IHAC-UFBa-AM-Aula5-PrincipiosFinal

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Universidade 
Federal 
da Bahia 
 INSTITUTO DE HUMANIDADES, 
ARTES & CIÊNCIAS ‘MILTON 
SANTOS’ 
mlfn@ufba.br 
Marcio Luis Ferreira Nascimento 
HACA82: Arte & Matematica: 
Aula 5 – Nascimento da 
Matemática & Matemáticos – 
Pitágoras e Euclides 
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Tópicos da Apresentação 
 Apresentação: ‘O que é Matemática’ 
 Cesar Lattes, Pescadores, Caçadores e Matemáticos... 
 Matemática & Matemáticos 
 Campos da Matemática: Álgebra, Geometria... 
 A Matemática enquanto Linguagem da Natureza 
 Sul da Europa, Norte da África e Oriente Médio 
 Breve História da Matemática 
 Primeira Informação Geométrica Relevante 
 Pitágoras 
 Três demonstrações do celebre teorema 
 Euclides 
 Inicio da Abstração: Perspectiva 
 Renascimento, Arte e Matematica 
 
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 Matemática & 
Matemáticos 
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Geometria Cálculo Grupos Tensores Fractais 
Euclides 
Os Elementos 
Descartes 
Discurso do Método 
Galois 
Teoria dos Grupos 
Hamilton 
Quaternions 
Mandelbrot 
A Natureza Fractal 
300 a.C. ⇒ 1637 d.C.: Registrar a Natureza de Deus 
 1637 ⇒ 1830: Deus fez a Natureza inteligentemente? 
 1830 ⇒ 1890: Por que Deus criou a Natureza? 
 1890 ⇒ 1980: Como relacionar Deus à Natureza? 
 1980 ⇒ hoje: Podemos criar a Natureza!!! 
Matemática & 
Matemáticos 
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Catalogo IBM: Charles Eames 1966 
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 Nascimento da 
Matemática: Sul da 
Europa, Norte da 
África e Oriente Médio 
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Nascimento da Matemática 
 
