: ib = (1,05)2 –1 = 10,25% a.b.
Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente do fluxo
pagamentos:
48
= 4 10,25% 4 10,25%
4
4 10,25% 4
$350 E $100 E=$350 $100 $350 $100 3,15279 $34,72
(1,1025) 1onde: ` 3,15279
(1,1025) 0,1025
a a
a
= + × ⇒ − × − × =
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
9. Considerando-se uma remuneração efetiva de 6% a.m., calcular a aplicação necessária que permita
sacar mensalmente $3.280 durante os próximos 19 meses. O primeiro saque ocorrerá em 30 dias.
Dados: n =19, i = 6% a.m., R = $3.280, P = ?
19 6%
19
19 6% 19
P $3.280 $3.280 11,15812=$36.598,62
(1,06) 1onde: 11,15812
(1,06) 0,0629
a
a
= × = ×
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
10. Uma pessoa financiou uma compra no valor de $43.000 em 12 prestações mensais de $7.932,64.
Calcular a taxa de juros efetiva ao mês cobrada pelo financiamento.
Dados: n = 12, R = $7.932,64, P = $43.000, i = ?
• Cálculo do i pelo método de Baily-Lenzi:
( )
( )
para n i 3
12 n-1 h
i=h
12-2 n-1 h
× ≤
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2
n+1n Ronde: h 1
P
P principal
R valor da prestação postecipada
n número de prestações.
×⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
=
=
=
( )
( )
( )
( )
2 2
n+1 12+1n R 12 7.932,64h 1= 1=0,130048298
P 43.000
12 n-1 h 12 12-1 0,130048298
i=h 0,130048298 0,15
12-2 n-1 h 12-2 12-1 0,130048298
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠× ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− × − ×= ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥× × × ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
≈
• Aproximação por meio de interpolação linear:
Pelo princípio de equivalência de capitais, podemos montar a equação de valor igualando o valor à
vista ao valor presente do fluxo de pagamentos da alternativa compra parcelada:
12 i% 12 i%
$43.000$43.000 $7.932,64 5,42064
$7.932,64
a a⇒ == × =
O fator pode ser aproximado por meio de uma interpolação linear, de modo a estimar a incógnita i.
Podemos começar calculando o fator 12 i%a para diversos valores de taxas de juros e, a seguir, efetuar
a interpolação linear :
Taxa de juros aproximada:
49
i% ( )
( )
12
12
1 i 1
1 i i
+ −
+ ×
( )5, 4206 5,30693i 15,5% 15,5% 14,5% 15% a.m.5,53824 5,30693
⎡ − ⎤= − × − =⎢ ⎥−⎣ ⎦
14,5% 5,53834
15,5% 5,30693
Nas tabelas financeiras do Apêndice deste livro, pode ser observado que o fator
corresponde a uma taxa de juros de 15%.
42064,5i% 12 =a
11. A juros efetivos de 8% a.m., em que prazo pode ser liquidado um financiamento de $2.300
pagando-se prestações mensais de $278,98?
Dados: P = $2.300, i = 8% a.m., R = $278,98, n = ?
( )
( )
n
n n 5% n
O valor da aplicação inicial deverá ser igual ao valor presente das prestações mensais:
1,08 1
P R $2.300 $278,98 (1,08) 2,937193624
1,08 0,08
Aplic
a
⎡ ⎤−⎢ ⎥= × ⇒ = × ⇒ =⎢ ⎥×⎣ ⎦
log (2,937193624) ando logaritmos: n 14 prestações mensais
log (1,08)
= =
12. Determinar a taxa de juros efetiva ao mês cobrada por um empréstimo de $132.000 que será
reembolsado por meio de 13 prestações mensais postecipadas de $15.793,91 cada.
Dados: n = 13, R = $15.793,91, P = $132.000, i = ?
Cálculo do i pelo método de Baily-Lenzi:
( )
( )
para n i 3
12 n-1 h
i=h
12-2 n-1 h
× ≤
⎡ ⎤− ×⎢ ⎥× ×⎢ ⎥⎣ ⎦
2
n+1n Ronde:h 1
P
P principal
R valor da prestação postecipada
n número de prestações.
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
=
=
=
( )
( )
( )
( )
2 2
n+1 13+1n R 13 15.793,91h 1= 1=0,065144281
P 132.000
12 n-1 h 12 13-1 0,065144281
i=h 0,065144281 0,07
12-2 n-1 h 12-2 13-1 0,065144281
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠× ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − ×= × ≈⎢ ⎥ ⎢ ⎥× ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
13. Um eletrodoméstico de $330 será pago dando-se uma entrada de 15% mais oito prestações
mensais. A juros efetivos de 5% a.m., calcular o valor das prestações na hipótese de serem: a)
postecipadas; b) antecipadas.
Dados: P = $330, E = $49,50, i = 5% a.m., n = 8, R = ?
a) prestação postecipada:
50
( )
( )
n i%
8
8 5%
8
Financiamento efetivo R
P-E $330 -$49,50 $280,5R =$43,40
6,463211,05 1
1,05 0,05
a
a
=
= = =⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦
b) prestação antecipada:
As prestações são calculadas com base no financiamento efetivo (financiamento menos a entrada e
menos
a primeira prestação paga no ato):
( )
( )
n-1 i%
7 5%
7
7
Financiamento efetivoR
$330 - $49,50-RR
$280,5 RR
1,05 1
1,05 0,05
$280,5 RR R =$41,33
5,78637
a
a
=
=
−= ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦
−= ⇒
14. Um investidor pretende acumular um capital de $400.000 depositando semanalmente $9.651,05
em uma aplicação que rende juros efetivos de 36,05% a.m.. Quantos depósitos serão necessários?
Dados: S = $400.000, i = 36.05% a.m., R $9.651,05, n = ?
( ) ( )
n
n
n i%
1,3605 1
S R $400.000 $9.651,05 1,3605 346,9543814
0,3605
log (346,954381) Aplicando logaritmos: n 19 depósitos mensais
log (1,3605)
S
⎡ ⎤−⎢ ⎥= × ⇒ = × ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦
= =
15. Por uma compra no valor de $375, pagam-se 12 prestações mensais antecipadas (a primeira no ato
da compra). Considerando-se juros efetivos de 8% a.m., calcular o valor das prestações.
Dados: P = $375, i = 8% a.m., n =12, R = ?
As prestações são calculadas com base no financiamento efetivo (financiamento menos a primeira
prestação paga no ato):
51
( )
( )
n-1 i%
11 8%
11
11
Financiamento efetivoR
$375 - RR
$375 - RR
1,08 1
1,08 0,08
$375 - RR R =$46,07
7,138964258
a
a
=
=
= ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦
= ⇒
16. Um empréstimo de $1.000.000 será pago em 11 prestações anuais de $150.000. Calcular a taxa de
juros efetiva cobrada na hipótese de as prestações serem: a) postecipadas; b) antecipadas.
Dados: n =11, R$150.000, P = $1.000.000, i = ?
a) postecipadas:
( )
( )
para n i 3
12 n-1 h
i=h
12-2 n-1 h
× ≤
⎡ ⎤− ×⎢ ⎥× ×⎢ ⎥⎣ ⎦
Cálculo do i pelo método de Baily-Lenzi:
2
n+1n Ronde:h 1
P
P principal
R valor da prestação postecipada
n número de prestações.
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
=
=
=
( )
( )
( )
( )
2 2
n+1 11+1n R 11 150.000h 1= 1=0,087044503
P 1.000.000
12 n-1 h 12 11-1 0,087044503
i=h 0,087044503 9,4377% a.a.
12-2 n-1 h 12-2 11-1 0,087044503
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠× ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − ×= × ≈⎢ ⎥ ⎢ ⎥× ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
b) antecipadas:
As prestações são calculadas com base no financiamento efetivo (financiamento menos a primeira
prestação paga no ato):
n-1 i%
10 i%
10 i%
Financiamento efetivo R
$1.000.000 - $150.000$150.000 5,66667
Por aproximações ou pelo método de Bayli-Lenzi: i 11,9291% a.a.
a
a
a
=
= ⇒ =
≈
Aplicando a fórmula de Baily-Lenzi
52
( )
( ) a.m. %93,11108791,09212
108791,0912108791,0
h1-n2-12
h1-n12h=i
108791,01
850.000
000.501011
efetivo ntoFinanciame
R n=h
1+10
2
1+n
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
××−
×−×=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
××
×−×
=−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×=−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×
17. Um bem é vendido à vista por $15.000, ou a prazo em prestações mensais de $885,71. A juros
efetivos de 3% a.m., calcular o número de prestações necessárias.
Dados: P = $15.000, i = 3% a.m., R = $885,71, n = ?
( )
( )
n
n n 5% n
O valor à vista deverá ser igual ao valor presente das prestações mensais:
1,03 1
P R $15.000 $885,71 (1,03) 2,03279
1,03 0,03
Aplicando logaritmos:
a
⎡ ⎤−⎢ ⎥= × ⇒ = × ⇒ =⎢ ⎥×⎣ ⎦
log (2,03279) n 24 prestações mensais
log (1,03)
= =
Nas tabelas financeiras do Apêndice deste livro, pode ser observado que o fator n 3% 16,93557a =
corresponde a n igual a 24, indicando que o número de prestações é 24.
18. Na compra de um espectrômetro cujo valor à vista é $50.000, um laboratório farmacêutico deverá
pagar uma entrada e seis prestações mensais de $8.391,83. A juros efetivos de 7% a.m., calcular o
valor da entrada.
Dados: P = $50.000, i = 7% a.m., R $8.391,83, n = 6, E = ?
( )
( )
6
6
O valor à vista deverá ser igual ao valor presente dos pagamentos:
1,07 1
$50.000 E $8.391,83 E $50.000 - $8.391,83 4,76654 =$10.000
1,07 0,07
⎡ ⎤−⎢ ⎥= + × ⇒ = ×⎢ ⎥×⎣ ⎦
19. Uma pessoa, ao comprar um carro cujo preço à vista é $14.000, teve seu usado avaliado em $6.000
e aceito como entrada. O saldo será pago em 20 parcelas mensais iguais a juros efetivos de 6% a.m..
Calcular o valor da prestação mensal se a primeira parcela for paga: a) um mês após a compra, b) na
data da compra.
Dados: P = $14.000, E = $6.000, i = 6% a.m., n = 20, R = ?
a) prestação postecipada:
( )
( )
20
n i% 20 6%
20
Financiamento P-E $14.000 $6.000 $8.000R =$697,48
11,469921,06 1
1,06 0,06
a a
−= = = =⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦
b) prestação antecipada:
As prestações são calculadas com base no financiamento efetivo (financiamento menos a primeira
prestação paga no ato, menos a entrada):
53
( )
( )
n-1 i%
19
19
Financiamento efetivoR
$14.000 $6.000 RR
1,06 1
1,06 0,06
$8.000 RR R =$658
11,15812
a
=
− −= ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦
−= ⇒
20. Por um equipamento cujo valor à vista é $40.000, paga-se uma entrada de 20% mais 18 prestações
mensais com carência de três meses até o início da primeira. Considerando-se juros efetivos de 3%
a.m., determinar o valor das prestações.
Dados: P = $40.000, E = $8.000, i = 3% a.m., n = 18, c = 3, R = ?
Prestação antecipada com carência:
( ) ( )
( )
( )
n i%
c-1 2
18
18 3%
18
Financiamento capitalizado c-1 meses R
P-E (1+i) $40.000 $8.000 (1,03) $33.948,80R =$2.468,37
13,753511,03 1
1,03 0,03
a
a
=
× − ×= = =⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦
21. Uma pessoa deposita mensalmente $120 durante 13 meses em uma aplicação que rende juros
efetivos de 4% a.m.. Considerando-se que ela pretende resgatar o capital por meio de três saques
mensais iguais e consecutivos, o primeiro um mês depois do último depósito, calcular o valor de cada
saque.
Dados:
( )
o
13
n i%
o
Capital acumulado no 13 mês:
1,04 1
S R $120 =$1.995, 22
0,04
O capital acumulado no 13 mês será resgatado em três saques:
S
⎡ ⎤−⎢ ⎥= × = × ⎢ ⎥⎣ ⎦
3 4%
$1.995, 22 $1.995, 22 R= = =718,98
2,77509 a
22. Por política de crédito, nas vendas a prazo, uma loja aumenta em 25% o valor à vista. Desse valor
aumentado, 20% é pago como entrada, e o saldo restante é dividido por seis e pago em seis parcelas
mensais iguais. Determinar a taxa de juros efetiva mensal cobrada no financiamento.
Dados: Valor à vista = P, Entrada (E) = 0,25 (20% de 1,25P), P = 0,25P, R = 0,16667 P (0,80×1,25P/6),
n = 6, i = ?
6 i%
6 i% 6 i%
Valor à vista = Entrada + Valor presente das prestações
P = 0,25P + 0,16667
1 = 0,25 + 0,16667 4,5000
a
a a
×
× ⇒ =
Por aproximações ou por interpolação linear: i = 8,8950% a.m.
Pela fórmula de Baily-Lenzi:
financiamento efetivo = P- Entrada = P- 0,25P = 0,75P
prestação (R) = 0,16667P; n = 6; i =?
54
( )
( )
22
6+1n+1n R 6 0,16667h = 1 1 0,085667362
Financiamento efetivo 0,75
12 n-1 h 12 5 0,085667362i = h 0,085667362 8,8950% a.m.
12-2 n-1 h 12 2 5 0,085667362
× ⎛ × ⎞⎛ ⎞ − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤− × ⎛ − × ⎞× = × =⎢ ⎥ ⎜ ⎟× × − × ×⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
23. Um financiamento será pago em oito prestações mensais de $66.000 nos próximos oito meses, e
mais 14 prestações de $13.500 nos meses subseqüentes. Considerando-se que as taxas de juros
efetivas são de 10% a.m. para o primeiro ano e 15% a.m. para o segundo ano, respectivamente,
determinar o valor do pagamento único que quita toda a dívida no quinto mês.
Resolução:
4 10% 10 15%
8 10% 8 12
valor presente
das prestações:
$13.500 $13.500
=$66.000
(1,10) (1,10)
$13.500 3,16987 $13.500 5,018769=$66.000 5,33493
2,14359 3,13843
$352.105,13 $19.963,34 $21.588,31 $393.656
a a
a +
+
× ×× +
× ×× +
= + + =
o 5
,78
Pagamento único no 5 mês : $393.656,78 (1,10) $633.988,18× =
24. Um eletrodoméstico será pago com uma entrada mais 12 prestações mensais iguais e consecutivas.
Considerando-se que cada prestação é igual a 10% do valor à vista, sendo a primeira paga ao término
de um período de carência de quatro meses, eque a taxa de juros efetiva composta é de 4% ao mês,
calcular o percentual sobre o valor à vista que deve ser pago como entrada.
Resolução:
12 4%
Pelo princípio de equivalência de capitais o valor à vista deve ser igual ao valor presente dos pagamentos: P = E+
0,10P
P = E+
(1,04)
a×
4 1
0,10P 9,38507 P = E+
1,124864
P = E+0,83433P E = P - 0,83433P = 0,1657P
−
×
⇒
A entrada representa 16,57% do valor à vista. As prestações são antecipadas, ou seja, a primeira é
paga logo ao término do período de carência.
25. Uma instituição financeira concede um período de carência para início dos reembolsos em
operações de empréstimo. Um financiamento de $380.000 será pago em sete prestações mensais de
$159.748,88 cada. Considerando-se juros efetivos de 15% a.m., determinar o período de carência
concedido.
Resolução:
55
7 15%
1
1 7 15%
Pelo princípio de equivalência de capitais:
valor do financiamento = valor presente dos pagamentos
$159.748,88
$380.000 =
(1,15)
$159.748,88
(1,15)
$
c
c
a
a
−
−
×
×=
( )
1$159.748,88 4,16042 1,74901 (1,15) 1,74901
380.000 $380.000
Aplicando logaritmos:
Log 1,74901 1 Log1,15 = Log 1,74901 1 5
Log1,15
A carência é de cinco meses. As prestações são antecipadas. A
c
c c
−×= = ⇒ =
− × ⇒ = + =
primeira é paga logo ao término do período
de carência.
26. O seguro de um automóvel pode ser pago à vista por $800 ou em oito prestações mensais de
$128,83 cada. Se a taxa de juros cobrada for nominal ao ano, calculá-la nas seguintes hipóteses sobre a
capitalização dos juros: a) mensal, b) semestral, c) trimestral, d) bimestral e)anual
Resolução:
Pela fórmula de Baily-Lenzi:
( )
( )
2 2
n+1 8+1n R 8 128,83h = 1 1 0,057908785
Financiamento efetivo 800
12 n-1 h 12 7 0,057908785i=h 0,057908785 6% a.m.
12-2 n-1 h 12 2 7 0,057908785
× ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤− × ⎛ − × ⎞× = × =⎢ ⎥ ⎜ ⎟× × − × ×⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
a) capitalização mensal da taxa nominal
[ ]
m
j(1 i ) 1
k
j (1,06) 1 j= (1,06) 1 12 72% a.a.
12
⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= + ⇒ − × =⎜ ⎟⎝ ⎠
b) capitalização semestral da taxa nominal
s
6 6
j (1 i ) 1
2
j (1,06) 1 j= (1,06) 1 2 83,70% a.a.
2
⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + ⇒ − × =⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
c) capitalização trimestral da taxa nominal
t
3 3
j(1 i ) 1
4
j(1,06) 1 j= (1,06) 1 4 76, 41% a.a.
4
⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + ⇒ − × =⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
d) capitalização bimestral da taxa nominal
b
2 2
j (1 i ) 1
6
j (1,06) 1 j= (1,06) 1 6 74,16% a.a.
6
⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + ⇒ − × =⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
e) capitalização anual da taxa nominal
56
a
12 12
j (1 i ) 1
1
j (1,06) 1 j= (1,06) 1 1 101, 22% a.a.
1
⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + ⇒ − × =⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
27. Uma pessoa deposita mensalmente $280 em um fundo de investimento que paga juros efetivos de
5% a.m.. No futuro pretende resgatar o investimento por meio de cinco saques semestrais de
$14.253,54, o primeiro cinco meses após o último depósito. Quantos depósitos serão necessários?
Dados:
( )
n 5%
n 5%
n 5%
Montante acumulado até o mês n (mês da última aplicação):
S = $280
Montante acumulado até o mês anterior (n-1):
$280
266,67
1,05
O montante acumulado até o mês n
s
s
s
×
× = ×
6
n 5%
5 34%
-1 será resgatado por meio de 5 saques semestrais de $14.253,54 cada:
taxa semestral = (1,05) -1 34% a.s.
266,67
R =
$14.253,54
s
a
≈
×
n 5%
n 5%
n
n
266,67
= 120,82076
2,26041
(1,05) 1 =120,82076 (1,05) 7,04104
0,05
Log 7,04104Aplicando logaritmos: n = 40 aplicações mensais
Log 1,05
s
s
× ⇒ =
−⇒ ⇒ =
=
28. Um equipamento cujo valor à vista é $33.000 pode ser pago com uma entrada e 18 prestações
mensais de $2.489,91. Sabendo-se que há um período de carência de 3 meses para início do
pagamento das prestações, calcular o valor da entrada, considerando-se juros efetivos de 5% a.m..
Resolução:
18 5%
3 1
Pelo princípio de equivalência de capitais:
valor à vista = valor presente dos pagamentos
$2.489,91
$33.000 = E+
(1,05)
$2.489,91 11,68959 E = $33.000 - $
1,10250
a
−
×
×⇒ = 6.599,98
29. Um equipamento de $6.000 será pago com uma entrada de 50% e tantas prestações mensais de
$880 quantas forem necessárias, mais um pagamento residual inferior ao valor da prestação, que deve
ser efetuado um mês após a data do vencimento da última parcela. Considerando-se que a primeira
prestação vence três meses após a data da compra e a taxa de juros efetiva cobrada é de 7% a.m.,
determinar o número de prestações necessárias e o valor do pagamento residual.
Dados: P = $6.000, entrada (50%) = $3.000, R = $880, i = 7% a.m., c = 3, n = ?, q = ?
Pelo princípio de equivalência de capitais, podemos montar a equação de valor igualando o valor à
vista ao valor presente do fluxo de pagamentos da alternativa compra parcelada:
57
( )
( )
( )
( )
n 7%
c 1 c + n
n 7%
3 1 3 + n
n 7%
2 3 + n
n 7% 3+n
$880 q$6.000 $3.000
(1,07) 1,07
$880 q$6.000 $3.000
(1,07) 1,07
$880 q$3.000
(1,07) 1,07
q$3.000 $768,63
1,07
a
a
a
a
−
−
×= + +
×= + +
×= +
= × +
Uma solução direta não existe, dado que temos uma única equação e duas incógnitas, n e q. Ignorando
o pagamento final (q), o valor presente das prestações é o seguinte:
3 7%
5 7%
se o número de prestações for igual a três (n =3) $768,63 $2.017,12
se o número de prestações for igual a cinco (n =5) $768,63 $3.151,52
a
a
• ⇒
• ⇒
× =
× =
Conseqüentemente, o número de prestações deve ser inferior a cinco, caso contrário o valor presente
das prestações excederia o valor do financiamento efetivo ($3.151,52 > $3.000,00). Igualmente, deve
ser maior que três, caso contrário o valor do pagamento final será maior que a prestação. Logo, o
financiamento será liquidado em quatro prestações de $880 mais um pagamento final no sétimo mês.
O valor desse pagamento final é o seguinte:
( )
( )
( )
n 7% 3+n
3+4
7
q$3.000 $768,63
1,07
q$3.000 $768,63 3,38721
1,07
q$3.000 $768,63 3,38721 q $636,67
1,07
a= × +
= × +
= × + ⇒ =
30. Para liquidar um financiamento, são oferecidas duas formas de pagamento financeiramente
equivalentes: na primeira, paga-se 13 prestações mensais de $834 e, na segunda, 16 prestações de
$708 mais uma determinada quantia paga no fim do 17º mês. Considerando-se juros efetivos de 7%
a.m., calcular o valor da referida quantia.
Resolução:
Pelo princípio de equivalência de capitais, os valores presentes dos dois esquemas de pagamento
devem ser iguais:
( )
( )
13 7% 16 7% 17
17
13 7% 16 7%
q$834 $708
(1,07)
q = $834 $708 (1,07)
= $834 8,35765 $708 9,44665 3,158815211= $890,96
a a
a a
+
⇒
−
−
× = ×
× × ×
× × ×
31. Uma pessoa tomou um empréstimo de $200.000 contratado a juros efetivos de 2% a.m. para ser
liquidado através de dez prestações mensais. Depois de serem pagas cinco prestações, ela resolve
tomar $80.000 adicionais, incorporando-se essa nova dívida ao saldo da primitiva em um só negócio.
Considerando a mesma taxa de juros, calcular o valor da nova dívida e a sua prestação para liquidação
nos cinco meses restantes.
Resolução:
58
10 2%
o o
$200.000 $200.000Prestação da dívida inicial = $22.265,31
8,98259
valor total da dívida no final do 5 mês = valor da nova dívida + valor descontado ao 5 mês das últimas 5 prestações
a
= =
5 2%
= $80.000 + $22.265,31×
$80.000 + $22.265,31×4,71346
a
=
5 2%
= $184.946,64
Nova prestação:
$184.946,64 $184.946,64 R= $39.237,98
4,71346a
= =
32. Um carro é vendido por $10.000 à vista, ou com uma entrada de 10% mais um determinado
número de prestações mensais de $500. Deve-se pagar, também, além das prestações mensais, três
parcelas semestrais de $632,82. A juros efetivos de 2% a.m., determinar o número de prestações
mensais necessárias.
Resolução:
Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor do financiamento deverá ser igual ao valor presente
do fluxo pagamentos:
6
s
n 2% 3 12,6162%
3
3 12,61624193% 3
n 2
taxa semestral: i =(1,02) 1 12,61624193% a.s.
$10.000 $1.000 $500 $632,82
(1,126162) 1onde: 2,376623933
(1,126162) 0,12616
$10.000 $1.000 $500
a a
a
a
− =
= + × + ×
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
= + × %
n 2%
n
n
n 2% n
$632,82 2,376623933
9.000 $632,82 2,376623933 14,99204969
500
(1,02) -1 14,99204969 (1,02) 1,428247
(1,02) ×0,02
log (1,428247) 0,3Aplicando logaritmos: n
log (1,02)
a
a
+ ×
− ×⇒ = =
⎡ ⎤⇒ = = ⇒ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
= = 56447818 18 prestações mensais
0,019802627
=
33) Um mutuário deverá fazer um empréstimo pagando 25 prestações mensais de $20.000. Querendo
abreviar em um ano o prazo de pagamento, ele propõe efetuar um pagamento extraordinário
juntamente com a sexta prestação. Considerando-se juros efetivos de 1% a.m., determinar o valor
desse pagamento.
Resolução:
59
o o
o o
12 1% 12 1%
7prazo entre o 13 e o 6 mês
Pagamento extraordinário no 6 mês valor descontado ao 6 mês das 12 últimas prestações
$20.000 $20.000 $20.000 11,25507747= = = =$20
1,072135352(1,01)(1,01)
a a
=
× × ×
12
12 1% 12
9.956,28
(1,01) -1onde: 11,25507747
(1,01) ×0,01
a
⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
34. Uma pessoa compra um apartamento de $150.000 nas seguintes condições: entrada de $50.000
mais um determinado número de prestações mensais de $1.338,99, com um ano de carência para o
início dos pagamentos. Considerando-se uma taxa de juros efetiva contratada de 1% a.m., calcular o
número de prestações.
Resolução:
Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor do financiamento deverá ser igual ao valor presente
do fluxo pagamentos:
11
n 1%
n 1%11
n
n
n 1% n
$1.338,99 100.000 (1,01)$150.000 $50.000 83,3210117
$1.338,99(1,01)
(1,01) -1 83,3210117 (1,01) 5,99580
(1,01) ×0,01
log (5,99580) Aplicando logaritmos: n
log
a
a
a
× ×= + ⇒ = =
⎡ ⎤= = ⇒ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
= 180 prestações mensais
(1,01)
=
As prestações são antecipadas. Seu pagamento ocorre logo ao término da carência.
35. Um bem será pago em quatro prestações trimestrais de $135.000. Para suavizar os pagamentos, o
comprador pediu a modificação do prazo para 15 prestações mensais. Considerando-se uma taxa de
juros efetiva cobrada de 7% a.m., calcular o valor das prestações mensais.
Resolução:
3
ttaxa trimestral: i (1,07) 1 22,5043% a.t.= − =
Pelo princípio de equivalência de capitais, os valores presentes das duas formas de pagamento devem
seriguais:
4 22,5043%
4 22,5043% 15 7%
15 7%
$135.000 $135.000 2, 470586$135.000 R R= $36.619,70
9,107914
a
a a
a
× ×× = × ⇒ = =
4
4 22,5043% 4
12
12 7% 12
onde:
(1, 225043) 1 2, 470586
(1, 225043) 0, 225043
(1,07) 1 7,942686
(1,07) 0,07
a
a
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
36. Uma máquina é vendida em 18 prestações mensais postecipadas. As prestações de ordem ímpar
são de $2.000, e as de ordem par são de $2.800. Considerando-se juros efetivos de 3% a.m., calcular o
valor do financiamento.
60
Resolução:
Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor do financiamento deverá ser igual ao valor presente
do fluxo pagamentos:
( )
( )
2
b
9 6,09% 9 6,09%
9
9 7% 9
taxa bimestral: i (1,03) 1 6,09% a.b.
P $2.800 $2.000 1,03
$2.800 6,775130 $2.000 6,775130 1,03 $32.927,13
onde:
(1,0629) 1 6,775130
(1,0629) 0,0629
a a
a
= − =
= × + × ×
= × + × × =
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
As prestações são antecipadas. Seu pagamento ocorre logo ao término da carência.
37. Por um financiamento, pagam-se cinco prestações mensais de $1.500, a primeira depois do
término de um período de carência de cinco meses. Um mês após o pagamento da última prestação,
inicia-se o pagamento de mais quatro parcelas mensais de $1.000. Considerando-se juros efetivos de
7% a.m., calcular o valor do financiamento.
Resolução:
Pelo princípio de equivalência de capitais, o financiamento será igual ao valor presente do fluxo de
pagamentos:
5 7% 4 7%
4 9
5 4
5 7% 4 7%5 4
$1.500 $1.000 $1.500 4,100197 $1.000 3,38721P $6.534, 45
1,3107960 1,8384592(1,07) (1,07)
onde:
(1,07) 1 (1,07) 14,100197
(1,07) 0,07 (1,07) 0,07
a a
a a
× × × ×= + = + =
⎡ ⎤ ⎡− −= = =⎢ ⎥ ⎢× ×⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
3,38721
⎤ =⎥⎥⎦
38. Um funcionário, prevendo sua aposentadoria, resolveu efetuar nos próximos dois anos depósitos
mensais iguais em um fundo de pecúlio. A totalidade do capital acumulado será resgatada por meio de
10 saques semestrais de $80.000 cada, o primeiro dois anos após o último depósito. Considerando-se
um rendimento efetivo do fundo de 4% a.m., determinar o valor dos depósitos mensais.
