lista.Determinantes

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA´
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
CENTRO DE CIEˆNCIAS
3.a Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear
(Determinantes)
Aluno(a):
Prof.: Marcelo Melo
1. Considere as matrizesA =
(
1 1
1 2
)
, B =
 −1 2 10 1 −3
4 0 2
 , C =

1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
1 0 1 0
 e
D =

1 0 0 0 0
0 3 0 0 0
0 0 7 0 0
2 1 0 1 0
0 0 5 0 1
 . Calcule:
a) O determinante das matrizes A, B, C e D.
b) A matriz dos cofatores de A, B, C e D.
c) A matriz inversa, se existir, das matrizes A, B, C e D pela fo´rmula
M−1 = 1
det(M)
adj(M).
2. Considere o sistema 
2x1 + αx2 − x3 = 1
−x1 + βx2 + 3x3 = 0
x1 + γx2 + 3x3 = −1
Assuma que o determinante da matriz dos coeficientes seja igual a 2. Deter-
mine o valor de x2.
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3. Utilizando somente as propriedades elementares, demonstre que:
a)
∣∣∣∣∣∣
a− b b− c c− a
m− n n− p p−m
x− y y − z z − x
∣∣∣∣∣∣ = 0; b)
∣∣∣∣∣∣
cos 2a cos2 a sen2a
cos 2b cos2 b sen2b
cos 2c cos2 c sen2c
∣∣∣∣∣∣ = 0;
c)
∣∣∣∣∣∣
a+ x b+ x c+ x
a+ y b+ y c+ y
a2 b2 c2
∣∣∣∣∣∣ = (b− a)(c− a)(c− b)(x− y).
4. Sejam a, b e c nu´meros inteiros. Demonstre que o seguinte determinante e´
divis´ıvel por a+ b+ c : ∣∣∣∣∣∣
(b+ c)2 b2 c2
a2 (a+ c)2 c2
a2 b2 (a+ b)2
∣∣∣∣∣∣
5. Deˆ exemplos de matrizes A e B quadradas de mesmo tamanho tais que
det(A+B) 6= det(A) + det(B).
6. Seja A uma matriz 3× 3 com det(A) = −1, e B a matriz obtida multiplicando
a segunda linha de A por 2. Calcule det(A+B).
7. Seja A uma matriz n× n e λ ∈ R. Demonstre que det(λA) = λn det(A).
8. Seja A uma matriz de ordem 10 × 10 tal que det(2A) = det(A2). Mostre que
se det(A) 6= 1024, enta˜o A na˜o e´ invert´ıvel.
9. Calcule det(Q) sabendo que Q e´ uma matriz 4× 4 invert´ıvel e tal que
Q3 + 2Q2 = 0.
10. Sejam A e B matrizes n× n. Mostre que det(AB) = det(BA).
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11. Seja A uma matriz quadrada. Mostre que det(Am) = [det(A)]m, para todo
m ∈ N.
12. Demonstre que det(tA) = det(A), para toda matriz quadrada.
13. Sendo A uma matriz real de ordem 3× 3 cujo determinante e´ igual a 4, qual o
valor de x na equac¸a˜o det(2A · tA) = 4x?
14. Sejam A, B e C matrizes 3× 3. Supondo que det(A−1) = 3, det(tB) = 2 e
C = 2I3, determine det(A
2 · tC ·B−1).
15. Mostre que se A e´ uma matriz ortogonal (i.e., tA = A−1), enta˜o det(A) = ±1.
16. Mostre que na˜o existe matriz antissime´trica n× n, com n ı´mpar, invert´ıvel.
17. Demonstre que duas matrizes semelhantes teˆm o mesmo determinante.
18. Prove que a func¸a˜o f : Mn(R)→ R definida por f(A) = det(A) e´ sobrejetora.
Esta func¸a˜o e´ injetora?