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 Norte da África 
e Oriente Médio N
as
ci
m
en
to
 d
a 
M
at
em
át
ic
a 
Egito: Museu Egípcio (Berlin) 
Babilônia: Museu Pergamon 
Rei Amenhotep III 
(1389-1351 a.C) 
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Portão de Ishtar - Museu 
Pergamon (Berlim / Alemanha) 
Concepção do Portão de Ishtar 
575 a.C. (Berlim / Alemanha) 
Cerimônia de casamento 
egípcio real: 1330 a.C. - Museu 
Egípcio de Berlim / Alemanha 
Busto Rainha Neferteti: 1380-1345 a.C. 
www.ägyptisches-museum-berlin.de/ 
en.wikipedia.org/wiki/Pergamon_Museum 
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 Primeira Informação 
Geométrica Relevante 
da Matemática 
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 Pitágoras de Samos - 
580-500 a.C. (?) 
Escola de Atenas, 
pintura de Raffaello Sanzio (1483-1520) 
Primeira Informação 
Matemática Relevante da 
Antiguidade1 
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Primeira Informação 
Matemática Relevante da 
Antiguidade2 
 Teorema de Pitágoras 
c⋅c = a⋅a + b⋅b 
a 
b 
c 
a 
b 
c 
Pitágoras de Samos (570 ? – 495 ? a.C.) 
– Busto nos Museus Capitolinos, Roma 
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Primeira Informação 
Matemática Relevante da 
Antiguidade3 
 Teorema de Pitágoras 
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Primeira Informação 
Matemática Relevante da 
Antiguidade4 
3⋅3 + 4⋅4 = 5⋅5 
3 
4 5 
Pitágoras de Samos (570 ? – 495 ? a.C.) 
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Primeira Informação 
Matemática Relevante da 
Antiguidade5 
Grego, 500 dC: Euclides, Elementos Hindu, 1260 dC: Al-Tusi, Elementos 
Babilônio, 1800 aC 
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 Escavações em Nippur, circa 1899, 
principal centro de treinamento escriba 
do antigo período Babilônio, onde boa 
parte dos tabletes foram obtidos 
 Descrição da diagonal de um triângulo 
retângulo de lado 0,5 a partir do uso do 
Teorema de Pitágoras antes de Pitágoras 
em notação moderna. Para efeito de 
cálculo o escriba escreveu o resultado 
corretamente: 0,5×√2= 0,7071065. 
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 Demonstração do Teorema de Pitágoras por Oliver 
Byrne (1847) 
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Três Demonstrações... 
 Tablete YBC 7289, da coleção babilônica da biblioteca de 
Yale, EUA (1800 a.C.) 
 1a prova por rearranjo: 
3a prova por rearranjo: 
área total constante, e a soma 
das áreas em escuro também 
a2 
b2 
c2 = 
2a prova por rearranjo: triângulos iguais 
b a 
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Uma ‘Prova’ da 
Demonstração 
c2 
b 
a 
= 
S = área do quadrado grande 
S = (a + b)2 
S’ = área do quadrado pequeno 
S’ = c2 
S = S1 + S2 + S3 + S4 + S’ 
Sendo ainda a área do quadrado grande S igual a soma da área dos 
quatro triângulos mais o quadrado pequeno, tem-se: 
S = (ab/2)+ (ab/2)+ (ab/2)+ (ab/2) + c2 = 2ab + c2 = (a + b)2 
 2ab + c2 = a2 + 2ab + b2 Logo: c2 = a2 + b2 c.q.d. 
Uma prova (ou demonstração) consistiu num diferencial único da civilização 
grega em relação às demais (egipicia, babilonica, hindu, chinesa...) 
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Matemática & 
Engenharia 
Militar 
 Aplicações do 
Teorema de Pitágoras 
feita por Filippo 
Calandri, De 
Arithmetica, Florença: 
Lorenzo Morgiani e 
Johannes Petri (1491-
92) 
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Exercício para Casa 
 Verifique a demonstração abaixo do Teorema 
de Pitágoras, proposta pelo matemático 
Annairizi, por volta do Sec. IX: 
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Super 19 (1989) 73 Super 42 (1991) 27 
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Plimpton 
322 
 O mais antigo registro de ternas pitagóricas: 1.800 a.C. 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
co
lu
na
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 
10 20 30 40 50 
119 
3367 
4601 
12709 
65 
319 
2291 
799 
481 
4961 
45 
1679 
161 
1771 
56 
lado 
169 
4825 
6649 
18541 
97 
481 
3541 
1249 
769 
8161 
75 
2929 
289 
3229 
106 
diagonal Escrito em caracteres 
cuneiformes – confor-
me indicado acima, 
utilizavam a base 60 
em vez de dez em dez. 
Em amarelo, escritos 
em notação moderna 
(base 1), e em azul 
correções à tabela 
(pois continha erros 
...) 
A tabela fornece então 
um lado e uma 
diagonal de um 
triangulo retângulo: 
diagonal2 − lado2 = (outro lado)2 
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 Um Triângulo 
Especial: O Eqüilátero 
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Triângulo Equilátero a 
a 
a 
h 
hh 
aa 
a 
2 
a 
2 
⋅ 
a 
2 
a 
2 ⋅ hh + = aa 
a 
2 
a 
2 ⋅ hh + − = aa − 
a 
2 
a 
2 ⋅ 
a 
2 
a 
2 ⋅ 
a 
2 
a 
2 ⋅ hh + − = aa − 
a 
2 
a 
2 ⋅ 
a 
2 
a 
2 ⋅ 
hh = 4 − a 2 
a 
2 ⋅ 
a 
2 
a 
2 ⋅ 
hh = 3 a 2 
a 
2 ⋅ h 
h 
= 
a 
2 rad3 
a 
2 rad3 
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Uma Rápida Viagem a 
Terra de Pitágoras... 
 aeroporto 
 hotel e porto 
Pitágoras de Samos (570 ? 
– 495 ? a.C.) – Busto nos 
Museus Capitolinos, Roma 
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 monumento  rua 
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 O Mais Sábio dos 
Matemáticos da 
Antiguidade: Euclides 
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da Bahia Euclides (≈ 300 a.C.) 
 O primeiro matemático da antiguidade a compilar 
e organizar informações da natureza, mais 
especificamente propriedades entre figuras 
geométricas, foi Euclides, nos seus Elementos 
Escola de Atenas, Raffaello Sanzio 
 Euclides de Alexandria 
edição em Latim, 1482 
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Estatua de Euclides no Museu de Historia 
Natural da Universidade Oxford 
Ótica, de Euclides, versão em Latim (1458) 
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Elementos, Livro III – 
Proposição 35 
 Se duas
linhas cruzam-se dentro de um círculo, o retângulo 
formado por ambos seguimentos de uma linha é igual ao da 
outra. a×b = c×d 
As linhas retas com centro em D variam em comprimento 
mas o produto dos dois segmentos resultantes promove 
um retângulo azul de mesma área. 
a 
b 
c 
d 
a 
b 
c 
d 
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Referências 
 History of Mathematics – Carl B. Boyer & Uta C. 
Merzbach 
 Tópicos de História da Matemática para uso em 
Sala de Aula: Cálculo – Carl B. Boyer 
 A History of Mathematics – Florian Cajori 
 History of Modern Mathematics – David E. Smith 
 A Source Book in Mathematics – David E. Smith 
 History of Mathematics: from Mesopotamy to 
Modernity – Luke Hodgkin 
 History of Mathematics: An Introduction – David M. 
Burton 
 
	Slide Number 1
	Tópicos da Apresentação
	Cesar Lattes
	Lattes & Índios Brasileiros (Matemáticos)
	Slide Number 5
	Slide Number 6
	Slide Number 7
	Slide Number 8
	Slide Number 9
	Slide Number 10
	Nascimento da Matemática
	Slide Number 12
	Slide Number 13
	Slide Number 14
	Primeira Informação Matemática Relevante da Antiguidade1
	Primeira Informação Matemática Relevante da Antiguidade2
	Slide Number 17
	Slide Number 18
	Slide Number 19
	Slide Number 20
	Slide Number 21
	Três Demonstrações...
	Uma ‘Prova’ da Demonstração
	Matemática & Engenharia Militar
	Exercício para Casa
	Slide Number 26
	Plimpton 322
	Slide Number 28
	Triângulo Equilátero
	Uma Rápida Viagem a Terra de Pitágoras...
	Slide Number 31
	Slide Number 32
	Euclides ( 300 a.C.)
	Slide Number 34
	Elementos, Livro III – Proposição 35
	Slide Number 36
	Necessidade da Perspectiva
	Leon Battista Alberti
	Piero della Francesca
	Slide Number 40
	Abstração do Espaço Na Arte
	Dürer
	Slide Number 43
	Brook Taylor
	Referências