Resolução:
( )
24 4%
18
6
s
valor acumulado na data do último depósito = R =R 39,08260
valor acumulado até 6 meses antes do primeiro saque = R 39,08260 (1,04) 79,17418 R
taxa semestral: i (1,04) 1 26,5319% a.s.
o
s• × ×
• ×
• = − =
• valor de cada um dos 10 saques semestrais de $80.000 é calculado com base valor acumulado
até 6 meses antes do primeiro saque :
valor acumulado até 6 meses antes valor de cada saque semestral =
× = ×
10 26,5319%
do primeiro saque
79,17418 R $80.000 = R $3.446,34
3,41076
a
× ⇒ =
39. Um capitalista comprou um prédio de apartamentos pagando $825.000 de entrada e prometendo
pagar durante cinco anos prestações trimestrais de $180.000 cada. Considerando-se a taxa de juros
efetiva aplicada de 4,5% ao trimestre, pede-se: a) calcular o valor à vista do prédio; b) determinar de
quanto deverá ser o pagamento a ser feito no vencimento da 13a. prestação para ficar em dia, caso
deixe de efetuar os 12 primeiros pagamentos; c) determinar quanto o cliente deverá pagar depois de
61
realizar oito pagamentos, caso deseje liquidar a dívida com um único pagamento por ocasião do
vencimento da 9a prestação; d) determinar quanto o cliente deverá pagar no vencimento da 11a.
prestação de modo que liquide a dívida, caso deixe de pagar as dez primeiras prestações.
Resolução:
a) valor à vista do prédio:
Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor à vista
é igual ao valor presente do fluxo de
pagamentos:
20 4,5%valor à vista=$825.000 $180.000 $825.000 $180.000 13,00794 $3.166.428,56a+ × = + × =
b) o pagamento a ser feito no vencimento da 13a.prestação, caso não sejam feitos os 12 primeiros
pagamentos:
13 4,5%pagamento = 180.000 180.000 17,15991 $3.088.784,39s× = × =
c) pagamento único a ser feito por ocasião do vencimento normal da 9a prestação após pagamento das
primeiras oito prestações para liquidar a dívida:
a
11 4,5%
pagamento = 9 prestação + valor descontado das 11 restantes prestações
=$180.000 + $180.000 $180.000 +$180.000 8,52892 $1.715.205,05a× = × =
d) pagamento a ser feito por ocasião do vencimento normal da 11a. prestação de modo a liquidar a
dívida, caso deixem de ser pagas as primeiras dez prestações:
( )
o
o
10 4,5%
pagamento = valor capitalizado no 11 mês das 10 primeras prestações
+ valor descontado no 11 mês das 10 restantes prestações
= $180.000 s×
( )
9 4,5%(1,045) + ( $180.000 + $180.000 )
= $180.000 12,28821 (1,045) +( $180.000 + $180.000 7,26879)
=$3.799.794,47
a× ×
× × ×
40. Um financiamento será pago em um determinado número de prestações mensais. Sabe-se que a
razão entre o montante das prestações e o valor do financiamento é de 3,1721682. A juros efetivos de
8% a.m., determinar o número de prestações.
Resolução:
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
1,08 -1
R
0,08S montante das prestações 3,1721682 1,08 3,1721682
P valor do financiamento 1,08 -1
R
1,08 0,08
log (3,1721682) Aplicando logaritmos: n 15 prestações
log (1,08)
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦= = = ⇒ =⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦
= =
41. Um bem cujo valor à vista é $5.000 será pago com uma entrada de 20%, 18 prestações mensais de
$310 mais uma quantia de $905,44 paga junto com a última prestação. Calcular a taxa de juros efetiva
cobrada no financiamento.
Dados: P = $5.000, entrada (20%) = $1.000, R = $310, n = 18, q = $905,44 , i = ?
Pelo princípio de equivalência de capitais, podemos montar a equação de valor igualando o valor à
vista ao valor presente do fluxo de pagamentos da alternativa compra parcelada:
62
( )18 i% 18
$905,44$5.000 $1.000 $310
1+i
a= + × +
18 i% 18
O valor presente líquido (VPL) do fluxo:
$905,44 VPL=$4.000 - $310 -
(1 i)
a× +
O cálculo manual da taxa de juros requer calcular VPLs para diversas taxas até provocar a mudança no
sinal do VPL que permita realizar uma interpolação linear.
Taxa aproximada:
(i) VPL
( )179,58i=4,5%+ 5,5% 4,5% 5% a.m. (aproximadamente)
179,58 ( 168,32
⎛ ⎞− × − =⎜ ⎟− − +⎝ ⎠
4,5% -$179,58
5,5% +$168,32
A interpolação foi realizada entre as taxas de 1,5% e 2%, pois entre essas duas taxas o VPL muda de
sinal, o que permite efetuar a interpolação.
42. Um automóvel cujo valor à vista é $20.000 será pago com uma entrada de 10%, 24 prestações
mensais de $800 e quatro parcelas semestrais iguais. A juros efetivos de 3% a.m., calcular o valor das
parcelas semestrais.
Dados: P = $20.000, entrada (10%) = $2.000, n = 24 mensais, n = 4 semestrais, i = 3% a.m., R = ?
Pelo princípio de equivalência de capitais, podemos montar a equação de valor igualando o valor à
vista ao valor presente do fluxo de pagamentos da alternativa compra parcelada:
6
s
24 3% 4 19,41%
taxa semestral: i (1,03) 1 19, 41% a.s.
$20.000 $2.000 $800 R
$20.000 $2.000 $800 16,93554 R 2,61795 R=1.700,24
a a
= − =
= + × + ×
= + × + × ⇒
43. Um bem cujo valor à vista é de $8.000 será pago com uma entrada de 25%, nove prestações
mensais iguais e um pagamento final de $400 um mês após a última prestação. Considerando-se que
será concedida uma carência de três meses para início do pagamento das prestações, calcular o valor
dessas prestações a juros efetivos de 3% a.m.
Dados: P = $8.000, entrada (25%) = $2.000, q = $400, c = 3, i = 3% a.m., R = ?
Pelo princípio de equivalência de capitais, podemos montar a equação de valor igualando o valor à
vista ao valor presente do fluxo de pagamentos da alternativa compra parcelada:
( )
( )
9 3%
2 12
2
2
R $400$8.000 $2.000
(1,03) 1,03
R 7,786109 (1,03)$6.000 280,55 R= $6.000 280,55 =779,31
7,786109(1,03)
a×= + +
⎛ ⎞×= + ⇒ − ×⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
As prestações são antecipadas. Seu pagamento ocorre logo ao término da carência.
44. Um veículo cujo valor à vista é de $10.000 será pago com uma entrada de 20%. O saldo será pago
em um determinado número de prestações mensais de $530 mais uma quantia residual inferior a 20%
do valor da prestação mensal, paga um mês depois da última prestação. Considerando-se juros efetivos
de 2% a.m., determinar o número de prestações e o valor da quantia residual.
Dados: P = $10.000, entrada (20%) = $2.000, R = $530, i = 2% a.m., n = ?, q = ?
Pelo princípio de equivalência de capitais, podemos montar a equação de valor igualando o valor à
vista ao valor presente do fluxo de pagamentos da alternativa compra parcelada:
63
( )n 2% n 1
q$10.000 $2.000 $530
1,02
a += + × +
Uma solução direta não existe, dado que temos uma única equação e duas incógnitas, n e q. Ignorando
o pagamento final (q), o valor presente das prestações é o seguinte:
18 2%
19 2%
se o número de prestações for igual a 18:
$2.000 $530 $2.000 $530 14,992031 $9.945,78
se o número de prestações for igual a 19:
$2.000+$530 $2.000 $530 15,678462 $10
a
a
+ × = + × =
× = + × = .309,58
Conseqüentemente, o número de prestações deve ser inferior a 19, caso contrário o valor presente das
prestações excederia o valor à vista ($10.309,58 > $10.000). Logo, o financiamento será liquidado em
18 prestações de $530 cada, mais um pagamento final no décimo nono mês. O valor desse pagamento
final é o seguinte:
( )
( ) ( ) ( )
( )
18 2% 19
19
18 2% 18 2%19
q$10.000 $2.000 $530
1,02
q$8.000 $530 q $8.000 $530 1,02
1,02
q $8.000 $530 14,992031 1,456811 $
a
a a
− = × +
= × + ⇒ = − × ×
= − × × = 78,99
45. Uma pessoa pretende depositar mensalmente uma determinada quantia fixa durante 17 meses a
juros efetivos de 3% a.m.. Considerando-se que o primeiro depósito ocorrerá daqui a 30 dias e que o
investidor deseja que os juros ganhos no período totalizem $1.428,48, determinar o valor do depósito
mensal.
Dados: n =17, i = 3% a.m., juros, ganhos = $1.428,48, R =?
17 3%
17 3%
juros ganhos = montante acumulado - aplicação total
$1.428,48 $1.428,48 $1.428,48 = R× - R 36 R= $300
17 21,761588 17
s
s
× ⇒ = =− −
%
46. Um equipamento que custa $15.000 será pago em oito prestações mensais. As três primeiras de
$2.000, as três seguintes de $800, a sétima de $3.000 e a oitava de $5.000. Determinar a taxa de juros
efetiva cobrada no financiamento.
Resolução:
3 i% + + +3 i% 3 7 8
O valor presente das oito prestações deve ser igual ao valor à vista:
$800 $3.000 $5.000 $15.000 $2.000
(1 i) (1 i) (1 i)
O valor presente líquido (VPL) do fluxo:
V
a
a
×= × + + +
3 i% 3 i% 3 7
$800 $3.000 $5.000PL=$15.000 - $2.000 - - -
(1 i) (1 i) (1 i)
a
a
×× + + 8+
O cálculo manual da taxa de juros requer calcular VPLs para diversas taxas até provocar a mudança no
sinal do VPL que permita realizar uma interpolação linear.
64
Taxa aproximada:
(i) VPL
( )194,03i=1,5%+ 2% 1,5% 1,76% a.m. (aproximadamente)
194,03 ( 179,06)
⎛ ⎞− × − ≈⎜ ⎟− − +⎝ ⎠
1,5% -$194,03
2% +$179,06
A interpolação foi realizada entre as taxas de 1,5% e 2%, pois entre essas duas taxas o VPL muda de
sinal, o que permite efetuar a interpolação.
47. Um financiamento será pago em 15 prestações mensais consecutivas, com início logo ao término
de um período de carência de seis meses. As primeiras cinco prestações serão de $12.000, as cinco
seguintes de $14.000 e as cinco últimas de $17.000. Considerando-se que esse esquema de
pagamentos seja trocado por outro em que o mutuário pague 15 prestações mensais iguais, também
iniciando logo após um período de carência de seis meses, calcular o valor unitário dessas prestações,
tendo em conta que a taxa de juros de 3% a.m. será a mesma para qualquer plano de pagamento.
Resolução:
5 3% 5 3% 5 3% + +5 10 14
+ +5 10
Valor presente das 15 prestações:
$12.000 $14.000 $17.000
P
(1,03) (1,03) (1,03)
$12.000 4,579707 $14.000 4,579707 $17.000 4,57970 P
(1,03) (1,03)
a a a× × ×=
× × ×= 15
+ +
c-1 6-1 5
15 3% 15 3% 15 3%
7 $146.585,54
(1,03)
P $47.405,95 $47.708, 25 $49.972,18 $145.086,38
Valor de cada prestação uniforme:
P(1+i) $145.086,38 (1,03) $145.086,38 (1,03) $16 R=
a a a
=
= =
× ×= = = 8.194,87 $14.089,11
11,93794
=
As prestações são antecipadas. Seu pagamento ocorre logo ao término da carência.
48. Uma pessoa deseja comprar um automóvel de $15.000 daqui a três anos. Para tanto, hoje ela
começou a fazer aplicações mensais iguais em um banco que paga uma taxa efetiva de 2% a.m. Qual
deve ser o valor da aplicação mensal, de modo que o investidor possa comprar o veículo com o
montante acumulado na data da última aplicação?
Dados: S = 15.000, n = 36, i = 2% a.m, R = ?
36(1,02) 1 $15.000 S = R $15.000=R 51,994367 R= =$288,49
0,02 51,994367
⎡ ⎤−× ⇒ × ⇒⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
49. Um empréstimo tomado hoje será reembolsado em doze prestações mensais de $2.443,80 cada, a
primeira para 30 dias. Considerando-se que os juros a serem pagos durante o período totalizam
$5.000, determinar a taxa de juros efetiva mensal contratada.
Dados: juros pagos = $5.000, n =12, R = $2.443,80, i = ?
12 i% 12 i%
valor total pago pelo empréstimo valor do empréstimo juros pagos
12 $2.443,80 $2.443,80 +$5.000 9,95401a a×
= +
× = ⇒ =
O fator 12 i% 9,95401a = pode ser aproximado por meio de uma interpolação linear, de modo a
estimar a incógnita i.
• Interpolação linear
65
Embora o fator 20 i%a seja uma função exponencial, podemos admitir que em intervalos pequenos seu
comportamento seja linear. Podemos começar calculando o fator 12 i%a para diversos valores de taxas
de juros e, a seguir, efetuar a interpolação linear :
Taxa de juros aproximada:
i% ( )
( )
12
12
1 i 1
1 i i
+ −
+ ×
( )9, 45401 9,66333i 3,5% 3,5% 2,5% 3% a.m.10,25777 9,66333
⎡ − ⎤= − × − ≈⎢ ⎥−⎣ ⎦
2,5% 10,25777
3,5% 9,66333
• Aplicando a fórmula de Baily-Lenzi
Financiamento efetivo = 12×$2.443,80 -$5.000 =$24.325,60
( )
( ) a.m. %30291762,011212
0291762,011120291762,0
h1-n2-12
h1-n12h=i
0291762,01
24.325,60
80,443.2121
efetivo ntoFinanciame
Rn =h
1+12
2
1+n
2
≈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
××−
×−×=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×=−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
50. Que taxa de juros efetiva anual transforma 36 prestações mensais de $100 em 12 prestações
trimestrais de $309,09 cada?
Resolução:
36 i % 12 i %m t
36 i %m
12 i %t
Fazendo a equivalência entre os valores presentes dos dois fluxos de prestações:
$100 $309,09
$309,09= 3,090
$100
a a
a
a
× = ×
=
( )
( )
( )
( )
36
m
36
m m
12
t
12
t t
1+i 1
1+i i
9 3,0909
1+i 1
1+i i
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦⇒ =⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
1/12 1/ 4
a m a
or equivalências entre taxas de juros efetivas temos que:
1+i = 1+i e 1+i = 1+i .t
3
a
3 1/12
a a
3
a
3 1/4
a a
P
essas equivalências:
1+i 1
1+i 1+i -1
1+i 1
1+i 1+i -1
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤−⎢⎢ ×⎢⎣ ⎦
Substituindo
( )( )
( )( )
1/4
a
a1/12
a
1+i -1
3,0909 =3,0909 i =0,4258 = 42,48% a.a.
1+i -1
= ⇒ ⇒
⎥⎥⎥
51. Um cliente comprou uma motocicleta em 24 prestações mensais de $210, mas propõs sua
substituição para 12 prestações bimestrais. Qual será o valor dessas novas prestações, considerando-se
uma taxa de juros de 2% a.m.?
Resolução:
66
( )
( )
2 2
b m
24
24 2% 24
Taxa de juros bimestral
i (1 i ) 1 (1, 02) 1 4, 04% a.b.
Valor presente das 24 parcelas mensais de $210 cada:
1,02 1
P=$210 P $210
1,02 0,
a
= + − = − =
−× ⇒ = ×
×
( )
( )
12
12
$210 18, 913926 $3.971, 92
02
Valor das 12 parcelas bimestrais equivalentes:
$3.971, 92 $3.971, 92 R $424, 20
9, 363331,0404 1
1,0404 0,0404
⎡ ⎤⎢ ⎥ = × =⎢ ⎥⎣ ⎦
= = =⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦
52. Um empréstimo de $20.000, contratado a juros efetivos de 2% ao mês, será reembolsado em dois
anos por meio de pagamentos a cada 90 dias. Considerando-se que durante o primeiro ano devem ser
amortizados 40% do empréstimo e o restante no segundo, calcular o valor do pagamento trimestral a
ser efetuado em cada ano, tendo em conta que há incidência de juros sobre os saldos pendentes não
amortizados
Dados: P = $20.000, i = 2 % a.m., n = 8 trimestres, R = ?
( )
3 3
t m
4 6,1208% 4
Taxa de juros trimestral:
i (1 i ) 1 (1,02) 1 6,1208 a.t.
Valor do pagamento trimestral durante o primeiro ano:
$8.000 0,4 $20.000 R R
1,061208 1
1,06120
a
= + − = − =
× = × ⇒ =
−
( )
( )
( )
4
4 4 6,1208% 4
4
$8.000 $2.315,12
3, 455542
8 0,061208
Valor do pagamento trimestral durante o segundo ano:
$15.218,90 $15 $12.000 (1.061208) R R
1,061208 1
1,061208 0,061208
a
= =⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦
× = × ⇒ = =⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦
.218,90 4.404, 20
3,455542
Sobre o saldo não amortizado no primeiro ano incidem juros durante 4 trimestres, resultando em um saldo devedor
de $15.218,90 ao término do primeiro ano. As prestações do se
=
gundo ano são calculadas sobre esse valor.
53. Uma empresa tomou um empréstimo de $10.000 contratado a juros efetivos de 2% ao mês para ser
reembolsado em 16 pagamentos trimestrais iguais. Imediatamente após efetuar o décimo pagamento, a
empresa decide liquidar o resto da dívida. Qual o importe a ser pago?
Dados: P = $10.000, i =2 % a.m., n = 16 trimestres, saldo no 10o treimestre = ?
67
( )
( )
3 3
t m
16 6,1208% n
Taxa de juros trimestral:
i (1 i ) 1 (1, 02) 1 6,1208 a.t.
Valor do pagamento trimestral:
$10.000 P R R $997, 75
1,061208 1
1,061208 0,061208
Valor par
a
= + − = − =
= × ⇒ = =⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ × ⎥⎣ ⎦
( )
( )
6
= =6 6,1208% 6
a pagamento à vista (no final do décimo mês) das últimas seis parcelas trimestrais:
1,061208 1
P R $997, 75 $997, 75 4,898716 $4.887, 68
1,061208 0,061208
a
⎡ ⎤−⎢ ⎥= × × = × =⎢ ⎥×⎣ ⎦
54. Uma pessoa pode comprar um carro à vista por $17.000 ou a crédito pagando 20 prestações
trimestrais postecipadas de $3.000 cada. Considerando-se que a pessoa pode aplicar seus recursos
ganhando uma taxa efetiva de 5% a.m., qual é a melhor alternativa?
Dados: P = $17.000, n = 20 meses, R = $3.000, i = ?, P = ?
20 10%
20 i% 20 i%
P = R
$17.000 $3.000 5,66667
a
a a
×
= × ⇒ =
O fator 20 i% 5, 66667a = pode ser aproximado por meio de uma interpolação linear, de modo a
estimar a incógnita i.
• Interpolação linear
Embora o fator 20 i%a seja uma função exponencial, podemos admitir que em intervalos pequenos seu
comportamento seja linear. Podemos começar calculando o fator 20 i%a para diversos valores de taxas
de juros e, a seguir, efetuar a interpolação linear :
Taxa de juros aproximada:
i% ( )
( )
20
20
1 i 1
1 i i
+ −
+ ×
( )5, 66667 5, 62777i 17% 17% 16% 16,87% a.t.5, 92884 5, 62777
⎡ − ⎤= − × − =⎢ ⎥−⎣ ⎦
16% 5,92884
17% 5,62777
• Aplicando a fórmula de Baily-Lenzi
( )
( ) a.t. %87,1611029944,019212
11029944,0191211029944,0
h1-n2-12
h1-n12h=i
11029944,01
20.000
000.3201
efetivo ntoFinanciame
Rn =h
1+20
2
1+n
2
≈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
××−
×−×=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
=−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×=−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
Taxa efetiva ao mês:
68
( )1/3m m(1 i ) 1,1687 i =5,33% a.m.
pelo fato desta taxa efetiva ser superior à taxa ganha nas aplicações financeiras (5% a.m.), então
será melhor compra à vista.
+ = ⇒
⇒
55. Com o objetivo de retirar $778,26 a cada 30 dias, foram aplicados $10.000 em um investimento
que rende uma taxa efetiva de 2% a.m.. Considerando-se o primeiro saque ocorrerá daqui a um mês,
quantos saques poderão ser feitos?
Dados: P = $10.000, i = 2% a.m., R = $778,26, n = ?
( )
( )
n
n n 5% n
O valor da aplicação inicial deverá ser igual ao valor presente das retiradas mensais:
1,02 1
P R $10.000 $778,26 (1,02) 1, 345865
1,02 0,02
Aplicand
a
⎡ ⎤−⎢ ⎥= × ⇒ = × ⇒ =⎢ ⎥×⎣ ⎦
log (1, 345865) o logaritmos: n 15 saques mensais
log (1,02)
= =
56. Um equipamento cujo valor à vista é $8.000 é comprado em 02 de maio, pagando-se uma entrada
de $4.000 e prestações de $923,90 a cada 30 dias. Quantas prestações serão necessárias para liquidar
totalmente o financiamento? Em que data será paga a última? Considere que o banco financiador
cobra uma taxa de juros efetiva de 5% a.m. Utilize a tábua do Capítulo 1.
Dados: P = $8.000, i =5% a.m., E = $4.000, R = $923,90, n = ?, data = ?
( )
( )
n
n 5% n
O valor à vista deverá ser igual ao valor da entrada mais o valor presente das n parcelas mensais:
1,05 1
P E + R $8.000 $4.000 + $923,90
1,05 0,05
a
⎡ ⎤−⎢ ⎥= × ⇒ = × ⎢ ⎥×⎣ ⎦
n (1,05) 1,276281
log (1,276281) Aplicando logaritmos: n 5 prestações pagas a cada 30 dias
log (1,05)
⇒ =
= =
Para determinar a data de vencimento da última prestação, podemos usar a tábua para contagem de
dias entre duas datas do ano civil (Seção 12 do Capítulo 1):
Tábua para contagem de dias entre duas datas
JAN. FEV. MAR ABR
.
MAI. JUN. JUL. AGO SET. OUT. NOV DEZ.
1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335
2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338
5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340
7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342
9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343
10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345
12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346
13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348
15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349
16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350
17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351
18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352
19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353
20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354
21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355
22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356
23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357
24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358
25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359
26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360
27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361
28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362
29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363
30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364
69
31 90 151 212 243 304 365
Como as parcelas são pagas a cada 30 dias, a quinta será paga no 150º dia. O procedimento consiste
em subtrair, do número de dias correspondente à data posterior, o número que corresponde à data
anterior:
número de dias da data posterior (?) = +n
número de dias da data anterior (02 de maio) = −122
prazo: 150 dias
Logo: n – 122 = 150 → n = 272, que na tábua corresponde ao dia 29 de setembro.
57. Um empréstimo contratado à taxa efetiva de 4% am. foi liquidado em 12 prestações mensais
postecipadas. de $500 cada. Quanto foi pago de juros no período?
Dados: i = 4% a.m., , n = 12, R = $500, juros pagos = ?
( )
( )12
valor total pago pelo empréstimo valor do empréstimo juros pagos
1, 04 1
12 $500 $500 J
1, 04 0,04
−
×
×
= +
⎡ ⎤⎢ ⎥× = +⎢ ⎥⎣ ⎦
12
12 $500 $500 9, 385074 J J= $1.307,46 ×× = + ⇒
58. Um empréstimo contratado a juros efetivos de 3% am. foi liquidado em 20 prestações mensais
postecipadas. Considerando-se que os juros pagos no período totalizaram $1.024,51, determinar o
valor das prestações.
Dados: i = 3% a.m., , juros pagos = $1.024,51, n = 20, R = ?
( )
( )20
valor total pago pelo empréstimo valor do empréstimo juros pagos
1, 03 1
20 R R $1.024,51
1, 03 0,03
−
×
×
= +
⎡ ⎤⎢ ⎥× = +⎢ ⎥⎣ ⎦
20
20 R R 14,877475 $1.024,51
20 R - R 14,877475 $1.024,51
5,122525 R $1.024,51
×
×
× = +
× =
× = ⇒ $1.024,51R $200
5,122525
= =
59. Um bem pode ser financiado a juros efetivos de 2% a.m. e pago por meio de uma entrada de 20%
mais doze parcelas mensais de $55,2969 cada, a primeira para 30 dias. Calcular o valor à vista.
Dados: R = $55,2969, i = 2% a.m., n = 12, P = ?
12 2%
O valor à vista deverá ser igual ao valor da entrada mais o valor presente das 12 parcelas mensais:
P 0, 20×P $55,2969
0,8 P $5
a= + ×
= ( )( )
12
12
1,02 1
5,2969
1,02 0,023
$55,2969 10, 575341 0,8 P $55,2969 10, 575341 P= =$730,98
0,8
⎡ ⎤−⎢ ⎥× ⎢ ⎥×⎣ ⎦
×= × ⇒
60. Desejando dispor de $10.000 dentro de doze meses, uma pessoa começou hoje a aplicar
mensalmente uma determinada quantia constante a juros efetivos de 2% a.m.. Qual o valor de cada
aplicação de modo que ela consiga acumular o capital na data do último depósito?
Dados: S = $10.000, i = 2% a.m., n = 12, R = ?
70
( )12
n i%
Para obter um capital de $10.000 na data da última aplicação, o depósito mensal será:
1,02 1 $10.000 S R $10.000 R R $745,60
0,02 13,412090
S
⎡ ⎤−⎢ ⎥= × ⇒ = × ⇒ = =⎢ ⎥⎣ ⎦
61. Quantos depósitos trimestrais de $300 são necessários para se acumular um montante de $3.000 a
uma taxa efetiva de 3% a.t.?
Dados: S = $3.000, i = 3% a.t., R = $300, n = ?
( )n n n i% 1,03 1 S R $3.000 $300
(1,03) 1, 30,03
log (1, 3) Aplicando logaritmos: n 8,88 depósitos trimestrais
log (1,03)
Devem ser efetuados 8 depósitos trimestrais
S
⎡ ⎤−⎢ ⎥= × ⇒ = × ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦
= =
o
o
de $300 mais um último de $252,27 no 9 trimestre.
O capital acumulado no 9 trimestre pelos 8 depósitos trimestrais mais o último depósito residual deve ser igual a $3.000:
( )81,03 1
$3.000 $300 (1,03) q
0,03
$3.000 $300 8,892336 1, 03 q q $252,27
⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟= × × +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
= × × + ⇒ =
62. A juros efetivos de 1% a.m., quantos depósitos mensais de $150 cada serão necessários para
acumular um capital de $2.000 até a data do último depósito?
Dados: S = $2.000, i = 1% a.m., R = $150, n = ?
( )n n n i% 1,01 1 S R $2.000 $150 (1,01) 1,1333330,01
log (1,133333)
Aplicando logaritmos: n 12, 58 depósitos mensais
log (1,01)
Devem ser efetuados 12 depósitos mens
S
⎡ ⎤−⎢ ⎥= × ⇒ = × ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦
= =
o
o
ais de $150 mais um último de $78,60 no 13 mês.
O capital acumulado no 13 mês pelos 12 depósitos mensais mais o último depósito residual deve ser igual a $2.000:
$2.000 = ( )
121,01 1
$150 (1,01) q
0,01
$2.000 $150 12, 682503 1, 01 q q $78,60
⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟× × +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
= × × + ⇒ =
63. Para poder sacar $500/mês, uma pessoa aplicou hoje $12.000 à taxa efetiva de 3% a.m.. Quantos
saques mensais poderão ser efetuados se o primeiro ocorrer um mês depois da aplicação inicial?
Dados: P = $12.000, i = 3% a.m., R = $500, n = ?
71
( )
( )
n
n n 5% n
1,03 1
P R $12.000 $500 (1,03) 3, 571420
1,03 0,03
log(3, 571420) Aplicando logaritmos: n 43, 0655536
log(1,03)
Podem ser efetuados 43 saques mensais de $5
a
⎡ ⎤−⎢ ⎥= × ⇒ = × ⇒ =⎢ ⎥×⎣ ⎦
= =
( )
( )
o
43
43 44
00 e um último de $33,22 no 44 mês:
1,03 1 q
$12.000 $500
(1,03)1,03 0,03
q $12.000 $500 23, 981902 q $33,22
3, 671452
⎡ ⎤−⎢ ⎥= × +⎢ ⎥×⎣ ⎦
= × + ⇒ =
64. Uma pessoa deve pagar 22 parcelas trimestrais postecipadas de $350 cada. Considerando-se que
no vencimento da 15a parcela ela decide liquidar a dívida, qual o valor a ser pago, sabendo-se que a
taxa efetiva aplicada foi de 9% a.t.?
Dados: i = 9% a.t., n = 22, R = $350, saldo a pagar na data da 15a parcela = ?
( )
( )
a
7
7 9% 7
Na data da 15 parcela deve pagar a própria parcela desse mês, mais o valor descontado das restantes sete
parcelas:
1,09 1
Valor a pagar = R + R $350 $350
1,09 0,09
a
⎡ ⎤−⎢ ⎥× = + × ⎢ ×⎣ ⎦
$2.111,53=⎥
65. À taxa efetiva é de 2% a.m., substituir quatro prestações mensais postecipadas de $500 por nove
prestações equivalentes antecipadas.
Dados: i = 2% a.m., n = 4, R = ?
a) valor presente das prestações postecipadas:
( )
( )
4
n i% 4
1,02 1
P=R $500 $1.903,86
1,02 0,02
a
⎡ ⎤−⎢ ⎥× = × =⎢ ⎥×⎣ ⎦
b) prestação antecipada:
Como a primeira prestação é paga no ato, temos:
( ) ( )
n-1 i%
9-1 2%
8 2%
P R + R
$1.903,86 $1.903,86$1.903,86 R + R R =$228,68
1 7,355481
a
a
a
×
× ⇒
=
= = = ++
66. Um financiamento contratado à taxa efetiva de 10% a.m. foi quitado em cinco prestações mensais
postecipadas. Considerando-se que os juros pagos no período totalizaram $3.189,87, calcular o valor
das prestações mensais..