19. Sejam f, g : R → R duas func¸o˜es tais que g(x) < f(x) < 0, ∀x ∈ R. Mostre
que a func¸a˜o D : R→ R dada por D(x) = det
 1 0 1f(x) f(x) g(x)
g(x) g(x) f(x)
 e´ estri-
tamente negativa.
20. Seja A uma matriz quadrada de ordem 2. Mostre que
det(xI2 − A) = x2 − tr(A)x+ det(A)
para todo x ∈ R.
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21. (Polinoˆmio Caracter´ıstico) Seja A ∈Mn(R). O polinoˆmio caracter´ıstico de A e´
o polinoˆmio
p(x) = det(xIn − A).
a) Calcule o polinoˆmio caracter´ıstico das matrizes A, B, C e D do exerc´ıcio
1.
b) Calcule os autovalores (i.e., as ra´ızes do polinoˆmio caracter´ıstico) das ma-
trizes A, B, C e D do exerc´ıcio 1.
c) Mostre que duas matrizes semelhantes teˆm o mesmo polinoˆmio carac-
ter´ıstico.
22. (Matriz Hiperbo´lica) O espectro de uma matriz A ∈Mn(R) e´ o conjunto Esp(A)
das ra´ızes (reais ou complexas) do polinoˆmio caracter´ıstico de A, ou seja,
Esp(A) = {λ ∈ C; det(λI − A) = 0}. Uma matriz A chama-se hiperbo´lica
quando Esp(A) ∩ S1 = ∅, onde S1 = {z ∈ C; |z| = 1}, ou seja, quando ne-
nhum autovalor de A e´ um nu´mero complexo de mo´dulo 1. Mostre que a matriz
M =
(
0 1
1 0
)
na˜o e´ hiperbo´lica e que a matriz H =
(
1 1
−1 1
)
e´ hiperbo´lica.
23. Seja A ∈ Mn(R) uma matriz invert´ıvel e seja B ∈ Mn(R) qualquer. Mostre
que det(In − AB) = det(In −BA).
24. Sejam p, q ∈ R tais que x2 + px+ q 6= 0, ∀x ∈ R. Prove que se n e´ um inteiro
positivo ı´mpar, enta˜o
A2 + pA+ qIn 6= 0
para toda matriz A ∈Mn(R).
25. (Transformac¸a˜o de Mo¨bius) Uma transformac¸a˜o linear fraciona´ria e´ uma func¸a˜o
S : C→ C da forma S(z) = az+b
cz+d
. Se os coeficientes a, b, c e d ∈ C satisfazem
ad − bc 6= 0, enta˜o S(z) e´ chamada uma transformac¸a˜o de Mo¨bius ou uma
transformac¸a˜o homogra´fica. Seja M o conjunto de todas as transformac¸o˜es de
Mo¨bius. Defina T :M−→M2(C) pondo T (S(z)) = T (az+bcz+d) :=
(
a b
c d
)
.
Prove que:
a) T e´ um homomorfismo, ou seja, T (S1 ◦ S2) = T (S1) · T (S2).
b) S(z) e´ constante ⇔ det(T (S(z))) = 0.
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Sugesto˜es e Respostas
2. Use a regra de Cramer.
4. Use as propriedades elementares.
7. Escrevendo A = (A1, · · · , An), note que λA = (λA1, . . . , λAn).
8, 9. Use o exerc´ıcio 7.
10. Use o teorema de Binet.
11. Use o teorema de Binet e induc¸a˜o.
12. Use induc¸a˜o e o teorema de Laplace.
13-15. Use o exerc´ıcio 12.
16. Use os exerc´ıcos 7 e 12.
23. Note que det(In − AB) = det(A−1(In − AB)A).
24. Suponha que exista uma matriz A ∈Mn(R) tal que
A2 + pA+ qIn = 0.
Complete o quadrado da soma, utilize o teorema de Binet e o fato de n ser
ı´mpar para chegar a uma contradic¸a˜o.
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