MAT021_Lista_Sistemas_Lineares_1

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MAT021 - LISTA
PARTE III: SISTEMAS LINEARES DE EDO’s
1. AUTOVALORES REAIS DISTINTOS
Prof. Leandro G. Gomes
Questa˜o 1: Matrizes 2× 2 com dois autovalores reais distintos
Para cada uma das matrizes 2× 2 abaixo proceda da seguinte forma:
(i) Encontre seu autovalores λ1 e λ2 e verifique que sa˜o reais e distintos;
(ii) Encontre dois autovetores associados aos diferentes autovalores ;
(iii) Mostre que eles sa˜o L.I. ;
(iv) Desenhe as duas retas invariantes por A em R2;
(v) Escolha 3 pontos diferentes da origem em R2: (x1, y1) na reta associada ao autovalor λ1, (x2, y2) na
reta associada ao autovalor λ2 e (x3, y3) em nenhuma destas retas. Aplique A em cada um destes
pontos e os represente geometricamente. O ponto A(x1, y1) permanece sobre a reta associada ao
autovalor λ1? Por queˆ ? O ponto A(x2, y2) permanece sobre a reta associada ao autovalor λ2? Por
queˆ ? O ponto A(x3, y3) esta´ sobre alguma das retas associadas a um autovalor? Por queˆ ?
As matrizes sa˜o:
(a)A =
(
2 0
0 −1
)
(b)A =
(
2 0
0 0
)
(c)A =
(
5 2
1 4
)
(d)A =
(
1 1
1 2
)
(e)A =
(
4 −3
8 −6
)
(f)A =
(
1 −2
3 −4
)
(g)A =
(−2 1
1 −2
)
(h)A =
(
1 −1
3 −3
)
Questa˜o 2: Conceitos Fundamentais de Autovalores e Autovetores
(i) Se ~v1 e´ um autovetor da matriz A associado ao autovalor λ = 2, sendo
~v1 =
(
1
2
)
e A =
(
1 a
b −1
)
Determine um autovetor ~v2 de A L.I. ao autovetor ~v1. Qual e´ o outro autovalor de A ?
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(ii) Quantos autovalores existem, no ma´ximo, para uma dada matriz 2× 2 A ? Justifique sua resposta.
(iii) Suponha que uma matriz 2×2 A admita dois autovalores reais distintos. Mostre que dois respectivos
autovetores associados sa˜o L.I.
(iv) Mostre que λ e´ um autovalor de A se, e somente se, λ e´ raiz do polinoˆmio caracter´ıstico de A.
(v) Existe alguma matriz com um autovalor λ = 0 ?
(vi) Existe uma matriz 2× 2 com autovalores λ1 = pi e λ2 =
√
13 tais que seus respectivos autovetores
associados sa˜o
~v1 =
(
1
−4
)
e ~v2 =
(−2
8
)
?
Questa˜o 3: Propriedades de matrizes 2× 2
Dado uma matriz 2× 2 A:
(i) Mostre que seu polinoˆmio caracter´ıstico e´
p(λ) = λ2 − tr(A)λ+ det(A)
(ii) Encontre uma fo´rmula geral para os autovalores de A.
(iii) Mostre que
p(A) = A2 − tr(A)A+ det(A) I = 0
(iv) Quando A adimite autovetores reais ?
(v) Mostre que se λ1 e λ2 sa˜o dois autovalores distintos de A, enta˜o detA = λ1 λ2.
Questa˜o 4: Sistemas lineares de EDO’s em R2
Um sistema de equac¸o˜es lineares homogeˆneas em R2 e´ dado por
d
dt
~x = A(t) ~x
com A(t) uma matriz quadrada 2 × 2 cujos coeficientes dependem de t. Prove que se ~x1(t) e ~x2(t) sa˜o
soluc¸o˜es do problema acima, enta˜o a~x1(t) + b ~x2(t) tambe´m e´ soluc¸a˜o, quaisquer que sejam a, b ∈ R.
Questa˜o 5: Sistema ineares de EDO’s com autovalores reais distintos
Para cada uma das matrizes da questa˜o 1, tome o sistema linear de EDO’s
d
dt
~r = A~r
e proceda da seguinte forma:
2
(i) Encontre uma soluc¸a˜o ao longo da reta invariante associada ao autovalor λ1 ;
(ii) Encontre uma soluc¸a˜o ao longo da reta invariante associada ao autovalor λ2 ;
(iii) Encontre a soluc¸a˜o geral do sistema ;
(iv) Desenhe o retrato de fases do sistema e classifique os pontos de equil´ıbrio isolados. (Na˜o se esquec¸a
de determinar os eixos dos autovetores e que em geral soluc¸o˜es fora deste eixo na˜o sa˜o retas. )
(v) Encontre explicitamente a u´nica soluc¸a˜o que no instante t = 0 passa pelo ponto
~r0 =
(
1
2
)
(vi) Desenhe a soluc¸a˜o do item (v) no plano de fases e verifique se ela e´ uma reta;
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