Dados: i = 10% a.m., juros pagos = $3.189,87, n = 5, R = ?
72
( )
( )
5
5
valor total pago pelo empréstimo valor do empréstimo juros pagos
1,10 1
5 R R $3.189,87
1,10 0,10
×
×
= +
⎡ ⎤−⎢ ⎥× = +⎢ ⎥⎣ ⎦
5 R R 3,79079 $3.189,87
5 R R 3,79079 $3.189,87
1,20921R $3.189,87
×
×
× = +
× − =
=
$3.189,87 R $2.637,97
1,20921
= =
67. Um financiamento a juros efetivos de 2% a.m. foi quitado em um determinado número de
prestações mensais postecipadas de $4.243,17 cada. Considerando-se que os juros pagos no período
totalizaram $1.215,84, determinar o número de prestações contratadas.
Dados: i = 2% a.m., R = $4.243,17, juros pagos = $1.215,84, n = ?
valor total pago pelo empréstimo valor do empréstimo juros pagos
n R P $1.215,84
= +
× = +
( )
( )
( ) ( )
n
n n
n1,02 1
n $4.243,17 $4.243,17 $1.215,84
1,02 0,02
50,28654 1,02 n 1,02 =50
P
−
×
×
⎡ ⎤−⎢ ⎥× = +⎢ ⎥⎣ ⎦
⇒ × ×
or aproximações: n 5 prestações⇒ ≈
68. Uma pessoa aplicou mensalmente $1.000 durante 36 meses em um fundo de renda fixa. Sabendo-
se que na data da última aplicação o extrato do fundo mostrou que foram obtidos ao todo $15.994,37
de juros, calcular a taxa efetiva mensal ganha.
Dados: n = 36, R = $1.000, juros ganhos = $15.994,37, i = ?
36 i% 36 i%
juros ganhos = montante acumulado - aplicação total
$15.994,37=$1.000 - $1.000 36 51,99437s s× × ⇒ =
• Interpolação linear para aproximar a taxa de juros:
S18 i%
S36 2,,5% = 57,30141
S36 i%= 51,99437
S36 1,5% =47,27597
1,5% i% 2,5% taxa de juros
%
Observando o digrama anterior, podemos estabelecer a seguinte proporcionalidade de triângulos e, a
seguir, destacar a taxa i:
57,30141 47,27597 51,99437 47,27597 i 2% a.m.
2,5 1,5 i 1,5
− −= ⇒− − ≈
Pelo método de Baily-Lenzi:
Montante = $15.994,37 + $36.000 = $51.994,37
73
( )
( )
( )
( ) a.m. 2%021228850,01+362+12
021228850,01+3612021228850,0
h1+n2+12
h1+n12h=i
021228850,01
1.000 36
51.994,371
R n
Sh
1-36
2
1-n
2
≈⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
××
×+×=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
××
×+×
=−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
×=−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
×=
CAPÍTULO 6
Exercícios Propostos
1. Qual a quantia a ser aplicada hoje num investimento que rende juros efetivos de 10% a.m., de modo
que possamos efetuar futuramente oito saques mensais? O primeiro saque, de $36.000, será feito daqui
a dois meses, formando com os outros sete saques uma série em progressão aritmética crescente.
( )
( )
o
n
n
Dados: G $36.000; n (mês do último saque) 9 mês; i 10% a.m.; P ?
Valor presente de uma série em progressão aritmética crescente postecipada:
1 i 1G P -n
ii 1 i
= = =
⎡ ⎤+ −⎢ ⎥= ⎢ ⎥+ ⎣ ⎦ ( )
=
[ ]
n i%n
9 10%9
G s n
i 1 i
$36.000 s 9 $152.675,14 13,57948 9 $699.172, 29
0,10 (1,10)
⎡ ⎤= −⎣ ⎦+
⎡ ⎤= × − = × − =⎣ ⎦×
2. Uma pessoa deve pagar 13 prestações mensais. A primeira prestação, de $8.310, deve ser paga em
dois meses, formando com as restantes uma progressão aritmética crescente. A pessoa propõe pagar a
dívida por meio de cinco prestações mensais iguais, a primeira iniciando em um mês. Considerando-se
juros efetivos de 5% a.m., calcular o valor dessas prestações.
( )
( )
o
n
n
Dados: G $8.310; n (mês da última prestação) 14 mês; i 5% a.m. R ?
Valor presente de uma série em progressão aritmética crescente postecipada:
1 i 1G G
P -n
ii 1 i i 1
= = =
⎡ ⎤+ −⎢ ⎥= =⎢ ⎥+ ⎣ ⎦ ( )
=
[ ]
n i%n
14 5%14
s n
i
$8.310 s 14 $83.942,29 19,598638 14 $469.962,01
0,05 (1,05)
⎡ ⎤−⎣ ⎦+
⎡ ⎤= × − = × − =⎣ ⎦×
( )
( )
5
5 5%
5
Valor da prestação uniforme equivalente paga daqui a um mês:
P $469.962,01 $469.962,01 R $108.549,38
4,329481,05 1
1,05 0,05
a
= = = =⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦
3. Uma pequena empresa projeta, para os próximos 24 meses, desembolsos mensais com a sua folha de
pagamento. O primeiro desembolso, de $480, deve ocorrer em um mês, e os restantes de forma
consecutiva, formando uma progressão aritmética decrescente em que cada desembolso decresce em
$20 com relação ao do mês anterior. O Gerente da empresa pretende aplicar hoje uma determinada
74
quantia em um investimento que rende juros efetivos de 5% a.m., de modo que possa efetuar nos
próximos 24 meses saques mensais que permitam pagar a folha. Qual o valor o dessa aplicação?
( )
( )
o
n
n
n
Dados: G $20; n (mês da última prestação) 24 mês; i 5% a.m. P ?
Valor presente de uma série em progressão aritmética decrescente:
1 i 1G G P n (1 i) -
ii 1 i i 1
= = = =
⎡ ⎤+ −⎢ ⎥= × + =⎢ ⎥+ ⎣ ⎦ ( )
[ ]
n
n i%n
24
24 5%24
n (1 i) -s
i
$20 24 (1,05) -s 124,03 77,40 44,502 $4.080,54
0,05 (1,05)
⎡ ⎤× +⎣ ⎦+
⎡ ⎤= × × = × − =⎣ ⎦×
4. Os dividendos pagos por uma ação devem dobrar todo ano, segundo uma progressão geométrica.
Considerando que os dividendos são pagos ao término de cada ano, sendo o primeiro igual a $10,
calcular o valor presente dos dividendos dos próximos 24 anos a um custo do capital de 1% a.a..
Utilizando a fórmula da soma das progressões geométricas, obtém-se uma expressão para o
valor presente da série:
( )
( )
( )
( )n 24n 24
n 24
Dados: A $10; n 24 anos; i 1% a.a., c 1, h 2, P ?
Valor presente de uma progressão geométrica crescente
h 1 i 2 (1,01)A $10 P
h 1 i 2 (1,01)(1,01)1 i
= = = = = =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎢ ⎥ ⎢= = ×− + −⎢ ⎥ ⎢+ ⎣ ⎦ ⎣
$133.466.323,58⎥ =⎥⎦
5. Um capital foi financiado a juros efetivos de 5% a.m. para ser pago em vinte prestações mensais. A
primeira prestação de $12.000 vence um mês depois de contratado o financiamento, e as outras são
gradativamente crescentes, formando uma progressão aritmética. Calcular o valor do financiamento.
( ) ( )
o
n i% n
Dados: G $12.000; n (mês do último saque) 20 mês; i 5% a.m. ;P ?
Valor presente de uma série em progressão aritmética crescente antecipada:
G n P 1 i
i 1 i
$12.000
0,05
a
= =
⎡ ⎤⎢ ⎥= + × −⎢ ⎥+⎣ ⎦
=
= =
[ ]
20 5% 20
20(1,05)
(1,05)
$240.000 (1,05) 12,46221 7,53779 $1.331.407, 49
a
⎡ ⎤× × −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
= × × − =
6. Um financiamento de $548,66 será pago em oito parcelas mensais. A primeira, de $20, vence um
mês depois de ter sido contratado o financiamento, e as outras são gradativamente crescentes,
formando uma progressão aritmética. Calcular a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento.
75
( ) ( )n i% n
8
Dados: G $20; n 8; P $548,66
Valor presente de uma série em progressão aritmética crescente antecipada:
G n P 1 i
i 1 i
$20 (1 i) 1 $548,66 (1 i)
i
a
= = =
⎡ ⎤⎢ ⎥= + × −⎢ ⎥+⎣ ⎦
+ −= × + × 8 8
8
8 8
FATOR A SER INTERPOLAD O
8
(1 i) i (1 i)
(1 i) (1 i) 1 827, 4330 i 5% a.m.
i (1 i) i (1 i) i
⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+ × +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞+ + −= × − ⇒ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+ × + ×⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦144444424444443
Seguindo o procedimento de interpolação mostrado no exercício resolvido 6.5, encontra-se o valor
para i.
7. Um financiamento será pago em oito parcelas mensais. A primeira, de $20, vence um mês depois de
contratado o financiamento, e as outras são gradativamente crescentes, formando uma progressão
aritmética. Considerando que seja proposto um esquema alternativo de pagamento em que o mutuário
se obriga a pagar dez prestações mensais iguais, calcular o valor dessas prestações a juros efetivos de
5% a.m..
.
( ) ( )n i% n
8 5% 8
$20 8 (1,05) $40
0,05 (1,05)
a
⎡ ⎤
Dados: G $20; n 8; i 5% a.m. ;R ?
Valor presente de uma série em progressão aritmética crescente antecipada:
G n P 1 i
i 1 i
a
= = = =
⎡ ⎤⎢ ⎥= + × −⎢ ⎥+⎣ ⎦
= × × − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[
]0 (1,05) 6,46321 5, 41471 $548,66× × − =
Valor da prestação uniforme equivalente:
( )
( )
10
10 5%
10
P R $71,05
7,7217381,05 1
1,05 0,05
a
= = = =⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥×⎣ ⎦
8. A juros efetivos de 9% a.m., calcular o valor presente de uma perpetuidade postecipada de $10.000
que cresce a uma taxa constante de 7% a.m..
$548,66 $548,66
76
Dados: Se a perpetuidade postecipada cresce a uma taxa constante c, seu valor presente é dado por:
RP =
i
c− para i>c; onde: i = taxa de juros efetiva; c = taxa de crescimento
R $10.000P $500.000
i 0,09 0,07
c
= = =− −
9. Calcular o valor presente de quatro mensalidades postecipadas que decrescem a uma taxa constante
de 3% a.m., considerando-se que a primeira é igual a $13.000 e a taxa de juros efetiva é de 5% a.m..
Utilizando a fórmula da soma das progressões geométricas, obtém-se uma expressão para o
valor presente da série:
( )
( )
( )
nn⎡ ⎤
n 4
03, h 0,97 (1 ); P ?
Valor presente de uma progressão geométrica crescente
h 1 iA $13.000 P
h 1 i (1,05)1 i
c= − =
− += = ×⎢ ⎥− ++ ⎢ ⎥⎣ ⎦
Dados: A $13.000; n 4 ; i 5% a.m.; 0,c= = = =
4 40,97 (1,05) $44.145,96
0,97 (1,05)
⎡ ⎤− =⎢ ⎥−⎣ ⎦
10. Uma ação promete pagar a partir do próximo ano, em perpetuidade, um dividendo de $2,00/ano.
Considerando-se que o crescimento projetado dos dividendos é 5% a.a. e que o custo de oportunidade
o capital é de 12% a.a., determinar o preço unitário da ação.
d
Se a perpetuidade postecipada cresce a uma taxa constante c, seu valor presente é dado por:
RP =
i c− para i>c, onde: i = taxa de juros efetiva, c = taxa de crescimento
R $2P $28,57= = =
i 0,12 0,05
c− −
11. Uma dívida de $2.000 será paga em quatro prestações trimestrais, a primeira com vencimento em
um mês. Considerando-se juros efetivos de 3% a.m., calcular o valor das quatro prestações, sabendo
que formam uma progressão aritmética crescente com razão igual ao valor da primeira prestação.
77
( ) ( )n i% n
Dados: n 8; P $2.000, i 3% a.m.;G ?
Valor presente de uma série em progressão aritmética crescente antecipada:
G n P 1 i
i 1 i
G $2.000 (1,03)
0,03
= × ×
a
= = = =
⎡ ⎤⎢ ⎥= + × −⎢ ⎥+⎣ ⎦
4
da); $655,35(terceira); $873,80(quarta)
⎡ ⎤⎛ ⎞
4 4
(1,03) 1 4
(1,03) 0,3 (1,03)
G $218,45(primeira prestação) $436,90(segun
− −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟×⎢ ⎥⎝ ⎠
12. Calcular o primeiro termo de uma série de vinte anuidades crescentes geometricamente cujo valor
presente é $5.000, a razão de crescimento é 1,04 e as anuidades são capitalizadas a juros efetivos de
5% a.a..
⎣ ⎦
⇒ =
( )
( )
( )
nn
n
Dados: n 20 ; i 5% a.m.; h 1,04; P $5.000;A ?
Valor presente de uma progressão geométrica crescente:
h 1 iA P
h 1 i1 i
A $5.000
(
= = = = =
⎡ ⎤− +⎢ ⎥= − +⎢ ⎥+ ⎣ ⎦
= ( )20 2020 1,04 (1,05) A $287,051,04 (1,05)1,05)
⎡ ⎤−⎢ ⎥× ⇒ =−⎢ ⎥⎣ ⎦
13. Calcular o valor presente de um empréstimo que será amortizado em 24 parcelas trimestrais
postecipadas a
juros efetivos de 3% a.t.. A primeira parcela é igual a $500 e irá crescendo à taxa de
5% em relação à anterior.
Dados: n 24 ; i 3% a.t.; h 1,05; A $500; P ?= = = = =
( )
( )
( )
( )n 24n
n 24
Valor presente de uma progressão geométrica crescente:
h 1 i 1,05 (1,03A $500 P
h 1 i (1,03)1 i
⎡ ⎤− + −⎢ ⎥= = ×− +⎢ ⎥+ ⎣ ⎦
24)
$14.663,39
1,05 (1,03)
⎡ ⎤⎢ ⎥ =−⎢ ⎥⎣ ⎦
14. Um empréstimo de $5.000 será pago em oito parcelas mensais postecipadas (a primeira para daqui
a dois meses) em progressão aritmética crescente. Considerando-se que a taxa de juros efetiva é de
6%, calcular o valor do gradiente da série de parcelas.
( )
( )
o
Dados: n (mês da última parcela) 9 mês; i 6% a.m. P 5.000;G ?; = = = =
n
n
Valor presente de uma série em progressão aritmética crescente postecipada:
1 i 1G P -n
ii 1 i
⎡ ⎤+ −⎢ ⎥= ⎢+ ⎣ ⎦ ( )
[ ]
n i%n
9 6%9
9
G s n
i 1 i
G $5.000 s 9
0,06 (1,06)
G 5.000 11,49132 9 G $203, 44
0,06 (1,06)
⎡ ⎤= −⎣ ⎦⎥ +
⎡ ⎤= × −⎣ ⎦×
= × − ⇒ =×
78
15. Um empréstimo de $6.630,14 será pago em um determinado número de parcelas mensais que terão
um crescimento geométrico de 9% ao mês. Considerando-se juros efetivos de 6% a.m., determinar o
número de parcelas, sabendo-se que o valor da primeira é de $500.
( )
( )
( )
nn
n
Dados: P $6.630,14; i 6% a.m.; h 1,09; A $500; n ?
Valor presente de uma progressão geométrica crescente:
h 1 iA P
h 1 i1 i
= = = = =
⎡ ⎤− +⎢ ⎥= − +⎢ ⎥+ ⎣ ⎦
( )n n
n
1,09 (1,06)$500 $6.630,14 n 12
1,09 (1,06)(1,06)
⎡ ⎤−⎢ ⎥= ×
16. Um empréstimo de $5.000 será pago em dez parcelas mensais postecipadas que terão um
crescimento geométrico de 2% em cada uma. Considerando-se juros efetivos de 4% a.m., calcular o
valor da primeira parcela.
⇒ =−⎢ ⎥⎣ ⎦
( )
( )
( )
nn
n
Dados: P $5.000; i 4% a.m.; h 1,02; n 10 ; A ?
Valor presente de uma progressão geométrica crescente:
h 1 iA P
h 1 i1 i
= = = = =
⎡ ⎤− +⎢ ⎥= − +⎢ ⎥+ ⎣ ⎦
( )10 10
10
1,02 (1,04)A $5.000 A $566,60
1,02 (1,04)(1,04)
⎡ ⎤−⎢ ⎥= × ⇒ =−⎢ ⎥⎣ ⎦
17. Um financiamento será pago em oito parcelas trimestrais postecipadas que crescerão à taxa de 2%
a.t. Se a primeira parcela é de $1.500, a juros efetivos de 4% a.t.., determ
inar o valor do
ento. financiam
Dados: i 4% a.t.; h 1,= =
( )
( )
( )
( )n 8n
n 8
02; n 8 ; A $1.500; P ?
Valor presente de uma progressão geométrica crescente:
h 1 i 1,02 (1,04A $1.500 P
h 1 i (1,04)
= = =
⎡ ⎤− + −⎢ ⎥= = ×− +⎢ ⎥+1 i ⎣ ⎦
8)
$10.791
1,02 (1,04)
⎡ ⎤⎢ ⎥ =−⎢ ⎥⎣ ⎦
Um financiamento de $5.000 será pago em dez parcelas mensais postecipadas que crescerão
18.
geometricamente a uma determinada taxa. Considerando-se que o valor da primeira parcela é de
$571,50 e a taxa de juros efetiva é de 5% a.m.., calcular a taxa de crescimento das parcelas.
79
( )
( )
( )
nn
Valor presente de uma progressão geométrica crescente:
h 1 iA
⎡ − +
n
dos: i 5% a.m.; n 10 ; A $571,50; P $5.000, h ?
P
h 1 i1 i
= = = = =
⎢= − +⎢+ ⎣
Da
( )10 10
10
h (1,05)$571,50$5.000 h 1,03
h (1,05)(1,05)
logo: h 1 1,03 0,03 3% a.m. (aproximadamente)c c c
⎥⎥⎦
⎡ ⎤−⎢ ⎥= × ⇒ =−⎢ ⎥⎣ ⎦
+ = + = ⇒ = =
19. Um canal de irrigação tem um custo de construção de $40.000. Para mantê-lo em condições
a reforma integral ao custo de $8.000 a cada cinco anos,
lar seu custo capitalizado a uma taxa efetiva de 8% a.a..
Dados:
) Capital a ser aplicado hoje:
⎤
operacionais, deve ser efetuada um
indefinidamente. Calcu
a
65,045.17$
1(1,08)
$8.000
1i)(1
SP
5k
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+=
b) Custo capitalizado do canal de irrigação:
65,045.57$65,045.17$000.40$PCF =+=+=
20. Uma ponte tem um custo de construção de $30.000 e sua vida útil é de dez anos. Depois desse
tempo, deve ser reformada a cada dez anos, indefinidamente, a um custo de $15.000. Calcular seu
ados:
) Capital a ser aplicado hoje:
custo capitalizado a uma taxa efetiva de 1% ao mês.
D
a
1(1,01)1i)(1 120k −⎦⎢⎣ −+
64,20P
⎡= 5.6$$15.000 S ==⎥⎤
b) Custo capitalizado do canal de irrigação:
F 64,520.36$64,520.6$$000.0$3PC =+=+=
1. A prefeitura de uma cidade recebeu duas propostas para construir uma passarela para pedestres. A
de $4.000 a
s, indefinidamente. A segunda propõe construí-la de aço ao custo de $20.000, com um
Considerando-se um custo do capital de 6% a.a.,
selecionar a melhor proposta.
ados:
er aplicado hoje:
2
primeira propõe construí-la de madeira ao custo de $10.000, com um custo de manutenção
cada três ano
custo de manutenção de $6.000 a cada seis anos.
D
Passarela de madeira:
a) Capital a s
80
65,940.20$
1(1,06)
1i)(1
P
3k
=−=⎥⎦⎢⎣ −+
=
$4.000S ⎤⎡
b) Custo capitalizado:
65,940.30$65,940.20$000.10$PCF =+=+=
Passarela de aço:
a) Capital a ser aplicado hoje:
26,336.14$
1(1,06)
1i)(1
P
6k
=−=⎥⎢ −+=
) Custo capitalizado:
$6.000S ⎤⎡
⎦⎣
b
26,336.34$26,336.14$000.0$2PCF =+=+=
Deve ser selecionada a passarela de madeira, pois tem o menor custo capitalizado.
CAPÍTULO 7
Exercícios Propostos
equivalente:
δ = ln (1 + i) = ln (1,15) = 13,9762% a.a.
2. Calcular a taxa efetiva ao ano equivalente à taxa instantânea de 13,9762% a.a..
inal:
ia = (1 + j/k)k – 1 = (1+0,60/4)4–1 = 74,90% a.a.
Taxa contínua equivalente:
δ = ln (1 + ia) = ln (1,7490) = 0,55904777 = 55,91% a.a.
. Calcular a taxa nominal ao ano capitalizada mensalmente equivalente à taxa instantânea de 24%
a.a..
Resolução:
Taxa efetiva anual equivalente à taxa instantânea de 24% a.a.:
Taxa nominal equivalente à taxa efetiva anual de 27,13% a.a.:
(1 + ia) = (1 + j/k)k
(1,2713) = (1 + j/12)12 → j = [(1,2713)1/12–1] × 12 = 0,242416 = 24,24% a.a.
5. Calcular a taxa efetiva semestral equivalente a uma taxa instantânea de 20% a.a.
1. Determinar a taxa contínua (instantânea) ao ano equivalente à taxa efetiva de 15% a.a..
Resolução:
Taxa contínua
Resolução:
Taxa efetiva anual equivalente à taxa instantânea:
a.a. 15% 1-e1ei 0,139762δa ==−=
3. Qual a taxa instantânea anual equivalente a uma taxa nominal de 60% ao ano capitalizada
trimestralmente?
Resolução:
Taxa efetiva anual equivalente à taxa nom
4
a.a. 27,13% 1-e1ei 0,24δa ==−=
81
Resolução:
Taxa efetiva anual equivalente à taxa instantânea de 20% a.a.:
Taxa efetiva semestral equivalente à taxa efetiva anual de 22,14% a.a.:
(1 + ia) = (1 + is)2 → is = (1,2214)1/2–1 = 10,5171% a.s.
6. Determinar a taxa efetiva para o período de 41 dias equivalente a uma taxa instantânea de 30% a.a..
Resolução:
Taxa efetiva anual equivalente à taxa instantânea de 30% a.a.:
Taxa efetiva para 41 dias equivalente à taxa efetiva anual de 34,9859% a.a.:
i41d = (1,349859)41/360–1 = 3,4757% em 41 dias
. Calcular o montante de uma aplicação de $1.000 por 15 meses à taxa instantânea de 4% a.m..
esolução:
ital que resulta num montante de $1.000 quando aplicado por 18 meses à taxa instantânea
Resolução:
a.a. %14,22 1-e1ei 0,20δs ==−=
a.a. %9859,34 1-e1ei 0,30δs ==−=
7
R
12,822.1$ e000.1$ePS 5104,0mδ =×=×= ××
8. Qual o cap
de 6% a.m.?
39,603$ e000.1$
e
$1.000
e
SP ePS 5104,0
8106.0mδ
mδ =×==⇒×= ××××
9. Se um capital fosse aplicado por sete meses a uma determinada taxa instantânea, resultaria em um
montante 50% maior que o montante obtido a juros efetivos de 4% a.m.. Determinar a taxa
instantânea.
Resolução:
δ 7 7
7
montante a juros continuos 1,5 montante a juros efetivos:
P e 1,5 P (1,04)
cancelando P e aplicando logaritnos naturais:
ln[1,5δ 7 ln[(1,04) ] δ
×
= ×
× = × ×
×× = ⇒ =
7(1,04) ] ln[1,873898] 0,68 0,0971443 9,7144% a.m
7 7 7
10. Considerando-se juros efetivos de 10% a.a., calcular os valores uniformemente distribuídos
equivalentes aos seguintes valores discretos: $1.450; $235.980 e $45.789.000.
Resolução:
= = =
valor discret
- m
0
1-e P = Q
mδ
⎡ ⎤⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
o equivalente a uma quantía uniformemente distribuída:
δ ×
valor da quan
0
- m
-0,0
tia uniformemente distribuída:
P
Q onde: ln(1,10) 0,09531 m 1
1-e
m
$1.450 primeiro valor: Q
1-e
eδ δ
δ
×= = = =⎡ ⎤⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
=
9531 1
$1.450 $1.520, 20
0,953824
0,09531 1
$235.980
0,953824
× = =⎡ ⎤⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
segundo valor: Q $247.404, 26
0,953824
$45.789.000 terceiro valor: Q $48.005.736
= =
= = ,05
82
11. Considerando-se juros contínuos equivalentes à taxa efetiva de 15% a.a., calcular os valores
discretos equivalentes aos seguintes valores uniformemente distribuídos: $2.000; $324.000 e
$1.289.000
Resolução:
- m
0
valor discreto equivalente a um valor uniformemente distribuído:
1-e P = Q onde: ln(1,15) 0,139762 m 1
m
e
δ
δδ
×⎡ ⎤ = = =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
-0,139762 1
0
0
1-e primeiro valor: P $2.000 $2.000 0,933264 $1.866,53
0,139762 1
segundo valor: P $324.000 0,933264 $302.377,52
×⎡ ⎤= × = × =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
= ×× =
0 terceiro valor: P $1.289.000 0,933264 $1.202.977, 23= ×× =
12. Uma mina de ouro durante a sua vida útil de oito anos proporcionou receitas operacionais líquidas
de $500.000/mês. Considerando-se juros contínuos equivalentes à taxa efetiva de 42,5761% a.a.,
alcular o valor presente da receita total, tendo em conta a realização em regime de fluxo c
uniformemente distribuído.
Resolução:
A fórmula transforma os valores em regime de fluxo uniforme para valores discretos no início do ano
respectivo. Ou seja, em fluxos antecipadados discretos.
valor presente de uma série de 96 re
95
95
ceitas mensais antecipadas de $492.682,58 cada:
(1,03) 1 P $492.682,58 $492.682,58 $15.924.809,35
(1,03) 0,03
⎡ ⎤−= + × =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
13. Um equipamento tem vida útil de 15 anos e um custo de manutenção de $4.500/ano.
fluxo uniformemente distribuído, estimar o valor presente desse
usto a juros contínuos equivalentes à taxa efetiva de 10% a.a..
Resolução:
t a.a
i 1
valor da mensalid a antecipada, equivalente à receit da men
−
Considerando-se a realização em
c
1/1
ensal equivalente à
(1, 425761)
ade iscret
= 2m
taxa efetiva m axa efetiva de 42,5761%
0,0 .=
.:
3 3% a.m=
d a líqui
- m -0,0295588 ×1
sal ente distribuído:
1-e 1-e Q $500.000 $500.000 0,9 65 $492.682,
m 0,0295588 1
onde: ln(1,03 0,0295588 me
δ
δ
×⎡ ⎤ ⎡ ⎤= × = × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥× ×⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
= =
de fluxo uniform
853 58
δ ) 1=
⎥⎦
83
taxa contínua anual equivalente à taxa efetiva de 10% a.a.:
ln(1,10) 0,09531018
idade discreta antecipada, equivalente aos custos de manutenção de fluxo uni
δ = =
valor da anu formente
- m -0,09531018 1
distribuído:
1-e 1-e $4.500 $4.500 0,95382352 $4.292,21
δ × ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤= × = × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Q m 0,09531018 1
m 1 (porque cada anuidade corresponde a um ano)
A fórmula trans
δ × ×⎢ ⎥
ores discretos no início do ano
u seja, em fluxos antecipadados discretos.
valor presente de uma série de 15 anuidades discreta
⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=
forma os valores em regime de fluxo uniforme para val
respectivo. O
14
14
s antecipadas de $4.292,21 cada:
(1,15) 1 P $4.292, 21 $4.292, 21 $35.911,55
(1,15) 0,15
⎡ ⎤−= + × =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
rá os se cros líq
$5; $ Consi ivalente tiva de
a.a., calcular o valor presente dos lucros, ua realizaçã e de fl
uniforme.
Resolução:
0,09531018
valo as anuida cretas antecipadas, ucros líqu e fluxo
δ = =
14. roje eusUm p
$6; $5;
to em cada um dos s
3; $4 e $2 milhões.
seis anos de vida útil proporciona
derando-se juros contínuos equ
tendo em conta a s
guintes lu
s à taxa efe
uidos:
10%
uxo o em regim
taxa contínua anual equivalente à taxa efetiva de 10% a.a.:
ln(1,10)
r d des dis equivalentes aos l idos d
- m
un e
dist dos:
1-e Q
m
δ
δ
×⎡ ⎤⎢ ⎥×⎣ ⎦
iforment
ribuí
84
-0,09531018 1
-0,09531018 1
1-e $5 $5 0,95382352 $4,7691
0,09531018 1
1-e $6 $6 0,95382352 $5,7229
0,09531018 1
1- $5
×
×
⎡ ⎤× = × =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤× = × =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
×
-0,09531018 1
-0,09531018 1
-0,09531018 1
e $5 0,95382352 $4,7691
0,09531018 1
1-e $3 $3 0,95382352 $2,8615
0,09531018 1
1-e $4
0,095
×
×
×
⎡ ⎤ = × =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤× = × =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
×
-0,09531018 1
$4 0,95382352 $3,8153
31018 1
1-e $2 $2 0,95382352 $1,9077
0,09531018 1
m 1 (porque cada anuidade corr
×
⎡ ⎤ = × =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤× = × =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
=
esponde a um ano)
A fórmula transforma os valores em regime de fluxo uniforme para valores discretos no início do ano
respectivo. Ou seja, em fluxos antecipadados discretos.
valor presente da série de c inco a
2 3 4 5
nuidades discretas antecipadas:
$5,7229+ $4,7 $2,8 ,8153 P 691 $19,853472 milhões
(1,10) (1,10) (1 0) (1,10)
Logo: P = $19.853.47
= =
15. Nos próximos dez anos, a evol custos onais de um rada de ferro deverá
aumentar à razão de $2 m ando-se que no prim é
de $3 mi es a ju os ntes à ta de 12% a.a., calcular o valor presente
desses cu s em regi o unif
Resolução:
ua anual equiv e iva de 1
ln(1,12) 0,11332869
adas, equivalentes aos custos de fluxo uniformente d
δ = =
691 + 615 $3 + $1,9077 $4,7
1,10
+
,1
2
ução dos operaci a est
ilhões por ano. Consider
ros contínu
eiro ano o custo operacional
lhõ equivale xa efetiva
stos, supondo que sejam realizado me de flux orme.
taxa contín alent à taxa efet 0% a.a.:
valor das anuidades discretas antecip
- m -0,113328698 1
istribuído:
1-e 1-e AJUSTE 0,94541692
m 0,11332869 1
δ × ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣ ⎦
(milhões)
FATOR DE δ × ×⎢⎣
Ano Custo operacional
anual em fluxo
uniforme
(a)
Custo operacional anual
discreto equivalente
antecipado
0,94541692 (a)(b) ×=
Fator de
desconto:
(1,12)Ano-1
(c)
Valor presente
dos custos
discretos anuais
equivalentes
(d) = (b)/(c)
1 3 2,83625 1,00000 2,83625
2
5 4,72708 1,12000 4,22061
3 7 6,61792 1,25440 5,27576
4 9 8,50875 1,40493 6,05636
5 11 10,39959 1,57352 6,60913
85
6 13 12,29042 1,76234 6,97391
7 15 14,18125 1,97382 7,18466
8 17 16,07209 2,21068 7,27020
9 19 17,96292 2,47596 7,25492
10 21 19,85376 2,77308 7,15946
So ma: 60,841274
16. O custo anu tenção permanente recho a é de US$200.000.
Considerando-se ju os es à tax de 14 lcular o valor presente
desses c end s des consta izadas de fluxo uniforme.
Resolução:
ln 31
valor da uidade te uivalente s de m de fluxo uni
δ =
al de manu de um t de estrad
ros contínu equivalent a efetiva % a.a., ca
ustos, t o em conta a perpetuida ntes real em regime
taxa contínua anual equivalente à taxa efetiva de 10% a.a.:
(1,14) 0,1= 028262
an discreta an cipada, eq aos custo anutenção
-1-e m 8262 1
formente distribuído:
Q 0 0,9 $187.451,19
m 0 2 1
m 1 (porque cad co e a um ano
valor p
δ × ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤ × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=
-0,131021-e$200.000= × $200.00= 37255942
,13102826
a anuidade rrespond )
δ × ×
resente de u a discretas adas d indeterminada:
87. P 87.45 $1.526.3
0,
17. A receita operacional de um e nto será d 00/ano mento tem vida útil de
dez anos e custa US . C VPL, co -se ju uos equivalentes à taxa
efetiva d % a.a. e ali regime d iforme
Resolução:
ma série de nuidades antecip e duração
$1 451,19$$1= 1,19 +
14
= 88, 25
quipame e $120.0 . O equipa
$1 milhão alcular o nsiderando ros contín
e 20 receitas re zadas em e fluxo un .
50,91413582
1 182,0m ⎣⎦⎣ ×δ
ilhões)
321557
e-1e-1 AJUSTE DE
:odistribuíd euniforment fluxo de custos aos esequivalent s,antecipada discretas anuidades
10 de iva à eequivalent anual contínua taxa
1 182321557,0-m-
=⎥⎦
⎤⎢⎡ ×=⎥
⎤⎢⎡=
××δ
:a.a. %efet taxa
182321557,0)20,1ln( ==δ
dasvalor
FATOR
(m
Ano Custo operacional
anual em regime
de fluxo uniforme
(a)
Custo operacional discreto anual
equivalente antecipado
50,91413 (a)(b) 582×=
Fator de
desconto:
(1,20)Ano-1
(c)
Valor presente
dos custos
discretos
equivalentes
(d) = (b)/(c)
1 120.000 109.696,30 1,00000 109.696,30
2 120.000 109.696,30 1,20000 91.413,58
3 120.000 109.696,30 1,44000 76.177,99
4 120.000 109.696,30 1,72800 63.481,65
5 120.000 109.696,30 2,07360 52.901,38
6 120.000 109. ,48832 44.084,48 696,30 2
7 1 109.696,30 2,98598 36.737,07 20.000
8 12 109.696, ,58318 30.614,22 0.000 30 3
9 12 109.696, ,29982 25.511,85 0.000 30 4
10 120. 696, 15978 21.259,88 000 109. 30 5,
Soma: 551.878,41
86
VPL = -$1.000 551.878,4.000 + $ 1 = − $448.121
ngo de sua vida útil de 15 anos, um poço de gás natural rendeu lucros totais de $25 milhões.
equivalentes à taxa efetiva de 20% a.a., calcular o valor presente
realizados em regime de fluxo uniforme.
,59 < 0
18. Ao lo
Considerando-se juros contínuos
eremdesses lucros na hipótese de s
Resolução:
valor presente de uma quantía uniformemente distribuída (25 milhões)
- m -ln (1,20) 15
0
durante o prazo de 15 anos:
1-e 1-e P = Q $25.000.000
m ln(1,
δ
δ
× ×⎡ ⎤ = ×⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
20) 15
000 0,341921363 $8.548.034,08
⎡ ⎤⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
× =
a.a. e realização em regime de fluxo uniforme,
valiar economicamente o projeto, usando o valor presente líquido (VPL).
Resolu
nua an te à taxa ef iva de 20% a.a
,1823215575
valor da nuidad ant quivalen ndime l com fluxo uni
δ =
$25.000.=
19. Um projeto requer um investimento de $25 milhões a ser despendido em três anos. Ao longo de
sua vida útil de 25 anos, o projeto renderá $2,8 milhões/ano já a partir do primeiro ano. Considerando-
se uma taxa contínua equivalente à taxa efetiva de 20%
a
ção:
taxa contí ual equivalen et .:
ln(1,20) 0=
a e discreta ecipada, e te ao re nto anua
- m -0,18232155758
formente
distribuí :
e Q 00 $2.80 ,914135825 $2.559.580,31
m 2321557
m 1 ( e c de c de a um a
δ
δ
×
=× ×
=
×1 ⎤
do
1-⎡ 1-e⎡ ⎢ $2.800.=⎥ 0× ⎢ 0.000 0×0,18⎣ 5 1⎦
porqu ada anuida orrespon no)
⎤ =⎥⎣ ⎦
24 ⎤
14 0, 20× ⎥⎦
valor presente de 25 discretas das de 80,31 cada:
(1,2 P .559.5 .559 $15
(1,20)
valor pr
⎡= + × =⎢⎢⎣
uma série de anuidades antecipa $2.559.5
0) 1− ⎥$$2 80,31 $2 .580,31 .196.495,58
esen
- m 8232155758
te do i de $ es gasto os em ormente distribuído:
-e Q .0000 0
m 15575
δ
δ
× ×
⎥× ×⎥⎦
70244074 $19.256.101,86
3 (porque o investimento foi realizado em três anos em regime de fluxo uniforme)
=
=
15.196.495,58 $4.049.606, 28 0
= − +
= − <
-0,1 3
nvestimento 25 milhõ em três an fluxo unif
1⎡ ⎤⎢ 1-e⎡× ⎢$25.000= $25.00⎤ =⎥ .0000 0,7×0,18232⎢⎣ 3⎥⎦⎢⎣
m
Cálculo do VPL:
VPL valor presente do investimento valor presente dos rendimentos
$19.256.101,86 $= − +
CAPÍTULO 8
Exerc os P tosíci ropos
87
1. Uma in stria to stado 00 conco saldar o débito em oito pagamentos
anuais po cipado tivos .a. pela T e. Calcular: a) a prestação anual; b) o
saldo dev or logo pag ) a amort quarto
Tabela Price
dú mou empre $2.000.0 rdando em
ste s a juros efe de 36% a abela Pric
ed após o sexto amento; c ização do ano.
ano Saldo devedor Juros Amortização Prestação
0 2. 000.000,00
1 1. 67.932.731,52 720.000,00 268,48 787.268,48
2 1. 91. 787.841.246,39 695.783,35 485,13 268,48
3 1.716.826, 124. 787.62 662.848,70 419,78 268,48
4 1.547.615,72 618.057,58 169.210,89 787.268,48
5 1.317.488,91 557.141,66 230.126,82 787.268,48
6 1.004.516,44 474.296,01 312.972,47 787.268,48
7 578.873,88 361.625,92 425.642,56 787.268,48
8 0,00 208.394,60 578.873,88 787.268,48
Dados:
préstimo = $2.000.000
Respostas:
Valor do empréstimo = $2.000.000
Taxa efetiva (i) = 36% a.a.
Prazo = 8 anos
Valor do em
a) prestação anual = $787.268,48
b) saldo devedor após o ento = $1.004.516,44 sexto pagam
c) amorti ão do quar $169.21
2. Uma dívida de $1.500.000 contratad os nominais de 36% a.a., capitalizados trimestralmente,
será amortizada pela Tabela Price em oito anos por me agamento strais. Calcular: a) o
edor ao fim do terceiro ano; b) o saldo devedor ao término do 14o trimestre; c) a distribuição
da; d) o total de juros pagos no período.
zaç to ano = 0,89
a a jur
io de p s trime
saldo dev
do 20o pagamento em juros e amortização da dívi
trimestre Saldo devedor Juros Amortização Prestação
0 1.500.000,00
1 1.490.855,72 135.000,00 9.144,28 144.144,28
2 1.480.888,46 134.177,01 9.967,26 144.144,28
3 1.470.024,14 133.279,96 10.864,32 144.144,28
4 1.458.182,03 132.302,17 11.842,11 144.144,28
5 1.445.274,14 131.236,38 12.907,90 144.144,28
6 1.431.204,53 130.074,67 14.069,61 144.144,28
7 1.415.868,66 128.808,41 15.335,87 144.144,28
8 1.399.152,56 127.428,18 16.716,10 144.144,28
9 1.380.932,01 125.923,73 18.220,55 144.144,28
10 1.361.071,61 124.283,88 19.860,40 144.144,28
11 1.339.423,77 122.496,44 21.647,83 144.144,28
12 1.315.827,64 120.548,14 23.596,14 144.144,28
13 1.290.107,84 118.424,49 25.719,79 144.144,28
14 1.262.073,27 116.109, 144.71 28.034,57 144,28
15 1.231.515,59 113.586, 144.59 30.557,68 144,28
16 1. 110 33. 14198.207,71 .836,40 307,88 4.144,28
17 1. 107 36. 14161.902,12 .838,69
305,59 4.144,28
18 1. 104 39. 14122.329,04 .571,19 573,09 4.144,28
19 1. 101.0 4 14079.194,37 09,61 3.134,67 4.144,28
20 1.032.177,58 97.127,49 47. 144.016,79 144,28
21 980.929, 895, 51. 144.29 92. 98 248,30 144,28
88
22 925.068,64 88. 55.860,64 14283,64 4.144,28
23 864.180,54 83.256,18 60.888,10 144.144,28
24 797.812,51 77.776,25 66.368,03 144.144,28
25 725.471,36 71.803,13 72.341,15 144.144,28
26 646.619,50 65.292,42 78.851,86 144.144,28
27 560.670,98 58.195,76 85.948,52 144.144,28
28 466.987,09 50.460,39 93.683,89 144.144,28
29 364.871,65 42.028,84 102.115,44 144.144,28
30 253.565,81 32.838,45 111.305,83 144.144,28
31 132.242,46 22.820,92 121.323,36 144.144,28
32 0,00 11.901,82 132.242,46 144.144,28
Total de juros pagos: 3.112.616,93
ados: D
Valor do empr
Taxa n al
éstimo = $1.500.000
(j)
Freqüência das capitalizações da taxa no (k) = 4
Taxa trim tral efeti %/4 = 9% a.t.
Prazo = 8 os = 32
Respostas:
omin = 36% a.a.
minal (trimestralmente)
es va = j/k = 36
an trimestres
a) saldo d edor ao f ceiro a 315.827,ev inal do ter no = $1. 64
b) saldo devedor ao final do 14o trime .262.073stre = $1 ,27
c) distribuição do 20o pagamento em dívida: $$97.127,49 e $47.016,79 juros e amortização da
d) total de ju os pagos no período = $ 6,93
00 será pago pela Tabela Price em oito parcelas mensais a juros
capitalização mensal. Calcular os juros embutidos na sexta prestação.
r 3.112.61
100.03. Um financiamento de $
a.a., comnominais de 72%
mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação
0 100.000,00
1 89.896,41 6.000,00 10.103,59 16.103,59
2 79.186,60 5.393,78 10.709,81 16.103,59
3 67.834,20 4.751,20 11.352,40 16.103,59
4 55.800,65 4.070,05 12.033,54 16.103,59
5 43.045,10 3.348,04 12.755,55 16.103,59
6 29.524,21 2.582,71 13.520,89 16.103,59
7 15.192,07 1.771,45 14.332,14 16.103,59
8 0,00 911,52 15.192,07 16.103,59
Dados:
Valor do empréstimo = $100.000
. Taxa nominal (j) = 72% a.a
apitalizaçõFreqüência das c
axa mensal efetiva = j/k = 72%/12 = 6% a.m
es da taxa nominal (k) = 12(mensalmente)
.
ses
T
Prazo = 8 me
Resposta:
a) juros embutidos na sexta prestação = $2.582,71
4. Um financiamento de $2.000.000 será pago pela Tabela Price em 18 parcelas mensais a juros
os efetivos de 10% a.m.. Calcular: a) o valor da prestação; b) a soma das amortizações dos três primeir
meses; c) a amortização introduzida pela 13a prestação.
mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação
0 2.000.000,00
89
1 1.956.139,56 200.000,00 43.860,44 243.860,44
2 1.907.893,07 195.613,96 48.246,49 243.860,44
3 1.854.821,93 190.789,31 53.071,14 243.860,44
4 1.796.443,68 185.482,19 58.378,25 243.860,44
5 1.732.227,60 179.644,37 64.216,08 243.860,44
6 1.661.589,92 173.222,76 70.637,68 243.860,44
7 1.583.888,46 166.158,99 77.701,45 243.860,44
8 1.498.416,87 158.388,85 85.471,60 243.860,44
9 1.404.398,11 149.841,69 94.018,76 243.860,44
10 1.300.977,47 140.439,81 103.420,63 243.860,44
11 1.187.214,78 130.097,75 113.762,70 243.860,44
12 1.062.075,8 243.1 118.721,48 125.138,97 860,44
13 924.422,95 ,58106.207 137.652, 243.86 860,44
14 773.004,80 92.442,29 .41 243.860,44151 8,15
15 606.444,83 77.300,48 166.55 243.860,9,96 44
16 423.228,87 60.644,48 183.215, 243.860,96 44
17 221.691,31 42. 89 537, 243.322, 201. 56 860,44
18 0,00 ,13 9 24322.169 221.6 1,31 .860,44
Dados:
Valor do empr 2.000.0
Taxa efetiva (i) = 10% a.m.
Prazo = 18 meses
Respostas:
éstimo = $ 00
a) valor da prestação = 243.860,44
b) so das amortizações dos três primeiros meses ma
.860,4 6,49 + 5 = $145= 43 4 + 48.24 3.071,14 .178,07
c) am izaç da 13o prestação = 137.652,86
5.Um prést .000.00 dado p ez emestrais a juros
efetivos de 9% a.s. Calcular o valor do saldo devedor do empréstimo logo após a terceira prestação.
ort ão
em imo de $2 0 será sal ela Tabela Price em d parcelas s
se estrem Saldo devedor Juros Amortização Prestação
0 2.000.000,00
1 1.868.359,82 180.000,00 131.640,18 311.640,18
2 1.724.872,02 168.152,38 143.487,80 311.640,18
3 1.568.470,33 155.238,48 156.401,70 311.640,18
4 1.397.992,48 141.162,33 170.477,85 311.640,18
5 1.212.171,62 125.819,32 185.820,86 311.640,18
6 1.009.626,89 109.095,45 202.544,73 311.640,18
7 788.853,12 90.866,42 220.773,76 311.640,18
8 548.209,73 70.996,78 240.643,40 311.640,18
9 285.908,42 49.338,88 262.301,30 311.640,18
10 0,00 25.731,76 285.908,42 311.640,18
Dados:
do empréstimo = $2.000.000 Valor
Taxa efetiva (i) = 9% a.s.
estres Prazo = 10 sem
Resposta:
a) saldo devedor ao final do terceiro semestre = $1.568.470,33
6. Um financiamento de $10.000 será pago pela Tabela Price em cinco parcelas mensais a juros
nominais de 120% a.a. capitalizados mensalmente. Calcular: a) a amortização do quarto mês; b) a
90
soma dos juros pagos no segundo e terceiro mês; c) o saldo devedor logo após o pagamento da terceira
prestação.
mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação
0 10.000,00
1 8.362,03 1.000,00 1.637,97 2.637,97
2 6.560,25 836,20 1.801,77 2.637,97
3 4.578,30 656,03 1.981,95 2.637,97
4 2.398,16 457,83 2.180,14 972.637,
5 0,00 239,82 2.398,16 2.637,97
Dados:
Valor do emprésti
Taxa nominal (j) = 120% a.a.
Freq cia das ações d minal (k nsalment
Taxa mensal efetiva = j/k = 120%/12 = 10% a.m
Prazo = 5 mese
Respostas:
mo = $10.000
üên capitaliz a taxa no ) = 12(me e)
.
s
a)am ização mês = $2.180,14 ort do quarto
b) so dos juros pagos no segundo e terceiro m 0 + 656,0 ,23
c) saldo devedor logo após o p da terce ção = $4.
7. U inancia e $500 pago p la Price e arcelas m juros
efetiv de 4% lcular: tização mês; b) a juros pa undo
e terceiro mês; o deved pós o pa da terceira .
Tabela
ma ês = 836,2 3 = $1.429
agamento ira presta 578,30
m f mento d .000 será ela Tabe m cinco p ensais a
os a.m.. Ca a) a amor do quarto soma dos
gos no seg
c) o sald or logo a gamento prestação
Price
mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação
0 500.000,00
1 407.686,44 20.000,00 92.313,56 112.313,56
2 311.680,34 16.307,46 96.006,10 112.313,56
3 211.834,00 12.467,21 99.846,34 112.313,56
4 107.993,80 8.473,36 103.840,20 112.313,56
5 0,00 4.319,75 107.993,80 112.313,56
61.567,78 561.567,78
D
V
ados:
al empré 0.00
Tax tiva (i)
Prazo = 5meses
Respostas:
or do
a e
stimo = $50
=
0
ef 4% a.m.
a) am tização do ês = $103.840,20 or quarto m
b) so dos juros pagos no segundo e terceiro mês 46 + 12 28.774
c) saldo devedor logo após o pagam $211.834,00
8. U $500.00 go pelo SAC em rcelas juros
efetiv de 4% a. ular: a) a ção do ) a soma pagos o e no
rceira prestação.
ma = 16.307,
.467,21 = $ ,67
ento da terceira prestação =
m financiamento de 0 será pa Sistema cinco pa mensais a
os m.. Calc amortiza 4o mês; b dos juros no segund
terceiro mês; c) o saldo devedor logo após o pagamento da te
Tabela SAC
mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação
0 500.000,00
1 400.000,00 20.000,00 100.000,00 120.000,00
2 300.000,00 16.000,00 100.000,00 116.000,00
91
3 200.000,00 12.000,00 100.000,00 112.000,00
4 100.000,00 8.000,00 100.000,00 108.000,00
5 0,00 4.000,00 100.000,00 104.000,00
60.000,00 560.000,00
Dados:
Valor do empréstimo = $500.000
fetiva (i) = 4% a.m. Taxa e
Prazo =
Respostas:
5meses
a) amortização do quarto mês = $100.000,00
b) soma dos juros pagos no segundo e no terceiro mês = 16.000,00 + 12.000,00 = $28.000,00
c) saldo devedor logo após o pagamento da terceira prestação = $200.000,00
9. Um financiamento de $500.000 será pago pelo Sistema Misto (Sacre) em cinco parcelas mensais a
juros efetivos de 4% a.m.. Calcular: a) a amortização do quarto mês; b) a soma dos juros pagos
no
gundo e no terceirose
da prestação do quarto m
mês; ) o saldo devedor logo após o pagamento da terceira prestação; d) o valor
ês; e) a soma de todas as prestações pagas; f) a soma de todos os juros pagos.
Dados:
Valor do empréstimo = $500.000
Taxa efet (i) = 4%
Prazo = 5
Respostas:
Na tabela acre, os rresp média a dos va abela Price e SAC.
Logo, calculando essas mé com os calculad rcício os :
iva a.m.
meses
S valores co ondem à ritmética lores na T
dias valores os nos exe 7 e 8, tem
a) amortização do quarto mês = ($100.000,00 + $103.840,20)/2 = $101.920,10
b) som juros undo e n iro mê
c) saldo d edor log amento da terceira prestação:
= ( 00.000,0 34,00 5.917
d) valor da prestação do quarto mês = ($112.313,56 + $108.000,00)/2 = $110.156,78
e) soma de todas as prestações pagas = ($561.567,78 + $560.000,00)/2 = $560.783,89
f) soma d odos os j = ($6 + $60.00 $60.78
10. Um capital de $400.000 será pago de acordo com o a Am 15 meses a juros
serão pagos periodicamente e será constituído um fundo de amortização
do empréstimo (Sinking Fund) com depósitos trim unerados à taxa efetiva de 6% a.t..
Calcular: a quota do fundo d ortização do e stimo; b) o total de juros pagos; c) o
desencaixe periódico; d) o valor do fundo de amortização do empréstim do quarto trimestre;
e) o custo etivo do ento ( na de reto
a dos pagos no seg o terce s = ($28.000,00 + $28.774,67)/2 = $28.387,34
ev o após o pag
$2 0 + $211.8 )/2 = $20
e t uros pagos 1.567,78 0,00)/2 = 3,89
Sistem ericano em
efetivos de 8% a.t.. Os juros
estrais rem
a) trimestral e am mpré
o no fim
ef financiam taxa inter rno).
Mês
(n)
Juros pagos
(J = i´P)
Quota do fundo de
amortização
(QFA)
Desencaixe
total
(D =
J+QFA)
Saldo
devedor
do
empréstimo
Valor do
sinking
fund
1 400.000,00 fator n i%s
2 400.000,00
3 32.000,00 70.958,56 102.958,56 400.000,00 75.216,07
4 400.000,00
92
5 400.000,00
6 32.000,00 174,63 2,06000 70.958,56 102.958,56 400.000,00 146.
7 400.000,00
8 400.000,00
9 32.000,00 70.958,56 102.958,56 400.000,00 225.903,67 3,18360
10 400.000,00
11 400.000,00
12 32.000,00 70.958,56 102.958,56 400.000,00 310.416,45 4,37462
13 400.000,00
14 400.000,00
15 32.000,00 70.958,56 102.958,56 400.000,00 400.000,00 5,63709
Dados:
Valor do empréstimo = $400.000
Taxa efet (i) = 8% a
Taxa efet do fundo a.t.
Prazo = 15 meses
Respostas:
ortização do empréstimo = $70.958,56
d) valo fundo ão do em o no f trimestre = $310.416,45
e) custo e ivo do fina
TIR:
+ 400.000 – 102.958,56/(1+TIR) 958,56/(1+T ......... –1 6/(1+TIR)5 = 0
= R = 9,04555% a.t.
.
1. Um empréstimo de $400.000 contratado à taxa efetiva de 16% a.a. será pago em 12 parcelas
postecipadas de acordo com o Sistema Americano. Elaborar as planilhas, sabendo-se que o
réstimo (Sinking Fund) terá depósitos mensais remunerados à taxa
lar a taxa interna de retorno (custo efetivo do financiamento).
alor do empréstimo = $400.000
(i) = 16% a.a. (1,244514% a.m.)
Tax e
Prazo =
iva .t
iva (is) = 6%
a) quota trimestral do fundo de am
b) total de juros pagos = $32.000 x 5 = $160.000
c) desencaixe periódico = $102.958,56
r do de amortizaç préstim im do quarto
fet nciamento (taxa interna de retorno):
– 102. IR)2 – 02.958,5
=Î TI
1
mensais
fundo de amortização do emp
efetiva de 12% a.a., e calcu
Dados:
V
Taxa efetiva
a ef tiva do fundo (is) = 12% a.a. (0,948879% a.m.)
12 meses
Mês
(n)
Juros pagos
(J = i´P)
Quota do fundo de
amortização
(QFA)
Desencaixe total
(D = J+QFA)
Saldo devedor do
empréstimo
Valor do sinking
fund
fator n i%s
0 - - - - -
1 4.978,06 ,00 31.929,43 1,00000 31.629,31 36.607,36 400.000
2 4.978,06 ,00 63.558,74 2,00949 31.629,31 36.607,36 400.000
3 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 95.791,15 3,02856
4 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 128.329,40 4,05729
5 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 161.176,40 5,09579
6 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 194.335,08 6,14415
7 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 227.808,40 7,20245
93
8 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 261.599,33 8,27079
9 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 295.710,90 9,34927
10 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 330.146,15 10,43798
11 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 364.908,15 11,53703
1 4.978, 1 06 31.629,3 36.607,36 4 0, 40 12,64650 00.00 00 0.000,00 2
Resposta
TIR:
+ 0.000 9 ) – 36.607,39/(1+TIR)2 –.........–36.607,39/(1+TIR)1
= = 1,171691% a.m. (19,16% a.a.)
12. Um empréstimo de $100.000 foi contratado a juros efetivos d 24% a. er p is
parcelas nsais p as rdo co te a Americano. O fundo de amortização do
empréstim terá dep ensais remunerad s de 0% a.a. r: a) os
me is; b) as quotas do fundo de am o c) os dese caixes; do d e
ortização após o sexto desencaixe; e) os juros acumulados após o sexto desencaixe; f) os
desencaixes acumulados após o sexto termo; g) a taxa interna de retorno (custo efetivo do
financiamento).
:
40 – 36.607,3 /(1+TIR 2 = 0
=Î TIR
e a. para s ago em se
me ostecipad de aco m o Sis m
o ósitos m os a juro efetivos 2 . Calcula o valor d
juros
am
nsa ortizaçã ; n d) o sal o fundo d
Mês
(n
Juros pagos
(J = i´P)
Quota do fundo
de amortização
(QFA)
Desencaixe total
(D = J+QFA)
Saldo devedor do
empréstimo
Valor do sinking
fund
n i%s fator
0 - - - - -
1 1.808,76 16.040,08 17.848,84 100.000,00 16.285,64
2 1.808,76 16.040,08 17.848,84 100.000,00 35.288,17 2,20000
3 1.808,76 16.040,08 17.848,84 100.000,00 58.385,88 3,64000
1.808,76 16.040,08 17.848,84 100.000,00 86.103,14 4 5,36800
5 1.808,76 16.040,08 17.848,84 100.000,00 119.363,84 7,44160
6 1.808,76 16.040,08 17.848,84 100.000,00 100.000,00 6,23438
107.093,02
Da
Valor do empréstim
Taxa efetiva (i) = 24% a.a. (1,8088% a.m.)
Taxa e iva do f = 20% a (1,533 % a.m
Prazo = 6 meses
Respostas:
a) valo os juro =
b) quot do fund rt 16.04
c) desencaixes = 17.848,84
d) sald o fundo tiza s o s n ixe = 100 00
) juros acumulados após o sexto desencaixe = 1.808,76 x 6 = 10.852,56
f) desencaixes acumulados após o sexto termo = 107.093,02
+100.000 – 17.848,84/(1+TIR) – 17.848,84/(1+TIR)2 –.........–17.848,84/(1+TIR)6 = 0
presa contratou a juros efetivos de 5% a.m. um financiamento de $600.000 que será
mortizado por meio de seis prestações mensais postecipadas. Pede-se: a) no Sistema de Amortizações
C ( e soma res das prestações dos três primeiros meses; b) na
Tabela Price, calcular a soma dos va amortizações do primeiro e do segundo mês; c) no
Siste ort Sacre) ar o valor da prestação do segundo mês; d) na Tabela
Price alcular
dos:
o = $100.000
fet undo (is) .a. 09 .)
r d s mensais 1.808,76
as o de amo ização = 0,08
o d de amor ção apó exto dese ca .0
e
g) taxa interna de retorno (custo efetivo do financiamento).
TIR:
==Î TIR = 1,993790% a.m. (26,7316% a.a.)
13. Uma em
a
onstantes SAC), det rminar a dos valo
lores das
ma Misto de Am izações ( , calcul
, c a soma dos valores das seis prestações.
94
SAC
mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação
0 600. 000,00
1 500. 30 100.000,00 130.000,00000,00 .000,00
2 400. 25 100.000,00 125.000,00000,00 .000,00
3 300. 20 100.000,00 120.000,00000,00 .000,00
4 200. 15 100.000,00 115.000,00000,00 .000,00
5 100. 10 100.000,00 110.000,00000,00 .000,00
6 0,00 5.000,00 100.000,00 105.000,00
Price
mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação
0 600.000,00
1 511.789,52 30.000,00 88.210,48 118.210,48
2 419.16 25 .621,00 118.210,488,51 .589,48 92
3 321.916, 252,06 118.210,4846 20.958,43 97.
4 219.801,80 16.095,82 102.114,66 118.210,48
5 112.581,41 10.990,09 .220,39 118.210,48107
6 0,00 5.629,07 581,41 118.210,48112.
SOMA: 709.262,88
Sacre
mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação
0 600.000,00 0,00 0,00 0,00
1 505.894,76 30.000,00 .105,24 124.105,2494
2 409.584,26 25.294,74 .310,50 121.605,2496
3 310.958,23 20.479,21 .626,03 119.105,2498
4 209.900,90 15.547,91 .057,33 116.605,24101
5 106.290,71 10.495,05 .610,20 114.105,24103
6 0,00 5.314,54 .290,71 111.605,24106
Dados:
alor do empréstimo = $600.000
espostas:
, a das p ões d pri
= $130.000 + 125.000 + 120.000 = $375.000
b) na Tabela Price, a soma das amortizações do primeiro e segundo mês
= $88.210,48 + $92.621,00 = $180.831
c) no Sacre, o valor da prestação do segundo mês = $121.605,24
d) na abela o alores das seis prestações = $709.262,88
14. Uma em nt jur de 5% a.m. u cia $6 s
amo zado p de çõe postecipadas. No Sistema d zaç tan
(SA , determ so valo estações os trê iros e na Pr
calcular a som lo mortizações do primei e segu ses
V
Taxa efetiva (i) = 5% a.m.
Prazo = 6meses
R
a) no SAC soma restaç os três meiros meses
T Price, a s ma dos v
presa co ratou a os efetivos m finan mento de .000 que erá
rti or meio 6 presta s mensais e Amorti ões Cons tes
C) inar a ma dos res das pr d s prime meses, Tabela ice,
a dos va res das a ro ndo me .
SAC
mês Saldo devedor Juros Am açãortiz o Prestação
0 6.0 00,00
1 5.000,00 300,00 1.000, 0 1.300,000
2 4.000,00 250,00 1.000,00 1.250,00
3 3.000,00 200,00 1.000,00 1.200,00
95
4 2.000,00 150,00 1.000,00 1.150,00
5 1.000,00 100,00 1.000,00 1.100,00
6 0,00 50,00 1.000,00 1.050,00
Price
mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação
0 6.000, 00
1 5.117, 0 882,10 1.182,1090 300, 0
2 4.191, 8 926,21 1.182,1069 255, 9
3 3.219, 209,5 972,52 1.182,1016 8
4 2.198, 160,96 1.021,15 1.182,1002
5 1.125, 109,90 1.072,20 1.182,1081
6 0, 56,29 1.125,81 1.182,1000
Dados:
Valor do empré $6.0
Taxa efetiva (i) = 5% a.m.
Prazo = 6meses
a soma das amortizações do primeiro e segundo meses
=$ 882,10 + $926,21 = $1.808,31
ÍT O 9
stimo = 00
Respostas:
• No SAC, a soma das prestações dos três primeiros meses = $1300 + $1.250 + $1.200 =
$3.750
• Na Tabela Price,
CAP UL
1. Um financiam o de $12 0 foi contratado sob as seguintes condições: carência de três trimestres
(durante esse período serão pagos unicamente os juros); juros de 15% a.t.; IOF de 2% sobre o
pr pago ); co de a de crédito d bre o fin
o õe pada bela ariação d FGV de 3% a.t..
C ne form cons planilha de pagamentos se erar atualização
onetária e calcular o custo efetivo real do financiamento.
esolução:
Exercícios Propostos
ent .00
incipal ( no ato missão bertura e 1% so anciamento (paga no ato);
ito prestaç s anteci s trimestrais segundo a Ta Price; v o IGPM/
om base ssas in ações, truir a m consid
m
R
Esquema de pagamento e fluxo de caixa:
Trimestre Saldo
devedor
Juros Amortização Comissão IOF Prestação Fluxo de
caixa
0 12.000,00 - - 120 240 360,00 11.640,00
1 12.000,00 1.800,00 - 1.800,00 (1.800,00)
2 12.000,00 1.800,00 - 1.800,00 (1.800,00)
3 11.125,80 1.800,00 874,20 2.674,20 (2.674,20)
4 10.120,47 1.668,87 1.005,33 2.674,20 (2.674,20)
5 8.964,34 1.518,07 1.156,13 2.674,20 (2.674,20)
6 7.634,79 1.344,65 1.329,55 2.674,20 (2.674,20)
7 6.105,81 5,2 8 ,20 1.14 2 1.52 ,98 2.674 (2.674,20)
8 4.347,48 915,87 1.728,33 2.674,20 ) (2.674,20
9 2.323,40 652,12 2.022, 4,20 ( 20) 08 2.67 2.674,
10 - 348,81 2.325, 4,20 ( 20) 40 2.67 2.674,
96
8 15%
2 3
4,20
IR)
− 4 10
$12.000 $12.000
1.800 1.80 2.67 2.611. .... T a.t.
(1 T TIR) (1 T (1 TIR) )+ + + +
O cu efeti anciam nto é de ,7454% sse v ont lcul taxa
interna de retorno do fluxo de caixa. são antecipadas, ou seja, a prim
imediatament nce cia
2. No xercíc d per arênci os juros pita e in os ao
princ l, qual s sald or a carênc , sem co atu mo
Resolução:
a de pagamento e fluxo de caixa:
Prestação $2.674, 20
4,487322a
= = =
0 − 74,20 .− 2.674,20..
1 TI
− +640- 0 = ⇒ IR 15,7454%=IR) (1− ( R
sto vo do fin e 15 a.t.. E alor é enc rado ca ando-se a
As prestações
.
eira é paga
e após ve r a carên
io no.1, se e urante o íodo de c a fossem ca lizados corporad
ipa eria o o deved o fim da ia nsiderar a alização netária?
Esquem
Trimestre Saldo dev. Juros Amortização Comissão IOF Prestação Fluxo de
caixa
0 12.000,00 - - 120 240 360,00 11.640,00
1 13.800,00 - –
2 15.870,00 - –
3 14.713,87 2.380,50 1.156,13 3.536,63 -3.536,63
4 13.384,32 2.207,08 1.329,55 3.536,63 -3.536,63
5 11.855,34 2.007,65 1.528,98 3.536,6 -3.536,63 3
6 10.097,00 1.778,30 1.758,33 3.536,63 -3.536,63
7 8.074,92 1.514,55 2.022,08 3.536,63 -3.536,63
8 5.749,53 1.211,24 2.325,39 3.536,63 -3.536,63
9 3.075,33 862,43 2.674,20 3.536,63 -3.536,63
10 0,00 461,30 3.075,33 3.536,63 -3.536,63
a.t. %24,52TIR 0
TIR)(1
3.536,63.......
TIR)(1
3.536,63
TIR)(1
3.536,63
TIR)(1
3.536,63 11.640
3.536,63$
4,48732215% 8a
15.870,0015.870,00o
10543
=⇒=+−+−+−+−
===
. No exercício no.1, calcular o valor das prestações, admitindo-se que sejam atualizadas
monetariamente segundo as variações do IGP-M/FGV.
esolução:
Prestaçã
Considerando prestações antecipadas, ou seja, a última paga logo ao término da carência, o saldo
devedor nessa ocasião é de $14.713,87.
3
R
Trimestre Prestação Indexador Prestação
atualizada
0 360 1,000000 360,00
1 1.800,00 1,030000 1.854,00
2 1.800,00 1,060900 1.909,62
3 2.674,20 1,092727 2.922,17
4 2.674,20 1,125509 3.009,84
5 2.674,20 1,159274 3.100,13
6 2.674,20 1,194052 3.193,13
7 2.674,20 1,229874 3.288,93
8 2.674,20 1,266770 3.387,60
9 2.674,20 1,304773 3.489,22
10 2.674,20 1,343916 3.593,90
97
4. No exercício no.1, se durante o período de carência os juros fossem capitalizados e incorporados ao
principal, qual seria o valor das prestações sem atualização monetária? E o valor das prestações
atualizadas monetariamente segundo as variações do IGPM/FGV?
Resolução:
Trimestre Prestação
sem
atualização
Indexador Prestação atualizada
0 360 1,000000 360,00
1 – 1,030000 –
2 – 1,060900 –
3 3.536,63 1,092727 3.864,57
4 3.536,63 1,125509 3.980,51
5 3.536,63 1,159274 4.099,92
6 3.536,63 1,194052 4.222,92
7 3.536,63 1,229874 4.349,61
8 3.536,63 1,266770 4.480,10
9 3.536,63 1,304773 4.614,50
10 3.536,63 1,343916 4.752,93
5. No exercício no.1, considerando-se a atualização monetária de acordo com as variações do
IGPM/FGV, calcular o custo efetivo aparente do financiamento.
Resolução:
Trimestre Saldo
devedor
Juros Amorti
zação
Comissão IOF Prestação Fluxo de
caixa
Indexador
Fluxo de
caixa
atualizado
0 12.000,00 - - -120 -240 11.640,00 1,000000 11.640,00
1 12.000,00 -1.800,00 - -1.800,00 1,030000 -1.854,00
2 12.000,00 -1.800,00 - -1.800,00 1,060900 -1.909,62
3 11.125,80 1.800,00 874,20 2.674,20 -2.674,20 1,092727 -2.922,17
4 10.120,47 1.668,87 1.005,33 2.674,20 -2.674,20 1,125509 -3.009,84
5 8.964,34 1.518,07 1.156,13 2.674 -2.674,20 1,159274 -3.100,13,20
6 7.634,79 1.344,65 1.329,55 2.674,20 -2.674,20 1,194052 -3.193,14
7 6.105,80 1.145,22 1.528,98
2.674,20 -2.674,20 1,229874 -3.288,93
8 4.347,47 915,87 1.758,33 2.674,20 -2.674,20 1,266770 -3.387,60
9 2.325,39 652,12 2.022,08 2.674,20 -2.674,20 1,304773 -3.489,23
10 0,00 348,81 2.325,39 2.674,20 -2.674,20 1,343916 -3.593,90
TIR : 19,22%
A TIR do fluxo de caixa € é de 19,22% a.t.. Representa o custo efetivo aparente do financiamento.
6. No exercício no.1, considerando-se a atualização monetária de acordo com as variações do
IGPM/FGV, determinar o valor do saldo devedor do financiamento ao fim do sexto trimestre.
Resolução:
Trimestre Saldo devedor Indexador Saldo devedor
atualizado
0 12.000,00 1,000000 12.000,00
1 12.000,00 1,030000 12.360,00
2 12.000,00 1,060900 12.730,80
98
3 11.125,80 1,092727 12.157,46
4 10.120,47 1,125509 11.390,68
5 8.964,34 1,159274 10.392,12
6 7.634,79 1,194052 9.116,33
7 6.105,80 1,229874 7.509,37
8 4.347,47 1,266770 5.507,25
9 2.325,39 1,304773 3.034,11
10 0,00 1,343916 0,00
7. Considerando-se que nos últimos quatro meses os impostos arrecadados por uma prefeitura e o IGP-
di evoluíram de acordo com a tabela abaixo, estimar o crescimento ou o decréscimo real dos impostos
no período considerado.
Mês Imposto nominal valor do
IGP-di
Setembro $40.000,00 200,00
Outubro $48.000,00 236,00
Novembro $59.040,00 287,92
Dezembro $67.896,00 348,38
Resolução:
Mês Imposto
nominal
(1)
Valor do
IGP-di
(2)
Variação do
IGP-di
(3)
Deflator
(4)
Imposto deflacionado
(5) = (1)/(4)
Setembro 40.000 200,00 1,00000 40.000,00
Outubro 48.000 236,00 18,00% 1,18000 40.677,97
Novembro 59.040 287,92 22,00% 1,43960 41.011,39
Dezembro 67.896 348,38 21,00% 38.978,13 1,74190
Por meio dos valores deflacionados podemos calcular a variação real dos imposto:
Set./Out.= 1,6949% Out./Nov.= 0,8197% Nov./Dez= -4,9578% Set./Dez.= -2,5547%
8. A quantia de $81.600 foi financiada a juros de 5% a.m. a ser paga em quatro prestações mensais.
pela Tabela Price. Um imposto de 2% sobre o financiamento foi pago no ato do contrato.
Considerando-se uma variação constante de 10% a.m. para a taxa de inflação, construir a tabela de
pagamentos mostrando as prestações em valores atualizados monetariamente.
Mês Saldo devedor Juros Amortização Imposto Prestação Inflator Prestação
atualizada
0 81.600,00 - - -1.632 - 1,0000 -
1 62.667,83 4.080,00 18.932,17 23.012,17 1,1000 25.313,38
2 42.789,06 3.133,39 19.878,77 23.012,17 1,2100 27.844,72
3 21.916,35 2.139,45 20.872,71 23.012,17 1,3310 30.629,19
4 0,00 1.095,82 21.916,35 23.012,17 1,4641 33.692,11
9. No exercício no.8 , estimar o custo efetivo real e aparente (nominal) do financiamento.
Mês Saldo
devedor
Juros Amorti
zação
Imposto Fluxo de caixa
não
atualizado
Inflator Fluxo de caixa
atualizado
0 81.600,00 - - -1632 -79.968,00 1,0000 -79.968,00
1 62.667,83 4.080,00 18.932,17 23.012,17 1,1000 25.313,38
2 42.789,06 3.133,39 19.878,77 23.012,17 1,2100 27.844,72
3 21.916,35 2.139,45 17 1,3310 30.629,19 20.872,71 23.012,
99
4 0,00 1. 1,4641 33.692,11 095,82 21.916,35 23.012,17
TIR: 5,88% TIR: 16,46%
•
Dados: I = 1
Custo efetivo aparente: 5,88%
• Custo efetivo real: 16,46%
10. Calcular a taxa de juros mensal aparente (nominal) que permita a uma financeira auferir juros reais
de 4% a.m., considerando-se as seguintes hipóteses de inflação:
a) 12% a.m.
2% a.m., i = 4% a.m, i = ?
,12)-1= 16,48% a.m.
r
ri (1 i ) (1 I)-1 = i (1,04) (1= + × + ⇒ = ×
b) 420% a.a
Dados: I = 420% a.a., i = 4% a.m, i = ?
I)-1 = i (1,04) (5,20) -1= 19,32% a.m.⇒ = ×
c) 200% a.s.
ados: I = 200% a.s., i = 4% a.m, i = ?
,00) -1= 24,90% a.m.
11. Uma aplicação de $430.000 rendeu $22.500 no prazo de nove meses. Considerando-se que a taxa
de inflação foi constante e igual a 3,8% a.m., qual a rentabilidade mensal aparente e real do
investimento?
Dados: P = $430.000, n = 9 meses, I = 3,8% a.m., rendimento aparente = $22.500, ir = ?, i = ?
r
1/12
ri (1 i ) (1= + × +
D r
1/6
ri (1 i ) (1 I)-1 = i (1,04) (3= + × + ⇒ = ×
Rentabilidade aparente:
1/9s: (1,052326) 1 0,5683%− =
Rendimento aparente $22.500 i 5,2326% em 9 meses
Aplicação $430.000
ao mê a.m.
= = =
r r (1 i) (1 i ) (1 I) i 1(1 I) 1,038+
Rentabilidade real:
(1 i) 1,005683 1 0,03113 3,1134% a.m.++ = + × + ⇒ = − = − = − = −
12. Um equipamento é vendido por $250.000 à vista ou em 18 prestações mensais iguais com
atualização monetária prefixada. Calcular o valor unitário das prestações, considerando-se juros reais
de 9% a.a. e uma variação projetada de 96% a.a. para o indexador delas.
Dados: P = $250.000, n = 18 meses, I = 96% a.a., ir = 9% a.a., R = ?
Taxa de juros nominal (aparente) mensal:
1/12 1/12
ri (1 i ) (1 I)-1 i (1,09) (1,96) -1 6,5304= + × + ⇒ = × = % a.m.
( )
( )
( )
( )
18
n 18
× ,
Valor da prestação mensal:
P $250. =n
000 $250.000R $24.017,31
10,409161+i 1 1,065304 1
1+i i 1,065304 0 065304×
= = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2% a.m. mais atualização monetária de
cordo com as variações do IGPM/FGV. Considerando-se que a variação anual do índice foi de 300%
a.a. (taxa mensal constante ao longo do período), qual o montante a ser recebido pelo investidor após
eses de aplicação?
Dados: P = $132.000, n = 11 meses, I = 300% a.a., ir = 2% a.m., S = ?
13. Uma aplicação de $132.000 obteve juros efetivos de
a
11 m
100
1/12
r
n 11
Taxa de juros nominal (aparente) mensal:
i (1 i ) (1 I)-1 i (1,02) (4,00) -1 14,4911% a.m.
Montante ao término do prazo:
S=P(1+i) $132.000(1,144911) $584.876, 46
= + × + ⇒ = × =
= =
14. Jo de $140.000 a juros de 5% a.m. mais atualização monetária pela
inflaçã r 30% da dívida daqui a 30 dias, e o saldo três meses depois. Qual
será o valor desse segundo pagamento, considerando-se uma inflação de 240% a.a. (taxa mensal
constante ao longo do período)?
ados: P = $140.000, I = 240% a.a., i r= 5% a.m., primeiro pagamento = 30%, segundo pagamento
i (1 i ) (1 I)-1 i (1,05) (3,40) -1 16,2731% a.m.
Valor do undo pagamento:
q=0,70 $140.000 (1,162731) $179.119,52
= + × + ⇒ = × =
× × =
15. Um financiamento de $180.000 será pago em dez prestações mensais fixas de $29.294,16 cada.
onsiderando-se uma inflação de 7% a.m., calcular a taxa de juros real paga pelo financiamento.
.
ão tomou um financiamento
o do período. Pretende paga
D
(q) = ?
axa de juros nominal (aparente) mensal:T
1/12
r
4
seg
C
Dados: P = $180.000, n = 10 meses, R = $29.294,16, I = 7% a.m., ir = ?
Taxa de juros nominal (aparente) mensal:
1/12 1/12
r I)-1 i (1,09) (1,96) -1 6,5304% a.m+ ⇒ = × =
i (1 i ) (1= + ×
( )
( )n ×1+i i
10 i% 10 i%
Valor da prestação mensal:
1+i 1
P=R
Podemos destacar i (taxa de juros apoarente) usando a fórmula de Baily-Lenzi (capítulo 5):
⎡ ⎤−⎢ ⎥× ⎢ ⎥⎣ ⎦
n
$180.000 6,14457a= ⇒ =a×$29.294,16
h
( )
( )
2 2
n+1 10+110 29.294,161 1 0,092587176
anciamento efetivo 180.000
×⎛ ⎞− = − =⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎠
n R =
Fin⎜⎝
⎛ ⎞
12 n-1 h 12 9 0,092587176 i=h 0,092587176 10% a.m.
12-2 n-1 h 12 2 9 0,092587176
Taxa de real:
⎡ ⎤− ⎛ − × ⎞= × ≈⎢ ⎥ ⎜ ⎟− × ×⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
r r(1 I) (1,0+
(1 i = +i) (1,10)-1 i -1= 2,8% a.m
7)
⇒ =
16. Uma pessoa aplicou $200.000 em um plano de capitalização. Após oito meses, resgatou o
investimento cujo saldo bruto na época foi de $280.000. Considerando-se que o banco cobra taxas
administrativas de 4% sobre o valor resgatado e que foi pago um imposto de 3,5% sobre o rendimento
da aplicação, calcular a rentabilidade efetiva aparente e real da aplicação, tendo em conta que a
inflação no período foi de 26%
Dados: P = $200.000, n = 8 meses, S = $280.000, tsb = 4%, imposto = 3,5%, I = 26%, i = ?, i r= ?
101
102
Rendimento líquido da aplicação = Montante bruto - tarifa bancária - imposto
Rendimento líquido da aplicação = $280.000 - 0,04 $280.000 - 0,035 ($280.000-$200.000)-$200.000
Rendimento líquido da apl
× ×
r
r r
icação = $66.000
$66.000Taxa de rendimento aparente (i) no período= 33%
$200.000
Taxa de rendimento real (i ) no período:
1+i 1,33 i = -1 i -1= 5,56% no período
1+i 1,26
=
⇒ =
17. Uma empresa tomou emprestados $800.000 pelo prazo de nove meses a juros efetivos de 15% a.a
mais atualização monetária definida pelas variações do IGPM. Correm por conta da empresa o
imposto sobre operações financeiras (IOF) de 0,4% e uma taxa de abertura de crédito de 4% sobre o
valor do empréstimo (pagos no ato da liberação do empréstimo). Se o empréstimo fosse liquidado por
meio de um único pagamento ao final do prazo, qual seria o custo efetivo aparente e real do
financiamento, considerando-se uma variação de 100% no período para o IGPM?
Dados: P = $800.000, n = 9 meses, IOF = 0,4%, tac = 4%, I = 100%, i Br B= 15% a.a., iBr B= ?
Valor líquido liberado = Empréstimo - tarifa de abertura de crédito - imposto
0,4 = $800.000 - 0,04 $800.000 - $800.000
100
= $764.
× ×
1/12 1/9
r
n 9
800
Taxa de juros nominal (aparente) ao mês:
i (1 i ) (1 I)-1 i (1,15) (2,0) -1 9,2713% a.m
Montante ao término do prazo:
S=P(1+i) $800.000(1,092713) $1.776.819,71
Custo ef
= + × + ⇒ = × =
= =
1/9
etivo aparente do empréstimo:
Montante $1.776.819,71 i = -1 i -1= 132,32% no período
Valor líquido liberado $764.800
ao mês: (2,3232) 1 9,8189% a.m.
Custo efetivo real do empréstimo:
⇒ =
− =
r
1/9
1+i 2,3232 i -1= -1=16,16 no período
1+I 2,0000
ao mês: (1,1616) 1 1,6786% a.m.
=
− =
UCAPÍTULO 10
Exercícios Propostos
1. Calcular a TIR dos seguintes fluxos de caixa:
eMachine
Highlight
103
a) b) c) d)
ano fluxo de caixa ano fluxo de caixa ano fluxo de caixa ano fluxo de caixa
0 - $100 0 $100 0 $400 0 -$200
1 $700 1 -$200 1 $400 1 $700
2 -$1.200 2 $150 2 -$1.000 2 -$600
Resolução:
a) Podemos encontrar a TIR resolvendo a seguinte equação:
01.200X700100X
:(-1)por ndomultiplica e TIR)(1X fazendo
01.200-TIR)(1700TIR)(1100
0
)TIR1(
200.1
TIR)(1
700100-
2
2
2
=+−
+=
=+++−
=+−++
Resolvendo a equação quadrática do tipo aXP2 P+ bX + c = 0:
%200 131XTIR
%300141XTIR :Assim
3.X e 4X :Logo
200
100700
0012
)200.1(100)(4(-700))00(-7-
2a
4acbb-=X
22
=−=−=
=−=−=
==
±=×
××−±=−±
b) Podemos encontrar a TIR resolvendo a seguinte equação:
2
2
2
200 150100- 0
(1 TIR) (1 TIR)
100(1 TIR) 200(1 TIR)+150 0
fazendo X (1 TIR)
100X 200X 150 0
− =+ +
+ − + =
= +
− + =
Resolvendo a equação quadrática do tipo aXP2 P+ bX + c = 0:
5,01XTIR :Assim
5,01X :Logo
5,01
0012
)150(100)(4(-200))00(-2-
2a
4acbb-=X
22
−±=−=
−±=
−±=×
××−±=−±
A TIR encontrada representa números imaginários, sem nenhum sentido na análise econômica de
alternativas de investimento.
c) Podemos encontrar a TIR resolvendo a seguinte equação:
2
2
2
400 1000400+ 0
(1 TIR) (1 TIR)
400(1 TIR) 400(1 TIR)-1000 0
fazendo X (1 TIR)
400X 400X-1000 0
− =+ +
+ + + =
= +
+ =
Resolvendo a equação quadrática do tipo aXP2 P+ bX + c = 0:
22 -(400) (400) 4 (400) ( 1000)-b b 4ac 400 1326,65X=
2a 2 400 800
± − × × −± − − ±= =×
logo: X 1,1583 e X 2,1583.
Assim: TIR X 1 1,1583 1 15,83%
= = −
= − = − =
NÃO PRECISA RESOLVER DESTA FORMA
A SOLUÇÃO DAS TAXAS SÃO NUMÉRICAS.
104
O valor negativo é descartado.
d) Podemos encontrar a TIR resolvendo a seguinte equação:
2
2
2
700 600-200 0
(1 TIR) (1 TIR)
200(1 TIR) 700(1 TIR)-600 0
fazendo X (1 TIR) e multiplicando por (-1):
200X 700X 600 0
+ − =+ +
− + + + =
= +
− + =
Resolvendo a equação quadrática do tipo aXP2 P+ bX + c = 0 :
22 -(-700) (-700) 4 (200) (600)-b b 4ac 700 100X=
2a 2 200 400
Logo: X 2 e X 1,5.
Assim: TIR X 1 2 1 100%
TIR X 1 1,5 1 50%
± − × ×± − ±= =×
= =
= − = − =
= − = − =
2. Calcular a TIR de um projeto que requer um investimento inicial de $2.000.000 e produz um fluxo
de caixa de $240.000/ano durante 15 anos.
Resolução:
Basicamente, trata-se de resolver a TIR na seguinte expressão:
0
TIR)(1
$240.000.........
TIR)(1
$240.000
TIR)(1
$240.000000.000.2$VPL 152 =+−−+−+−=
• Interpolação linear:
Taxa aproximada:
Taxa VPL
TIR( i*) = 8% + ( ) %4418,8%8%9
)(65.434,78-54.274,89-
89,274.54 =−×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
8% -54.274,89
9% +65.434,78
3. A RIOLUX instalou um sistema de geração de energia elétrica a um custo de $30 milhões. Os
custos operacionais do equipamento são de $120.000/mês, e sua vida é estimada em 15 anos.
Considerando-se que a empresa deseja uma rentabilidade mínima de 12% a.m., determinar o custo
mensal que deve ser repassado aos usuários do sistema de modo que cubra os gastos operacionais e
remunere adequadamente o capital empregado.
Resolução:
Considerando uma perpetuidade:
180
180 12% 180
120.00030.000.000 30.000.000 1.000.000 31.000.000
0,12
31.000.000 3.720.000
8,3333
(1,12) 1 723.176.125,3 8,3333
86.781.135,15(1,12) 0,12
VPL
CAE
a
= + = + =
= =
⎡ ⎤−= = =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
4. Uma empresa industrial estuda a viabilidade econômica de um projeto de investimento orçado em
R$ 981.815,00. Considerando-se que o projeto tem duração prevista de vinte anos e que o estudo de
viabilidade econômico-financeira projetou fluxos de caixa líquidos de R$ 100.000 por ano, calcular a
TIR do projeto.
Resolução:
Podemos encontrar a TIR deste problema resolvendo a seguinte equação:
105
2 20
100.000 100.000 100.000981.815 0 8%
(1 ) (1 ) (1 )
TIR
TIR TIR TIR
− + + + + = → =+ + +K
5. Considere as seguintes alternativas de investimento mutuamente exclusivas:
Fluxos de Caixa
Considerando-se um custo do capital de 10% a.a., pede-se: a) a TIR das alternativas; b) a TIR do fluxo
incremental A-B; c) o VPL das alternativas e do fluxo incremental; d) identifique pela análise do
fluxo incremental qual é a alternativa preferível.
Resolução:
a) Cálculo da TIR:
2
25 125100 + 0 25%
(1+TIR) (1+TIR)
TIR− + = → =
b) Cálculo da TIR do fluxo incremental:
2
70 800 + =0¨ 14, 285%
(1+TIR) (1+TIR) A B
TIR −− − → =
c) Cálculo dos VPL’s
A 2
B 2
incremental
2
25 125PL =-100+ + =$26,03
(1,1) (1,1)
95 45VPL =-100+ + =$23,55
(1,1) (1,1)
70 80VPL =0- + =$2,479
(1,1) (1,1)
V
d) Como TIRBA-BB > 10% Î A é preferível.
6. Considere as seguintes alternativas mutuamente exclusivas:
Fluxo de Caixa
ALTERNATIVAS ano 0 ano 1 ano 2
alternativa α -$100 $120 $30
alternativa β -$100 $40 $140
Determinar a taxa de desconto que faz as duas alternativas ser igualmente atrativas para o investidor.
Resolução:
2
80 1100+ - =0 TIR 37,5%
(1+TIR) (1+TIR) α β−
→ =
7. Uma empresa estuda a possibilidade de substituir um equipamento. Ela dispõe de duas alternativas
mutuamente exclusivas, o equipamento N e o equipamento V. Os fluxos de caixa estimados são os
seguintes:
Fluxo de Caixa
ALTERNATIVAS ano 0 ano 1 ano 2
Equipamento N -$100 $1.000 $200
Equipamento V -$90 $300 $1.400
Considerando-se um custo do capital de 10% a.a., pede-se identificar qual é a melhor escolha: a) pela
análise do fluxo incremental; b) pela comparação dos VPLs individuais das alternativas.
Resolução:
a) Cálculo do fluxo incremental N-V:
ALTERNATIVAS ano 0 ano 1 ano 2
Alternativa A -$100 $25 $125
Alternativa B -$100 $95 $45
106
N-V 2
700 1200VPL = 10 $ 365,4
(1,1) (1,1)
− + − = −
Assim, como VPLBN-V B foi negativo, será melhor escolher o projeto V.
b) Analisando-se individualmente:
N 2
1000 200VPL =-100+ + =$974,38
(1,1) (1,1)
V 2
300 1400VPL =-90+ + =$1.339,75
(1,1) (1,1)
Como VPLBV B > VPLBN B , então a melhor alternativa é o equipamento V.
8. Uma empresa estuda a troca de uma máquina velha por uma nova. Com as seguintes informações,
determinar se a máquina deve ou não ser substituída.
Umáquina velha (V)U Umáquina nova (N)U
Investimento inicial - $25.000
Custo operacional $12.000/ano $8.000/ano
Vida útil 2 anos 6 anos
custo do capital 6% a.a. 6% a.a.
Resolução:
Como o prazo de vida útil das alternativas é diferente, usamos o CAE como critério de seleção:
V
N
6 6%
N V
CAE $12.000
$25.000CAE 8.000 5.084,18 8.000 13.084,18
Como CAE >CAE melhor manter o equipamento.
a
=
= + = + =
⇒
9. Determinar qual projeto é preferível: 10. Determinar qual projeto é preferível:
Projeto X Projeto Y Projeto A Projeto B
investimento inicial $1.000 $600 investimento inicial $210.000 $360.000
fluxo de caixa $200/ano $100/ano custo operacional/ano $72.000 $82.000
vida útil 100 anos 90 anos vida útil 10 anos 12 anos
custo do capital 10% a.a. 10% a.a. custo do capital 15% a.a. 18% a.a.
valor residual 0 0 receitas/ano $160.000 $210.000
valor residual 0 $50.000
Como o prazo de vida útil das alternativas é diferente, usamos a AE como critério de seleção:
Resolução:
107
x
100
x 100 10% 100
y
Para x considerando o fluxo em perpetuidade:
200VPL =-1000+ =1000
0,1
1000 (1,1) 1AE = =$99,60 onde: 10,016
10,016 (1,1) 0,1
Para y considerando o fluxo em perpetuidade:
VPL =-600+
a
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
90
y 90 10% 90
100 =400
0,1
400 (1,1) 1AE = =$40 onde: 9,998
9,998 (1,1) 0,1
a
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
Conclui-se que o projeto X é o melhor.
10. Como o prazo de vida útil das alternativas é diferente, usamos a AE como critério de seleção:
Resolução:
A 10
10
A 10 15% 10
B
Para A:
160.000-72.000 160.000-72.000PL =-210.000+ +L+ $231.651,64
1,15 (1,15)
231.651,64 (1,15) 1AE $46.155 onde: 5,019
5,019 (1,15) 0,15
Para B :
210.000 82.00VPL =-360.000
V
a
=
⎡ ⎤−= = = =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
−+ 12
12
B 12 18% 12
B A
0 210.000 82.000 $260.435,87
1,18 (1,18)
260.435 (1,18) 1AE $54.325,38 onde: 4,794
4,794 (1,18) 0,18
AE >AE O projeto B é melhor.
a
−+ + =
⎡ ⎤−= = = =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
⇒
L
11. Qual dos equipamentos, A ou B, é mais adequado economicamente? Considerar um custo de
oportunidade do capital de 10% a.a..
Equipamento Investimento Custo operacional/ano Vida útil
A $18.000 $2.860 13 anos
B $28.000 $1.960 18 anos
Resolução:
Como o prazo de vida útil das alternativas é diferente, usamos o CAE como critério de seleção:
108
A 2 13
13
A 13 10% 13
B 2
Para A:
2.860 2.860 2.860VPL =18.000+ + +L+ =$38.315,60
1,1 (1,1) (1,1)
$38.315,60 (1,1) 1AE = =$5.394,05 onde: 7,1033
7,1033 (1,1) 0,1
Para B :
1.960 1.960 1.960VPL =28.000+ + +
1,1 (1,1) (1
C a
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
18
18
B 18 10% 18
B A
=$44.074,76
,1)
$44.074,76 (1,1) 1CAE = =$5.374 onde: 8,2014
8,2014 (1,1) 0,1
CAE <CAE O projeto B é melhor.
a
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
⇒
12. Calcular o VPL e a anuidade uniforme equivalente nas alternativas mutuamente exclusivas a
seguir. Determinar qual delas representa a melhor escolha econômica.
U alternativa XU Ualternativa Y
investimento inicial $5.000 $8.000
fluxo de caixa $1.672/ano $1.594/ano
duração 5 anos 10 anos
custo do capital 10% a.a. 10% a.a.
Resolução:
Como o prazo de vida útil das alternativas é diferente, usamos a AE como critério de seleção:
X 2 5
5
X 5 10% 5
Y 2 10
Para X:
1.672 1.672 1.672VPL =-5.000+ + $1.338,20
1,1 (1,1) (1,1)
$1.338,20 (1,1) 1AE = =$353 onde: 3,790
3,790 (1,1) 0,1
Para Y :
1.594 1.594 1.594PL =-8.000+ + $1.794
1,1 (1,1) (1,1)
a
V
+ + =
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
+ + =
L
L
10
Y 10 10% 10
Y X
,44
$1.794,44 (1,1) 1AE $292 onde: 6,14465
6,14465 (1,1) 0,1
AE <AE A alternativa X é melhor.
a
⎡ ⎤−= = = =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
→
13. Uma empresa cujo custo de oportunidade do capital é de 7% a.a. estuda a possibilidade de comprar
uma máquina. Ela pode escolher entre a máquina A e a máquina B, e dispõe das seguintes informações
sobre as alternativas de investimento:
máquina A máquina B
Investimento inicial $19.000 $25.000
Fluxo de Caixa $12.000/ano $8.000/ano
Vida útil 4 anos 6 anos
Valor Residual 0 0
Para as duas alternativas de investimento, calcular: 1) o Valor Presente Líquido; 2) A Taxa Interna de
Retorno; 3) a anuidade uniforme equivalente.Determinar qual projeto é preferível.
Resolução:
Como o prazo de vida útil das alternativas é diferente, usamos a AE como critério de seleção:
109
A 2 3 4
4
A 4 7% 4
Para máquina A:
12.000 12.000 12.000 12.000VPL =-19.000+ + + + =$21.646,54
(1,07) (1,07) (1,07) (1,07)
$21.646,54 (1,07) 1AE = =$6.390,67 onde: 3,3882
3,3882 (1,07) 0,07
12.000 119.000+ +
(1+TIR)
a
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
− A2 3 4
B 2 6
6
B 6 7%
2.000 12.000 12.000+ + =0 ÞTIR =51,01%
(1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)
Para máquina B :
8.000 8.000 8.000VPL
=-25.000+ $13.132,32
(1,07) (1,07) (1,07)
$13.132,32 (1,07) 1AE = =$2.755,11 onde:
4,76658 (
a
+ + + =
−=
L
6
B2 6
B A
4,76658
1,07) 0,07
8.000 8.000 8.000-25.000+ + +L+ =0 TIR =22,56%
(1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)
AE <AE A maquina A é melhor.
⎡ ⎤ =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
⇒
⇒
14. Qual das alternativas mutuamente exclusivas, A ou B, é melhor, considerando-se um custo do
capital de 5% a.a.?
Fluxos de Caixa
ano 0 ano 1 ano 2 ano 3
alternativa A -$14 $8 $8
alternativa B -$11 $5 $5 $5
Resolução:
A 2
2
A 2 5% 2
B 2 3
B
Alternativa A:
8 8VPL =-14+ + =$0,8753
(1,05) (1,05)
0,8753 (1,05) 1AE $0,4707 onde: 1,85941
1,85941 (1,05) 0,05
Alternativa B:
5 5 5VPL =-11+ + + =$2,6162
(1,05) (1,05) (1,05)
2,6162AE
2,
a
⎡ ⎤−= = = =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
=
3
3 5% 3
B A
(1,05) 1$0,960672 onde: 2,7233
7233 (1,05) 0,05
AE >AE Þ A alternativa B é melhor.
a
⎡ ⎤−= = =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
15. Uma empresa industrial pretende terceirizar durante três anos a fabricação de determinada
peça.Um estudo mostrou que para produzir 8.000 peças/ano é necessário um investimento inicial de
$200.000 em equipamentos e custos operacionais totais de $18.000/ano se a peça for fabricada
internamente. Se a fabricação for terceirizada, o preço de compra será de $12/peça. Considerando um
custo do capital de 8% a.a., determinar se a fabricação da peça deve ou não ser terceirizada.
Resolução:
110
fabricar 2 3
2
fabricar 3 8% 2
terceirizar
18.000 18.000 18.000VPL =200.000+ + + =$246.387,74
(1,08) (1,08) (1,08)
$246.387,74 (1,08) 1CAE = =$95.606 onde: 2,57712
2,57712 (1,08) 0,08
Para terceirizar:
CAE =$96
a
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
terceirizar fabricar
.000
CAE >CAE ÞO melhor é fabricar .
16. Uma bomba hidráulica instalada em um poço artesiano tem custos operacionais de $450/ano,
considerados muito altos para o tipo de instalação. Trocá-la por um equipamento mais moderno
representaria um investimento líquido de $1.230 sem valor residual. Uma projeção indica que a nova
bomba teria os seguintes custos operacionais/ano ao longo de sua vida útil:
ano 0 ano 1 ano 2 ano 3 ano 4 ano 5
custos operacionais: 0 $250 $200 $150 $100 $50
Considerando um custo de oportunidade do capital de 2% a.a., calcular o custo anual uniforme
equivalente (CAE) das duas alternativas (trocar e não trocar a bomba) e determinar se a bomba deve
ou não ser substituída. Não levar em consideração efeitos fiscais.
Resolução:
2 5
5
NT 5 2% 5
Não trocar a bomba:
450 450 450VPL= $2.121,05
(1,02) (1,02) (1,02)
$2.121,05 (1,02) 1CAE = =$449,98 onde: 4,7137
4,7137 (1,02) 0,02
Trocando o Equipamento:
250VPL=-1.230+
(1,02)
a
+ + + =
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
L
2 3 4 5
5
T 5 2% 5
NT T
200 150 100 50+ $1.946,35
(1,02) (1,02) (1,02) (1,02)
$1.946,35 (1,02) 1CAE = $412,92 onde: 4,7137
4,7137 (1,02) 0,02
CAE >CAE O melhor é comprar um novo equipamento .
a
+ + + =
⎡ ⎤−= = =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
⇒
17. Atualmente, a operação de um equipamento produz uma receita líquida de $200/ano. Existe a
possibilidade de trocá-lo por um novo equipamento orçado em $4.800 com vida útil de cinco anos e
sem valor residual. No caso da troca de equipamentos, o fluxo de caixa líquido aumentará
geometricamente nos próximos cinco anos de acordo A seguinte projeção:
ano 0 ano 1 ano 2 ano 3 ano 4 ano 5
Fluxo de caixa: -$4.800 $200 $400 $800 $1.600 $3.200
Considerando um custo de oportunidade do capital de 5% a.a., calcular as anuidades uniformes
equivalentes (AE) para as duas alternativas (trocar e não trocar o equipamento) e determinar se o
equipamento deve ou não ser substituído. Não considerar efeitos fiscais.
Resolução:
111
2 5
5
NT 5 5% 5
2 3 4
Não trocar :
200 200 200VPL= $865,90
(1,05) (1,05) (1,05)
865,90 (1,05) 1AE = =$200 onde: 4,32945
4,32945 (1,05) 0,05
Trocar:
200 400 800 1.600 3.VPL=-4.800
(1,05) (1,05) (1,05) (1,05)
a
+ + + =
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
+ + + + +
L
5
5
T 5 5% 5
NT T
200 $267,97
(1,05)
267,97 (1,05) 1AE = =$61,90 onde: 4,32945
4,32945 (1,05) 0,05
AE >AE O melhor é manter o equipamento .
a
=
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
⇒
18. Para as seguintes alternativas mutuamente exclusivas, calcular a TIR e o VPL. Se o custo do
capital for de 10% a.a., determinar a melhor alternativa.
Fluxos de Caixa
ano A B C D
0 -$1.500 -$1.500 -$1.500 -$1.500
1 150 0 150 300
2 1.350 0 300 450
3 150 450 450 750
4 -150 1.050 600 750
5 -600 1.950 1.875 900
Resolução:
A2 3 4 5
B2 3 4 5
Calculando os valores da TIR:
150 1.350 150 150 600-1.500+ + + - - =0 TIR =-200%
(1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)
0 0 450 1.050 1.950-1.500+ + + + =0 TIR =20,9%
(1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)
15-1.500+
⇒
+ ⇒
C2 3 4 5
D2 3 4 5
A
0 300 450 600 1.875+ + + + =0 TIR =22,8%
(1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)
300 450 750 750 900-1.500+ + + + + =0 TIR =25,4%
(1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)
Calculando os valores do VPL:
150VPL =-1.500+
(1
⇒
⇒
2 3 4 5
B 2 3 4 5
C 2 3 4 5
D
1.350 150 150 600+ + - - =$-610,22
,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
0 0 450 1.050 1.950VPL =-1.500+ + + + + =$766,03
(1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
150 300 450 600 1.875VPL =-1.500+ + + + + =$796,43
(1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
VPL =-1. 2 3 4 5
300 450 750 750 900500+ + + + + =$779,19
(1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
A melhor alternativa é a opção C (€O VPL é o critério apropriado, pois as alternativas tem a mesma e
escala e prazo).
19. Uma prensa hidráulica nova custa $90.000. A máquina pode ser operada até o término de sua vida
útil de quatro anos ou substituída antes desse prazo. O equipamento será depreciado linearmente em
quatro anos e gera um fluxo de caixa operacional líquido de $30.000/ano. A um custo do capital de
112
20% a.a., determinar a época ótima de substituição da máquina. A empresa dispõe das seguintes
informações sobre os valores de mercado de máquinas similares usadas:
Anos de uso da máquina: 1 2 3 4
Valor de mercado (no final do respectivo ano): $80.000 $72.000 $68.000 $34.000
Resolução:
1
1
1 1 20% 1
2
Calculando os VPLs e as anuidades equivalentes das alternativas:
30.000+80.000VPL =-90.000+ =$1.666
(1,2)
1.666 (1, 2) 1AE = =$1.999,20 onde: 0,8333
0,8333 (1, 2) 0,2
VPL =-90.000
a
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
2
2
2 2 20% 2
3 2 3
3
30.000 30.000 72.000 $5.833,33
(1,2) (1, 2)
5.833,33 (1,2) 1AE = =$3.818,37 onde: 1,5277
1,5277 (1,2) 0,2
30.000 30.000 30.000 68.000VPL =-90.000+ + $12.546,29
(1,2) (1,2) (1,2)
12AE =
a
++ + =
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
++ =
3
3 20% 3
4 2 3 4
4
.546,29 (1, 2) 1=$7.859,11 onde: 1,5964
1,5964 (1, 2) 0, 2
30.000 30.000 30.000 30.000+34.000VPL =-90.000+ + + + =$4.058,44
(1,2) (1,2) (1,2) (1,2)
4.058,44AE = =$1.567,73 onde
2,58873
a
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
4
4 20% 4
(1, 2) 1: 2,58873
(1,2) 0, 2
a
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
A época ótima para substituição
seria o terceiro ano.
20. Um equipamento pode ser usado por cinco anos ou substituído antes desse prazo. Considerando-se
um custo do capital de 10% a.a. e com os seguintes VPLs para cada uma das alternativas de
substituição, calcular as anuidades uniformes equivalentes (AE) e determinar o período ótimo de
substituição do equipamento.
ano: 1 2 3 4 5
VPL: $2.000 $5.000 $7.000 $8.000 $10.000
Observação: cada alternativa de substituição do equipamento (substituir no primeiro, segundo ou
quinto ano) é mutuamente exclusiva em relação às outras.
Resolução:
113
1
1 1 10% 1
2
2 2 10% 2
3
2.000 (1,1) 1 0,1AE = $2.200 onde: 0,9090
0,9090 0,11(1,1) 0,1
5.000 (1,1) 1AE = $2.880,95 onde: 1,735537
1,735537 (1,1) 0,1
7.000AE $2.814,80
2,48685
a
a
−= = = =×
⎡ ⎤−= = =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
= =
3
3 10% 3
4
4 4 10% 4
5
5 5 10% 5
(1,1) 1onde: 2, 48685
(1,1) 0,1
8.000 (1,1) 1AE $2.523,76 onde: 3,169865
3,169865 (1,1) 0,1
10.000 (1,1) 1AE $2.637,98 onde:
3,79078 (1,1) 0,1
a
a
a
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤−= = = =⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤−= = = ⎢ ×⎢⎣
3,79078=⎥⎥⎦
O período ótimo de substituição é o segundo período.
21. O fluxo de caixa de um projeto de plantação de eucaliptos para fabricação de papel e celulose é
dado em função do tempo: FBtB = 10.000 (1 + t) P1/2P. O VPL do projeto com t anos de duração pode ser
expresso por: VPLBtB = FBt B eP-k tP - C
onde:
k = 5% a.a.(custo do capital)
C = $15.000 (investimento inicial)
T = tempo.
Determinar o tempo ótimo de corte das árvores usando como critério decisório o método do VPL.
Resolução:
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
2
1 1-
2 2
-kt
-kt
VPL(t)=p[(1+t) ×exp(-Kt)]-C
Maximizar VPL(t):
d VPL(t) =0
dt
d VPL(t) 1=p[ (1+t) ×exp(-Kt)-k 1+t ×exp -kt ]=0
dt 2
e =k× 1+t×e
2× 1+t
2k 1+t =1
1t= -1
2k
k=0,05 t=9 anos
22. Uma empresa deve arrendar operacionalmente um equipamento. O valor do equipamento é de
$27.000, com vida útil de três anos. A sociedade arrendadora propõe um contrato de três anos,
comprometendo-se a arcar com os gastos gerais de manutenção, estimados em $3.000/ano. A alíquota
de IR da arrendadora é de 30%, e seu custo do capital é de 10% a.a.. Calcular o valor da prestação
anual mínima líquida do IR a ser cobrada da arrendatária.
Resolução:
Dados da operação:
• valor do equipamento = $27.000;
• vida útil do equipamento = 3 anos;
• prazo da operação = 3anos;
• alíquota de IR do arrendador = 30%;
• custo do capital do arrendador = 10% a.a.;
• gastos de manutenção = $3.000/ano.
114
O quadro abaixo mostra os fluxos de caixa relevantes à análise da operação do ponto de vista do
arrendador:
Fluxo de Caixa
ITEM ano 0 ano 1 ano 2 ano 3
• Valor do equipamento
• Gastos de manutenção
-27.000
-3.000
-3.000
-3.000
• Efeitos fiscais
dos gastos de manutenção (a)
da depreciação do equipamento (b)
900
2.700
900
2.700
900
2.700
Fluxo de caixa incremental líquido -27.000
600 600 600
No quadro, observam-se dois itens relativos aos efeitos fiscais: (a) e (b). Vejamos o
significado:
(a) A operação de Leasing Operacional proporciona vantagens fiscais ao arrendador, uma vez que este
pode deduzir como despesa os gastos gerais de manutenção, administrativos , seguros etc. incorridos
no arrendamento do bem. O benefício fiscal será igual ao valor da despesa vezes a alíquota de I.R
($3.000 × 0,30 = $600).
(b) Como proprietário do equipamento, o arrendador ganha o benefício fiscal da depreciação, que será
igual à alíquota de imposto de renda vezes o valor da quota de depreciação anual (0,30 × $27.000/3 =
$3.000).
• Cálculo do VPL
Valor presente líquido do investimento realizado pelo arrendador usando como fator de desconto seu
custo de oportunidade do capital de 10%:
( ) ( ) 89,507.25$10,1
600$
10,1
600$
10,1
600$000.27$VPL(7%)
32
=−−−=
• Cálculo da prestação mínima
A prestação mínima a ser cobrada da arrendatária será igual a uma anuidade uniforme equivalente
calculada sobre o VPL do arrendador:
3 10
VPL $25.507,89 AE= $10.257,10
2, 48685a
= =
O valor da anuidade ou prestação, acima calculada, permite ao arrendador auferir uma rentabilidade
compatível com seu custo de oportunidade do capital. Como essa prestação representa uma receita
operacional na contabilidade do arrendador sobre a qual deverá pagar IR, a prestação mínima líquida a
ser cobrada da arrendatária será:
653.14$
)30,01(
10,257,10$=
T)-(1
AEmínima prestação =−=
onde T é a alíquota de imposto do arrendador. Logo, podemos concluir que, considerando unicamente
os aspectos financeiros da operação, a prestação de equilíbrio financeiro é de $14.653.
23. Determinar qual é a melhor alternativa do ponto de vista financeiro: comprar o equipamento ou
contratar uma operação de leasing financeiro.
Dados da operação:
• valor do equipamento (igual ao valor da operação) = VO = $21.000;
• valor residual diluído nas prestações;
• prazo de depreciação do equipamento (igual ao prazo do arrendamento) = 15 períodos;
• alíquota de IR = 35%;
• taxa de juros cobrada no leasing (iBA B) = 7% por período;
• taxa de juros da empresa (i) = 10% por período.
Resolução:
Trata-se de avaliar uma operação de leasing financeiro (pessoa jurídica) abordada na Seção 10.10 do
livro. A seguir, são calculados os valores necessários para avaliar o contrato usando o modelo de
115
MDB (Myers, Dill e Bautista). O modelo permite determinar, em termos de valor presente, a vantagem
ou desvantagem do leasing em relação à compra financiada.
• Cálculo da taxa de arrendamento e das prestações:
15
15 7%n %A
15
t
100% 100% 100%TA = 10,9795% por período
(1,07) 1i
(1,07) 0,07
R VO TA $21.000 10,9795% /100 $2.305,69 por período
a a
= = =⎡ ⎤−⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
= × = × =
• Cálculo da quota de depreciação por período:
períodopor 4001$=
15
000.21$
N
VOD t ==
• Cálculo do numerador do somatório da fórmula:
$1.988,70$1.4000,350,35)-(169,305.2$DTT)(1R tt =×+×=×+− ¨
• Cálculo da taxa de juros (após IR) da empresa: iP* P= i × (1–T) = 10% × (1–0,35) = 6,5%
• Cálculo do valor presente da vantagem financeira do leasing em relação à compra:
( )
glea
a
sin o selecionar 0 V Como
094,300.2$40267,91.988,70-$21.000
1.988,70-$21.000
i1
DTT)(1R
VOV
C-L
4L
1t
6,5% 15t*
tt
C-L
⇒>
>=×=
=
×=+
×+−
−= ∑=
=
24. Calcular a taxa de arrendamento e o valor das contraprestações para uma operação de leasing
financeiro de $20.000 com prazo de 24 meses sem valor residual e com contraprestações pagas ao fim
de cada mês. Considerar uma taxa de juros de 5% a.m. fixada pela instituição financeira que
intermedia o financiamento.
Resolução:
Taxa de arrendamento sem valor residual:
24
n %A
24
0
100% 100% 100%TA 7, 2471%
13,79864(1,05) 1i
(1,05) 0,05
7,2471Prestação mensal: R=V ×TA=20.000 $1.449, 42
100
a
= = = =⎡ ⎤−⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
× =
25. A taxa de arrendamento para uma operação de leasing financeiro sem valor residual e com prazo
de 36 meses é de 5,2887% a.m.. Calcular a taxa
de juros aplicada pela instituição financeira.
Resolução:
36
n % AA
36
A A
36 36
A A A
A
Taxa de juros sem valor residual:
100% 100%TA 5,2887%
(1+i ) 1i
(1+i ) i
5,2887 (1+i ) 1 100 [(1+i ) i ]
Pelo método das tentativas e aproximações i 4% a.m.
a
= = =⎡ ⎤−⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤× − = × ×⎣ ⎦
⇒ =
26. Calcular a taxa de juros aplicada em uma operação de leasing financeiro com prazo de 48 meses,
taxa de arrendamento de 3,9195% a.m. e valor residual de 4% a ser cobrado ao término da operação.
Resolução:
116
A
n %A
A48
A
48
A A
48 48
A A A A
Taxa de juros com valor residual:
(100% VRG%) TA + i ×VRG%
i
100% 4%3,9195% i 4%
(1+i ) 1
(1+i ) i
3,9195 (1+i ) 1 96 [(1+i ) i ] 4 i
Pelo método das tentativas e apr
a
−=
−= + ×⎡ ⎤−⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤× − = × × + ×⎣ ⎦
Aoximações i 3% a.m.⇒ =
27. Considerando uma taxa de juros aplicada pela instituição financeira de 5% a.m., determinar a taxa
de arrendamento e o valor da contraprestação para uma operação de leasing financeiro no valor de
US$200.000, com prazo de 28 meses e valor residual garantido de 5% cobrado ao fim da operação.
Resolução:
A
n %A
28
28
0
Taxa de arrendamento com valor residual:
(100%-VRG%)TA= i VRG%
i
100% 5% 95%TA 0,05 5% 0, 25% 6,6266% a.m.
2,920129(1,05) 1 0,19600(1,05) 0,05
Prestação mensal: R=V ×TA=200.000×
a
+ ×
−= + × = + =⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦×⎢ ⎥⎣ ⎦
6,6264 =US$13.253,28
100
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
28. No exercício anterior, se for concedido um período de carência de 2 meses para o início do
pagamento das prestações, calcular a taxa de arrendamento e o valor das prestações.
Resolução:
( )
( )
A
A
A
c
c
n c i %
2
26 5%
Taxa de arrendamento para carência de dois meses:
100% 1 i VRG%
TA i VRG%
100% 1,05 5%
0,05 5% 7,571% a.m
7,571Prestação mensal: R $200.000 US$15.14
100
a
a
−
× + −= + ×
× −= + × =
= × = 3,29
29. Uma concessionária vende por meio de leasing um veículo cujo valor à vista é $20.000,00.
Devem ser pagas uma entrada de 20% e 36 prestações mensais iguais. Considerando-se que a
instituição financeira aplica juros de 3% a.m., calcular a taxa de arrendamento e o valor das
prestações.
Resolução:
A
36
n i %
36
0
Taxa de arrendamento e prestação:
(100% -VRG%) 100%-20% 80%TA= = =3,6643% a.m.
1,898278(1,03) -1 0,086948(1,03) ×0,03
3,6643Prestação: R=V ×TA=$20.000× =$732,86
100
a ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
.
117
30. Por um veículo adquirido pelo sistema leasing, paga-se determinada entrada e mais 24 prestações
mensais iguais. Considerando-se uma taxa de arrendamento de 4% a.m. e que a instituição financeira
aplica uma taxa de juros efetiva de 3% a.m., calcular a porcentagem paga como entrada.
Resolução:
An i %
24
24
Porcentagem paga com entrada(VRG):
(100% VRG%)TA=
100% VRG% 100% VRG%4% 4%
1,032794(1,03) 1 0,06098(1,03) 0,03
67,746%=100%-VRG% VRG=32,254%
a
−
− −= ⇒ =⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦×⎢ ⎥⎣ ⎦
⇒
31. A taxa de arrendamento de uma operação de leasing é de 5,0954% a.m. Considerando-se um VRG
de 15% pago ao término da operação e que a instituição financeira que intermedia o financiamento
aplica uma taxa de juros de 4% a.m., determinar o prazo da operação em meses.
Resolução:
An i %
n
n
n n
Prazo em meses:
(100% VRG%) TA
100% 15%5,0954%
(1,04) 1
(1,04) 0,04
5,0954%×[(1,04) -1]=85%×[(1,04) ×0,04]
por tentativa, temos que: n =36 meses.
a
−=
−= ⎡ ⎤−⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
32. Determinar a taxa de juros aplicada em um arrendamento de 24 meses em que o VRG de 20% é
pago na entrada e a taxa de arrendamento é de 4,7238% a.m..
Resolução:
A
A
n i %
A24
24
24 24
A A A A
Taxa de juros aplicadas em operação:
(100% VRG%) TA +i ×VRG%
100%-20%4,7238%= +i ×20%
(1+i) -1
(1+i) ×i
4,7238%×[(1+i ) -1]-i ×20%=80%×[(1+i ) ×i ]
Por aproximações e tentativas, t
a
−=
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Aemos que: i =3% a.m.
33. O quadro a seguir mostra os fluxos de caixa de quatro projetos mutuamente exclusivos:
Ano Projeto A Projeto B Projeto C Projeto D
0 -85.000 -150.000 -250.000 -378.000
1 40.000 78.000 0 390.000
2 40.000 78.000 0 0
3 40.000 78.000 0 0
4 40.000 78.000 700.000 150.000
Vida útil (anos) 4 4 4 4
Admitindo-se que o custo do capital adequado para análise econômica seja de 20% a.a., pede-se:
a) Estimar os seguintes indicadores de rentabilidade para cada projeto: VPL, TIR, Relação Custo-
Benefício (B/C), Pay-back (PB), Anuidade Uniforme Equivalente (AE).
b) Selecionar a melhor alternativa usando o VPL e a AE.
c) Fazer uma análise que mostre o processo de seleção entre as alternativas A e C como função do
custo de oportunidade do capital.
118
Resolução:
a) Podemos calcular as TIRs das alternativas a partir das seguintes equações:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) %99,23TIR 0TIR1
$150.000
TIR1
$390.000$378.000
%36,29TIR 0
TIR1
$700.000$250.000
%42,37TIR 0
TIR1
$78.000
TIR1
$78.000
TIR1
$78.000
TIR1
$78.000$150.000
%15,13TIR 0
TIR1
$40.000
TIR1
$40.000
TIR1
$40.000
TIR1
$40.000$85.000
D4
D
1
D
C4
C
B4
B
3
B
2
B
1
B
A4
A
3
A
2
A
1
A
=⇒=++++−
=⇒=++−
=⇒=++++++++−
=⇒=++++++++−
Podemos calcular os VPLs do seguinte modo:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) 338.191,2
$150.000
1,2
$390.000$378.000VPL
577.87
2,1
$700.000$250.000VPL
921.51
1,2
$78.000
1,2
$78.000
1,2
$78.000
2),(1
$78.000$150.000VPL
549.18
20,1
$40.000
1,20
$40.000
20,1
$40.000
20,1
$40.000$85.000VPL
41D
4C
4321B
4321A
=++−=
=+−=
=++++−=
=++++−=
Podemos calcular as AE do seguinte modo:
A 4 20%
4 20%
B
4 20%
C
4 20%
D
4 20%
18.549AE 7.165 onde 2,58874
51.921AE 20.057
87.577AE 33.830
19.338AE 7.470
a
a
a
a
a
= = =
= =
= =
= =
Podemos calcular os índices custo-benefício do seguinte modo:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) 05,1$378.000/1,2
$150.000
1,2
$390.000B/C
35,1$250.000/
1,2
$700.000B/C
35,1$150.000/
1,2
$78.000
1,2
$78.000
1,2
$78.000
(1,2)
$78.000B/C
22,1$85.000/
1,20
$40.000
1,20
$40.000
1,20
$40.000
1,20
$40.000B/C
41D
4C
4321B
4321A
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +++=
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +++=
Resumo:
Indicador Projeto A Projeto B Projeto C Projeto D
TIR 31,15% 37,42% 29,36% 23,99%
B/C 1,22 1,35 1,35 1,05
PB 4 3 4 4
VPL $18.549 $51.921 $87.577 $19.338
AE $7.165 $20.057 $33.830 $7.470
119
b) Pelo VPL e AE, selecionamos C. Os dois indicadores conduzem à mesma seleção.
c) No quadro a seguir, são calculados os VPLs das alternativas A e C para diferentes custos do capital
(K). A última coluna mostra a alternativa selecionada (a de maior VPL):
K VPL
(alternativa A)
VPL
(alternativa C)
Alternativa
selecionada
18% $22.602,47 $111.052,21 C
20% $18.549,38 $87.577,16 C
24% $11.171,07 $46.081,52 C
26% $7.807,57 $27.725,57 C
28% $4.638,71 $10.770,32 C
30% $1.649,63 -$4.910,54 A
36% -$6.367,83 -$45.382,67 A
40% -$11.030,82 -$67.784,26 A
34. Uma empresa de transportes planeja a renovação da sua frota de caminhões. Após um estudo
técnico, chegou à conclusão de que somente as marcas Fiat, Ford, Honda e Toyota fabricam modelos
adequados às suas necessidades. O quadro a seguir mostra as diversas características operacionais e de
custo dos caminhões dessas quatro marcas:
MARCA Custo de
aquisição do
caminhão
Desempenho do caminhão
(quilômetros por litro de
óleo diesel )
Custos de
manutenção anual ($/ano)
Vida útil do caminhão
(anos)
Fiat $25.000 10 $3.000 5
Ford 28.000 11 2.800 6
Honda 35.000 16 2.300 8
Toyota 33.000 14 2.200 7
Admitindo-se que cada caminhão, independentemente da marca, rode em torno de 40.000 km por ano
e que o custo do óleo diesel seja constante e igual a $1 por litro e considerando-se que o custo do
capital da empresa é de 20% a.a., determinar qual marca de caminhão deve ser escolhida.
Desconsiderar impostos e valores residuais.
Resolução:
Como o prazo de vida útil dos caminhões (prazo das alternativas) é diferente, usamos como critério de
seleção o custo anual equivalente (CAE).
35. Uma indústria do setor de alumínio pretende investir em uma nova planta. Encomendou um estudo
de mercado que recomendou três possíveis tamanhos de planta: a planta A requer um investimento de
$10 milhões; a planta B, um investimento de $12 milhões; e a planta C, um investimento de $18
120
milhões. O estudo de engenharia projetou uma vida útil de 10 anos para a planta A, de 15 anos para a
B e de 18 anos para a C. De acordo com o estudo de viabilidade, os fluxos de caixa econômicos
dependem do investimento requerido e da vida útil da planta específica de acordo com a seguinte
função: FC (I,N) = 1.300.000 + 0,1 × I + 100.000 × N, onde FC refere-se ao fluxo de caixa anual
(constante), I refere-se ao investimento requerido e N, à vida útil da planta específica. Considerando-
se um custo do capital de 20% a.a. e que não há impostos nem valor residual, determinar o tamanho da
planta economicamente adequado.
Resolução:
Como os prazos das alternativas são diferentes, usamos como critério de seleção a anuidade
equivalente (AE).
A
B
Fluxos de caixa:
FC(I,N) 1.300.000 0,1 INVESTIMENTO 1 00.000 PRAZO
FC $1.300.00 0,1 $10.000.000 $100.000 10 3,3 milhões
FC $1.300.00 0,1 $12.000.000 $100.000 15 4,0 milhões
F
= + × + ×
= + × + × =
= + × + × =
C
10 20%A
A 10 20%
10 20% 10 20%
B
B
15 20%
C $1.300.00 0,1 $18.000.000 $100.000 18 4,9 milhões
Anuidades equivalentes:
$10 $3,3VPL
AE $914.772 4,19247
$12 VPL
AE
a
a
a a
a
= + × + × =
− + ×= = = =
−= = 15 20% 15 20%
15 20%
C 18 10%
C 18 20%
18 20% 18 20%
$4,0
$1.433.414 4,67547
$18 $4,9VPL
AE $1.159.503 4,81219
Tamanho selecionado: plan
a
a
a
a
a
a a
+ × = =
− + ×= = = =
⇒ ta B, pois tem a maior AE.
36. Considere um custo de capital de 10% e admita que lhe sejam oferecidos os seguintes projetos:
Projeto Investimento em t
= 0
Fluxo em
T = 1
Fluxo em
T = 2
A -$100 $60 $60
B -$10.000 $8.000 $8.000
a) Considerando que os dois projetos sejam independentes, utilizar o critério da TIR e do VPL para
analisar a viabilidade de ambos os projetos.
b) Considerando os dois projetos como mutuamente exclusivos, utilizar o critério correto para
identificar qual projeto deverá ser escolhido.
c) Na possibilidade de investir em um terceiro projeto, C, determinar se ele é mais vantajoso do que
o escolhido no item b.
Projeto Investimento Fluxo em t = 1 Fluxo em t = 2 Fluxo em t = 3
C -$10.000 $6.000 $6.000 $6.000
Resolução:
a) Podemos calcular as TIRs das alternativas a partir das seguintes equações:
121
( ) ( )
( ) ( )
A1 2
A A
B1 2
B B
$60 $60$100 0 TIR 13,07%
1 TIR 1 TIR
$8.000 $8.000$10.000 0 TIR 37,982%
1 TIR 1 TIR
− + + = ⇒ =
+ +
− + + = ⇒ =
+ +
Podemos calcular os VPLs das alternativas a partir das seguintes equações:
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
$60 $60$100 4,13
1,10 1,10
$8.000 $8.000$10.000 $3.884,30
1,10 1,10
− + + =
− + + =
Observamos que tanto pela TIR quanto pelo VPL, a alternativa selecionada é a B.
b) Como as alternativas são mutuamente exclusivas, analisamos a seleção por meio do fluxo
incremental B-A:
( ) ( )
( ) ( )
B-A1 2
B-A B-A
B-A 1 2
$7.940 $7.940$9.900 0 TIR 38, 22% 10%
1 TIR 1 TIR
$7.940 $7.940VPL $9.900 $3.880,17 0
1,10 1,10
− + + = ⇒ = >
+ +
= − + + = >
Como a TIR do fluxo incremental é maior que o custo do capital e o VPL é positivo, então a
alternativa B é a melhor.
c) Como as alternativas B e C têm prazos diferentes, o método a ser usado deve ser a anuidade
equivalente:
B
2 10%
2 3
C
3 10%
3.884,30AE $2.238,10
6.000 6.000 6.00010.000
(1,10) (1,10) (1,10)AE $1.978,85 selecionar alternativa B(maior AE).
a
a
= =
− + + +
= =
Resumo:
projeto VPL TIR projeto Anuidade equivalente (AE)
A $4,13 13,07% B $2.238,10 ⇒ Selecionar B
B $3.884,30 37,98% C $1.978,85
B-A $3.880,17 38,22% ⇒ Selecionar B
37. Uma empresa analisa três alternativas de investimento mutuamente exclusivas. Determinar a
alternativa mais adequada, considerando-se um custo do capital de 9% a.a. e as seguintes informações
sobre as alternativas:
Alternativa Investimento
líquido
Fluxo de caixa
anual
Vida útil
(anos)
Valor de liquidação
(valor residual ao término da vida útil)
A $480 $113 5 $149
B 620 120 7 140
C 750 142 7 187
Resolução:
122
5 9% 5
A
A 5 9%
5 9% 5 9%
7 9% 7
B
B
7 9% 7 9%
Anuidades equivalentes:
$149$480 $113
VPL $56,37(1,09)AE $14, 49 3,88965
3,88965
$140$620 $120
VPL $60,54(1,09)AE
5,0
a
a
a a
a
a a
− + × +
= = = = =
− + × +
= = = 7 %
7 9% 7
C
C 7 9%
7 9% 7 9%
$12,03 5,03295
3295
$187$750 $142
VPL $66,97 (1,09)AE $13,31 5,03295
5,03295
selecionar a alternativa A, pois tem a ma
a
a
a
a a
= =
− + × +
= = = = =
⇒ ior AE.
Resumo:
Alternativa VPL Anuidade equivalente (AE)
A $56,37 $14,49 ⇒ Selecionar A
B 60,54 12,03
C 66,97 13,31
UCAPÍTULO 11
Exercícios Propostos
1. A compra de um equipamento com vida útil de três anos e sem valor residual exige um
investimento inicial de $1.180.000. O equipamento permitirá diminuir os custos operacionais em
$388.000/ano e aumentar a receita operacional em $210.000/ano. Considerando-se que a alíquota de
IR é de 30% e o custo do capital é de 10%, calcular o VPL e a TIR do projeto. Justifica-se o projeto do
ponto de vista econômico? (obs.: considerar os efeitos fiscais dos fluxos de caixa: por exemplo, efeito
fiscal devido ao aumento da receita, diminuição de custos, aumento da depreciação).
Resolução:
FLUXO DE CAIXA
ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Liquidação
UFluxos de investimento U
Investimento inicial -1.180.000 0
UFluxos operacionais U
Diminuição dos custos operacionais 388.000 388.000 388.000
Aumento da receita operacional 210.000 210.000 210.000
UEfeitos fiscais U
Do aumento da depreciação (a) 118.000 118.000 118.000
Da diminuição do custo operacional (b) -116.400 -116.400 -116.400
Do aumento da receita operacional (c) -63.000 -63.000 -63.000
Fluxo de caixa econômico -1.180.000 536.600 536.600 536.600 0
Obs.: todos os fluxos, menos o de investimento, foram considerados fluxos postecipados (fluxos no final do respectivo ano).
Os efeitos fiscais são calculados multiplicando-se cada fluxo pela alíquota de IR:
(a) alíquota de IR × (depreciação anual) = 0,30 × ($1.180.000/3)
123
(b) alíquota de IR ×
(diminuição do custo operacional) = 0,30 × ($388.000)
(c) alíquota de IR × ( aumento da receita operacional) = 0,30 × ($210.000)
Cálculo do VPL e avaliação econômica:
2 3
2 3
$536.600 $ 536.000 $536.000VPL(10%) $1.180.000 $155.439,52 >0
(1,10) (1,10) (1,10)
Pela TIR:
$536.600 $ 536.000 $536.000 $1.180.000 TIR=17,34% >10%
(1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)
= − + + + =
− + + + ⇒
Como o VPL >0 e a 0TIR>10% ⇒ A compra do equipamento está justificada.
2. Uma empresa estuda a compra de um determinado equipamento que permita uma redução de custos
no seu processo operacional. O preço do equipamento é de $5.000, e a vida útil é de cinco anos com
valor residual igual a 10% do valor de aquisição. Se o custo de oportunidade do capital é 10% a.a., de
quanto deve ser, no mínimo, a redução anual de custos proporcionada pelo equipamento de modo que
se justifique a compra? Desconsidere todo tipo de efeito fiscal.
Resolução:
FLUXO DE CAIXA
ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Liquidação
UFluxos de investimento U
Investimento inicial -5.000 500
UFluxos operacionais U
Diminuição dos custos X X X X X
Fluxo de caixa econômico - 5.000 X X X X X 500
Para a compra se justificar, o VPL deverá ser positivo:
3. Uma empresa pretende investir $220.000 na compra de um equipamento com vida útil de quatro
anos sem nenhum valor residual de liquidação. O equipamento deve proporcionar uma diminuição nos
custos operacionais da ordem de $52.000/ano e um incremento na receita operacional da ordem de
124
$30.000/ano. Considerando-se que a alíquota de IR da empresa é de 30% e seu custo do capital é de
12% a.a., analisar a viabilidade econômica do projeto pelo critério da TIR.
Resolução:
FLUXO DE CAIXA
ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação
UFluxos de investimento U
Compra do equipamento -220.000 0
UFluxos operacionais U
Diminuição dos custos operacionais
Incremento da receita operacional
52.000
30.000
52.000
30.000
52.000
30.000
52.000
30.000
UEfeitos fiscais U
Da depreciação (a)
Da diminuição dos custos operacionais (b)
Do incremento da receita operacional (c)
16.500
-15.600
-9.000
16.500
-15.600
-9.000
16.500
-15.600
-9.000
16.500
-15.600
-9.000
Fluxo de caixa econômico -220.000 73.900 73.900 73.900 73.900 0
Os efeitos fiscais são calculados multiplicando-se cada fluxo pela alíquota de IR:
(a) IR × depreciação anual = 0,30 × (220.000/4)
(b) IR × diminuição dos custos operacionais = 0,30 × $52.000
(c) IR × incremento da receita operacional = 0,30 × $30.000
Cálculo da TIR:
2 3 4
$73.900 $73.900 $73.900 $73.900$220.00 0 TIR=12,96%>12%
(1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)
− + + + + = ⇒
⇒ A compra do equipamento se justifica economicamente
4. Uma empresa estuda a possibilidade de substituir uma bateria de tornos mecânicos por outra com
comando numérico. Se forem substituídos, os tornos mecânicos podem ser vendidos hoje no mercado
de ativos usados pelo seu valor contábil de $21.000; caso contrário, poderão operar unicamente por
mais quatro anos. O valor contábil dos tornos mecânicos pode ser depreciado linearmente em três
anos. O valor da nova bateria de tornos com comando numérico é de $200.000, com vida útil de dez
anos e depreciáveis pelo mesmo período. Admite-se que o novo equipamento possa ser vendido em
qualquer ano ao longo de sua vida útil por um preço 30% maior que seu valor contábil daquele ano.
Espera-se que a substituição do equipamento acarrete uma diminuição nos custos operacionais da
ordem de $30.000/ano e um aumento nas necessidades de capital de giro da ordem de $5.000
(considerado investimento inicial). Para executar o projeto, a empresa pretende levantar um
empréstimo de $160.000 que será quitado por meio de três prestações anuais, segundo a Tabela Price,
a juros de 10% a.a.. Considerando-se um custo do capital de 12% a.a. e uma alíquota de IR de 30%,
analisar o projeto e determinar a sua viabilidade econômico-financeira .
Resolução:
Como os tornos mecânicos podem operar unicamente por mais quatro anos e a vida útil do novo
equipamento é de dez anos, as duas alternativas são comparáveis somente durante os primeiros quatro
anos.
Conforme o Capítulo 8, podemos montar a Tabela Price de amortização do financiamento:
Quadro de Amortização do Financiamento (Tabela Price)
ano Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 160.000,00 - - -
1 111.661,63 48.338,37 16.000,00 64.338,37
2 58.489,43 53.172,21 11.166,16 64.338,37
3 0 58.489,43 5.848,94 64.338,37
125
Cálculo da prestação na Tabela Price:
3
3 10%
3
$160.000 $160.000 $64.338,37(veja capítulo 8 para sistemas de amortização)
(1,10) 1
(1,10) 0,10
a
= =⎡ ⎤−⎢ ⎥×⎢ ⎥⎣ ⎦
FLUXO DE CAIXA
ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação
UFluxos de investimento U
Compra dos tornos com controle numérico -200.000 156.000 (f)
Venda dos tornos mecânicos 21.000
Aumento das necessidades de cap. giro -5.000 5.000 (g)
UFluxos operacionais U
Diminuição dos custos operacionais 30.000 30.000 30.000 30.000
UEfeitos fiscais U
Da depreciação diferencial (a) 3.900 3.900 3.900 6.000
Da diminuição dos custos operacionais (b) -9.000 -9.000 -9.000 -9.000
Da venda dos tornos de controle numérico -10.800 (h)
Dos juros pagos pelo financiamento (c) 4.800 3.350 1.755
UFluxos do financiamento U
Financiamento tomado (d) 160.000
Prestações pagas pelo financiamento (e) -64.338 -64.338 -64.338
Fluxo econômico-financeiro -24.000 -34.638 -36.088 -37.683 27.000 150.200
Os efeitos fiscais são calculados multiplicando-se cada fluxo pela alíquota de IR:
(a) IR × depreciação diferencial
= 0,30 × (depreciação da máquina nova – depreciação da máquina velha)
= 0,30 ×($200.000/10 – $21.000/3)
(b) IR × diminuição dos custos operacionais = 0,30 × $30.000
(c) IR × juros do financiamento em cada ano:
0,3 × $16.000,00; 0,3 × $11.166,16; 0,3 × $5.848,94
(d) Financiamento = $160.000
(e) prestações pagas pelo financiamento (Tabela Price) – ver quadro de amortização
(f) Admite-se que o novo equipamento possa ser vendido em qualquer ano ao longo de sua vida
útil por um preço 30% maior do que seu valor contábil daquele ano. Assim, se for vendido ao término
do quarto ano, o será por:
1,30 × [valor contábil]
1,30 × [valor de aquisição – depreciação acumulada até o quarto ano]
1,30 × [$200.000 – 4 × ($200.000/10)]
(g) o capital de giro é recuperado por liquidação ao término do prazo
(h) na venda das máquinas novas, ao término do quarto ano, haverá imposto a pagar sobre o
ganho de capital nessa venda:
= IR × [ganho de capital na venda das máquinas novas ao término do quarto ano]
= 0,30 × [Valor de venda no quarto ano – Valor contábil no quarto ano]
= 0,30 × [$156.000 – (6/10) × $200.000]
Cálculo do VPL:
126
2 3 4
-$34.638 -$36.088 $37.683 $27.000+$150.200VPL(12%) $24.000 $2.095,87>0
(1,12) (1,12) (1,12) (1,12)
= − + + + + =
Como VPL> 0 ⇒ A substituição justifica-se do ponto de vista econômico-financeiro.
5. A instalação de um moderno equipamento de trituração de minério orçado em $28 milhões
possibilitará que uma mina opere por mais quatro anos antes de encerrar suas operações por
esgotamento da jazida. O equipamento adquirido será depreciado linearmente em dois anos (vida útil)
sem valor residual ao término. Atualmente, a receita operacional e os custos operacionais totalizam
$60 milhões/ano e $6 milhões/ano, respectivamente. Um estudo indica que a instalação do novo
equipamento incrementará a receita operacional em 30% e diminuirá os custos operacionais em 10%,
mas exigirá um investimento adicional de $3milhões em capital de giro. Considerando-se uma alíquota
de imposto de renda de 30% e um custo do capital de 12% a.a., analisar a viabilidade econômica da
aquisição do equipamento.
Resolução:
O fluxo deve ser projetado durante quatro anos:
FLUXO DE CAIXA (milhões)
ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação
UFluxos de investimento U
Compra do equipamento -28,00
Capital de giro -3,00 3,00
UFluxos operacionais U
Aumento da receita operacional
diminuição dos custos operacionais
18,00
0,60
18,00
0,60
18,00
0,60
18,00
0,60
UEfeitos fiscais U
Da depreciação (a) 4,20 4,20
-0,18 -0,18 -0,18 -0,18 Da diminuição dos custos operacionais
Do aumento da receita operacional -5,40 -5,40 -5,40 -5,40
Fluxo de caixa econômico -31,00 17,22 17,22 13,02 13,02 3,00
Os efeitos fiscais são calculados multiplicando-se cada fluxo pela alíquota de IR:
IR × depreciação
= 0,30 × (custo de aquisição/prazo de depreciação)
= 0,30 × ($28/2)
Cálculo do VPL:
2 3 4
$17,22 $17,22 $13,02 $13,02+$3VPL(12%) $31 $17,56>0
(1,12) (1,12) (1,12) (1,12)
= − + + + + =
VPL (12%) = $17,56 milhões > 0 ⇒ A compra do equipamento se justifica economicamente.
6. Uma empresa pretende trocar uma prensa hidráulica antiga por outra nova. O valor do novo
equipamento é de $60.000, depreciáveis linearmente ao longo de sua vida útil de seis anos. O novo
equipamento pode operar até o término de sua vida útil ou pode ser vendido em qualquer época por
um preço igual ao seu valor contábil na data. O equipamento antigo ainda pode ser usado por mais três
anos, mas será vendido no mercado de equipamentos usados por $10.000 no ato da compra do novo.
Atualmente, seu valor contábil é de $6.000, que podem ser depreciados linearmente em três anos. Um
estudo realizado indica que o novo equipamento incrementará a receita operacional em $30.000/ano e
diminuirá os custos operacionais em $4.000/ano. Cinqüenta por cento do valor do novo equipamento
virão de um empréstimo a juros efetivos de 15% a.a., pagável em três prestações anuais de acordo com
a Tabela Price. A alíquota de IR da empresa é de 30%, e seu custo do capital é de 20% a.a.. O projeto
é viável do ponto de vista econômico? E do ponto de vista dos acionistas? Considere um custo do
capital de 20%. a.a. e um custo do capital próprio de 22% a.a..
Resolução:
127
O período de comparação está limitado ao tempo de duração do equipamento antigo (3 anos).
Quadro de Amortização do Financiamento (Tabela Price)
ano Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 30.000,00 - - -
1 21.360,69 8.639,31 4.500,00 13.139,31
2 11.425,50 9.935,21 3.204,10 13.139,31
3 - 11.425,50 1.713,82 13.139,31
FLUXO DE CAIXA
ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Liquidação
UFluxos de investimento U
Compra do equipamento novo -60.000,00 30.000,00
Venda do equipamento antigo 10.000,00
UFluxos operacionais U
Diminuição dos custos operacionais 4.000,00 4.000,00 4.000,00
Aumento da receita operacional 30.000,00 30.000,00 30.00,00
UEfeitos fiscais U
Da depreciação diferencial 2.400,00 2.400,00 2.400,00
Da diminuição do custo operacional -1.200,00 -1.200,00 -1.200,00
Do aumento da receita operacional
Da venda do equipamento antigo
-1.200,00
-9.000,00
-9.000,00 -9.000,00
Fluxo econômico -51.200,00 26.200,00 26.200,00 26.200,00 30.000,00
Empréstimo
Prestações do empréstimo
Efeito fiscal dos juros
30.000,00
-13.139,31
1.350,00
-13.139,31
961,23
-13.139,31
514,15
Fluxo econômico-financeiro -21.200,00 14.410,69 14.021,92 13.574,84 30.000,00
VPLBECONÔMICO B(20%) = $21.351 > 0 ⇒ Viável economicamente.
VPLBECONÔMICO-FINANCEIRO B(22%) = $24,030 > 0 ⇒ Viável econômico-financeiramente.
7. Uma indústria pretende investir $4 milhões na compra de um equipamento. A vida útil do
equipamento é de quatro anos, e ele será instalado em um terreno da própria empresa, cujo valor de
mercado é de $1 milhão. Ao término da vida útil, o bem estará contabilmente depreciado, mas na data
poderá ser liquidado por $1,2 milhão no mercado de equipamentos usados. A receita operacional
projetada obtida da operação do equipamento será de $2 milhões/ano, com custos operacionais de $0,4
milhão/ano e gastos indiretos de $0,2 milhão/ano. As necessidades de capital de giro serão de 15%
sobre os incrementos das vendas. A alíquota de IR da firma é 30% . Pede-se montar o fluxo de caixa
econômico do projeto.
Resolução:
FLUXO DE CAIXA (em milhões)
ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação
Receitas operacionais 2,00 2,00 2,00 2,00
Investimentos
Equipamento -4,00 0,84 (a)
Terreno -1,00 1,00
Mudanças no capital de giro (b) -0,30 0,30 (c)
Custos
Custos operacionais -0,40 -0,40 -0,40 -0,40
Gastos indiretos -0,20 -0,20 -0,20 -0,20
Depreciação (d) -1,00 -1,00 -1,00 -1,00
Lucro tributável 0,40 0,40 0,40 0,40
– Impostos (30%) -0,12 -0,12 -0,12 -0,12
+ Depreciação (e) 1,00 1,00 1,00 1,00
FLUXO ECONÔMICO -5,30 1,28 1,28 1,28 1,28 2,14
(a) Valor de liquidação = valor de venda – impostos sobre ganho de capital = $1,2 – 0,30 ×
($1,20 – 0,00)
(b) mudanças do capital de giro em t = 0,15 × (Receitas Bt B– Receitas Bt-1 B).
128
O capital. de giro é recuperado no final
(c) recuperação do capital de giro
(d) $4,0/4
(e) a depreciação é somada novamente, pois se trata de uma despesa não-caixa
8. Uma empresa do setor de confecções contratou, ao custo de $30.000, uma empresa de consultoria
para efetuar o estudo de viabilidade da modernização de sua atual linha de produção de calças jeans. O
estudo estimou que, com os equipamentos atuais, a linha de produção conseguirá operar por apenas
mais quatro anos antes de se tornar antieconômica. Os atuais equipamentos têm um valor contábil de
$200.000 que pode ser depreciado linearmente em 4 anos. Se forem substituídos agora, esses
equipamentos poderão ser vendidos por $250.000 no mercado de ativos usados. A modernização da
linha de produção requer a compra de novos equipamentos orçados em $1.500.000, permitindo que a
linha de produção possa operar por mais seis anos a partir do momento
em que os equipamentos forem
adquiridos. Estima-se que os novos equipamentos tenham uma vida útil de seis anos, podendo ser
usados até o término desse prazo ou substituídos e vendidos em qualquer época por um valor 10%
abaixo do seu valor contábil na data. Admitindo-se depreciação linear, alíquota de imposto de renda de
30% e custo de oportunidade do capital de 20% a.a., efetuar a análise econômica do empreendimento.
O quadro a seguir apresenta informações sobre a capacidade de produção, custos fixos, custos
variáveis e preço de venda do produto produzido para as situações antes e depois da modernização.
Pede-se montar o fluxo de caixa e efetuar a análise econômica do projeto de modernização.
Situação Capacidade de produção Custos variáveis de
produção
Custos fixos de
produção
Preço de venda
ANTES 200.000 unidades/ano $2,0/unidade $350.000/ano $4,0/ unidade
DEPOIS 300.000 unidades/ano $1,5/unidade $300.000/ano $4,5/ unidade
Resolução:
FLUXO DE CAIXA
ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação
Aumento de receitas (a) 550.000 550.000 550.000 550.000
Investimentos
Investimento inicial líquido -1.265.000 (b) 450.000 (c)
Custos
Aumento custos variáveis (d) -50.000 -50.000 -50.000 -50.000
Diminuição custos fixos (e) 50.000 50.000 50.000 50.000
Depreciação diferencial (f) -200.000 -200.000 -200.000 -200.000
Lucro tributável (a) + (d) + (e) + (f) 350.000 350.000 350.000 350.000
-Impostos (30%) -105.000 -105.000 -105.000 -105.000
+Depreciação diferencial (g) 200.000 200.000 200.000 200.000
FLUXO ECONÔMICO -1.265.000 445.000 445.000 445.000 445.000 450.000
(a) 300.000 unidades × $4,5/unidade – 200.000 unidades × $4/unidade = $550.000/ano
(b) custo dos novos equipamentos...................................................................$1.500.000
caixa gerado pela venda dos equipamentos substituídos...............................(250.000)
impostos sobre ganho de capital na venda: 0,30 × (250.000 – 200.000) U....15.000
investimento inicial líquido.........$1.265.000
(c) 0,90 × {1.500.000 – (4/6) × 1.500.000}
(d) 300.000 unidades × $1,5/unidade – 200.000 unidades × $2,0/unidade = $50.000/ano
(e) $350.000/ano – $300.000/ano = $50.000/ano
(f) ($1.500.000/6 – $200.000/4) = $200.000/ano
(g) a depreciação é somada novamente, pois se trata de uma despesa não-caixa.
129
Análise Econômica: (TIRBE B= 23,81% a.a.) > 20% a.a. ⇒ O projeto é economicamente viável.
9. Uma empresa da área metal-mecânica estuda a modernização de sua principal linha de produção
que produz rolamentos. Basicamente, o projeto consiste na substituição do principal equipamento da
linha por um equipamento tecnologicamente mais moderno e eficiente. Ao custo de $200.000,
contratou a Balman Consultores Associados Ltda para fazer o estudo de viabilidade. O referido estudo
mostrou que o equipamento adequado custa $24.000.000 e estimou por informações do fabricante que
ele poderá ser usado operacionalmente durante seis anos. O estudo da consultora, junto com o
departamento de engenharia da empresa, determinou que o atual equipamento poderá, se for o caso,
ser usado por mais quatro anos até tornar-se imprestável. Segundo o departamento de contabilidade da
empresa e o relatório da consultoria, atualmente o valor contábil do equipamento é de $4.000.000,
depreciáveis linearmente nesse prazo. O equipamento poderia ser vendido por $6.000.000 no mercado
de equipamentos usados. O estudo estimou, por comparação, que o novo equipamento poderá ser
vendido em qualquer época por um valor 50% maior que seu valor contábil da época.
O quadro seguinte apresenta informações do relatório da consultora sobre o atual e sobre o novo
equipamento:
Equipamento Produção
(unidades/ano)
Custo
operacional fixo por ano
Custos variáveis unitários
($/unidade)
Preço de venda unitário
Novo 2.000.000 $9.800.000 $6,60 $14
Atual 1.600.000 $12.200.000 $5,00 $10
Dada a maior produção decorrente do novo equipamento, a Balman estima que seja necessário um
investimento adicional no capital de giro da empresa da ordem de $3.000.000. A consultora
recomenda que a compra do equipamento seja financiada em 40% por meio de um empréstimo a juros
de 12% a.a amortizável em dez anos pelo Sistema de Amortizações Constantes. Ela usou como custo
do capital da empresa 20% a.a, e estimou que os acionistas estimam uma rentabilidade mínima
esperada de 25%. A alíquota de IR da empresa é de 34%, e admite-se que ela possa quitar
integralmente o saldo devedor do empréstimo em qualquer época. Pede-se para replicar a análise de
viabilidade econômica e financeira do relatório apresentado pela consultora. O que você acha que a
consultora recomendou à empresa sobre o projeto?
Resolução:
Quadro de Amortização do Financiamento – Sistema SAC ( em milhões)
ano Saldo devedor Juros Amortização Prestação
0 9,60
1 8,64 1,15 0,96 2,11
2 7,68 1,04 0,96 2,00
3 6,72 0,92 0,96 1,88
4 5,76 0,81 0,96 1,77
FLUXO DE CAIXA (milhões)
ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação
Compra do novo equipamento -24,00
Venda (liquidação) do novo equipamento 12,00 (a)
efeito fiscal na liquidação do novo -1,36 (b)
Venda do atual equipamento 6,00
efeito fiscal na venda do atual - 0,68 (c)
Capital de giro - 3,00 3,00
Receita operacional (d) 12,00 12,00 12,00 12,00
Aumento dos custos fixos (e) 2,40 2,40 2,40 2,40
Diminuição do custo variável (f) - 5,20 - 5,20 - 5,20 - 5,20
-Depreciação diferencial (g) - 3,00 - 3,00 - 3,00 - 3,00
Lucro tributável (d) + (e) + (f) + (g) 6,20 6,20 6,20 6,20
IR (34%) - 2,11 - 2,11 - 2,11 - 2,11
+Depreciação diferencial 3,00 3,00 3,00 3,00
FLUXO ECONÔMICO - 21,68 7,09 7,09 7,09 7,09 13,64
+Empréstimo (h) 9,60 - 5,76 (i)
-Prestações - 2,11 - 2,00 - 1,88 - 1,77
130
+Benefício fiscal dos juros 0,39 0,35 0,31 0,27
FLUXO ECONÔMICO-FINANC. -12,08 5,37 5,45 5,52 5,60 7,88
(a) 1,5 × 2 × ($24/6)
(b) 0,34 × (valor de venda – valor contábil) = 0,34 × ($12 – $8)
(c) 0,34 × ($6 – $4)
(d) 2.000.000 unidades × $14/unidade – 1.600.000 unidades × $10/unidade
(e) $12,2 – $9,8
(f) 2.000.000 unidades × $6,6/unidade – 1.600.000 unidades × $5/unidade
(g) ($24/6 – $4/4)
(h) 0,40 × $24
(i) empréstimo liquidado pelo seu saldo devedor do quarto ano.
Observação: o valor pago à consultoria é um custo afundado irrecuperável para efeitos do cômputo do
fluxo incremental, e o capital de giro foi considerado fluxo antecipado (fluxo no início do respectivo
ano).
VPLBECONÔMICO B(20%) = $3,26 milhões > 0 ⇒ Viável economicamente.
VPLBECONÔMICO-FINANCEIRO B(25%) = $4,05 milhões > 0 ⇒ Viável econômico-financeiramente.
10. O salário atual de um empregado de uma oficina mecânica é de $14.400 por ano. Como ele está
insatisfeito com o salário, pretende montar uma oficina própria. Para isso, pretende usar $25.000 que
estão aplicados em uma caderneta de poupança mais o valor de um empréstimo que pretende levantar
no banco a juros de 10% a.a. Atualmente, a poupança rende juros de 6% a.a..
Os investimentos e os custos operacionais associados ao empreendimento são:
Investimentos requeridos:
• Custo de máquinas e equipamentos: $60.000 (depreciável em dez anos sem valor residual)
• Capital de giro inicial: $5.000
Custos operacionais:
• Custos fixos: $4.000/ano
• Custos variáveis: $24.000/ano
Outras informações:
• Para simplificar, admita que os juros
pagos em cada ano pelo empréstimo serão calculados sempre
sobre o empréstimo inicial. Ou seja, o empréstimo não será amortizado anualmente (é uma
perpetuidade constante).
• Alíquota de IR: 34%.
Pede-se: calcular o valor da Receita Mínima de Equilíbrio Econômico que torna o projeto
economicamente viável.
Resolução:
Origem dos recursos 65.000 Despesas operacionais e financeiras 38.000
Capital próprio (poupança) 25.000 Custos fixos 4.000
Empréstimo bancário 40.000 Custos variáveis 24.000
Juros pagos pelo empréstimo (a) 4.000
Aplicação dos recursos 65.000 Depreciação das máquinas e equipamentos (b) 6.000
Máquinas e equipamentos 60.000 Custos de oportunidade 15.900
Capital de giro inicial 5.000 Salário alternativo (c) 14.400
Rendimento da poupança (d) 1.500
(a) 0,10 ×$40.000 (b) $60.000/10 (c) salário que deixará de ganhar (d) 0,06 × $25.000
A depreciação não é um desembolso. Logo, o valor das despesas operacionais e financeiras deve ser
diminuído da depreciação para calcular o valor dos desembolsos operacionais e financeiros :
131
desembolsos operacionais e financeiros = Despesas operacionais e financeiras – depreciação
= $38.000 – $6.000 = $32.000
Cálculo da receita mínima de equilíbrio:
RBminB = desembolsos operacionais e financeiros + custos de oportunidade + imposto de renda
RBminB = $32.000 + $15.900 + 0,34 ×( RBmin B– $38.000) → RBminB $53.000
11. Um técnico em telecomunicações, que recentemente ficou desempregado, estuda a possibilidade de
investir em um restaurante de modo a garantir seu sustento e de sua família. Estima-se que o
investimento inicial necessário seja de $20.000 em capital de giro, $10.000 em uma campanha de
publicidade e $25.000 em equipamentos que têm uma vida útil de cinco anos sem valor residual
(depreciados linearmente). Os custos operacionais anuais são: $48.000 de aluguel do local, $36.000 de
mão-de-obra e $55.000 de insumos diversos. Cinqüenta por cento do investimento requerido virão de
recursos próprios, que atualmente estão aplicados no mercado de capitais rendendo em média 10%
a.a.. O restante será financiado por meio de um empréstimo bancário a juros de 15% a.a.. Para efeitos
de simplicidade, admita que o empréstimo não é amortizado, permanecendo o saldo devedor constante
ao longo do tempo, e que os juros pagos em cada ano serão calculados sempre sobre o empréstimo
inicial. O negócio está sujeito a uma tributação de 20%. Pede-se para calcular a receita mínima de
equilíbrio econômico do restaurante.
Resolução:
Origem dos recursos 55.000 Despesas operacionais e financeiras 148.125
Capital próprio (50%) 27.500 Aluguel do local 48.000
Empréstimo bancário (50%) 27.500 Insumos diversos 55.000
Mão-de-obra 36.000
Aplicação dos recursos 55.000 Juros pagos pelo empréstimo (a) 4.125
Campanha de publicidade 10.000 Depreciação de equipamentos (b) 5.000
Equipamentos 25.000 Custos de oportunidade 2.750
Capital de giro inicial 20.000 Rendimento do capital próprio (c) 2.750
(a) 0,15 × $27.500 (b) $25.000/5 (c) 0,10 × $27.500
Receita mínima = “desembolsos” operacionais e financeiros + custos de oportunidade + impostos
RBminB = ($148.125 – $5.000) + $2.750 + 0,20 × ( RBminB–$148.125) → RBmin B= $145.312,50
Fator de acumulação de capital em juros compostos
Fator = (1+i)^n
n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15%
1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 1,1100 1,1200 1,1300 1,1400 1,1500
2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100 1,2321 1,2544 1,2769 1,2996 1,3225
3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310 1,3676 1,4049 1,4429 1,4815 1,5209
4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641 1,5181 1,5735 1,6305 1,6890 1,7490
5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105 1,6851 1,7623 1,8424 1,9254 2,0114
6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716 1,8704 1,9738 2,0820 2,1950 2,3131
7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487 2,0762 2,2107 2,3526 2,5023 2,6600
8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436 2,3045 2,4760 2,6584 2,8526 3,0590
9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579 2,5580 2,7731 3,0040 3,2519 3,5179
10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937 2,8394 3,1058 3,3946 3,7072 4,0456
11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983 2,1049 2,3316 2,5804 2,8531 3,1518 3,4785 3,8359 4,2262 4,6524
12 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122 2,2522 2,5182 2,8127 3,1384 3,4985 3,8960 4,3345 4,8179 5,3503
13 1,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,1329 2,4098 2,7196 3,0658 3,4523 3,8833 4,3635 4,8980 5,4924 6,1528
14 1,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,2609 2,5785 2,9372 3,3417 3,7975 4,3104 4,8871 5,5348 6,2613 7,0757
15 1,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966 2,7590 3,1722 3,6425 4,1772 4,7846 5,4736 6,2543 7,1379 8,1371
16 1,1726 1,3728 1,6047 1,8730 2,1829 2,5404 2,9522 3,4259 3,9703 4,5950 5,3109 6,1304 7,0673 8,1372 9,3576
17 1,1843 1,4002
1,6528 1,9479 2,2920 2,6928 3,1588 3,7000 4,3276 5,0545 5,8951 6,8660 7,9861 9,2765 10,7613
18 1,1961 1,4282 1,7024 2,0258 2,4066 2,8543 3,3799 3,9960 4,7171 5,5599 6,5436 7,6900 9,0243 10,5752 12,3755
19 1,2081 1,4568 1,7535 2,1068 2,5270 3,0256 3,6165 4,3157 5,1417 6,1159 7,2633 8,6128 10,1974 12,0557 14,2318
20 1,2202 1,4859 1,8061 2,1911 2,6533 3,2071 3,8697 4,6610 5,6044 6,7275 8,0623 9,6463 11,5231 13,7435 16,3665
21 1,2324 1,5157 1,8603 2,2788 2,7860 3,3996 4,1406 5,0338 6,1088 7,4002 8,9492 10,8038 13,0211 15,6676 18,8215
22 1,2447 1,5460 1,9161 2,3699 2,9253 3,6035 4,4304 5,4365 6,6586 8,1403 9,9336 12,1003 14,7138 17,8610 21,6447
23 1,2572 1,5769 1,9736 2,4647 3,0715 3,8197 4,7405 5,8715 7,2579 8,9543 11,0263 13,5523 16,6266 20,3616 24,8915
24 1,2697 1,6084 2,0328 2,5633 3,2251 4,0489 5,0724 6,3412 7,9111 9,8497 12,2392 15,1786 18,7881 23,2122 28,6252
25 1,2824 1,6406 2,0938 2,6658 3,3864 4,2919 5,4274 6,8485 8,6231 10,8347 13,5855 17,0001 21,2305 26,4619 32,9190
26 1,2953 1,6734 2,1566 2,7725 3,5557 4,5494 5,8074 7,3964 9,3992 11,9182 15,0799 19,0401 23,9905 30,1666 37,8568
27 1,3082 1,7069 2,2213 2,8834 3,7335 4,8223 6,2139 7,9881 10,2451 13,1100 16,7386 21,3249 27,1093 34,3899 43,5353
28 1,3213 1,7410 2,2879 2,9987 3,9201 5,1117 6,6488 8,6271 11,1671 14,4210 18,5799 23,8839 30,6335 39,2045 50,0656
29 1,3345 1,7758 2,3566 3,1187 4,1161 5,4184 7,1143 9,3173 12,1722 15,8631 20,6237 26,7499 34,6158 44,6931 57,5755
30 1,3478 1,8114 2,4273 3,2434 4,3219 5,7435 7,6123 10,0627 13,2677 17,4494 22,8923 29,9599 39,1159 50,9502 66,2118
31 1,3613 1,8476 2,5001 3,3731 4,5380 6,0881 8,1451 10,8677 14,4618 19,1943 25,4104 33,5551 44,2010 58,0832 76,1435
32 1,3749 1,8845 2,5751 3,5081 4,7649 6,4534 8,7153 11,7371 15,7633 21,1138 28,2056 37,5817 49,9471 66,2148 87,5651
33 1,3887 1,9222 2,6523 3,6484 5,0032 6,8406 9,3253 12,6760 17,1820 23,2252 31,3082 42,0915 56,4402 75,4849 100,6998
34 1,4026 1,9607 2,7319 3,7943 5,2533 7,2510 9,9781 13,6901 18,7284 25,5477 34,7521 47,1425 63,7774 86,0528 115,8048
35 1,4166 1,9999 2,8139 3,9461 5,5160 7,6861 10,6766 14,7853 20,4140 28,1024 38,5749 52,7996 72,0685 98,1002 133,1755
36 1,4308 2,0399 2,8983 4,1039 5,7918 8,1473 11,4239 15,9682 22,2512 30,9127 42,8181 59,1356 81,4374 111,8342 153,1519
37 1,4451 2,0807 2,9852 4,2681 6,0814 8,6361 12,2236 17,2456 24,2538 34,0039 47,5281 66,2318 92,0243 127,4910 176,1246
38 1,4595 2,1223 3,0748 4,4388 6,3855 9,1543 13,0793 18,6253 26,4367 37,4043 52,7562 74,1797 103,9874 145,3397 202,5433
39 1,4741 2,1647 3,1670 4,6164 6,7048 9,7035 13,9948 20,1153 28,8160 41,1448 58,5593 83,0812 117,5058 165,6873 232,9248
40 1,4889 2,2080 3,2620 4,8010 7,0400 10,2857 14,9745 21,7245 31,4094 45,2593 65,0009 93,0510 132,7816 188,8835 267,8635
Tabelas de Matemática Financeira para uso com os livros de Adriano Leal Bruni, publicados pela Editora Atlas.
Disponível para download em: <www.EditoraAtlas.com.br> ou <www.infinitaweb.com.br>.
Fator de valor presente em séries uniformes postecipadas
Fator = an,i = {[(1+i)^n]‐1}/[i.(1+i)^n]
n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15%
1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091 0,9009 0,8929 0,8850 0,8772 0,8696
2 1,9704 1,9416 1,9135 1,8861 1,8594 1,8334 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355 1,7125 1,6901 1,6681 1,6467 1,6257
3 2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869 2,4437 2,4018 2,3612 2,3216 2,2832
4 3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699 3,1024 3,0373 2,9745 2,9137 2,8550
5 4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,2124 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908 3,6959 3,6048 3,5172 3,4331 3,3522
6 5,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,9173 4,7665 4,6229 4,4859 4,3553 4,2305 4,1114 3,9975 3,8887 3,7845
7 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,5824 5,3893 5,2064 5,0330 4,8684 4,7122 4,5638 4,4226 4,2883 4,1604
8 7,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632
6,2098 5,9713 5,7466 5,5348 5,3349 5,1461 4,9676 4,7988 4,6389 4,4873
9 8,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,8017 6,5152 6,2469 5,9952 5,7590 5,5370 5,3282 5,1317 4,9464 4,7716
10 9,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,3601 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446 5,8892 5,6502 5,4262 5,2161 5,0188
11 10,3676 9,7868 9,2526 8,7605 8,3064 7,8869 7,4987 7,1390 6,8052 6,4951 6,2065 5,9377 5,6869 5,4527 5,2337
12 11,2551 10,5753 9,9540 9,3851 8,8633 8,3838 7,9427 7,5361 7,1607 6,8137 6,4924 6,1944 5,9176 5,6603 5,4206
13 12,1337 11,3484 10,6350 9,9856 9,3936 8,8527 8,3577 7,9038 7,4869 7,1034 6,7499 6,4235 6,1218 5,8424 5,5831
14 13,0037 12,1062 11,2961 10,5631 9,8986 9,2950 8,7455 8,2442 7,7862 7,3667 6,9819 6,6282 6,3025 6,0021 5,7245
15 13,8651 12,8493 11,9379 11,1184 10,3797 9,7122 9,1079 8,5595 8,0607 7,6061 7,1909 6,8109 6,4624 6,1422 5,8474
16 14,7179 13,5777 12,5611 11,6523 10,8378 10,1059 9,4466 8,8514 8,3126 7,8237 7,3792 6,9740 6,6039 6,2651 5,9542
17 15,5623 14,2919 13,1661 12,1657 11,2741 10,4773 9,7632 9,1216 8,5436 8,0216 7,5488 7,1196 6,7291 6,3729 6,0472
18 16,3983 14,9920 13,7535 12,6593 11,6896 10,8276 10,0591 9,3719 8,7556 8,2014 7,7016 7,2497 6,8399 6,4674 6,1280
19 17,2260 15,6785 14,3238 13,1339 12,0853 11,1581 10,3356 9,6036 8,9501 8,3649 7,8393 7,3658 6,9380 6,5504 6,1982
20 18,0456 16,3514 14,8775 13,5903 12,4622 11,4699 10,5940 9,8181 9,1285 8,5136 7,9633 7,4694 7,0248 6,6231 6,2593
21 18,8570 17,0112 15,4150 14,0292 12,8212 11,7641 10,8355 10,0168 9,2922 8,6487 8,0751 7,5620 7,1016 6,6870 6,3125
22 19,6604 17,6580 15,9369 14,4511 13,1630 12,0416 11,0612 10,2007 9,4424 8,7715 8,1757 7,6446 7,1695 6,7429 6,3587
23 20,4558 18,2922 16,4436 14,8568 13,4886 12,3034 11,2722 10,3711 9,5802 8,8832 8,2664 7,7184 7,2297 6,7921 6,3988
24 21,2434 18,9139 16,9355 15,2470 13,7986 12,5504 11,4693 10,5288 9,7066 8,9847 8,3481 7,7843 7,2829 6,8351 6,4338
25 22,0232 19,5235 17,4131 15,6221 14,0939 12,7834 11,6536 10,6748 9,8226 9,0770 8,4217 7,8431 7,3300 6,8729 6,4641
26 22,7952 20,1210 17,8768 15,9828 14,3752 13,0032 11,8258 10,8100 9,9290 9,1609 8,4881 7,8957 7,3717 6,9061 6,4906
27 23,5596 20,7069 18,3270 16,3296 14,6430 13,2105 11,9867 10,9352 10,0266 9,2372 8,5478 7,9426 7,4086 6,9352 6,5135
28 24,3164 21,2813 18,7641 16,6631 14,8981 13,4062 12,1371 11,0511 10,1161 9,3066 8,6016 7,9844 7,4412 6,9607 6,5335
29 25,0658 21,8444 19,1885 16,9837 15,1411 13,5907 12,2777 11,1584 10,1983 9,3696 8,6501 8,0218 7,4701 6,9830 6,5509
30 25,8077 22,3965 19,6004 17,2920 15,3725 13,7648 12,4090 11,2578 10,2737 9,4269 8,6938 8,0552 7,4957 7,0027 6,5660
31 26,5423 22,9377 20,0004 17,5885 15,5928 13,9291 12,5318 11,3498 10,3428 9,4790 8,7331 8,0850 7,5183 7,0199 6,5791
32 27,2696 23,4683 20,3888 17,8736 15,8027 14,0840 12,6466 11,4350 10,4062 9,5264 8,7686 8,1116 7,5383 7,0350 6,5905
33 27,9897 23,9886 20,7658 18,1476 16,0025 14,2302 12,7538 11,5139 10,4644 9,5694 8,8005 8,1354 7,5560 7,0482 6,6005
34 28,7027 24,4986 21,1318 18,4112 16,1929 14,3681 12,8540 11,5869 10,5178 9,6086 8,8293 8,1566 7,5717 7,0599 6,6091
35 29,4086 24,9986 21,4872 18,6646 16,3742 14,4982 12,9477 11,6546 10,5668 9,6442 8,8552 8,1755 7,5856 7,0700 6,6166
36 30,1075 25,4888 21,8323 18,9083 16,5469 14,6210 13,0352 11,7172 10,6118 9,6765 8,8786 8,1924 7,5979 7,0790 6,6231
37 30,7995 25,9695 22,1672 19,1426 16,7113 14,7368 13,1170 11,7752 10,6530 9,7059 8,8996 8,2075 7,6087 7,0868 6,6288
38 31,4847 26,4406 22,4925 19,3679 16,8679 14,8460 13,1935 11,8289 10,6908 9,7327 8,9186 8,2210 7,6183 7,0937 6,6338
39 32,1630 26,9026 22,8082 19,5845 17,0170 14,9491 13,2649 11,8786 10,7255 9,7570 8,9357 8,2330 7,6268 7,0997 6,6380
40 32,8347 27,3555 23,1148 19,7928 17,1591 15,0463 13,3317 11,9246 10,7574 9,7791 8,9511 8,2438 7,6344 7,1050 6,6418
Tabelas
de Matemática Financeira para uso com os livros de Adriano Leal Bruni, publicados pela Editora Atlas.
Disponível para download em: <www.EditoraAtlas.com.br> ou <www.infinitaweb.com.br>.
Fator de valor futuro em séries uniformes postecipadas
Fator = Sn,i = {[(1+i)^n]‐1}/[i]
n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15%
1 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
2 2,0100 2,0200 2,0300 2,0400 2,0500 2,0600 2,0700 2,0800 2,0900 2,1000 2,1100 2,1200 2,1300 2,1400 2,1500
3 3,0301 3,0604 3,0909 3,1216 3,1525 3,1836 3,2149 3,2464 3,2781 3,3100 3,3421 3,3744 3,4069 3,4396 3,4725
4 4,0604 4,1216 4,1836 4,2465 4,3101 4,3746 4,4399 4,5061 4,5731 4,6410 4,7097 4,7793 4,8498 4,9211 4,9934
5 5,1010 5,2040 5,3091 5,4163 5,5256 5,6371 5,7507 5,8666 5,9847 6,1051 6,2278 6,3528 6,4803 6,6101 6,7424
6 6,1520 6,3081 6,4684 6,6330 6,8019 6,9753 7,1533 7,3359 7,5233 7,7156 7,9129 8,1152 8,3227 8,5355 8,7537
7 7,2135 7,4343 7,6625 7,8983 8,1420 8,3938 8,6540 8,9228 9,2004 9,4872 9,7833 10,0890 10,4047 10,7305 11,0668
8 8,2857 8,5830 8,8923 9,2142 9,5491 9,8975 10,2598 10,6366 11,0285 11,4359 11,8594 12,2997 12,7573 13,2328 13,7268
9 9,3685 9,7546 10,1591 10,5828 11,0266 11,4913 11,9780 12,4876 13,0210 13,5795 14,1640 14,7757 15,4157 16,0853 16,7858
10 10,4622 10,9497 11,4639 12,0061 12,5779 13,1808 13,8164 14,4866 15,1929 15,9374 16,7220 17,5487 18,4197 19,3373 20,3037
11 11,5668 12,1687 12,8078 13,4864 14,2068 14,9716 15,7836 16,6455 17,5603 18,5312 19,5614 20,6546 21,8143 23,0445 24,3493
12 12,6825 13,4121 14,1920 15,0258 15,9171 16,8699 17,8885 18,9771 20,1407 21,3843 22,7132 24,1331 25,6502 27,2707 29,0017
13 13,8093 14,6803 15,6178 16,6268 17,7130 18,8821 20,1406 21,4953 22,9534 24,5227 26,2116 28,0291 29,9847 32,0887 34,3519
14 14,9474 15,9739 17,0863 18,2919 19,5986 21,0151 22,5505 24,2149 26,0192 27,9750 30,0949 32,3926 34,8827 37,5811 40,5047
15 16,0969 17,2934 18,5989 20,0236 21,5786 23,2760 25,1290 27,1521 29,3609 31,7725 34,4054 37,2797 40,4175 43,8424 47,5804
16 17,2579 18,6393 20,1569 21,8245 23,6575 25,6725 27,8881 30,3243 33,0034 35,9497 39,1899 42,7533 46,6717 50,9804 55,7175
17 18,4304 20,0121 21,7616 23,6975 25,8404 28,2129 30,8402 33,7502 36,9737 40,5447 44,5008 48,8837 53,7391 59,1176 65,0751
18 19,6147 21,4123 23,4144 25,6454 28,1324 30,9057 33,9990 37,4502 41,3013 45,5992 50,3959 55,7497 61,7251 68,3941 75,8364
19 20,8109 22,8406 25,1169 27,6712 30,5390 33,7600 37,3790 41,4463 46,0185 51,1591 56,9395 63,4397 70,7494 78,9692 88,2118
20 22,0190 24,2974 26,8704 29,7781 33,0660 36,7856 40,9955 45,7620 51,1601 57,2750 64,2028 72,0524 80,9468 91,0249 102,4436
21 23,2392 25,7833 28,6765 31,9692 35,7193 39,9927 44,8652 50,4229 56,7645 64,0025 72,2651 81,6987 92,4699 104,7684 118,8101
22 24,4716 27,2990 30,5368 34,2480 38,5052 43,3923 49,0057 55,4568 62,8733 71,4027 81,2143 92,5026 105,4910 120,4360 137,6316
23 25,7163 28,8450 32,4529 36,6179 41,4305 46,9958 53,4361 60,8933 69,5319 79,5430 91,1479 104,6029 120,2048 138,2970 159,2764
24 26,9735 30,4219 34,4265 39,0826 44,5020 50,8156 58,1767 66,7648 76,7898 88,4973 102,1742 118,1552 136,8315 158,6586 184,1678
25 28,2432 32,0303 36,4593 41,6459 47,7271 54,8645 63,2490 73,1059 84,7009 98,3471 114,4133 133,3339 155,6196 181,8708 212,7930
26 29,5256 33,6709 38,5530 44,3117 51,1135 59,1564 68,6765 79,9544 93,3240 109,1818 127,9988 150,3339 176,8501 208,3327 245,7120
27 30,8209 35,3443 40,7096 47,0842 54,6691 63,7058 74,4838 87,3508 102,7231 121,0999 143,0786 169,3740 200,8406 238,4993 283,5688
28 32,1291 37,0512 42,9309 49,9676 58,4026 68,5281 80,6977 95,3388 112,9682 134,2099 159,8173 190,6989 227,9499 272,8892 327,1041
29 33,4504 38,7922 45,2189 52,9663 62,3227 73,6398 87,3465 103,9659 124,1354 148,6309 178,3972 214,5828 258,5834 312,0937 377,1697
30 34,7849 40,5681 47,5754 56,0849 66,4388 79,0582 94,4608 113,2832 136,3075 164,4940 199,0209 241,3327 293,1992 356,7868 434,7451
31 36,1327 42,3794 50,0027 59,3283 70,7608 84,8017 102,0730 123,3459 149,5752 181,9434 221,9132 271,2926 332,3151 407,7370 500,9569
32 37,4941 44,2270 52,5028 62,7015 75,2988 90,8898 110,2182 134,2135 164,0370 201,1378 247,3236 304,8477 376,5161 465,8202 577,1005
33 38,8690 46,1116 55,0778 66,2095 80,0638
97,3432 118,9334 145,9506 179,8003 222,2515 275,5292 342,4294 426,4632 532,0350 664,6655
34 40,2577 48,0338 57,7302 69,8579 85,0670 104,1838 128,2588 158,6267 196,9823 245,4767 306,8374 384,5210 482,9034 607,5199 765,3654
35 41,6603 49,9945 60,4621 73,6522 90,3203 111,4348 138,2369 172,3168 215,7108 271,0244 341,5896 431,6635 546,6808 693,5727 881,1702
36 43,0769 51,9944 63,2759 77,5983 95,8363 119,1209 148,9135 187,1021 236,1247 299,1268 380,1644 484,4631 618,7493 791,6729 1.014,3457
37 44,5076 54,0343 66,1742 81,7022 101,6281 127,2681 160,3374 203,0703 258,3759 330,0395 422,9825 543,5987 700,1867 903,5071 1.167,4975
38 45,9527 56,1149 69,1594 85,9703 107,7095 135,9042 172,5610 220,3159 282,6298 364,0434 470,5106 609,8305 792,2110 1.030,9981 1.343,6222
39 47,4123 58,2372 72,2342 90,4091 114,0950 145,0585 185,6403 238,9412 309,0665 401,4478 523,2667 684,0102 896,1984 1.176,3378 1.546,1655
40 48,8864 60,4020 75,4013 95,0255 120,7998 154,7620 199,6351 259,0565 337,8824 442,5926 581,8261 767,0914 1.013,7042 1.342,0251 1.779,0903
Tabelas de Matemática Financeira para uso com os livros de Adriano Leal Bruni, publicados pela Editora Atlas.
Disponível para download em: <www.EditoraAtlas.com.br> ou <www.infinitaweb.com.br>.
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